2017年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷

2017年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷

一、填空题：（本大题共10个小题,共70分,每小题7分．）

1．已知向量()1,3AP =uu u r ，()

3,1PB =-uu r ，则AP uu u r 和AB uu u r 的夹角等于 ． 2．已知集合()(){}10A x ax a x =-->，且2A ∈，3A ∉，则实数a 的取值范围是 ．

3．已知复数22cos sin 33

z i =+ππ，其中i 为虚数单位，则32z z += ． 4．在平面直角坐标系xOy 中，设1F ，2F 分别是双曲线22

221x y a b

-=（0a >，0b >）的左、右焦点，P 是双曲线右支上一点，M 是2PF 的中点，且2OM PF ⊥，1234PF PF =，则双曲线的离心率为 ．

5．定义区间[]12,x x 的长度为21x x -.若函数2log y x =的定义域为[],a b ，值域为[]0,2，则区间[],a b 长度的最大值与最小值的差为 ．

6．若关于x 的二次方程()22120mx m x m +--+=（0m >）的两个互异的根都小于1，则实数m 的取值范围是 ．

7．若3tan 43

x =，则sin 4sin 2cos8cos 4cos 4cos 2x x x x x x ++sin sin cos 2cos cos x x x x x += ． 8．棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -在空间直角坐标系O xyz -中运动，

其中顶点A 保持在z 轴上，顶点1B 保持在平面xOy 上，则OC 长度的最小值是 ．

9．设数列12321,,,,a a a a L 满足：11n n a a +-=（1,2,3,,20n =L ），1a ，7a ，21a 成等比数列.若11a =，219a =，则满足条件的不同数列的个数为 ．

10．对于某些正整数n ，分数2237

n n ++不是既约分数，则n 的最小值是 ． 二、解答题 （本大题共4小题，每小题20分，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

11．设数列{}n a 满足：

①11a =；②0n a >；③2111

n n n na a na ++=+，*n ∈N . 求证：（1）数列{}n a 是递增数列；

（2）对任意正整数n ，111n

n k a k =<+∑. 12．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆E ：22

221x y a b

+=（0a b >>），直线l ：30x y a +-=.若椭圆E 的离心率为32

，原点O 到直线l 的距离为32. （1）求椭圆E 与直线l 的方程；

（2）若椭圆E 上三点P ，()0,A b ，(),0B a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，3d . 求证：1d ，2d ，3d 可以是某三角形三条边的边长.

13．如图，圆O 是四边形ABCD 的内切圆，切点分别为P ，Q ，R ，S ，OA 与PS 交于点1A ，OB 与PQ 交于点1B ，OC 与QR 交于点1C ，OD 与SR 交于点1D ，求证：四边形1111A B C D 是平行四边形

.

14．求满足373

x x y y -=-的所有素数x 和y .

2017年全国高中数学联赛江苏赛区

初赛参考答案与评分细则

一、填空题

1．4π 2．(]11,2,332⎡⎫⎪⎢⎣⎭

U 3．13i 22- 4．5 5．3 6．37,4⎛⎫++∞

⎪ ⎪⎝⎭

7．3 8．62- 9．15099 10．17

二、解答题

11．证明：（1）因为11n n n a a a ++-=-2111111

n n n n na a na na ++++=++，且0n a >， 所以10n n a a +->，所以1n n a a +>，*n ∈N ，

所以数列{}n a 是递增数列.

（2）因为1111n n n n a a a na +++-=

<+111n n a na n

++=， 所以当2n ≥时， ()()112n n n n n a a a a a ---=-+-()211a a a ++-+L

111111221

n n <+++++--L 111n k k

=<+∑.

又1111a =<+，

所以对任意正整数n ，111n

n k a k =<+∑. 12．解：（1）由题设条件得222332,

23,2,a c a b c a ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩

从而2,1.a b =⎧⎨=⎩ 故所求的椭圆E ：2

214

x y +=，直线l ：60x y +-=.

（2）设()2cos ,sin P θθ，则12cos sin 6

2d +-==θθ()

65sin 2-+θϕ，其中tan 2=ϕ， 所以16210621022

d -+≤≤. 又2016

5222d +-==，3206222

d +-==， 故23d d >. 因为2352222d d +=+=192621022

d +>≥， 136210222d d -+≥+2102105222

d -=>=. 所以1d ，2d ，3d 可以是某个三角形的三条边的边长.

13．证明：连接PR ，QS .

因为圆O 是四边形ABCD 的内切圆，

所以OA 是SAP ∠的平分线，且AP AS =.

在ASP ∆中，由三线合一，点1A 是线段PS 的中点.

同理点1B 是线段PQ 的中点，

所以11A B SQ ∥.

同理11DC SQ ∥.

所以1111A B D C ∥.

同理1111A D B C ∥.

所以四边形1111A B C D 的平行四边形.