离散数学二元关系(2)

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二元关系离散数学

二元关系离散数学
二元关系是离散数学中非常重要的概念之一。

二元关系是指将两个元素组合在一起形成的一种关系。

例如，整数之间的“大于”、“小于”等关系。

在二元关系中，每个元素都称为关系的一部分。

二元关系可以用箭头或括号表示。

例如，如果我们有集合A={1，2，3}和集合B={a，b，c}，那么我们可以定义二元关系R={(1，a)，(1，b)，(2，b)}，这表示1和a、1和b，2和b之间存在关系。

二元关系的性质也是离散数学中非常重要的。

二元关系可以是自反的，反对称的，传递的和等价的。

自反关系表示每个元素都与自己存在关系，反对称关系表示如果两个元素之间存在关系，那么它们不能同时与相同的元素存在关系，传递关系表示如果两个元素之间存在关系，那么这种关系会传递到它们之间的其他元素之间，等价关系表示该关系是自反的、对称的和传递的。

这些性质有助于我们理解和描述二元关系。

二元关系在离散数学中有许多应用。

例如，它们可以用于网络分析、逻辑推理、图像处理等领域。

在计算机科学中，二元关系在数据库中的查询和排序算法中也有广泛应用。

总之，二元关系是离散数学中重要的概念之一，它将两个元素联系在一起，并具有许多重要的性质和应用。

《离散数学》中二元关系传递性的判定

《离散数学》中二元关系传递性的判定
在离散数学中，二元关系是指一个关联两个元素的集合。

传递性是二元关系的一个重要性质。

传递性是指如果某个关系中的元素a与另外两个元素b和c之间有关联，而且b 与c之间也有关联，那么就可以推断出a与c之间也有关联。

传递性的判定方法有多种，下面我们将介绍两种常用的判定方法。

一、图形法
图形法是通过绘制一个关系的有向图，并判断图中是否存在从一个元素到另一个元素的路径来判定传递性。

具体操作步骤如下：
1. 绘制有向图：将关系中的元素表示为图中的结点，关系表示为有向边。

根据关系定义，确定图中的结点以及结点之间的有向边。

2. 找到路径：从一个元素出发，通过有向边找到与它关联的所有元素，然后再通过有向边找到这些元素关联的所有元素，一直继续下去，直到找不到新的元素为止。

3. 判断传递性：如果从一个元素出发，可以找到与之存在关联的所有元素，那么就说明关系是传递的。

二、矩阵法
矩阵法是将一个关系表示为一个方阵，通过矩阵的乘法运算来判定传递性。

1. 构建矩阵：将关系中的元素表示为矩阵的行和列，关系的存在与否表示为矩阵元素的值。

如果元素a与元素b之间存在关系，那么矩阵的第a行第b列的值为1，否则为0。

2. 矩阵乘法：将矩阵与自身进行乘法运算，得到的结果是一个新的矩阵。

这两种判定传递性的方法都比较简单直观，可以根据具体情况选择适用的方法。

在实际应用中，传递性的判定常常与其他性质一起使用，以提供更准确的判断结果。

离散数学2

23
在上例中3个结果矩阵是在上例中个结果矩阵是: 个结果矩阵是
24
求传递闭包--Warshall算法求传递闭包--Warshall算法 --Warshall
设集合基数为n 构造n+1个矩阵W 设集合基数为n，构造n+1个矩阵W0,W1,W2, n+1个矩阵 …Wn,W0为t( R )的关系矩阵,Wn即为t( R )的关系矩阵 Wn,W )的关系矩阵,Wn即为的关系矩阵,Wn即为t( )的关系矩阵 (1)令 (1)令W0=MR (2)设Wi- 已求出，现求Wi (2)设Wi-1已求出，现求Wi 考虑Wi- 的第i 考虑Wi-1的第i列，列中为1的元素分别位于P1,P2…行， Wi 列中为1的元素分别位于P 行同时考虑第i 该行中为1的元素位于q 同时考虑第i行，该行中为1的元素位于q1,q2…列，则：列 i中第中第P 列的元素改为1 把W i中第PS行qt列的元素改为1； (3)重复(2)过程，直到求出Wn (3)重复(2)过程，直到求出Wn 重复(2)过程 (4)根据Wn写出t( (4)根据Wn写出t( R ) 根据Wn写出 2.5.3）（见书上例2.5.3）见书上例2.5.3
7
传递性：若ｘ到ｙ有边，ｙ到ｚ有边，则ｘ到ｚ必有边。
8
二元关系的性质对应于关系图，二元关系的性质对应于关系图，有：（1）自反性：每个顶点都有自回路，）自反性：每个顶点都有自回路，（2）反自反性：每个顶点都没有自回路；）自反性：每个顶点都没有自回路；（ 3）对称性：任二个顶点间或没有边，或有二）对称性：任二个顶点间或没有边，条方向相反的有向边；条方向相反的有向边；（ 4）反对称性：任二个顶点至多只有一条有向）反对称性：也即：或没有边，或只有一条有向边）边；（也即：或没有边，或只有一条有向边）有边，有边，（5）传递性：若ｘ到ｙ有边，ｙ到ｚ有边，）传递性：则ｘ到ｚ必有边。必有边。

离散数学第四章二元关系和函数知识点总结

离散数学第四章二元关系和函数知识点总结集合论部分第四章、二元关系和函数集合的笛卡儿积与二元关系有序对定义由两个客体x 和y，按照一定的顺序组成的二元组称为有序对，记作实例：点的直角坐标(3,4)有序对性质有序性（当x y时）与相等的充分必要条件是= x=u y=v例1 = ，求x, y.解 3y 4 = 2, x+5 = y y = 2, x = 3定义一具有序n (n3) 元组是一具有序对，其中第一具元素是一具有序n-1元组，即= , x n>当n=1时, 形式上能够看成有序 1 元组.实例 n 维向量是有序 n元组.笛卡儿积及其性质定义设A,B为集合，A与B 的笛卡儿积记作A B，即A B ={ | x A y B } 例2 A={1,2,3}, B={a,b,c}A B ={,,,,,,,,}B A ={,,,,,,, ,}A={}, P(A)A={, }性质：别适合交换律A B B A (A B, A, B)别适合结合律 (A B)C A(B C) (A, B)关于并或交运算满脚分配律A(B C)=(A B)(A C)(B C)A=(B A)(C A)A(B C)=(A B)(A C)(B C)A=(B A)(C A)若A或B中有一具为空集，则A B算是空集.A=B=若|A|=m, |B|=n, 则 |A B|=mn证明A(B C)=(A B)(A C)证任取∈A×(B∪C)x∈A∧y∈B∪Cx∈A∧(y∈B∨y∈C)(x∈A∧y∈B)∨(x∈A∧y∈C)∈A×B∨∈A×C∈(A×B)∪(A×C)因此有A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C).例3 (1) 证明A=B C=D A C=B D(2) A C=B D是否推出A=B C=D 为啥解 (1) 任取A C x A y Cx B y D B D(2) 别一定. 反例如下：A={1}，B={2}, C=D=, 则A C=B D 然而A B.二元关系的定义定义设A,B为集合, A×B的任何子集所定义的二元关系叫做从A到B的二元关系, 当A=B时则叫做A上的二元关系.例4 A={0,1}, B={1,2,3}, R1={}, R2=A×B, R3=, R4={}. 这么R1, R2, R3,R4是从A 到B的二元关系, R3和R4并且也是A上的二元关系.计数|A|=n, |A×A|=n2, A×A的子集有个. 因此A上有个别同的二元关系.例如 |A|=3, 则A上有=512个别同的二元关系.设A 为任意集合，是A 上的关系，称为空关系E, I A 分不称为全域关系与恒等关系，定义如下：AE={|x∈A∧y∈A}=A×AAI={|x∈A}A例如, A={1,2}, 则E={,,,}AI={,}A小于等于关系L A, 整除关系D A, 包含关系R定义： L={| x,y∈A∧x≤y}, A R，R为实数集合AD={| x,y∈B∧x整除y},BB Z*, Z*为非0整数集R={| x,y∈A∧x y}, A是集合族.类似的还能够定义大于等于关系, 小于关系, 大于关系, 真包含关系等等.例如A = {1, 2, 3}, B ={a, b}, 则L={,,,,,}AD={,,,,}AA=P(B)={,{a},{b},{a,b}}, 则A上的包含关系是R={,,,,, ,,,}二元关系的表示表示方式：关系的集合表达式、关系矩阵、关系图关系矩阵：若A={a1, a2, …, a m}，B={b1, b2, …, b n}，R是从A到B 的关系，R 的关系矩阵是布尔矩阵M R = [ r ij ] m n, 其中r ij= 1 R.关系图：若A= {x1, x2, …, x m}，R是从A上的关系，R的关系图是G R=, 其中A为结点集，R为边集.假如属于关系R，在图中就有一条从x i到x j 的有向边.注意：A, B为有穷集，关系矩阵适于表示从A到B的关系或者A上的关系，关系图适于表示A上的关系A={1,2,3,4},R={,,,,},R的关系矩阵M和关系图G R如下：R关系的运算基本运算定义：定义域、值域和域dom R = { x | y (R) }ran R = { y | x (R) }fld R = dom R ran R例1 R={,,,}, 则dom R={1, 2, 4}ran R={2, 3, 4}fld R={1, 2, 3, 4}逆与合成R1 = { | R}R°S = | | y (RS) } 例2 R={, , , } S={, , , , }R1={, , , }R°S ={, , }S°R ={, , , }定义 F 在A上的限制F?A = { | xFy x A}A 在F下的像F[A] = ran(F?A)实例R={, , , }R?{1}={,}R[{1}]={2,4}R?=R[{1,2}]={2,3,4}注意：F?A F, F[A] ran F基本运算的性质定理1 设F是任意的关系, 则(1) (F1)1=F(2) dom F1=ran F, ran F1=dom F证 (1) 任取, 由逆的定义有∈(F 1) 1 ∈F 1 ∈F因此有 (F1)1=F(2) 任取x,x∈dom F 1 y(∈F1)y(∈F) x∈ran F因此有dom F1= ran F. 同理可证 ran F1 = dom F.定理2 设F, G, H是任意的关系, 则(1) (F°G)°H=F°(G°H)(2) (F°G)1= G1°F 1证 (1) 任取,(F°G)°H t(∈F°G∧∈H) t (s(∈F∧∈G)∧∈H)t s (∈F∧∈G∧∈H)s (∈F∧t (∈G∧∈H))s (∈F∧∈G°H)∈F°(G°H)因此(F°G)°H = F°(G°H)(2) 任取,∈(F°G)1∈F°Gt (∈F∧(t,x)∈G)t (∈G1∧(t,y)∈F1)∈G1°F1因此(F°G)1 = G1°F1幂运算设R为A上的关系, n为自然数, 则R 的n次幂定义为：(1) R0={ | x∈A }=I A(2) R n+1 = R n°R注意：关于A上的任何关系R1和R2都有R 10 = R20 = IA关于A上的任何关系R 都有R1 = R性质：定理3 设A为n元集, R是A上的关系, 则存在自然数s 和t, 使得R s = R t.证R为A上的关系, 由于|A|=n, A上的别同关系惟独个.当列出R 的各次幂R0, R1, R2, …, , …,必存在自然数s 和t 使得R s=R t.定理4 设R 是A 上的关系, m, n∈N, 则(1) R m°R n=R m+n(2) (R m)n=R mn证用归纳法(1) 关于任意给定的m∈N, 施归纳于n.若n=0, 则有R m°R0=R m°I=R m=R m+0A假设R m°R n=R m+n, 则有R m°R n+1=R m°(R n°R)=(R m°R n)°R=R m+n+1 ,因此对一切m, n∈N有R m°R n=R m+n.(2) 关于任意给定的m∈N, 施归纳于n.若n=0, 则有(R m)0=I A=R0=R m×0假设 (R m)n=R mn, 则有(R m)n+1=(R m)n°R m=(R mn)°R m=R mn+m=R m(n+1) 因此对一切m,n∈N有 (R m)n=R mn.关系的性质自反性反自反性定义设R为A上的关系,(1) 若x(x∈A→R), 则称R在A上是自反的.(2) 若x(x∈A→R), 则称R在A上是反自反的.实例：反关系：A上的全域关系E A, 恒等关系I A小于等于关系L A, 整除关系D A反自反关系：实数集上的小于关系幂集上的真包含关系例1 A={1,2,3}, R1, R2, R3是A上的关系, 其中R＝{,}1R＝{,,,}2R＝{}3R自反,2R反自反,3R既别是自反也别是反自反的1对称性反对称性定义设R为A上的关系,(1) 若x y(x,y∈A∧∈R→∈R), 则称R为A上对称的关系.(2) 若x y(x,y∈A∧∈R∧∈R→x=y), 则称R为A上的反对称关系.实例：对称关系：A上的全域关系E A, 恒等关系I A和空关系反对称关系：恒等关系I A，空关系是A上的反对称关系.例2 设A＝{1,2,3}, R1, R2, R3和R4基本上A上的关系,其中R＝{,}，R2＝{,,}1R＝{,}，R4＝{,,}3R对称、反对称.1R对称，别反对称.2R反对称，别对称.3R别对称、也别反对称.4传递性定义设R为A上的关系, 若x y z(x,y,z∈A∧∈R∧∈R→∈R), 则称R是A上的传递关系.实例：A上的全域关系E,恒等关系I A和空关系A小于等于关系, 小于关系，整除关系，包含关系，真包含关系例3 设A＝{1,2,3}, R1, R2, R3是A上的关系, 其中R＝{,}1R＝{,}2R＝{}3R和R3 是A上的传递关系1R别是A上的传递关系2关系性质的充要条件设R为A上的关系, 则(1) R在A上自反当且仅当I A R(2) R在A上反自反当且仅当R∩I A=(3) R在A上对称当且仅当R=R 1(4) R在A上反对称当且仅当R∩R1I A(5) R在A上传递当且仅当R R R证明模式证明R在A上自反任取x,第11页/共11页。

离散数学第4章-二元关系

4.6 等价关系与划分
• 三性质 • 定理4.13 设R是A上的等价关系，则（1）对任一a∈A，有a∈[a]；（2）对a, b∈A，如果aRb，则[a]=[b]; （3）对a, b∈A，如果(a, b)∉R，则[a]∩[b]=∅; （4）∪a∈A[a]=A。
4.6 等价关系与划分
• 定理4.14 集合A上的任一划分可以确定A上的一个等价关系R。 • 定理4.15 设R1和R2是A上的等价关系， R1=R2⇔ A/R1=A/R2 。 • 定理4.16 设R1和R2是A上的等价关系，则 R1∩R2是A上的等价关系。
4 .3 关系的运算
• 一逆运算 • 定义4.7（逆关系）设R是从A到B的二元关系，则从B到A的二元关系记为R-1，定义为R-1 ={(b,a)|(a,b)∈R}，称为R的逆关系。 • 定理2.1 （1）(R-1)-1=R; （2）(R1∪R2)-1= R1-1∪ R2-1; （3）(R1∩R2)-1= R1-1 ∩R2-1; （4） (A×B)-1= B×A；
4 .5 关系的闭包
•
• (1) (2) (3) • (1) (2) (3)
二基本性质
定理4.5 设R是A上的二元关系，则 R是自反的 ⇔ r( R )=R； R是对称的 ⇔ s( R )=R； R是传递的 ⇔ t( R )=R；定理4.6 设R1和R2是A上的二元关系，若R1⊆R2则 r(R1)⊆ r(R2)； s(R1)⊆ s(R2)； t(R1)⊆ t(R2)。
第四章关系
4.1 二元关系 4.2 关系的性质 4 .3 关系的运算 4 .5 关系的闭包 4.6 等价关系与划分
4.1 二元关系
• 一定义4.1（二元关系）
设A和B是任意两个集合，A×B的子集R称为从A到 B的二元关系。当A=B时，称R为A上的二元关系。若 (a, b)∈R，则称a与b有关系R，记为aRb。 (a, b)∉R：a与b没有关系R R=∅：空关系 R=A×B：全关系

离散数学二元关系习题讲解

极大元
极小元
作业
2.设集合X={x1,x2,x3,x4,x5}上的偏序关系如下图所示最最极极上下，求X的最大元、最小元、极大元、极小元。求子集上下大小大小确确集X1={x2,x3,x4}，X合 ={x ,x ,x } ， X ={x ,x ,x } 的上界界 2 3 4 5 3 1 3 5 元元元元界界界、下界、上确界、下确界、最大元、最小元、极大元和极小元。 X1 无 x4 x2， x4 x1 x x1 x4
3
偏序关系
1.设集合A={a,b,c,d,e,f,g,h}，对应的哈斯图见下图令 B1={a,b}，B2={c,d,e}。求出B1，B2的最大元、最小元、极大元、极小元、上界、下界、上确界、下确界。 h
f d
c a
4
g e
集合 B1
最大元无
最小元无
b
B2
无
c
上下下上界确确界界界 c,d,e,f a,b a,b ,g,h 无 c 无 a, b, h c d,e c h c
x1
x3 x3 x1 x1
4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
X2
x2 x3
x3 x1 x1
无 x5 无
X3
x5 X
x4， x3，无 x3 x5 x1 x x5 x1 x1
5
无 x5
x4
5
x4， x5
二元关系
二元关系基本概念(重点) 关系的运算关系的性质(重点) 关系的闭包运算等价关系与偏序关系(难点)
关系的性质
例5 判断下述关系所具备的性质。
(1)集合A上的恒等关系，全域关系。 (2)R1={<x,y>｜x≤y， x,y∈N}注：将≤改为＜? (3)R2={<x,y>｜x|y，x,y∈N-{0}} (4)R3={<S1,S2>｜S1S2，S1,S2∈P(S)}其中P(S)是 S的幂集。注：若改为? (5)R4={<x,y>｜x+y=偶数，x,y∈N}

离散数学(第13讲)二元关系

4 6 3
例:A＝{1,2,3,4,5,6}，D是整 :A＝{1,2,3,4,5,6}，除关系，哈斯图为：除关系，哈斯图为
则若 B ＝{2,3,4,5} 3,4,5为的极大元。 3,4,5为B的极大元。 2,3,5为的极小元。 2,3,5为B的极小元。
5
2 1
12
A={1,2,3,4,5,6,8,12,15,24,30,60,120}，例 A={1,2,3,4,5,6,8,12,15,24,30,60,120}， R)是一个偏序集是一个偏序集。 R是整除关系。则(A, R)是一个偏序集。是整除关系。哈斯图为：哈斯图为： ={2,4,6,12}， (1). B1={2,4,6,12}，则12是B1最大元，也是极大元； 12是最大元，也是极大元；最小元，也是极小元。 2是B1最小元，也是极小元。 (2).B ={1,2,3,4,6,15}， (2).B2={1,2,3,4,6,15}，最大元不存在，极大元是4 最大元不存在，极大元是4、6、15。 15。最小元，也是极小元； 1是B2最小元，也是极小元；
5
画出下列偏序集的哈斯图。例1 画出下列偏序集的哈斯图。 ({1,2,3,4,5,6})，其中D 为整除关系。 (1). ({1,2,3,4,5,6})，DA)，其中DA为整除关系。 (1)：显然：解 (1)：显然： DA={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>,<6,6>,<1,2>, <1,3>,<1,4>,<1,5>,<1,6>,<2,4>,<2,6>,<3,6>} 先画出D 的关系图，然后按规则简化：先画出DA 的关系图，然后按规则简化：

离散数学2二元关系

(4)笛卡儿积运算对并和交运算满足分配律，即
A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C) (B∪C)×A=(B×A)∪(C×A) A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C) (B∩C)×A=(B×A)∩(C×A)
(5)AC ∧ BD A×B C×D
A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)的证明
任取 <x,y> <x,y>∈A×(B∪C) x∈A ∧ y∈B∪C x∈A ∧ (y∈B∨y∈C) (x∈A∧y∈B) ∨ (x∈A∧y∈C) <x,y>∈A×B ∨ <x,y>∈A×C <x,y>∈(A×B)∪(A×C) 所以 A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)
关于AC∧BD A×BC×D的讨论
该性质的逆命题不成立，可分以下情况讨论。（1）当A=B=时，显然有AC 和 BD 成立。（2）当A≠且B≠时，也有AC和BD成立，证明如下：
任取x∈A，由于B≠,必存在y∈B,因此有 x∈A∧y∈B
<x,y>∈A×B <x,y>∈C×D x∈C∧y∈D x∈C 从而证明了 AC。同理可证 BD。
关于AC∧BD A×BC×D的讨论
该性质的逆命题不成立，可分以下情况讨论。（3）当A＝而B≠时，有AC成立，但不一定有BD成立。
反例：令A＝,B＝{1},C＝{3},D＝{4}。（4）当A≠而B＝时，有BD成立，但不一定有AC成立。
反例略。
例7.2
例7.2 设A={1,2},求P(A)×A。
解答 P(A)×A ＝ {,{1},{2},{1,2}}×{1,2} ＝ {<,1>,<,2>, <{1},1>,<{1},2>, <{2},1>,<{2},2>, <{1,2},1>,<{1,2},2>}

《离散数学》中二元关系传递性的判定

《离散数学》中二元关系传递性的判定1. 引言1.1 介绍二元关系二元关系是离散数学中一个非常重要的概念。

在离散数学的研究中，我们常常需要研究元素之间的各种关系，而二元关系就是其中一种最基本的形式。

简而言之，二元关系就是一个元素对的集合，其中每个对代表了两个元素之间的关系。

举个简单的例子来说明二元关系。

假设我们有一个集合A={1,2,3,4}，我们可以定义一个二元关系R为{(1,2),(2,3),(3,4)}。

在这个关系中，元素1和2之间存在关系，元素2和3之间也存在关系，但是元素1和3之间并没有直接的关系。

二元关系可以通过图形的形式来表示，通常我们用有向图或者无向图来表示不同类型的二元关系。

有向图中，每个节点代表集合中的一个元素，而每条边代表元素之间的关系。

无向图则更多地表示元素之间的对称关系。

通过研究二元关系，我们可以更深入地探讨元素之间的关系性质，为解决各种离散数学中的问题奠定基础。

在接下来的我们将深入研究二元关系的性质以及传递性的重要性。

1.2 引入传递性概念传递性是离散数学中一个重要的性质，它指的是如果集合中的元素之间存在某种关系，那么这种关系是否能够由某种规律或者条件连接起来，使得如果集合中的某两个元素之间存在这种关系，那么它们之间也存在这种关系。

传递性是二元关系中的一个基本概念，它能够帮助我们理解和分析集合中元素之间的关系，从而推断出更多的信息。

在离散数学中，传递性的概念是非常重要的。

通过传递性，我们可以将复杂的关系简化为更加清晰和直观的形式，从而更好地理解集合中元素之间的联系。

传递性也为我们解决问题提供了一种有效的方法，例如在图论、逻辑推理和关系代数等领域中，传递性都扮演着重要的角色。

了解二元关系的传递性及其判定方法对于深入学习离散数学是非常有帮助的。

在接下来的正文中，我们将详细介绍二元关系的定义、性质和传递性的概念，以及如何判定二元关系是否具有传递性，希望能够带给读者更多的启发和认识。

《离散数学》中二元关系传递性的判定

《离散数学》中二元关系传递性的判定【摘要】《离散数学》中二元关系的传递性是重要的概念之一，本文将讨论传递性的定义、判定方法以及在离散数学中的具体应用。

文章首先介绍了传递性的概念，即对于集合A上的关系R，若aRb且bRc成立，则必有aRc成立。

然后详细讲解了传递性的判定方法，包括直接证明和间接证明两种方法。

文章探讨了离散数学中二元关系的传递性，通过实际例子解释了传递性在离散数学中的应用。

传递性在离散数学中具有重要意义，能够帮助我们理解和分析各种关系的性质。

通过深入学习传递性的概念和方法，我们能够更好地解决离散数学中的问题，提高数学建模和推理的能力。

【关键词】离散数学、二元关系、传递性、判定、定义、方法、结论1. 引言1.1 引言离散数学中的二元关系传递性是数学中一个重要的概念，它在许多领域都有着广泛的应用和意义。

在《离散数学》中，我们需要通过一定的方法来判定一个二元关系是否满足传递性。

传递性是二元关系的三个基本性质之一，它是指如果关系中的两对元素(a,b)和(b,c)都属于这个关系，那么元素(a,c)也必须属于这个关系。

换句话说，如果关系中存在一条从a到b的路径，且存在一条从b 到c的路径，那么一定存在一条从a到c的路径。

这个性质在描述事物之间的联系和转移关系时非常有用。

在离散数学中，我们可以通过一些方法来判定一个二元关系是否具有传递性。

这些方法包括使用定义，构造反例，或者通过数学推导等方式。

在实际问题中，我们可以通过观察和分析关系中的元素，找出其中的规律和特点，来判断这个关系是否满足传递性。

通过对离散数学中二元关系传递性的研究和探讨，我们可以更深入地理解关系和映射在数学中的重要性和应用。

在学习和应用中，我们需要灵活运用这些知识，解决实际问题，提高数学思维和分析能力。

部分就到这里，下面将介绍。

2. 正文2.1 传递性定义传递性是离散数学中一个非常重要的概念，在研究二元关系时经常会用到。

传递性的定义是指对于一个关系R，如果对于集合A中的任意元素a、b、c，如果(a, b)属于R且(b, c)属于R，则(a, c)也属于R。

《离散数学》二元关系

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第 4章二元关系
1
历史人物
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CONTENTS
4.1
二元关系及其表示
4.2
关系的运算
4.3
关系的性质
4.4
关系的闭包
4.5
关系的应用
4.6
作业
4
历史人物
第 4章二元关系
5
1868-1942，德国数学家，
20
定义4.5 设A,B为两个非空集合，称A×B的任何子集R为从A到B的二元关系，简称
关系(Relation)，记作R：A→B；
如A＝B，则称R为A上的二元关系，记作R：A→A。
若<x,y>∈R，则记为xRy，读作“x对y有关系R”；
若<x,y>R，则记为xRy，读作“x对y没有关系R”。
解题小贴士—给定集合是否为从A到B的一个关系的判断方法
所以
（1）S1不是A×B的子集，从而S1不是A到B上的一个关系。
（2）S2是A×B的子集，从而S2是A到B上的一个二元关系。
第 4章二元关系
4.1.2 关系的定义
例4.4 设A = {1,2}，试判断下列集合是否为A上的关系。
（1）T1＝ Φ ；
是，空关系
（2）T2＝A×A；
是，全关系
（3）T3＝{<1，1>，<2，2>}；
（2）序偶中的两个元素具有确定的次序。即<a,b>≠<b,a>，但{a,b}={b,a}。
定义4.2 给定序偶<a,b>和<c,d>，

《离散数学》中二元关系传递性的判定

《离散数学》中二元关系传递性的判定张振荣（天津农学院基础科学学院天津300384）摘要《离散数学》中二元关系性质中传递性的判定是教学难点，本文列出传递性的真值表，利用真值表判断传递性直观有效，只有一种情形不满足传递性，其余情形都满足传递性。

关键词《离散数学》二元关系中图分类号：G642文献标识码：A0引言在《离散数学中》，二元关系的性质包括自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性。

其中前四个性质可以由定义和关系图直观地表达，但是否满足传递性仅从定义很难观察出来。

二元关系传递性的定义如下：（1）如果从定义来看，只能发现一种情形是满足传递性的，即如，，是传递的，但是，怎么用定义来判断是否满足传递性呢？1利用真值表判断传递性我们不妨用真值表来分析这个定义，列出真值表如下：出来的。

，为真，为真，为真，则满足传递性。

从真值表判断，第二种情形真值为假，即不满足传递性。

比如，没有出现有序对，则为真，为真，为假，由真值表知，这是不满足传递性的。

第三种情形和第五种情形看似不传递，但满足传递性的定义。

如，为真，为假，为真，由真值表知，这是满足传递性的。

再如，为假，为真，为真，满足定义，是传递的。

第四种、第六种、第七种情形都是包含一个有序对的，满足传递性，以第四种情形为例，，为真，为假，为假，最后真值为真，故是传递的。

第八种情形是空关系，虽然没有有序对，但是真值为真，故满足传递性。

定义理解清楚后，是不是所有的二元关系都很容易判断了呢？在二元关系中，包含很多组有序对，如果有一组有序对不满足传递的定义，但其他组都满足传递的定义，那这个二元关系仍然是不传递的，比如分三组有序对考虑：（1）为真，为真，为真，则满足传递性；（2）为真，为真，但为假，故不传递；（3）为真，为真，但为假，故不传递；因为（2）（3）不传递，故不满足传递性。

如果定义中的有两个或三个相等，那么它仍然符合传递性的定义。

如，将有序对分为三组考虑：（1）有序对，（2）有序对，（3）有序对，三组都满足传递性的定义，故是传递的。

离散数学中的二元关系

离散数学中的二元关系1 什么是二元关系二元关系是离散数学里面一个重要的概念，指的是两个可以分别属于两个集合A和B的元素之间的关系。

它是一种特殊的集合论概念，意味着在某一个函数f上，两个元素之间存在着一种单一的关系，这种关系被称之为二元关系。

这种二元关系可以用写成集合的形式也可以是表的形式。

2 二元关系表的一般形式一般的二元关系表的形式为：$f=\left\{\left(x,y\right)\inA\times B \mid P(x,y)\right\}$其中，A和B都是集合，P(x,y)是关于它们的关系式，学习中会有各种关系式，比如等于、不等于、大于及小于等。

3 二元关系的类型由于不同的二元关系关系式不同，所以，二元关系也可以分为多种类型。

常见的有：（1）等价关系：表示两个可以互换的元素之间的关系，一般以“=”表示，也可以一一对应；（2）全序关系：表示两个元素之间的一种“前大于后”的关系，一般以“>”或“<”表示，可以用来描述一种有序的类型；（3）传递关系：这种关系意味着“当关系式成立时，如果保持原有的条件不变，则关系式仍然成立”，这种关系一般以“++”表示；（4）偏序关系：和全序关系类似，也是一种前大于后的一种关系，但不代表完全的大小，只是一种大体的参照，一般以“>+”及“<+”表示；（5）子集关系：子集关系是一个集合是某个集合的子集，一般以“⊆”表示；（6）关联关系：此关系也称为满足关系，是指满足一定的关系式，两个或多个元素有直接或间接的关系，一般以“→”表示。

4 二元关系的应用二元关系是离散数学中很重要的概念，与它特殊的表达方式有着密切的联系。

在数学运算中，二元关系常常被用来表示集合之间的关系、排列组合以及概率等，还应用于计算机科学中的图论。

此外，在社会学、心理学等学科中，二元关系也被广泛应用，它有助于理解彼此之间的关系、区分概念及表达媒体变化等。

离散数学之3—二元关系

R10={(1,1)}
既对称, 也反对称。 R9={(1,2), (2,1), (1,4)} 既不是对称, 也不是反对称。
5。如果(x, y) R (y, z) R (x, z) R, 就说 R是A上的一个传递关系。例：设A={a, b, c}， S1 ={ (a, c), (a, b), (b, b), (c, b), (c, c) }, S2 ={ (a, a), (b, a), (b, c), (c, b), (c, c) }, S3 ={ (a, c), (a, b) }, 则 S1, S3 都是传递的, 而 S2 不是传递的。
(a, c) (R T) (S T)。
⑵ (a, c) (R S) T
( b)[ bA (a, b) R S (b, c) T ] ( b)[ bA ( (a, b) R (a, b)S ) (b, c)T ] ( b)[ bA (a, b) R ( b, c)T ) ] ( b)[ bA
R = { (a, a), (a, c), (b, a), (b, b), (c, b), (c, c) }, S = { (a, a), (a, c), (b, a), (b, c), (c, b), (c, c) }, 则 R S ={ (a, a), (a, c), (b, a), (b, c), (b, b), (c, b), (c, c) },
那么，详细写出即是 R={(2, 4), (5, 25), (2, 1), (5, 4)}。
例 2：设A={2，3，4，5，6，8}，定义A到自身的一个
二元关系为 MOD3={(a, b)a, bA (a b(mod 3))}，
那么，MOD3={(2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (8, 8),

02-第4讲：二元关系

表示方法
1 集合表示法（前已使用） 2 关系矩阵法（从有穷集A到有穷集B的关系） 3 关系图（有穷集A上的关系）源自基本概念定义4.4
设两个有穷集A={x1, x2, …, xm}，
B={y1, y2, …, yn}，R A×B。
则对应于二元关系R有一个关系矩阵:
MR=(rij)m×n，其中
rij
离散数学罗元勋博士
厦门大学数学科学学院
第4讲二元关系
基本概念
定义4.1
二元关系如果一个集合为空集或者它的每个元素都是有序对，则称这个集合是一个二元关系，一般记作R。二元关系也可简称关系。
对于二元关系R，如果<x,y>∈R，则记作xRy；
如果<x,y>R，则记作xRy。
基本概念
基本概念
定义4.3
对任何集合A： EA＝{<x,y>｜x∈A∧y∈A}＝A×A， IA＝{<x,x>｜x∈A}。
例子
例4.1 设A＝{a,b}，请写出P(A)上的包含关系R 。解：P(A)＝{,{a},{b},A}。 R ＝{<,>,<,{a}>,<,{b}>, <,A>,<{a},{a}>,<{a},A>, <{b},{b}>,<{b},A>,<A,A>}。
定义4.2
设A,B为集合，A×B的任何子集所定义的二元关系称作从A到B的二元关系。特别当A＝B时，则叫做A上的二元关系。
基本性质
思考
有穷集A上有多少个不同的二元关系?
若|A|=n
则|A×A|=n2 |P(A×A)|=2n2

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