2017年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷002
全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷三题 号 一 二 总 成 绩13 14 15 16得 分评 卷 人复 核 人考生注意：1.本试卷共三大题（16小题），全卷满分150分. 考试时间：120分钟.2.用钢笔、签字笔或圆珠笔作答.3.解题书写不要超出装订线.4.不能使用计算器.一、选择题（本题满分36分，每小题6分）得 分 评卷人 本题共有6小题，每题均给出A 、B 、C 、D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的. 请将正确答案的代表字母填 在题的括号内. 每小题选对得6分；不选、选错或选出的 字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分. 1. 已知函数2sin y x =，则 答：[ ] （A ）有最小正周期2π （B ）有最小正周期π （C ）有最小正周期2π（D ）无最小周期 2. 关于x 的不等式22200x ax a --<任意两个解的差不超过9，则a 的最大值与最小值 的和是 答：[ ] （A ） 2 （B ） 1 （C ） 0 （D ） 1-3. 已知向量a 、b ，设AB =a 2+b ，5BC =-a 6+b ，7CD =a 2-b ，则一定共线的 三点是 答：[ ] （A ） A 、B 、D （B ） A 、B 、C （C ） B 、C 、D （D ） A 、C 、D全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷第1页（共6页） 4. 设α、β、γ为平面，m 、n 为直线，则m β⊥的一个充分条件是 答：[ ] （A ）αβ⊥，n αβ=，m n ⊥ （B ）m αγ=，αγ⊥，βγ⊥（C ）αβ⊥，βγ⊥，m α⊥ （D ）n α⊥，n β⊥，m α⊥5. 若m 、{}22101010n x x a a a ∈=⨯+⨯+，其中{}1234567i a ∈，，，，，，，012i =，，，并且636m n+=，则实数对(,)m n表示平面上不同点的个数为答：[ ]（A）60个（B）70个（C）90个（D）120个6. 已知()122007122007f x x x x x x x=+++++++-+-++-（x∈R），且2(32)(1),f a a f a-+=-则a的值有答：[ ] （A）2个（B）3个（C）4个（D）无数个二、填空题（本题满分54分，每小题9分）得分评卷人本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上.7. 设nS为等差数列{}n a的前n项和，若510S=，105S=-，则公差为 .8. 设()log()af x x b=+(0a>且1)a≠的图象经过点(21)，，它的反函数的图象经过点(28)，，则a b+等于 .9. 已知函数()y f x=的图象如图，则满足22221()(lg(620))021x xf f x xx x--⋅-+≤-+的x的取值范围为 .2页（共6页）10. 30x y-+=的离心率是 .11. 在ABC∆中，已知tan B=sin3C=，AC=ABC∆的面积为.12. 设命题P:2a a<，命题Q: 对任何x∈R，都有2410x ax++>. 命题P与Q中有且仅有一个成立，则实数a的取值范围是 .三、解答题（本题满分60分，共4小题，每题各15分）得分评卷人13. 设不等式组x yx y+>⎧⎨-<⎩，表示的平面区域为D . 区域D 内的动点P 到直线0x y +=和直线0x y -=的距离之积为2. 记点P 的轨迹为曲线C .过点F 的直线l 与 曲线C 交于A 、B 两点. 若以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，求直线l 的斜率.全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷第3页（共6页）14. 如图，斜三棱柱111ABC A B C -中，面11AAC C 是菱形，160ACC ∠=︒，侧面11ABB A ⊥11AAC C ，11A B AB AC ===.求证：（1）1AA ⊥1BC ；（2）求点1A 到平面ABC 的距离.全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷第4页（共6页）15. 已知数列{}n a 中，11a =，33n n a a +≤+，22n n a a +≥+. 求2007a .全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷第5页（共6页）16. 已知平面上10个圆，任意两个都相交. 是否存在直线l ，与每个圆都有公共点？证明你的结论.全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷第6页（共6页）B 1BA 1C 1AC高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则AB =（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）(31)-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--， （3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m= （A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-（B ）34-（C ）3（D ）2（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则评议后图象的对称轴为（A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π12 (k ∈Z)（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s= （A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)=35，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，nx ，1y ，2y ，…，ny ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n（11）已知F1，F2是双曲线E 22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=,则E 的离心率为 （AB ）32（CD ）2（12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。
全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题001
全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题（时间：4月20日上午8：00—10：00）一、选择题（本题满分30分，每小题6分）1. 如果实数m ，n ，x ，y 满足a n m =+22，b y x =+22，其中a ，b 为常数，那么mx+ny 的最大值为 []A. 2b a +B. abC. 222ba + D. 222b a +2. 设)(x f y =为指数函数xa y =. 在P(1,1)，Q(1,2)，M(2,3)，⎪⎭⎫ ⎝⎛41,21N 四点中，函数)(x f y =与其反函数)(1x f y -=的图像的公共点只可能是点 []A. PB. QC. MD. N3. 在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么z y x ++的值为答：[] A. 1 B. 2C. 3D. 44. 如果111C B A ∆的三个内角的余弦值分别是222C B A ∆的三个内角的正弦值，那么 []A. 111C B A ∆与222C B A ∆都是锐角三角形B. 111C B A ∆是锐角三角形，222C B A ∆是钝角三角形C. 111C B A ∆是钝角三角形，222C B A ∆是锐角三角形D. 111C B A ∆与222C B A ∆都是钝角三角形5. 设a ，b 是夹角为30°的异面直线，则满足条件“α⊆a ，β⊆b ，且βα⊥”的平面α，β[] A. 不存在 B. 有且只有一对 C. 有且只有两对 D. 有无数对二、填空题（本题满分50分，每小题10分）6. 设集合[]{}{}222<==-=x x B x x x A 和，其中符号[]x 表示不大于x 的最大整数，则A B =___________________.7. 同时投掷三颗骰子，于少有一颗骰子掷出6点的概率是P =__________(结果要求写成既约分数）.8. 已知点O 在ABC ∆内部，022=++OC OB OA .OCB ABC ∆∆与的面积之比为____________. 9. 与圆0422=-+x y x 外切，且与y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程为________________________.10. 在ABC ∆中，若tanAtanB=tanAtanC+tanctanB ，则 222c b a +=______________.三、解答题（本题满分70分，各小题分别为15分、15分、20分、20分）11. 已知函数c bx x x f ++-=22)(在1=x 时有最大值1，n m <<0，并且[]n m x ,∈时，)(x f 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡m n 1,1. 试求m ，n 的值.1 2 0.5 1 xyz12. A 、B 为双曲线19422=-y x 上的两个动点，满足0=⋅OB OA 。
全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷001
全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一．选择题（本题满分36分，每小题6分） 1．已知数列{}n a 的通项公式2245n a n n =-+，则{}n a 的最大项是（ ）()A 1a ()B 2a ()C 3a ()D 4a2．函数3log 3xy =的图象是（ ）()A ()B ()C ()D3．已知抛物线22y px =，O 是坐标原点，F 是焦点，P 是抛物线上的点，使得△POF 是直角三角形，则这样的点P 共有（ ）()A 0个()B 2个()C 4个()D 6个4．设()f x 是定义在R 上单调递减的奇函数．若120x x +>，230x x +>，310x x +>，则( ）()A ()()()1230f x f x f x ++>()B ()()()1230f x f x f x ++< ()C ()()()1230f x f x f x ++=()D ()()()123f x f x f x +>5．过空间一定点P 的直线中，与长方体1111ABCD A B C D -的12条棱所在直线成等角的直线共有（ ）()A 0条()B 1条()C 4条()D 无数多条6．在△ABC 中，1tan 2A =，310cos B =．若△ABC 的最长边为1，则最短边的长为（ ）()A ()B ()C ()D 二．填空题（本题满分54分，每小题9分）7．集合{}3,,010A x x n n N n ==∈<<，{}5,,06B y y m m N m ==∈≤≤，则集合A B 的所有元素之和为． 8．设cos 2ϑ=，则44cos sin ϑϑ+的值是． 9．()323x x-的展开式中，5x 的系数为．10．已知030330y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩，则22x y +的最大值是．11．等比数列{}n a 的首项为12020a =，公比12q =-．设()f n 表示这个数列的前n 项的积，则当n =时，()f n 有最大值．12．长方体1111ABCD A B C D -中，已知14AB =，13AD =，则对角线1AC 的取值范围是． 三．解答题（本题满分60分，第13题、第14题各12分，第15题16分，第16题20分） 13．设集合()12log 32A x x ⎧⎫⎪⎪=-≥-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，21a B xx a ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭．若A B ≠∅，求实数a 的取值范围．14．椭圆22194x y +=的右焦点为F ，1224,,,P P P 为24个依逆时针顺序排列在椭圆上的点，其中1P 是椭圆的右顶点，并且122334241PFP P FP P FP P FP ∠=∠=∠==∠．若这24个点到右准线的距离的倒数和为S ，求2S 的值．15．△ABC 中，AB AC <，AD 、AE 分别是BC 边上的高和中线，且BAD EAC ∠=∠． 证明BAC ∠是直角．16．设p 是质数，且271p +的不同正因数的个数不超过10个．求p ． 全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷【参考答案】1．B 2．A 3．B 4．B 5．C 6．D7．2258．11189．27 10．9 11．1212．()4,513．解：{}13A x x =-≤<，()(){}30B x x a x a =--<． 当0a >时，{}03B x a x a =<<<，由A B ≠∅得03a <<； 当0a <时，{}30B x a x a =<<<，由A B ≠∅得1a >-；当0a =时，{}20B x x =<=∅，与A B ≠∅不符．综上所说，()()1,00,3a ∈-．B14．解：椭圆中，3a =，2b =，故c =)F，e =设i FP 与x 轴正向的夹角为i ϑ，i d 为点i P 到右准线的距离．则()2cos 1i i a d e c cϑ+=-．即()21cos 1i i c e d b ϑ=+．同理()()1222121cos 1cos 1i i i c c e d b bϑϑ++=+=-+． 所以2121122i i c d d b ++==． 从而2411i id ==∑ 2180S =． 15．如图，取AB 中点I ，连ID 、IE ．则IE 为中位线，所以//IE AC ，且IEA EAC ∠=∠．而BAD EAC ∠=∠，所以IEA BAD ∠=∠．…………①在直角△ADB 中，I 为斜边中点，所以ID IA =，从而BAD IDA ∠=∠．…………②联合①、②得A 、I 、D 、E 四点共圆．所以BAD IEB C ∠=∠=∠，∴90B C ∠+∠=︒，即90BAC ∠=︒．16．解：当2p =时，22717535p +==⨯，有()()11216++=个正因数； 当3p =时，24718025p +==⨯，有()()411110++=个正因数．所以2p =、3p =满足条件．当3p >时，()()2711172p p p +=-++．其中p 为奇质数，所以()1p -与()1p +是相邻的两个偶数，从而必然有一个2的倍数和4个倍数，还必然有一个3的倍数，从而()()11p p -+是24的倍数． 设23712423p m m +=⨯=⨯⨯，其中4m ≥．若m 中有不同于2、3的质因数，则271p +的正因数个数()()()31111110≥+++>；若m 中含有质因数3，则则271p +的正因数个数()()312110≥++>；BC若m 中仅有质因数2，则271p +的正因数个数()()511110≥++>．所以3p >不满足条件．综上所说，所求得的质数p 是2或3．高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十四) 直线、平面垂直的判定与性质1．(·杭州模拟)设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分条件是( )A．a⊥c，b⊥cB．α⊥β，a⊂α，b⊂βC．a⊥α，b∥αD．a⊥α，b⊥α2．设α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列命题①若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ；②若l上两点到α的距离相等，则l∥α；③若l⊥α，l∥β，则α⊥β；④若α∥β，l⊄β，且l∥α，则l∥β.其中正确的命题是( )A．①②B．②③C．②④D．③④3．给出命题：(1)在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行；(2)设l，m是不同的直线，α是一个平面，若l⊥α，l∥m，则m⊥α；(3)已知α，β表示两个不同平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件；(4)a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一个平行．其中正确命题个数是( )A．0B．1C．2D．34.(·济南模拟)如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在( )A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部5.(·曲阜师大附中质检)如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确的是( )A．①②B．①②③C．①D．②③6.(·济南名校模拟)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下面命题正确的是( )A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC7.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)8．(·忻州一中月考)正四棱锥S－ABCD的底面边长为2，高为2，E是BC的中点，动点P在四棱锥的表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的长为________．9.(·蚌埠模拟)点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，给出下列四个命题：①三棱锥A－D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正确的命题序号是________．10.如图所示，已知三棱锥A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．(1)求证：DM∥平面APC；(2)求证：平面ABC⊥平面APC.11.(·北京海淀二模)如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，点E为线段PB的中点，点M在AB 上，且OM∥AC.(1)求证：平面MOE∥平面PAC；(2)求证：平面PAC⊥平面PCB.12．(·珠海摸底)如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是梯形，AB ∥CD ，四边形ACFE 是矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，AD ＝DC ＝CB ＝AE ＝a ，∠ACB＝π2.(1)求证：BC ⊥平面ACFE ；(2)若M 是棱EF 上一点，AM ∥平面BDF ，求EM 的长．1.如图，在立体图形D －ABC 中，若AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 是AC 的中点，则下列正确的是( )A ．平面ABC ⊥平面ABDB ．平面ABD ⊥平面BDCC ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDED ．平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE2．如图所示，b ，c 在平面α内，a ∩c ＝B ，b ∩c ＝A ，且a ⊥b ，a ⊥c ，b ⊥c ，若C ∈a ，D ∈b ，则△ACD 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形3.(·莆田模拟)如图，在三棱锥P －ABC 中，△PAC ，△ABC 分别是以A ，B 为直角顶点的等腰直角三角形，AB ＝1.(1)现给出三个条件：①PB ＝3；②PB ⊥BC ；③平面PAB ⊥平面A BC.试从中任意选取一个作为已知条件，并证明：PA ⊥平面ABC ；(2)在(1)的条件下，求三棱锥P －ABC 的体积． [答 题 栏]A 级1._________2._________3._________4._________5._________6._________B 级1.______2.______7.__________8.__________9.__________答 案高考数学（文）一轮：一课双测A+B 精练(四十四)A级1．C2.D3.B4.A5．选B对于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC.∴BC⊥平面PAC.又PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC；对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥PA.∵PA⊂平面PAC，∴OM∥平面PAC；对于③，由①知BC⊥平面PAC，∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故①②③都正确．6．选D在平面图形中CD⊥BD，折起后仍有CD⊥BD，由于平面ABD⊥平面BCD，故CD⊥平面ABD，CD⊥AB，又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC，所以平面ABC⊥平面ADC.7．解析：由定理可知，BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)8．解析：如图，设AC∩BD＝O，连接SO，取CD的中点F，SC的中点G，连接EF，EG，FG，设EF交AC于点H，连接GH，易知AC⊥EF，GH∥SO，∴GH⊥平面ABCD，∴AC⊥GH，∴AC⊥平面EFG，故动点P的轨迹是△EFG，由已知易得EF＝2，GE＝GF＝62，∴△EFG的周长为2＋6，故动点P的轨迹长为2＋ 6.答案：2＋69．解析：连接BD交AC于O，连接DC1交D1C于O1，连接OO1，则OO1∥BC1.∴BC1∥平面AD1C，动点P到平面AD1C的距离不变，∴三棱锥P－AD1C的体积不变．又VP－AD1C＝VA－D1PC，∴①正确．∵平面A1C1B∥平面AD1C，A1P⊂平面A1C1B，∴A1P∥平面ACD1，②正确．由于DB不垂直于BC1显然③不正确；由于DB1⊥D1C ，DB1⊥AD1，D1C ∩AD1＝D1， ∴DB1⊥平面AD1C.DB1⊂平面PDB1， ∴平面PDB1⊥平面ACD1，④正确． 答案：①②④10．证明：(1)由已知，得MD 是△ABP 的中位线，所以MD ∥AP. 又MD ⊄平面APC ，AP ⊂平面APC ， 故MD ∥平面APC.(2)因为△PMB 为正三角形，D 为PB 的中点， 所以MD ⊥PB.所以AP ⊥PB.又AP ⊥PC ，PB ∩PC ＝P ，所以AP ⊥平面PBC. 因为BC ⊂平面PBC ，所以AP ⊥BC.又BC ⊥AC ，AC ∩AP ＝A ，所以BC ⊥平面APC. 因为BC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面APC.11．证明：(1)因为点E 为线段PB 的中点，点O 为线段AB 的中点， 所以OE ∥PA.因为PA ⊂平面PAC ，OE ⊄平面PAC ， 所以OE ∥平面PAC. 因为OM ∥AC ，且AC ⊂平面PAC ，OM ⊄平面PAC ， 所以OM ∥平面PAC.因为OE ⊂平面MOE ，OM ⊂平面MOE ，OE ∩OM ＝O ， 所以平面MOE ∥平面PAC.(2)因为点C 在以AB 为直径的⊙O 上，所以∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC. 因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA ⊥BC. 因为AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ， PA ∩AC ＝A ， 所以BC ⊥平面PAC. 因为BC ⊂平面PCB ， 所以平面PAC ⊥平面PCB.12．解：(1)证明：因为∠ACB ＝π2，所以BC ⊥AC.又因为BC ⊂平面ABCD ，平面ACFE ∩平面ABCD ＝AC ，平面ACFE ⊥平面ABCD ，所以BC ⊥平面ACFE.(2)记AC ∩BD ＝O ，在梯形ABCD 中，因为AD ＝DC ＝CB ＝a ，AB ∥CD ，所以∠ACD ＝∠CAB＝∠DAC.所以π＝∠ABC ＋∠BCD ＝∠DAB ＋∠ACD ＋∠ACB ＝3∠DAC ＋π2，所以∠DAC ＝π6，即∠CBO ＝π6.又因为∠ACB ＝π2，CB ＝a ，所以CO ＝33a.连接FO ，由AM ∥平面BDF 得AM ∥FO ，因为四边形ACFE 是矩形， 所以EM ＝CO ＝33a. B 级1．选C 要判断两个平面的垂直关系，就需固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直．因为AB ＝CB ，且E 是AC 的中点，所以BE ⊥AC ，同理有DE ⊥AC ，于是AC ⊥平面BDE.因为AC 在平面ABC 内，所以平面ABC ⊥平面BDE.又由于AC ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BDE.2．解析：选B ∵a ⊥b ，b ⊥c ，a ∩c ＝B ， ∴b ⊥面ABC ，∴AD ⊥AC ，故△ACD 为直角三角形． 3．解：法一：(1)选取条件① 在等腰直角三角形ABC 中， ∵AB ＝1， ∴BC ＝1，AC ＝ 2. 又∵PA ＝AC ，∴PA ＝ 2. ∴在△PAB 中，AB ＝1，PA ＝ 2. 又∵PB ＝3， ∴AB2＋PA2＝PB2.∴∠PAB ＝90°，即PA ⊥AB. 又∵PA ⊥AC ，AB ∩AC ＝A ， ∴PA ⊥平面ABC.(2)依题意得，由(1)可知PA ⊥平面ABC ，V 三棱锥P －ABC ＝13PA ·S △ABC ＝13×2×12×12＝26.法二：(1)选取条件② ∵PB ⊥BC ，又AB ⊥BC ，且PB ∩AB ＝B ，∴BC⊥平面PAB.∵PA⊂平面PAB，∴BC⊥PA.又∵PA⊥AC，且BC∩AC＝C，∴PA⊥平面ABC.(2)依题意得，由(1)可知PA⊥平面ABC.∵AB＝BC＝1，AB⊥BC，∴AC＝2，∴PA＝2，∴V三棱锥P－ABC＝13PA·S△ABC＝13×12AB·BC·PA＝13×12×1×1×2＝26.法三：(1)选取条件③若平面PAB⊥平面ABC，∵平面PAB∩平面ABC＝AB，BC⊂平面ABC，BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB.∵PA⊂平面PAB，∴BC⊥PA.∵PA⊥AC，且BC∩AC＝C，∴PA⊥平面ABC.(2)同法二．高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十)空间几何体的结构特征及三视图和直观图1．(·青岛摸底)如图，在下列四个几何体中，其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是( )A．②③④B．①②③C．①③④D．①②④2．有下列四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．其中真命题的个数是( )A．1B．2C．3D．43．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )4．如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是( )5.如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是( )A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形6．(·东北三校一模)一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为( )A．2＋3B．1＋3C．2＋23D．4＋37．(·昆明一中二模)一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为1，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的________．(填入所有可能的图形前的编号) 2①锐角三角形；②直角三角形；③四边形；④扇形；⑤圆8．(·安徽名校模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．9．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为3，其正视图(主视图)和侧视图(左视图)是全等的等腰三角形，则正视图的周长为________．10．已知：图1是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图2是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．11．(·银川调研)正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少？12．(·四平模拟)已知正三棱锥V－ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积．1．(·江西八所重点高中模拟)底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其正视图有最大面积时，其侧视图的面积为( )A．23B．3C.3D．42．(·深圳模拟)如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面ABE，已知AB＝2，AE＝BE＝3，且当规定正视方向垂直平面ABCD时，该几何体的侧视图的面积为22.若M，N分别是线段DE，CE上的动点，则AM＋MN＋NB的最小值为________．3．一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图1和2所示，其中正视图、侧视图均为边长为a的正方形．(1)请在图2指定的框内画出多面体的俯视图；(2)若多面体底面对角线AC，BD交于点O，E为线段AA1的中点，求证：OE∥平面A1C1C；(3)求该多面体的表面积．[答题栏]A级1._________2._________3._________4._________5._________6._________B级 1.______2.______ 7.__________8.__________9.__________答案高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十)A级1．A2.A3.C4.B5．选B由斜二测画法知B正确．6．选D依题意得，该几何体的侧视图的面积等于22＋12×2×3＝4＋ 3.7．解析：如图1所示，直三棱柱ABE－A1B1E1符合题设要求，此时俯视图△A BE是锐角三角形；如图2所示，直三棱柱ABC－A1B1C1符合题设要求，此时俯视图△ABC是直角三角形；如图3所示，当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时，所得直四棱柱ABCD－A1B1C1D1符合题设要求，此时俯视图(四边形ABCD)是正方形；若俯视图是扇形或圆，体积中会含有π，故排除④⑤.答案：①②③8．解析：结合三视图可知，该几何体为底面边长为2、高为2的正三棱柱除去上面的一个高为1的三棱锥后剩下的部分，其直观图如图所示，故该几何体的体积为12×2×2sin60°×2－13×12×2×2sin60°×1＝533.答案：5339.解析：由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF ，其中E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接AO ，易得AO ＝2，而PA ＝3，于是解得PO ＝1，所以PE ＝2，故其正视图的周长为2＋2 2.答案：2＋2210．解：图1几何体的三视图为：图2所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体． 11．解：如图所示，正四棱锥S －ABCD 中， 高OS ＝3，侧棱SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝7， 在Rt △SOA 中，OA ＝SA2－OS2＝2，∴AC ＝4. ∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2 2. 作OE ⊥AB 于E ，则E 为AB 中点． 连接SE ，则SE 即为斜高， 在Rt △SOE 中，∵OE ＝12BC ＝2，SO ＝3，∴SE ＝5，即侧面上的斜高为 5.12．解：(1)三棱锥的直观图如图所示． (2)根据三视图间的关系可得BC ＝23， ∴侧视图中VA ＝42－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32×232＝12＝23，∴S △VBC ＝12×23×23＝6.B 级1．选A 当正视图的面积达最大时可知其为正三棱柱某个侧面的面积，可以按如图所示位置放置，此时侧视图的面积为2 3.2．解析：依题意得，点E 到直线AB 的距离等于32－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝2，因为该几何体的左(侧)视图的面积为12·BC ×2＝22，所以BC ＝1，DE ＝EC ＝DC ＝2.所以△DEC 是正三角形，∠DEC ＝60°，tan ∠DEA ＝AD AE ＝33，∠DEA ＝∠CEB ＝30°.把△DAE ，△DEC 与△CEB 展在同一平面上，此时连接AB ，AE ＝BE ＝3，∠AEB ＝∠DEA ＋∠DEC ＋∠CEB ＝120°，AB2＝AE2＋BE2－2AE ·BEcos120°＝9，即AB ＝3，即AM ＋MN ＋NB 的最小值为3.答案：33．解：(1)根据多面体的直观图、正视图、侧视图，得到俯视图如下：(2)证明：如图，连接AC ，BD ，交于O 点，连接OE. ∵E 为AA1的中点，O 为AC 的中点， ∴在△AA1C 中，OE 为△AA1C 的中位线． ∴OE ∥A1C.∵OE ⊄平面A1C1C ，A1C ⊂平面A1C1C ， ∴OE ∥平面A1C1C.(3)多面体表面共包括10个面，SABCD ＝a2， SA1B1C1D1＝a22，S △ABA1＝S △B1BC ＝S △C 1DC ＝S △ADD1＝a22，S △AA1D1＝S △B1A1B ＝S △C1B1C ＝S △DC1D1 ＝12×2a 2×32a 4＝3a28， ∴该多面体的表面积S ＝a2＋a22＋4×a22＋4×3a28＝5a2.。
全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷(含答案)
全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷(含答案)全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分，要求直接将答案写在横线上。
）1.已知点P(4,1)在函数$f(x)=\log_a(x-b)$（$b>0$）的图像上，则$ab$的最大值是______。
解：由题意知，$\log_a(4-b)=1$，即$a+b=4$，且$a>0$，$a\neq 1$，$b>0$，从而$ab\leq 4$。
当$a=b=2$时，$ab$的最大值是4.2.函数$f(x)=3\sin(2x-\frac{\pi}{4})$在$x=\frac{3\pi}{4}$处的值是______。
解：$2x-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}$，所以$f(\frac{3\pi}{4})=3\sin(\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{4})=-\frac{3}{\sqrt{2}}$。
3.若不等式$|ax+1|\leq 3$的解集为$\{x|-2\leq x\leq 1\}$，则实数$a$的值是______。
解：设函数$f(x)=|ax+1|$，则$f(-2)=f(1)=3$，故$a=2$。
4.第一只口袋里有3个白球、7个红球、15个黄球，第二只口袋里有10个白球、6个红球、9个黑球，从两个口袋里各取出一球，取出的球颜色相同的概率是______。
解：有两类情况：同为白球的概率是$\frac{3}{25}\times\frac{10}{25}=\frac{6}{125}$，同为红球的概率是$\frac{7}{25}\times\frac{6}{25}=\frac{42}{625}$，所求的概率是$\frac{6}{125}+\frac{42}{625}=\frac{72}{625}$。
5.在平面直角坐标系$xOy$中，设焦距为$2c$的椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）与椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$有相同离心率$e$，则$e$的值是______。
2017年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷及详解(纯word)
2017年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷及详解(纯word)1.2017年全国高中数学联赛江苏赛区预赛试卷及详解2.填空题1.已知向量$\overrightarrow{AP}=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}$，$\overrightarrow{PB}=\begin{pmatrix}-3\\1\end{pmatrix}$，则向量$\overrightarrow{AP}$与$\overrightarrow{AB}$的夹角等于$\frac{\pi}{4}$。
2.已知集合$A=\{x| (ax-1)(a-x)>0\}$，且$a\in A$，$3\notin A$，则实数$a$的取值范围是$1\leq a<2$或$2<a\leq 3$。
3.已知复数$z=\cos(\frac{2\pi}{3})+i\sin(\frac{2\pi}{3})$，则$z^3+z^2=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$。
4.在平面直角坐标系$xOy$中，设$F_1$，$F_2$分别是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的左、右焦点，$P$是双曲线右支上一点，$M$是$PF_2$的中点，且$OM\perp PF_2$，$3PF_1=4PF_2$，则双曲线的离心率为$5$。
5.定义区间$[x_1,x_2]$的长度为$x_2-x_1$。
若函数$y=\log_2x$的定义域为$[a,b]$，值域为$[0,2]$，则区间$[a,b]$的长度的最大值与最小值的差为$3$。
6.若关于$x$的二次方程$mx^2+(2m-1)x-m+2=0(m>0)$的两个互异的根都小于$1$，则实数$m$的取值范围是$\left(\frac{3+\sqrt{7}}{4},+\infty\right)$。
7.若$\tan4x=\frac{3\sin4x\sin2x\sinx}{\cos8x\cos4x\cos4x\cos2x\cos2x\cos x\cos x}$，则$\sin^2x+\sin^24x+\sin^28x=3$。
全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷1
全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、选择题(本题满分36分，每小题6分)本题共有6小题，每题均给出A 、B 、C 、D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的．请将正确答案的代表字母填在题的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分．1．已知数列{an}的通项公式an ＝，则{an}的最大项是 （ ） A ．a1 B ．a2 C ．a3 D ．a42．函数y ＝3 |log 3x|的图象是 （ ） A ．B ．C ．D ．3．已知抛物线y2＝2px ，O 是坐标原点，F 是焦点，P 是抛物线上的点，使得△POF 是直角三角形，则这样的P 点共有 （ ） A ．0个 B ．2个 C ．4个 D ．6个4．设f(x)是定义在R 上单调递减的奇函数，若x1＋x2＞0，x2＋x3＞0，x3＋x1＞0，则（ ）A ．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＞0B ．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＜0C ．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＝0D ．f(x1)＋f(x2)＞f(x3)5．过空间一定点P 的直线中，与长方体ABCD －A1B1C1D1的12条棱所在直线所成等角的直线共有 （ ） A ．0条 B ．1条 C ．4条 D ．无数多条6．在△ABC 中，tanA ＝，cosB ＝,10)．若的最长边为1，则最短边的长为 （ ） A ．,5)B ．,5)C ．,5)D ．,5)二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本小题共有6小题，要求直接将答案写在横线上．7．集合A ＝｛x|x ＝3n ，n ∈N ，0＜n ＜10｝，B ＝｛y|y ＝5m ，m ∈N ，0≤n≤6｝则集合A ∪B 的所有元素之和为__________________．8．设cos2θ＝,3)，则cos4θ＋sin4θ的值是__________________． 9．(x －3x2)3的展开式中，x5的系数为__________________．10．已知⎩⎪⎨⎪⎧y≥0，3x －y≥0，x ＋3y －3≤0，则x2＋y2的最大值是__________________．11．等比数列{an}的首项为a1=，公比q ＝－，设f(n)表示这个数列的前n 项的积，则当n ＝_________________时，f(n)有最大值．12．长方体ABCD －A1B1C1D1中，已知AB1＝4，AD1＝3，则对角线AC1的取值范围是______________________________．三、解答题（本题满分60分，第13题，第14题各12分，第15题16分，第16题20分）13．设集合A ＝｛x|log 12(3－x)≥－2｝，B ＝｛x|≥1｝，若A∩B ＝，求实数a 的取值范围．14．椭圆＋＝1的有焦点为F ，P1，P2，…，P24为24个依逆时针顺序排列在椭圆上的点，其中P1是椭圆的右顶点，并且∠P1FP2＝∠P2FP3＝∠P3FP4＝…＝∠P24FP1，若这24个点到右准线的距离的倒数和为S ，求S 的值．15．△ABC 中，AB ＜AC ，AD 、AE 分别是BC 边上的高和中线，且∠BAD ＝∠EAC ．证明是直角．16．设p 是质数，且p2＋71的不同正因数的个数不超过10个，求p ．全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、选择题(本题满分36分，每小题6分)本题共有6小题，每题均给出A 、B 、C 、D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的．请将正确答案的代表字母填在题的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分．1．已知数列{an}的通项公式an ＝，则{an}的最大项是 （ ） A ．a1 B ．a2 C ．a3 D ．a4解：an ＝1(n －2)2＋1，当n ＝2时，an 取最大值，故选B ．2．函数y ＝3的图象是 （ ）A ．B ．C ．D ．解：由于|log3x|≥0，故y≥1，只有A 满足此条件，故选A ．A B C D Ex Oy x O y x O y xO y3．已知抛物线y2＝2px ，O 是坐标原点，F 是焦点，P 是抛物线上的点，使得△POF 是直角三角形，则这样的P 点共有 （ ） A ．0个 B ．2个 C ．4个 D ．6个解：作垂直于x 轴的焦点弦交抛物线于点P1、P2，则△P1OF 、△P2OF 是直角三角形．对于抛物线上异于O 、P1、P2的点Q ，显然∠QFO≠90˚，∠QOF≠90˚，从而若△QOF 为直角三角形，则只能是∠FQO ＝90˚．设点Q 坐标为(y22p，y)(y≠0，±p)，则有y22p (y22p －p2)＋y2＝0， 由y≠0得，y22p ＋3p2＝0，此方程无实解，从而这样的点P 只能2个，选B ．4．设f(x)是定义在R 上单调递减的奇函数，若x1＋x2＞0，x2＋x3＞0，x3＋x1＞0，则（ ）A ．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＞0B ．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＜0C ．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＝0D ．f(x1)＋f(x2)＞f(x3)解：则x1＞－x2，知f(x1)＜f(－x2)＝－f(x2)f(x1)＋f(x2)＜0； 同理，f(x2)＋f(x3)＜0，f(x3)＋f(x1)＜0； 所以，f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＜0．选B ．5．过空间一定点P 的直线中，与长方体ABCD －A1B1C1D1的12条棱所在直线所成等角的直线共有 （ ） A ．0条 B ．1条 C ．4条 D ．无数多条解：首先，过角的顶点与角的两边成等角的直线在角所在平面的射影是角(或其外角)的平分线．故若以长方体的过一个顶点的三个平面为坐标平面建立空间坐标系，则方程|x|＝|y|＝|z|共有8解，此8解共组成4条直线，故选C ．6．在△ABC 中，tanA ＝，cosB ＝,10)．若的最长边为1，则最短边的长为 （ ） A ．,5)B ．,5)C ．,5)D ．,5)解：作辅助图如右：取高CD ＝a ，则AD ＝2a ，BD ＝3a ，最短边AC ＝5a ；由5a ＝1，得a ＝，故选D ．二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本小题共有6小题，要求直接将答案写在横线上．7．集合A ＝｛x|x ＝3n ，n ∈N ，0＜n ＜10｝，B ＝｛y|y ＝5m ，m ∈N ，0≤n≤6｝则集合A ∪B 的所有元素之和为__________________．解：A∩B ＝{15}；故所求和＝(3＋6＋…＋27)＋(0＋5＋…＋30)－15＝225． 8．设cos2θ＝,3)，则cos4θ＋sin4θ的值是__________________． 解：已知即cos2θ－sin2θ＝,3)cos4θ＋sin4θ－2cos2θsin2θ＝； ① 又，cos2θ＋sin2θ＝1cos4θ＋sin4θ＋2cos2θsin2θ＝1． ② (①＋②)÷2： cos4θ＋sin4θ＝．9．(x －3x2)3的展开式中，x5的系数为__________________． 解：(x －3x2)3＝x3－3x2×3x2＋3x×9x4－27x6．x5 的系数＝27．10．已知⎩⎪⎨⎪⎧y≥0，3x －y≥0，x ＋3y －3≤0，则x2＋y2的最大值是__________________．A B D C3a 2a a1321Oyx解：满足条件的点集组成的图形为图中阴影部分及其边界．其中点(3，0)与原点距离最大，故(x2＋y2)max ＝9．11．等比数列{an}的首项为a1=，公比q ＝－，设f(n)表示这个数列的前n 项的积，则当n＝_________________时，f(n)有最大值． 解：由于f(4k)＞0，f(4k ＋1)＞0，(k ∈N*)．f(4k)＝a 4k 1 q2k(4k －1)；f(4k ＋1)＝a 4k ＋11q2k(4k ＋1)．故＝a1q4k ．于是f(12)＞f(13)，且当k≥3时，f(4k ＋1)＜f(4k)；又＝a 31q30，有f(9)＜f(12)； ＝a 41q2(8k ＋3)， 故f(8)＜f(12)，且k≥3时，f(4k ＋4)＜f(4k)， 从而f(12)最大．12．长方体ABCD －A1B1C1D1中，已知AB1＝4，AD1＝3，则对角线AC1的取值范围是______________________________．解：设长方体的三度分别为x ，y ，z ，对角线AC ＝d ．则可得x2＋z2＝16，y2＋z2＝9．d2＝x2＋y2＋z2＝25－z2，但0＜z ＜3，从而16＜d2＜254＜d ＜5所求取值范围为(4，5)．三、解答题（本题满分60分，第13题，第14题各12分，第15题16分，第16题20分）13．设集合A ＝｛x|log 12(3－x)≥－2｝，B ＝｛x|≥1｝，若A∩B ＝，求实数a 的取值范围．解：由log 12(3－x)≥－20＜3－x≤4－1≤x ＜3．由≥1(x －a)(x －3a)≤0．① 当a ＞0时，解为a ＜x ＜3a ； ② 当a ＝0时，解为；③ 当a ＜0时，解为3a ＜x ＜a ．若A∩B≠，则当a ＜0时，有a ＞－1－1＜a ＜0；当a ＞0时，有3a ＜30＜a ＜1． 所以，a 的取值范围为(－1，0)∪(0，1)．14．椭圆＋＝1的有焦点为F ，P1，P2，…，P24为24个依逆时针顺序排列在椭圆上的点，其中P1是椭圆的右顶点，并且∠P1FP2＝∠P2FP3＝∠P3FP4＝…＝∠P24FP1，若这24个点到右准线的距离的倒数和为S ，求S 的值． 解法一：已知椭圆的a ＝3，b ＝2，c ＝5，e ＝53，p ＝b2c ＝45． 对于椭圆上任一点P ，|FP|＝r ，P 到准线的距离|PH|＝d ，FP 与Ox 正向夹角为θ，则有rcosθ＋d ＝p ，rd＝e ．于是， d(1＋ecosθ)＝p ，1d ＝1p(1＋ecosθ)．pF P OxyH r d所以， S ＝i ＝1∑241di ＝1p i ＝1∑24(1＋ecosθ)＝24p ＋e p i ＝1∑24cosθ＝24p ．故 S2＝242p2＝180．解法二：设过焦点且斜率为k 的直线交椭圆于A 、B 两点．则有⎩⎨⎧y ＝k(x －c)， ①4x2＋9y2＝36． ②①代入②： 4x2＋9k2(x －5)2－36＝0．即， (4＋9k2)x2－185xk2＋45k2－36＝0．所以， x1＋x2＝185k24＋9k2，x1x2＝45k2－364＋9k2．而点P 到准线距离d ＝a2c －x ＝9－5x 51d ＝59－5x ，故直线①与椭圆的两个交点到准线距离的倒数和为59－5x1＋59－5x2＝5[18－5(x1＋x2)]81－95(x1＋x2)＋5x1x2＝5[18－5·185k24＋9k2]81－95·185k24＋9k2＋545k2－364＋9k2＝185(4＋9k2)－905k281(4＋9k2)－810k2＋225k2－180＝725＋725k2144＋144k2＝52．而过焦点且倾斜角θ＝90˚时，两交点到准线的距离＝a2c －c ＝45，故θ＝90˚及270˚的两个点到准线距离倒数和也＝52． 所以，S ＝12×52＝65；S2＝180．解法三：令⎩⎨⎧x ＝5＋tcosθ，y ＝tsinθ．代入椭圆方程得，t2(4cos2θ＋9sin2θ)＋85tcosθ－16＝0．同上．15．△ABC 中，AB ＜AC ，AD 、AE 分别是BC 边上的高和中线，且∠BAD ＝∠EAC ．证明是直角．证明一：延长AE 到F ，使EF ＝AE ，延长AD 到K ，使DK ＝AD ．连FK ，FB ．因FB ∥AC ∠AFB ＝∠EAC ．又BD 垂直平分AK ，故∠AKB ＝∠BAD ，因∠BAD ＝∠EAC ，所以∠AKB ＝∠AFB ．所以A 、F 、K 、B 四点共圆． FK ∥BC ∠FKA ＝90˚．故AF 为该圆直径．E 为此圆圆心．A B C D E FK故EA ＝EB ＝EC ，即点C 在此圆上．此圆为△ABC 的外接圆，BC 为圆的直径． 所以∠BAC 为直角．证明二：取△ABC 的外接圆，延长AE 交圆于点F ，连FB ，则∠CBF ＝∠CAF ＝∠BAD ，但∠BAD ＋∠ABD ＝90˚，从而∠FBC ＋∠ABC ＝90˚，即∠ABF ＝90˚． 从而AF 为圆的直径．若E 不是圆心，则AF ⊥BC ，AB ＝AC ．与已知矛盾．故E 为外心．从而∠BAC ＝90˚．证明三：作△ABC 的外接圆，作EF ⊥BC ，交外接圆于点F ，连AF ．则EF 是BC 的垂直平分线，故F 为⌒BC 的中点，于是AF 是∠BAC的平分线．由∠BAD ＝∠EAC ，得∠DAF ＝∠EAF ．又，EF ∥AD ，故∠DAF ＝∠EFA ∠EAF ＝∠EFA ．EA ＝EF ．故AF 的垂直平分线经过点E ．由于△ABC 的外接圆圆心应是弦AF 、BC 的垂直平分线的交点，故E 为△ABC 的外心．从而△ABC 为直角三角形，得，∠BAC 为直角．证明四：取AC 中点F ，连DF 、EF ， 由EF ∥AB ∠AEF ＝∠EAB ＝∠BAD ＋∠DAE ＝∠EAC＋∠DAE ＝∠DAC ，由AD 为高，故∠DAC ＝∠ADF ，所以，∠ADF ＝∠AEF A 、D 、E 、F 四点共圆．于是有∠EFA ＝90˚，从而∠BAC ＝90˚，故证．证明五：以D 为原点，BC 所在直线为x 轴建立坐标系．设点A 、B 、C 的坐标分别为A(0，a)，B(b ，0)，C(0，c)．设AB 到AD 的角为α，则tanα＝－ba ．kAC ＝－a c ，kAE ＝－2ab ＋c ，tan ∠EAC ＝－a c ＋2a b ＋c 1＋2a2c(b ＋c)＝a(c －b)2a2＋bc ＋c2．由tan ∠EAC ＝tanα－ba ＝a(c －b)2a2＋bc ＋c2．化简得a2＝－bc ．即|AD|2＝|DB|·|DC|．故△ABC 为直角三角形．证明六：设BC ＝a ，BD ＝p ，AD ＝h ，则tanB ＝hp ，tan ∠AEB ＝h 12a －p ＝2ha －2p ．FED CBAxyA (0,a )B (b ,0)C (c ,0)D EahpABCEDFD E C B A∠BAE ＝∠DACtan ∠BAE ＝tan ∠DAC ＝a －ph．在△ABE 中，有h p ＋2ha －2p ＋a －p h ＝h p ·2h a －2p ·a －p h ＝2h(a －p)p(a －2p)．即h2(a －2p)＋2ph2＋p(a －p)(a －2p)＝2h2(a －2p)．h2＝p(a －p)．从而|AD|2＝|DB|·|DC|．故△ABC 为直角三角形．得证．证明七：设∠BAD ＝∠EAC ＝α，则AD ＝ABcosα＝ACsinC ， ①∠BAE ＝∠DAC ＝90˚－C ．而S △BAE ＝S △CAE AB·AEsin(90˚－C)＝AC·AEsinαABcosC ＝ACsinα．②①×②：sin2α＝sin2C α＋C ＝90˚或α＝C ．若α＋C ＝90˚，则D 、E 重合，与AC ＞AB 矛盾，α＝C ．则有∠BAC ＝90˚，得证．16．设p 是质数，且p2＋71的不同正因数的个数不超过10个，求p ． 解 p ＝2时，p2＋71＝75＝3×52，d(75)＝2×3＝6＜10，故p ＝2是本题的解； p ＝3时，p2＋71＝80＝24×5，d(80)＝5×2＝10≤10，故p ＝3是本题的解； 若质数p ＞3，则p2≡1(mod 8)p2＋71≡0(mod 8)，故23|p2＋71； p2≡1(mod 3)p2＋71≡0(mod 3)，故3|p2＋71．所以，p2＋71＝2α×3β×t ．其中α、β∈N*，且α≥3．当α＝3，β＝1，t 若有大于3的质因子，则d(p2＋71)≥4×2×2，故t ＝1．此时无质数p 满足题意；当α＝4，β＝1，必有t ＝1，此时有d(p2＋71)≥5×2＝10．此时无质数p 满足题意； 当α≥4，β≥1，且等号不同时成立时，d(p2＋71)＞10． 综上可知，解为p ＝2，3．高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十)空间几何体的结构特征及三视图和直观图1．(·青岛摸底)如图，在下列四个几何体中，其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是( )A．②③④B．①②③C．①③④D．①②④2．有下列四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．其中真命题的个数是( )A．1B．2C．3D．43．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )4．如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是( )5.如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是( )A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形6．(·东北三校一模)一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为( )A．2＋3B．1＋3C．2＋23D．4＋37．(·昆明一中二模)一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为1，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的________．(填入所有可能的图形前的编号) 2①锐角三角形；②直角三角形；③四边形；④扇形；⑤圆8．(·安徽名校模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．9．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为3，其正视图(主视图)和侧视图(左视图)是全等的等腰三角形，则正视图的周长为________．10．已知：图1是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图2是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．11．(·银川调研)正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少？12．(·四平模拟)已知正三棱锥V－ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积．1．(·江西八所重点高中模拟)底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其正视图有最大面积时，其侧视图的面积为( )A．23B．3C.3D．42．(·深圳模拟)如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面ABE，已知AB＝2，AE＝BE＝3，且当规定正视方向垂直平面ABCD时，该几何体的侧视图的面积为22.若M，N分别是线段DE，CE上的动点，则AM＋MN＋NB的最小值为________．3．一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图1和2所示，其中正视图、侧视图均为边长为a的正方形．(1)请在图2指定的框内画出多面体的俯视图；(2)若多面体底面对角线AC，BD交于点O，E为线段AA1的中点，求证：OE∥平面A1C1C；(3)求该多面体的表面积．[答题栏]A级1._________2._________3._________4._________5._________6._________B级 1.______2.______ 7.__________8.__________9.__________答案高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十)A级1．A2.A3.C4.B5．选B由斜二测画法知B正确．6．选D依题意得，该几何体的侧视图的面积等于22＋12×2×3＝4＋ 3.7．解析：如图1所示，直三棱柱ABE－A1B1E1符合题设要求，此时俯视图△A BE是锐角三角形；如图2所示，直三棱柱ABC－A1B1C1符合题设要求，此时俯视图△ABC是直角三角形；如图3所示，当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时，所得直四棱柱ABCD－A1B1C1D1符合题设要求，此时俯视图(四边形ABCD)是正方形；若俯视图是扇形或圆，体积中会含有π，故排除④⑤.答案：①②③8．解析：结合三视图可知，该几何体为底面边长为2、高为2的正三棱柱除去上面的一个高为1的三棱锥后剩下的部分，其直观图如图所示，故该几何体的体积为12×2×2sin60°×2－13×12×2×2sin60°×1＝533.答案：5339.解析：由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF ，其中E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接AO ，易得AO ＝2，而PA ＝3，于是解得PO ＝1，所以PE ＝2，故其正视图的周长为2＋2 2.答案：2＋2210．解：图1几何体的三视图为：图2所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体． 11．解：如图所示，正四棱锥S －ABCD 中， 高OS ＝3，侧棱SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝7， 在Rt △SOA 中，OA ＝SA2－OS2＝2，∴AC ＝4. ∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2 2. 作OE ⊥AB 于E ，则E 为AB 中点． 连接SE ，则SE 即为斜高， 在Rt △SOE 中，∵OE ＝12BC ＝2，SO ＝3，∴SE ＝5，即侧面上的斜高为 5.12．解：(1)三棱锥的直观图如图所示． (2)根据三视图间的关系可得BC ＝23， ∴侧视图中VA ＝42－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32×232＝12＝23，∴S △VBC ＝12×23×23＝6.B 级1．选A 当正视图的面积达最大时可知其为正三棱柱某个侧面的面积，可以按如图所示位置放置，此时侧视图的面积为2 3.2．解析：依题意得，点E 到直线AB 的距离等于32－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝2，因为该几何体的左(侧)视图的面积为12·BC ×2＝22，所以BC ＝1，DE ＝EC ＝DC ＝2.所以△DEC 是正三角形，∠DEC ＝60°，tan ∠DEA ＝AD AE ＝33，∠DEA ＝∠CEB ＝30°.把△DAE ，△DEC 与△CEB 展在同一平面上，此时连接AB ，AE ＝BE ＝3，∠AEB ＝∠DEA ＋∠DEC ＋∠CEB ＝120°，AB2＝AE2＋BE2－2AE ·BEcos120°＝9，即AB ＝3，即AM ＋MN ＋NB 的最小值为3.答案：33．解：(1)根据多面体的直观图、正视图、侧视图，得到俯视图如下：(2)证明：如图，连接AC ，BD ，交于O 点，连接OE. ∵E 为AA1的中点，O 为AC 的中点， ∴在△AA1C 中，OE 为△AA1C 的中位线． ∴OE ∥A1C.∵OE ⊄平面A1C1C ，A1C ⊂平面A1C1C ， ∴OE ∥平面A1C1C.(3)多面体表面共包括10个面，SABCD ＝a2， SA1B1C1D1＝a22，S △ABA1＝S △B1BC ＝S △C 1DC ＝S △ADD1＝a22，S △AA1D1＝S △B1A1B ＝S △C1B1C ＝S △DC1D1 ＝12×2a 2×32a 4＝3a28， ∴该多面体的表面积S ＝a2＋a22＋4×a22＋4×3a28＝5a2.高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十八) 直线与圆、圆与圆的位置关系1．(·人大附中月考)设m＞0，则直线2(x＋y)＋1＋m＝0与圆x2＋y2＝m的位置关系为( )A．相切B．相交C．相切或相离D．相交或相切2．(·福建高考)直线x＋3y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于( )A．25B．23C.3D．13．(·安徽高考)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )A．[－3，－1]B．[－1,3]C．[－3,1]D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)4．过圆x2＋y2＝1上一点作圆的切线与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )A.2B.3C．2D．35．(·兰州模拟)若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上仅有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围为( )A．(2＋1，＋∞) B．(2－1, 2＋1)C．(0, 2－1) D．(0, 2＋1)6．(·临沂模拟)已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为( )A.2B.21 2C．22D．27．(·朝阳高三期末)设直线x－my－1＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A、B两点，且弦AB的长为23，则实数m的值是________．8．(·东北三校联考)若a，b，c是直角三角形ABC三边的长(c为斜边)，则圆C：x2＋y2＝4被直线l：ax＋by＋c＝0所截得的弦长为________．9．(·江西高考)过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________．10．(·福州调研)已知⊙M ：x2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点．(1)若|AB|＝423，求|MQ|及直线MQ 的方程；(2)求证：直线AB 恒过定点．11．已知以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点．(1)求证：△AOB 的面积为定值；(2)设直线2x ＋y －4＝0与圆C 交于点M 、N ，若|OM|＝|ON|，求圆C 的方程． 12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x2＋y2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P(0,2)，且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A 、B.(1)求k 的取值范围；(2)是否存在常数k ，使得向量OA ＋OB 与PQ ―→共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．1．已知两圆x2＋y2－10x －10y ＝0，x2＋y2＋6x －2y －40＝0，则它们的公共弦所在直线的方程为________________；公共弦长为________．2．(·上海模拟)已知圆的方程为x2＋y2－6x －8y ＝0，a1，a2，…，a11是该圆过点(3,5)的11条弦的长，若数列a1，a2，…，a11成等差数列，则该等差数列公差的最大值是________．3.(·江西六校联考)已知抛物线C ：y2＝2px(p ＞0)的准线为l ，焦点为F ，圆M 的圆心在x 轴的正半轴上，圆M 与y 轴相切，过原点O 作倾斜角为π3的直线n ，交直线l 于点A ，交圆M 于不同的两点O 、B ，且|AO|＝|BO|＝2.(1)求圆M 和抛物线C 的方程；(2)若P 为抛物线C 上的动点，求PM ―→,·PF ―→,的最小值；(3)过直线l 上的动点Q 向圆M 作切线，切点分别为S 、T ，求证：直线ST 恒过一个定点，并求该定点的坐标．[答 题 栏] A 级1._________2._________3._________4._________5B 级1.______2.______.__________6._________7.__________8.__________9.__________答 案高考数学（文）一轮：一课双测A+B 精练(四十八)A 级1．C2.B3.C4.C5．选A 计算得圆心到直线l 的距离为22＝ 2＞1，如图．直线l ：x －y －2＝0与圆相交，l1，l2与l 平行，且与直线l 的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离2＋1.6．选D 圆心C(0,1)到l 的距离 d ＝5k2＋1，所以四边形面积的最小值为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×d2－1＝2， 解得k2＝4，即k ＝±2. 又k ＞0，即k ＝2.7．解析：由题意得，圆心(1,2)到直线x －my －1＝0的距离d ＝4－3＝1， 即|1－2m －1|1＋m2＝1，解得m ＝±33.答案：±338．解析：由题意可知圆C ：x2＋y2＝4被直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所截得的弦长为24－⎝⎛⎭⎪⎫c a2＋b22，由于a2＋b2＝c2，所以所求弦长为2 3.答案：239．解析：∵点P 在直线x ＋y －22＝0上，∴可设点P(x0，－x0＋22)，且其中一个切点为M.∵两条切线的夹角为60°， ∴∠OPM ＝30°.故在Rt △OPM 中，有OP ＝2OM ＝2.由两点间的距离公式得OP ＝x20＋－x0＋222＝2，解得x0＝ 2.故点P 的坐标是( 2，2)．答案：( 2， 2)10．解：(1)设直线MQ 交AB 于点P ，则|AP|＝223，又|AM|＝1，AP ⊥MQ ，AM ⊥AQ ，得|MP|＝12－89＝13，又∵|MQ|＝|MA|2|MP|，∴|MQ|＝3.设Q(x,0)，而点M(0,2)，由x2＋22＝3，得x ＝±5， 则Q 点的坐标为(5，0)或(－5，0)．从而直线MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.(2)证明：设点Q(q,0)，由几何性质，可知A ，B 两点在以Q M 为直径的圆上，此圆的方程为x(x －q)＋y(y －2)＝0，而线段AB 是此圆与已知圆的公共弦，相减可得AB 的方程为qx －2y ＋3＝0，所以直线AB 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32. 11．解：(1)证明：由题设知，圆C 的方程为 (x －t)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t2＋4t2， 化简得x2－2tx ＋y2－4t y ＝0，当y ＝0时，x ＝0或2t ，则A(2t,0)； 当x ＝0时，y ＝0或4t ，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4t ， 所以S △AOB ＝12|OA|·|OB|＝12|2t|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ＝4为定值．(2)∵|OM|＝|ON|，则原点O 在MN 的中垂线上，设MN 的中点为H ，则CH ⊥MN ， ∴C 、H 、O 三点共线，则直线OC 的斜率 k ＝2t t ＝2t2＝12，∴t ＝2或t ＝－2. ∴圆心为C(2,1)或C(－2，－1)，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5或(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5，由于当圆方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5时，直线2x ＋y －4＝0到圆心的距离d ＞r ，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.12．解：(1)圆的方程可写成(x －6)2＋y2＝4，所以圆心为Q(6,0)．过P(0,2)且斜率为k 的直线方程为y ＝kx ＋2，代入圆的方程得x2＋(kx ＋2)2－12x ＋32＝0，整理得(1＋k2)x2＋4(k －3)x ＋36＝0.①直线与圆交于两个不同的点A 、B 等价于Δ＝[4(k －3)]2－4×36(1＋k2)＝42(－8k2－6k)>0，解得－34<k<0，即k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0. (2)设A(x1，y1)、B(x2，y2) 则OA ＋OB ＝(x1＋x2，y1＋y2)， 由方程①得x1＋x2＝－4k －31＋k2.②又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋4.③因P(0,2)、Q(6,0)，PQ ＝(6，－2)，所以OA ＋OB 与PQ 共线等价于－2(x1＋x2)＝6(y1＋y2)，将②③代入上式， 解得k ＝－34.而由(1)知k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0，故没有符合题意的常数k. B 级1．解析：由两圆的方程x2＋y2－10x －10y ＝0，x2＋y2＋6x －2y －40＝0，相减并整理得公共弦所在直线的方程为2x ＋y －5＝0.圆心(5,5)到直线2x ＋y －5＝0的距离为105＝25，弦长的一半为50－20＝30，得公共弦长为230.答案：2x ＋y －5＝02302．解析：容易判断，点(3,5)在圆内部，过圆内一点最长的弦是直径，过该点与直径垂直的弦最短，因此，过(3,5)的弦中，最长为10，最短为46，故公差最大为10－4610＝5－265. 答案：5－2653．解：(1)易得B(1，3)，A(－1，－3)，设圆M 的方程为(x －a)2＋y2＝a2(a ＞0)，将点B(1，3)代入圆M 的方程得a ＝2，所以圆M 的方程为(x －2)2＋y2＝4，因为点A(－1，－3)在准线l 上，所以p2＝1，p ＝2，所以抛物线C 的方程为y2＝4x.(2)由(1)得，M(2,0)，F(1,0)，设点P(x ，y)，则PM ,＝(2－x ，－y)，PF ,＝(1－x ，－y)，又点P 在抛物线y2＝4x 上，所以PM ,·PF ,＝(2－x)(1－x)＋y2＝x2－3x ＋2＋4x ＝x2＋x ＋2，因为x ≥0，所以PM ,·PF ,≥2，即PM ,·PF ,的最小值为2.(3)证明：设点Q(－1，m)，则|QS|＝|QT|＝m2＋5，以Q 为圆心，m2＋5为半径的圆的方程为(x ＋1)2＋(y －m)2＝m2＋5，即x2＋y2＋2x －2my －4＝0，①又圆M 的方程为(x －2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x ＝0，② 由①②两式相减即得直线ST 的方程3x －my －2＝0，显然直线ST 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0.。
2017年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及答案
2017年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及答案一、填空题（本题共10小题，每小题7分，共70分）1.已知向量((),AP PB ==u u u r u u u r ，则向量AP u u u r 与AB u u u r的夹角等于 ．答案：4π 2.已知集合()(){}|10A x ax a x =-->，且,3a A A ∈∉，则实数a 的取值范围是 ． 答案：(]11,2,3.32⎡⎫⎪⎢⎣⎭U3.已知复数2cos sin33z i ππ2=+，其中i 是虚数单位，则32z z += ．答案：1.24.在平面直角坐标系xOy 中，设12,F F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左，右焦点，P是双曲线右支上一点，M 是2PF 的中点，且212,34OM PF PF PF ⊥=，则双曲线的离心率为 ．答案：5．5.定义区间[]12,x x 的长度为21x x -．若函数2log y x =的定义域为[],a b ，值域为[]0,2，则区间[],a b 的长度的最大值与最小值的差为 ． 答案：3.6.若关于x 的二次方程()()221200mx m x m m +--+=>的两个互异的根都小于1，则实数m 的取值范围是 ．答案：.⎫+∞⎪⎪⎝⎭7.若tan 4x sin 4sin 2sin sin cos8cos4cos4cos2cos2cos cos x x x xx x x x x x x+++= ．8.棱长为2的正方体ABCD -1111A B C D 在空间坐标系O -xyz 中运动，其中顶点A 保持在z 轴上，顶点1B 保持在平面xOy 上，则OC 长度的最小值是 ．9.设数列12321,,,,a a a a L 满足：()111,2,3,,20n n a a n +-==L ，1721,,a a a 成等比数列．若1211,9a a ==，则满足条件的不同的数列的个数为 ．答案：15099．10.对于某些正整数n ，分数2237n n ++不是既约分数，则n 的最小值是 ．答案：17. 二、解答题：（本大题共4小题，每小题20分，共80分） 11.设数列{}n a 满足：①11a =，②0n a >，③2*11,.1n n n na a n N na ++=∈+ 求证：（1）数列{}n a 是递增数列；（2）对如图任意正整数n ，111.nn k a k=<+∑证明：（1）因为2111111,11n n n n n n n na a a a a na na ++++++-=-=++且0n a >， 所以10n n a a +->．所以*1,.n n a a n N +>∈ 所以数列{}n a 是递增数列． （2）因为111111,1n n n n n n a a a a na na n+++++-=<=+所以当2n ≥时，()()()112211111111122111.n n n n n nk a a a a a a a a n n k ---==-+-++-+<+++++--<+∑L L又1111,a =<+所以对任意正整数n ，111.nn k a k=<+∑12.在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>，直线:30.l x y a +-=若椭圆E，原点O 到直线l的距离为 （1）求椭圆E 与直线l 的方程；（2）若椭圆E 上三点()(),0,,,0P A b B a 到直线l 的距离分别为123,,d d d ， 求证：123,,d d d 可以是某三角形三条边的边长．解：（1）由题设条件得222,ca b c a =⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎪⎩，从而2,1.a b =⎧⎨=⎩故所求的椭圆22:14x E y +=．直线:60.l x y +-=（2）设()2cos ,sin P θθ，则16d θϕ-+=其中tan 2.ϕ=1d ≤≤又23d d === 故21.d d>因为231,d d d +=+>≥131.d d d +≥= 所以123,,d d d 可以是某个三角形的三条边的边长．13.如图，圆O 是四边形ABCD 的内切圆，切点分别为,,,,P Q R S OA 与PS 交于点1,A OB 与PQ 交于点1B ，OC 与QR 交于点1C ，OD 与SR 交于点1D ．求证：四边形1111A B C D 是平行四边形．证明：连接,.PR QS因为圆O 是四边形ABCD 的内切圆，所以OA 是SAP ∠的平分线，且.AP AS = 在△ASP 中，由三线合一，点1A 是线段PS 的中点． 同理点1B 是线段PQ 的中点，所以11//A B SQ ．OD 1C 1B 1A 1SRQPDCBAOD 1C 1B 1A 1SRQPDCBA同理1111//A D B C ．所以四边形1111A B C D 是平行四边形． 14.求满足373x x y y -=-的所有素数x 和.y 解：满足题设条件的素数只有5, 2.x y == 假设5,y ≥则()736365365436543265206706152015611.y y y y y y y y y y y y y y y y y y -≥-≥+-≥++->++++++=+ 所以，()633731,x x x y y y >-=->+即()21.x y >+又因为()()()37332|111x x x y y y y y y -=-=-++，且x 为素数， 而()221111,y y y y y x -<<+<+<+<从而()()()32\|111,x y y y y -++ 这与73|x y y -矛盾．所以 5.y <因为y 是素数，所以2,y =或 3.y =当2y =时，3120x x -=，即()()255240,x x x -++=所以 5.x = 当3y =时，343216023 5.x x -==⋅⋅ 所以2,x =或3x =，或 5.x =经检验，2x =，或3x =，或5x =时，34323 5.x x -≠⋅⋅ 所以满足条件的素数只有5, 2.x y ==。
2017年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案
36t2(t2＋12) 1 ， 不妨设 k＞0， 令 t＝k＋ ，则 t≥2，可化得 PQ2＝ k (3t2＋4)2 6t t2＋12 ． 即 PQ＝ 3t2＋4 设 B(x0，y0)，则切点弦 PQ 的方程是 x0x＋3y0y＝3． k2－1 1 x－ 上，所以 y0＝－2． 又 P，Q 在 l：y＝ 2 4k 3(k2－1) ． 从而 x0＝ 2k k2－1 2 3( ) ＋12 k 3t2 所以 B 到 PQ 的距离 d＝ ＝ ． 2 k －1 2 2 t2＋12 2 ( ) ＋16 k 6t t2＋12 1 9t3 1 3t2 因此△BPQ 的面积 S＝ ×d×PQ＝ × × ＝ ． 2 2 2 t2＋12 2(3t2＋4) 3t2＋4 ……………………………… 16 分 1 1 9 令 u＝ ，则 0＜u≤ ，化得 S＝ ． t 2 2(4u3＋3u) 1 当 0＜u≤ 时，4u3＋3u 递增． 2 9 1 所以 0＜4u3＋3u≤2，即 S≥ ，当且仅当 u＝ ，即 t＝2，k＝1 时，等号成立． 4 2 9 ． 故△BPQ 的面积 S 的取值范围是 [ ，＋∞） 4 四、解答题（本题满分 20 分） 1 1 设函数 fn(x)＝1＋x＋ x2＋…＋ xn． 2! n! （1）求证：当 x∈(0，＋∞) ，n∈N* 时，ex ＞ fn(x)； （2）设 x＞0，n∈N*．若存在 y∈R 使得 ex ＝ fn(x)＋ 解： （1）用数学归纳法证明如下： (i) 当 n＝1 时，令 f(x)＝ex－f1(x)＝ex－x－1，则 f ′(x)＝ex－1＞0，x∈(0，＋∞)恒成立， 所以 f(x)在区间(0，＋∞)为增函数． 又因为 f(0)＝0，所以 f(x)＞0，即 ex＞f1(x)． ……………………………… 5 分 1 xn+1ey，求证：0＜y＜x． (n+1)! ………………………… 20 分
(数学)2017年全国高中数学联赛江苏复赛试题+Word版含答案
(数学)2017年全国高中数学联赛江苏复赛试题+Word版含答案2017年全国高中数学联赛江苏赛区复赛一、填空题（每题8分，满分64分，将答案填在答题纸上）1.若数列{}na 满足*+∈+==N n a a a an n n ,232,2111，则2017a 的值为 ． 2.若函数()()()bax x xx f ++-=221对于任意R x ∈都满足()()x f x f -=4，则()x f 的最小值是 ．3.在正三棱柱111C B A ABC -中，E D ,分别是侧棱11,CC BB 上的点，BD BC EC 2==，则截面ADE 与底面ABC 所成的二面角的大小是 ．4.若13cos 2cos cos 3sin 2sin sin =+x x x x x x ，则=x ．5. 设y x ,是实数，则9422244+++y x y x 的最大值是 ． 6. 设ΛΛΛ,3,2,1,,,2121=+++=∈+++=*m a a a S N n n a m m n ,则201721,,,S S S Λ中能被2整除但不能被4整除的数的个数是 ．7. 在直角平面坐标系xOy 中，21,F F 分别是双曲线()01222>=-b by x 的左、右焦点，过点1F 作圆122=+y x的切线，与双曲线左、右两支分别交于点B A ,，若ABB F =2，则b 的值是 ．8. 从正1680边形的顶点中任取若干个，顺次相连成多边形，其中正多边形的个数为 ． 二、解答题 9.已知R y x ∈,，且yx y x ≠=+,222，求()()2211y x y x -++的最小值.10.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆13:22=+y x C 的上顶点为A ，不经过点A 的直线l 与椭圆C 交于Q P ,两点，且.0=⋅（1）直线l 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.（2）过Q P ,两点分别作椭圆的切线，两条切线交于点B ，求BPQ ∆面积的取值范围.11.设函数().!1!2112n nx n xx x f ++++=Λ（1）求证：当()*∈+∞∈N n x ,,0时，()x f en x>；（2）设*∈>N n x ,0，若存在R y ∈使得()()yn n xe x n xf e1!11+++=，求证：.0x y <<2017年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准加试1. 已知圆O 的内接五边形ABCDE 中AD 与BE 相交于点CF F ,的延长线交圆O 于点P ，且.ED BC CD AB ⋅=⋅ 求证：.AE OP ⊥2.设y x ,是非负实数，22,+++=+=y x b y x a ，若b a ,是两个不相邻的整数，求b a ,的值，3.平面上n 2个点()N n n ∈>,1，无三点共线，任意两点间连线段，将其中任意12+n条线段染成红色.求证：三边都为红色的三角形至少有n 个.4.设n 为正整数，nn ban =++++131211Λ， 其中nnb a ,为互素的正整数，对素数p ，令集合{}np a p N n n S ,*∈=，证明：对每一个素数5≥p ，集合pS 中至少有三个元素.试卷答案1.302612. 16-3. 0454.Z k k ∈,π5.146.2527.1+8.3432二、解答题9.解：因为222=+y x ，所以()()422=-++y x y x ，所以()()()()()()()222222114111y x y x y x y x y x y x -++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=-++().111412=+≥当0,2==y x 时，()().11122=-++y x y x所以()()2211y x y x -++的最小值为.110.解：（1） 因为0=⋅，所以.⊥ 直线AQ AP ,与x 轴平行时，P 或Q 与A 重合，不合题意.设1:+=kx y PA ，则.11:+-=x k y QA 将1+=kx y 代入3322=+y x ，得().063122=++kx xk所以2262, 1.1313PPk xy k k =-=-++同理.361,3622+-=+=k y k k xQQ所以，直线:P PQPQ Py y x x l y yx x --=--,即()()()()()()kx k k x k y k y k l QQ63163121312131:2222++++=-++-++， 化简得.2141:2--=x k k y l直线l 纵截距是常数21-，故直线l 过定点.21,0⎪⎭⎫ ⎝⎛- （2）由 （1） ，223116kk k AP ++=，同理，.31622++=k k AQ 所以()()()()()()()()222222222222222223313131363131136+++++⋅+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++⋅+=k k k k k k k k k k PQ()()().3103115151362242462++++++=k kk k k k不妨设0>k ，令kk t 1+=，则2≥t ，可化得()()22222431236++=tt t PQ，即.4312622++=t t t PQ设()0,y x B ，则切点弦PQ 的方程是330=+y y x x ， 又Q P ,在2141:2--=x k k y l 上，所以2-=y，从而().21320kk x -=所以B 到PQ 的距离.122316121213222222+=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t t k k k k d因此的面积().43294312612232121232222+=++⨯+⨯=⨯⨯=t t t t t t t PQ d S令t u 1=，则210≤<u ，化得().34293u u S +=当210≤<u 时，uu343+递增，所以23403≤+<u u，即49≥S ，当且仅当21=u ，即1,2==k t 时，等号成立，故BPQ ∆的面积S 的取值范围是.,49⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞ 11.解： （1） 用数学归纳法证明如下： （ⅰ）当1=n 时，令()()11--=-=x e x f ex f x x，则()()+∞∈>-=',0,01x e x f x 恒成立，所以()x f 在区间()+∞,0为增函数， 又因为()00=f ，所以()0>x f ，即().1x f ex>（ⅱ）假设k n =时，命题成立，即当()+∞∈,0x 时，()x f e k x >，则1+=k n 时，令()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++-=-=++121!11!1!211k k x k x x k x k x x e x f e x g Λ，则()()0!1!2112>-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-='x f e x k x x ex g k x k xΛ，所以()x g 在区间()+∞,0为增函数，又因为()00=g ，所以()()+∞∈>,0,0x x g 恒成立，即()()+∞∈>+,0,1x x f e k x ，所以1+=k n 时，命题成立.由（ⅰ）（ⅱ）及归纳假设可知，*∈∀N n ，当()+∞∈,0x 时，().x f en x>（2）由（1）可知()x f en x1+>，即()()()()11!11!11++++>++n n y n n x n x f e x n x f ，所以1>ye，即0>y ，下证：.x y <下面先用数学归纳法证明：当().,!1!11!211,012*-∈+-++++<>N n e x n x n x x e x x n n x Λ（ⅰ）当1=n 时，令()xxe xe x F -+=1，则()()+∞∈>=',0,0x xe x F x，所以()x F 在区间()+∞,0单调增，又()00=F ，故()0>x F ，即.1x xxe e +<（ⅱ）假设k n =时，命题成立，即当()+∞∈,0x 时，().!1!11!21112k k k xe x k x k x x e+-++++<-Λ则当1+=k n 时，令()()xx k k e e x k x k x x x G -++++++=+12!11!1!211Λ，()()()0!11!11!1!211112>+>-++++++='++x k x x k x k e x k e e x k e x k x x x G Λ，所以()x G 在区间()+∞,0上为增函数，又()00=G ，故()0>x G ，即()()+∞∈++++++<+,0,!11!1!21112x e x k x k x x e x k k x Λ.由（ⅰ）（ⅱ）及归纳假设， 可知当()+∞∈,0x 时，(),!11!1!21112x n n xe x n x n x x e +++++++<Λ对*∈Nn 成立， 所以()()xn n y n n x e x n x n x x e x n x n x x e 1212!11!1!211!11!1!211++++++++<++++++=ΛΛ，从而xye e<即x y <，证毕.复赛加试答案1.证明：连接.,PE PA因为五边形ABCDE 内接于圆O ， 所以EDF ABF DEF BAF ∠=∠∠=∠,, 所以EDF ABF ∆∆~,所以.FD FBED AB = ① 同理，BF PF BC PE =, ② .PFDFPA DC = ③由①⨯②⨯③得.1=⋅⋅PA DCBC PE ED AB 因为ED BC CD AB ⋅=⋅,所以.1=⋅EDDC BC AB 所以PA PE =，即点P 是弧AE 的中点，所以.AE OP ⊥2.解：因为b a ,是不相邻的整数， 所以()()()yy x x y x y x a b -++-+=+-+++=-≤22222.32222222222<=+≤+++++=y y xx由于a b -是整数，所以.2=-a b 设Z n n b n a ∈+=-=,1,1，即122,1+=+++-=+n y x n y x ，则122,1+=+-+--=--n y x y x n y x y x ， 则122,1+-=+-+--=-n yx y x n y x y x ， 于是1122,112+-++=+--+-=n yx n x n y x n x ，从而()()()()()()y x n x n y x n x n -++=++-+-=-221212,112，故()().2121++=+-x n n x n又因为()().2222=-+x x ①令xt =，得()1212++-=+n n t n x ，代入①得()()01212222=-----n n t n n nt ，于是()()()()()()n n n n n n n n n n n n n n t x 221141281412222-+±-=--+-±-==，()()()nn n n n n x n y 22111-+±-=--=，因此，2≥n ，并且()()()211-+≥-n n n n n ， 即0122≤--n n，解之得2121+≤≤-n ，从而212+≤≤n ，且Z n ∈，故.2=n所以.3,1==b a3. 证明：首先证明一定存在红色三角形（三边均为红色的三角形为红色三角形，下同）. 设从顶点A 出发的红色线段最多，由A 引出的红色线段为kAB AB AB ,,,21Λ，则.1+≥n k 若k B B B ,,21Λ中存在两点，不妨设为21,B B 使线段21B B 为红色线段，则21B AB ∆为红色三角形， 若kB B B ,,,21Λ相互之间没有红色线段相连， 则从()k i B i,,2,1Λ=出发的红色线段最多有k n -2条， 所以这n 2个点红色线段最多有()()[]()().142212221222+<=-+≤-=--+-+n n k n k k n k k n k n k k与题设矛盾，所以存在以A 为顶点的红色三角形，下面用数学归纳法证明，（1）当2=n 时，平面上有四个点D C B A ,,,中两两连线共有6条，其中有5条为红色，只有一条非红色，设为,AB 则ACD ∆与BCD 均为红色三角形，命题成立，（2）假设k n =时，命题成立，即至少存在k 个红色三角形，当1+=k n 时，有22+k 个点，且有()112++k 条红色线段， 一定存在一个红色三角形，设为.ABC ∆ 考察从C B A ,,引出的红色线段分别记为()()()C d B d A d ,,条，不妨设()()().C d B d A d ≤≤若()()22+≤+k B d A d ，则除去点B A ,余下的k 2个点之间至少有()()11211222+=+-++k k k ,由归纳假设可知存在至少k 个红色三角形，再加上ABC ∆至少有1+k 个红色三角形， 若()()32+≥+k B d A d ，则()()()53+≥++k C d B d A d , 故从C B A ,,出发向其它12-k 个点引出红色线段至少有13-k 条，因为()().1213k k k =---这()13-k 线段至少有k 对线段有公共点（不包括C B A ,,）故至少存在k 个红色三角形，再加上ABC ∆，则至少有1+k 个红色三角形，所以1+=k n 时命题也成立，由（1）（2）可知，当N n n ∈>,1时，n 2点之间的12+n 条红色线段至少可组成n 个红色三角形.4.证明：引理：设5≥p 为素数，k 为非负整数，令kks t p kp kp kp =-++++++112111Λ， 其中k k s t ,为互素的正整数，那么.2k t p引理的证明： 因为()()()∑∑∑-=-=-=-++⋅+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++=+=111111*********p i p i p i k k i p kp i kp p k i p kp i kp i kp S t ,令()()∑-=-++=111p i i p kp i kp A , 因为素数5≥p ，由Fermat 小定理，以及 ()()p p k k k mod 0121≡-+++Λ,其中 21-≤≤p k ，有()()()()A p kp kp kp p 1121--+++Λ ()()()()()()()∑∑-=---=--≡-++-+++=1122111121p i p p p i p i p i i p kp i kp p kp kp kp Λ ().mod 01131142p i i p i p p i p ≡-≡-≡∑∑-=--=-所以()()()()().1211*-∈=-+++N M pM A p kp kp kp p Λ 即()()()()().12121212--++++=p k k p kp kp kp M p k S t Λ 因为()()()()()11212,1=-+++-p p kp kp kp p Λ， 所以kt p 2，引理证毕， 由引理得，12-p a p ，所以1-p a p ， 从而()p S p p ∈-1， 又∑∑∑∑∑-=---=-=-=-=--+⋅=++==1011101111112121111112p k k k p p p k p i p i p i p p s t b a p i kp i p i ba ，因为k p t p a p 212,-，所以12-p a p 从而.12p S p ∈- 因为()1112-<-<-p p p p ，所以集合p S 中元素至少有3个.。
2017年全国高中数学联赛A卷和B卷试题和答案(word版)全文
可编辑修改精选全文完整版2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数.对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时.)9(log )(2x x f -=.则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x .则y x cos -的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中.椭圆C 的方程为1109:22=+y x .F 为C 的上焦点.A 为C 的右顶点.P 是C 上位于第一象限内的动点.则四边形OAPF 的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1.则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 。
5.正三棱锥P-ABC 中.AB=1.AP=2.过AB 的平面α将其体积平分.则棱PC 与平面α所成角的余弦值为________.6.在平面直角坐标系xOy 中.点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点.则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中.M 是边BC 的中点.N 是线段BM 的中点.若3π=∠A .ABC ∆的面积为3.则AN AM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a .对任意正整数n .有n n n a a a +=++12.n n b b 21=+.则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数.不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数.满足1321=++x x x .求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z .0)Re(2>z .且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）. （1）求)Re(21z z 的最小值； （2）求212122z z z z --+++的最小值.2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图.在ABC ∆中.AC AB =.I 为ABC ∆的内心.以A 为圆心.AB 为半径作圆1Γ.以I 为圆心.IB 为半径作圆2Γ.过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a . ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一.使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同.则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数.n m ≥.n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不相同的正整数.且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x .均存在一个)1(n i i ≤≤.使得x m m x a i )1(2+≥.这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A卷一试答案1.2.3.4.5.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.1.在等比数列{}n a 中.2a =.3a =则1201172017a a a a ++的值为 .2.设复数z 满足91022z z i +=+.则||z 的值为 .3.设()f x 是定义在R 上的函数.若2()f x x +是奇函数.()2xf x +是偶函数.则(1)f 的值为 . 4.在ABC ∆中.若sin 2sin A C =.且三条边,,a b c 成等比数列.则cos A 的值为 .5.在正四面体ABCD 中.,E F 分别在棱,AB AC 上.满足3BE =.4EF =.且EF 与平面BCD 平行.则DEF ∆的面积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中.点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-.在K 中随机取出三个点.则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .7.设a 为非零实数.在平面直角坐标系xOy 中.二次曲线2220x ay a ++=的焦距为4.则a 的值为 .8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥.则数组(,,)a b c 的个数为 .二、解答题 （本大题共3小题.共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.设不等式|2||52|x xa -<-对所有[1,2]x ∈成立.求实数a 的取值范围.10.设数列{}n a 是等差数列.数列{}n b 满足212n n n n b a a a ++=-.1,2,n =.（1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠.并且存在正整数,s t .使得s t a b +是整数.求1||a 的最小值.11.在平面直角坐标系xOy 中.曲线21:4C y x =.曲线222:(4)8C x y -+=.经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45的直线l .与2C 交于两个不同的点,Q R .求||||PQ PR ⋅的取值范围.2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）一、（本题满分40分）设实数,,a b c 满足0a b c ++=.令max{,,}d a b c =.证明：2(1)(1)(1)1a b c d +++≥-二、（本题满分40分）给定正整数m .证明：存在正整数k .使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A .每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同）.满足ab cd m -=.三、（本题满分50分）如图.点D 是锐角ABC ∆的外接圆ω上弧BC 的中点.直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q .BQ 与AC 的交点为X .CP 与AB 的交点为Y .BQ 与CP 的交点为T .求证：AT 平分线段XY .四、（本题满分50分）设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈.1220,,,{1,2,,10}b b b ∈.集合{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<.求X 的元素个数的最大值.一试试卷答案1.答案：89 解：数列{}n a 的公比为33232a q a ==.故120111201166720171201118()9a a a a a a q a a q ++===++. 2.答案：5。
2017-2018年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及答案(20200609100016)
2017-2018年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题（4月20日8:00至10:00）一．填空题（本大题共10小题，每小题7分，共70分）1．若2x ≥，则函数1()1f x x x 的最小值是．2．已知函数()e x f x ．若()2f a b ，则(3)(3)f a f b 的值是．3．已知数列n a 是各项均不为0的等差数列，公差为d ，n S 为前n 项和，且满足221n n a S ，*n N ，则数列n a 的通项n a ．4．若函数2223,0,()2,0x x x f x x ax x ≥是奇函数，则实数a 的值是．5．已知函数10()lg ||3f x x ．若关于x 的方程2()5()60f x f x 的实根之和为m ，则()f m 的值是．6．设、都是锐角，且5cos 5，3sin()5，则cos 等于．7．四面体ABCD 中，3AB ，5CD ，异面直线AB 和CD 之间的距离为4，夹角为o 60，则四面体ABCD 的体积为．8．若满足3ABC ，3AC ，BC m 的ABC △恰有一解，则实数m 的取值范围是．9．设集合1,2,,8S ，A ，B 是S 的两个非空子集，且A 中的最大数小于B 中的最小数，则这样的集合对(,)A B 的个数是．10．如果正整数m 可以表示为224x y (x ，y Z )，那么称m 为“好数”．问1，2，3，…，2017-2018中“好数”的个数为．二．解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11．已知a ，b ，c 为正实数，x y z a b c ，1110x y z ，求abc 的值．12．已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)xy C a b a b 的左右焦点，点B 的坐标为(0,)b ，直线1F B 与双曲线C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ．若21212MF F F ，求双曲线C 的离心率．13．如图，已知ABC 是锐角三角形，以AB 为直径的圆交边AC 于点D ，交边AB上的高CH 于点E ．以AC 为直径的半圆交BD 的延长线于点G ．求证：AG AE ．14．（1）正六边形被3条互不交叉（端点可以重合）的对角线分割成4个三角形．将每个三角形区域涂上红、蓝两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同．怎样分割并涂色可以使红色三角形个数与蓝色三角形个数的差最大？（2）凸2016边形被2013条互不交叉（端点可以重合）的对角线分割成2014个三角形．将每个三角形区域涂上红、栏两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同．在上述分割并涂色的所有情形中，红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最大值是多少？证明你的结论．。
2017-2018学年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷.pdf
（2）因为 an 1 an
an 1 nan 1 1
an 1 nan 1
1
，
n
所以当 n 2 时，
an an an 1
an 1 an 2 L
1
1
L
n1 n 2
n1
1
.
k 1k
11 1
21
a2 a1 a1
又 a1 1 1 1 ，
所以对任意正整数 n ， an 1
n1
.
k 1k
12．解：（ 1）由题设条件得
左、右焦点， P 是双曲线右支上一点， M 是 PF2的中点，且 OM PF2 ， 3PF1 4PF2 ，
则双曲线的离心率为
．
5．定义区间 x1, x2 的长度为 x2 x1 . 若函数 y log 2 x 的定义域为 a,b ，值域为 0,2 ，
则区间 a,b 长度的最大值与最小值的差为
．
6．若关于 x 的二次方程 mx2 2m 1 x m 2 0 （ m 0 ）的两个互异的根都小于 1，
3a 3 2,
2
c
3,
a 2,
从而
a2
b 1.
b2 c2 a2,
故所求的椭圆 E ： x2 y2 1，直线 l ： x y 6 0 . 4
2cos sin 6 6 5 sin
（2）设 P 2cos ,sin ，则 d1
2
2
tan 2，
所以 6 2
10
62
d1
10
.
2
2
又 d2
016 2
52 2 ， d3
． 最新试卷十
2．已知集合 A x ax 1 a x 0 ，且 2 A ， 3 A ，则实数 a 的取值范围
17年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷及详解(纯word)
2017年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷及详解(纯word)2017年全国高中数学联赛江苏赛区预赛试卷及详解2017年5月7日8:00——10:00 一、填空题????????????????1.已知向量AP?1,3,PB??3,1，则向量AP与AB的夹角等于．????????????????????解一：题设AP?PB?(1,3)?(?3,1)?0，且|AP|?|PB|，故?APB为等腰直角三角?????????形，从而向量AP与AB 的夹角等于. 4????????????????????解二：因为AB?AP?PB?(1?3,3?1)，所以cos?AB,AP???????与AB的夹角等于. 4????2，所以向量AP22.已知集合A?x|?ax?1??a?x??0，且a?A,3?A，则实数a的取值范围是．??解：有题设，知??(2a?1)(a?2)?0 ?(3a?1)(a?3)?0?a? 2或a?1?2所以：? ?1?a?3?3所以1?a?1或2?a?3 32??2?，其中i是虚数单位，则z3?z2?．?isin333.已知复数z?cos32解：有题设z?z?cos6??isin6??cos4??isin4??1?3i 333322x2y24.在平面直角坐标系xOy中，设F1,F2分别是双曲线2?2?1?a?0,b?0?的左，右焦点，abP是双曲线右支上一点，M是PF2的中点，且OM?PF2,3PF1?4PF2，则双曲线的离心率为．答案：5． 5.定义区间?x1,x2?的长度为x2?x1．若函数y?log2x的定义域为?a,b?，值域为?0,2?，则区间?a,b?的长度的最大值与最小值的差为．答案：3. 6.若关于x的二次方程mx2??2m?1?x?m?2?0?m?0?的两个互异的根都小于1，则实数m的取值范围是．?3?7?答案：?,???. ?4???7.若tan4x?3sin4xsin2xsinxsinx，则????．3cos8xcos4xcos4xcos2xc os2xcosxcosx 答案：3. 8.棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1在空间坐标系O-xyz中运动，其中顶点A 保持在z轴上，顶点B1保持在平面xOy上，则OC长度的最小值是．答案：6?2. 9.设数列a1,a2,a3,?,a21满足：an?1?an?1?n?1,2,3,?,20?，a1,a7,a21成等比数列．若a1?1,a21?9，则满足条件的不同的数列的个数为．答案：15099．10.对于某些正整数n，分数n?2不是既约分数，则n的最小值是．23n?7 答案：17. 二、解答题：nan?12,n?N*. 11.设数列?an?满足：①a1?1，②an?0，③an?nan?1?1求证：数列?an?是递增数列；1对如图任意正整数n，an?1??. k?1knnan?12an?1?,且an?0，证明：因为an?1?an?an?1?nan?1?1nan?1?1所以an?1?an?0．所以an?1?an,n?N*. 所以数列?an?是递增数列．因为an?1?an?所以当n?2时，an?1a1?n?1?,nan?1?1nan?1nan??an?an?1???an?1?an?2 ?????a2?a1??a11111??????1n?1n?221n1?1 ??.k?1k? 1又a1?1?1?1,所以对任意正整数n，an?1??. k?1knx2y212.在平面直角坐标系xOy中，设椭圆E:2?2?1?a?b?0?，直线l:x?y?3a?0.若椭ab3圆E的离心率为，原点O到直线l 的距离为32. 2求椭圆E与直线l 的方程；若椭圆E上三点P,A?0,b?,B?a,0?到直线l的距离分别为d1,d2,d3，求证：d1,d2,d3可以是某三角形三条边的边长．?3a?32,??2??a?2,3?c 解：题设条件得??，从而? ,b???a222?b?c?a,???x2故所求的椭圆E:?y2?1．直线l:x?y?6?0. 4设P?2cos?,sin??，则d1?所以2cos??sin??62?6?5sin?????2,其中tan??2. 62?1062?10?d1?. 22又d2?0?1?62?2?0?652,d3??22. 22故d2?d1. 因为d2?d3?d1?d3?529262?10?22???d1, 22262?10102?1052?22???d1. 222所以d1,d2,d3可以是某个三角形的三条边的边长．13.如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，切点分别为P,Q,R,S,OA与PS交于点A1,OB与PQ 交于点B1，OC与QR交于点C1，OD 与SR交于点D1．求证：四边形A1B1C1D1是平行四边形．DD1SRC1CQOB1A1BPA证明：连接PR,QS. DD1SRC1CQOB1A1BPA因为圆O是四边形ABCD的内切圆，所以OA是?SAP 的平分线，且AP?AS. 在△ASP中，三线合一，点A1是线段PS的中点．同理点B1是线段PQ的中点，所以A1B1//SQ．同理A1D1//B1C1．所以四边形A1B1C1D1是平行四边形．14.求满足x3?x?y7?y3的所有素数x和y. 解：满足题设条件的素数只有x?5,y?2. 假设y?5,则y7?y3?5y6?y3?y6?20y5?y3?y6?6y5?70y4 ?y3?y6?6y5?15y4?20y3?15y2?6y?1 ??y?1 ?.所以，x3?x3?x?y7?y3??y?1?,即x??y?1?.又因为x|x3?x?y7?y3?y3?y?1??y?1?y2?1，且x为素数，而y?1?y?y?1?y2?1??y?1??x,从而x\\|y3?y?1??y?1?y2?1, 这与x|y7?y3矛盾．所以y?5. 因为y是素数，所以y?2,或y?3. 当y?2时，x3?x?120，即?x?5?x2?5x?24?0,所以x?5. 当y?3时，x3?x?2160?24?33?5. 所以x?2,或x?3，或x?5. 经检验，x?2，或x?3，或x?5时，x3?x?24?33?5. 所以满足条件的素数只有x?5,y?2. 2626??????同理A1D1//B1C1．所以四边形A1B1C1D1是平行四边形．14.求满足x3?x?y7?y3的所有素数x和y. 解：满足题设条件的素数只有x?5,y?2. 假设y?5,则y7?y3?5y6?y3?y6?20y5?y3?y6?6y5?70y4 ?y3?y6?6y5?15y4?20y3?15y2?6y?1 ??y?1 ?.所以，x3?x3?x?y7?y3??y?1?,即x??y?1?. 又因为x|x3?x?y7?y3?y3?y?1??y?1?y2?1，且x为素数，而y?1?y?y?1?y2?1??y?1??x,从而x\\|y3?y?1??y?1?y2?1, 这与x|y7?y3矛盾．所以y?5. 因为y是素数，所以y?2,或y?3. 当y?2时，x3?x?120，即?x?5?x2?5x?24?0,所以x?5. 当y?3时，x3?x?2160?24?33?5. 所以x?2,或x?3，或x?5. 经检验，x?2，或x?3，或x?5时，x3?x?24?33?5. 所以满足条件的素数只有x?5,y?2. 2626??????。
2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(江苏卷,参考解析)
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含非选择题（第1题 ~ 第20题，共20题）.本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5.如需改动，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上1.已知集合{}=1,2A ，{}=+2,3B a a ，若A B ={1}则实数a 的值为________2.已知复数z=（1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z 的模是__________3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件.4.右图是一个算法流程图，若输入x 的值为116，则输出的y 的值是 .5.若tan 1-=46πα⎛⎫ ⎪⎝⎭,则tan α= .6.如图，在圆柱O 1 O 2 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。
记圆柱O 1 O 2 的体积为V 1 ,球O 的体积为V 2 ，则12V V 的值是7.记函数2()6f x x x =+- 的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x ，则x ∈ D 的概率是8.在平面直角坐标系xoy 中 ,双曲线2213x y -= 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q ，其焦点是F 1 , F 2 ,则四边形F 1 P F 2 Q 的面积是9.等比数列{}na 的各项均为实数，其前n 项的和为S n，已知36763，44SS ==， 则8a =10.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x 的值是11.已知函数()3xx12x+e -e-f x =x ，其中e 是自然数对数的底数，若()()2a-1+2a ≤f f 0，则实数a 的取值范围是 。
2017年全国高中数学联赛一试(A卷)答案
① ② ③
a b a b ab f k m 1 ． 2 2 2
由① ② 2 ③知， a b ( a b) 2 4， =f ( a ) f ( b ) 2 f 2 2 故ba 2 2 ．
2
1 14 ………………10 分 = 6 x1 + x2 + 6 x3 20 3 1 9 2 ≤ ( 6 x1 + 6 x2 + 6 x3 ) = ， 20 5 1 1 9 = x1 = , x2 0, = x3 当 时不等式等号成立，故欲求的最大值为 ． ………20 分 2 2 5 11. （ 本 题 满 分 20 分 ） 设 复 数 z1 , z2 满 足 Re( z1 ) 0, Re( z2 ) 0 ， 且
3 11 sin( ) ． 2 3 11 ． 2
其中
．当
时，四边形 OAPF 面积的最大值为
1
4. 若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过 1 ，则称其为“平稳 数” ．平稳数的个数是 ． 答案： 75 ． 解：考虑平稳数 abc ． 若 b 0 ，则 a 1, c {0, 1} ，有 2 个平稳数． 若 b 1 ，则 a {1, 2}, c {0, 1, 2} ，有 23 6 个平稳数． 若 2 b 8 ，则 a, c {b 1, b, b 1} ，有 7 33 63 个平稳数． 若 b 9 ，则 a, c {8, 9} ，有 2 2 4 个平稳数． 综上可知，平稳数的个数是 2 6 63 4 75 ． 5. 正三棱锥 P − ABC 中， AB 1, AP 2 ，过 AB 的平面 将其体积平分， 则棱 PC 与平面 α 所成角的余弦值为 ． 3 5 答案： ． 10 解：设 AB, PC 的中点分别为 K , M ，则易证平面 ABM 就是平面 ．由中线 长公式知 ， 所以 KM AM 2 AK 2
2017年江苏省高等数学竞赛一级
2017年江苏省高等数学竞赛一．解答下列各题（每小题5分，共25分）1.求极限：（10分）1）22232323212lim()12n n n n n n →∞++++++ 2）22233333312lim()12n n n n n n→∞++++++ 2.已知函数()y f x =在2x =处连续，2()32lim 22x f x x x →-+=-，试证()f x 在2x =处可导，并求(2)f '。
3.设[]x 表示实数x的整数部分，试求定积分611dx x ⋅⎰4.试求三重积分Ω⎰⎰⎰，其中222{(,,)|,2}x y z z x y z z Ω=++≤二．判断下一命题是否成立？若判断成立，给出证明；若判断不成立，举一反例，证明命题不成立。
命题：若函数()f x 在区间[],a b 上可导(,)a b R ∈，()0f a '>，则存在(,)c a b ∈，使得()f x 在区间[,)a c 上单调增加。
（10分）三．已知函数()f x 在区间[],a b 上连续，n N ∈，求证：1(()()1b b n a a b x f x dx f x dx b a n -≤-+⎰⎰（10分）四．求函数233(,)3(2)8f x y x y x y =-+-的极值，并证明(0,0)0f =不是(,)f x y 的极值（13分）五．设,02()0,02x x f x x orx ≤≤⎧=⎨<>⎩，试求二重积分2R ，其中2{(,)|||,||}R x y x y =<+∞<+∞（12分）六．设Γ为圆224x y +=，试将对弧长的曲线积分222(1)(1)x y y ds x y Γ+-+-⎰化为对坐标的曲线积分，并求该曲线积分的值。
（10分）七．已知直线1513:102x y z L -+-==与2811:.211x y z L ---==--1）证明1L 与2L 是异面直线；2）若直线L 与12L L 、皆垂直且相交，交点分别为P Q 、，试求点P 与Q 的坐标；3）求异面直线1L 与2L 的距离。
(完整版)2017年全国高中数学联赛A卷和B卷试题和答案(word版)
2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为1109:22=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 。
5.正三棱锥P-ABC 中，AB=1，AP=2，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为________.6.在平面直角坐标系xOy 中，点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3π=∠A ，ABC ∆的面积为3，则AN AM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12，n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）. （1）求)Re(21z z 的最小值； （2）求212122z z z z --+++的最小值.2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图，在ABC ∆中，AC AB =，I 为ABC ∆的内心，以A 为圆心，AB 为半径作圆1Γ，以I 为圆心，IB 为半径作圆2Γ，过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a ， ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数，n m ≥，n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不相同的正整数，且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x ，均存在一个)1(n i i ≤≤，使得x m m x a i )1(2+≥，这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A卷一试答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.1.在等比数列{}n a中，2a =，3a 1201172017a a a a ++的值为 .2.设复数z 满足91022z z i +=+，则||z 的值为 .3.设()f x 是定义在R 上的函数，若2()f x x +是奇函数，()2xf x +是偶函数，则(1)f 的值为 . 4.在ABC ∆中，若sin 2sin A C =，且三条边,,a b c 成等比数列，则cos A 的值为 .5.在正四面体ABCD 中，,E F 分别在棱,AB AC 上，满足3BE =，4EF =，且EF 与平面BCD 平行，则DEF ∆的面积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-，在K 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .7.设a 为非零实数，在平面直角坐标系xOy 中，二次曲线2220x ay a ++=的焦距为4，则a 的值为 .8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥，则数组(,,)a b c 的个数为 .二、解答题 （本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.设不等式|2||52|x xa -<-对所有[1,2]x ∈成立，求实数a 的取值范围.10.设数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足212n n n n b a a a ++=-，1,2,n =.（1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠，并且存在正整数,s t ，使得s t a b +是整数，求1||a 的最小值.11.在平面直角坐标系xOy 中，曲线21:4C y x =，曲线222:(4)8C x y -+=，经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45的直线l ，与2C 交于两个不同的点,Q R ，求||||PQ PR ⋅的取值范围.2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）一、（本题满分40分）设实数,,a b c 满足0a b c ++=，令max{,,}d a b c =，证明：2(1)(1)(1)1a b c d +++≥-二、（本题满分40分）给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A ，每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同），满足ab cd m -=.三、（本题满分50分）如图，点D 是锐角ABC ∆的外接圆ω上弧BC 的中点，直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q ，BQ 与AC 的交点为X ，CP 与AB 的交点为Y ，BQ 与CP 的交点为T ，求证：AT 平分线段XY .四、（本题满分50分）设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈，1220,,,{1,2,,10}b b b ∈，集合{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<，求X 的元素个数的最大值.一试试卷答案1.答案：89 解：数列{}n a 的公比为33232a q a ==，故120111201166720171201118()9a a a a a a q a a q ++===++. 2.答案：5。
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2017年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
一、填空题：（本大题共10个小题,共70分,每小题7分．）
1．已知向量()1,3AP =uu u r ，()
3,1PB =-uu r ，则AP uu u r 和AB uu u r 的夹角等于 ． 2．已知集合()(){}10A x ax a x =-->，且2A ∈，3A ∉，则实数a 的取值范围是 ．
3．已知复数22cos sin 33
z i =+ππ，其中i 为虚数单位，则32z z += ． 4．在平面直角坐标系xOy 中，设1F ，2F 分别是双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的左、右焦点，P 是双曲线右支上一点，M 是2PF 的中点，且2OM PF ⊥，1234PF PF =，则双曲线的离心率为 ．
5．定义区间[]12,x x 的长度为21x x -.若函数2log y x =的定义域为[],a b ，值域为[]0,2，则区间[],a b 长度的最大值与最小值的差为 ．
6．若关于x 的二次方程()22120mx m x m +--+=（0m >）的两个互异的根都小于1，则实数m 的取值范围是 ．
7．若3tan 43
x =，则sin 4sin 2cos8cos 4cos 4cos 2x x x x x x ++sin sin cos 2cos cos x x x x x += ． 8．棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -在空间直角坐标系O xyz -中运动，
其中顶点A 保持在z 轴上，顶点1B 保持在平面xOy 上，则OC 长度的最小值是 ．
9．设数列12321,,,,a a a a L 满足：11n n a a +-=（1,2,3,,20n =L ），1a ，7a ，21a 成等比数列.若11a =，219a =，则满足条件的不同数列的个数为 ．
10．对于某些正整数n ，分数2237
n n ++不是既约分数，则n 的最小值是 ． 二、解答题 （本大题共4小题，每小题20分，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
11．设数列{}n a 满足：
①11a =；②0n a >；③2111
n n n na a na ++=+，*n ∈N . 求证：（1）数列{}n a 是递增数列；
（2）对任意正整数n ，111n
n k a k =<+∑. 12．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆E ：22
221x y a b
+=（0a b >>），直线l ：30x y a +-=.若椭圆E 的离心率为32
，原点O 到直线l 的距离为32. （1）求椭圆E 与直线l 的方程；
（2）若椭圆E 上三点P ，()0,A b ，(),0B a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，3d . 求证：1d ，2d ，3d 可以是某三角形三条边的边长.
13．如图，圆O 是四边形ABCD 的内切圆，切点分别为P ，Q ，R ，S ，OA 与PS 交于点1A ，OB 与PQ 交于点1B ，OC 与QR 交于点1C ，OD 与SR 交于点1D ，求证：四边形1111A B C D 是平行四边形
.
14．求满足373
x x y y -=-的所有素数x 和y .
2017年全国高中数学联赛江苏赛区
初赛参考答案与评分细则
一、填空题
1．4π 2．(]11,2,332⎡⎫⎪⎢⎣⎭
U 3．13i 22- 4．5 5．3 6．37,4⎛⎫++∞
⎪ ⎪⎝⎭
7．3 8．62- 9．15099 10．17
二、解答题
11．证明：（1）因为11n n n a a a ++-=-2111111
n n n n na a na na ++++=++，且0n a >， 所以10n n a a +->，所以1n n a a +>，*n ∈N ，
所以数列{}n a 是递增数列.
（2）因为1111n n n n a a a na +++-=
<+111n n a na n
++=， 所以当2n ≥时， ()()112n n n n n a a a a a ---=-+-()211a a a ++-+L
111111221
n n <+++++--L 111n k k
=<+∑.
又1111a =<+，
所以对任意正整数n ，111n
n k a k =<+∑. 12．解：（1）由题设条件得222332,
23,2,a c a b c a ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩
从而2,1.a b =⎧⎨=⎩ 故所求的椭圆E ：2
214
x y +=，直线l ：60x y +-=.
（2）设()2cos ,sin P θθ，则12cos sin 6
2d +-==θθ()
65sin 2-+θϕ，其中tan 2=ϕ， 所以16210621022
d -+≤≤. 又2016
5222d +-==，3206222
d +-==， 故23d d >. 因为2352222d d +=+=192621022
d +>≥， 136210222d d -+≥+2102105222
d -=>=. 所以1d ，2d ，3d 可以是某个三角形的三条边的边长.
13．证明：连接PR ，QS .
因为圆O 是四边形ABCD 的内切圆，
所以OA 是SAP ∠的平分线，且AP AS =.
在ASP ∆中，由三线合一，点1A 是线段PS 的中点.
同理点1B 是线段PQ 的中点，
所以11A B SQ ∥.
同理11DC SQ ∥.
所以1111A B D C ∥.
同理1111A D B C ∥.
所以四边形1111A B C D 的平行四边形.
14．解：满足题设条件的素数只有5x =，2y =.
假设5y ≥，则73635y y y y -≥-65320y y y ≥+-
65436670y y y y y ≥++->5432615201561y y y y y ++++++ ()6
1y =+.
所以()653731x x x y y y >-=-+，即()21x y >+. 又因为3733x x x y y y -=-=()()()2111y y y -++，且x 为素数，
而2111y y y y -<<+<+()21y x <+<，从而()()()32111x y y y y -++Œ
， 这与73x y y -矛盾.
所以5y <.
因为y 是素数，所以2y =，或3y =.
当2y =时，3120x x -=，即()()
255240x x x -++=，所以5x =. 当3y =时，3432160235x x -==⋅⋅. 因为343
235x x x -=⋅⋅，且x 为素数，
所以2x =，或3x =，或5x =.
经检验，2x =，或3x =，或5x =时，343235x x -≠⋅⋅， 所以满足条件的素数只有5x =，2y =.。