2020双基测试卷数学(理科)+解析

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【全国百强校】云南昆明一中2020届高中新课标高三第二次双基检测数学(理)试题含答案

昆明第一中学2020届高中新课标高三第二次双基检测理科数学注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上的指定的位置用2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2670A x x x =--<，{}210B x x =+>，则A B ⋃=（）A.(),1-∞-B.11,2⎛⎫--⎪⎝⎭C.()1,-+∞D.()7,+∞2.设1iiz -=，则z 的虚部是（） A.1B.1-C.iD.i -3.已知向量1,22a ⎛= ⎝⎭r ，2b =r ，且1a b ⋅=r r ，则a r 与b r 的夹角为（）A.30︒B.45︒C.60︒D.90︒4.分子间作用力只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用.今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为q ，这两个相距R 的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U .其计算式子为kc 为静电常量，1x ，2x 分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移已知12121x x R x x R R -⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭，111x R x R R ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，221x R x R R ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，且()1211x x x -+≈-+，则U 的近似值为（）A.2123kcq x x RB.2123kcq x x R -5.在第二次高考模拟市统测结束后，某校高三年级-一个班级为预估本班学生的高考成绩水平，登记了全班同学的卷面成绩.经查询得知班上所有同学的学业水平考试成绩22分加分均已取得，则加学业水平考试加分22分前后相比，不变的数字特征是（） A.平均数B.方差C.中位数D.众数6.已知实数ln3a =，2e ln 3b =，4log 9c =，则（）A.b a c <<B.b c a <<C.c a b <<D.a b c <<7.下列命题中，正确的是（）A.直线1l ，2l 与平面α所成的角相等，则12l l ∥B.α，β，γ为三个平面，若αβ⊥，γβ⊥，则αγ∥C.1l ，2l ，3l 为空间中的三条直线，若13l l ⊥，23l l ⊥，则12l l ∥D.1l ，2l 为两条直线，α，β为两个平面，若1l β⊥，2l β⊥，2l α⊥，则2l α⊥8.双曲线1C ：22122x y -=与抛物线2C ：22y px =（0p >）的准线交于A ，B 两点，若AB =则p =（） A.2B.4C.6D.89.设函数()33sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则（） A.()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线4x π=对称 B.()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线2x π=对称 C.()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线2x π=对称 D.()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线4x π=对称 10.若()0,θπ∈，1tan 6tan θθ+=，则sin cos θθ+=（）B.C. D.2311.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点为1F ，2F ，P 是双曲线右支上的一点，满足212PF F F =，直线1PF 与圆222x y a +=相切，则双曲线的离心率为（）C.5312.已知定义[)1,+∞上的函数()348,1221,222x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩则下列选项不正确的是（）A.函数()f x 的值域为[]0,4B.关于x 的方程()12nf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（n *∈N ）有24n +个不相等的实数根C.当12,2n n x -⎡⎤∈⎣⎦（n *∈N ）时，函数()f x 的图象与x 轴围成封闭图形的面积为2 D.存在[]01,8x ∈，使得不等式()006x f x ≥能成立二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.将一段长为3米木棒锯成两段，则这两段木棒长度都不少于1米的概率为______.14.已知函数()21,0,0x x f x ax b x ->⎧=⎨+<⎩为奇函数，则a b +=______.15.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2b =，c =，sin 2B B +=，则角C =______.16.已知四棱锥S ABCD -的高为1，底面是边长为2的正方形，顶点在底面的投影是底面的中心，E 是BC 的中点，动点P 在棱锥表面上运动，并且总保持PE AC ⊥，则动点P 的轨迹的周长为______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足112a =，12n n n a S S -=-⋅（2n ≥）. （1）证明：1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）求1221111n S S S ++++L . 18.（本小题满分12分）甲、乙两个排球队在采用5局3胜制排球决赛中相遇，已知每局比赛中甲获胜的概率是35.（1）求比赛进行了3局就结束的概率；（2）若第1局甲胜，两队又继续进行了X 局结束比赛，求X 的分布列和数学期望 19.（本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，90ABC ∠=︒，点D 是棱AC 的中点，AC BD ⊥，点E 是棱AP 上一点，且ADE APC ∠=∠.（1）证明：AP ⊥平面BDE ；（2）若1BD =，3PA =，点F 在棱PB 上，且23FB PB =，求直线DF 与平面BDE 所成角的正弦值 20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：10x my -+=（0m ≠）交椭圆C ：22143x y +=于A ，B 两点，且线段AB 的中点为P ，直线OP 与椭圆C 交于M ，N 两点（1）求直线l 与直线OP 斜率的乘积；（2）若2AP PM PN =，求直线l 的方程. 21.（本小题满分12分）已知函数()()()2e 1ln 112x f x x a x a =-+-+（0a >）的导函数为()g x .（1）求()g x 的最小值；（2）若e a =，实数1x ，2x 满足121x x <<且()()121f x f x +=，证明：122x x +<.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为132x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρθ=. （1）写出圆C 和直线l 的普通方程；（2）P 为直线l 上一点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 点的直角坐标. 23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）若a ，b ，()0,c ∈+∞，且1a b c ++=（1）证明：13ab bc ac ++≤；（2）求()222149a b c +++的最小值.2020届昆一中高三联考卷第二期理科数学参考答案及评分标准一、选择题1.解析：因为{}17A x x =-<<，12B x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，所以{}1A B x x =>-U ，选C.2.解析：因为1i z =--，所以1i z =-+，选A.3.解析：由已知1a =r ，得1cos ,2a b a b a b ⋅==r rr r r r ，所以a r 与b r 的夹角为60︒，选C. 4.解析：221212121211111111111U kcq kcq x x x x R R x x R x R x R R R R R R R ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪=+--=+-- ⎪-+-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎝⎭++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222121211221111x x x x x x x x kcq R R R R R R R ⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 21232kcq x x R=-. 选D.5.解析：一组数据中每个数字都增加相同的数字之后，不发生变化的是方差，平均数、中位数、众数都发生了改变，选B.6.解析：因为2e 33<，所以2e ln ln 33b a =<=，又因为e 2>，42log 9log 3c ==，所以2ln 3log 3<，a c <，所以b a c <<，选A.7.解析：由1l β⊥，2l β⊥得12l l ∥，由因为2l α⊥，所以1l α⊥，选D.8.解析：由已知，点A的坐标为,2p ⎛- ⎝，代入双曲线1C 得：222122p ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=，所以4p =，选B. 9.解析：()222f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线2x π=对称，选C.10.解析：因为221sin cos sin cos tan 6tan cos sin sin cos θθθθθθθθθθ++=+==，所以1sin cos 6θθ=，所以()24sin cos 12sin cos 3θθθθ+=+=，而1tan 60tan θθ+=>，且()0,θπ∈，所以0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin cos 3θθ+=，选A. 11.解析：由双曲线性质知，1F M b =，即14PF b =，22PF c =，由双曲线的定义可知，122PF PF a -=，即422b c a -=，离心率为53e =，选C.12.解析：先画出()388,123168,22x x f x x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩的图象，然后向右每次将横坐标变为原来的2倍时，纵坐标变为原来的12，从图象可知，A ，C 是对的，对于B 选项，当1n =时，直线12y =与()f x 有7个交点，故B 不成立，对于D 选项，当04x =，()006x f x =满足题意，选B. 二、填空题13.解析：只要在木棒的两个三等分点之间锯断就能符合要求，所求概率为13.14.解析：设0x <，则0x ->，所以()()21f x x f x -=--=-，所以()21f x x =+，所以()21,021,0x x f x x x ->⎧=⎨+<⎩，则3a b +=.15.解析：由sin 2B B +=可得2sin 23B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以sin 13B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以6B π=，由正弦定理得sin sin c B C b ==，又因为c b >，所以C B >，所以3C π=或23π. 16.解析：取SC ，CD 的中点为G ，F ，由题意知，AC ⊥平面GEF ，动点P 的轨迹为GEF ∆，则GE GF ==EF =P三、解答题（一）必考题17.解析：（1）因为12n n n a S S -=-⋅（2n ≥），所以112n n n n S S S S ---=-⋅，可得11112n n S S --=，所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以11112S a ==为首项，以2d =为公差的等差数列所以()()11112212n n d n n S S =+-=+-= （2）()()1321111212322121321n n n S S S ++++=⨯+⨯+++=++++⎡⎤⎣⎦L L L ()()()211212212n n n +++=⨯=+18.解析：（1）由题意知，每局比赛中乙胜的概率是25，比赛进行了3局就结束包括甲3:0胜和乙3:0胜两种情况，所以所求概率为333275525P ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）由题意知X 的可能取值为2，3，4，239(2)525P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()31232323684435555125125125P X C ⎛⎫==⨯⨯⨯+=+=⎪⎝⎭， ()22113332332210872180364555555625625625125P X C C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以，X 的分布列为所以()9443636623425125125125E X =⨯+⨯+⨯=. 19.证明：（1）因为PC ⊥平面ABC ，且BD ⊂平面ABC ，所以PC BD ⊥，又AC BD ⊥，所以BD ⊥平面PAC ，故AP BD ⊥，因为ADE APC ∠=∠，PAC DAE ∠=∠，所以PCA ∆与DEA ∆相似，因为PC ⊥平面ABC ，所以PC CA ⊥，所以90DEA PCA ∠=∠=︒，所以AP DE ⊥，AP ⊥平面BDE ；（2）解：因为1BD =，3PA =，则1DC DA ==，PC =过点D 作PC 的平行线交PA 于点G ，因为PC ⊥平面ABC ，所以DG ⊥平面ABC ，又因为BD AC ⊥，故可以DB ，DA ，DG 分别作为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则部分点坐标为：()0,0,0D ，()1,0,0B ，()0,1,0A，(0,P -，则()1,0,0DB =u u u r，(0,DP =-u u u r，(0,AP =-u u u r ，PC AC ⊥ 因为点F 在棱PB 上，且23FB PB =，则23FB PB =u u u r u u u r ，则()23DB DF DB DP -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，即有2133DF DP DB =+u u u r u u u r u u u r ，即12,33DF ⎛=- ⎝⎭u u u r ，由（1）知AP ⊥平面BDE ，设直线DF 与平面BDE 所成角为θ，则14sin cos ,15DF AP DF AP DF AP θ⋅===⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，即直线DF 与平面BDE 所成角的正弦值为1415.20.解：（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得()()2222121211043x x y y -+-=，即()()()()121212121143x x x x y y y y -+=--+，所以()()12012034y y x x x y -=--，所以()()12012034AB OP y y y k k x x x -=⋅=--. （2）直线l 的方程为1x my =-，与椭圆C 联立得221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()2234690m y my +--=，所以 122122634934m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，12023234y y m y m +==+，所以2243,3434m P m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，()()()222222222169916343434m m OP m m m +=+=+++()2212134m AB m +==+，所以()()2222223611234m AP AB m +⎛⎫== ⎪⎝⎭+ 过OP 的直线方程为：34y mx =-，联立2214334x y y mx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得221634x m =+ 而()()22222224916169162434163434m m MN OM m m m +⎛⎫==+⋅= ⎪+++⎝⎭，因为()()()2222214AP PM PN OM OP ON OP OM OP MN OP ==-+=-=-，所以()()()()222222222361491619164343434m m m m m m +++=⋅-+++，所以()22121916m m +=+，所以243m m =⇒= 所以直线l的方程为1x =-，即330x ±+=. 21.证明：（1）()()1ln 1x g x f x e x a a '==⋅-+-，则()1e 1x g x a '=⋅-，当ln x a <时，()0g x '<，则()g x 在(),ln a -∞上单调递减，当ln x a >时，()0g x '>，则()g x 在()ln ,a +∞上单调递增，则()()ln min 1ln e ln ln 10a g x g a a a a==⋅-+-=，所以()0g x ≥. 证明：（2）当e a =时，()211e e 2x f x x =⋅-⋅，由（1）可知()0g x ≥，则()f x 在(),-∞+∞内单调递增，()112f =，构造()()()()2222211111e 21e e 2e 22e 2e 2e e x x x x F x f x f x x x x x -⎛⎫=+--=⋅-⋅+⋅-⋅-=⋅+-+- ⎪⎝⎭，令()()21e e 22e e x x G x F x x ⎛⎫'==⋅--+ ⎪⎝⎭，则()21e e 220e e x x G x ⎛⎫'=⋅+-≥= ⎪⎝⎭，故函数()G x 在(),-∞+∞内单调递增，又()10G =，故对任意1x >，都有()()0G x F x '=>，即()F x 在[)1,+∞内单调递增，又()()12110F f =-=，所以对任意1x >，都有()0F x >，取2x x =有()()()222210F x f x f x =+-->，即()()2221f x f x ->-，即()()212f x f x ->，因为()f x 在(),-∞+∞内单调递增，所以212x x ->，即122x x +<.（二）选考题：第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题记分.22.解：（1）直线l 的直角坐标方程为：0x -+=圆C 的直角坐标方程为：(223x y +=（2）设,3212P t t +⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，因为圆心)C所以PC ==当0t =时PC 的最小值为()0,3P .23.解：（1）因为222a b ab +≥，222b c bc +≥，222a c ac +≥，所以222ab bc ac a b c ++≤++，又因为()21a b c ++=，所以2222221a b c ab bc ac +++++=，所以13ab bc ac ++≤ 当且仅当13a b c ===时取等号. （2）因为()111123123a b c a b b ++=⋅++⋅+⋅- 所以()111123223a b b ⋅++⋅+⋅= 所以()()22211111122311492349a b b a b c ⎛⎫⎡⎤⋅++⋅+⋅≤+++++ ⎪⎣⎦⎝⎭ 所以()22214414949a b c +++≥，当且仅当2349a =，1849b =，849c =时取等号 ()222149a b c +++的最小值为14449.。

2020届河南省普通高中高考质量测评(二)数学(理)试题(解析版)

2020届河南省普通高中高考质量测评（二）数学（理）试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}2|log 1A x x =<，{}2|0B x x x =->，则A B I =（）A ．{|12x x <<}B ．{|2x x <}C ．{|12x x ≤≤}D ．{|14x x ≤<}【答案】A【解析】求出不等式2log 1x <和20x x ->的解，然后根据集合的交集运算，即可得到本题答案. 【详解】由2log 1x <，得02x <<，故{|02}A x x =<<，由20x x ->，得1x >或0x <，故{|1B x x =>或0}x <，所以，{|12}A B x x =<<I . 故选：A 【点睛】本题主要考查集合的交集运算，其中涉及对数不等式和一元二次不等式的求解. 2．已知复数z 满足21iz i -=+，则z =（） A ．132i+ B ．132i - C ．32i +D ．32i- 【答案】B【解析】利用复数的除法运算，即可得答案. 【详解】 ∵2(2)(1)131(1)(1)2i i i iz i i i ----===++-. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查基本运算求解能力，属于基础题.3．由我国引领的5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值.如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G 经济产出所做的预测.结合上图，下列说法错误的是（）A ．5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B ．设备制造商的经济产前期增长较快，后期放缓C ．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势D ．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位【答案】D【解析】对A 选项，可直观感知每年的产出是逐渐增高；对B 选项，2020到2023年设备制造商的经济产前期增长较快，后几年放缓；对C 选项，2028到2030年第二个小矩形的高与第一个小矩形的高度差明显逐年加大；对D 选项，2029和2030年已被信息服务超出．【详解】对A 选项，每一年小矩形高是逐渐增高的，可直观发现每年产值是逐渐增高，故A 正确；对B 选项，2020到2023年设备制造商的经济产前期增长较快，后几年放缓，故B 正确；对C 选项，2028到2030年第二个小矩形的高与第一个小矩形的高度差明显逐年加大，故C 正确；对D 选项，2029和2030年已被信息服务超出，故D 错误．故选D ．【点睛】本题主要考查数学阅读理解能力及从图中提取信息的能力，属基础题． 4．411(12)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（） A ．10 B ．24C ．32D ．56【答案】D【解析】先将式子411(12)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭化成4411(12)(12)x x x⋅++⋅+，再分别求两项各自的2x 的系数，再相加，即可得答案.【详解】 ∵444111(12)1(12)(12)x x x x x⎛⎫++=⋅++⋅+ ⎪⎝⎭， ∴4(12)x +展开式中含2x 的项为22241(2)24C x x ⋅=，41(12)x x ⋅+展开式中含2x 的项33241(2)32C x x x⋅=，故2x 的系数为243256+=. 故选：D. 【点睛】本题考查二项展开式中指定项的系，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.5．已知函数()x f x ae x b =++，若函数()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为23y x =+，则ab 的值为（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】对函数求导得(0)2f '=，求得a 的值，再根据切点既在切线上又在曲线上，可求得b 的值，即可得答案. 【详解】∵()1x f x ae '=+，∴(0)12f a '=+=，解得1,(0)13a f a b b ==+=+=，∴2b =， ∴2ab =. 故选：B. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意切点既在切线上又在曲线上的应用. 6．函数2sin ()1x xf x x +=+在[,]-ππ的图象大致为（） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据函数为奇函数及()0f π>，再结合排除法，即可得答案. 【详解】∵函数的定义域为R ，关于原点对称，且2sin()()()()()1x x f x f x x -+--==--+，∴()f x 是奇函数，故排除A ；22sin ()011f ππππππ+==>++，排除B ，C.故选：D. 【点睛】本题考查根据函数的解析式选择函数的图象，考查数形结合思想，求解时注意充分利用函数的性质及特殊点的函数值进行求解.7．如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，2AD =，3BC =，E 是PD 的中点，F 在PC 上且13PF PC =，G 在PB 上且23PG PB =，则（）A ．3AG EF =，且AG 与EF 平行B ．3AG EF =，且AG 与EF 相交C ．2AG EF =，且AG 与EF 异面D ．2AG EF =，且AG 与EF 平行【答案】D【解析】取CF 的中点H ，连接,DH GH ，通过证明四边形ADHG 为平行四边形，可得AG DH //且AG DH =，由在PHD ∆中，,E F 分别为PD 和PH 的中点，可得EF DH //且12EF DH =，综上，即可得到本题答案. 【详解】取CF 的中点H ，连接,DH GH ，则在PBC ∆中，23PG PH PB PC ==，所以GH BC //，223GH BC ==，又因为AD BC //且2AD =，所以GH AD //，且GH AD =，所以四边形ADHG 为平行四边形，所以AG DH //，且AG DH =.在PHD ∆中，,E F 分别为PD 和PH 的中点，所以EF DH //，且12EF DH =，所以EF AG //，且12EF AG =，即2AG EF =. 故选：D 【点睛】本题主要考查空间中两直线的位置关系及大小关系，数形结合思想的应用是解决此题的关键.8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，22a =，728S =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（） A ．20202021B ．20182020C ．20182019D ．20212020【答案】A【解析】根据22a =，728S =，求得n a ，再利用裂项相消法求n T ，令2020n =代入n T ，即可得答案. 【详解】因为数列{}n a 是等差数列，所以()1774772a a S a +==. 设公差为d ，因为272,28a S ==，所以()112,7328,a d a d +=⎧⎨+=⎩解方程组得11,1,a d =⎧⎨=⎩ 所以数列{}n a 的通项公式为1(1)1n a n n =+-⨯=，所以111(1)n n a a n n +=⨯+.设n T 为数列11nn a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则11111122334(1)(1)n T n n n n =+++⋯++⨯⨯⨯-⨯⨯+ 111111122331n n =-+-++⋯+-+ ∴2020111111111122334202012020202020201T =-+-+-++-+--+L 12020120212021=-=故选：A. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意利用裂项相消法进行求和.9．“角谷定理”的内容为对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．如图为研究角谷定理的一个程序框图．若输入n 的值为10，则输出i 的值为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【解析】根据流程逐步分析，直到1n =时，计算出i 的值即可. 【详解】（1）10,0n i ==；（2）5,1n i ==；（3）16,2n i ==；（4）8,3n i ==；（5）4,4n i ==；（6）2,5n i ==；（7）1,6n i ==．故选B ．【点睛】本题考查根据程序框图计算输出值，难度较易.程序框图问题，多数可以采用列举法的方式解答问题.10．设抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ，设7(0,)2pC ，AF 与BC 相较于点E .若||2CF AF =，且ACE ∆的面积为32，则p 的值为（） A ．2 B ．2C ．6D ．22【答案】C【解析】由题，可得()2,Ap p ，又由~ABE FCE ∆∆及ACE ∆的面积为32，得92ACF S ∆=，然后通过求132922ACF S p p ∆=⨯⨯=的解，即可得到本题答案.【详解】根据已知0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，:2pl y =-，由||2||CF AF =，得3||2AF p =，不妨设点(,)A x y 在第一象限，则322p y p +=，即y p =，所以2x p =，易知~ABE FCE ∆∆，||||1||||2AB AE CF EF ==，所以||2||EF AE =，所以ACF ∆的面积是AEC ∆面积的3倍，即92ACF S ∆=，所以132922ACF S p p ∆=⨯⨯=，解得6p =. 故选：C 【点睛】本题主要考查抛物线与直线的综合问题，考查学生的分析问题和解决问题能力及运算求解能力.11．现有一副斜边长相等的直角三角板.若将它们的斜边AB 重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD -，如图所示，已知,64DAB BAC ππ∠=∠=，三棱锥的外接球的表面积为4π，该三棱锥的体积的最大值为（）A ．B ．6C ．24D ．48【答案】B【解析】设三棱锥A BCD -的外接球的半径为r ，由球的体积得球的半径，当平面ABC ⊥平面ABD 时，三棱锥的体积达到最大，利用体积公式计算，即可得答案.【详解】设三棱锥A BCD -的外接球的半径为r ，因为244r ππ=⇒1r =，因为90ADB ACB ︒∠=∠=，所以AB 为外接球的直径，所以2AB =，且1,AD BD AC BC ====当点C 到平面ABD 距离最大时，三枝锥A BCD -的体积最大，此时平面ABC ⊥平面ABD ，且点C 到平面ABD 的距离1d =，所以11111332A BCD C ABD ABD V V S d --==⋅=⨯⨯=△. 故选：B. 【点睛】本题考查三棱锥与球的内接问题、三棱锥体积的最大值、球的体积公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意球心位置的确定.12．设函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0,,43ππωϕ⎡⎤>∈⎢⎥⎣⎦，已知()f x 在[0,2]π上有且仅有4个零点，则下列ω的值中满足条件的是（） A ．136ω=B ．116ω=C ．74ω=D ．34ω=【答案】A【解析】设t x ωϕ=+，则2t ϕπωϕ+剟，从而将问题转化为sin y t =在[,2]ϕπωϕ+上有4个零点，从而得到425ππωϕπ+<…，再利用不等式恒成立问题求得ω的范围，即可得答案. 【详解】设t x ωϕ=+，则2t ϕπωϕ+剟，所以sin y t =在[,2]ϕπωϕ+上有4个零点，因为,43ππϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以425ππωϕπ+<…，所以52222ϕϕωππ-<-…，所以5342222ππωππ-<-…，即15783ω<…，满足的只有A.故选：A. 【点睛】本题考查根据三角函数的零点个数求参数值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意换元法的应用.二、填空题13．若||3a =r ，||2b =r，2a b +=r r ，则a r 与 b r的夹角为______________. 【答案】3π 【解析】由222|2|44a b a a b b +=+⋅+r rr r r r 及||||cos a b a b θ⋅=⋅r r r r ，即可得到本题答案.【详解】设a r 与 b r的夹角为θ，则222|2|449432cos 4437a b a a b b θ+=+⋅+=+⨯⨯⨯+⨯=r rr r r r ，得1cos 2θ=，所以3πθ=.故答案为：3π 【点睛】本题主要考查利用向量的模的计算公式求向量的夹角，属基础题.14．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若数列{}12n S a -也为等比数列，则43S S =________. 【答案】1514【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，利用等比数列{}12n S a -的等比中项性质可得公比q ，再代入等比数列的前n 项和公式中，即可得答案. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， ∵数列{}12n S a -为等比数列，∴()()2211231a a a a a a -=-+-，解得：12q =， ∴4211231241332315(1)1587(1)144Sa q q q S a q a a a a a a q a +++====+++++++. 故答案为：1514.【点睛】本题考查等比数列中的基本量法运算、等比数列的通项公式和前n 项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.15．某工厂生产的产品中分正品与次品，正品重100g ，次品重110g ，现有5袋产品（每袋装有10个产品），已知其中有且只有一袋次品（10个产品均为次品）如果将5袋产品以1～5编号，第i 袋取出i 个产品（1,2,3,4,5i =），并将取出的产品一起用秤（可以称出物体重量的工具）称出其重量y ，若次品所在的袋子的编号是2，此时的重量y =_________g ；若次品所在的袋子的编号是n ，此时的重量y =_______g . 【答案】1520 150010,{1,2,3,4,5}n n +∈【解析】第1袋取1个，第2袋取2个，第3袋取3个，第4袋取4个，第5袋取5个，共取15个.若次品是第2袋，则15个产品中正品13个，次品2个，若次品是第({1,2,3,4,5})n n ∈袋，则15个产品中次品n 个，正品15n -个，分别进行计算，即可得答案. 【详解】第1袋取1个，第2袋取2个，第3袋取3个，第4袋取4个，第5袋取5个，共取15个.若次品是第2袋，则15个产品中正品13个，次品2个，此时的重量1001311021520y =⨯+⨯=，若次品是第({1,2,3,4,5})n n ∈袋，则15个产品中次品n 个，正品15n -个，此时的重量100(15)110150010,{1,2,3,4,5}y n n n n =⨯-+⨯=+∈. 故答案为：1520；150010,{1,2,3,4,5}n n +∈ 【点睛】本题考查数学推理应用题，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对题意的理解.16．已知点P 是双曲线2213y x -=右支上一动点，12,F F 是双曲线的左、右焦点，动点Q 满足下列条件：①12212||0||PF PF QF PF PF ⎛⎫+=⎪⎝⎭⋅u u u u u u u r u u r u u u u r u u r r u ，②12120||||PF PF QP PF PF λ⎛⎫++= ⎪⎝⎭u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r ，则点Q 的轨迹方程为________________. 【答案】221(0)x y y +=≠【解析】设动点Q 的坐标为(,)x y ，延长2F Q 交1PF 于点A ，根据向量的加法法则及数量积为0，可得2QF PQ ⊥，利用双曲线的定义可得11||12OQ AF ==，即可得答案. 【详解】设动点Q 的坐标为(,)x y ，延长2F Q 交1PF 于点A ，由条件②知点Q 在12F PF ∠的角平分线上，结合条件①知2QF PQ ⊥，所以在2PF A △中，2PQ F A ⊥.又PQ 平分2APF ∠，所以2PF A △为等腰三角形，即2||PA PF =，2||AQ QF =.因为点P 为双曲线上的点，所以122PF PF -=，即12||2PA AF PF +-=，所以12AF =.又在12F AF V 中，Q 为2AF 的中点，O 为12F F 的中点，所以11||12OQ AF ==，所以点Q 的轨迹是以O 为圆心，半径为1的圆，所以点Q 的轨迹方程为221(0)x y y +=≠.故答案为：221(0)x y y +=≠. 【点睛】本题考查单位向量、向量的数量积、向量的加法法则的几何意义、双曲线的定义、轨迹方程的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意平面几何知识的应用.三、解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且sin 2sin()0c B b A B -+= （1）求角B 的大小；（2）设4a =，6c =，求sin C 的值．【答案】（1）3B π=（2321【解析】（1）由已知结合正弦定理化简可求cos B ，进而可求B ；（2）由余弦定理可得，2221cos 22a cb B ac +-==，代入可求b ，由正弦定理可得，sin sin c BC b=可求．【详解】解：（1）由正弦定理得sin sin 2sin sin()0C B B A B -+=，化简得2sin sin cos sin sin 0C B B B C -=. 因为在三角形中，sin 0B ≠，sin 0C ≠，可得1cos 2B =. 又因为(0,)B π∈，所以3B π=（2）由余弦定理可得，2221cos 22a cb B ac +-==，2163612462b +-=⨯⨯，所以b =由正弦定理可得，sin sin 14c B C b ==. 【点睛】本题主要考查了两角和及二倍角的公式，正弦定理，余弦定理的综合应用，属于中等试题．18．为实现有效利用扶贫资金，增加贫困村民的收入，扶贫工作组结合某贫困村水质优良的特点，决定利用扶贫资金从外地购买甲、乙、丙三种鱼苗在鱼塘中进行养殖试验，试验后选择其中一种进行大面积养殖，已知鱼苗甲的自然成活率为0.8.鱼苗乙，丙的自然成活率均为0.9，且甲、乙、丙三种鱼苗是否成活相互独立.（1）试验时从甲、乙，丙三种鱼苗中各取一尾，记自然成活的尾数为X ，求X 的分布列和数学期望；（2）试验后发现乙种鱼苗较好，扶贫工作组决定购买n 尾乙种鱼苗进行大面积养殖，为提高鱼苗的成活率，工作组采取增氧措施，该措施实施对能够自然成活的鱼苗不产生影响.使不能自然成活的鱼苗的成活率提高了50%.若每尾乙种鱼苗最终成活后可获利10元，不成活则亏损2元，且扶贫工作组的扶贫目标是获利不低于37.6万元，问需至少购买多少尾乙种鱼苗？【答案】（1）分布列见解析，2.6（2）40000尾【解析】（1）由题意得随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，利用相互独立事件同时发生的概率，可计算(0),(1),(2),(3)P X P X P X P X ====的值，进而得到分布列和期望；（2）依题意知一尾乙种鱼苗最终成活的概率为0.95，计算一尾乙种鱼苗的平均收益，进而计算n 尾乙种鱼苗最终可获得的利润，再解不等式，即可得答案. 【详解】（1）记随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，则(0)0.20.10.10.002P X ==⨯⨯=，(1)0.80.10.10.20.90.10.20.10.90.044P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，(2)0.80.90.10.80.10.90.20.90.90.306P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，(3)0.80.90.90.648P X ==⨯⨯=.故X 的分布列为X0 1 2 3 P0.0020.0440.3060.648()00.00210.04420.30630.648 2.6E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）根据已知乙种鱼苗自然成活的概率为0.9，依题意知一尾乙种鱼苗最终成活的概率为0.90.10.50.95+⨯=，所以一尾乙种鱼苗的平均收益为100.9520.059.4⨯-⨯=元. 设购买n 尾乙种鱼苗，()E n 为购买n 尾乙种鱼苗最终可获得的利润，则()9.4376000E n n =…，解得40000n …. 所以需至少购买40000尾乙种鱼苗，才能确保获利不低于37.6万元. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、期望、利润最大化的决策问题，考查函数与方程思想、，考查数据处理能力.19．如图，圆柱的轴截面ABCD 是边长为2的正方形，点P 是圆弧CD 上的一动点（不与,C D 重合），点Q 是圆弧AB 的中点，且点,P Q 在平面ABCD 的两侧.（1）证明：平面PAD ⊥平面PBC ；（2）设点P 在平面ABQ 上的射影为点O ，点,E F 分别是PQB △和POA V 的重心，当三棱锥P ABC -体积最大时，回答下列问题. （ⅰ）证明：//EF 平面PAQ ；（ⅱ）求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）（ⅰ）见解析（ⅱ 【解析】（1）证明PC 垂直平面PAD 内的两条相交直线,AD PD ，再利用面面垂直的判定定理证明即可；（2）当三棱锥P ABC -体积最大时，点P 为圆弧CD 的中点，所以点O 为圆弧AB 的中点，所以四边形AQBO 为正方形，且PO ⊥平面ABO .（ⅰ）连接PE 并延长交BQ 于点M ，连接PF 并延长交OA 于点N ，连接MN ，则//MN AQ ，再由线面平行的判定定理证得结论；（ⅱ）由PO ⊥平面,ABO AO 垂直BO ，所以以O 为坐标原点，,,OA OB OP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出平面PAB 的法向量n =r ，平面PCD 的法向量(0,0,1)m =u r，求两向量夹角的余弦值，进而得到二面角的正弦值. 【详解】（1）因为ABCD 是轴截面，所以AD ⊥平面PCD ，所以AD PC ⊥，又点P 是圆弧CD 上的一动点（不与,C D 重合），且CD 为直径，所以PC PD ⊥，又,AD PD D PD ⋂=⊂平面,PAD AD ⊂平面PAD ，所以PC ⊥平面PAD ，而PC ⊂平面PBC ，故平面PAD 平面PBC .（2）当三棱锥P ABC -体积最大时，点P 为圆弧CD 的中点，所以点O 为圆弧AB 的中点，所以四边形AQBO 为正方形，且PO ⊥平面ABO .（ⅰ）连接PE 并延长交BQ 于点M ，连接PF 并延长交OA 于点N ，连接MN ，则//MN AQ ，因为,E F 分别为两个三角形的重心，∴23PE PF PM PN ==，//EF MN 所以//EF AQ ，又AQ ⊂平面,PAQ EF ⊄平面PAQ ，所以//EF 平面PAQ . （ⅱ）PO ⊥平面,ABO AO 垂直BO ，所以以O 为坐标原点，,,OA OB OP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：则(0,0,2),(2,0,0),(0,2,0),(2,0,2),(2,2,0)P A B PA AB =-=-u u u r u u u r，设平面PAB 的法向量(,,)n x y z =r ，则0,0,n PA n AB ⋅=⎧⎨⋅=⎩vu u u v v即220,220,x z x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩可取(2,2,1)n =r，又平面PCD 的法向量(0,0,1)m =u r，所以5cos ,||||5n m n m n m ⋅〈〉===r u rr u r r u r ，所以25sin ,n m 〈〉=r u r . 所以平面PAB 与平面PCD 所成二面角的正弦值为25.【点睛】本题考查空间中的线面平行、面面垂直、二面角的向量求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意建系前必需证明三条直线两两互相垂直.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 是椭圆上一动点（与左、右顶点不重合）已知12PF F △椭圆的离心率为12. （1）求椭圆C 的方程；（2）过2F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，过A 作x 轴的垂线交椭圆C 与另一点Q （Q 不与,A B 重合）.设ABQ △的外心为G ，求证2||AB GF 为定值. 【答案】（1）22143x y +=（2）见解析【解析】（1）当12PF F △面积最大时，r 最大，即P点位于椭圆短轴顶点时r =即可得到b 的值，再利用离心率求得,a c ，即可得答案；（2）由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 为1x my =+，代入椭圆方程得()2234690m y my ++-=.设()()1122,,,A x y B x y ，利用弦长公式求得||AB ，利用AB 的垂直平分线方程求得G 的坐标，两个都用m 表示，代入2||AB GF 中，即可得答案. 【详解】（1）由题意知：12c a =，∴2222,a c b a c ==-，∴b =. 设12PF F △的内切圆半径为r ，则()12121211(22)()22PF F S PF PF F F r a c r a c r =++⋅=+⋅=+⋅V ，故当12PF F △面积最大时，r 最大，即P点位于椭圆短轴顶点时r =)a c bc +=，把2,a c b ==代入，解得：2,a b ==，所以椭圆方程为22143x y +=.（2）由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 为1x my =+，代入椭圆方程得()2234690m y my ++-=. 设()()1122,,,A x y B x y ，则12122269,3434m y y y y m m --+==++，所以AB 的中点坐标为2243,3434m m m -⎛⎫⎪++⎝⎭，所以()2122121|||3434m AB y m m +===++. 因为G 是ABQ △的外心，所以G 是线段AB 的垂直平分线与线段AQ 的垂直平分线的交点，AB 的垂直平分线方程为22343434m y m x m m ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，令0y =，得2134x m =+，即21,034G m ⎛⎫⎪+⎝⎭，所以222213313434m GF m m +=-=++ 所以()22222121||1234433334m AB m m GF m ++===++，所以2||AB GF 为定值，定值为4. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解、离心率、直线与椭圆位置关系中的定值问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将问题转化为关于变量m 的表达式，进而求证得到定值. 21．已知函数()2(12)ln af x x a x x=+-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）如果方程()f x m =有两个不相等的解12,x x ，且12x x <，证明：1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭. 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）对函数()f x 进行求导得2()(21)()(0)x a x f x x x-+'=>，再对a 进行分类讨论，解不等式，即可得答案；（2）当0a …时，()f x 在(0,)+∞单调递增，()f x m =至多一个根，不符合题意；当0a >时，()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增，则()0f a '=.不妨设120x a x <<<，只要证122x x a +>212x a x >-⇔，再利用函数的单调性，即可证得结论. 【详解】（1）2222122(12)()(21)()2(0)a a x a x a x a x f x x x x x x -+---+'=+-==>.①当0a …时，(0,),()0,()x f x f x '∈+∞>单调递增； ②当0a >时，(0,),()0,()x a f x f x '∈<单调递减；(,),()0,()x a f x f x '∈+∞>单调递增.综上：当0a …时，()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a >时，()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增. （2）由（1）知，当0a …时，()f x 在(0,)+∞单调递增，()f x m =至多一个根，不符合题意；当0a >时，()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增，则()0f a '=.不妨设120x a x <<<，要证1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭，即证122x x a +>，即证122x x a +>，即证212x a x >-. 因为()f x 在(,)a +∞单调递增，即证()()212f x f a x >-，因为()()21f x f x =，所以即证()()112f x f a x >-，即证()()f a x f a x +<-. 令()()()g x f a x f a x =+--2()(12)ln()2()(12)ln()a a a x a a x a x a a x a x a x ⎡⎤⎡⎤=++-++--+--+⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦4(12)ln()(12)ln()a ax a a x a a x a x a x=+-+---+-+-， 221212()4()()a a a ag x a x a x a x a x --'=++--+-+- ()()22222222222242(12)4()()()()a a x x x a a a a a x a x a x a x a x +---=+-=-+-+-. 当(0,)x a ∈时，()0,()g x g x '<单调递减，又(0)(0)(0)0g f a f a =+--=，所以(0,)x a ∈时，()(0)0g x g <=，即()()f a x f a x +<-，即()(2)f x f a x >-.又1(0,)x a ∈，所以()()112f x f a x >-，所以1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、证明不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将所证不等式转化为利用函数的单调性进行证明.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为21,2x s y ⎧=⎪⎨⎪=⎩（s 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 2sin 90ρθρθ++=.（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值. 【答案】（1）24y x =，290x y ++=（2【解析】（1）直接利用消参法可得曲线C 的直角坐标方程；将cos ,sin x y ρθρθ==代入l 的极坐标方程得l 的直角坐标方程；（2）设212P s ⎛⎫⎪⎝⎭，利用点到直线的距离公式，结合二次函数的性质求最值，即可得答案. 【详解】（1）C 的直角坐标方程为：24y x =，将cos ,sin x y ρθρθ==代入l 的极坐标方程得l 的直角坐标方程为：290x y ++=. （2）设212P s ⎛⎫⎪⎝⎭，则点P 到直线l的距离21|9s d ++==，当s =-d ==. 【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程、普通方程的互化、点到直线的距离公式，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意点的参数设法.23．已知函数()|1||24|f x x x =++-.（1）求不等式()6f x ≤的解集；（2）若函数()y f x =的图象最低点为(),m n ，正数,a b 满足6ma mb +=，求23a b +的取值范围.【答案】（1）[]13,x ∈-（2）2325,6a b ⎡⎫+∈+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（1）分类讨论去掉绝对值得分段函数求解即可；（2）由分段函数求出最低点，得236a b +=，构造1，利用均值不等式求解即可.【详解】（1）33,2()5,1233,1x x f x x x x x -≥⎧⎪=-+-<<⎨⎪-+≤-⎩，所以由()6f x ≤可得2336x x ≥⎧⎨-≤⎩，或1256x x -<<⎧⎨-+≤⎩，或1336x x ≤-⎧⎨-+≤⎩，解得：[]2,3x ∈或()1,2x ∈-或1x =-.综上，[]13,x ∈-. （2）因为33,2()5,1233,1x x f x x x x x -≥⎧⎪=-+-<<⎨⎪-+≤-⎩，所以当2x =时，()min 3f x =，最低点为()2,3，即236a b +=，所以132a b +=. 23232313252323266a b b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当65a b ==时等号成立，所以2325,6a b ⎡⎫+∈+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的解法，分段函数的最值，均值不等式，属于中档题.。

2020年高考全国2卷理科数学试卷及解析

的点为 N ，则该端点在侧视图中对应的点为
A. E
B. F
C. G
D. H
8.
设
O
为坐标原点，直线
x
a
与双曲线
C
:
x2 a2
y2
b2
1(a 0,b 0) 的两条渐
近线分别交于 D, E 两点，若ODE 的面积为 8，则 C 的焦距的最小值为
A. 4
B. 8
9. 设函数 f (x) ln | 2x 1| ln | 2x 1| ，则 f(x)
D. sin2α<0
3. 在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成 1200 份订单的配货，由于订单量大幅
增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压 500 份订单未配
货，预计第二天的新订单超过 1600 份的概率为 0.05，志愿者每人每天能完成 50 份订单的配货，n
（xi x )2 （yi y )2
i 1
i1
2 1.414 。
x2 y2 19．（12 分）已知椭圆 C1： 1(a>b>0)的右焦点 F 与抛物线 C2 的焦点重合，C1 的中心与 C2 的顶点
a2 b2
4
重合.过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1 于 A，B 两点，交 C2 于 C，D 两点，且|CD| = |AB|.
【解析】由
f
x ln
2x 1 ln
2x 1 得
f
x
定义域为
x
x
1 ，关于坐标原点对称，
2
又 f x ln 1 2x ln 2x 1 ln 2x 1 ln 2x 1 f x ，

2020届辽宁省大连市高三双基考试数学（理科）试题（解析版）

“连续 10 日，每天新增疑似病例不超过 7 人”.过去 10 日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下：甲地：总体平均数为 3，中位数为 4；乙地：总体平均数为 1，总体方差大于 0；
丙地：总体平均数为 2，总体方差为 3；丁地：中位数为 2，众数为 3；
则甲、乙、两、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是（）
2
3
对于 C, y cos 2x 的最小正周期为 4 ,所以 C 错误;
对于 D, y tan x 的最小正周期为 ,在区间 π , π 上单调递增,所以 D 错误.
2
综上可知,B 为正确选项. 故选:B 【点睛】本题考查了函数的周期性与单调性的应用,根据解析式及函数的图像即可判断,属于基础题.
即 M 的横坐标是 6
故选:C 【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系,过焦点的直线与弦长关系,中点坐标公式及梯形中位线性质的应用,属于基础题.
9.一件刚出土的珍贵文物要在博物馆大厅中央展出，需要设计各面是玻璃平面的无底正四棱柱将其罩住，罩内充满保护文物的无色气体.已知文物近似于塔形，高 1.8 米，体积 0.5 立方米，其底部是直径为 0.9 米的圆形，要求文物底部与玻璃罩底边至少间隔 0.3 米，文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔 0.2 米，气体每立方米
代入可得 2
22
4c 16a 4a 2 4a 2a cos120o
化简可得 c2 7a2
c2 所以双曲线的离心率为 e a2 7
故选:D 【点睛】本题考查了双曲线的定义及简单应用,双曲线中焦点三角形中余弦定理的应用,双曲线离心率的求法, 属于基础题.
11.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志是

2020年高考试题高三数学全国卷2(理科)全解全析

2020 年一般高等学校招生全国一致考试理科数学（全国 2 卷）全解全析一、选择题10i1、=2 i（A ） -2+4i (B) -2-4i (C) 2+4i (D)2-4i【答案】 A【分析】运用复数基本运算化为复数代数形式、设会合A= ｛ x ｜ x 3｝，＝｛ x ｜x12Bx 4（A ）（B ）（3，4）（C ）（-2，1）【答案】 B【分析】解分式不等式并求交集3、已知 V ABC 中， cotA= 12 ,则 cosA=5（A ）125 512（ B ）（ C ） (D) 1313 13 13 【答案】 D0｝则 A I B=（D ）（4+）【分析】由 cotA=12A ，清除（ A ）、（B ）；若 cosA 5 12,知，213，则 sin A513则 cot Acos A 5 与题设不符，清除（ C ），应选 Dsin A12或由 cotA=12 tan A5secA1 tan2 A13 ，512 12∴ cos A112secA13【易错提示】同角三角函数基本关系并注意所在象限的符号x4、 .曲线 y=2x 1在点（ 1， 1）处的切线方程为（A ） x-y-2=0 (B)x+y-2=0 (C)x+4y-5=0(D)x-4y-5=0【答案】 B【分析】 y'1( 2x 1) x 2 1 ，切线的斜率 k y' x 111( 2x ( 2 11)2( 2x 1)2 1)2∴切线方程为 y 1( x 1) x y 2 05.、已知正四棱柱 ABCD A 1 B 1C 1 D 1 中，AA 1 2AB ，E 为 AA 1 中点，则异面直线 BE 与 CD 1所成角的余弦值为（A ）10(B)1(C)3 10 (D)3 105105【答案】 C【分析】如图，取DD 1的中点 F，连结 CF，则 CF ∥BE ，∴∠ D1CF为所求。

设 AB＝ 1，则CF 2.CD15， FD1＝1由余弦定理得：cos D1CF( 2)2( 5)216310225 2 10。

2020届辽宁省大连市高三双基考试数学(理)试题(解析版)

【答案】-1.
【解析】根据定义域为R的奇函数满足 ,代入即可求得的值.
【详解】
因为是定义在R上的奇函数
所以满足
代入可得
解得
故答案为:
【点睛】
本题考查了奇函数的性质与简单应用,注意只有当定义域为R时奇函数才满足 ,属于基础题.
15．我国南宋数学家秦九留撰写的名著《数书九章》第五卷提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长，求三角形面积的公式.设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为“海伦—秦九韶”公式，现有一个三角形的边长满足，，则三角形面积的最大值为________.
当时,满足 ,即
因为 ,所以方程无解.即不存在时使得在点A和点B处的切线互相垂直
当时,满足 ,即 .因为 ,所以
所以 ,所以A、B错误;
对于C,可知 ,令 ,
所以
令 ,得
所以当时, ,则在时单调递减
所以在时取得极小值,即最小值为 ,无最大值,所以C错误;
对于D,可知
令 ,
则
令 ,解得
【详解】
设直线的方向向量，，
所以分别是平面的法向量，
二面角的大小为60°，
的夹角为或，
因为异面直线所的角为锐角或直角，
所以与所成的角为 .
故选:C.
【点睛】
本题考查二面角与二面角平面的法向量的关系，属于基础题.
6．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（）
A． B． C． D．
【答案】 . .
【解析】（1）将代入条件等式，化简可得，由，
可得，结合的范围，求得；

2020届云南省昆明市第一中学高三第二次双基检测数学(理)试题(解析版)

2020届云南省昆明市第一中学高三第二次双基检测数学（理）试题一、单选题 1．设1iiz -=，则z 的虚部是（） A ．1 B ．1-C ．iD ．i -【答案】A【解析】先化简复数z 为代数形式，再根据共轭复数概念求z ，最后根据复数虚部概念得结果. 【详解】因为1i z =--，所以1i z =-+，z 的虚部是1，故选：A 【点睛】本题考查共轭复数概念以及复数虚部概念，考查基本分析求解能力，属基础题.2．已知向量12a ⎛= ⎝⎭r ，2b =r ，且1a b ⋅=r r ，则a r 与b r的夹角为（） A ．30° B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】C【解析】直接根据向量夹角公式求解. 【详解】由已知1a =r ，得1cos ,2a b a b a b⋅==r rr r r r ，所以a r 与b r 的夹角为60︒，故选：C. 【点睛】本题考查求向量夹角，考查基本分析求解能力，属基础题.3．分子间作用力只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用.今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为q ，这两个相距R 的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U .其计算式子为212121111U kcq R R x x R x R x ⎛⎫=+-- ⎪+-+-⎝⎭，其中，kc 为静电常量，1x 、2x 分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移.已知12121x x R x x R R -⎛⎫+-=+⎪⎝⎭，111x R x R R ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，221x R x R R ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，且()1211x x x -+≈-+，则U 的近似值为（）A ．2123kcq x x RB ．2123kcq x x R - C ．21232kcq x x R D ．21232kcq x x R- 【答案】D【解析】将12121x x R x x R R -⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭，111x R x R R ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，221x R x R R ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭代入U ，结合()1211x x x -+≈-+化简计算可得出U 的近似值.【详解】221212121211111111111U kcq kcq x x x x R R x x R x R x R R R R R R R ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥=+--=+-- ⎪-+-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎝⎭++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2222121211221111x x x x x x x x kcq RR R R R R R ⎡⎤--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+----⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦21232kcq x x R =-.故选：D. 【点睛】本题考查U 的近似计算，充分理解题中的计算方法是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.4．在第二次高考模拟市统测结束后，某校高三年级一个班级为预估本班学生的高考成绩水平，登记了全班同学的卷面成绩.经查询得知班上所有同学的学业水平考试成绩22分加分均已取得，则学业水平考试加分22分前后相比，不变的数字特征是（） A ．平均数 B ．方差C ．中位数D ．众数【答案】B【解析】根据加分前后平均数、方差、中位数、众数的变化进行分析，可得出结论. 【详解】学业水平考试加分22分前后相比，平均数、中位数、众数都在原来的基础上加上了22，而全班的成绩波动性没发生变化，即方差没变. 故选：B. 【点睛】本题考查在样本数据上加上同一个数后样本数字特征的变化，分析样本各数字特征的变化是解答的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.5．已知实数ln3a =，2ln 3e b =，4log 9c =，则（）A ．b a c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a b c <<【答案】A【解析】利用对数函数ln y x =的单调性比较a 、b 的大小关系，再利用换底公式结合不等式的性质可得出a 、c 的大小关系，从而可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】对数函数ln y x =在()0,∞+上为增函数，因为233e <，所以2e ln ln 33b a =<=，0ln 2ln 1e <<=Q ，ln30>，42ln 3log 9log 3ln 3ln 2c a ===>=，所以b a c <<，故选：A. 【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及对数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题. 6．下列命题中，正确的是（）A ．直线1l 、2l 与平面α所成的角相等，则12l l //B ．α、β、γ为三个平面，若αβ⊥，γβ⊥，则//αγC ．1l 、2l 、3l 为空间中的三条直线，若13l l ⊥，23l l ⊥，则12l l //D ．1l 、2l 为两条直线，α、β为两个平面，若1l β⊥，2l β⊥，1l α⊥，则2l α⊥ 【答案】D【解析】利用正四面体可判断A 选项的正误；根据面面的位置关系可判断B 选项的正误；根据空间中线线的位置关系可判断C 选项的正误；根据线面垂直的性质可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，在正四面体ABCD 中，AB 、AC 与平面BCD 所成角相等，但AB 与AC相交，A 选项错误；对于B 选项，若αβ⊥，γβ⊥，则α与γ平行或相交，B 选项错误；对于C 选项，若13l l ⊥，23l l ⊥，则1l 与2l 平行或相交，C 选项错误；对于D 选项，由1l β⊥，2l β⊥得12//l l ，由因为2l α⊥，所以1l α⊥，D 选项正确. 故选：D. 【点睛】本题考查空间中线线、线面、面面位置关系的判断，考查推理能力，属于中等题.7．双曲线1C ：22122x y -=与抛物线2C ：22y px =（0p >）的准线交于A ，B 两点，若AB =，则p =（） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】B【解析】先确定A 点坐标，再代入双曲线方程解得结果. 【详解】由已知，点A的坐标为,2p ⎛- ⎝，代入双曲线1C 得：222122p ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=，所以4p =，故选：B 【点睛】本题考查求抛物线方程，考查基本分析求解能力，属基础题. 8．设函数()33sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则（） A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线4x π=对称B ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线2x π=对称C ．()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线2x π=对称D ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线4x π=对称【答案】C【解析】利用辅助角公式和诱导公式化简函数()y f x =的解析式为()f x x =，由0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭计算出2x 的范围，可判断出函数()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性，结合余弦函数的对称轴方程即可得出结论. 【详解】()3222442f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，02x π<<，所以()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，令()()22k x k k Z x k Z ππ=∈⇒=∈，当1k =时，可得知函数()y f x =的图象关于直线2x π=对称.故选：C. 【点睛】本题考查余弦型函数单调性与对称性的判断，一般采用整体代入法，考查推理能力，属于中等题.9．若()0,θπ∈，1tan 6tan θθ+=，则sin cos θθ+=（）A ．3B ．3-C ．3±D ．23【答案】A【解析】利用切化弦化简技巧结合1tan 6tan θθ+=可得出1sin cos 6θθ=，再由()0,θπ∈可得出sin 0θ>，cos 0θ>，再由()2sin cos 12sin cos θθθθ+=+可计算出sin cos θθ+的值. 【详解】因为221sin cos sin cos tan 6tan cos sin sin cos θθθθθθθθθθ++=+==，所以1sin cos 6θθ=， ()0,θπ∈Q ，则sin 0θ>，cos 0θ>，sin cos 0θθ∴+>.所以()24sin cos 12sin cos 3θθθθ+=+=，所以23sin cos 3θθ+=，故选：A. 【点睛】本题考查了切化弦思想以及同角三角函数平方关系的应用，利用()2sin cos 12sin cos θθθθ+=+计算是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.10．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点为1F 、2F ，P 是双曲线右支上的一点，满足212PF F F =，直线1PF 与圆222x y a +=相切，则双曲线的离心率为（） A ．23B ．3C ．53D ．43【答案】C【解析】设1PF 与圆222x y a +=相切于点M ，可得出14PF b =，22PFc =，然后利用双曲线的定义可得出关于a 、b 、c 的齐次等式，即可计算出该双曲线的离心率. 【详解】设1PF 与圆222x y a +=相切于点M ，过点2F 作21F N PF ⊥，则N 为1PF 的中点，设双曲线的焦距为()20c c >，易知1OM PF ⊥，则222211F M OF OMc a b =-=-=，O Q 为12F F 的中点，M ∴为1F N 的中点，则111244PF F N FM b ===，由双曲线的定义得122PF PF a -=，即422b c a -=，即2b a c =+，()()222244a c b c a ∴+==-，则44c a c a +=-，可得35c a =.因此，该双曲线的离心率为53c e a ==.故选：C. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，解答的关键就是得出关于a 、b 、c 的齐次等式，考查计算能力，属于中等题.11．已知定义[)1,+∞上的函数()348,1221,222x x f x x fx ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩，则下列选项不正确的是（）A ．函数()f x 的值域为[]0,4B ．关于x 的方程()()12nf x n *⎛⎫=⎪⎝⎭∈ N 有24n +个不相等的实数根C ．当()12,2n n x n *-⎡⎤∈⎣∈⎦N 时，函数()f x 的图象与x 轴围成封闭图形的面积为2D ．存在[]01,8x ∈，使得不等式()006x f x ≥能成立【答案】B【解析】作出函数()y f x =的图象，可判断A 选项的正误；取1n =可判断B 选项的正误；当()12,2n n x n -*⎡⎤∈∈⎣⎦N 时，求出函数()y f x =图象最高点的纵坐标，可判断C 选项的正误；取04x =可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，当[]1,2x ∈时，()388,123168,22x x f x x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩，然后向右每次将横坐标变为原来的2倍时，纵坐标变为原来的12，得到草图如下所示：可知，函数()y f x =的值域为[]0,4，A 选项正确；对于C 选项，当[]1,2x ∈时，()max 4f x =，当[]2,4x ∈时，()max 2f x =，当[]4,8x ∈时，()max 1f x =，由此可得知，当12,2n nx -⎡⎤∈⎣⎦时，()13max1422n n f x --⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，此时，函数()y f x =的图象与x 轴围成封闭图形的面积为1312222n n--⨯⨯=，C 选项正确；对于B 选项，当1n =时，如下图所示，当[]1,8x ∈时，直线12y =与函数()y f x =的图象有6个交点，当[]8,16x ∈时，()max 12f x =，此时，直线12y =与()y f x =的图象只有一个交点，当[)16,x ∈+∞时，()14f x ≤，此时，直线12y =与()y f x =的图象没有交点.综上所述，当1n =时，方程()12f x =有7个实根，B 选项错误；对于D 选项，当04x =时，()()0036422f x f x ==>=，所以，存在[]01,8x ∈，使得不等式()006x f x ≥能成立，D 选项正确. 故选：B. 【点睛】本题考查分段函数及运用，考查函数的表达式和值域以及方程根的个数问题，考查数形结合思想的应用与推理能力，属于中档题．二、填空题12．已知集合{}2670A x x x =--<，{}210B x x =+>，则A B =U （） A ．(),1-∞- B ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．()1,-+∞D ．()7,+∞【答案】C【解析】先解一元二次不等式得集合A ，再解一元一次不等式得集合B ，最后求并集. 【详解】因为{}17A x x =-<<，12B x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，所以{}1A B x x ⋃=>-，故选：C 【点睛】本题考查解一元二次不等式以及集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题. 13．将一段长为3米木棒锯成两段，则这两段木棒长度都不少于1米的概率为______. 【答案】13【解析】先确定满足题意的锯断点位置，再根据几何概型概率公式求结果. 【详解】根据题意:只要在木棒的两个三等分点之间锯断就能符合要求，所求概率为13. 故答案为：13【点睛】本题考查几何概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题. 14．已知函数()21,0,0x x f x ax b x ->⎧=⎨+<⎩为奇函数，则a b +=______.【答案】3【解析】利用奇函数的定义计算出函数()y f x =在0x <时的解析式，可得出a 、b 的值，由此可计算出+a b 的值. 【详解】设0x <，则0x ->，所以()()21f x x f x -=--=-，所以()21f x x =+，所以()21,021,0x x f x x x ->⎧=⎨+<⎩，则213a b +=+=.故答案为：3. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求解析式中的参数，考查运算求解能力，属于基础题.15．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若2b =，c =，sin 2B B =，则角C =______.【答案】3π或23π 【解析】利用辅助角公式得出sin 13B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合角B 的取值范围可求出B 的值，再利用正弦定理可求出角C 的值. 【详解】由sin 2B B =可得2sin 23B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以sin 13B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 0B Q π<<，4333B πππ∴<+<，则32B ππ+=，6B π∴=.由正弦定理得sin sin c B C b ==，又因为c b >，所以C B >，所以3C π=或23π. 故答案为：3π或23π. 【点睛】本题考查利用正弦定理求角，在利用正弦定理求角时，可能会存在两解，要注意大边对大角定理的应用，考查计算能力，属于基础题.16．已知四棱锥S ABCD -的高为1，底面是边长为2的正方形，顶点在底面的投影是底面的中心，E 是BC 的中点，动点P 在棱锥表面上运动，并且总保持PE AC ⊥，则动点P 的轨迹的周长为______.【解析】先根据线面垂直确定点P 的轨迹，再解三角形得周长. 【详解】设底面的中心为O ，则SO ⊥面ABCD SO AC ∴⊥,由正方形ABCD 得,AC BD SO BD O AC ⊥=∴⊥I 面SBD取SC ，CD 的中点为G ，F ，易得面//SBD 面GEF ，所以AC ⊥面GEF ，因此动点P 的轨迹为GEF ∆，因为1,2223SO BD BOSB ==∴=∴=32GE GF ∴==，2EF =，因此动点P 的轨迹的周长为32+.32【点睛】本题考查线面垂直判定与性质定理以及立体几何中轨迹问题，考查综合分析论证与求解能力，属中档题.三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足112a =，12n n n a S S -=-⋅（2n ≥）. （1）证明：1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）求1221111n S S S ++++L . 【答案】（1）见解析（2）()221n +【解析】（1）先根据和项与通项关系化简条件得11112n n S S --=，再根据等差数列定义证明；（2）先求1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭通项公式，再根据等差数列求和公式得结果. 【详解】（1）因为12n n n a S S -=-⋅（2n ≥），所以112n n n n S S S S ---=-⋅，可得11112n n S S --=，所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以11112S a ==为首项，以2d =为公差的等差数列所以()()11112212n n d n n S S =+-=+-= （2）()()1321111212322121321n n n S S S ++++=⨯+⨯+++=++++⎡⎤⎣⎦L L L ()()()211212212n n n +++=⨯=+【点睛】本题考查等差数列定义以及等差数列通项公式与求和公式，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.18．甲、乙两个排球队在采用5局3胜制排球决赛中相遇，已知每局比赛中甲获胜的概率是35. （1）求比赛进行了3局就结束的概率；（2）若第1局甲胜，两队又继续进行了X 局结束比赛，求X 的分布列和数学期望【答案】（1）725；（2）分布列见解析，()366125E X =. 【解析】（1）根据题意可知，比赛进行了3局就结束包含两种情况：一是3局全都是甲赢，二是3局全都是乙赢，然后利用独立事件的概率乘法公式可计算出所求事件的概率；（2）由题意可知，随机变量X 的可能取值有2、3、4，利用独立事件的概率乘法公式计算出X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的概率分布列，进而可计算出随机变量X 的数学期望. 【详解】（1）由题意知，每局比赛中乙胜的概率是25，比赛进行了3局就结束包括甲3:0胜和乙3:0胜两种情况，所以所求概率为333275525P ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）由题意知X 的可能取值为2、3、4，()2392525P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()31232323684435555125125125P X C ⎛⎫==⨯⨯⨯+=+= ⎪⎝⎭，()22113332332210872180364555555625625625125P X C C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以，随机变量X 的分布列为X234P9254412536125所以()9443636623425125125125E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查随机变量分布列与数学期望的计算，同时也考查了利用独立事件的概率乘法公式计算概率，考查计算能力，属于中等题.19．如图，在三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，90ABC ∠=o ，点D 是棱AC 的中点，AC BD ⊥，点E 是棱AP 上一点，且ADE APC ∠=∠.（1）证明：AP ⊥平面BDE ；（2）若1BD =，3PA =，点F 在棱PB 上，且23FB PB =，求直线DF 与平面BDE 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）1415.【解析】（1）证明BD ⊥平面PAC ，可得出PA BD ⊥，再证明ADE APC ∆∆:可得出DE PA ⊥，利用线面垂直的判定定理可得出结论；（2）过点D 作PC 的平行线交PA 于点G ，然后以点D 为坐标原点，DB 、DA 、DG 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，计算出DF u u u r的坐标，并计算出平面BDE 的法向量，利用空间向量法能计算出直线DF 与平面BDE 所成角的正弦值. 【详解】（1）因为PC ⊥平面ABC ，且BD ⊂平面ABC ，所以PC BD ⊥，又AC BD ⊥，PC AC C =I ，所以BD ⊥平面PAC ，AP ⊂Q 平面PAC ，故AP BD ⊥，因为ADE APC ∠=∠，PAC DAE ∠=∠，ADE APC ∴∆∆:，因为PC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以PC AC ⊥，所以90AED ACP ∠=∠=o ，所以AP DE ⊥，又BD DE D ⋂=，AP ∴⊥平面BDE ；（2）因为1BD =，3PA =，则1AD CD ==，5PC =，过点D 作PC 的平行线交PA 于点G ，因为PC ⊥平面ABC ，所以DG ⊥平面ABC ，又因为BD AC ⊥，故可以DB 、DA 、DG 分别作为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则部分点坐标为：()0,0,0D ，()1,0,0B ，()0,1,0A ，(0,5P -，则()1,0,0DB =u u u r，(0,5DP =-u u u r ，(0,5AP =-u u u r ，因为点F 在棱PB 上，且23FB PB =，则23FB PB =u u u r u u u r ，则()23DB DF DB DP -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，即有2133DF DP DB =+u u u r u u u r u u u r，即1225,33DF ⎛=- ⎝⎭u u u r ，由（1）知AP ⊥平面BDE ，则AP u u u r为平面BDE 的一个法向量，设直线DF 与平面BDE 所成角为θ，则14sin cos ,15DF AP DF AP DF APθ⋅=<>==⋅u u u r u u u ru u u r u u u ru u ur u u u r ，即直线DF 与平面BDE 所成角的正弦值为1415. 【点睛】本题考查直线与平面垂直的证明，同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．在平面直角坐标系xOy 中，直线():100l x my m -+=≠交椭圆22:143x y C +=于A 、B 两点，且线段AB 的中点为P ，直线OP 与椭圆C 交于M 、N 两点（1）求直线l 与直线OP 斜率的乘积；（2）若2AP PM PN =⋅，求直线l 的方程. 【答案】（1）34-；（2）330x ±+=. 【解析】（1）设点()11,A x y 、()22,B x y ，将点A 、B 的坐标代入椭圆的方程，并将所得两式相减，利用点差法可计算出直线l 与直线OP 斜率的乘积；（2）将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，消去x ，列出韦达定理，求出点P 的坐标，计算出2214AP AB =，由（1）可知，直线OP 的方程为34m y x =-，与椭圆C 的方程联立，求出2MN ，再由2AP PM PN =⋅可得出关于m 的方程，解出即可得出直线l 的方程. 【详解】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，则22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得()()2222121211043x x y y -+-=，即()()()()121212121143x x x x y y y y -+=--+，所以01212034x y y x x y -=-⋅-，所以01212034AB OP y y y k k x x x -=⋅=--；（2）直线l 的方程为1x my =-，与椭圆C 联立得221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去x 得()2234690m y my +--=，所以122122634934m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，12023234y y m y m +==+，所以2243,3434m P m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，()()()222222222169916343434m m OP m m m +=+=+++，()2212134m AB m +==+，所以()()2222223611234m AP AB m +⎛⎫==⎪⎝⎭+，直线OP 的方程为：34y mx =-，联立2214334x y y mx⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得221634x m =+ 而()()22222224916169162434163434m m MNOM m m m +⎛⎫==+⋅= ⎪+++⎝⎭， ()()()2222214AP PM PN OM OP ON OP OM OPMN OP ==-+=-=-Q ，所以()()()()222222222361491619164343434m m m m m m +++=⋅-+++，所以()22121916m m +=+，所以243m m =⇒=所以直线l 的方程为1x=-，即330x ±+=. 【点睛】本题考查利用点差法求解直线斜率的乘积问题，同时也考查了利用弦长的关系式求直线方程，考查运算求解能力，属于中等题.21．已知函数()()()()21ln 1102x e f x x a x a a =-+-+>的导函数为()g x .（1）求()g x 的最小值；（2）若a e =，实数1x 、2x 满足121x x <<且()()121f x f x +=，证明：122x x +<. 【答案】（1）0；（2）证明见解析.【解析】（1）求出函数()y g x =的解析式，利用导数分析函数()y g x =在R 上的单调性，可得出函数()y g x =的最小值；（2）由题意得出()112f =，构造函数()()()21F x f x f x =+--，利用导数证明出函数()y F x =在[)1,+∞上单调递增，由()()210F x F >=可得出()()212f x f x ->，再由函数()y f x =在(),-∞+∞上为增函数可得出122x x +<.【详解】（1）()()1ln 1x g x f x e x a a '==⋅-+-，则()11x x e ag x e a a-'=⋅-=. 当ln x a <时，()0g x '<，则函数()y g x =在(),ln a -∞上单调递减；当ln x a >时，()0g x '>，则函数()y g x =在()ln ,a +∞上单调递增. 则()()ln min 1ln e ln ln 10ag x g a a a a==⋅-+-=，因此，函数()y g x =的最小值为0；（2）当a e =时，()2112x f x e x e =⋅-⋅，由（1）可知()0g x ≥，则函数()y f x =在(),-∞+∞内单调递增，且()112f =，构造()()()()222111121222x x F x f x f x e x e x e e -=+--=⋅-⋅+⋅-⋅-，22122x x e e x x e e ⎛⎫=⋅+-+- ⎪⎝⎭，令()()2122x x e G x F x e x e e ⎛⎫'==⋅--+ ⎪⎝⎭，则()21220x x e G x e e e ⎛⎫'=⋅+-≥= ⎪⎝⎭，故函数()y G x =在(),-∞+∞内单调递增，又()10G =，故对任意1x >，都有()()0G x F x '=>，即函数()y F x =在[)1,+∞内单调递增，又()()12110F f =-=，所以对任意1x >，都有()0F x >，取2x x =有()()()222210F x f x f x =+-->，即()()2221f x f x ->-，即()()212f x f x ->，因为函数()y f x =在[)1,+∞内单调递增，所以212x x ->，即122x x +<. 【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，同时也考查了利用导数证明不等式，考查极值点偏移的问题，构造对称函数并利用导数分析对称函数的单调性是解答的关键，考查计算能力与推理能力，属于难题.22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2132x t y t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρθ=. （1）写出圆C 和直线l 的普通方程；（2）P 为直线l 上一点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 点的直角坐标. 【答案】（1）(223x y -+=，0x -+=（2）()0,3P【解析】（1）根据加减消元法得直线l 的普通方程，根据222,cos x y x ρρθ==+得圆C 的直角坐标方程；（2）根据两点间距离公式得PC ，再根据二次函数性质求最值，即得结果. 【详解】解：（1）直线l的直角坐标方程为：0x -+= 圆C的直角坐标方程为：(223x y -+=（2）设,3212P t +⎫⎪⎪⎝⎭，因为圆心)C所以PC ==当0t =时PC 的最小值为()0,3P . 【点睛】本题考查参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程以及参数方程简单应用，考查基本分析转化与求解能力，属基础题. 23．若a ，b ，()0,c ∈+∞，且1a b c ++= （1）证明：13ab bc ac ++≤（2）求()222149a b c +++的最小值. 【答案】（1）见解析（2）14449【解析】（1）根据均值不等式以及三个数和的平方公式证明结果；（2）根据柯西不等式直接可得结果. 【详解】解：（1）因为222a b ab +≥，222b c bc +≥，222a c ac +≥，所以222ab bc ac a b c ++≤++，又因为()21a b c ++=，所以2222221a b c ab bc ac +++++=，所以13ab bc ac ++≤ 当且仅当13a b c ===时取等号. （2）因为()111123123a b c a b b ++=⋅++⋅+⋅- 所以()111123223a b b ⋅++⋅+⋅= 所以()()22211111122311492349a b b a b c ⎛⎫⎡⎤⋅++⋅+⋅≤+++++ ⎪⎣⎦⎝⎭ 所以()22214414949a b c +++≥，当且仅当2349a =，1849b =，849c =时取等号 ()222149a b c +++的最小值为14449. 【点睛】本题考查均值不等式以及柯西不等式，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.。

辽宁省大连市2020届高三双基测试数学(理)试题 PDF版含答案

12020年大连市高三双基测试数学（理科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一．选择题（1）（A ）；（2）（B ）；（3）（D ）；（4）（A ）；（5）（C ）；（6）（B ）；（7）（D ）；（8）（C ）；（9）（B ）；（10）（D ）；（11）（C ）；（12）（C ），（D ）.二.填空题（13）2；（14）1-；(15) 16． 9,42π-.三.解答题（17）(本小题满分12分)解： (I)连接AC ，CE ，ACE ∆即为所求，…………3分∵ABCD 是菱形，AD AB ∴=，又PA AB =，AD PA ∴=， ∵E 为PD 中点，AE PD ∴⊥，同理CE PD ⊥，又AE CE E =，AE CE α⊂，，PD α∴⊥.………6分(II)连接BD ，交AC 于O ，连接PO ，ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，且O 为AC ，BD 中点，PA PC =，AC PO ∴⊥，同理BD PO ⊥，又=AC BD O ，⊂，平面AC BD ABCD ，PO ABCD ∴⊥面，以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系， ·················································································7分设2PA PC AB ===，60ABC ∠=︒，2AC ∴=，BD =(0,1,0)A -，B ，(D，P (3,0,DP =，(3,1,0)AB=，AP =，2PD α⊥，α∴平面的一个法向量为(3,0,DP =， ··················8分设平面PAB 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则00AB AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩nn，即00y y +==⎪⎩，设1x=，则y =，1z =，(1,=n ， ········································································10分设平面α与平面PAB 所成的锐二面角大小为θ，则cos |cos ,|||5|||6DPDP DP θ⋅====n n |n 综上平面α与平面PAB ·······················12分(18)(本小题满分12分)解：（Ⅰ）方法一：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公比为2的等比数列， 21212,421a a a a ∴=⋅∴=………2分又2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列，2121122a a ∴-=，………4分解得1228=⎧⎨=⎩a a ………6分方法二：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公比为2的等比数列， 11(1)12,2n n n n a n n a a a nn++++∴=∴=①………2分又2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公差为1的等差数列，11122n n n n a a ++∴-=②………4分由①②解得：2nn a n =⋅1228=⎧⎨=⎩a a ………6分3 （Ⅱ）1122,21-=⋅=∴=⋅n n n n n a a a n n ………7分方法一：1231231222322=++++=⋅+⋅+⋅++⋅n n n S a a a a n 234121222322+∴=⋅+⋅+⋅++⋅n n S n ………9分两式作差可得：231112(12)222222(1)2212n n n n n n S n n n +++--=++++-⋅=-⋅=-⋅--， 1(1)22n n S n +∴=-⋅+………12分方法二：12(22)2(24)2()n n n n a n n n n N -+=⋅=-⋅--⋅∈，………9分设1(24)2n n b n -=-⋅，则1n n n a b b +=-. 122132111()()()(22)22n n n n n n S a a a b b b b b b b b n ++∴=+++=-+-++-=-=-⋅+，1(1)22n n S n +∴=-⋅+………12分(19)(本小题满分12分)解：(I)设事件A 表示：辩论队员甲收到队长的通知信息，则3()8P A =，5()8P A =， ···························································1分设事件B 表示：辩论队员甲收到副队长的通知信息，则3()8P B =，5()8P B =， ···························································2分设事件C 表示：辩论队员甲收到队长或副队长的通知信息，则2539()1()()1()864P C P A P B =-=-=，所以辩论队员甲收到队长或副队长的通知信息的概率为3964. ···················4分(II)由题意可得随机变量X 可取值为3，4，5，6， ·······························5分则3833881(3)56C P X C C ===⋅，211865338815(4)56C C C P X C C ⋅⋅===⋅， 122875338815(5)28⋅⋅===⋅C C C P X C C ，338533885(6)28⋅===⋅C C P X C C ， ·················9分所以随机变量X 的分布列为：4························10分其数学期望11515539()3456565628288=⨯+⨯+⨯+⨯=E X ···················12分(20) （本小题满分12分）解：（Ⅰ）2222121(2)1()(1)(1)(1)x a a x a x x g x x x x x x ++++++'=+==+⋅++………1分 10,222x x a a x>∴+++≥++，∴4a ≥-时，()0g x '≥恒成立，所以()gx 在(0,)+∞单调递增，没有单调递减区间.……………2分4a <-时，设2()(2)1m x x a x =+++，则对称轴2020,402a x a a +=->∆=+>，解不等式()0m x >可得：(2)2a x -+>，或(2)2ax -+-<. 所以此时()g x 的单调递增区间为(2)(0,2-+a 和(2)()2a -+++∞，单调递减区间是.………3分综上：4a ≥-时，单调递增区间是(0,)+∞，没有单调递减区间；4a <-时，单调递增区间为和)+∞，单调递减区间是(2)(2)(22a a -+-++.………4分（Ⅱ）（i ）1()()(1)ln(1)x h x f x f x ax e x ax -=-+-=-+-，1()1x h x e a x '∴=--+在(0,)+∞单调递增，又因为(0)0h a '=-<， ln(1)1ln(1)(ln(1))0ln(1)1ln(1)1a a h a e a a a ++'+=--=>++++，50(0,ln(1))x a ∴∃∈+，使得0()0h x '=，且0(0,)x x ∈时，()0h x '<，0(,)x x ∈+∞时，()0h x '>，()h x ∴在0(0,)x 单调递减，0(,)x +∞单调递增，()h x 在(0,)+∞上有且仅有一个零点，所以此零点为极小值点0x .………8分（ii ）由（i ）得00()0()0'=⎧⎨=⎩h x h x ，即00000101ln(1)0x x e a x e x ax ⎧--=⎪+⎨⎪-+-=⎩，解得：0011x a e x =-+，且00000(1)ln(1)01x x x e x x -⋅-++=+.………9分设()(1)ln(1)1xx u x x e x x =-⋅-+++，（(0,ln(1))x a ∈+） 22111()()1(1)(1)x x u x x e x e x x x '=-⋅-+=-⋅++++，则()u x 在(0,ln(1))x a ∈+单调递减.因为131()ln 0223u =+>，1(1)ln 202u =-+<，01(,1)2x ∴∈.………11分又因为1()1x v x e x =-+在1(,1)2单调递增，12121(),(1)232v e v e =-=-， 122132e a e ∴-<<-………12分 (21)（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵12c a =，∴2222143x y c c +=，又∵椭圆E 经过点3(1,)2，∴1c =，∴椭圆E 的标准方程为22143x y +=. ···································3分（Ⅱ）方法一：l 的方程为y kx m =+，设1122(,),(,)C x y D x y ，联立方程组22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，化简得222(43)84120k x kmx m +++-=，由0∆>解得2234+>k m ，且21212228412,4343km m x x x x k k --+=⋅=++. ······4分6 ∴12121212922224++⋅=⋅=⋅=-++++AC AD y y kx m kx m k k x x x x ， 221212(49)(418)()4360k x x km x x m ∴++++++=，222224128(49)(418)43604343m km k km m k k --+++⋅++=++·····················6分化简可得：22230k km m -+=∴k m =或2k m =（舍），满足0∆>···7分 ∴直线l 的方程为y kx k =+，∴直线l 经过定点(1,0)-. ······························································8分方法二：设l 的方程为x my n =+，设1122(,),(,)C x y D x y ，联立方程组22143⎧+=⎪⎨⎪=+⎩x y x my n ，化简得222(34)63120m y mny n +++-=， 0∆>解得：2234m n +>，且21212226312,3434mn n y y y y m m --+=⋅=++······4分 12121212922(2)(2)4AC AD y y y y k k x x my n my n ⋅=⋅==-++++++， 221212(94)9(2)()9(2)0m y y m n y y n ∴++++++=， ·······················6分 222223126(94)9(2)9(2)03434n mn m m n n m m --∴+++⋅++=++化简可得：2320n n ++=，1n ∴=-或者2n =-（舍）满足0∆>·······7分 ∴直线l 经过定点(1,0)-. ······························································8分方法三：设2'=-⎧⎨'=⎩x x y y ，则有22(2)()143''-+=x y ，22()()043'''∴-+=x y x ，设l 方程为1''+=mx ny ，22()()()043'''''∴-++=x y x mx ny ，7 21034∴-+-=k nk m ，12194143-∴==-m k k ，1∴=m ， :1''∴+=l x ny ， 21∴++=x ny ，1∴+=-x ny ， ∴直线l 经过定点(1,0)-. ······························································8分（Ⅲ）方法一：l 的方程为y kx m =+，设1122(,),(,)C x y D x y ，联立方程组22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，化简得222(43)84120k x kmx m +++-=，由22=48(43)0∆-+>k m ，且21212228412,4343km m x x x x k k --+=⋅=++.∵0++=OC OD OB ，∴点1212(,)B x x y y ----，又∵点B 在椭圆E 上，∴221212()()143----+=x x y y ， ∴222211221212221434343+++++=x y x y x x y y ， ∴12121432+=-x x y y . 222212121223(4)=()43-+++=+m k y y k x x km x x m k 2222222341,443043432--+=-∴--=++m m k m k k k …………………………9分212||||4==m CD m .……………10分点B 到直线l 距距离=d …………………………………………………11分.19||22∆==BCD S CD d . 方法二：前面同法一点O 到直线l 距离d =…………………………………………………11分 ∴13||2OCD S CD d ∆==，∴932BCD OCD S S ∆∆==. ……………………………12分方法三：设(2cos ),(2cos )C D ααββ，∵0++=OC OD OB ，∴点(2cos 2cos ,)B αβαβ--，又∵点B 在椭圆E 上，∴2(2cos 2cos )1,4αβ--+=∴1cos()2αβ-=-，…………………………10分 1|(2cos 2cos ))2BCD S αβαβ∆=--⨯-112cos )(2cos )|22ααββ---⨯(-）（………………………11分 3sin()|2αβ=-=，∴932BCD OCD S S ∆∆==. ……………………………12分 (22)（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程解：(I) 2sin 4cos ρθθ=，22sin 4cos ρθρθ∴=，∴曲线C 的直角坐标方程为24y x =， ·············································3分直线l 的参数方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）， ······························5分(II) 2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩与24y x =联立可得：22sin 4cos 80t t αα--=， 0∆>，1224cos sin t t αα+=，1228sin t t α=-，所以224212122222221212216cos 16()21111161sin sin 8||||()644()sin αααα++-+=+====-t t t t MA MB t t t t ．··································································································10分(23)（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲证明：（Ⅰ）3332+2()≥=a b ab ， 223333+()842∴≤==a b ab ……5分 (II)方法一：∵3322+()()=+-+=a b a b a ab b 2()[()3]a b a b ab ++-22331()[()()]()44≥++-+=+a b a b a b a b ． ∴+4a b ≤． ···········································································10分方法二：∵333+2+234a a ≥⨯……………①∵333+2+234≥⨯b b ……………②由①+②得4812()a b ≥+．∴+4a b ≤． ···········································································10分。