中考数学类比探究(一)——直角、平行(习题及答案).

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中考数学几何结构之直角、平行(讲义及答案).

中考数学几何结构之直角、平行（讲义）➢知识点睛1.几何综合问题的处理思路（1）标注条件，合理转化（2）组合特征，分析结构（3）由因导果，执果索因一般遇到求线段比值的问题时，往往考虑利用相似来解决问题；借助“直角”“平行线”特征可以构造相似三角形．2.（1）直角结构之“斜直角放正”构造一线三等角构造类“弦图”相似得到△ADB∽△BEC 得到△AEB∽△BDC构造旋转放缩，得到△EMD∽△FND（2）直角结构之“十字模型”特征：①正方形；②BF⊥CE 特征：①矩形；②BF⊥CE结论：BF=CE 结论：BF=AB CE BC特征：①矩形；②EF⊥GH结论：EF=AB GH BC3.平行结构之“作平行，得相似”（构造X 型、A 型）➢精讲精练1.如图，在梯形ABCD 中，AB∥CD，∠B=∠C=90°，点E 在BC 边上，AB=3，CD=2，BC=7．若∠AED=90°，则CE= ．2.如图，已知矩形ABCD 的顶点A，D 分别落在x 轴、y 轴上，OD=2OA=6，AD:AB=3:1，则点C 的坐标是（）A．(2，7) B．(3，7) C．(3，8) D．(4，8)3.如图，将三角板放在矩形ABCD 上，使三角板的一边恰好经过点B，三角板的直角顶点E 落在矩形对角线AC 上，另一边交CD 于点F．若AB=3，BC=4，则EF．EB第3 题图第4 题图4.如图，直角梯形ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=3，BC=5，将腰DC 绕点D 逆时针方向旋转90°并缩短，恰好使连接AE，则△ADE 的面积是．DE=23CD，5.如图，在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，将Rt△MPN 的直角顶点P 放置在AC 上，PM 交AB 于点E，PN 交BC 于点F，当PE=2PF 时，AP= ．6.在矩形ABCD 中，AE⊥BD 于点E，点P 是边AD 上一点，PE⊥EC．若AB=1，BC=2，则AP 的长为．7.如图，在Rt△ACB 中，∠ACB=90°，AC=BC=3，CD=1，CH⊥BD 于H，点O 是AB 的中点，连接OH，则OH= ．8.如图，已知矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，点M，N 分别在边AD，BC 上，沿着MN 折叠矩形ABCD，使点A，B 分别落在E，F 处，且点F 在线段CD 上（不与两端点重合），过点M作MH⊥BC 于点H，连接BF，则△MHN∽；折痕MN的长度的取值范围为．9.如图，在矩形ABCD 中，AB=6 cm，BC=12 cm，AM=5 cm，点P 为BC 上一动点，把矩形ABCD 对折，折痕分别交AD，BC 于E，F，连接DF．若点A 关于PM 的对称点A′落到DF 上，则线段MP 的长度为．10.如图，在等腰Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=15，点E 在边CB上，CE=2EB，点D 在边AB 上，CD⊥AE，垂足为F，过点B 作BG∥AC，交CD 的延长线于点G，则AD 的长为．11.如图，在△ABC 中，点D，E，F 分别在AB，BC，AC 边上，DE∥AC，EF∥AB．设AF1．FC 2①若BC=12，则线段BE 的长为；②若△EFC 的面积是20，则△ABC 的面积为．12.如图，E，F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，1AE=CF=4AC．连接DE，DF 并延长，分别交AB，BC 于点G，H，连接GH，则CH=AD，CH=，BHAG=GB ，S△A DG =．S△BGH13.如图，在△ABC 中，D 在AC 边上，AD:DC=1:2，O 是BD的中点，连接AO 并延长交BC 于E，则BE:EC=（）A．1:2 B．1:3 C．1:4 D．2:35 【参考答案】1. 1 或 62. A3. 434. 25. 36. 127.8. △BCF ；3＜MN ＜ 15 49. 2 10. 9 cm 或3 cm11. ①4；②45．12. 1 ； 1 3 2 13. B； 1 ； 3 2 43 5 510 2。

类比探究(一)——直角、平行(习题)

类比探究（一）——直角、平行（习题）1. 如图1，在□ABCD 中，点E 是BC 边的中点，点F 是线段AE 上一点，BF的延长线交射线CD 于点G ．（1）尝试探究：如图1，若3AFEF=，则CD CG 的值是______．（2）类比延伸：如图2，在原题的条件下，若AFm EF=（m ＞0），则CD CG 的值是_______（用含m 的代数式表示），试写出解答过程．（3）拓展迁移：如图3，在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，点E 是BC 延长线上一点，AE 和BD 相交于点F ．若AB a CD =，BCb BE=（a ＞0，b ＞0），则AF EF 的值是________（用含a ，b 的代数式表示）．GF DC BA图1GF E DBA图2ADCEFB图32. 如图1，一副直角三角板满足AB =BC ，AC =DE ，∠ABC =∠DEF =90°，∠EDF =30°．【操作】将三角板DEF 的直角顶点E 放置于三角板ABC 的斜边AC 上，再将三角板DEF 绕点E 旋转，并使边DE 与边AB 交于点P ，边EF 与边BC 交于点Q ．【探究】在旋转过程中，（1）如图2，当1CEEA =时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？并给出证明．（2）如图3，当2CEEA=时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？并给出证明．（3）根据你对（1），（2）的探究结果，试写出当CEm EA=时，EP 与EQ 满足的数量关系式为________________．A (D )C (E )BF图1QPDEFB C A图2Q PDE F B CA图33. 在△ABC 中，已知D 是BC 边的中点，G 是△ABC 的重心，过点G 的直线分别交AB ，AC 于点E ，F ．（1）如图1，当点E 与点B 重合时，AGGD=_______．（2）如图2，当EF ∥BC 时，求证：1=+AFCFAE BE ．（3）如图3，当EF 和BC 不平行，且点E ，F 分别在线段AB ，AC 上时，（2）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．提示：①过点A 作AM ∥BC ，交EF 于点M ，直线FE 交BC 于N ；②NB +NC =2ND ．（4）如图4，当点E 在AB 的延长线上或点F 在AC 的延长线上时，（2）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．AB (E )CDFG图1ABCD EF G 图2GFE D CBA图3ABCD EFG图4【参考答案】1. （1）32；（2）2m ；（3）ab ．2. （1）EP =EQ ，证明略；（2）EP =12EQ ，证明略；（3）EP =1mEQ ．3. （1）2；（2）证明略；（3）（2）中的结论仍然成立，证明略；（4）（2）中的结论不成立，理由略．。

类比探究(一)——直角、平行(讲义及答案).

类比探究（一）课前预习如图，在△4BC 中,AF:FB=2:3,延长BC 至点D,使得BC=2CD, 则竺=EC ----------提示：求比例，找相似.利用平行线构造“A 型”或“X 型” 相似是我们常用的一种做法.如图，AB=4.射线和AB 相互垂直，点D 是AS 上的一个动点，点E 在射线BM 上,2BE 二DB ，作EF 丄DE 并截取EF=DE, 连接AF 并延长交射线BM 于点C.设BE 二X, BC=y,则y 关于X 的函数解析式是（）12.V.V-I8-V提示：斜放置的直角特征，整合信息.知识点睛类比探究问题的处理思路（1）根题干条件，结合 _________________ 先解决第一问. <2）尝试类比解决下一问，探索过程中确定 ___________.直角.平行（讲义）A)' =- B. )' = - C. )' = -D.可考虑构造一线三等角，利用相似 X- 3x X-4 2x①如果能类比，根条件变化，则确定________________ .②如果不能类比，分析两问间关系，__________________ ，并尝试、验证.注：类比过程中，往往要在不变结构的框架下去思考分析，有时也会进行适当的探索来解决图形变化过程中产生的一些新问题.比如在第3问，会需要根据前2问发现的不变结构去补全图形.＞精讲精练I现有矩形ABCD和一个以0为直角顶点的三角板，移动三角板，使三角板的两直角边所在直线分别与直线BC, CD交于点M, N.（1）如图1,当AB二AD且点0与点A重合时，则0M与ON 的数量关系是___________ ;⑵ 如图2,当An=AD且点0在矩形的内部（含边界）时，若OM=ON,请探究点0在移动过程中可形成什么图形？⑶ 如图3,当点O在矩形的对角线BD上时，若BC=7,CD二竺，BO=5,则（1）中的结论是否成立？3⑷ 如图4,在平面直角坐标系中，已知点A（0, 4^疗），点B（l, JJ）,且ZABC=90%若点Q到y轴的距离为4,请直接写出满足题意的点C的坐标.备用图2在△ABC 中，ZABC=90。

类比探究(一)——平行、直角(讲义及答案)

类比探究（一）——平行、直角（讲义）➢知识点睛1.类比探究一般会围绕一个不变结构进行考查．常见结构有：平行结构、直角结构、旋转结构、中点结构．2.类比是解决类比探究问题的主要方法．往往会类比字母、类比辅助线、类比结构、类比思路来解决类比探究问题．3.常见结构：①平行结构②直角结构③旋转结构④中点结构平行夹中点(类)倍长中线中位线➢精讲精练1.如图，△ABC 中，点E，P 在边AB 上，且AE=BP，过点E，P 作BC 的平行线，分别交AC 于点F，Q，记△AEF 的面积为S1，四边形EFQP 的面积为S2，四边形PQCB 的面积为S3．（1）①若EP=2AE，则EF:PQ:BC= ；②求证：EF+PQ=BC．（2）若S1+S3=S2，求PE的值．AE（3）若S3-S1=S2，直接写出PE的值．AE2.在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 上一动点，设DE=nEA，连接CE 并延长交AB 于点F．FB （1）如图1，当∠BAC=90°，∠B=30°，DE=EA 时，求FA 的值；FB （2）如图2，当△ABC 为锐角三角形，DE=EA 时，求FA 的值；FB （3）如图3，当△ABC 为锐角三角形，DE=nEA 时，求FA 的值．3.在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O；在Rt△PMN中，∠MPN=90°．（1）如图1，若点P 与点O 重合且PM⊥AD，PN⊥AB，分别交AD，AB 于点E，F，请直接写出PE 与PF 的数量关系．（2）将图1 中的Rt△PMN 绕点O 顺时针旋转角度α（0°<α<45°）．①如图2，在旋转过程中（1）中的结论依然成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．②如图3，旋转后，若Rt△PMN 的顶点P 在线段OB 上移动（不与点O，B 重合），当BD=3BP 时，猜想此时PE 与PF 的数量关系，并给出证明．③当BD=m·BP 时，请直接写出PE 与PF 的数量关系．（3）在（2）②的条件下，当∠DPM=15°时，连接EF，若正方形的边长为9 ，请直接写出线段EF 的长．34.在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A 且MN∥BC．以点 B 为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE=90°，且点D 在直线MN 上（不与点A 重合）．如图1，DE 与AC 交于点P，易证：BD=DP．（1）在图2 中，DE 与CA 的延长线交于点P，则BD=DP 是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．（2）在图3 中，DE 与AC 的延长线交于点P，BD 与DP 是否相等？请直接写出你的结论，无需证明．【参考答案】1. （1）①1:3:4 ②证明略（2）2（3）（3）2. （1）2（2）2 （3）2n 3. （1）PE =PF（2）①成立，证明略；②PE =2PF ，证明略；③PE =(m -1)PF （3） 6 4. （1）成立，证明略（2）相等2 5。

【中考数学必备专题】类比探究之图形运动(含答案)[1]

类比探究之图形运动一、探究题(共2道，每道50分)1.已知：在中，，动点绕的顶点逆时针旋转，且，连结．过、的中点、作直线，直线与直线、分别相交于点、．（1）如图1，当点旋转到的延长线上时，点恰好与点重合，证明（提示取的中点，连结、，根据三角形中位线定理和平行线的性质即可证明）．（2）当点旋转到图2或图3中的位置时，与有何数量关系？请分别写出猜想，并证明．答案：图2：∠AMF=∠ENB图3：∠AMF+∠ENB=180°证明：如图2，取AC的中点H，连接HE、HF∵F是DC的中点，H是AC的中点∴HF∥AD，HF=AD∴∠AMF=∠HFE同理，HE∥CB，HE=CB，∴∠ENB=∠HEF又∵∴HF=HE∴∠HEF=∠HFE∴∠ENB=∠AMF如图3，取AC的中点H，连接HE、HF∵F是DC的中点，H是AC的中点∴HF∥AD，HF=AD∴∠AMF+∠HFE=180°同理，HE∥CB，HE=CB，∴∠ENB=∠HEF又∵∴HF=HE∴∠HEF=∠HFE∴∠AMF+∠BNE=180°解题思路：两题思路基本相同，都需要作出两条辅助线，两次运用中位线定理解答．试题难度：三颗星知识点：平行线的性质2.正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P是DB所在直线上的一个动点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．（1）当点P与点O重合时（如图①），猜测AP与EF的数量及位置关系，并证明你的结论；（2）当点P在线段DB上（不与点D、O、B重合）时（如图②），探究（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）当点P在DB的长延长线上时，请将图③补充完整，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论．答案：（1）AP=EF，AP⊥EF，理由如下：连接AC，则AC必过点O，延长FO交AB于M；∵OF⊥CD，OE⊥BC，且四边形ABCD是正方形，∴四边形OECF是正方形，∴OM=OF=OE=AM，∵∠MAO=∠OFE=45°，∠AMO=∠EOF=90°，∴△AMO≌△FOE，∴AO=EF，且∠AOM=∠OFE=∠FOC=45°，即OC⊥EF，故AP=EF，且AP⊥EF．（2）题（1）的结论仍然成立，理由如下：延长AP交BC于N，延长FP交AB于M；∵PM⊥AB，PE⊥BC，∠MBE=90°，且∠MBP=∠EBP=45°，∴四边形MBEP是正方形，∴MP=PE，∠AMP=∠FPE=90°；又∵AB-BM=AM，BC-BE=EC=PF，且AB=BC，BM=BE，∴AM=PF，∴△AMP≌△FPE，∴AP=EF，∠APM=∠FPN=∠PEF∵∠PEF+∠PFE=90°，∠FPN=∠PEF，∴∠FPN+∠PFE=90°，即AP⊥EF，故AP=EF，且AP⊥EF．（3）题（1）（2）的结论仍然成立；如图，延长AB交PF于H，证法与（2）完全相同．解题思路：（1）连接AC，则AC必过O点，延长FO交AB于M，由于O是BD中点，易证得△AOM≌△FOE，则AO=EF，且∠AOM=∠FOC=∠OFE=45°，由此可证得AP⊥EF．（2）方法与①类似，延长FP交AB于M，延长AP交BC于N，易证得四边形MBEP是正方形，可证得△APM≌△FEP，则AP=EF，∠APM=∠FEP；而∠APM=∠FPN=∠PEF，且∠PEF与∠PFE互余，故∠PFE+∠FPN=90°，由此可证得AP⊥EF，所以（1）题的结论仍然成立．（3）解题思路和方法同（2）．试题难度：四颗星知识点：全等三角形的判定与性质。

中招考试几何类比探究题集锦一参考答案

中招考试几何类比探究题集锦（附参考答案）参考答案与试题解析一．解答题（共11小题）1．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2∠DAE=2α．（1）如图1，若点D关于直线AE的对称点为F，求证：△ABD≌△ACF；（2）如图2，在（1）的条件下，若α=45°，求证：DE2=BD2+CE2；（3）如图3，若α=45°，点E在BC的延长线上，请直接写出DE2，BD2，CE2三者之间的等量关系．【解答】解：（1）∵点D关于直线AE的对称点为F，∴EF=DE，AF=AD，∠DAE=∠EAF=α∴∠CAE+∠CAF=α∵∠BAC=2∠DAE=2α．∴∠BAD+∠CAE=∠BAC﹣∠DAE=α，∴∠BAD=∠CAF，在△ABD和△ACF中，第1页（共33页）第2页（共33页）∴△ABD ≌△ACF （SAS ），（2）由（1）知，△ABD ≌△ACF （SAS ），∴CF=BD ，∠ACF=∠B ，∵AB=AC ，∠BAC=2α，α=45°，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠ECF=∠ACB +∠ACF=45°+45°=90°，在Rt △CEF 中，由勾股定理得，EF 2=CF 2+CE 2，∴DE 2=BD 2+CE 2，（3）DE 2=BD 2+CE 2；理由：如图，∵∠BAC=2∠DAE=2α．∴∠DAE=α，∵点D 关于直线AE 的对称点为F ，∴EF=DE ，AF=AD ，∠DAE=∠EAF=α∴∠CAF=∠EAF +∠CAE=α+∠CAE∴∠BAD=∠BAC ﹣∠DAC=2α﹣∠DAC=2α﹣（∠DAE ﹣∠CAE ）=2α﹣（α﹣∠CAE）=α+∠CAE∴∠BAD=∠CAF，在△ABD和△ACF中，∴△ABD≌△ACF（SAS），∴CF=BD，∠ACF=∠B，∵AB=AC，∠BAC=2α，α=45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2=CF2+CE2，∴DE2=BD2+CE2，2．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．猜测DE、BD、CE三条线段之间的数量关系（直接写出结果即可）．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问第（1）题中DE、BD、CE之间的关系是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF 均为等第3页（共33页）边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断线段DF、EF的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）DE=BD+CE．理由如下：如图1，∵BD⊥l，CE⊥l，∴∠BDA=∠AEC=90°又∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）∴BD=AE，AD=CE，∵DE=AD+AE，∴DE=CE+BD；（2）如图2，∵∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α，第4页（共33页）∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴BD+CE=AE+AD=DE；（3）DF=EF．理由如下：由（2）知，△ADB≌△CAE，BD=EA，∠DBA=∠CAE，∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°，∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，∴∠DBF=∠FAE，∵BF=AF在△DBF和△EAF中，，∴△DBF≌△EAF（SAS），∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，第5页（共33页）∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，∴△DEF为等边三角形．∴DF=EF．3．（1）问题发现如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在边BC上，连接CE．请填空：①∠ACE的度数为60°；②线段AC、CD、CE之间的数量关系为AC=CD+CE．（2）拓展探究如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点D在边BC 上，连接CE．请判断∠ACE的度数及线段AC、CD、CE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD=2，CD=1，AC与BD交于点E，请直接写出线段AC的长度．第6页（共33页）【解答】解：（1）①∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠B=60°，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE=∠B=60°，故答案为：60°；②线段AC、CD、CE之间的数量关系为：AC=CD+CE；理由是：由①得：△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∵AC=BC=BD+CD，∴AC=CD+CE；故答案为：AC=CD+CE；（2）∠ACE=45°，AC=CD+CE，理由是：如图2，∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE，第7页（共33页）∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，∠ACE=∠B=45°，∵BC=CD+BD，∴BC=CD+CE，∵在等腰直角三角形ABC中，BC=AC，∴AC=CD+CE；（3）如图3，过A作AC的垂线，交CB的延长线于点F，∵∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD=2，CD=1，∴BD=2，BC=，∵∠BAD=∠BCD=90°，∴∠BAD+∠BCD=180°，∴A、B、C、D四点共圆，∴∠ADB=∠ACB=45°，∴△ACF是等腰直角三角形，由（2）得：AC=BC+CD，∴AC===．第8页（共33页）4．【探究发现】如图1，△ABC是等边三角形，∠AEF=60°，EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F，当点E是BC的中点时，有AE=EF成立；【数学思考】某数学兴趣小组在探究AE、EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：当点E是直线BC上（B，C除外）任意一点时（其它条件不变），结论AE=EF仍然成立．假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点E是线段BC上的任意一点”；“点E是线段BC延长线上的任意一点”；“点E是线段BC反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在备用图1中画出图形，并证明AE=EF．【拓展应用】当点E在线段BC的延长线上时，若CE=BC，在备用图2中画出图形，并运用上述结论求出S△ABC ：S△AEF的值．【解答】证明：第一种情况：点E是线段BC上的任意一点，可作三种辅助线：方法一：如图1，在AB上截取AG，使AG=EC，连接EG，第9页（共33页）∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°．∵AG=EC，∴BG=BE，∴△BEG是等边三角形，∠BGE=60°，∴∠AGE=120°．∵FC是外角的平分线，∠ECF=120°=∠AGE．∵∠AEC是△ABE的外角，∴∠AEC=∠B+∠GAE=60°+∠GAE．∵∠AEC=∠AEF+∠FEC=60°+∠FEC，∴∠GAE=∠FEC．在△AGE和△ECF中，∴△AGE≌△ECF（ASA），∴AE=EF；方法二：在CA上截取CG=CE，连结GE，证明类似方法一；方法三：延长FC到G，使CG=CE，连结EG，易证△CEG是等边三角形，第10页（共33页）∴CE=EG，∠G=∠ACB=60°，∠CEG=∠AEF=60°，∴∠CEG+∠CEF=∠AEF+∠CEF，即∠GEF=∠AEC，∴△GEF≌△CEA，∴AE=EF．第二种情况：点E是线段BC延长线上的任意一点如图2，可作三种辅助线：①在CF上截取CG=CE，连接GE②延长AC到G，使CG=CE，连结EG；③或延长BA到G，使BG=BE，连结EG．第②种添加辅助线的方法证明如下：证明：延长AC到G，使CG=CE，连结EG，易证△CEG为等边三角形，∴∠G=∠ECF=60°，EG=CE，又∠AEG=∠CEG+∠AEC=60°+∠AEC，∠CEF=∠AEF+∠AEC=60°+∠AEC，第11页（共33页）∴∠AEG=∠CEF，∴△AEG≌△FEC，∴AE=EF．第三种情况：点E是线段BC反向延长线上的任意一点如图3，可作三种辅助线：①延长AB到G，使BG=BE，连结EG；②延长CF到G，使CG=CE，连结EG；③在CE上截取CG=CF，连结GF现就第①种添加辅助线的方法证明如下：证明：延长AB到G，使BG=BE，连结EG，易证△BEG为等边三角形，∴∠G=∠ECF=60°，第12页（共33页）∵∠AEB+∠BAE=∠ABC=60°，∠AEB+∠CEF=∠AEF=60°，∴∠BAE=∠CEF，∵AB=BC，BG=BE，∴AB+BG=BC+BE，即AG=CE，∴△AEG≌△EFC，∴AE=EF．拓展应用：如图4：作CH⊥AE于H点，∴∠AHC=90°．由数学思考得AE=EF，又∵∠AEF=60°，∴△AEF是等边三角形，∴△ABC∽△AEF．第13页（共33页）∵CE=BC=AC，△ABC是等边三角形，∴∠CAH=30°，AH=EH．∴CH=AC，AH=AC，AE=AC，∴．∴==．5．问题情境：在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O放在斜边AC上，将三角板绕点O旋转．（1）操作发现：当点O为AC中点时：①如图1，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，连接EF，猜想线段AE、CF与EF之间存在的等量关系：AE2+CF2=EF2（无需证明）；②如图2，三角板的两直角边分别交AB，BC延长线于E、F两点，连接EF，判断①中的结论是否成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；第14页（共33页）（2）类比延伸：当点O不是AC中点时，如图3，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，若=，请直接写出=．【解答】解：（1）①猜想：AE2+CF2=EF2，连接OB，如图1，∵AB=BC，∠ABC=90°，O点为AC的中点，∴OB=AC=OC，∠BOC=90°，∠ABO=∠BCO=45°．∵∠EOF=90°，∴∠EOB+∠BOF=∠FOC+∠BOF．∴∠EOB=∠FOC，在△OEB和△OFC中，，∴△OEB≌△OFC（ASA）．∴BE=CF，又∵BA=BC，∴AE=BF．在Rt△EBF中，∵∠EBF=90°，∴BF2+BE2=EF2，∴AE2+CF2=EF2；故答案为：AE2+CF2=EF2；第15页（共33页）②成立．证明：连结OB．如图2，∵AB=BC，∠ABC=90°，O点为AC的中点，∴OB=AC=OC，∠BOC=90°，∠ABO=∠BCO=45°．∵∠EOF=90°，∴∠EOB=∠FOC．在△OEB和△OFC中，，∴△OEB≌△OFC（ASA）．∴BE=CF，又∵BA=BC，∴AE=BF．在Rt△EBF中，∵∠EBF=90°，∴BF2+BE2=EF2，∴AE2+CF2=EF2；（2）=，如图3，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N．∵∠B=90°，第16页（共33页）∴∠MON=90°，∵∠EOF=90°，∴∠EOM=∠FON．∵∠EMO=∠FNO=90°，∴△OME∽△ONF，∴=，∵△AOM和△OCN为等腰直角三角形，∴△AOM∽△OCN，∴=，∵=，∴=，故答案为．第17页（共33页）第18页（共33页）6．阅读发现：（1）如图①，在Rt △ABC 和Rt △DBE 中，∠ABC=∠DBE=90°，AB=BC=3，BD=BE=1，连结CD ，AE ．易证：△BCD ≌△BAE ．（不需要证明）提出问题：（2）在（1）的条件下，当BD ∥AE 时，延长CD 交AE 于点F ，如图②，求AF 的长．解决问题：（3）如图③，在Rt △ABC 和Rt △DBE 中，∠ABC=∠DBE=90°，∠BAC=∠DEB=30°，连结CD ，AE ．当∠BAE=45°时，点E 到AB 的距离EF 的长为2，求线段CD的长为．【解答】（2）解：如图②中，AB与CF交于点O．由（1）可知：△BCD≌△BAE，∴∠OAF=∠OCB，CD=AE，∵∠AOF=∠COB，∴∠AFO=∠CBO=90°，∴CF⊥AE，∵BD∥AE，∴BD⊥CF，在RT△CDB中，∵∠CDB=90°，BC=3，BD=1，∴CD=AE==2，∵∠BDF=∠DFE=∠DBE=90°，∴四边形EFDB是矩形，∴EF=BD=1，∴AF=AE﹣EF=2﹣1．（3）解：在RT△ABC，RT△EBD中，∵∠ABC=∠DBE=90°，∠BAC=∠DEB=30°，∴AB=BC，BE=BD，∴==，∵∠ABC=∠EBD=90°，∴∠ABE=∠DBC，∴△ABE∽△CBD，∴==，第19页（共33页）第20页（共33页）在RT △AEF 中，∵∠AFE=90°，∠EAF=45°，EF=2，∴AF=EF=2，AE=2，∴=，∴CD=．故答案为．7．如图1，两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．（1）操作发现：如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是DE∥AC；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是S1=S2．（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，请猜想（1）中S1与S2的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展探究已知∠ABC=60°，BD平分∠ABC，BD=CD，BC=9，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请求相应的BF的长．【解答】解：（1）①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，∴AC=CD，∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°，第21页（共33页）∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD=60°，又∵∠CDE=∠BAC=60°，∴∠ACD=∠CDE，∴DE∥AC；故答案为：DE∥AC；②∵∠B=30°，∠C=90°，∴CD=AC=AB，∴BD=AD=AC，根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2=×2×2=2；故答案为：S1=S2；（2）如图，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，∴BC=CE，AC=CD，∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°，∴∠ACN=∠DCM，∵在△ACN和△DCM中，，第22页（共33页）∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN=DM，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2；（3）如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，此时S△DCF1=S△BDE；过点D作DF2⊥BD，∵∠ABC=60°，F1D∥BE，∴∠F2F1D=∠ABC=60°，∵BF1=DF1，∠F1BD=∠ABC=30°，∠F2DB=90°，∴∠F1DF2=∠ABC=60°，∴△DF1F2是等边三角形，∴DF1=DF2，∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°，∴∠CDF1=180°﹣∠BCD=180°﹣30°=150°，∠CDF2=360°﹣150°﹣60°=150°，∴∠CDF1=∠CDF2，第23页（共33页）∵在△CDF1和△CDF2中，，∴△CDF1≌△CDF2（SAS），∴点F2也是所求的点，∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°，又∵BD=4，∴BE=×6÷cos30°=3÷=2，∴BF1=2，BF2=BF1+F1F2=2+2=4，故BF的长为2或4．8．问题解决：如图（1），将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D 重合），压平后得到折痕MN．当时，求的值．类比归纳：第24页（共33页）在图（1）中，若，则的值等于；若，则的值等于；若（n 为整数），则的值等于．（用含n的式子表示）联系拓广：如图（2），将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D 重合），压平后得到折痕MN，设，则的值等于．（用含m，n的式子表示）【解答】解：（1）方法一：如图（1﹣1），连接BM，EM，BE．由题设，得四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称．∴MN垂直平分BE，∴BM=EM，BN=EN．∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠D=∠C=90°，设AB=BC=CD=DA=2．∵，∴CE=DE=1．第25页（共33页）设BN=x，则NE=x，NC=2﹣x．在Rt△CNE中，NE2=CN2+CE2．∴x2=（2﹣x）2+12，解得x=，即BN=．在Rt△ABM和在Rt△DEM中，AM2+AB2=BM2，DM2+DE2=EM2，∴AM2+AB2=DM2+DE2．设AM=y，则DM=2﹣y，∴y2+22=（2﹣y）2+12，解得y=，即AM=（6分）∴．方法二：同方法一，BN=．如图（1﹣2），过点N做NG∥CD，交AD于点G，连接BE．∵AD∥BC，∴四边形GDCN是平行四边形．∴NG=CD=BC．同理，四边形ABNG也是平行四边形．∴AG=BN=∵MN⊥BE，∴∠EBC+∠BNM=90度．∵NG⊥BC，∴∠MNG+∠BNM=90°，第26页（共33页）∴∠EBC=∠MNG．在△BCE与△NGM中，∴△BCE≌△NGM，EC=MG．∵AM=AG﹣MG，AM=﹣1=．∴．（2）如图1，当四边形ABCD为正方形时，连接BE，=，不妨令CD=CB=n，则CE=1，设BN=x，则EN=x，EN2=NC2+CE2，x2=（n﹣x）2+12，x=；作MH⊥BC于H，则MH=BC，又点B，E关于MN对称，则MN⊥BE，∠EBC+∠BNM=90°；而∠NMH+∠BNM=90°，故∠EBC=∠NMH，则△EBC≌△NMH，∴NH=EC=1，AM=BH=BN﹣NH=﹣1=则：==．故当=，则的值等于；若=，则的值等于；第27页（共33页）（3）若四边形ABCD为矩形，连接BE，=，不妨令CD=n，则CE=1；又==，则BC=mn，同样的方法可求得：BN=，BE⊥MN，易证得：△MHN∽△BCE．故=，=，HN=，故AM=BH=BN﹣HN=，故==．故答案为：；；；．第28页（共33页）第29页（共33页）9．阅读理解：如图1，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=90°，点P 在BC 边上，当∠APD=90°时，易证△ABP ∽△PCD ，从而得到BP•PC=AB•CD ，解答下列问题．（1）模型探究：如图2，在四边形ABCD 中，点P 在BC 边上，当∠B=∠C=∠APD 时，结论BP•PC=AB•CD 仍成立吗？试说明理由；（2）拓展应用：如图3，M 为AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，∠DME=∠A=∠B=45°且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ．AB=，AF=3，求FG 的长．【解答】解：（1）∵∠APC=∠APD +∠CPD ，∠APC=∠BAP +∠B （三角形外角定理），∠B=∠APD （已知），∴∠BAP=∠CPD，又∵∠B=∠C，∴△ABP∽△PCD∴=，∴BP•PC=AB•CD；（2）∵∠AFM=∠DME+∠E（三角形外角定理），∠DME=∠A（已知），∴∠AFM=∠A+∠E（等量代换），又∠BMG=∠A+∠E（三角形外角定理），∴∠AFM=∠BMG．∵∠A=∠B，∴△AMF∽△BGM．当∠A=∠B=45°时，∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=90°，即AC⊥BC且AC=BC．∵M为AB的中点，∴AM=BM=，AC=BC=4．又∵△AMF∽△BGM，∴，∴BG===，又∵，CF=4﹣3=1，∴．第30页（共33页）10．基本模型如下图，点B、P、C在同一直线上，若∠B=∠1=∠C=90°，则△ABP∽△PCD成立，（1）模型拓展如图1，点B、P、C在同一直线上，若∠B=∠1=∠C，则△ABP∽△PCD成立吗？为什么？（2）模型应用①如图2，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，AB=2，BC=4，在BC上截取BP=AD，作∠APQ=∠B，PQ交CD于点Q，求CQ的长；②如图3，正方形ABCD的边长为1，点P是线段BC上的动点，作∠APQ=90°，PQ交CD于Q，当P在何处时，线段CQ最长？最长是多少？【解答】解：（1）成立，∵∠A=180°﹣（∠B+∠APB），第31页（共33页）∠CPD=180°﹣（∠1+∠APB），∠B=∠1，∴∠A=∠CPD，∵∠B=∠C，∴△ABP∽△PCD；（2）①∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠B=∠C，∵∠B=∠APQ，∴∠B=∠APQ=∠C，由（1）知，△ABP∽△PCD，∴=，∴=，∴CQ=；②设BP=x，CQ=y．∵∠B=∠APQ=90°，∴△ABP∽△PCQ，∴=，即=，∴y=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+，第32页（共33页）∴当x=时，y=，最大即当P是BC的中点时，CQ最长，最长为．第33页（共33页）。

九年级数学中考压轴题类比探究问题(附答案)

专题四中考压轴试题——类比探究题多重训练1.类比探究题，一般在中考试卷第22题，分三个问题解答，属几何综合题；2.第（1）问比较简单，但一定要注意解题时所作的“工作”：①添加了什么样的辅助线？（线段的截长补短、旋转某一角度、作平行线或者连接等）②解题所用的知识点有哪些？（如全等三角形、相似三角形、勾股定理列方程等）③解题时先做了什么后做了什么？④解题的整体思路是什么？（如由SAS推出全等，再由全等得到边相等，然后再由线段间的等量代换得出结论，即贯穿解题全过程的思路）3.第（2）问题体现了“类比”的思想，即几乎“照搬”第（1）问题的解题全过程，即添加辅助线、所用知识点、解题全思路，包括添加的字母有时都可以保持一致；4.既然是类比，就必须注意在三个不同的问题中，哪些条件自始至终没有变化，这就是本题的“核心条件”，也是解题的关键。

5.第（3）问题往往让学生直接写出结果，不需证明，有时和前面的结论一致，有时是一个变化的结论，所以要根据前两个问题，大胆猜测。

1.在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，如图1，若∠MBN=45°，求证：MN=AM+CN⑴如图2，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB=BC=CD，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN= ∠ABC ,试探究线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？写出猜想并证明．⑵如图3，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN= ∠ABC，试探究线段MN、AM、CN又有怎样的数量关系？写出猜想并证明．(2)2.（1）如图1，已知正方形ABCD和正方形CGEF（CG＞BC），B、C、G在同一条直线上，M为线段AE的中点。

探究：线段MD、MF的关系，并证明。

（2）若将正方形CGEF绕点C顺时针旋转，使得正方形CGEF的对角线CE在正方形ABCD的边BC的延长线上，M为AE的中点。

中考数学类比探究实战演练(一)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：类比探究的处理思路是什么？问题2：类比迁移的具体操作是什么？问题3：想一想类比探究问题常见的不变结构有哪些，处理方式是什么？以下是问题及答案，请对比参考:问题1：类比探究的处理思路是什么？答：①类比上一问，迁移解决下一问；②依据不变结构，分析特征解决问题．问题2：类比迁移的具体操作是什么？答：类比字母、类比辅助线、类比思路、类比结构．问题3：想一想类比探究问题常见的不变结构有哪些，处理方式是什么？答：类比探究中常见不变结构及处理方式分别为：①旋转结构，找等腰结构，借助全等整合条件；②中点结构，作倍长，通过全等转移边和角；③平行结构，找相似，转比例；④直角结构，作横平竖直的线，找全等或相似．中考数学类比探究实战演练（一）一、单选题(共6道，每道4分)1.阅读下面材料：小腾遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2CD，求AC的长．（1）小腾发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：∠ACE的度数为_____，AC的长为_____．( )A. B.C. D.答案：C解题思路：见第2题中解析试题难度：三颗星知识点：探究应用2.（上接第1题）（2）参考小腾思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD交于点E，AE=2，BE=2DE，则BC的长为( )A.6B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：探究应用3.已知正方形ABCD中，O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD 于点F，连接PB．（1）如图1，当点P在线段AO上时（不与点A，O重合），过点P作PE⊥PB，交CD于点E，则DF，EF之间有怎样的数量关系？线段PA，PC，CE之间有怎样的一个等量关系？请给出证明过程．（2）如图2，当点P在线段OC上时（不与点O，C重合），过点P作PE⊥PB，交直线CD 于点E，（1）中的两个结论是否仍成立？若不成立，写出相应的结论．（所写结论均不必证明）（建议学生打印做题，并在做完之后对比解题思路中的过程，推敲里面是如何踩点得分的）（1）中DF，EF之间的数量关系是( )A. B.C.DF=EFD.答案：C解题思路：见第6题中解析试题难度：三颗星知识点：中考数学几何中的类比探究4.（上接第3题）（1）中线段PA，PC，CE之间的一个等量关系为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：见第6题中解析试题难度：三颗星知识点：中考数学几何中的类比探究5.（上接第3，4题）（2）中DF，EF之间的数量关系是( )A. B.C.DF=EFD.答案：C解题思路：见第6题中解析试题难度：三颗星知识点：中考数学几何中的类比探究6.（上接第3，4，5题）（2）中线段PA，PC，CE之间的一个等量关系为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：中考数学几何中的类比探究。

类比探究专题(一)——平行结构(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：类比探究问题的处理思路是什么？以下是问题及答案，请对比参考:问题1：类比探究问题的处理思路是什么？答：类比探究问题的处理思路为：（1）类比探究往往会围绕一个不变结构进行考查．类比探究中常见的不变结构有：中点结构、直角结构、旋转结构、平行结构．（2）若不属于常见结构类型，则需要我们尝试着去寻找不变结构解决问题．①根据题干条件，结合支干条件先解决第一问．②类比解决下一问．如果不能，分析条件变化，寻找不变特征．③结合所求目标，依据不变特征尝试找不变结构，大胆猜测、尝试、验证．若属于类比探究常见的结构类型，调用结构类比解决．类比探究专题（一）——平行结构一、单选题(共6道，每道16分)1.如图1，D是△ABC的边BC上一点，过点D的一条直线交AC于点F，交BA的延长线于点E．（1）若BD=CD，CF=2AF，则的值为( )A.2B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：平行结构2.（上接第1题）（2）如图2，若BD=CD，CF=mAF，则的值为( ) （用含m的代数式表示）A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：平行结构3.（上接第1，2题）（3）如图3，将原题改为“过点D的一条直线交AC的延长线于点F，交AB于点E”，若BD=nCD，CF=mAF，则的值为( )（用含m，n的代数式表示）A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：平行结构4.已知AD是△ABC的中线，将BC边所在直线绕点D顺时针旋转角，交AB边于点M，交射线AC于点N，设．（1）如图1，满足的函数关系式为( ) A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：平行结构5.（上接第4题）（2）如图2，当G是AD上任意一点时（点G不与点A重合），过点G的直线交AB边于点，交AC边于点，设，则满足的函数关系式为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：平行结构6.（上接第4，5题）（3）如图3，当G是AD上任意一点时（点G不与点A重合），过点G 的直线交AB边于点，交AC的延长线于点，设，则满足的函数关系式为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：平行结构。

中考-类比探究专项

欢迎共阅第六讲几何类比探究（一）几何类比探究是河南中考数学的重点、难点，虽是考试难点，但依然有法可破！【知识点睛?】1.?类比探究一般会围绕一个不变结构进行考查．常见结构有：平行结构、直角结构、旋转结构、中点结构．?PA=①线段PB= ，PC= ；②猜想：PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为；（2）如图②，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程；（3）若动点P满足=，求的值．（提示：请利用备用图进行探求）例3.在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A且MN∥BC．以点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE=90°，且点D在直线MN上（不与点A重合）．如图1，DE与AC交于点P，易证：BD=DP．（1）在图2中，DE与CA的延长线交于点P，则BD=DP是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．（2）在图3中，DE与AC的延长线交于点P，BD与DP是否相等？请直接写出你的结论，无需证明．件不变，试探究线段DM与FM有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明；（2）如图3，当点E、B、C在同一条直线上，DM的延长线交CE的延长线于点N，其余条件不变，探究线段DM与FM有怎样的关系？请直接写出猜想．2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点O为AB的中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC，OP，将线段OP绕点P顺时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系：________________；（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO=15°，BP=4，请求出BQ的长．图1 图2 图33如图，△ABC中，点E，P在边AB上，且AE=BP，过点E，P作BC的平行线，4、在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD上一动点，设DE=nEA，连接CE并延长交AB于点F．（1）如图1，当∠BAC=90°，∠B=30°，DE=EA时，求FBFA的值；（2）如图2，当△ABC为锐角三角形，DE=EA时，求FBFA的值；（3）如图3，当△ABC为锐角三角形，DE=nEA时，求FBFA的值．第六讲几何类比探究（二）例1.如图1，∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠QPN=α，将∠QPN绕点P旋转，旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD 交于点E和点F（点F与点C，D不重合）．（1）如图1，当α=90°时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是____________；（2）如图2，将图1中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形，其他条件不变，特殊发现：如图1，若点E，F分别落在边AB，AC上，则结论：PC=PE成立（不要求证明）．问题探究：把图1中的△AEF绕着点A顺时针旋转．（1）如图2，若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（2）如图3，若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）记ACkBC，当k为何值时，△CPE总是等边三角形（请直接写出k的值，不必说明理由）？例4．（2017洛阳一模）（10分）如图①，C为线段BE上的一点，分别以BC 和CE为边在BE的同侧作正方形ABCD和正方形CEFG，M、N分别是线段AF和GD的中点，连接MN（1）线段MN和GD的数量关系是，位置关系是；（1）发现：在图1中，=；（2）应用：如图2，将△ADE绕点A旋转，请求出的值；（3）拓展：如图3，△ABC和△ADE是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE，M，N分别是底边BC，DE的中点，若BD⊥CE，请直接写出的值．例7．已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AE、BD交于点O．AE与DC交于点M，BD与AC交于点N．（1）如图1，求证：AE=BD；（2）如图2，若AC=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．。

中考数学专题复习《类比探究题》

典例解析：(2015' 河南)
如图1，在RtΔABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的
中点，连接DE.将ΔDEC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为ɑ.
（1）问题发现 AE
①当ɑ=0°时，BD
；
②当
ɑ=180°时,
AE BD
.
（2）拓展探究
AE
试判断：当0°≤ ɑ <360°时，BD 的大小有无变化？请仅就图2的情形
给出证明.
（3）问题解决
当ΔDEC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长.
A E
A
E
D
B 图1 D
CB
图2
C
A
A B
B
C
E
D
D
E
C
解决类比探究问题的一般方法：
1.根据题干条件，结合分支条件，先解决第一问； 2.用解决第一问的方法类比解决第二问，如果不能，两问结合起来分析，找出不能类比的原因和不变特征，依据不变的特征，探索新的方法； 3.如果有第三问，要充分利用第二问的结论以及前两问的方法类比解决第三问.
证ΔAFG≌
，故EF,BE,DF之间的数量关系
为
.
B
A
E
CF
DG
图1
（2）类比引申：如图2，点E,F分别在正
方形ABCD的边CB,DC的延长线上， ∠EAF=45°，连接EF，试猜想EF,BE,DF 之间的数量关系，并给出证明.
E
B
A
F
C
GD
图2
（3）联想拓展：如图3，在∆ABC中，
∠BAC=90°，AB=AC,点D,E均在边BC

九年级数学类比探究(一)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：类比探究属于几何综合题，类比（__________，___________，___________）是解决此问题的主要方法，做好类比需要把握变化过程中的____________．若属于类比探究常见的结构类型，调用结构类比解决．若不属于常见结构类型，①根据题干条件，结合___________________先解决第一问．②类比解决下一问．如果不能，分析条件变化，寻找______________．结合所求目标，依据_____________，大胆猜测、尝试、验证．问题2：想一想，画一画类比探究问题中旋转结构和中点结构的特征是什么？类比探究（一）一、单选题(共5道，每道20分)1.通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例．原题：如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠EAF=45°，连接EF，易证EF=BE+DF．（1）类比联想如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=45°．若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系_________时，仍有EF=BE+DF．( )A.∠B=∠DB.∠B+∠D=180°C.∠B-∠D=90°D.∠B=2∠D答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转结构2.（上接第1题）（2）引申拓展如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E均在BC边上，且∠DAE=45°，则BD，DE，EC之间的数量关系为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转结构3.已知△ABC为等边三角形，D为直线BC上一动点（不与点B，C重合），以AD为边作菱形ADEF（A，D，E，F按逆时针排列），使∠DAF=60°，连接CF．（1）如图1，当点D在BC边上时，若要证明AC=CF+CD，中间需要证明一次全等，则证明该全等使用的条件是( )A.SSSB.AASC.SASD.ASA答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转结构4.（上接第3题）（2）如图2，当点D在BC的延长线上时，其他条件不变，三条线段AC，CF，CD之间的数量关系是( )A.AC=CF+CDB.AC=CF-2CDC.AC=CF-CDD.2AC=CF+CD答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转结构5.（上接第3，4题）（3）如图3，当点D在CB的延长线上时，其他条件不变，补全图形，可得到AC，CF，CD之间的数量关系为( )A.AC=CD-CFB.AC=CF-CDC.AC=CF+CDD.2AC=CF+CD答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转结构。

中考数学专题之类比探究实战演练(含答案)

三、解答题22. （10分）问题背景：如图1，在四边形ADBC 中，∠ACB =∠ADB =90°，AD =BD ，探究线段AC ，BC ，CD 之间的数量关系．小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD 绕点D 逆时针旋转90°到△AED 处，点B ，C 分别落在点A ，E 处（如图2），易证点C ，A ，E 在同一条直线上，并且△CDE 是等腰直角三角形，所以CECD ，从而得出结论：AC +BCCD ．图1图2 简单应用：（1）在图1中，若AC ，BC =CD =__________．（2）如图3，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，AD ︵=BD ︵，若AB =13，BC =12，求CD 的长．拓展延伸：（3）如图4，∠ACB =∠ADB =90°，AD =BD ，若AC =m ，BC =n （m ＜n ），求CD 的长（用含m ，n 的代数式表示）．图4图5（4）如图5，∠ACB =90°，AC =BC ，点P 为AB 的中点，若点E 满足AE = 13AC ，CE =CA ，点Q 为AE 的中点，则线段PQ 与AC 的数量关系是_____． DC BADCBBAE DCBA三、解答题22. （10分）如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，点D ，E 分别在AC ，BC 边上，DC =EC ，连接DE ，AE ，BD ，点M ，N ，P 分别是AE ，BD ，AB 的中点，连接PM ，PN ，MN ．（1）BE 与MN 的数量关系是___________；（2）将△DEC 绕点C 逆时针旋转到如图2的位置，判断（1）中的结论是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）若CB =6，CE =2，在将图1中的△DEC 绕点C 逆时针旋转一周的过程中，当B ，E ，D 三点在一条直线上时，请直接写出MN 的长．中考数学类比探究实战演练（三）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22. （10分）已知正方形ABCD 与正方形CEFG ，M 是AF 的中点，连接DM ，EM ．（1）如图1，点E 在CD 上，点G 在BC 的延长线上，请判断DM ，EM 的数量关系与位置关系，并直接写出结论；（2）如图2，点E 在DC 的延长线上，点G 在BC 上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论；（3）将图1中的正方形CEFG 绕点C 旋转，使D ，E ，F 三点在一条直线上，若AB =13，CE =5，请画出图形，并直接写出MF 的长．图1PNM EDCBA图2PNME D CBA备用图E DCBA中考数学类比探究实战演练（四）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆☆☆☆☆共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22.（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=nAC，CD⊥AB于D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F，连接EF．（1）探究发现：如图1，若n=1，点E在线段AC上，则tan∠EFD=____．（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则tan∠EFD=_______（用含n的代数式表示）．②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．从“点E是线段AC延长线上的任意一点”或“点E是线段AC反向延长线上的任意一点”中，任选一种情况，在图3中画出图形，给予相应的证明或理由．（3）拓展应用：若ACBC=DF=CE的长．图1ABCDE FGM图2MGF EDCBA图1E DCBA图2E DA图3DCBAABCD备用图【参考答案】中考数学类比探究实战演练（一）22.（1）3；（2）CD的长为2；（3）CD的长为)2n m-；（4AC=AC=．中考数学类比探究实战演练（二）22.（1）BE MN；（2）成立，理由略；（3）MN11．中考数学类比探究实战演练（三）23.（1）DM=EM，DM⊥EM；（2）（1）中的结论仍成立，证明略；（3）MF，图形略．中考数学类比探究实战演练（四）22.（1）1；（2）①1n；②成立，证明略；（3）CE或中考数学类比探究实战演练（五）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆☆☆☆☆共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22.（10分）在菱形ABCD中，∠BAD=120°，点O为射线CA上的动点，作射线OM与直线BC相交于点E，将射线OM绕点O逆时针旋转60°，得到射线ON，射线ON与直线CD相交于点F．（1）如图1，点O与点A重合时，点E，F分别在线段BC，CD上，请直接写出CE，CF，CA 三条线段之间的数量关系；（2）如图2，点O在CA的延长线上，且OA=13AC，E，F分别在线段BC的延长线和线段CD的延长线上，请写出CE，CF，CA三条线段之间的数量关系，并说明理由；（3）点O在线段AC上，若AB=6，BO=CF=1时，请直接写出BE的长．图1F ENM (O )D C B A图2FENMO DC BA备用图DCBA【参考答案】22.（1）CA=CE+CF；（2）CF-CE=43AC，理由略；（3）BE的长为3，5或1．中考数学类比探究实战演练（六）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆☆☆☆☆共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22.（10分）已知：△ABC是等腰三角形，CA=CB，0°＜∠ACB≤90°，点M在边AC上，点N在边BC上（点M，点N不与所在线段端点重合），BN=AM，连接AN，BM．射线AG∥BC，延长BM 交射线AG于点D，点E在直线AN上，且AE=DE．（1）如图，当∠ACB=90°时．①求证：△BCM≌△ACN；②求∠BDE的度数．（2）当∠ACB=α，其他条件不变时，∠BDE的度数是__________（用含α的代数式表示）；（3）若△ABC是等边三角形，AB=N是BC边上的三等分点，直线ED与直线BC交于点F，请直接．．写出线段CF的长．B C DAEM N GBA GC备用图1备用图2AB CG中考数学类比探究实战演练（七）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22. （10分）已知在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，CD 为∠ACB 的平分线，将∠ACB 沿CD 所在的直线对折，使点B 落在点B′处，连接AB′，BB′，延长CD 交BB′于点E ，设∠ABC =2α（0°＜α＜45°）．（1）如图1，若AB =AC ，求证：CD =2BE ；（2）如图2，若AB ≠AC ，试求CD 与BE 的数量关系（用含α的式子表示）；（3）如图3，将（2）中的线段BC 绕点C 逆时针旋转角（α+45°），得到线段FC ，连接EF 交BC 于点O ，设△COE 的面积为S 1，△COF 的面积为S 2，求12SS （用含α的式子表示）．中考数学类比探究实战演练（八）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题图1ABCDEB′图22αABCD E B′B′E D CB A2α图3OF22. （10分）在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB，AC =2，过点B 作直线m ∥AC ，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△A′B′C （点A ，B 的对应点分别为A′，B′），射线CA′，CB′分别交直线m 于点P ，Q ．（1）如图1，当P 与A′重合时，求∠ACA′的度数．（2）如图2，设A′B′与BC 的交点为M ，当M 为A′B′的中点时，求线段PQ 的长．（3）在旋转过程中，当点P ，Q 分别在CA′，CB′的延长线上时，试探究四边形P A′B′Q 的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形P A′B′Q 的最小面积；若不存在，请说明理由．图1QmB′A′ (P )BC AM图2A′AC B P B′mQ备用图AC Bm中考数学类比探究实战演练（九）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22. （10分）问题背景：如图1，等腰△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =120°，作AD ⊥BC 于点D ，则D为BC 的中点，∠BAD =21∠BAC =60°，于是2BC BDAB AB==迁移应用：如图2，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，∠BAC =∠DAE =120°，D ，E ，C 三点在同一条直线上，连接BD ． ①求证：△ADB ≌△AEC ；②请直接写出线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式．拓展延伸：如图3，在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，在∠ABC 内作射线BM ，作点C 关于BM 的对称点E ，连接AE 并延长交BM 于点F ，连接CE ，CF ． ①求证：△CEF 是等边三角形； ②若AE =5，CE =2，求BF 的长．图1图2图3D B AEDBA FEMDCBA中考数学类比探究实战演练（十）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22. （10分）在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且∠EAF =∠CEF =45°．（1）将△ADF 绕着点A 顺时针旋转90°，得到△ABG （如图1）．求证：△AEG ≌△AEF ．（2）若直线EF 与AB ，AD 的延长线分别交于点M ，N （如图2）．求证：EF 2=ME 2+NF 2．（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF ，BE ，DF 之间的数量关系．中考数学类比探究实战演练（十一）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟日期：_____月_____日图1G FE D CB A N图2M FE D CB A 图3FED CBA三、解答题22. （10分）【操作发现】（1）如图1，△ABC 为等边三角形，先将三角板中的60°角与∠ACB 重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于30°）．旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D ．在三角板斜边上取一点F ，使CF =CD ，线段AB 上取点E ，使∠DCE =30°，连接AF ，EF ． ①求∠EAF 的度数；②DE 与EF 相等吗？请说明理由．【类比探究】（2）如图2，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB =90°，先将三角板的90°角与∠ACB 重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于45°）．旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D ．在三角板另一直角边上取一点F ，使CF =CD ，线段AB 上取点E ，使∠DCE =45°，连接AF ，EF ．请直接写出探究结果：①∠EAF 的度数；②线段AE ，ED ，DB 之间的数量关系．图1图2中考数学类比探究实战演练（十二）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22. （10分）数学活动课上，某学习小组对有一内角为120°的平行四边形ABCD （∠BAD =120°）进行探究：将一块含60°的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD 所在平面内旋转，且60°角的顶点始终与点C 重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB ，AD 于点E ，F （不包FDE CBAABCEF D括线段的端点）．（1）初步尝试如图1，若AD =AB ，求证：①△BCE ≌△ACF ；②AE +AF =AC ．（2）类比发现如图2，若AD =2AB ，过点C 作CH ⊥AD 于点H ，求证：AE =2FH ．（3）深入探究如图3，若AD =3AB ，探究得：3AE AFAC的值为常数t ，则t =_______．图1 图2 图3F EDC B A HF EDBAF EDCB A三、解答题22. （10分）小华遇到这样一个问题：在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，边长为4，在菱形ABCD 内部有一点P ，连接PA ，PB ，PC ，求PA +PB +PC 的最小值．小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是：如图1，将△APC 绕点C 顺时针旋转60°，恰好旋转至△DEC ，连接PE ，BD ，则BD 的长即为所求．（1）请你写出在图1中，PA +PB +PC 的最小值为________．（2）参考小华思考问题的方法，解决下列问题：①如图2，在△ABC 中，∠ACB =30°，BC =6，AC =5，在△ABC 内部有一点P ，连接PA ，PB ，PC ，求PA +PB +PC 的最小值．②如图3，在正方形ABCD 中，AB =5，P 为对角线BD 上任意一点，连接PA ，PC ，请直接写出PA +PB +PC 的最小值（保留作图痕迹）．图1PADBECB CPA图2P图3DCBA三、解答题22.（10分）在△ABC中，∠A=90°，点D在线段BC上，∠EDB=12∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F．（1）如图1，若点D与点C重合，AB=AC，探究线段BE与FD的数量关系．（2）如图2，若点D与点C不重合，AB=AC，探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明．（3）如图3，若点D与点C不重合，AB=kAC，求BEFD的值（用含k的式子表示）．图1图2图3CB(D)AFECB DAFECB DAFE三、解答题22. （10分）问题背景：已知∠EDF 的顶点D 在△ABC 的边AB 所在直线上（不与A ，B 重合），DE 交AC 所在直线于点M ，DF 交BC 所在直线于点N ，记△ADM 的面积为S 1，△BND 的面积为S 2．（1）初步尝试：如图1，当△ABC 是等边三角形，AB =6，∠EDF =∠A ，且DE ∥BC ，AD =2时，则S 1·S 2=_____________．（2）类比探究：在（1）的条件下，先将点D 沿AB 平移，使AD =4，再将∠EDF 绕点D 旋转至如图2所示位置，求S 1·S 2的值．（3）拓展延伸：当△ABC 是等腰三角形时，设∠B =∠A =∠EDF =α．①如图3，当点D 在线段AB 上运动时，设AD =a ，BD =b ，求S 1·S 2的表达式（结果用a ，b 和α的三角函数表示）；②如图4，当点D 在BA 的延长线上运动时，设AD =a ，BD =b ，直接写出S 1·S 2的表达式，不必写出解答过程．图1 图2 图3图4中考数学类比探究实战演练（十六）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟日期：_____月_____日F三、解答题22. （10分）点A ，B 分别是两条平行线m ，n 上任意一点，在直线n 上找一点C ，使BC =kAB ，连接AC ，在直线AC 上任取一点E ，作∠BEF =∠ABC ，EF 交直线m 于点F ．（1）如图1，当∠ABC =90°，k =1时，判断线段EF 和EB 之间的数量关系，并证明．（2）如图2，当∠ABC =90°，k ≠1时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请重新判断线段EF 和EB 之间的数量关系．（3）如图3，当0°＜∠ABC ＜90°，k =1时，探究EF 和EB 之间的数量关系，并证明．图1 图2 图3中考数学阅读理解问题实战演练（一）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22. （10分）我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．（1）概念理解：如图1，在△ABC 中，AC =6，BC =3，∠ACB =30°，试判断△ABC 是否是“等高底”三角形，请说明理由．mnAF CB EmnA F E CBB CEF A nm（2）问题探究：如图2，△ABC 是“等高底”三角形，BC 是“等底”，作△ABC 关于BC 所在直线的对称图形得到△A′BC ，连接AA′交直线BC 于点D ．若点B 是 △AA′C 的重心，求BCAC的值．（3）应用拓展：如图3，已知l 1∥l 2，l 1与l 2之间的距离为2．“等高底”△ABC 的“等底”BC 在直线l 1上，点A 在直线l 2上，有一边的长是BC 的2倍．将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转45°得到△A′B′C ，A′C 所在直线交l 2于点D ，求CD 的值．中考数学阅读理解问题实战演练（二）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题 22. （10分）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．理解：（1）如图1，已知Rt △ABC 在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D ，使四边形ABCD 是以AC 为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出3个即可）；（2）如图2，在四边形ABCD 中，∠ABC =80°，∠ADC =140°，对角线BD 平分∠ABC ．求证：BD 是四边形ABCD 的“相似对角线”；运用：（3）如图3，已知FH 是四边形EFGH 的“相似对角线”，∠EFH =∠HFG = 30°，连接EG ，若△EFG的面积为FH 的长．图1ABC图2DA′AB C图3l 2l 1A′D B′ABC【参考答案】中考数学类比探究实战演练（六）22.（1）①证明略；②∠BDE的度数为90°；（2）α或(180°-α)；（3）CF中考数学类比探究实战演练（七）22.（1）证明略；（2）CD=2BE·tan2α；（3）12sin(45)S Sα=︒-．中考数学类比探究实战演练（八）22.（1）∠ACA′的度数为60°；（2）线段PQ的长为72；（3）四边形P A′B′Q的最小面积为3．中考数学类比探究实战演练（九）22.（1+BD=CD；（2）①证明略；②BF的长为图1ABC图2AB CD图3EF GH中考数学类比探究实战演练（十）22. （1）证明略；（2）证明略；（3）EF 2=2(BE 2+DF 2)．中考数学类比探究实战演练（十一）22. （1）①∠EAF =120°；②DE 与EF 相等，理由略；（2）①∠EAF =90°；②DB 2+AE 2=ED 2．中考数学类比探究实战演练（十二）22. （1）证明略；（2）证明略；（3．中考数学类比探究实战演练（十三）22. （1）（2）①PA +PB +PC ；②PA +PB +PC （．中考数学类比探究实战演练（十四）22. （1）12BE FD =；（2）12BE FD =，证明略；（3）2BE k FD =．中考数学类比探究实战演练（十五）22. （1）12；（2）S 1·S 2的值为12；（3）①22121()sin 4S S ab α⋅=；②22121()sin 4S S ab α⋅=．中考数学类比探究实战演练（十六）22. （1）EF =EB ，证明略；（2）不成立，1EF EB k=；（3）EF =EB ，证明略．中考数学阅读理解问题实战演练（一）22. （1）△ABC 是“等高底”三角形，理由略；（2）2AC BC =；（3）CD的值为3，2．中考数学阅读理解问题实战演练（二）22.（1）图略；（2）证明略；（3）FH的值为．21。

类比探究(一)——平行、直角(习题)

类比探究（一）——平行、直角（习题）1. 如图1，在□ABCD 中，点E 是BC 边的中点，点F 是线段AE 上一点，BF的延长线交射线CD 于点G ，若3AFEF=，求CD CG 的值．（1）尝试探究在图1中，过点E 作EH ∥AB 交BG 于点H ，则AB 和EH 的数量关系是________________，CG 和EH 的数量关系是_________________，CDCG的值是___________．图1ABCDE FG图2ABCDE F G图1 图2（2）类比延伸如图2，在原题的条件下，若AFm EF=（m >0），则CD CG 的值是________（用含m 的代数式表示），试写出解答过程．（3）拓展迁移如图3，在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，点E 是BC 延长线上一点，AE 和BD 相交于点F ．若AB BC a b CD BE ==，（a >0，b >0），则AF EF 的值是________（用含a ，b 的代数式表示）．图32. 如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，点E 在AC 上，BE 交CD 于点G ，EF ⊥BE 交AB 于点F ，AC =mBC ，CE =nEA （m ，n 为实数）.试探究线段EF 与EG 的数量关系．图3F EC D A（1）如图2，当m =1，n =1时，求EF 与EG 的数量关系．（2）如图3，当m =1，n 为任意实数时，求EF 与EG 的数量关系．（3）如图1，当m ，n 均为任意实数时，求EF 与EG 的数量关系．C EFD A BG图1CEFD A G 图2EFD A BGC 图33.已知两条平行线l1，l2之间的距离为6，截线CD分别交l1，l2于点C，D，一直角的顶点P在线段CD上运动（不与点C，D重合），两边分别交l1，l2于点A，B．（1）操作发现如图1，过点P作直线l3∥l1，作PE⊥l1于点E，过点B作BF⊥l3于点F．此时，小明认为△PEA∽△PFB，你同意吗？为什么？（2）猜想论证将直角∠APB从图1的位置开始，绕点P顺时针旋转，在这一过程中，试观察、猜想：当AE满足什么条件时，以P，A，B为顶点的三角形是等腰三角形？请在图2中画出图形，并证明你的猜想．（3）延伸探究在（2）的条件下，当截线CD与直线l1所夹的钝角为150°时，设CP=x，试探究：是否存在实数x，使△PAB的边AB的长为l2l1l3BFE CD PA图1l2l1DC图2【参考答案】1.（1）AB=3EH；CG=2EH；3 2（2）2m（3）ab 2.（1）EF=EG（2）1 EF EGn=（3）1EF EGmn=3.（1）同意，证明略；（2）AE BF=时，为等腰三角形；（3）不存在，理由略．。

类比探究——直角结构(通用版)(含答案)

类比探究——直角结构（通用版）试卷简介:检查学生对于类比探究中一类具有特殊性质的题目的处理思路，如遇到不变的直角结构，考虑作双垂线（横平竖直），利用全等和相似来解题，在做题分析的过程中，考虑照搬辅助线，照搬思路，照搬整个框架来解决问题。

一、单选题(共6道，每道16分)1.已知：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，点P在AC上，且∠MPN=90°．当点P为线段AC的中点，点M，N分别在线段AB，BC上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，易证．如图2，当，点M，N分别在线段AB，BC的延长线上时，借助于图1中的做法，可以得到PN和PM的数量关系是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：如图，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F．可证得△PFN∽△PEM，∴．∵在Rt△AEP和Rt△PFC中，∠A=30°，∠PCF=60°，∴，∴，∴．试题难度：三颗星知识点：类比探究2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E在AC上，BE交CD于点G，EF⊥BE 交AB于点F，如图所示，若AC=BC，CE=nEA（n为实数），则EF与EG的数量关系是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：∠GEF是一个斜直角，考虑作横平竖直的线，将斜直角进行转化．如图，过点E作EM⊥AB于点M，EN⊥CD于点N，∵△AEM∽△ACD，∴，即∵△CEN∽△CAD，∴，即．∵△EFM∽△EGN，∴∵△ACB是等腰直角三角形，CD⊥AB，∴AD=CD，∴∴，即试题难度：三颗星知识点：中考数学几何中的类比探究3.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E在AC上，BE交CD于点G，EF⊥BE 交AB于点F，如图所示，若AC=mBC，CE=nEA（m，n为任意实数），则EF与EG的数量关系是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：第3题和第2题的区别在于少了一个等腰直角三角形（线段相等），多出一个线段之间的关系（线段成比例），那么同样照搬第2题的辅助线和思路，在最后处理的时候，用线段间比例关系进行分析．如图，过点E作EM⊥AB于点M，EN⊥CD于点N，∵△AEM∽△ACD，∴，即∵△CEN∽△CAD，∴，即∵△EFM∽△EGN，∴∵△CDA∽△BCA，∴即AD=mCD，∴∴，即试题难度：三颗星知识点：中考数学几何中的类比探究4.如图1，在△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB，AC为直角边，向△ABC 外作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，过点E，F作射线GA的垂线，垂足分别为点P，Q．容易证明PE=QF．现将上面题目中向外作等腰直角三角形改为向外作矩形，如图2所示，以AB为边的矩形ABME，以AC为边的矩形ACNF，射线GA交EF于点H．若AB=kAE，AC=kAF，则EH和HF 之间的数量关系是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：分析：图1中，借助于两个弦图结构（残缺的）直接证明△EPA≌△AGB，△FQA≌△AGC，得到PE=AG=QF．这给图2中的求解提供一个思路，可以作相同的辅助线，由两个相似（图1中是全等）导出PE=QF，再判断EH和HF之间的数量关系．如图，过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为点P，Q．∵四边形ABME是矩形，∴∠BAE=90°，∴∠BAG+∠EAP=90°．又AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP，∴Rt△ABG∽Rt△EAP，∴AG：EP=AB：EA=k．同理可证△ACG∽△FAQ，∴AG：FQ=AC：FA=k，∴AG：EP=AG：FQ，∴EP=FQ．又∵∠EHP=∠FHQ，∠EPH=∠FQH，∴Rt△EPH≌Rt△FQH，∴EH=HF．试题难度：三颗星知识点：中考数学几何中的类比探究5.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上靠近点A的三等分点，连接BO交AD于点F，OE⊥OB交BC边于点E．当时，的值为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：分析：∠EOF是一个斜直角，所以考虑作横平竖直的线来转化，这个时候把OE 和OF放到了两个三角形中，可以用相似来求比例．具体的做法：如图，过点O作OG⊥AC交BC于点G．∵∠FOA+∠GOF=90°，∠EOG+∠GOF=90°，∴∠FOA=∠EOG．∵∠OGE+∠C=90°，∠OAF+∠C=90°，∴∠OGE=∠OAF，∴△OGE∽△OAF，∴设AB=a，AC=3a，则OA=a，，∴．试题难度：三颗星知识点：中考数学几何中的类比探究6.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上靠近点A的三等分点，连接BO交AD于点F，OE⊥OB交BC边于点E．当时，的值为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：分析：由第5题的分析可知，先将∠EOF这个斜直角转化，利用证明△OGE和△OAF 相似，将OF和OE之间的比例关系进行转移，进而利用线段长度间的关系，求出比值．这里同样照搬第5题的思路．具体的做法：如图，过点O作OG⊥AC交BC于点G．∵∠FOA+∠GOF=90°，∠EOG+∠GOF=90°，∴∠FOA=∠EOG．∵∠OGE+∠C=90°，∠OAF+∠C=90°，∴∠OGE=∠OAF，∴△OGE∽△OAF，∴设AB=a，AC=na，则，，∴．试题难度：三颗星知识点：中考数学几何中的类比探究。

2020年九年级数学备战中考,类比探究专练(带图解答案)

类比探究专练训练1、(2020年辉县，一摸）问题发现：如图，在正方形ABCD中，点E 是BC上的动点,点F是CD上的动点，∠EAF=45°，则线段BE,EF,DF 之间的数量关系是（）（截长补短）延长CB到G，使得BG=DF，再证全等（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E是1∠BAD，则线段BE,EF,DF BC上的动点，点F是CD上的动点，∠EAF=2之间有什么数量关系？并说明理由（3）①如第二个图，点E在CB的延长线上，F是直线CD上的动点，（2）中的其他条件不变，请直接写出线段BE,EF,DF之间的数量关系是（）②如下图，若∠B+∠D≠180°（2）中的其他条件不变，请直接写出线段BE,EF,DF之间的数量关系是（）旋转结构1、在△ABC和△ADE中，BA=BC,DA=DE,且∠ABC=∠ADE=α，点E在△ABC的内部，连接EC,EB,EA,BD，并且∠ACE+∠ABE=90°观察猜想：（1）如图，当α=60°时，线段BD和CE的数量关系为（），线段EA,EB,EC的数量关系为（）（2）如图，当α=90°时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明，若不成立，请说明理由（3）在（2）的条件下，当点E在线段CD上时，若BC=52,请直接写出△BDE 的面积222102522121=∴=∴=→===∴===∴BD m AB BC AD EC DE DE BD AE AD EC BD AEC ADB ΘΘΘ又∽△△/2（2019年郑州一中三模）等腰直角三角形ABC 中，AC=BC=24,E 为AC 中点，以CE 为斜边作如图所示等腰直角三角形CED ，（1）观察猜想：如图，过点D 作DF ⊥AE 于点F ，交AB 于点G ，线段CD 与BG 的关系为（）延长CD交AB于点H，CD⊥BG，且CD=BG（2）如图，将△CDE绕点C顺时针旋转到如图所示位置，过点D作DF⊥AE于点F，过点B作DE的平行线与直线FD交于点G，（1）中结论是否成立？请说明理由过点C作GH⊥CE，交ED的延长线于点H，△BCH和△ACE属于旋转全等，易证BH⊥AE，∵DF⊥AE，∴BH∥DF,∵BG∥HE，∴BHDG是平行四边形,∴CD⊥BG，且CD=BG（3）拓展延伸：如图所示，点E，D,G共线时，直接写出DG的长度3、（2019年周口二模）在△ABC中，∠ABC是锐角，点M在射线AB上运动，连接CM，将线段CM绕点C逆时针旋转90°，得到CN，连接MN．（1）问题初现：若BC=A C，∠ABC=90°，当M在线段AB上时（不与点A重合），如图1所示，请你直接写出线段BN和AM的位置关系是________，数量关系是__________；（2）深入探究：当M在线段AB的延长线上时，如图2所示，请你判断（1）中结论是否成立，并证明你的判断；（3）类比拓展：如图，∠ACB≠90°，点M在线段AB上运动且不与点A重合，MP⊥CM交线段BN于点P，且∠CBA=45°，BC=24，当BM=（）时，BP的最大值为（）/4、在△ABC中，若AB=AC，∠BAC=90°，D为直线BC上一动点（不与点B,C重合），以AD为腰作等腰直角三角形DAE，使∠DAE=90°，连接CE（1）观察猜想：如图1所示，当D在线段B C上时，BC和CE 的位置关系是（），CE,DC,BC之间的数量关系为（）EDCBA（2）数学思考：当D 在线段CB 的延长线上时，请你判断（1）中结论是否成立，并证明你的判断；（3）拓展延伸：当点D 在线段BC 的延长线上时，将△DAF 沿线段DE 翻折，使得点A 与点E 重合，连接CE,CF,若4CD=BC ，AC=22,请直接写出线段CF 的长CF235、在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P在射线BD上，以AP为边向右侧作等边△APF，点F的位置随着点P的位置变化而变化（1）当点F在菱形ABCD内部或边上时，连接CF,BP与CF的数量关系是（）CF与AD的位置关系是（）当点F在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立请证明；若不成立，请说明理由（3）当点P 在线段BD 的延长线上时，连接BF ，若AB=32,BF=192,求四边形ADPF 的面积6、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D为射线BC 上任意一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接CE（1）如图，当点D在BC边上（不与点B,C重合）时，请直接写出∠BCE的度数（2）如图，当点D 在BC 的延长线上时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由（3）如图，在（2）的条件下，连接ED 并延长，交AC 的延长线于点F,若AC=4,AD=6，请直接写出线段CF 的长594661353135324541=∴=∴==∴︒=∠+∠︒=∠+∠︒=∠=∠FC FA DC FDAC DA DA FA DACFAD F ∽△△，7、（2015年河南中考卷22题）如图1，在Rt △ABC 中，∠B =90°，BC =2AB =8，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接DE ．将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当︒=0α时，_____________=BD AE； ②当︒=180α时，__________AEBD=． BCA图1D E2545252,4548,4==∴====∴=∴==BD AE EC AE DC BD AC BC AB251256125652,54==∴==∴==BD AE BD AE CE AC（2）拓展探究试判断：当0°≤α<360°时，DBAE的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．EDAC图225854212154,8,4524,2===∴∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∠=∠=====∴==BC AC BD AE BCD ACE CA CE BCD ACE BC CD AC BC AB CE DC DE ∽△△Θ（3）问题解决当△EDC 旋转至A ，D ，E 三点共线时，直接写出线段BD 的长．备用图AC541181,41815421,41==∴∴∴====∴=====AC BD ABCD BC AD CD AB AD AC E D CD AB 是矩形由勾股定理算出/8、（2019年南阳模拟）（1）在等腰直角三角形ABC 和等腰直角三角形CFE 中，∠BAC=∠EFC=90°,当点E,A 重合时，BE,AF 的数量关系是（）（2）将△CEF 绕点C 旋转，连接BE,AF ，线段BE 和AF 的数量关系有无变化？仅就下图给出证明22121==∴∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∠=∠=ACBCAF BE ACF BCE CFCE ACF BCE BC AC ∽△△ （3）当AB=AC=2,△CEF 旋转到B,E,F 三点共线时，直角写出线段AF 的长⎪⎩⎪⎨⎧+=-=∴=⎪⎩⎪⎨⎧+=-==∴===∴131322626622222121AF AF AF BE BE BE BF BC EF CF ACF BCE 相似比是∽△△Θ最小时，底当且仅当PQ mm m m S S s ABCPQC A PQB 33213311=-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=-= ()m m m m b a abb a 32302222•≥+∴≥-≥+Θ9、（2019年焦作一模）如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD =AE ，连接DC ，BE ，点P 为DC 的中点．（1）观察猜想图1中，线段AP 与BE 的数量关系是________，位置关系是________；（2）探究证明把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，小航猜想（1）中的结论仍然成立，请你证明小航的猜想；（3）拓展延伸把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD =4，AB =10，请直接写出线段AP 的取值范围．PEDA BC 图1()BE AP BE CD AP ⊥==,21211()BE AP BE AP ⊥=,212倍长中线法：延长AP 到F ，使得PF=AP 易证AD=CF=AEACF BAE AC AB ACF BAE CF AE ςς≌∴⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠= ()410410213+≤≤-=BE BEAP/10、(2019年镇平三模）如图，已知直角三角形ABC ，∠ACB=90°，∠BAC=30°，点D 是AC 边上一点，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，连接BD ，点F 是BD 的中点，连接EF,CF（1）发现问题：线段EF,CF 之间的数量关系为（）；∠EFC 的度数为（）（2）拓展与探究：若将△AED 绕点A 按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°）如图所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由取AB,AD 的中点M,N ，易证ANFM 是平行四边形 ∴MF=AN=NE=ND NF=AM=MB=MC∠BMF=∠MAN=∠FND∴∠ENF=60°-∠FND=∠FMC=60°-∠BMFFCEF ENF FMC NFMC ENF FMC NE MF =∴∴⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=ςς≌ ()()︒=∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠120FBC ABD FCB MCF FCB FBC ABD MCF DFCABD MCF DFC NFD EFN EFC （3）拓展与运用：如图所示，将△AED 绕点A 旋转的过程中，当点D 落在AB 边上时，AB 边上另有一个点G ，AD=DG=GB,BC=3，连接EG ，请直接写出EG 的长度()735.05.222=+=EG11、（2019年新乡模拟）在等腰直角三角形ABC 和等腰直角三角形ADE 中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=4,AE=2,其中△ABC 固定，△ADE 绕点A 做旋转，点F,M,N 分别为线段BE,BC,CD 的中点，连接MN,NF（1）问题提出：如图，当AD 在线段AC 上，∠MNF 的度数为（）线段MN 和NF 的数量关系为（）辅助线作法：连接CE,BD,并延长BD交CE于点G易证△BAD≌△CAE,得到BD=CE,BD⊥CE由中位线定理知：MN和MF相等且垂直，∴∠MNF=45°（2）深入讨论：如图，当AD不在线段AC上时，请求出∠MNF的度数，线段MN和NF的数量关系辅助线作法：连接CE,BD,易证△BAD≌△CAE,得到BD=CE,BD⊥CE由中位线定理知：MN和MF相等且垂直，∴∠MNF=45°（3）拓展延伸：如图，△ADE持续旋转过程中，若CE与BD交点为P，则△BCP面积的最小值为（）以点A为圆心AD长为半径作圆，当PB与圆相切时，点P到BC的距离最小，△BCP的面积最小△ABD≌△ACE可证出ADPE为正方形12、(2019年宛城一模）已知在△ABC中，CA=CB，0°＜∠ACB≤90°。

中考数学类比探究实战演练(讲义及答案)

1中考数学类比探究实战演练（一）做题时间：_______至_______ 共__________分钟三、解答题22. （10分）如图1，在矩形ABCD 中，AB =mBC ，E 为BC 上一点，且BC =nBE ，连接AE ，过点B 作BM ⊥AE ，交AE 于点M ，交AC 于点N ．（1）如图2，当m =1，n =3时，求证：AN =3CN ；（2）如图3，当m =1时，求AN 与CN 之间的数量关系；（3）如图1，当m ，n 均为任意实数时，请直接写出AN 与CN 之间的数量关系．图1NM E DCBACBA DE M N 图2图3N M E DCBA中考数学类比探究实战演练（二）做题时间：_______至_______ 共__________分钟三、解答题22. （10分）（1）【发现问题】如图1，将△AEC 旋转到△ABD ，连接BE ，CD ．求证：△EAB ∽△CAD ．（2）【问题探究】如图2，锐角△ABC 中，分别以AB ，AC 为边向外作等腰三角形ABE 和等腰三角形ACD ，使AE=AB ，AD=AC ，∠BAE =∠CAD ，连接BD ，CE ，试猜想BD 与CE 的大小关系，并说明理由．（3）【解决问题】如图3，在△ABC 中，∠ABC =45°，AB =7cm ，BC =3cm ，以点A为直角顶点作等腰直角三角形DAC ，连接BD ，请直接写出BD 的长．图1EDCBAABCDE图2C BA 图3ABC 备用图22.（10分）图1NM EDCBACBADE M N 图2图3N M EDCBA以下为非选择题答题区，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在指定的区域内作答，否则答案无效。

更多精彩码上见更多精彩码上见2图1F E D C B A中考数学类比探究实战演练（三）做题时间：_______至_______ 共__________分钟三、解答题 22. （10分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =nAC ，CD ⊥AB 于D ，点E 是直线AC 上一动点，连接DE ，过点D 作FD ⊥ED ，交直线BC 于点F ，连接EF ．（1）探究发现：如图1，若n =1，点E 在线段AC 上，则 tan ∠EFD =____．（2）数学思考：①如图2，若点E 在线段AC 上，则tan ∠EFD =____ （用含n 的代数式表示）． ②当点E 在直线AC 上运动时，①中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．从“点E 是线段AC 延长线上的任意一点”或“点E 是线段AC 反向延长线上的任意一点”中，任选一种情况，在图3中画出图形，给予相应的证明或理由．（3）拓展应用：若AC =5，BC =25，DF =42，请直接写出 CE 的长．图2F ED C B A 图3DC B A22.（10分）图1E D C B AA B C D E 图2 C B A 图3A B C备用图以下为非选择题答题区，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在指定的区域内作答，否则答案无效。