第六章习题与复习题(二次型)----高等代数

习题6.1

1．写出下列二次型的矩阵.

（1）222

123123121323(,,)f x x x x x x x x x x x x =+++++

（2）12341223(,,,)f x x x x x x x x =-

（3）1234135(,,,)246785T f x x x x X X ⎛⎫

⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

2．将二次型

222

1231231223(,,)32810f x x x x x x x x x x =+-+-

表成矩阵形式，并求该二次型的秩.

3．设

A = ⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝

⎛3210

000

00a a a ，B = ⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛132

00000a a a 证明A 与B 合同，并求可逆矩阵C ，使得B =T

C A C ．

4．如果n 阶实对称矩阵A 与B 合同，C 与D 合同，证明A O B O O C O D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

与合同.

习题6.2

1．用正交变换法化下列实二次型为标准形，并求出所用的正交变换.

（1）222

12312323(,,)2334f x x x x x x x x =+++

2．已知二次型2221231231223(,,)222f x x x x x x cx x x x =++++的秩为2.

(1) 求c;

(2) 求一正交变换化二次型为标准形.

3．已知二次型22

12323121323(,,)43248f x x x x x ax x x x x x =-+-+经正交变换化为标准形

222

1236,,f y y by a b =++求的值与所用正交变换.

22224. 222444,,.

x x ay z bxy xy yz y Q z a b Q ξηζηζ⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪

+++++== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

+=2已知二次曲面方程可经正交变换化为椭圆柱面

方程求的值与正交矩阵

5．用配方法化下列二次型为标准形，并求出所用的可逆线性变换.

（1）222

123123121323(,,)25228f x x x x x x x x x x x x =+++++

6．在二次型f （x 1，x 2，x 3 ）=213232221)()()(x x x x x x -+-+-中，令

⎪⎩⎪

⎨⎧-=-=-=133

3222

11x

x y x x y x x y 得f =2

3

2221y y y ++可否由此认定上式为原二次型f 的标准形且原二次型的秩为3 ？为什么？若结论是否定的，请你将f 化为标准形并确定f 的秩.

7．判断矩阵01111213A B ⎛⎫⎛⎫

==

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

与是否合同.

习题6.3

1．判定下列实二次型的正定性.

（1）222

1231231223(,,)23442f x x x x x x x x x x =++-- （2）222123123121323(,,)23222f x x x x x x x x x x x x =---+-+

（3）123121323(,,)5f x x x x x x x x x =+- （4）∑∑≤<≤=+

n

j i j

i

n

i i

x

x x

11

2

2． a 为何值时，实二次型222123123121323(,,)(2)22f x x x x a x ax x x x x x x =++++--是正定

的.

21013. 020,(),101A B kE A k B k B ⎛⎫ ⎪

==+ ⎪ ⎪⎝⎭

ΛΛ设矩阵其中为实数.

（1）求对角阵，使与相似；（2）求参数的值，使为正定矩阵.

习题六 (A)

一、填空题

1．二次型222

123123121323(,,)23246f x x x x x x x x x x x x =+-+-+的矩阵为 .

2．2123123(,,)()f x x x ax bx cx =++二次型的矩阵为.

3．已知二次型的矩阵为1242

14447-⎛⎫

⎪

- ⎪ ⎪--⎝⎭

，则该二次型为.

4．二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为.

5．化二次型222

123123

(,,)43f x x x x x x =+-为规范形，所用的可逆线性变换矩阵为. 6．二次型123121323(,,)f x x x x x x x x x =++的规范形为 .

7．已知实对称矩阵A 与矩阵100012022T X AX ⎛⎫

⎪- ⎪ ⎪⎝⎭

合同，则二次型的规范形为.

8．已知222

1231231223(,,)22f x x x x x x x x ax x =++++正定，则a =. 9．当t 满足, 2221231231213(,,)4242f x x x x x x tx x x x =---++是负定的. 10．已知二次型222123123121323(,,)222f x x x x ax x x x ax x x x =+++--

的正、负惯性指数均为1，则a =.

二、单项选择题

1. 已知二次型22212312312(,,)(1)(1)22(1)f x x x a x a x x a x x =-+-+++的秩为2,则

a =( ).