北师大版高中数学选修2-3第2讲：排列组合(学生版)
排列-北师大版选修2-3教案
排列-北师大版选修2-3教案一、知识点概述排列是离散数学中非常重要的知识点，也是高中数学中必修的内容。
在学习排列之前，需要了解全排列与部分排列的概念。
全排列是将一组不同的事物进行排列，能够得到的所有不同的排列方式，称为全排列。
全排列的个数可以用数学公式n!来表示，其中n为选取的事物总数。
而部分排列是由一组不同的事物中选取部分事物进行排列，得到的所有不同的排列方式，称为部分排列。
如果在一组不同的事物中，选取m个进行排列，可以得到的所有不同的排列方式，称为n个不同事物的m元排列，计数公式为A_n^m=n!/(n-m)!。
在学习排列之后，还需要掌握排列的一些基本性质，如可重复排列、循环排列等。
二、教学目标本节课的教学目标有：•掌握全排列、部分排列的概念和计数公式；•理解排列的基本性质；•掌握通过公式计算排列的方法；•能够应用排列解决实际问题。
三、教学重点本节课的教学重点有：•全排列、部分排列的概念和计数公式；•可重复排列、循环排列等排列的基本性质；•通过公式计算排列的方法。
本节课的教学难点有：•如何应用排列解决实际问题；•如何确定计数公式的适用范围；•如何理解排列的基本性质。
五、教学过程1. 导入通过一个实例引入排列的概念：有三个不同的球，分别标有1、2、3号。
现在从中任选两个球进行排列，问共有多少种不同的排列方式？2. 呈现将球的选择情况用表格呈现出来，通过图示的方式解释全排列和部分排列的概念，并引出它们的计数公式。
3. 讨论引导学生探讨全排列与部分排列中的重复问题，并提出可重复排列、循环排列等基本性质。
4. 讲解讲解排列的计算公式，并通过例题讲解如何应用公式计算排列数。
5. 课堂练习通过课堂练习，巩固学生对排列知识的掌握程度。
6. 实践应用结合生活实际，引导学生运用排列解决实际问题，并进行思考和讨论。
本节课的教学评价方式主要包括：•课堂练习，检测学生对排列知识掌握情况；•实践应用，考查学生的思考能力和解决实际问题的能力；•反馈评价，在课后进行答疑和评估，及时纠正学生的错误认识和不足之处。
北师大版高数选修23第2讲：排列组合
排列组合__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1.理解排列组合的概念.2.能利用计数原理推导排列公式、组合公式.3.熟练掌握排列、组合的性质.4.能解决简单的实际问题.1.排列与组合的概念:(1)排列:一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.注意：○1如无特别说明，取出的m个元素都是不重复的.○2排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”.○3从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列.○4在定义中规定m≤n，如果m=n，称作全排列.○5在定义中“一定顺序”就是说与位置有关.○6如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列.(2)组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的一个组合.注意：○1如果两个组合中的元素完全相同，不管它们的顺序如何，都是相同的组合，组合的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“并成一组”，“并成一组”即表示与顺序无关.○2当两个组合中的元素不完全相同(即使只有一个元素不同)，就是不同的组合.○3组合与排列问题的共同点，都要“从n个不同元素中，任取m(m≤n)个不同元素”；不同点：前者是“不管顺序并成一组”，而后者要“按照一定顺序排成一列”.○4根据定义区分排列问题、组合问题.2.排列数与组合数：(1)排列数的定义:一般地，我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫A表示.做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号mn(2)组合数的定义:从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号mn C 表示.3.排列数公式与组合数公式： (1)排列数公式：(1)(2)(1),m n A n n n n m =--⋅⋅⋅-+其中m ，n *∈N ，且m ≤n .(2)全排列、阶乘、排列数公式的阶乘表示.○1全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列. ○2阶乘：自然数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，用n !表示，即!.nn A n = ○3由此排列数公式(1)(2)(1)mnA n n n n m =---+L (1)(2)(1)()21()21n n n n m n m n m ⋅-⋅-⋅⋅-+⋅-⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅L L L !.()!n n m =-所以!.()!mn n A n m =-(3)组合数公式:!.!()!m n n C m n m =-(4)组合数的两个性质: 性质1：.mn mn nC C -=性质2：11.m mm n n n C C C -+=+类型一.排列的定义例1：判断下列问题是不是排列，为什么？(1)从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动，其中一名同学参加上午的活动，另一名同学参加下午的活动.(2)从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动.[解析] (1)是排列问题，因为选出的两名同学参加的活动与顺序有关. (2)不是排列问题，因为选出的两名同学参加的活动与顺序无关.练习1：判断下列问题是不是排列，为什么？(1)从2、3、4这三个数字中取出两个，一个为幂底数，一个为幂指数.(2)集合M ={1，2，…，9}中，任取相异的两个元素作为a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的椭圆方程22221x y a b +=和多少个焦点在x 轴上的双曲线方程2222 1.x y a b-=[解析] (1)是排列问题，一个为幂底数，一个为幂指数，两个数字一旦交换顺序，产生的结果不同，即与顺序有关.(2)第一问不是第二问是.若方程22221x y a b +=表示焦点在x 轴上的椭圆，则必有a >b ，a ，b 的大小一定；在双曲线22221x y a b -=中，不管a >b 还是a <b ，方程22221x y a b-=均表示焦点在x 轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故这是排列.类型二.组合的定义例2：判断下列问题是组合问题还是排列问题.(1)设集合A ={a ，b ，c ，d ，e }，则集合A 的子集中含有3个元素的有多少个？ (2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？ [解析] (1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题.(2)因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题.练习1：判断下列问题是组合问题还是排列问题.(1)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？(2)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？[解析] (1)因为分工方法是从5种不同的工作中取出3种，按一定次序分给3个人去干，故是排列问题.(2)因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题. 类型三.排列数与组合数例3：计算下列各式. (1)57;A(2)212;A(3)77.A[解析] [答案] (1)57A =7×6×5×4×3=2520； (2)213A =13×12=156；(3)77A =7×6×5×4×3×2×1=5040.练习1：乘积m (m +1)(m +2)…(m +20)可表示为( ) A.2m A B.21m AC.2020m A +D.2120m A +[答案] D[解析] 排列的顺序为由小到大，故n =m +20，而项数是21故可表示为2120.m A + 例4：计算98100C [答案] 98100982100100100100994950.21C C C -⨯====⨯练习2：计算972959898982C C C ++[答案] 原式1231223298989898989898992()()C C C C C C C C =++=+++=3399100161700.C C +==类型四.排列问题例５：3个女生和5个男生排成一排.(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？ (2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？[解析] (1)(捆绑法)因为3个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同5个男生合在一起共有6个元素，排成一排有66A 种不同排法.对于其中的每一种排法，3个女生之间又都有33A 种不同的排法，因此共有63634320A A ⋅=种不同的排法.(2)(插空法)要保证女生全分开，可先把5个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档，这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把3个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻.由于5个男生排成一排有55A 种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让3个女生插入都有36A 种不同排法，因此共有535614400A A ⋅=种不同的排法.练习1：3个女生和5个男生排成一排.(1)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？ (2)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？[解析] (1)因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有25A 种不同排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有66A 种排法，所以共有2656A A ⋅=14400种不同的排法.(2)3个女生和5个男生排成一排有88A 种排法，从中减去两端都是女生的排法2636A A ⋅种，就能得到两端不都是女生的排法种数，因此共有82683636000A A A -⋅=种不同的排法.类型五.组合问题例６：高中一年级8个班协商组成年级篮球队，共需10名队员，每个班至少要出1名，不同的组队方式有多少种？[解析] 本题实质上可以看作把2件相同的礼品分到8个小组去，共有1288C C +36=种方案.练习1：有、甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这，三项任务，不同的选法共有多少种？[解析] 共分三步完成，第一步满足甲任务，有210C 种选法，第二步满足乙任务有18C 种选法，第三步满足丙任务，有17C 种选法，故共有21110872520C C C =种不同选法.类型六.排列与组合综合问题例７：某校乒乓球队有男运动员10人和女运动员9人，选出男女运动员各3名参加三场混合双打比赛(每名运动员只限参加一场比赛)，共有多少种不同参赛方法？[答案] 362880[解析] 从10名男运动员中选3名有310C 种，从9名女运动员中选3名有39C 种；选出的6名运动员去配对，这里不妨设选出的男运动员为A ，B ，C ；先让A 选择女运动员，有3种不同选法；B 选择女运动员的方法有2种；C 只有1种选法了，共有选法3×2×1=6种；最后这3对男女混合选手的出场顺序为33A ，根据分步计数原理，共有33310936362880C C A ⨯⨯=种不同参赛方法.练习1：在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有( )A.36个B.24个C.18个D.6个 [答案] Ａ[解析] 由各位数字之和为偶数，可知所求三位数由2个奇数和1个偶数组成，由乘法原理，各位数字之和为偶数的数共有21332336C C A ⋅⋅=个．1.89×90×91×…×100可表示为( ) A.10100A B.11100AC.12100AD.13100A[答案] C 2.已知123934,n n A A --=则n 等于( )A.5B.6C.7D.8[答案] C３.将6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数有( ) A.36 B.120 C.720 D.140 [答案] C４.6名同学排成一排，其中甲、乙两人排在一起的不同排法有( ) A.720种 B.360种 C.240种 D.120种 [答案] C５.若266,xC C =则x 的值是( ) A.2B.4C.4或2D.0[答案] C ６.1171010r r C C +-+可能的值的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.无数个 [答案] B7.某校一年级有5个班，二年级有7个班，三年级有4个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，共需进行比赛的场数是( ) A.222574C C C ++ B.222574C C C C.222574A A A ++D.216C[答案] A8.有3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法有( )A.90种B.180种C.270种D.540种[答案] D_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1.某乒乓球队共有男女队员18人，现从中选出男、女队员各1人组成一对双打组合，由于在男队员中有2人主攻单打项目，不参与双打组合，这样一共有64种组合方式，则乒乓球队中男队员的人数为( ) A.10人 B.8人 C.6人 D.12人 [答案] Ａ2.将4个不同的小球随意放入3个不同的盒子，使每个盒子都不空的放法种数是( ) A.1334A A B.2343C AC.3242C AD.132442C C C[答案] Ｂ3.有3名男生和5名女生照相，如果男生不排在是左边且不相邻，则不同的排法种数为( ) A.3538A A B.5354A AC.5355A AD.5356A A[答案] Ｃ4.8位同学，每位相互赠照片一张，则总共要赠________张照片. [答案] 565.5名学生和5名老师站一排，其中学生不相邻的站法有________种. [答案] 864006.由0，1，2，3，4，5组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于百位数字的数共有________个.[答案] 3007.有10个三好学生的名额，分配给高三年级6个班，每班至少一个名额，共有________种不同的分配方案.[答案] 1268.从10名学生中选出5人参加一个会议，其中甲、乙两人有且仅有1人参加，则选法种数为________.[答案] 140能力提升1.(2015四川卷)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）A.144个B.120个C.96个D.72个[答案] B2.(2014四川卷)方程22ay b x c =+中的,,{3,2,0,1,2,3}a b c ∈--，且,,a b c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）A.60条B.62条C.71条D.80条[答案] B3.（2014辽宁卷）6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( ) A ．144 B ．120 C ．72 D ．24[答案] D4.在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有( )A.56个B.57个C.58个D.60个[答案] Ｃ5.某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有________种.(用数字作答)【答案】 ９６6.(2014北京卷)把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有__________种.[答案] ３６7.(2015上海卷)在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为_________（结果用数值表示）．[答案] 1208.从数字0，1，3，5，7中取出不同的三个数作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程ax 2+bx +c =0？其中有实根的方程有多少个？[答案] 先考虑组成一元二次方程的问题：首先确定a ，只能从1，3，5，7中选一个，有14A 种，然后从余下的4个数中任选两个作b 、c ，有24A 种.所以由分步计数原理，共组成一元二次方程：124448A A ⋅=个.方程更有实根，必须满足240.b ac -≥分类讨论如下：当c =0时，a ，b 可在1，3，5，7中任取两个排列，有24A 个；当c ≠0时，分析判别式知b 只能取5，7.当b 取5时，a ，c 只能取1，3这两个数，有22A 个；当b 取7时a ，c 可取1，3或1，5这两组数，有222A 个，此时共有22222A A +个.由分类计数原理知，有实根的一元二次方程共有：2224222A A A ++=18个.课程顾问签字： 教学主管签字：。
2016-2017学年北师大版选修2-3 2 排列课件(38张)
数学D 选修2-3
第一章 计数原理
课前预习学案 课堂互动讲义 课后演练提升
n！ n！ (2)左边＝ ＋k n－k！ n－k＋1！ n！n－k＋1 kn！ ＝ ＋ n－k＋1！ n－k＋1！ n！[n－k＋1＋k] ＝ n－k＋1！ n＋1n！ n＋1！ ＝ ＝ n－k＋1！ n－k＋1！
m An ＝
n！ 适用于与排列数有 n－m！
关的证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，则应注意先 提取公因式再计算，同时还要注意隐含条件“m≤n 且 n∈N＋， m∈N＋”的运用．
数学D 选修2-3
第一章 计数原理
课前预习学案 课堂互动讲义 课后演练提升
2 1．计算 5A3 ＋ 4A 5 4＝(
8分
10 分 12 分
数学D 选修2-3
第一章 计数原理
课前预习学案 课堂互动讲义 课后演练提升
解涉及排列数的方程或不等式， 要注意以下 三点： (1)等价转化思想的应用． (2)排列数的两个公式选择用哪一个更方便． (3)排列数公式本身隐含的条件：Am n 中，n 为正整数，m 为 自然数且 m≤n.
数学D 选修2-3
第一章 计数原理
课前预习学案 课堂互动讲义 课后演练提升
2．排列数
所有不同排列 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的______________
的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符 m m A n(n－1)…(n－m＋1) ， n 号_______ 表示． An ＝____________________ 其中 n， m∈N＋， 并且 m≤n.
课前预习学案 课堂互动讲义 课后演练提升
解析：
从3个不同数字中，每次取出两个数相加、相乘
北师大版高中数学选修2-3课件：1.2 排列(共53张PPT)
备课素材
下节课预习问题： 1．解决排列问题的一般方法． 2．了解位置分析法、元素分析法．
第一章
计数原理
§ 2 排列
第2课时 排列数的性质及排列的应用
预习探究
知识点一 解决排列问题的基本方法 从排列的定义可以看出,元素及元素的排列顺序(即位置)是排列问题的关键,所以解 决排列问题时,关键是解决好元素(特别是特殊元素)的排列或位置(特殊位置)的排列, 元素(或位置)的排列可采用排列数公式直接求解,通常通过以下三种途径考虑. (1)元素分析法:先考虑特殊元素,再考虑其他元素. (2)位置分析法:先考虑特殊位置,再考虑其他位置. (3)整体排除法:先算出不带限制条件的排列数,再减去不满足限制条件的排列数. 当然,从排列问题的解题技巧上看,使用“插入法”和“捆绑法”对解决元素“不相邻”或 “相邻”的问题非常适用.
新课导入
[导入一] 问题1 从甲、乙、丙3名同学中选取2名参加竞赛，其中一名参加数学竞赛， 一名参加物理竞赛，则有多少种不同的方法？ 问题2 从a，b，c，d这4个字母中，取出3个并按顺序排成一列，共有多少种 不同的排法？ 上面的两个问题，都是从n个元素中选出m个元素，并且选出的元素相互之间 有顺序，这样的问题就是今天我们要讲的排列问题.
考点类析
【变式】 (1)在例2中,若甲、 乙站在两端,则有多少种不同 的站法? (2)在例2中,若甲、乙站在一 起,且甲可以站在两端,则有多 少种不同的站法?
考点类析
[小结] 对于有限制条件的排列问题,先安排好特殊的元素(或位置),再安排 一般的元素(或位置),即先特殊后一般,一般用直接法.
考点类析
预习探究
预习探究
解:(1)当m,n较大时,可使用计算器快捷地算出结果; (2)对含有字母的排列数式子进行变形时常使用此公式.
北师大版高中数学选修2-3课件1.2排列
②有 10 个车站,共有多少种不同的票价?
③平面内有 10 个点,共可作出多少条不同的有向线段?
④有 10 位同学,假期中约定每两人之间通电话一次,共需通电话多少
次?
⑤从 10 名学生中任选 2 名分别参加数学和物理竞赛,有多少种选派方
法?
其中,属于排列问题的有
.
答案:①③⑤
学习目标导航 基础知识梳理 重点难点突破 典型例题剖析 随堂练习巩固
题型一
题型二
题型三
排列问题的实质是每一个元素有一个特定的位置,并非一定要排成 “一行”.“间接法”实际上是分类加法计数原理的变式应用,在处理“至多” 或“至少”等问题时非常有效.当然问题(2)也可以逐一分类,算式为 A13A14A55 + A13A14A55 + A23A55=3 600 种.
学习目标导航 基础知识梳理 重点难点突破 典型例题剖析 随堂练习巩固
§2 排 列
-1-
学习目标导航 基础知识梳理 重点难点突破 典型例题剖析 随堂练习巩固
1.通过实例正确理解排列的概念. 2.能利用计数原理推导排列数公式,掌握排列数公式,能用排列数公式进行 计算与证明,解决简单的实际问题. 3.掌握用直接法和间接法解决排列应用题的方法,从而培养学生一题多解 和一题多变的能力,培养学生从反面解决问题的意识.
c,dca,bcd,bdc,cbd,cdb,dbc,dcb 共 24 种,即A34=24 种.
学习目标导航 基础知识梳理 重点难点突破 典型例题剖析 随堂练习巩固
题型一
题型二
题型三
只有当元素完全相同,并且排列顺序也完全相同时,才是同一排列,元 素完全不同或元素部分相同或元素完全相同而顺序不同的排列都不是同 一排列.
2022年 高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修2-3 排列》
§2排列〔第一课时〕教学设计〔北师大版选修2-3〕麟游县中学：闫秀娟一教学目标：1 知识与技能：理解排列的意义，理解排列数公式，会用排列数进行简单的计数。
2 过程与方法：通过实际问题计数方法的探究，发现一类问题的处理方法，引入排列与排列数的概念，并引导学生运用分步乘法计数原理推导出排列数公式。
3 态度、情感、价值观：在问题探究中体验前面所学知识在后续问题解决中的应用价值，感受学习的快乐。
二．教学重难点：重点：排列的定义，排列数公式及其应用难点：排列的定义，排列数的意义，用排列数完成简单的计数问题三．教学过程设计：〔一〕复习两个计数原理〔设计意图是：能准确运用两个计数原理计数，并为后面运用乘法计数原理得出排列数公式做准备。
〕〔二〕问题探究：问题1 3名同学排成一排照相，有多少种排法？问题2 北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？问题3 从4面不同颜色的旗子中任选3面排成一排表示信号，能组成多少种信号？[设计意图]：这些题学生都可以用枚举法或分步乘法计数原理完成解答，最终要的结果是用分步乘法计数原理的解答，并让学生在解决问题的过程中体会这类问题的特点，为后面引出排列的定义做铺垫。
[完成该环节的方法步骤]：学生自主探究→个别展示〔谈自己解决问题的方法及依据〕→互相补充或纠错→老师提问并引导直至得到想要的结果。
（三）思考交流：以上三个问题有什么共同特征？都可以用什么计数原理完成计数？（四）抽象概括：1 排列的定义2排列数的引入及排列数的意义（五）即时检测：前面三个问题的计数分别用排列数怎样表示？[设计意图]:让学生快速理解排列数的意义，并会用它计数。
（六）合作探究：1 =？2 把nn-1n-2…×2×1记为n!,读作“n的阶乘〞并规定0!=1,又可以表示成什么形式？[设计意图]：紧扣本节的重难点让学生通过对这个公式的探究，进一步理解排列的本质特点，并体验由归纳推理到说理论证的思维过程与方法。
高中数学选修2-3北师大版教案：1.3.2组合(二)
课时教案科目：数学 授课时间：第 周 星期 年 月 日一、复习引入：1.组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合2．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号m n C 表示． 3．组合数公式(1)(2)(1)!m mn nm m A n n n n m C A m ---+==或)!(!!m n m n C mn -=),,(n m N m n ≤∈*且 二、学生自学：学生自学课本13-14页内容，完成优化设计第10页“知识梳理”。
1.组合数的性质1：m n nm n C C -=． 一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素后，剩下n m -个元素．因为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合，与剩下的n- m 个元素的每一个组合一一对应．．．．，所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出n - m 个元素的组合数，即：m n nm n C C -=．在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想 证明：∵)!(!!)]!([)!(!m n m n m n n m n n C m n n -=---=- 又 )!(!!m n m n C m n -=，∴m n n m n C C -= 说明：①规定：10=n C ；②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标；③y n x n C C =y x =⇒或n y x =+．2．组合数的性质2：m n C 1+＝m n C +1-m nC ． 一般地，从121,,,+n a a a 这n +1个不同元素中取出m 个元素的组合数是m n C 1+，这些组合可以分为两类：一类含有元素1a ，一类不含有1a ．含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这n 个元素中取出m -1个元素与1a 组成的，共有1-m n C 个；不含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这n 个元素中取出m 个元素组成的，共有m nC 个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．证明：)]!1([)!1(!)!(!!1---+-=+-m n m n m n m n C C m n m n )!1(!!)1(!+-++-=m n m m n m n n )!1(!!)1(+-++-=m n m n m m n )!1(!)!1(+-+=m n m n m n C 1+= ∴m n C 1+＝m n C +1-m nC ． 三、典例精讲例1．（1）计算：69584737C C C C +++； （2）求证：n m C 2+＝n m C +12-n m C +2-n m C ．解：（1）原式4565664889991010210C C C C C C C =++=+===；证明：（2）右边1121112()()n n n n n n n m m m m m m m C C C C C C C ----+++=+++=+==左边例2．解方程：（1）3213113-+=x x C C ；（2）解方程：333222101+-+-+=+x x x x x A C C ． 解：（1）由原方程得123x x +=-或12313x x ++-=，∴4x =或5x =，又由111312313x x x N *⎧≤+≤⎪≤-≤⎨⎪∈⎩得28x ≤≤且x N *∈，∴原方程的解为4x =或5x =上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把4x =和5x =代入检验,这样运算量小得多.（2）原方程可化为2333110x x x C A -++=，即5333110x x C A ++=，∴(3)!(3)!5!(2)!10!x x x x ++=-⋅， ∴11120(2)!10(1)(2)!x x x x =-⋅-⋅-， ∴2120x x --=，解得4x =或3x =-，经检验：4x =是原方程的解例3. 有同样大小的4个红球，6个白球。
数学北师大版高中选修2-3排列组合的常见题型及其解法
排列组合的常见题型及其解法排列、组合的概念具有广泛的实际意义，解决排列、组合问题，关键要搞清楚是否与元素的顺序有关。
复杂的排列、组合问题往往是对元素或位置进行限制，因此掌握一些基本的排列、组合问题的类型与解法对学好这部分知识很重要。
一. 特殊元素（位置）用优先法把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。
例1. 6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？ 分析：解有限制条件的元素（位置）这类问题常采取特殊元素（位置）优先安排的方法。
解法1：（元素分析法）因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上，有A 41种站法；第二步再让其余的5人站在其他5个位置上，有A 55种站法，故站法共有：A A 4155⋅＝480（种）解法2：（位置分析法）因为左右两端不站甲，故第一步先从甲以外的5个人中任选两人站在左右两端，有A 52种；第二步再让剩余的4个人（含甲）站在中间4个位置，有A 44种，故站法共有：A A 5244480⋅=（种）二. 相邻问题用捆绑法对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”：即将这几个元素看作一个整体，视为一个元素，与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。
例2. 5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？解：把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有A 66种，然后女生内部再进行排列，有A 33种，所以排法共有：A A 66334320⋅=（种）。
三. 相离问题用插空法元素相离（即不相邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。
例3. 7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法？解：先将其余4人排成一排，有A 44种，再往4人之间及两端的5个空位中让甲、乙、丙插入，有A 53种，所以排法共有：A A 44531440⋅=（种）四. 定序问题用除法对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。
高中数学北师大版选修2-3教学案第一章 2 第二课时 排列的应用 Word版含解析
第二课时排列的应用[例]由数字可组成多少个无重复数字的正整数？[思路点拨]可分别求出一位数、二位数、三位数、四位数的个数，再求和．[精解详析]第一类：组成一位数有＝个；第二类：组成二位数有＝个；第三类：组成三位数有＝个；第四类：组成四位数有＝个．根据加法原理，一共可以组成＋＋＋＝个正整数．[一点通]对于无限制条件的排列问题，可直接根据排列的定义及排列数公式列式求解．若解决问题时需要分类或分步，则要结合两个计数原理求解．．从种蔬菜品种中选种，分别种植在不同土质的块土地上进行试验，有多少种不同的种植方法？解：从种蔬菜品种中选种，分别种在块不同土质上，对应于从个元素中取出个元素的排列数．因此不同的种植方法数为＝××＝.故共有种不同的种植方法．．()有名大学毕业生到个招聘雇员的公司应聘，每个公司至多招聘一名新雇员，且名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，共有多少种不同的招聘方案？()有名大学毕业生到个招聘雇员的公司应聘，每个公司只招聘一名新雇员，并且不允许兼职，现假定这三个公司都完成了招聘工作，问共有多少种不同的招聘方案？解：()将个招聘雇员的公司看作个不同的位置，从中任选个位置给名大学毕业生，则本题即为从个不同元素中任取个元素的排列问题，所以不同的招聘方案共有＝××＝种．()将名大学毕业生看作个不同的位置，从中任选个位置给个招聘雇员的公司，则本题仍为从个不同的元素中任取个元素的排列问题，所以不同的招聘方案有＝××＝种.[例]()其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？()甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？()甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？[思路点拨]这是一个有限制条件的排列问题，每一问均应优先考虑限制条件，遵循特殊元素或位置优先安排的原则．[精解详析]()先考虑甲站在中间有种方法，再在余下的个位置排另外名同学，共有＝×××××＝种排法．()先考虑甲、乙站在两端的排法有种，再在余下的个位置排另外名同学的排法有种，共有＝×××××＝种排法．()法一：先考虑在除两端外的个位置选个安排甲、乙有种，再在余下的个位置排另外位同学的排法有种，共有＝××××××＝种排法．法二：考虑特殊位置优先法，即两端的排法有种，中间个位置有种，共有＝种排法．[一点通]()“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先．()从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在剩余位置上；从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置．注意：无论从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素又考虑位置．．电视台连续播放个广告，其中含个不同的产品广告和个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则不同的播放方式有( )．种．种．种．种解析：分两步：第一步先排首尾，第二步再排中间个位置，则＝＝×＝.答案：．用这个数字，可以排成个无重复数字的位数．解析：组成位数，相当于将个元素排在三个位置，但不能在首位，首位的排法有，而其余两位排法有，由分步乘法原理知，共有＝种排法．答案：．由这六个数字组成没有重复数字的六位数，其中小于万，又不是的倍数的数有多少个？解：法一：因为首位和个位上不能排和，所以先从中任选个排在首位和个位，有种排法，再排中间位数有种排法，由分步乘法计数原理，共有·＝×＝个符合要求．法二：六个数位的全排列共有个，其中有排在首位或个位上的有个，还有排在首位或个位上的也有个，其中不合要求的要减去，但这两种情况都包含和分别在首位或个位上的排法种，所以有－＋＝个符合要求.[例](，准备一起照张合影．(排成一排)()要求喜羊羊的四位成员必须相邻，有多少排法？。
2022年 高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修2-3 排列》
排列定义从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的无重排列。
排列的全体组成的集合用个球装入N个盒子的不同装法，盒子按顺序排列。
这题我们已经讨论过了，我再用更形象的方法说说。
假设我们把M个球用细线连成一排，再用N-1把刀去砍断细线，就可以把M个球按顺序分为N组。
那么M个球装入N个盒子的每一种装法都对应一种砍线的方法。
而砍线的方法等于M个球与N-1把刀的排列方式〔如两把刀排在一起，就表示相应的盒子里球数为0〕。
所以方法总数为C〔MN-1，N-1〕
例6：7人坐成一排照像, 其中甲、乙、丙三人的顺序不能改变且不相邻, 那么共有________排法
解：甲、乙、丙三人把其他四人分为四局部，设四局部人数分别为X1，X2，X3，X4，其中X1，X4?=0，X2，X3?0
先把其余4人看作一样，那么不同排法为方程
X1X2X3X4=4的解的个数，令X2=Y21，X3=Y31
化为求X1Y2Y3X4=2的非负整数解的个数，这与把2个球装入4个盒子的方法一一对应，个数为C 〔5，3〕=10
由于其余四人是不同的人，所以以上每种排法都对应4个人的全排列4！，所以不同排法共有C〔5，3〕*4！=240种。
排列组合综合(二)讲义-2021-2022学年高二下学期数学北师大版选修2-3
排列组合综合应用（二）知识要点常用方法：1.优先排序法--特殊位置或特殊元素2.捆绑法--哥俩好(先捆再排)3.插空法--离我远点(先排再插)4.排除法--正难则反5.隔板法--相同物品放在不同位置(或分给不同的人)精讲精练【例题1】A、B、C、D、E五种不同的商品要在货架上排成一排，其中A、B两种商品必须排在一起，而C、D两种商品不能排在一起，则不同的排法共有多少种?练习1：1、排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。
(1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？(2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？2、7名同学排队照相。
(1)若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法?(2)若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法?(3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法?(4)若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不同的排法?【例题2】某博物馆要在10天内接待4所学校的学生参观，每天至多安排一所学校，其中一所人数较多的学校要连续参观2天，其余学校均只参观1天，则在这10天内不同的安排方法数是多少种？练习2：1、某学生制定了数学问题解决方案：星期一和星期日分别解决4个数学问题，且从星期二开始，每天所解决问题个数与前一天相比，要么“多一种”要么“持平”要么“少一种”。
在一周中每天所解决问题个数不同方案共有多少种？2、有10件不同电子产品，其中有2件产品运营不稳定。
技术人员对它们进行一一测试，直到2件不稳定产品所有找出后测试结束，则正好3次就结束测试办法种数是多少种？【例题3】如图，A、B、C、D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个岛连接起来，则不同的建桥方案共有多少种？练习3：1、某都市街道如图，某人从A地前去B地，则路程最短走法有多少种？2、如图，用四种不同颜色给图中A，B，C，D，E，F六个点涂色，规定每个点涂一种颜色，且图中每条线段两个端点涂不同颜色，则不同涂色办法有多少种？【例题4】把10个相同的球放入3个不同的盒子里，若要求(1)每个盒子里至少有一个球，有多少种放法？(2)每个盒子里都至少有2个球，有多少种放法？(3)某些盒子允许空着，有多少种放法？练习4：1、学校筹划运用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科专项讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同安排办法共有多少种？2、六名大四学生(其中4名男生，2名女生)被安排到A、B、C三所学校实习，每所学校2人，且2名女生不能到同一学校，也不能到C学校，男生甲不能到A学校，则不同安排办法为多少种？【例题5】(1)方程x+y+z=13有多少组正整数解？(2)方程x+y+z=13有多少组非负整数解？(3)方程x+y+z=13有多少组x，y，z均不小于2的正整数解？练习5：1、求方程X+Y+Z=10的正整数解的个数。
高中数学 北师大版选修2-3排列课件
• 例4．将4位司机、4位售票员分配到四辆不 同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有 一位司机和一位售票员，共有多少种不同 的分配方案？ • 例5．用0到9这10个数字，可以组成多少个 没有重复数字的三位数？
• 例6．（1）7位同学站成一排，共有多少种 不同的排法？ • （2）7位同学站成两排（前3后4），共有 多少种不同的排法？ • （3）7位同学站成一排，其中甲站在中间 的位置，共有多少种不同的排法？ • （4）7位同学站成一排，甲、乙只能站在 两端的排法共有多少种？
例1．（1）从这，2，3，5，7,11五个数 字中，任取2个数字组成分数，不同值的分 数共有多少个？ （2）5人站成一排照相，共有多少种不同 的站法？ （3）某年全国足球甲级（A组）联赛共有 14队参加，每队都要与其余各队在主客场 分别比赛1次，共进行多少场比赛？
课堂练习： 1．四支足球队争夺冠、亚军，不同的结果 有_____种 2．信号兵用3种不同颜色的旗子各一面，每次 打出3面，最多能打出不同的信号有（ ）种 3从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3 名进行某场比赛，并排定他们的出3种，分别种植在 不同土质的3块土地上进行试验，有多少种 不同的种植方法？ • 5一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火 车，有多少种不同的停放方法（假定每股 岔道只能停放1列火车）？ • 6．一部纪录影片在4个单位轮映，每一单 位放映1场，有多少种轮映次序？
• 例2．（1）有5本不同的书，从中选3本送 给3名同学，每人各1本，共有多少种不同 的送法？ • （2）有5种不同的书，要买3本送给3名同 学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ • 例3．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到 下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以 任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表 示不同的信号，一共可以表示多少种不同 的信号？
高中数学 1.4 第2课时 排列、组合的综合应用课件 北师大版选修23
从 52 张扑克牌(除大王、小王)中任取 5 张，计算： (1)有 4 张数值相同，另外 1 张不同，有多少种取法？ (2)有 3 张数值相同，另外 2 张数值也相同，有多少种取 法？ (3)5 张数值顺序连续，花色可以不同，有多少种取法？
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【解】 (1)扑克牌中共有 13 种数值(1～13)，有 4 张数 值相同，则有 13 种可能，第 5 张则在余下的 48 张中选取．
所以符合条件的方法有 13·C418＝624 种． (2)3 张数值相同，有 C113·C34种；另外 2 张数值也相同，则 有 C112·C42种，所以共有 C113·C34·C112·C24＝3 744 种．
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(3)5 张数值连续，只有下述 9 种可能： 1,2,3,4,5； 2,3,4,5,6； 3,4,5,6,7； … 9,10,11,12,13. 任何一种数值都有 4 种花色供选择，所以 5 种数值的花 色选配方法有 4×4×4×4×4＝45 种． 所以符合条件的取法共有 9×45＝9 216 种．
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2．在解决排列与组合应用题时，如何看待题设中的元素 与位置？
【提示】 在排列、组合问题中，元素与位置没有严格 的界定标准，哪些事物看成元素或位置，随着解题者思维方 式的变化而变化，要视具体情况而定，有时元素选位置，问 题解决起来简捷，有时位置选元素效果会更好．
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在解答排列组合综合问题时，要注意准确地应用两个基 本原理，要注意准确区分是排列问题还是 组合(z问ǔh题é)，要注 意在利用直接法解题的同时，也要根据问题的实际恰当地利 用 间接(jiàn ji解ē)法题．
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北师大版高中数学排列组合__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1.理解排列组合的概念.2.能利用计数原理推导排列公式、组合公式.3.熟练掌握排列、组合的性质.4.能解决简单的实际问题.1.排列与组合的概念:(1)排列:_____________________________________________________________________叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.注意：○1如无特别说明，取出的m个元素都是不重复的.○2排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”.○3从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列.○4在定义中规定m≤n，如果m=n，称作全排列.○5在定义中“一定顺序”就是说与位置有关.○6如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列.(2)组合：___________________________________________________________________叫做从n 个不同元素中取出m个不同元素的一个组合.注意：○1如果两个组合中的元素完全相同，不管它们的顺序如何，都是相同的组合，组合的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“并成一组”，“并成一组”即表示与顺序无关.○2当两个组合中的元素不完全相同(即使只有一个元素不同)，就是不同的组合.○3组合与排列问题的共同点，都要“从n个不同元素中，任取m(m≤n)个不同元素”；不同点：前者是“不管顺序并成一组”，而后者要“按照一定顺序排成一列”.○4根据定义区分排列问题、组合问题.2.排列数与组合数：(1)排列数的定义:_______________________________________________________________叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号m n A 表示.(2)组合数的定义:______________________________________________________________叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号m n C 表示.3.排列数公式与组合数公式：(1)排列数公式：_________________________________(2)全排列、阶乘、排列数公式的阶乘表示.○1全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列. ○2阶乘：自然数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，用n !表示，即!.n nA n = ○3由此排列数公式(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+(1)(2)(1)()21()21n n n n m n m n m ⋅-⋅-⋅⋅-+⋅-⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅!.()!n n m =- 所以!.()!m n n A n m =- (3)组合数公式:________________________________(4)组合数的两个性质:性质1：.m n m n nC C -= 性质2：11.m mm n n n C C C -+=+类型一.排列的定义例1：判断下列问题是不是排列，为什么？(1)从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动，其中一名同学参加上午的活动，另一名同学参加下午的活动.(2)从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动.练习1：判断下列问题是不是排列，为什么？(1)从2、3、4这三个数字中取出两个，一个为幂底数，一个为幂指数.(2)集合M ={1，2，…，9}中，任取相异的两个元素作为a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的椭圆方程22221x y a b +=和多少个焦点在x 轴上的双曲线方程2222 1.x y a b-=类型二.组合的定义例2：判断下列问题是组合问题还是排列问题.(1)设集合A ={a ，b ，c ，d ，e }，则集合A 的子集中含有3个元素的有多少个？(2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？练习1：判断下列问题是组合问题还是排列问题.(1)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？(2)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？类型三.排列数与组合数例3：计算下列各式.(1)57;A (2)212;A (3)77.A练习1：乘积m (m +1)(m +2)…(m +20)可表示为( )A.2m AB.21m AC.2020m A +D.2120m A + 例4：计算98100C练习2：计算972959898982C C C ++类型四.排列问题例５：3个女生和5个男生排成一排.(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？练习1：3个女生和5个男生排成一排.(1)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？(2)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？类型五.组合问题例６：高中一年级8个班协商组成年级篮球队，共需10名队员，每个班至少要出1名，不同的组队方式有多少种？练习1：有、甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这，三项任务，不同的选法共有多少种？类型六.排列与组合综合问题例７：某校乒乓球队有男运动员10人和女运动员9人，选出男女运动员各3名参加三场混合双打比赛(每名运动员只限参加一场比赛)，共有多少种不同参赛方法？练习1：在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有()A.36个B.24个C.18个D.6个1.89×90×91×…×100可表示为()A.10100AB.11100AC.12100AD.13100A 2.已知123934,n n A A --=则n 等于( )A.5B.6C.7D.8３.将6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数有( )A.36B.120C.720D.140４.6名同学排成一排，其中甲、乙两人排在一起的不同排法有( )A.720种B.360种C.240种D.120种５.若266,x C C =则x 的值是( )A.2B.4C.4或2D.0 ６.1171010r r C C +-+可能的值的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.无数个7.某校一年级有5个班，二年级有7个班，三年级有4个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，共需进行比赛的场数是( )A.222574C C C ++B.222574C C C C.222574A A A ++ D.216C 8.有3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法有( )A.90种B.180种C.270种D.540种_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1.某乒乓球队共有男女队员18人，现从中选出男、女队员各1人组成一对双打组合，由于在男队员中有2人主攻单打项目，不参与双打组合，这样一共有64种组合方式，则乒乓球队中男队员的人数为( )A.10人B.8人C.6人D.12人2.将4个不同的小球随意放入3个不同的盒子，使每个盒子都不空的放法种数是( )A.1334A AB.2343C AC.3242C AD.132442C C C 3.有3名男生和5名女生照相，如果男生不排在是左边且不相邻，则不同的排法种数为( )A.3538A AB.5354A AC.5355A AD.5356A A 4.8位同学，每位相互赠照片一张，则总共要赠________张照片.5.5名学生和5名老师站一排，其中学生不相邻的站法有________种.6.由0，1，2，3，4，5组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于百位数字的数共有________个.7.有10个三好学生的名额，分配给高三年级6个班，每班至少一个名额，共有________种不同的分配方案.8.从10名学生中选出5人参加一个会议，其中甲、乙两人有且仅有1人参加，则选法种数为________.能力提升1.(2015四川卷)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）A.144个B.120个C.96个D.72个 2.(2014四川卷)方程22ay b x c =+中的,,{3,2,0,1,2,3}a b c ∈--，且,,a b c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）A.60条B.62条C.71条D.80条3.（2014辽宁卷）6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )A ．144B ．120C ．72D ．244.在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有( )A.56个B.57个C.58个D.60个5.某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有________种.(用数字作答)6.(2014北京卷)把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有__________种.7.(2015上海卷)在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为_________（结果用数值表示）．8.从数字0，1，3，5，7中取出不同的三个数作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程ax 2+bx +c =0？其中有实根的方程有多少个？。