高中三年级数学第二轮专题复习系列--直线与圆的方程

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高三数学(理)二轮复习:专题十三直线与圆的方程.docx

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高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作专题十三直线与圆的方程(见学生用书P80)(见学生用书P 80)1.与直线Ax +By +C =0平行和垂直的直线系方程可分别设为Ax +By +m =0(m ≠C ),Bx -Ay +n =0.2.点P (x 0,y 0)到直线l :ax +by +c =0的距离公式:d =|ax 0+by 0+c |a 2+b 2. 两平行直线ax +by +c 1=0与ax +by +c 2=0间的距离公式:d =|c 1-c 2|a 2+b 2. 3.圆的标准方程:(x -a )2+(y -b )2=r 2;圆的一般方程:x 2+y 2+Dx +Ey +F =0,其中D 2+E 2-4F >0.4.直线与圆、圆与圆的位置关系的判定常用几何法,即分别比较圆心到直线的距离与半径的大小或圆心距与半径的和(或差)的大小来判定.(见学生用书P 81)考点一 直线的倾斜角考点精析1.牢记倾斜角的取值范围和经过两点的直线的斜率公式,特别要注意倾斜角为π2的直线斜率不存在.2.求解直线的倾斜角和斜率与三角函数的交汇问题时,要注意三角公式的熟练变形和运用,尤其要注意有关角的取值范围.例 1-1(2014·长郡模拟)已知直线的倾斜角为θ,且sin θ=45,则此直线的斜率是( )A.43 B .-43C .±34D .±43考点:直线的斜率;同角三角函数间的基本关系;直线的倾斜角.分析:由已知中直线的倾斜角为θ,且sin θ=45,我们分倾斜角θ为锐角和钝角两种情况进行讨论,根据同角三角函数关系,我们求出θ的余弦值和正切值,即可得到直线的斜率.解析:已知直线的倾斜角为θ,且sin θ=45,当θ为锐角时,cos θ=35,tan θ=43;当θ为钝角时,cos θ=-35,tan θ=-43.故直线的斜率是±43.答案:D点评:本题考查的知识点是直线的斜率,同角三角函数的基本关系,直线的倾斜角,本题易忽略倾斜角θ可能为钝角的情况,而错选A.规律总结直线的倾斜角与斜率,一般在高考中较少直接考查,但作为直线方程的基础知识,仍然是高考重点考查对象,因此,我们必须熟练掌握它.变式训练【1-1】 (1)直线x +(a 2+1)y +1=0的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π4 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4,πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4,π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4,π(2)已知点A (2,-3),B (-3,-2),直线l 过点P (1,1)且与线段AB 有交点,则直线l 的斜率k 的取值范围为________.解析:(1)将直线方程变形为y =-1a 2+1x -1a 2+1,∴直线的斜率k =-1a 2+1.∵a 2+1≥1,∴0<1a 2+1≤1.∴-1≤k <0,即-1≤tan α<0.∴34π≤α<π,故选B.(2)由图可知满足题目条件的k ≥k BP 或k ≤k AP .由斜率公式,得k AP =1-(-3)1-2=-4, k BP =1-(-2)1-(-3)=34, ∴k ≥34或k ≤-4.答案:(1)B (2)k ≤-4或k ≥34考点二 直线方程考点精析1.根据不同条件求直线的方程时,要注意条件的适用范围.2.对称问题是近几年高考的热点问题,它主要分为中心对称和轴对称两种,求解对称问题时要把握对称的实质,掌握常用的解题方法.例 2-1 已知直线l 1:(k -3)x +(5-k )y +1=0与l 2:2(k -3)x -2y +3=0垂直,则k 的值是( )A .1或3B .1或5C .1或4D .1或2考点:两条直线垂直的判定.分析:由两直线ax +by +c =0与mx +ny +d =0垂直⇔am +bn =0求解即可.解析:由题意得2(k -3)2-2(5-k )=0,整理得k 2-5k +4=0,解得k =1或k =4.答案:C点评:本题考查两直线垂直的条件.规律总结直线方程、两条直线的位置关系、点到直线的距离公式以及对称问题等是研究解析几何的基础,因而也是高考重点考查对象,考查时一般较少直接考查.变式训练【2-1】(2014·四川卷)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|P A|·|PB|的最大值是______.解析:由题意可知,动直线x+my=0经过定点A(0,0),动直线mx-y-m+3=0即m(x-1)-y+3=0,经过点定点B(1,3),注意到动直线x+my=0和动直线mx-y-m+3=0始终垂直,又P是两条直线的交点,则有P A⊥PB,∴|P A|2+|PB|2=|AB|2=10.故|P A|·|PB|≤|P A|2+|PB|22=5(当且仅当|P A|=|PB|时取“=”).答案:5考点三圆的方程考点精析1.直线与圆相交的弦长,可利用弦长公式计算,也可利用弦心距、圆半径、半弦长组成的直角三角形结合勾股定理求得.2.圆的参数方程不是唯一的,圆的参数方程不同,其几何意义也会改变,最值问题常用圆的参数方程转化为三角函数问题求解.例3-1(2015·湖北卷)如图,已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.(1)圆C的标准方程为________;(2)圆C在点B处的切线在x轴上截距为________.考点:直线的斜率、截距、圆的标准方程及直线方程的求解.分析:(1)结合图形,确定圆C的圆心坐标和半径,从而写出圆的标准方程;(2)如图,先求出点B的坐标,进而求出圆C在点B处的切线方程,再求切线在x轴上的截距.解析:(1)由题意设圆的标准方程为(x-1)2+(y-r)2=r2,∵|AB|=2,∴r= 2.∴圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=2.(2)如图,连接CB,CT,CA,作CM⊥AB于点M.∵l为切线,∴CB⊥l.∵M是AB的中点,∴BM=AM=1.又∵CB=2,∴∠BCM=∠MBC=45°,∴∠DBO=45°,∴OD=OB.∵圆心C(1,2),|AB|=2,∴A(0,2-1),B(0,2+1).∴|OD|=|OB|=2+1.∴切线l在x轴上的截距为-2-1.答案:(1)(x-1)2+(y-2)2=2(2)-2-1点评:本题考查了圆的标准方程的求法,直线方程求法,考查了数形结合思想应用及运算求解能力.规律总结圆的方程、直线与圆的位置关系问题一直是高考命题的热点问题(特别是直线与圆的位置关系问题),一般以选择、填空题为主,难度为中等,但区分度较大,题目比较灵活,往往与其他知识交汇在一起命题.变式训练【3-1】(2014·北京卷)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0),若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则m 的最大值为()A.7 B.6C.5 D.4解析:圆C:(x-3)2+(y-4)2=1的圆心C(3,4),半径为1.∵圆心C 到O (0,0)的距离为5,∴圆C 上的点到点O 的距离的最大值为6.再由∠APB =90°,以AB 为直径的圆和圆C 有交点,可得PO =12AB =m ,故有m ≤6.答案:B【3-2】 (2015·全国卷Ⅰ)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C :(x -2)2+(y -3)2=1交于M ,N 两点.(1)求k 的取值范围;(2)若OM→·ON →=12,其中O 为坐标原点,求|MN |. 解析:(1)由题设,可知直线l 的方程为y =kx +1.因为l 与C 交于两点,所以|2k -3+1|1+k2<1. 解得4-73<k <4+73.所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫4-73,4+73. (2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2).将y =kx +1代入方程(x -2)2+(y -3)2=1,整理得(1+k 2)x 2-4(1+k )x +7=0.所以x 1+x 2=4(1+k )1+k 2,x 1x 2=71+k 2, OM →·ON →=x 1x 2+y 1y 2=(1+k 2)x 1x 2+k (x 1+x 2)+1=4k (1+k )1+k 2+8.由题设可得4k (1+k )1+k 2+8=12,解得k =1, 所以l 的方程为y =x +1.故圆心C 在l 上,所以|MN |=2.专题规律总结直线与直线位置关系的判断方法(1)平行:当两条直线l 1和l 2的斜率存在时,l 1∥l 2⇔k 1=k 2;如果直线l 1和l 2的斜率都不存在,那么它们都与x 轴垂直,则l 1∥l 2.(2)垂直:垂直是两直线相交的特殊情形,当两条直线l 1和l 2的斜率存在时,l 1⊥l 2⇔k 1·k 2=-1;若两条直线l 1,l 2中的一条斜率不存在,另一条斜率为0时,则它们垂直.(3)相交:两直线相交的交点坐标可由方程组的解求得.【易错提示】 判断两条直线的位置关系时要注意的两个易错点:一是忽视直线的斜率不存在的情况,二是忽视两直线重合的情况.解答这类试题时要根据直线方程中的系数分情况进行讨论,求出结果后再回代到直线方程中进行检验,这样能有效地避免错误.圆的方程的求法(1)几何法,即通过研究圆的性质进而求出圆的基本量:如圆中弦所在的直线与圆心和弦中点的连线相互垂直;设圆的半径为r ,弦长为|AB |,弦心距为d ,则r 2=d 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22等. (2)代数法,即设出圆的方程,用待定系数法求解.在求圆的方程时,要根据具体的条件选用合适的方法,但一般情况下,应用几何法运算较简捷.求圆的弦长的方法(1)直接求出直线与圆的交点坐标,利用两点间的距离公式求得;(2)不求交点坐标,利用一元二次方程根与系数的关系得出,即设直线的斜率为k ,直线与圆联立消去y 后得到的方程的两根为x 1、x 2,则弦长d =1+k 2|x 1-x 2|;(3)利用半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求.(见学生用书P 83)例 1已知曲线C :y =20-x 22与直线l :y =-x +m 仅有一个公共点,求m 的范围.考场错解:曲线C :y =20-x 22可化为x 2+4y 2=20,① 联立⎩⎪⎨⎪⎧y =-x +m ,x 2+4y 2=20得: 5x 2-8mx +4m 2-20=0,由Δ=0,得m =±5.专家把脉:方程①与原方程并不等价,应加上y ∈[)0,+∞. 对症下药:原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分(如图).结合图形易求得m 的范围为m =5或-25<m <2 5.例 2直线l :y =k (x -5)与圆O :x 2+y 2=16相交于A 、B 两点,当k 变动时,弦AB 的中点M 的轨迹方程.考场错解:易知直线恒过定点P (5,0),再由OM ⊥AP ,得:||OP 2=||OM 2+||MP 2,∴x 2+y 2+(x -5)2+y 2=25,整理得:⎝ ⎛⎭⎪⎫x -522+y 2=254. 专家把脉:求动点轨迹时应注意它的完备性与纯粹性.对症下药:本题中注意到点M 应在圆内,故易求得轨迹为圆内的部分,⎝ ⎛⎭⎪⎫x -522+y 2=254,此时0≤x <165. 专家会诊:在将方程变形时应时时注意变量的取值范围的变化,必须进行等价变形,这样才不会出错.求动点轨迹时应注意它的完备性与纯粹性,求出方程后要对照图象进行检验.(见学生用书P 174)一、选择题1.(2015·北京卷)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=2解析:因为圆心为(1,1),圆过原点,所以圆的半径r=12+12=2,所以圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.故选D.答案:D2.(2013·陕西卷)已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是()A.相切B.相交C.相离D.不确定解析:由题意,点M(a,b)在圆x2+y2=1外,则满足a2+b2>1,圆心到直线ax+by=1的距离d=1a2+b2<1,所以直线ax+by=1与圆O相交.故选B.答案:B3.(2014·四川卷)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|P A|+|PB|的取值范围是()A.[5,25] B.[10,25]C .[10,45]D .[25,45]解析:由题意可知,动直线x +my =0经过定点A (0,0),动直线mx -y -m +3=0即m (x -1)-y +3=0,经过定点B (1,3),∵动直线x +my =0和动直线mx -y -m +3=0始终垂直, 又P 是两条直线的交点,∴P A ⊥PB ,∴|P A |2+|PB |2=|AB |2=10.由基本不等式可得|P A |2+|PB |2≤(|P A |+|PB |)2≤2(|P A |2+|PB |2),即10≤(|P A |+|PB |)2≤20, 可得10≤|P A |+|PB |≤2 5.答案:B4.(2013·湖南卷)在等腰直角三角形ABC 中,AB =AC =4,点P 是边AB 上异于A ,B 的一点.光线从点P 出发,经BC ,CA 反射后又回到点P (如图),若光线QR 经过△ABC 的重心,则AP 等于( )A .2B .1C.83D.43解析:建立如图所示的坐标系,可得B (4,0),C (0,4),故直线BC 的方程为x +y =4,△ABC 的重心为⎝ ⎛⎭⎪⎫0+0+43,0+4+03. 设P (a ,0),其中0<a <4,点P 关于直线BC 的对称点P 1(x ,y ),则满足⎩⎨⎧a +x 2+y +02=4,y -0x -a·(-1)=-1,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =4,y =4-a , 即P 1(4,4-a ),易得P 关于y 轴的对称点P 2(-a ,0),由光的反射原理可知P 1,Q ,R ,P 2四点共线,直线QR 的斜率为k =4-a -04-(-a )=4-a 4+a , 故直线QR 的方程为y =4-a 4+a(x +a ). 由于直线QR 过△ABC 的重心⎝ ⎛⎭⎪⎫43,43, 代入化简可得3a 2-4a =0,解得a =43,或a =0(舍去), 故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43,0,故AP =43. 答案:D5.已知p :直线x -y -1=0与直线x +ay -2=0平行,q :a =-1,则p 是q 的( )A .充要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件 解析:当命题p 成立时,直线l 1:x -y -1=0与直线l 2:x +ay -2=0平行,故两直线的斜率相等,∴a =-1.当q 成立时,a =-1,直线l 1:x -y -1=0与直线l 2:x +ay -2=0平行,故命题p 成立.综上,p 是q 的充要条件.答案:A6.(2010·雅安三模)将直线y =x +1绕其与y 轴的交点旋转90°,再按向量a =(1,1)进行平移,则平移后的直线方程是( )A .y =-x +1B .y =-x +3C .y =x -2D .y =x -1解析:将直线y =x +1绕其与y 轴的交点旋转90°得到直线的方程为y =-x +1,再按向量a 进行平移得到的直线方程为y -1=-(x -1)+1,即y =-x +3.答案:B7.(2015·桂林模拟)若直线x a +y b =1(a >0,b >0)始终平分圆x 2+y 2-4x -2y -8=0的周长,则ab 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤-∞,18 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0,18C .(0,8]D .[8,+∞)解析:由x 2+y 2-4x -2y -8=0化成标准形式为(x -2)2+(y -1)2=13,所以圆心坐标为(2,1).若直线x a +y b =1(a >0,b >0)始终平分圆的周长,则直线x a +y b =1(a >0,b >0)必过点(2,1),所以2a +1b =1.由1=2a +1b ≥22ab ,得ab ≥8,当且仅当2a =1b =12,即a =4,b =2时取等号.故ab 的取值范围是[8,+∞).答案:D8.(2014·湖南卷)若圆C 1:x 2+y 2=1与圆C 2:x 2+y 2-6x -8y +m =0外切,则m =( )A .21B .19C .9D .-11解析:由C 1:x 2+y 2=1,得圆心C 1(0,0),半径为1,由圆C 2:x 2+y 2-6x -8y +m =0,得(x -3)2+(y -4)2=25-m ,∴圆心C 2(3,4),半径为25-m .∵圆C 1与圆C 2外切,∴32+44=25-m +1,解得m =9.答案:C9.(2014·安徽卷)过点P (-3,-1)的直线l 与圆x 2+y 2=1有公共点,则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0,π6B.⎝⎛⎦⎥⎤0,π3 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π3 解析:由题意可得,要求的直线的斜率存在,设为k ,则直线方程为y +1=k (x +3),即kx -y +3k -1=0.根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得|0-0+3k -1|k 2+1≤1,即3k 2-23k +1≤k 2+1,解得0≤k ≤3,故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π3. 答案:D10.(2014·江西卷)在平面直角坐标系中,A 、B 分别是x 轴和y 轴上的动点,若以AB 为直径的圆C 与直线2x +y -4=0相切,则圆C 面积的最小值为( )A.45πB.34πC .(6-25)π D.54π解析:∵AB 为直径,∠AOB =90°,∴O 点必在圆C 上,由O 向直线做垂线,垂足为D ,则当D 恰为圆与直线的切点时,此时圆C 的半径最小,即面积最小.此时圆的直径是O 到直线的距离为45,则圆C 的面积为:π×⎝ ⎛⎭⎪⎫252=4π5. 答案:A11.(2015·山东卷)一条光线从点(-2,-3)射出,经y 轴反射后与圆(x +3)2+(y -2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( )A .-53或-35B .-32或-23C .-54或-45D .-43或-34解析:光线从点(-2,-3)射出,经y 轴反射后与圆(x +3)2+(y -2)2=1相切,由对称性可知,反射光线所在直线是过点(-2,-3)关于y 轴的对称点(2,-3)向圆所作的切线,设切线的斜率为k ,则切线的方程为y =k (x -2)-3,由圆心(-3,2)到切线的距离等于半径1,得1=|-5k -5|1+k 2,解得k =-34或k =-43,故选D. 答案:D12.(2015·全国卷Ⅱ)已知三点A (1,0),B (0,3),C (2,3),则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A.53B.213C.253D.43 解析:(方法1)A (1,0),B (0,3),C (2,3),∴AB =BC =AC =2,即△ABC 为等边三角形,∴△ABC 外接圆圆心即为△ABC 的重心.取BC 的中点D ,连接AD ,则AD 是△ABC 的边BC 上的中线,在AD 上取点G 使AG =23AD ,则G 是△ABC 的重心.所以G ⎝ ⎛⎭⎪⎫1,233,所以|OG |=12+⎝ ⎛⎭⎪⎫2332=213.故选B.(方法2)易知△ABC 是等边三角形,∴ △ABC 外接圆圆心即为△ABC 的重心.由重心坐标公式得,△ABC 的重心G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1+0+23,0+3+33, 即G ⎝ ⎛⎭⎪⎫1,233,故|OG |=12+⎝ ⎛⎭⎪⎫2332=213. 故选B.答案:B13.(2013·重庆卷)已知圆C 1:(x -2)2+(y -3)2=1,圆C 2:(x -3)2+(y -4)2=9,M 、N 分别是圆C 1、C 2上的动点,P 为x 轴上的动点,则|PM |+|PN |的最小值为( )A .52-4 B.17-1C .6-2 2 D.17解析:如图圆C 1关于x 轴的对称圆的圆心坐标A (2,-3),半径为1,圆C 2的圆心坐标为(3,4),半径为3,|PM |+|PN |的最小值为圆A 与圆C 2的圆心距减去两个圆的半径和, 即:(3-2)2+(4+3)2-1-3=52-4.答案:A二、填空题14.(2015·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为__________.解析:设圆的半径为r,根据圆与直线相切的关系得,r=|m+1|1+m2=m2+2m+1m2+1=1+2mm2+1,当m<0时,1+2mm2+1无最大值,且1+2mm2+1<1;当m=0时,r=1;当m>0时,m2+1≥2m(当且仅当m=1时取“=”),所以r≤1+1= 2.综上可知r最大值为2.所以半径最大的圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.答案:(x-1)2+y2=215.(2015·湖南卷)若直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点,且∠AOB=120°(O为坐标原点),则r=________.解析:如图.因为∠AOB =120°,所以∠AOD =60°.在Rt △AOD 中,OA =2OD =r ,又因为OD =|3×0-4×0+5|5=1,所以r =2. 答案:2三、解答题16.(2014·全国卷Ⅰ)已知点P (2,2),圆C :x 2+y 2-8y =0,过点P 的动直线l 与圆C 交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M ,O 为坐标原点.(1)求M 的轨迹方程;(2)当|OP |=|OM |时,求l 的方程及△POM 的面积.解析:(1)圆C 的方程可化为x 2+(y -4)2=16,所以圆心为C (0,4),半径为4.设M (x ,y ),则CM→(x ,y -4),MP →=(2-x ,2-y ). 由题设知CM→·MP →=0, 故x (2-x )+(y -4)(2-y )=0,即(x -1)2+(y -3)2=2.由于点P 在圆C 的内部,所以M 的轨迹方程是(x -1)2+(y -3)2=2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心,2为半径的圆. 由于|OP |=|OM |,故O 在线段PM 的垂直平分线上,又P 在圆N 上,从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3,所以l 的斜率为-13,故l 的方程为y =-13x +83.又|OM |=|OP |=22,O 到l 的距离为4105,|PM |=4105, 所以△POM 的面积为165.17.(2013·江苏卷)如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A (0,3),直线l :y =2x -4.设圆C 的半径为1,圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线y =x -1上,过点A 作圆C 的切线,求切线的方程;(2)若圆C 上存在点M ,使MA =2MO ,求圆心C 的横坐标a 的取值范围.解析:(1)联立得⎩⎪⎨⎪⎧y =x -1,y =2x -4,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =3,y =2, ∴圆心C (3,2).若k 不存在,不合题意;若k 存在,设切线为:y =kx +3,可得圆心到切线的距离d =r , 即|3k +3-2|1+k 2=1,解得k =0或k =-34,则所求切线为y =3或y =-34x +3.(2)设点M (x ,y ),由MA =2MO , 知:x 2+(y -3)2=2x 2+y 2,化简得:x 2+(y +1)2=4,∴点M 的轨迹为以(0,-1)为圆心,2为半径的圆,可记为圆D , 又∵点M 在圆C 上,∴圆C 与圆D 的关系为相交或相切,∴1≤|CD |≤3,其中|CD |=a 2+(2a -3)2,∴1≤a 2+(2a -3)2≤3,解得0≤a ≤2.4.。

高三数学直线与圆知识点复习

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高三数学直线与圆知识点复习数学是高中阶段学生最让人头疼的科目之一,而高三阶段的数学更是难度系数加大。

在高三数学课程中,直线与圆是一个非常重要的知识点。

下面我们来复习一下直线与圆的相关知识。

1. 直线方程在平面直角坐标系中,直线可以用一般式或点斜式方程表示。

一般式方程为Ax + By + C = 0,其中A、B和C是常数。

而点斜式方程则是y - y1 = k(x - x1),其中(k是直线的斜率,(x1, y1)是直线上的一点。

直线方程中的斜率对于直线的性质起着重要作用。

斜率为正表示直线向右上方倾斜,斜率为负表示直线向右下方倾斜,斜率为零表示直线为水平线,斜率不存在表示直线为竖直线。

2. 圆的方程在平面直角坐标系中,圆可以用标准方程表示。

标准方程为(x - a)² + (y - b)² = r²,其中(a, b)是圆心的坐标,r是圆的半径。

圆的方程中,圆心对圆的性质起着重要作用。

圆心坐标(a, b)表示圆心所在的位置,半径r则决定了圆的大小。

3. 直线与圆的关系直线与圆有着紧密的关系,可以分为以下几种情况:- 直线与圆相切:直线与圆相切表示直线与圆只有一个交点,此时直线的斜率与半径的斜率互为相反数。

- 直线与圆相离:直线与圆相离表示直线与圆没有交点,此时直线的斜率与半径的斜率不相等。

- 直线与圆相交:直线与圆相交表示直线与圆有两个交点。

- 直径:直径是连接圆上任意两点,并且经过圆心的线段。

直径的长度等于圆的半径的两倍。

4. 直线与圆的求解方法当我们遇到直线与圆的相交等问题时,可以通过以下几种方法求解:- 列方程求解:将直线和圆的方程列出,根据方程求解交点的坐标。

- 利用性质求解:根据直线和圆的性质,通过几何推理求解交点的坐标。

5. 直线与圆的应用直线与圆的知识在实际生活中有广泛的应用。

例如,在建筑设计中,我们需要确定两条直线是否相交,以确保结构的稳定性。

在电子设备设计中,我们需要确定一条直线是否与一个电子元件的引脚相交,以确保电子元件的正常工作。

高三数学第二轮专题复习系列--直线与圆的方程

高三数学第二轮专题复习系列--直线与圆的方程

本章以直线和圆为载体,揭示了解析几何的基本概念和方法。

直线的倾斜角、斜率的概念及公式、直线方程的五种形式是本章的重点之一,而点斜式又是其它形式的基础;两条直线平行和垂直的充要条件、直线l 1到12的角以及两直线的夹角、点到直线的距离公式也是重点内容;用不等式(组)表示平面区域和线性规划作为新增内容,需要引起一定的注意;曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想,是解决解析几何两个基本问题的依据;圆的方程、直线(圆)与圆的位置关系、圆的切线问题和弦长问题等,因其易与平面几何知识结合,题目解法灵活,因而是一个不可忽视的要点。

二、高考要求1、掌握两条直线平行和垂直的条件,掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式,能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系;3、会用二元一次不等式表示平面区域;4、了解简单的线性规划问题,了解线性规划的意义,并会简单的应用;5、了解解析几何的基本思想,了解用坐标法研究几何问题的方法;6、掌握圆的标准方程和一般方程,了解参数方程的概念,理解圆的参数方程的概念。

三、热点分析在近几年的高考试题中,两点间的距离公式,中点坐标公式,直线方程的点斜式、斜率公式及两条直线的位置关系是考查的热点。

但由于知识的相互渗透,综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门,应当引起特别注意,本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容,在高考中极有可能涉及,但难度不会大。

四、复习建议本章的复习首先要注重基础,对基本知识、基本题型要掌握好;求直线的方程主要用待定系数法,复习时应注意直线方程各种形式的适用条件;研究两条直线的位置关系时,应特别注意斜率存在和不存在的两种情形;曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想,随着高考对知识形成过程的考查逐步加强,对坐标法的要求也进一步加强,因此必须透彻理解。

既要掌握求曲线方程的常用方法和基本步骤,又能根据方程讨论曲线的性质;圆的方程、直线与圆的位置关系,圆的切线问题与弦长问题都是高考中的热点问题;求圆的方程或找圆心坐标和半径的常用方法是待定系数法及配方法,应熟练掌握,还应注意恰当运用平面几何知识以简化计算。

高三复习直线与圆的方程复习教学课件

高三复习直线与圆的方程复习教学课件

直线与圆相交、相切、相离的应用举例
相交
求两圆公共弦的方程,两圆相交的弦 长。
相切
相离
求两圆外离的条件,两圆内含的结论 。
求圆的切线方程,两圆外切的条件。
04
直线与圆的综合应用复习
利用直线与圆的方程解决实际问题的方法与技巧
01
02
03
建立数学模型
根据实际问题,建立相应 的直线或圆方程,通过解 方程得到答案。
参数方程与普通方程的转换
可以通过消去参数 $t$ 将参数方程转换为普通方程,或者通过代入参数 $t$ 的值将普通方程转 换为参数方程
02
圆的方程复习
圆的基本概念与性质
01
圆的基本定义
平面上所有与给定点(圆心)距离等于给定正数 (半径)的点的集合。
02
圆的基本性质
圆是中心对称图形,具有旋转不变性;圆是轴对 称图形,具有对称性。
方程组求解
当直线与圆有交点时,可 以通过解方程组得到交点 坐标。
参数方程法
对于一些特殊情况,可以 通过参数方程来表示直线 或圆,从而简化计算。
直线与圆在几何、代数、三角函数等领域的综合应用举例
几何应用
利用直线与圆的方程解决 几何问题,如求两圆相交 的公共弦等。
代数应用
利用直线与圆的方程解决 代数问题,如求直线与圆 相切的条件等。
02 相切
直线与圆只有一个交点。
03 相离
直线与圆没有交点。
圆的参数方程与极坐标方程
圆的参数方程
$(x = a + rcostheta, y = b + rsintheta)$,其中(a,b)为圆心,r为 半径,$theta$为参数。
圆的极坐标方程

直线和圆的方程单元知识总结

直线和圆的方程单元知识总结

直线和圆的方程单元知识总结 一、直线1.直线的倾斜角和斜率(1)直线的倾斜角α∈[0,π). (2)直线的斜率,即0tan (90)k αα=≠(3)斜率公式:经过两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的直线的斜率为212121(0)y y k x x x x -=-≠-2.直线的方程(1)点斜式 已知直线过点(x 0,y 0),斜率为k ,则其方程为:y -y 0=k(x -x 0) (2)斜截式 已知直线在y 轴上的截距为b ,斜率为k ,则其方程为:y=kx +b (3)两点式 已知直线过两点(x 1,y 1)和(x 2,y 2),则其方程为:112121y y x x y y x x --=-- (4)截距式 已知直线在x ,y 轴上截距分别为a 、b ,则其方程为:1x ya b+= (5)一般式 Ax +By +C=0 (A 、B 不同时为0). (6)直线系方程:过两直线⎩⎨⎧=++=++0:0:22221111C y B x A l C y B x A l 的交点的直线系方程是111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=(0222=++C y B x A 不包括在内)3.两条直线的位置关系(1)平行:当直线l 1和l 2有斜截式方程时,k 1=k 2且b 1≠b 2; (2)重合:当l 1和l 2有斜截式方程时,k 1=k 2且b 1=b 2; (3)相交:当l 1,l 2是斜截式方程时,k 1≠k 2(4)垂直:设两条直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k ,则有12121-=⇔⊥k k l l一般式方程时,1212210l l A B A B ⊥⇔+=(优点:对斜率是否存在不讨论)(5)到角:直线1l 到2l 的角,是指直线1l 绕交点依逆时针方向旋转到与2l 重合时所转动的角θ,它的范围是),0(π,当 90≠θ时21121tan k k k k +-=θ.(6)夹角:两条相交直线1l 与2l 的夹角,是指由1l 与2l 相交所成的四个角中最小的正角θ,又称为1l 和2l 所成的角,它的取值范围是 ⎝⎛⎥⎦⎤2,0π,当90≠θ,则有21121tan k k k k +-=θ. (7)交点:求两直线交点,即解方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩4.点到直线的距离:设点),(00y x P ,直线P C By Ax l ,0:=++到l 的距离为2200BA C By Ax d +++=.5.两条平行线间的距离公式:设两条平行直线)(0:,0:212211C C C By Ax l C By Ax l ≠=++=++,它们之间的距离为d ,则有2221BA C C d +-=.6. 关于点对称和关于某直线对称:⑴关于点对称的两条直线一定是平行直线,且这个点到两直线的距离相等.⑵关于某直线对称的两条直线:若两条直线平行,则对称直线也平行,且两直线到对称直线距离相等.若两条直线不平行,则对称直线必过两条直线的交点,且对称直线为两直线夹角的角平分线.⑶点关于某一条直线对称,用中点表示两对称点,则中点在对称直线上(方程①),过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直(方程②)①②可解得所求对称点.即求点00(,)P x y 关于直线l :0=++C By Ax (B A ,不全为零)对称点时,设对称点为'(,)P x y '',则根据l 是线段'PP 的垂直平分线,即l ⊥'PP 且'PP 的中点在直线l 上,得'x ,'y 应满足的方程组为:0000'()1'''022y y A x x B x x y y A B C -⎧⋅-=-⎪-⎪⎨++⎪⋅+⋅+=⎪⎩,由此解得'P 点的坐标(,)x y ''. 7.简单的线性规划----线性规划的三种类型:1.截距型:形如z=ax+by, 把z 看作是y 轴上的截距,目标函数的最值就转化为y 轴上的截距的最值。

高中数学总复习之基础知识要点直线和圆的方程

高中数学总复习之基础知识要点直线和圆的方程

§7. 直线和圆的方程 知识要点一、直线方程。

1. 直线的倾斜角:一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角,其中直线与x 轴平行或重合时,其倾斜角为0,故直线倾斜角的范围是)0(1800παα≤≤。

注:①当90=α或12x x=时,直线l 垂直于x 轴,它的斜率不存在。

②每一条直线都存在惟一的倾斜角,除与x 轴垂直的直线不存在斜率外,其余每一条直线都有惟一的斜率,并且当直线的斜率一定时,其倾斜角也对应确定.2. 直线方程的几种形式:点斜式、截距式、两点式、斜切式.特别地,当直线经过两点),0(),0,(b a ,即直线在x 轴,y 轴上的截距分别为)0,0(,≠≠b a b a 时,直线方程是:1=+bya x .注:若232--=x y 是一直线的方程,则这条直线的方程是232--=x y ,但若)0(232≥--=x x y 则不是这条线。

附:直线系:对于直线的斜截式方程b kx y +=,当b k ,均为确定的数值时,它表示一条确定的直线,如果b k ,变化时,对应的直线也会变化。

①当b为定植,k 变化时,它们表示过定点(0,b )的直线束。

②当k 为定值,b 变化时,它们表示一组平行直线。

3。

⑴两条直线平行:1l ∥212k k l=⇔两条直线平行的条件是:①1l 和2l 是两条不重合的直线. ②在1l 和2l 的斜率都存在的前提下得到的。

因此,应特别注意,抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误。

(一般的结论是:对于两条直线21,l l ,它们在y 轴上的纵截距是21,b b ,则1l ∥212k k l=⇔,且21b b ≠或21,l l 的斜率均不存在,即2121A B BA =是平行的必要不充分条件,且21C C ≠)推论:如果两条直线21,l l 的倾斜角为21,αα则1l ∥212αα=⇔l。

⑵两条直线垂直:两条直线垂直的条件:①设两条直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k ,则有12121-=⇔⊥k k ll 这里的前提是21,l l 的斜率都存在. ②0121=⇔⊥k ll ,且2l 的斜率不存在或02=k,且1l 的斜率不存在. (即01221=+B A BA 是垂直的充要条件)4。

学科网3-2-1精品系列数学2024版专题07直线与圆的方程

学科网3-2-1精品系列数学2024版专题07直线与圆的方程

学科网3-2-1精品系列数学2024版专题07直线与圆的方程直线和圆是平面几何中的两个重要的图形,它们在数学中有着广泛的应用。

本文将介绍直线和圆的方程,并对其进行详细解析。

一、直线的方程直线是由无数个点连成的,可以通过两个点确定一条直线。

直线的方程一般可以用一般式、斜截式和点斜式来表示。

1.一般式:直线的一般式方程为Ax+By+C=0,其中A、B、C为常数,且A和B不同时为0。

2.斜截式:直线的斜截式方程为y = kx + b,其中k为直线的斜率,b为直线与y轴的交点。

3.点斜式:直线的点斜式方程为y-y₁=k(x-x₁),其中(x₁,y₁)为直线上一点的坐标,k为直线的斜率。

二、圆的方程圆是由平面上到一个固定点的距离等于常数的点构成的图形。

圆的方程一般可以用标准方程和一般方程表示。

1.标准方程:圆的标准方程为(x-a)²+(y-b)²=r²,其中(a,b)为圆心的坐标,r为圆的半径。

2.一般方程:圆的一般方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0,其中D、E、F为常数,且D和E不同时为0。

三、直线与圆的位置关系直线和圆的位置关系主要有相交、相切和相离三种情况。

1.相交:当直线与圆有两个交点时,直线和圆相交。

2.相切:当直线与圆有且仅有一个交点时,直线和圆相切。

3.相离:当直线与圆没有交点时,直线和圆相离。

四、直线与圆的求解当已知直线和圆的方程时,可以通过联立直线和圆的方程组来求解直线与圆的交点。

1.联立方程组:通过将直线的方程代入圆的方程,可以得到一个关于x和y的方程组。

联立方程组后,求解方程组即可得到直线与圆的交点。

2.求解方法:-对于一般式和斜截式的直线方程,将其代入圆的方程中,得到一个关于x或y的二次方程,通过求解二次方程求得交点坐标。

-对于点斜式的直线方程,可以通过将直线的斜率k和截距b代入圆的方程,得到一个关于x的二次方程,通过求解二次方程求得交点坐标。

高中三年级总复习直线与圆方程知识点总结与典型例题

高中三年级总复习直线与圆方程知识点总结与典型例题

..直线与圆的方程 一、直线的方程 1、倾斜角:L,范围0≤ <,假设l//x 轴或与x 轴重合时,=00。

2、斜率:k=tan与 的关系:=0 =0L 上两点P 〔x,y 〕< <k1112P2〔x2,y2〕=不存在2k=y 2y 12x 2x 12当x 1 =x 2时, =90 0,不存在。

当 0 时, =arctank , <0时,=+arctank3、截距〔略〕曲线过原点 横纵截距都为0。

4、直线方程的几种形式方程 说明几种特殊位置的直线斜截式K 、bY=kx+b不含y 轴和行平 ①x 轴:y=0于y 轴的直线点斜式P=(x 1 ,y 1 y-y 1 =k(x-x )不含y 轴和平行②y 轴:x=01 1)于y 轴的直线k两点式P1(x1,y1) yy 1x x 1 不含坐标辆和 ③平行于x 轴:y=bP2(x2,y 2)平行于坐标轴y 2y 1x 2x 1的直线截距式a 、bx y不含坐标轴、平④平行于y 轴:x=aa1⑤过原点:y=kxb行于坐标轴和过原点的直线一般式Ax+by+c=0A 、B 不同时为0两个重要结论:①平面内任何一条直线的方程都是关于 x 、y 的二元一次方程。

②任何一个关于x 、y 的二元一次方程都表示一条直线。

5、直线系:〔1〕共点直线系方程: p 〔x,y 〕为定值,k 为参数y-y 0 =k 〔x-x 〕0 0 0特别:y=kx+b ,表示过〔 0、b 〕的直线系〔不含 y 轴〕2〕平行直线系:①y=kx+b,k为定值,b为参数。

②AX+BY+入=0表示与Ax+By+C=0平行的直线系③BX-AY+入=0表示与AX+BY+C垂直的直线系3〕过L1,L2交点的直线系A1x+B1y+C1+入〔A2X+B2Y+C2〕=0〔不含L2〕6、三点共线的判定:①AB BC AC,②K AB=K BC,③写出过其中两点的方程,再验证第三点在直线上。

..下载可编辑....二、两直线的位置关系1、L1:y=k1x+b1L1:A1X+B1Y+C1=0L1与L2组成的方程组L2:y=k2x+b2L2:A2X+B2Y+C2=0平行K1=k2且b1≠b2A1B1C1无解A2B2C2重合K1=k2且b1=b2A1B1C1有无数多解A2B2C2相交K1≠k2A1B1有唯一解A2B2垂直K1·k2=-1A1A2+B1B2=0〔说明:当直线平行于坐标轴时,要单独考虑〕2、L1到L2的角为0,那么tan k2k1〔k1k21〕1k2?k13、夹角:tan k2k1 1k2k14、点到直线距离:d Ax0By0c〔点〔p0(x0,y0),L:AX+BY+C=0〕A2B2①两行平线间距离:L1=AX+BY+C1=0L2:AX+BY+C2=0c1c2 dA2B2②与AX+BY+C=0平行且距离为d的直线方程为Ax+By+C±dA2B20③与AX+BY+C1=0和AX+BY+C2=0平行且距离相等的直线方程是AXC1C20 BY25、对称:〔1〕点关于点对称:p(x,y)关于M〔x,y〕的对称P(2X0X1,2Y0Y1)1100〔2〕点关于线的对称:设p(a、b)对称轴对称点p 对称轴对称点pX轴p(a、b)Y=-xp(b、a)Y轴p(a、b)X=m(m≠0)p(2m a、b)y=xp(b、a)y=n(n≠0)p(a、2n b)..下载可编辑....一般方法:如图:(思路1)设P点关于L的对称点为P0(x0,y0)那么Kpp0﹡K L=-1P,P0中点满足L方程解出P0(x0,y0)〔思路2〕写出过P⊥L的垂线方程,先求垂足,然后用中点坐标公式求出P0(x0,y0)的坐标。

高中数学知识点:直线和圆的方程

高中数学知识点:直线和圆的方程

高中数学知识点:直线和圆的方程一、证一、概述在知识点圆的方程中介绍了圆的概念 ,以及直线与圆的位置关系。

在初一数学中就有学习过直线方程的知识点 ,应该清楚 ,一元一次方程与直线方程的关系。

二、直线方程1.直线的倾斜角:一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角 ,其中直线与x轴平行或重合时 ,其倾斜角为0 ,故直线倾斜角的范围是[0,180〕注:①当倾斜角等于90时 ,直线l垂直于x轴 ,它的斜率不存在.②每一条直线都存在惟一的倾斜角 ,除与x轴垂直的直线不存在斜率外 ,其余每一条直线都有惟一的斜率 ,并且当直线的斜率一定时 ,其倾斜角也对应确定.2.直线方程的几种形式:点斜式、截距式、两点式、斜切式.三、圆的方程1.⑴曲线与方程:在直角坐标系中 ,如果某曲线C上的与一个二元方程f(x,y)=0的实数建立了如下关系:①曲线上的点的坐标都是这个方程的解.②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线方程;这条曲线叫做方程的曲线〔图形〕.⑵曲线和方程的关系 ,实质上是曲线上任一点M(x,y)其坐标与方程f(x,y)=0的一种关系 ,曲线上任一点(x,y)是方程f(x,y)=0的解;反过来 ,满足方程f(x,y)=0的解所对应的点是曲线上的点.注:如果曲线C的方程是f(x,y)=0 ,那么点P0(x0,y)线C上的充要条件是f(x0,y0)=01.提出反证法:一般地 ,假设原命题不成立 ,经过正确的推理 ,最后得出矛盾 ,因此说明假设错误 ,从而证明了原命题成立.2.证明根本步骤:假设原命题的结论不成立从假设出发 ,经推理论证得到矛盾矛盾的原因是假设不成立 ,从而原命题的结论成立3.应用关键:在正确的推理下得出矛盾〔与条件矛盾 ,或与假设矛盾 ,或与定义、公理、定理、事实矛盾等〕.4.方法实质:反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的 ,即由一个命题与其逆否命题同真假 ,通过证明一个命题的逆否命题的正确 ,从而肯定原命题真实.。

高三总复习直线与圆的方程知识点总结_2

高三总复习直线与圆的方程知识点总结_2

2016届高考数学复习——直线与圆的方程【考试要求】(1)直线与方程①在平面直角坐标系中, 结合具体图形, 确定直线位置的几何要素.②理解直线的倾斜角和斜率的概念, 掌握过两点的直线斜率的计算公式.③能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.④掌握确定直线位置的几何要素, 掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式), 了解斜截式与一次函数的关系.⑤能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.⑥掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式, 会求两条平行直线间的距离. (2)圆与方程①掌握确定圆的几何要素, 掌握圆的标准方程与一般方程.②能根据给定直线、圆的方程, 判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程, 判断两圆的位置关系.③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.【知识及公式回顾】1.点到直线距离: __________________________(已知点(p0(x0,y0)与直线L: AX+BY+C=0)2.推论: 两行平线间距离: L1=AX+BY+C1=0 L2: AX+BY+C2=0 d=_________________对称问题: (1)点关于点对称:点P(x1,y1)关于M(x0,y0)的对称点(, )2)点关于线的对称: 设点P(a,b),则其关于直线l的对称点的坐标?一般方法:P3.圆的方程①标准方程, ______________为圆心, _______________为半径。

②一般方程:,圆心______________, 半径=Cr__________________当时, 表示一个点。

当时, 不表示任何图形。

4.点与圆的位置关系:考察点到圆心距离d, 然后与半径r比较大小。

5.直线和圆的位置关系:相交、相切、相离判定: 利用圆心c (a、b) 到直线Ax+By+C=0的距离d来确定:d<r⇔_________、d=r⇔_________、d>r⇔___________(直线与圆相交, 注意半径、弦心距、半弦长所组成的kt△)6.圆与圆的位置关系由两圆心间距离与其半径进行判断、相交、相离(外离、内含)、相切(外切、内切)【典型考题】类型一: 圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0 y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与 圆的关系.例2 求半径为4, 与圆 相切, 且和直线 相切的圆的方程.例3【2015湖南】若直线 与圆 相交于A,B 两点, 且 (O 为坐标原点), 则 =_____.类型二: 直线与圆的位置关系例4 【2015安徽】直线3x+4y=b 与圆 相切, 则b=( )(A )-2或12 (B )2或-12 (C )-2或-12 (D )2或12例5 求直线063:=--y x l 被圆042:22=--+y x y x C 截得的弦AB 的长.例6 已知直线 和圆 , 判断此直线与已知圆的位置关系.例7 【2015全国卷1】 已知过点 且斜率为k 的直线l 与圆C: 交于M, N 两点. (I )求k 的取值范围;(II ) , 其中O 为坐标原点, 求 .类型三: 轨迹问题例8 已知点 与两个定点 , 的距离的比为 , 求点 的轨迹方程.例9 已知线段的端点的坐标是(4, 3), 端点在圆上运动, 求线段的中点的轨迹方程.。

高考数学知识点总结:直线和圆的方程

高考数学知识点总结:直线和圆的方程

直线和圆的方程知识点总结一、 直线方程.1. 直线的倾斜角:一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角,其中直线与x 轴平行或重合时,其倾斜角为0,故直线倾斜角的范围是)0(1800παα ≤≤.注:①当 90=α或12x x =时,直线l 垂直于x 轴,它的斜率不存在.②每一条直线都存在惟一的倾斜角,除与x 轴垂直的直线不存在斜率外,其余每一条直线都有惟一的斜率,并且当直线的斜率一定时,其倾斜角也对应确定.2. 直线方程的几种形式:点斜式、截距式、两点式、斜切式.特别地,当直线经过两点),0(),0,(b a ,即直线在x 轴,y 轴上的截距分别为)0,0(,≠≠b a b a 时,直线方程是:1=+by a x . 注:若232--=x y 是一直线的方程,则这条直线的方程是232--=x y ,但若)0(232≥--=x x y 则不是这条线. 附:直线系:对于直线的斜截式方程b kx y +=,当b k ,均为确定的数值时,它表示一条确定的直线,如果b k ,变化时,对应的直线也会变化.①当b 为定植,k 变化时,它们表示过定点(0,b )的直线束.②当k 为定值,b 变化时,它们表示一组平行直线.3. ⑴两条直线平行:1l ∥212k k l =⇔两条直线平行的条件是:① 1l 和2l 是两条不重合的直线.②在1l 和2l 的斜率都存在的前提下得到的. 因此,应特别注意,抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.(一般的结论是:对于两条直线21,l l ,它们在y 轴上的纵截距是21,b b ,则1l ∥212k k l =⇔,且21b b ≠或21,l l 的斜率均不存在,即2121A B B A =是平行的必要不充分条件,且21C C ≠) 推论:如果两条直线21,l l 的倾斜角为21,αα则1l ∥212αα=⇔l . ⑵两条直线垂直:两条直线垂直的条件:①设两条直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k ,则有12121-=⇔⊥k k l l 这里的前提是21,l l 的斜率都存在.②0121=⇔⊥k l l ,且2l 的斜率不存在或02=k ,且1l 的斜率不存在. (即01221=+B A B A 是垂直的充要条件)4. 直线的交角:⑴直线1l 到2l 的角(方向角);直线1l 到2l 的角,是指直线1l 绕交点依逆时针方向旋转到与2l 重合时所转动的角θ,它的范围是),0(π,当 90≠θ时21121tan k k k k +-=θ. ⑵两条相交直线1l 与2l 的夹角:两条相交直线1l 与2l 的夹角,是指由1l 与2l 相交所成的四个角中最小的正角θ,又称为1l 和2l 所成的角,它的取值范围是 ⎝⎛⎥⎦⎤2,0π,当 90≠θ,则有21121tan k k k k +-=θ. 5. 过两直线⎩⎨⎧=++=++0:0:22221111C y B x A l C y B x A l 的交点的直线系方程λλ(0)(222111=+++++C y B x A C y B x A 为参数,0222=++C y B x A 不包括在内)6. 点到直线的距离:⑴点到直线的距离公式:设点),(00y x P ,直线P C By Ax l ,0:=++到l 的距离为d ,则有2200B A CBy Ax d +++=.注:1. 两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式:21221221)()(||y y x x P P -+-=.特例:点P(x,y)到原点O 的距离:||OP = 2. 定比分点坐标分式。

高三数学总复习--直线与圆的方程

高三数学总复习--直线与圆的方程

直线和圆的方程一、直线的方程1、倾斜角:范围0 ≤α<180 ,若x l //轴或与x 轴重合时,α=00。

若l x ⊥轴时,α=900。

2、斜率: k=tan α 已知L 上两点P 1(x 1,y 1) P 2(x 2,y 2) ⇒k=1212x x y y --当1x =2x 时,α=900,k 不存在。

α为锐角时,k>0; α为钝角时,k<0;3、直线方程的几种形式已知 方程 说明几种特殊位置的直线 斜截式 k 、b y=kx+b 不含y 轴和行平于y 轴的直线①x 轴:y=0 点斜式 P 1(x 1,y 1) ky-y 1=k(x-x 1) 不含y 轴和平行于y 轴的直线②y 轴:x=0 两点式P 1(x 1,y 1) P 2(x 2,y 2)121121x x x x y y y y --=--不含坐标辆和平行于坐标轴的直线③平行于x 轴:y=b截距式a 、b1=+b y a x不含坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线④平行于y 轴:x=a ⑤过原点:y=kx 或x=0 一般式 Ax+by+c=0A 、B 不同时为0两个重要结论:①平面内任何一条直线的方程都是关于x 、y 的二元一次方程。

②任何一个关于x 、y 的二元一次方程都表示一条直线。

4、直线系:(待定系数法的应用)(1)共点直线系方程:p 0(x 0,y 0)为定值,k 为参数y-y 0=k (x-x 0) 特别:y=kx+b ,表示过(0、b )的直线系(不含y 轴) 注意:运用斜率法时注意斜率不存在的情形。

(2)平行直线系:①y=kx+b ,k 为定值,b 为参数。

②Ax+By+入=0表示与Ax+By+C=0 平行的直线系 ③Bx-A y+入=0表示与Ax+By+C 垂直的直线系 (3)截距式方程系注意:“截距相等”0,10,x y a b a b a b y kx ⎧=≠+=⎪=⎨⎪===⎩若则设为若则必过原点,可设为或x=05、三点共线的判定:①AC BC AB =+,②K AB =K BC ,③写出过其中两点的方程,再验证第三点在直线上。

高中数学直线与圆的方程知识点总结

高中数学直线与圆的方程知识点总结

高中数学之直线与圆的方程一、概念理解:1、倾斜角:①找α:直线向上方向、x 轴正方向; ②平行:α=0°;③范围:0°≤α<180° 。

2、斜率:①找k :k=tan α (α≠90°); ②垂直:斜率k 不存在; ③范围: 斜率 k ∈ R 。

3、斜率与坐标:12122121tan x x y y x x y y k --=--==α①构造直角三角形(数形结合); ②斜率k 值于两点先后顺序无关; ③注意下标的位置对应。

4、直线与直线的位置关系:222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交:斜率21k k ≠(前提是斜率都存在)特例----垂直时:<1> 0211=⊥k k x l 不存在,则轴,即; <2> 斜率都存在时:121-=∙k k 。

②平行:<1> 斜率都存在时:2121,b b k k ≠=; <2> 斜率都不存在时:两直线都与x 轴垂直。

③重合: 斜率都存在时:2121,b b k k ==; 二、方程与公式: 1、直线的五个方程:①点斜式:)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可; ②斜截式:b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可;③两点式:),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中, 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接带入即可;④截距式:1=+bya x 将已知截距坐标),0(),0,(b a 直接带入即可; ⑤一般式:0=++C By Ax ,其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。

2、求两条直线的交点坐标:直接将两直线方程联立,解方程组即可3、距离公式: ①两点间距离:22122121)()(y y x x P P -+-=②点到直线距离:2200B A C By Ax d +++=③平行直线间距离:2221BA C C d+-=4、中点、三分点坐标公式:已知两点),(),,(2211y x B y x A①AB 中点),(00y x :)2,2(2121y y x x ++ ②AB 三分点),(),,(2211t s t s :)32,32(2121y y x x ++ 靠近A 的三分点坐标)32,32(2121y y x x ++ 靠近B 的三分点坐标中点坐标公式,在求对称点、第四章圆与方程中,经常用到。

高二直线和圆的方程知识点归纳

高二直线和圆的方程知识点归纳

高二直线和圆的方程知识点归纳直线和圆是数学中常见的几何图形,它们的方程是我们学习的重点内容。

在高二阶段,我们对直线和圆的方程有了更深入的学习和理解。

下面是对高二直线和圆的方程知识点的归纳总结。

1. 直线的方程直线的方程可以分为两种形式:一般式和点斜式。

一般式方程为Ax+By+C=0,其中A、B、C为常数,且A和B不同时为0。

点斜式方程为y-y₁=m(x-x₁),其中m为直线的斜率,(x₁,y₁)为直线上的一点。

2. 直线的斜率和倾斜角直线的斜率m定义为y轴上的增量与x轴上的增量的比值。

直线的倾斜角θ是它与x轴正方向的夹角。

两者满足关系式m=tanθ。

3. 直线的截距直线与x轴的截距为点(0,b),与y轴的截距为点(a,0)。

直线的一般式方程中的常数C即为与y轴的截距。

4. 圆的方程圆的方程有两种形式:标准式和一般式。

标准式方程为(x-a)²+(y-b)²=r²,其中(a,b)为圆心的坐标,r为半径。

一般式方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0,其中D、E、F为常数。

5. 直线和圆的关系直线和圆的关系可以分为三种情况:相离、相切和相交。

判断方法是将直线的方程代入圆的方程,观察判别式的值。

6. 切线和法线在圆上的一点处,过该点的直线与圆相切,该直线称为切线。

切线与半径的夹角为直角,称为法线。

7. 直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系有两种情况:相离和相交。

判断方法是将直线的方程代入圆的方程,观察判别式的值。

如果判别式大于0,则直线和圆相交;如果判别式小于0,则直线和圆相离;如果判别式等于0,则直线与圆相切。

8. 直线和圆的交点坐标如果直线与圆相交,交点坐标可通过解方程组得到。

将直线的方程和圆的方程联立,解得x和y的值,即为交点的坐标。

综上所述,高二直线和圆的方程知识点主要包括直线的方程、直线的斜率和倾斜角、直线的截距、圆的方程、直线和圆的关系、切线和法线、直线和圆的位置关系以及直线和圆的交点坐标。

2024年对口高考数学二轮复习专题七—直线与圆的方程

2024年对口高考数学二轮复习专题七—直线与圆的方程

2024年对口高考数学二轮复习专题七:直线与圆的方程1.直线与圆的位置关系:设直线l :Ax +By +C =0和圆C :(x -a )2+(y -b )2=r 2,则圆心到直线l 的距离d =||Aa +Bb +C A 2+B 2.若l 与圆C 相离⇔d >r ;l 与圆C 相切⇔d =r ;l 与圆C 相交⇔d <r .若通过直线方程与圆的方程所组成的方程组,根据解的个数来研究,若有两解,即Δ>0,则相交;若有一解,即Δ=0,则相切;若无解,即Δ<0,则相离. 2.圆的弦和切线:圆的半径为r ,直线l 与圆相交于A 、B ,圆心到l 的距离为d ,则|AB |=2r 2-d 2.过圆x 2+y 2=r 2上一点M (x 0,y 0)的切线方程为x 0x +y 0y =r 2.练习1、已知直线l 经过两条直线2x ﹣3y +10=0和x +2y ﹣2=0的交点.且垂直于直线3x ﹣2y +4=0,则直线l 的方程为( )A .2x +3y ﹣2=0B .2x +3y +2=0C .2x ﹣3y +10=0D .2x ﹣3y ﹣10=02、若直线3x +4y +k =0与圆x 2+y 2﹣6x +5=0相切,则k 的值为( )A .﹣1或19B .1或﹣19C .1D .±103、直线x ﹣y +8=0与圆x 2+y 2=r 2相切,则r 的值是( )A .4B .2C .2D .4、已知过点P (2,2)的直线l 与圆(x ﹣1)2+y 2=5相切,则直线l 的斜率为( )A .1B .C .2D .5、过圆x 2+(y ﹣1)2=9外一点P (3,5)向圆引切线,则点P 与切点的距离为( )A .2B .3C .4D .56、已知点P 在直线l :x ﹣y ﹣6=0上,点Q 在圆O :x 2+y 2=2上,则|PQ |的最小值为( )A .B .C .D .7.圆x 2+y 2﹣4x ﹣4y ﹣10=0上的点到直线x +y ﹣14=0的最大距离与最小距离的差是( )A .30B .18C .6D .58、已知直线x ﹣y ﹣4=0分别与x 轴,y 轴交于A ,B 两点,点P 是圆x 2+y 2=2上的一个动点,则△ABP 面积的取值范围是( )A .[4,8]B .[4,12]C .[8,12]D .[12,16]9、从点P (4,5)向圆(x ﹣2)2+y 2=4引切线,切线方程为________________________10、过点(1,2)作圆x 2+y 2=5的切线,则切线方程为( )A .x =1B .3x ﹣4y +5=0C .x +2y ﹣5=0D .x =1或x +2y ﹣5=011、过点P (2,1)作圆x 2+y 2=1的两条切线,切点分别为A ,B ,则AB 所在的直线方程为 .12、过点P (2,1)作圆x 2+y 2=1的两条切线,切点分别为A ,B ,则|AB |=13、过点P (1,3)作圆O :x 2+y 2=1的两条切线(O 为坐标原点),切点分别为A ,B ,则P A →·PB→=____14、过直线0x y +-=上点P 作圆221x y +=的两条切线,若两条切线的夹角是60°,则点P 的坐标是__________.15、如图所示,已知两点A (﹣3,0),B (3,2)在圆C 上,直线:x +y ﹣2=0过圆心C 。

直线和圆(复习)-圆的方程复习PPT课件

直线和圆(复习)-圆的方程复习PPT课件

)
4.已知圆C:(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线l:x-y+3=0当直线l被C截得的弦长为 则a=( ) C (A) (B) (C) (D)
时,
返回
5.直线3x+4y+m=0与圆x2+y2-5y=0交于两点A、B,且OA⊥OB (O为原点),求m的值.
返回
6.过点P(-2,-3)作圆C:(x-4)2+(y-2)2=9的两条切线,切点分别为A、B.求: (1)经过圆心C,切点A、B这三点的圆的方程; (2)直线AB的方程; (3)线段AB的长.
故所求直线的方程是 即:3x+4y-3=0或4x+3y+3=0
解法2:由已知圆的标准方程是(x-2)2+(y-2)2=1
所以圆C关于x轴的对称圆C’:(x-2)2+(y+2)2=1 令l的方程:y-3=k(x+3),即kx-y+3+3k=0 所以直线l与圆C’相切 所求直线的方程是3x+4y-3=0或4x+3y+3=0 y
A
C
o C’
x
解法3:点A(-3,3)关于x轴的对称点A’(-3,-3)在反射光线的反向延长线上,所以 设反射光线所在直线的方程为y+3=k(x+3) 即kx-y+3k-3=0
所以L的斜率
所求直线的方程是3x+4y-3=0或4x+3y+3=0 y
A
C
o A’
x
例3. 求以圆C1∶x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2: x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦为直径的圆的方程. 解法一: 相减得公共弦所在直线方程为4x+3y-2=0.

2021-2022年高中数学总复习之基础知识要点直线和圆的方程

2021-2022年高中数学总复习之基础知识要点直线和圆的方程

2021-2022年高中数学总复习之基础知识要点直线和圆的方程一、直线方程.1. 直线的倾斜角:一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角,其中直线与轴平行或重合时,其倾斜角为0,故直线倾斜角的范围是. 注:①当或时,直线垂直于轴,它的斜率不存在.②每一条直线都存在惟一的倾斜角,除与轴垂直的直线不存在斜率外,其余每一条直线都有惟一的斜率,并且当直线的斜率一定时,其倾斜角也对应确定.2. 直线方程的几种形式:点斜式、截距式、两点式、斜切式.特别地,当直线经过两点,即直线在轴,轴上的截距分别为时,直线方程是:.注:若是一直线的方程,则这条直线的方程是,但若则不是这条线.附:直线系:对于直线的斜截式方程,当均为确定的数值时,它表示一条确定的直线,如果变化时,对应的直线也会变化.①当为定植,变化时,它们表示过定点(0,)的直线束.②当为定值,变化时,它们表示一组平行直线.3. ⑴两条直线平行:∥两条直线平行的条件是:①和是两条不重合的直线. ②在和的斜率都存在的前提下得到的. 因此,应特别注意,抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.(一般的结论是:对于两条直线,它们在轴上的纵截距是,则∥,且或的斜率均不存在,即是平行的必要不充分条件,且)推论:如果两条直线的倾斜角为则∥.⑵两条直线垂直:两条直线垂直的条件:①设两条直线和的斜率分别为和,则有这里的前提是的斜率都存在. ②,且的斜率不存在或,且的斜率不存在. (即是垂直的充要条件)4. 直线的交角:⑴直线到的角(方向角);直线到的角,是指直线绕交点依逆时针方向旋转到与重合时所转动的角,它的范围是,当时.⑵两条相交直线与的夹角:两条相交直线与的夹角,是指由与相交所成的四个角中最小的正角,又称为和所成的角,它的取值范围是,当,则有.5. 过两直线的交点的直线系方程λλ(0)(222111=+++++C y B x A C y B x A 为参数,不包括在内)6. 点到直线的距离:⑴点到直线的距离公式:设点,直线到的距离为,则有.⑵两条平行线间的距离公式:设两条平行直线)(0:,0:212211C C C By Ax l C By Ax l ≠=++=++,它们之间的距离为,则有.7. 关于点对称和关于某直线对称:⑴关于点对称的两条直线一定是平行直线,且这个点到两直线的距离相等.⑵关于某直线对称的两条直线性质:若两条直线平行,则对称直线也平行,且两直线到对称直线距离相等.若两条直线不平行,则对称直线必过两条直线的交点,且对称直线为两直线夹角的角平分线. ⑶点关于某一条直线对称,用中点表示两对称点,则中点在对称直线上(方程①),过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直(方程②)①②可解得所求对称点.注:①曲线、直线关于一直线()对称的解法:y 换x ,x 换y. 例:曲线f (x ,y )=0关于直线y =x –2对称曲线方程是f (y +2 ,x –2)=0.②曲线C: f (x ,y )=0关于点(a ,b)的对称曲线方程是f (a – x , 2b – y )=0.二、圆的方程.1. ⑴曲线与方程:在直角坐标系中,如果某曲线上的 与一个二元方程的实数建立了如下关系:①曲线上的点的坐标都是这个方程的解.②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线方程;这条曲线叫做方程的曲线(图形).⑵曲线和方程的关系,实质上是曲线上任一点其坐标与方程的一种关系,曲线上任一点是方程的解;反过来,满足方程的解所对应的点是曲线上的点.注:如果曲线C 的方程是f(x ,y)=0,那么点P 0(x 0 ,y)线C 上的充要条件是f(x 0 ,y 0)=02. 圆的标准方程:以点为圆心,为半径的圆的标准方程是.特例:圆心在坐标原点,半径为的圆的方程是:.注:特殊圆的方程:①与轴相切的圆方程②与轴相切的圆方程③与轴轴都相切的圆方程3. 圆的一般方程: .当时,方程表示一个圆,其中圆心,半径.当时,方程表示一个点.当时,方程无图形(称虚圆).注:①圆的参数方程:(为参数).②方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是:且且.③圆的直径或方程:已知0))(())((),(),(21212211=--+--⇒y y y y x x x x y x B y x A (用向量可征).4. 点和圆的位置关系:给定点及圆.①在圆内②在圆上③在圆外5. 直线和圆的位置关系:设圆圆:; 直线:;圆心到直线的距离.①时,与相切;附:若两圆相切,则⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++++=++++0022********F y E x D y x F y E x D y x 相减为公切线方程. ②时,与相交;附:公共弦方程:设有两个交点,则其公共弦方程为0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D .③时,与相离.附:若两圆相离,则⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++++=++++0022********F y E x D y x F y E x D y x 相减为圆心的连线的中与线方程.由代数特征判断:方程组用代入法,得关于(或)的一元二次方程,其判别式为,则: 与相切;与相交;与相离.注:若两圆为同心圆则,相减,不表示直线.6. 圆的切线方程:圆的斜率为的切线方程是过圆 上一点的切线方程为:0220000=++++++F y y E x x D y y x x . ①一般方程若点(x 0 ,y 0)在圆上,则(x – a)(x 0 – a)+(y – b)(y 0 – b)=R 2. 特别地,过圆上一点的切线方程为. ②若点(x 0 ,y 0)不在圆上,圆心为(a,b)则⎪⎩⎪⎨⎧+---=-=-1)()(2110101R x a k y b R x x k y y7. 求切点弦方程:方法是构造图,则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图:.已知的方程…① 又以ABCD 为圆为方程为2))(())((k b x y y a x x x A A =--+--…②…③,所以BC 的方程即③代②,①②相切即为所求.t937671 9327 錧b23553 5C01 封#21597 545D 呝@20704 50E0 僠36332 8DEC 跬U29357 72AD 犭33206 81B6 膶`25700 6464 摤B C )。

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高三数学第二轮专题复习系列(7)-- 直线与圆的方程一、重点知识结构本章以直线和圆为载体,揭示了解析几何的基本概念和方法。

直线的倾斜角、斜率的概念及公式、直线方程的五种形式是本章的重点之一,而点斜式又是其它形式的基础;两条直线平行和垂直的充要条件、直线l 1到l 2的角以及两直线的夹角、点到直线的距离公式也是重点容;用不等式(组)表示平面区域和线性规划作为新增容,需要引起一定的注意;曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想,是解决解析几何两个基本问题的依据; 圆的方程、直线(圆)与圆的位置关系、圆的切线问题和弦长问题等,因其易与平面几何知识结合,题目解法灵活,因而是一个不可忽视的要点。

二、高考要求1、掌握两条直线平行和垂直的条件,掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式,能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系;3、会用二元一次不等式表示平面区域;4、了解简单的线性规划问题,了解线性规划的意义,并会简单的应用;5、了解解析几何的基本思想,了解用坐标法研究几何问题的方法;6、掌握圆的标准方程和一般方程,了解参数方程的概念,理解圆的参数方程的概念。

三、热点分析在近几年的高考试题中,两点间的距离公式,中点坐标公式,直线方程的点斜式、斜率公式及两条直线的位置关系是考查的热点。

但由于知识的相互渗透,综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门,应当引起特别注意,本章的线性规划容是新教材中增加的新容,在高考中极有可能涉及,但难度不会大。

四、复习建议本章的复习首先要注重基础,对基本知识、基本题型要掌握好;求直线的方程主要用待定系数法,复习时应注意直线方程各种形式的适用条件;研究两条直线的位置关系时,应特别注意斜率存在和不存在的两种情形;曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想,随着高考对知识形成过程的考查逐步加强,对坐标法的要求也进一步加强,因此必须透彻理解。

既要掌握求曲线方程的常用方法和基本步骤,又能根据方程讨论曲线的性质;圆的方程、直线与圆的位置关系,圆的切线问题与弦长问题都是高考中的热点问题;求圆的方程或找圆心坐标和半径的常用方法是待定系数法及配方法,应熟练掌握,还应注意恰当运用平面几何知识以简化计算。

直线【例题】【例1】 已知点B (1,4),C (16,2),点A 在直线x -3y +3 = 0上,并且使∆AB C 的面积等于21,求点A 的坐标。

解:直线B C 方程为2x +5y -22 = 0,|B C| = 29,设点A 坐标(3y -3,y ),则可求A 到B C 的距离为29|2811|-y ,∵∆AB C 面积为21,∴2129|2811|2921=-•y ,∴11141170-=或y ,故点A 坐标为(1170,11177)或(1114,1175--). 【例2】 已知直线l 的方程为3x +4y -12=0, 求直线l ′的方程, 使得:(1) l ′与l 平行, 且过点(-1,3) ;(2) l ′与l 垂直, 且l ′与两轴围成的三角形面积为4.解: (1) 由条件, 可设l ′的方程为 3x +4y +m=0, 以x =-1, y =3代入, 得 -3+12+m=0, 即得m=-9, ∴直线l ′的方程为 3x +4y -9=0; (2) 由条件, 可设l ′的方程为4x -3y +n=0, 令y =0, 得4n x -=, 令x =0, 得3ny =, 于是由三角形面积43421=•-•=n n S , 得n 2=96, ∴64±=n ∴直线l ′的方程是06434=+-y x 或06434=--y x【例3】 过原点的两条直线把直线2x +3y -12 = 0在坐标轴间的线段分成三等分,求这二直线的夹角。

解:设直线2x +3y -12 = 0与两坐标轴交于A ,B 两点, 则A (0,4),B (6,0),设分点C ,D ,设θ=∠COD 为所求角。

∵2=CA BC ,∴⎪⎩⎪⎨⎧=+⨯+==+=38212402216c c y x ,∴C (2,38).又2=DB AD ,∴⎪⎩⎪⎨⎧=+==+⨯+=3421442162000y x ,∴D(4,34),∴31,34==OD OC k k .∴139313413134|1|=⨯+-=+-=ODOC ODOC k k k k tg θ,∴139arctg =θ. 【例4】 圆x 2+y 2+x -6y +c = 0与直线x +2y -3 = 0相交于P,Q 两点,求c 为何值时,OP ⊥OQ(O 为原点).解:解方程组消x 得5y 2-20y +12+c = 0,)12(5121c y y +=•, 消y 得5x 2+10x +4c -27 = 0,)274(5121-=•c x x , ∵OP ⊥OQ,∴12211-=•x y x y ,∴5274512--=+c c ,解得c = 3. 【例5】 已知直线y =-2x +b 与圆x 2+y 2-4x +2y -15 = 0相切,求b 的值和切点的坐标.解:把y =-2x +b 代入x 2+y 2-4x +2y -15 = 0,整理得5x 2-4(b +2)x +b 2+2b -15 = 0,令∆= 0得b =-7或b =13,] ∵方程有等根,5)2(2+=b x ,得x =-2或x = 6, 代入y = -2x -7与y = -2x +13得y =-3或y = 1,∴所求切点坐标为(-2,-3)或(6,1).【例6】 已知|a |<1,|b |<1,|c |<1,求证:abc +2>a +b +c .证明:设线段的方程为y =f (x )=(bc -1)x +2-b -c ,其中|b |<1,|c |<1,|x |<1,且-1<b <1.∵f (-1)=1-bc +2-b -c =(1-bc )+(1-b )+(1-c )>0f (1)=bc -1+2-b -c =(1-b )(1-c )>0∴线段y =(bc -1)x +2-b -c (-1<x <1)在x 轴上方,这就是说,当|a |<1,|b |<1,|c |<1时,恒有abc +2>a +b +c .【例7】 某校一年级为配合素质教育,利用一间教室作为学生绘画成果展览室,为节约经费,他们利用课桌作为展台,将装画的镜框放置桌上,斜靠展出,已知镜框对桌面的倾斜角为α(90°≤α<180°)镜框中,画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a m,b m,(a >b ).问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳?解:建立如图所示的直角坐标系,AO 为镜框边,AB 为画的宽度,O 为下边缘上的一点,在x 轴的正半轴上找一点C (x ,0)(x >0),欲使看画的效果最佳,应使∠ACB 取得最大值.由三角函数的定义知:A 、B 两点坐标分别为(a cos α,a sin α)、 (b cos α,b sin α),于是直线AC 、BC 的斜率分别为:k AC =t a n xCA =xa a -αcos αsin ,.αcos αsin tan xb b xCB k BC -==于是t a n ACB =AC BC AC BC k k k k ⋅+-1αcos )(αsin )(αcos )(αsin )(2⋅+-+⋅-=++-⋅-=b a x xab b a x x b a ab x b a由于∠ACB 为锐角,且x >0,则t a n ACB ≤αcos )(2αsin )(b a ab b a +-⋅-,当且仅当xab=x ,即x =ab 时,等号成立,此时∠ACB 取最大值,对应的点为C (ab ,0),因此,学生距离镜框下缘ab cm 处时,视角最大,即看画效果最佳.【例8】 预算用2000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子,希望使桌椅的总数尽可能的多,但椅子不少于桌子数,且不多于桌子数的1.5倍,问桌、椅各买多少才行? 解:设桌椅分别买x ,y ,把所给的条件表示成不等式组,即约束条件 为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤≥≤+0,05.120002050y x x y x y y x 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==+72007200,20002050y x x y y x 解得∴A 点的坐标为(7200,7200)由⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==+27525,5.120002050y x x y y x 解得∴B 点的坐标为(25,275) 所以满足约束条件的可行域是以A (7200,7200),B (25,275),O (0,0)为顶点的三角形区域(如右图)由图形直观可知,目标函数z =x +y 在可行域的最优解为(25,275),但注意到x ∈N ,y ∈N *,故取y =37.故有买桌子25,椅子37是最好选择.【例9】 已知甲、乙、丙三种食物的维生素A 、B 含量及成本如下表,若用甲、乙、丙三种食物各x 千克,y 千克,z 千克配成100千克混合食物,并使混合食物至少含有56000单位维生素A 和63000单位维生素B .甲 乙 丙 维生素A (单位/千克) 600 700 400 维生素B (单位/千克) 800 400 500 成本(元/千克)1194(Ⅰ)用x ,y 表示混合食物成本c 元; (Ⅱ)确定x ,y ,z 的值,使成本最低.解:(Ⅰ)由题,1194c x y z =++,又100x y z ++=,所以,40075c x y =++.(Ⅱ)由60070040056000, 10080040050063000x y z z x y x y z ++≥⎧=--⎨++≥⎩及得,463203130x y x y +≥⎧⎨-≥⎩,所以,75450.x y +≥所以,40075400450850,c x y =++≥+=当且仅当4632050, 313020x y x x y y +==⎧⎧⎨⎨-≥=⎩⎩即时等号成立. 所以,当x =50千克,y =20千克,z =30千克时,混合物成本最低,为850元.点评:本题为线性规划问题,用解析几何的观点看,问题的解实际上是由四条直线所围成的区域0463203130x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≥⎪⎪-≥⎩上使得40075c x y =++最大的点.不难发现,应在点M (50,20)处取得.【直线练习1】一、选择题1.设M =120110,1101102002200120012000++=++N ,则M 与N 的大小关系为( )A .M >NB .M =N C.M <N D.无法判断2.三边均为整数且最大边的长为11的三角形的个数为( )A .15B .30 C.36 D.以上都不对二、填空题3.直线2x -y -4=0上有一点P ,它与两定点A (4,-1),B (3,4)的距离之差最大,则P 点坐标是_________.4.自点A (-3,3)发出的光线l 射到x 轴上,被x 轴反射,其反射光线所在直线与圆x 2+y 2-4x -4y +7=0相切,则光线l 所在直线方程为_________.xy3x-y=1304x+6y=320M5.函数f (θ)=2cos 1sin --θθ的最大值为_________,最小值为_________.6.设不等式2x -1>m (x 2-1)对一切满足|m |≤2的值均成立,则x 的围为_________. 三、解答题7.已知过原点O 的一条直线与函数y =log 8x 的图象交于A 、B 两点,分别过点A 、B 作y 轴的平行线与函数y =log 2x 的图象交于C 、D 两点.(1)证明:点C 、D 和原点O 在同一直线上. (2)当BC 平行于x 轴时,求点A 的坐标.8.设数列{a n }的前n 项和S n =na +n (n -1)b ,(n =1,2,…),a 、b 是常数且b ≠0. (1)证明:{a n }是等差数列. (2)证明:以(a n ,nS n-1)为坐标的点P n (n =1,2,…)都落在同一条直线上,并写出此直线的方程.(3)设a =1,b =21,C 是以(r ,r )为圆心,r 为半径的圆(r >0),求使得点P 1、P 2、P 3都落在圆C 外时,r 的取值围.参考答案一、1.解析:将问题转化为比较A (-1,-1)与B (102001,102000)及C (102002,102001)连线的斜率大小,因为B 、C 两点的直线方程为y =101x ,点A 在直线的下方,∴k AB >k AC ,即M >N . 答案:A2.解析:设三角形的另外两边长为x ,y ,则⎪⎩⎪⎨⎧>+≤<≤<11110110y x y x 点(x ,y )应在如右图所示区域当x =1时,y =11;当x =2时,y =10,11; 当x =3时,y =9,10,11;当x =4时,y =8,9,10,11; 当x =5时,y =7,8,9,10,11.以上共有15个,x ,y 对调又有15个,再加上(6,6),(7,7),(8,8),(9,9),(10,10)、(11,11)六组,所以共有36个.答案:C二、3.解析:找A 关于l 的对称点A ′,A ′B 与直线l 的交点即为所求的P 点.答案:P (5,6)4.解析:光线l 所在的直线与圆x 2+y 2-4x -4y +7=0关于x 轴对称的圆相切. 答案:3x +4y -3=0或4x +3y +3=0 5.解析:f (θ)=2cos 1sin --θθ表示两点(cos θ,sin θ)与(2,1)连线的斜率.答案:340 6.解析:原不等式变为(x 2-1)m +(1-2x )<0,构造线段f (m )=(x 2-1)m +1-2x ,-2≤m ≤2,则f (-2)<0,且f (2)<0.答案:213217+<<-x 三、7.(1)证明:设A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2,由题设知x 1>1,x 2>1, 点A (x 1,log 8x 1),B (x 2,log 8x 2). 因为A 、B 在过点O 的直线上,所以228118log log x x x x =,又点C 、D 的坐标分别为(x 1,log 2x 1)、(x 2,log 2x 2).由于log 2x 1=3log 8x 1,log 2x 2=3log 8x 2,则228222118112log 3log ,log 3log x x x x k x x x x k OD OC ====由此得k OC =k OD ,即O 、C 、D 在同一直线上.(2)解:由BC 平行于x 轴,有log 2x 1=log 8x 2,又log 2x 1=3log 8x 1 ∴x 2=x 13将其代入228118log log x x x x =,得x 13log 8x 1=3x 1log 8x 1, 由于x 1>1知log 8x 1≠0,故x 13=3x 1x 2=3,于是A (3,log 83). 9.(1)证明:由条件,得a 1=S 1=a ,当n ≥2时,有a n =S n -S n -1=[na +n (n -1)b ]-[(n -1)a +(n -1)(n -2)b ]=a +2(n -1)b . 因此,当n ≥2时,有a n -a n -1=[a +2(n -1)b ]-[a +2(n -2)b ]=2b . 所以{a n }是以a 为首项,2b 为公差的等差数列.(2)证明:∵b ≠0,对于n ≥2,有21)1(2)1()1(2)1()11()1(11=--=--+--+=----b n b n a b n a aa bn n na a a S n S n n∴所有的点P n (a n ,nS n -1)(n =1,2,…)都落在通过P 1(a ,a -1)且以21为斜率的直线上.此直线方程为y -(a -1)= 21(x -a ),即x -2y +a -2=0.(3)解:当a =1,b =21时,P n 的坐标为(n ,22-n ),使P 1(1,0)、P 2(2, 21)、P 3(3,1)都落在圆C 外的条件是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+->-+->+-222222222)1()3()21()1()1(r r r r r r r r r ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+->+->-0108041750)1(222r r r r r 即由不等式①,得r ≠1 由不等式②,得r <25-2或r >25+2 由不等式③,得r <4-6或r >4+6 再注意到r >0,1<25-2<4-6=25+2<4+6故使P 1、P 2、P 3都落在圆C 外时,r 的取值围是(0,1)∪(1,25-2)∪(4+6,+∞).【直线练习2】1.l 1的方程为032=--y x ,l 1关于x 轴对称的直线为l 2,l 2关于y 轴对称的直线为l 3,那么直线l 3的方程为( B )A .032=+-y xB .032=+-y xC .032=-+y xD .062=+-y x2.与圆x y x 22430+-+=相外切,且与y 轴相切的动圆的圆心的轨迹方程是。

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