集合与集合的势
集合的基数
等势集合的实例(6)
（6）对任何a, b∈R，a<b， [0,1]≈[a,b]。 双射函数f：[0,1]→[a,b]，f(x)＝(ba)x+a。
例2
例2 设A为任意集合，则P(A)≈{0,1}A。
证明
构造f：P(A)→{0,1}A， f(A)=A ，A∈P(A)。 其中A 是集合A 的特征函数。 (1)易证 f 是单射的。 (2)对于任意的 g∈{0,1}A， 那么有 g：A→{0,1}。令
设 f:N→[0,1]是从N到[0,1]的任何一个函数。f的所有函数值为：
f(0)=0.a1(1)a2(1)… f(1)=0.a1(2)a2(2)… … f(n1)=0.a1(n)a2(n)… …
令y的表示式为0.b1b2…，并且满足bi ≠ ai(i)，i=1,2,…， 则y∈[0,1]， 但y与上面列出的任何一个函数值都不相等。
0 1
1 2
1 2
1 22
1 23
21n 2n12
1 22
1 23 1 24 1 25
x0 1/ 2 1/ 22 x 1 双射函数 f : [0,1](0,1)， f ( x) n 1 2 x 1/ 2 n , n 1, 2,... 1/ 2 其它x x
例如 x = 0.10110100…，则对应于x的函数tx是： n 0 1 2 3 4 5 6 7… tx(n) 1 0 1 1 0 1 0 0…
易见tx∈{0,1}N，且对于x,y∈[0,1)，x≠y，必有tx ≠ ty， 即f(x) ≠ f(y)。 所以，f：[0,1)→{0,1}N是单射的。
说 明
根据这个定理可以知道N ≈ P(N)。 综合前面的结果，可知N ≈ {0,1}N 。 实际上，P(N)，{0,1}N和R都是比N“更大”的集合。
测度论基础知识总结
测度论基础知识总结1.集合论1.1 集合与基本运算·概念:具有一定性质的对象构成的全体（不严格定义).中间含有的对象叫元素。
全集：要研究的问题涉及到的最大集合.空集：没有任何元素的集合。
表达方法：｛x(集合元素x）｜x应该有的性质}·元素与集合的关系:x A，x∉A·集合之间的关系只有包含或者不包含若对于任意元素x A，x B则A包含于B（证明就用这个方法)，A是B的子集（A B则为B的真子集）包含的特殊情况相等：A=B就是A包含于B同时B包含于A真子集：A包含于B但A B·集合的运算①单个元素的幂集对于一个集合X，它的幂集表示所有其子集为元素构成的集合。
这种以集合为元素的集合,也叫集合族。
②两个集合的运算交：A B=｛x｜ x A且x B｝并:A B={x｜ x A或x B｝差：A\B(或写成A—B）=｛x｜ x A且x∉B｝补：=U\A（U是问题要研究的全集)于是有等式A\B=A积：（直积）A×B={（x,y）| x A且y B ｝（把A、B中元素构成有序对）③多个元素的运算多个交表示所有以λ为角标的集合的并，要求λ，称为指标集。
类似有多个并注：可以是无穷个【例】x｜ x>,A={x| x>0｝，则A=·集合的分析相关性质①上限集：一列集合｛｝,定义上限集为。
类似于数列的上极限。
②下限集：一列集合{}，定义下限集为。
类似于数列的下极限。
③集合列的极限：当上限集等于下限集时极限存在，就是上限集（或下限集)。
④单调集合列:若始终有包含于,也就是集合越来越大，则为递增集合列；反之，若始终有，则为递减列。
若为递增列，则有极限=;若为递减列，则有=.1.2映射·定义：X、Y是两个集合，对任意x X，存在唯一的y=f（x)Y与之对应，则对应法则f为X到Y的一个映射，记为f:X→Y.像集：对于X的一个子集A,像集{f(x）｜ x A｝记为f(A），显然包含于Y原像集：对于Y的一个子集B，原像集{x｜ x记为·满射：f(X)=Y，即Y中所有元素都是像单射：X中不同元素一定对应Y中不同的像双射：既是单射又是满射。
集合的势,可数集与不可数集
自然数集
自然数集是数学中用于计数和 排序的数字集合，包括0、1
、2、3等。
自然数集的势
自然数集是可数的，即存在一 一对应的映射关系，因此其势
为可数无穷大，记作ℵ₀。
自然数集的性质
自然数集具有传递性、排中律 、结合律、交换律等基本性质
。
实数集的势
01
实数集
实数集是数学中包含所有有理数 和无理数的数字集合，如π和√2 等。
有限个可数集的并集是可数的
如果有有限个可数集，那么它们的并集也是可数的。
可数集的势
可数集的势等于自然数集的势
根据可数集的定义，可数集的元素个数与自然数集的元素个数相等，因此可数集的势等于自然数集的 势。
可数集的势小于不可数集的势
不可数集的元素个数无法与自然数集一一对应，因此可数集的势小于不可数集的势。
。
不可数集具有完备性， 即它们满足实数的所有 性质，包括连续性、稠 密性和完备性本身。
不可数集的势
不可数集的势是指集合中元素的数量 ，通常用阿基米德数表示。对于任意 两个不可数集，如果存在一一对应关 系，则它们的势相等；如果存在一一 对应关系，则它们的势相等。
VS
常见的不可数集的势包括实数集的势 （记为ℵ₀）、自然数集的势（记为ℵ₁ ）等。实数集的势大于自然数集的势 ，因为实数集中存在无限不循环小数 ，而自然数集中不存在。
性质比较
01
可数集具有一些特定的性质， 例如它们是可列的、有序的、 可以定义大小关系等。
02
不可数集则不具备这些性质， 因为它们的元素数量无法一一 对应到自然数集，所以无法定 义大小关系。
03
不可数集在数学中具有一些特 殊的性质和用途，例如在实数 集中，不可数集经常用于描述 一些特殊的子集。
实变函数知识点总结
第一章 集 合1 集合的运算一、集合的概念定义1 设有两个集合A，B。
若x A ∈，必有x B ∈，则称A 是B 的子集或B 包含A，记为A B B A ⊂⊃或。
若A B ⊂，且存在x B ∈满足x A ∉，则称A 是B 的真子集。
若A B B A ⊂⊂且，则称A 与B 相等或相同。
定义2 设Λ是一个非空集合，对于每个α∈Λ，指定一个集合A α，于是得到许多集合，它们的总体称为集合族，记为{}|A αα∈Λ或{}A αα∈Λ。
二、集合的运算定义3 设A，B 是两个集合。
（1） 称集合{}|A B x x A x B ∪=∈∈或为A 与B 的并集，即由A 与B 的全部元素构成的集合；（2） 称集合{}|A B x x A x B ∩=∈∈且为A 与B 的交集，即由A 与B 的公共元素构成的集合；定理1（1）交换律 A B B A ∪=∪，A B B A ∩=∩；（2）结合律 ()()A B C A B C ∩∩=∩∩,()()A B C A B C ∩∩=∩∩; （3）分配律()()()A B C A B A C ∩∪=∩∪∩()()()A B C A B A C ∪∩=∪∩∪。
更一般地有 （4）()()A B A B αααα∈Λ∈Λ∪∩=∩∪；（5）()()A B A B αααα∈Λ∈Λ∩∪=∪∩；（6）设{}n A 和{}n B 为两集列，有()111n n n n n n n A B A B ∞∞∞===⎛⎞⎛⎞∪∪=∪∪∪⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠。
定义4 设A，B 是两个集合，称集合{}\|A B x x A x B =∈∉且是A 和B 的差集，即在集合中而不在集合B 中的一切元素构成的集合。
如果B A ⊂，则称\A B 为B 相对于A 的补集或余集。
定理2 （1）(),,,,cccc c c A A X A A AA X X ∪=∩=∅==∅∅=；（1）A ζ⊂；（2）任何包含A 的环（或代数，或σ环或σ代数）*ζ，必有*ζζ⊂。
第3讲势的定义--可数集合与连续势
Ai*和
Bi
i =1
i =1
而
i= ∞ 1
∪ A ~ ∪ B ⊂[0,+∞) 。另一方面
i i i=1 i=1
∞
第3讲 势的定义
--可数集合与连续势 --可数集合与连续势
， ∞ 由Bernstein定理知 A = ∪ A的势为 C 。 i i= 1 证毕。 定理7实际是说，可数个势不超过 C的 集合之并，其势也不超过 C ，用公式表示 就是： ⋅ C = C 。 C
i=1
在上述序列中，去掉重复元素，则剩下的 是有限集或可数集。证毕。
第3讲 势的定义
--可数集合与连续势 --可数集合与连续势
α表示正整数，α + C0 表示一个有限集与 α 可数集之并的势， ⋅ C0表示 α个可数集之并的势，
如果说
C0 ⋅ C0
表示可数个可数集之并的势，则定理
5蕴含了下列各式： （1） （2） （3） （4）
第3讲 势的定义
--可数集合与连续势 --可数集合与连续势
即 A 与其真子集 A− A 对等。 0 为证充分性，我们要证，若 A 与其真 子集对等，A 必是无穷集。假若不然， 是 A 有限集，不妨设为 A = {a1, a2 ,⋯, an} ， A与其真子集对等，记与 A 对等的真子集 为 A = {ai1 , ai2 ,⋯, aim }, m < n ，ϕ是 A与 A 之 0 0 间的1-1对应。则 ϕ( A ) = A，注意 0
i=1
∪{aij }
i+ j =n
{a1n−1 , a2n−2 ,⋯, an−1,1}
第3讲 势的定义
--可数集合与连续势 --可数集合与连续势
即按第一个下标 i 从小到大的顺序排列， 应该注意的是 aij 中可能含一些重复的元素， ∞ 暂且将重复元素留着，最后将 ∪ A 排成 i
比较无限集合中元素个数的方法(一)
比较无限集合中元素个数的方法(一)比较无限集合中元素个数的方法引言比较无限集合中元素个数是数学中一个常见的问题。
在实际应用中，我们经常需要判断两个集合的大小关系。
本文将介绍一些常用的方法来比较无限集合中元素的个数，并给出每种方法的适用场景和注意事项。
方法一：1-1映射法1-1映射法是最直观的方法之一。
我们可以找到两个集合之间的一个双射（即一一映射）关系，通过比较元素的个数来判断集合的大小关系。
•适用场景：当两个集合的元素可以一一对应时，可以使用1-1映射法。
•注意事项：需要承认无限集合中的元素个数可能大于有限集合的元素个数，即使它们之间存在双射关系。
方法二：有限集合转化法有限集合转化法通过将无限集合转化为有限集合，并比较转化后的有限集合的大小来判断原始无限集合的大小。
•适用场景：当两个集合中至少有一个集合是有限集合时，可以使用有限集合转化法。
•注意事项：需要确保转化过程中不会引入新的重复元素。
方法三：势的比较法势的比较法通过比较集合的势（也称为基数、大小或个数）来判断集合的大小关系。
在集合论中，我们使用无穷基数（Infinity cardinality）来表示无限集合的势。
•适用场景：当两个集合都是无限集合时，可以使用势的比较法。
•注意事项：势的比较法只能给出集合大小的相对关系，无法具体给出两个集合中元素的个数。
方法四：引理的运用法引理的运用法通过引入一些具体的数学引理来比较无限集合中元素的个数。
例如，卡西诺定理（Cantor-Bernstein定理）可以用来比较两个集合的势。
•适用场景：当无限集合的元素具有一些特殊性质时，可以尝试使用引理的运用法。
•注意事项：需要确保所使用的引理合理有效，并正确应用于对比的无限集合。
方法五：抽象推理法抽象推理法是一种基于逻辑推理的方法。
通过进行分析和推理，可以从给定的条件和定义中得出结论，从而比较无限集合的大小关系。
•适用场景：当其他方法无法适用或不够准确时，可以尝试使用抽象推理法。
集合的等势及其性质.ppt
0< 其中2N={0，1}N
∀A满足A≺ ·P(A)，所以有
cardA<cardP(A)
这说明不存在最大的基数。将已知的基数按从小到大 的顺序排列就得到：
0，1，2，…，n，…， 0， … 其中0，1，2…，n，…，恰好是全体自然数，是有穷 集合的基数，也叫有穷基数。而 0， ，…，是无 穷集合的基数，也叫做无穷基数， 0是最小的无穷基 数，而后面还有更大的基数，如cardP(R)等。
例如： 2∪5={0,1}∪{0,1,2,3,4}={0,1,2,3,4}=5 3∩4={0,1,2}∩{0,1,2,3}={0,1,2}=3
4-2={0,1,2,3}-{0,1}={2,3} 2×3={0,1}×{0,1,2}={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<1,0>,<1,1>,<1,2>}
第九章 集合的基数
1.集合的等势及其 性质 2.重要的等势或不等势结果 3.集合的优势及其性质 4.集合的基数
(1) 后继与归纳集 (2)自然数,有穷集,无穷集 (3) 集合的基数 (4)可数集
基本要求:
1. 掌握：集合之间等势与优势的概念，等势的 性质（自反性，对称性，传递性）
2. 掌握：证明集合等势的方法，康托定理的内 容及证明方法
f1={<0,0>,<1,0>,<2,1>} f3={<0,0>,<1,1>,<2,1>} f5={<0,1>,<1,0>,<2,1>} f7={<0,1>,<1,1>,<2,1>}
cantor定理的证明
Cantor定理的证明引言Cantor定理是由德国数学家Georg Cantor在19世纪末提出的重要定理，它揭示了无穷集合的特殊性质。
本文将详细介绍Cantor定理的证明过程，以便读者更好地理解这一定理的背后原理和数学推导过程。
Cantor定理的表述Cantor定理的表述如下：对于任意集合A，集合A的幂集的势大于集合A的势。
换句话说，不存在一个从A到A的满射函数，即不存在一个将A的每个元素映射到A 中的每个元素的函数。
证明思路为了证明Cantor定理，我们将采用反证法的思路。
假设存在一个从集合A到自身的满射函数f，我们将通过构造一个不属于f的元素来推导出矛盾，从而证明Cantor定理。
证明过程1.假设存在一个从集合A到自身的满射函数f。
2.我们构造一个集合B，B的元素由A的所有元素组成，但是每个元素的对应关系与f不同。
具体地，对于A中的任意元素a，我们定义B中对应的元素b为：如果a不属于f(a)，则b=a；如果a属于f(a)，则b不属于f(a)。
3.由于f是一个满射函数，所以对于A中的任意元素a，必然存在一个元素b使得f(b)=a。
4.我们来考虑元素b。
如果b不属于f(b)，根据我们对B的定义，b应该属于f(b)，这与假设矛盾。
5.反之，如果b属于f(b)，根据我们对B的定义，b不应该属于f(b)，同样与假设矛盾。
6.由于无论b是否属于f(b)，都会导致矛盾，因此我们的假设不成立。
7.因此，不存在一个从集合A到自身的满射函数，即Cantor定理成立。
结论根据我们的证明过程，我们可以得出结论：对于任意集合A，不存在一个从A到A 的满射函数。
这意味着集合A的幂集的势大于集合A的势，即Cantor定理成立。
Cantor定理的证明过程相对简单明了，但却揭示了无穷集合的特殊性质。
它深刻地影响了数学的发展，并且在集合论、数论等领域中有着广泛的应用。
通过理解Cantor定理，我们可以更好地理解无穷集合的结构和性质，进一步拓展数学的边界。
高数集合的概念知识点
高数集合的概念知识点
1. 集合的定义和表示：集合是具有某种特定性质的事物的总体。
例如，所有的水果，所有的偶数等。
2. 集合的元素和包含关系：集合中的事物被称为元素。
如果一个元素在某个集合中，则说这个元素属于这个集合。
如果所有在A集合中的元素也在B集合中，则说A集合是B集合的子集。
3. 空集：不包含任何元素的集合被称为空集。
4. 集合的并和交：两个集合的并集是包含这两个集合的所有元素的集合。
这两个集合的交集是同时在这两个集合中的元素组成的集合。
5. 集合的补集：如果A集合是全集U的一个子集，那么U集合中不属于A集合的元素组成的集合称为A集合的补集。
6. 集合的差集：如果A和B是两个集合，那么属于A但不属于B的元素组成的集合称为A和B的差集，记作A-B。
7. 无穷集合：如果一个集合的元素可以和自然数一一对应，那么这个集合就叫做可数集。
可数集包括有穷集和无穷集。
8. 集合的等价和相等：如果两个集合的元素可以一一对应，那么这两个集合就是等价的。
如果两个集合的元素完全相同，那么这两个集合就是相等的。
9. 基数：一个集合的基数是表示该集合包含的元素个数的一个数。
对于有限集，其基数为集合元素的数量。
映射提供了度量无限集合大小的方法，如果两个集合的元素可以构造一一对应，那么它们具有相同的基数。
10. 势：用于比较无穷集合“大小”的概念。
同基数一样，两个集合的势相等意味着它们的元素可以一一对应。
11. 序偶和笛卡尔积：序偶是有顺序的元素对，笛卡尔积是两个集合中所有可能的序偶构成的集合。
分析第二章第二节集合的势
第二章 函数、函数的极限与函数的连续性第二节 集合的势（集合中元素个数的计数法，阵势，架势，形势）一 、 集之间等势的概念及性质设A 与B 是两个集合，如果存在一个由A 到B 上的一对一的映射，我们就称集A 与B 有相同的势，或者说A 与B 等价，用B A ~来表示。
这就在某些集之间建立了一种关系。
例如 正整数集*N ，正偶数集A ，正奇数集B ，显然有A N ~*，B N ~* 。
很明白，刚才定义的关系具有下列性质：自反性：A A ~；对称性：B A ~，则A B ~； 传递性：若B A ~且C B ~， 则C A ~ 。
二 集中元素个数的计数法我们给出如下的定义：定义 2.8 令*N 是正整数的全体，且},,2,1{n N n（1）如果存在一个正整数n ，使得n N A ~，那么A 叫做有限集。
空集也被认为是有限集。
（2）如果集A 不是有限集，称A 为无限集。
（3）若*~N A ，则称A 为可数集（或可列集）。
（4）若A 既不是有限集，也不是可数集，则称A 为不可数集。
（5）若A 是有限集或者A 是可数集，则称A是至多可数的。
对于两个有限集A与B，显然，A与B有相等的势的充分必要条件是它们的元素个数相同。
但是，对于无限集而言，“元素个数相同”这样的话就变得十分含混。
而一一对应的概念是明确的、毫不含糊的。
在有限集之间，利用一一对应可以完全决定出元素个数的多寡。
设想在一个大礼堂中，恰有2000个座位，在一次演出中所有座位都有观众坐着，并且还有人站着，我们立刻知道到场的观众多于2000；如果不但没人站着而且还有位子空着，便知道到场的人数不足2000。
只有当既没有空着的位子又没有站着的人的时侯，观众的人数正好是2000。
由此可见，集合的势是有限集中“元素个数”这一概念的推广，并且“势”是一切互相等价的集合中惟一共有的属性。
利用一一对应可以完全决定出元素个数的多寡在社会生活中的智慧闪现。
在原始社会或现在一些地方部落，没有更大数的概念（也不会数数），但他们在大量的物对物的交换中，仍能使交换顺利进行，他们是用了一个物对另一个物的一次次交换。
集合的势
集合的势集合：两个条件①所有满足条件的元素都在集合里②集合里的所有元素都满足条件（当然这是朴素集合论的定义）映射f:A→B，要求集合A里的任一元素都有集合B中的一个元素与之对应（若x∈A，则f(x)∈B）单射f:A→B，要求首先是映射，其次不存在A的两个元素映射到B的一个元素（任意x,y∈A，有f(x)≠f(y)）满射f:A→B，要求首先是映射，其次A的元素映射完了B的所有元素（任意z∈B，存在x∈A，有f(x)=z）双射f:A→B，要求又是单射又是满射（双射又叫一一映射）【####】朴素集合论当时几乎所有的数学都是基于简单集合论，但这么简单的定义一看就不靠谱。
果然，有一年罗素说:令A={x|x不属于x}，问A∈A的真假？我随便解释一下：①假设A不属于A，那么显然满足“x不属于x”的条件，A应该属于A的②但如果A属于A了，那么集合内的元素应该得满足“x不属于x”的条件，A又被A排斥出去了回归正题，罗素悖论彻底把数学大厦撼动了，引发了第三次数学危机，至今没完全化解。
现在做的较好的是ZF公理系统配合选择公理（这两个合在一起叫ZFC公理系统）选择公理：最后一条公理总是饱受争议的（大概吧）选择公理的内容是：设C为一个由非空集合所组成的集合。
那么，我们可以从每一个在C中的集合中，都选择一个元素和其所在的集合组成有序二元组来组成一个新的集合这么说吧，假设你的显示屏可以设置亮度、对比色等等内容。
那么这个设置集合是：{亮度集合,对比色集合,…}，亮度集合是：{亮度0,亮度0.1,…}，对比色集合也类似。
现在轮到你设置了，你设置亮度为50，对比色为50，那么这个选择集合变成了：{(亮度集合,亮度50),(对比色集合,对比色50),…}。
我们在各个集合中拿取元素的事情天天发生，很难想象这是错误的。
不过，一些数学家主张废除它，因为由它可以推出一系列匪夷所思的结论比如巴拿赫－塔斯基分球定理：将一个球分成几个部分，经过旋转和平移后，变成两个和原来相同的完整的球这些乱七八糟的东西只是违反常识而已（常识是质量守恒），并不能造成数学的矛盾，数学危机更谈不上了【势】集合大小的评判依据：势（A的势记作card A）我们都知道有限集合之间比大小，太容易了比如 A={1,2} B={1,2,3}card A=2card B=33 > 2，于是B比A大但是无限集合呢？不能都比较一下吗？其实可以，用的方法是——满射！（或单射）假设A营的每个士兵都只打出一发子弹，就干掉了B营的所有士兵这说明什么？说明A营人多啊！但又不能排除A营人与B营人一样多的情况所以：★A满射B等价于card A≥card B同样：★B单射A等价于card A≥card B那么双射是什么情况？card A又不比card B小，又不比card B大就只能card A=card B了★A双射B等价于card A=card B【阿列夫数】数学上用阿列夫数来表示无限集合的势（阿列夫是一个符号，我打不出来所以请网上查一下吧……是一个看起来像N的符号）把这些势从小到大依次排好：阿列夫0是自然数集的势阿列夫1是实数集的势阿列夫2是所有曲线组成的集合的势……估计会有人问阿列夫3、阿列夫4是什么，用一下康托尔定理就可以回答：阿列夫3是所有曲线组成的集合的子集组成的集合的势，阿列夫4是blablabla的子集组成的集合的势（康托尔定理在后面会讲到）我接下来讲的东西，是读者看到这里可能产生的疑问，其中有：·自然数集是最小的无限集吗？Alef 0和Alef 1之间什么都没有吗？为什么自然数集的潜力小于实数集的潜力？·以及康托尔定理·以及一些常见的集合的双射方法【####】无穷大读者可能会有这样的疑问:无穷大和Alev数有什么关系？两个看起来都很大甚至会认为，阿列夫0是无穷大，阿列夫1是更加大的无穷大，……其实，这两个概念没什么交集，无穷大为了描述一个要多大有多大的数，而阿列夫数描述的是无限集的势，而且阿列夫数是集合间相互比较（厮杀）产生的无穷大是怎么样的一个概念呢？比如a=1,2,3,4,5,…，a永远不会趋近于某个值，而且可以到达距离原点极远的地方（要多远有多远，你说的任意一个数都可以超越），这就是无穷大代表无穷大的a，是可以参与一切数字运算的，比如a/a=1（如果b=2a，显然b也是无穷大，那么b/a=2），那么你说阿列夫1/阿列夫0是多少？在我看来，无穷大描述的是“大”，而阿列夫数描述的是“多”，就是描述集合里元素的多少再强调一遍，无穷大和阿列夫数没关系【正偶数集和正整数集的双射】显然把正偶数除以2就可以了(2,4,6,8,10,…)除以2变成(1,2,3,4,5,…)%%%引用自百度百科：希尔伯特旅馆（我觉得有道理才引用的，whatever it is）希尔伯特在谈到“无限大数”的奇怪而美妙的性质时说到：我们设想有一家旅馆，内设有限个房间，而所有的房间都已客满。
有限覆盖定理证明cantor定理
有限覆盖定理证明cantor定理有限覆盖定理证明 Cantor 定理Cantor 定理是集合论中的一个重要定理，它由德国数学家 Cantor 在19世纪末提出。
该定理说明了无限集合的势（大小）比有限集合的势要大，即存在无限多个不同大小的无限集合。
本文将使用有限覆盖定理来证明 Cantor 定理。
有限覆盖定理是集合论中的另一个重要定理，它提供了一种刻画有限集合的方法。
该定理指出，对于任意一个有限集合，存在一个有限的覆盖，使得覆盖中的每个元素都只覆盖了集合中的一个元素。
现在，我们来证明 Cantor 定理。
假设存在一个无限集合 A 和一个有限集合 B，我们要证明 A 的势大于 B 的势。
我们可以将 A 分解为两个集合：A1 和 A2。
其中，A1 包含 A 中的所有元素，而A2 包含A 中的一个元素。
显然，A1 和A2 都是无限集合。
接下来，我们将 B 分解为两个集合：B1 和 B2。
其中，B1 包含 B 中的所有元素，而B2 包含B 中的一个元素。
由于B 是有限集合，所以 B1 和 B2 都是有限集合。
根据有限覆盖定理，我们可以找到一个有限的覆盖，使得B1 和B2 中的每个元素都只覆盖了集合中的一个元素。
假设该覆盖中的元素分别为 b1, b2, ..., bn。
现在，我们来构造一个映射f：A1 -> B1 和一个映射g：A2 -> B2。
对于映射f，我们可以将A1 中的每个元素映射到B1 中的一个元素，使得每个元素都只映射了一次。
类似地，对于映射g，我们可以将A2 中的每个元素映射到B2 中的一个元素，使得每个元素也只映射了一次。
现在，我们来构造一个新的集合C，它包含了A 中的所有元素。
对于集合 C 中的每个元素 x，如果 x 属于 A1，则将 f(x) 加入到 C 中；如果 x 属于 A2，则将 g(x) 加入到 C 中。
显然，C 是一个无限集合，因为 A1 和 A2 都是无限集合。
接下来，我们来考虑C 和B 的势之间的关系。
集合势及其运算
第1章 集合论与测度论1.1 集合、势及其运算1.1.1 集合的基本概念定义1.1.1 由具有某种共同特点的个体构成的集体称为集合，（或：集，族，类，簇等）。
集合中的个体称为元素。
a A ∈，a A ∉（或：a A ∈），∅—空集， A B ⊂或B A ⊃（或：A B ⊆或B A ⊇），,A B A B =≠. {:}A B x x A x B =∈∈或称为集A 与集B 的并集（或：和（集））； {:}A B x x A x B =∈∈且称为集A 与集B 的交集（或：通（集））； {:,}IA x I x A αααα∈=∃∈∈使，{:,}IA x I x A αααα∈=∈∈对一切均有，其中I 称为A α的指标集.定义 1.1.2 若AB =∅（A B ≠∅），则称集A 与集B 不相交（相交）；若{}A α的任何两个集没有公共元素，则{}A α是一个不相交的集族.定义1.1.3 {:,}A B x x A x B -=∈∉称为A 与B 的差（集），（读作A 减去B ，或A 差B ）.当B A ⊂时，称差（集）A B -为B 关于A 的补（集）或余集；记为A C B . 当从上下文能清楚地知道是对哪一个较大的集取余集时，A 的余集记为c A . 称集()()A B B A --为集A 与集B 的对称差，记为A B ∆, 即()()A B A B B A ∆=--.注 下列记号在本课程中是固定的：N : 全体自然数构成的集合； :Z 全体整数构成的集合；:Q 全体有理数构成的集合； 1:R 全体实数构成的集合； 1C ：全体复数构成的集合.设X 是一个集合，用2X 表示X 的所有子集构成的集合（或：X 的所有子集构成的集簇，或：X 的所有子集构成的集类），称之为X 的幂集（合）。
1.1.2 集合的运算1) ,AA A A A A ==； （并、交的幂等性）若A B ⊂，则AB B =，A B A =；2) A A ∅=（空集是加法的零元），A ∅=∅ 3) A B B A = （并的交换律）A B BA= （交的交换律） 4) ()()A B C A B C = （并的结合律） ()()AB C A B C = （交的结合律）设I 是指标集，则5) ()(),()()IIIIA B A B A B A B αααααααα∈∈∈∈==;（分配律）6) (),()IIIIB A B A B A B A αααααααα∈∈∈∈-=--=-；(),()IIIIA B A BA B A B αααααααα∈∈∈∈-=--=-；()c cIIA A αααα∈∈=， ()c cIIA A αααα∈∈=； （德⋅摩根（De Mongan ）律）7) ()c cA A =； 8) ()()()A B C A C B C -=-； （“减法”分配律）9) ()()C A B C A B --=-，c A B A B -=；10) ()()AB A B A B =∆.1.1.3 上限集、下限集及其他定义1.1.4 设12,,,,n A A A 是任意一列集，称lim limsup n n n n A A →∞→∞= (1.1.1)为集列{}n A 的上限集；它是由属于集列{}n A 中无数多个集的元素的全体所组成的集合，即：1lim {,{},1,2,}m m n k k n n m A xx A A A m ∞→∞==∈∈=.称lim liminf n n n n A A →∞→∞= (1.1.2)为集列{}n A 的下限集；它是由属于集列{}n A 中从某个指标()N N x =（这个指标不是固定的，与元素x 有关）以后的所有集n A 都包含的元素的全体（即除去有限多个集外的所有集n A 所含有的元素）所组成的集合，即lim {(),,}n m n m NA x N N x n N x A ∞→∞==∃=≥∈当时.定理1.1.1 设{}n A 是任意一列集，则1lim n m n n m nA A ∞∞→∞===， 1l i m n m n n m nA A ∞∞→∞===. (1.1.3)证 (1) 记lim n n P A →∞=，1m n m nQ A ∞∞===. 往证P Q =.对x P ∀∈，由上限集的定义，x 属于{}n A 中无限个集，不妨设x 同时属于121,,,,(,1,2,)k n n n k k A A A n n k +<=. 于是，对任意自然数n ，当k n n >时，k n m m nx A A ∞=∈⊂，故1m n m n x A Q ∞∞==∈=，即P Q ⊂.反之，对1m n m ny Q A ∞∞==∀∈=，往证：在{}n A 中必有无限个集同时含有元素y .In fact ，取1n =，因为1m m y A ∞=∈，所以必存在自然数1n ，使得1n y A ∈；又因为11m m n y A ∞=+∈，所以必存在自然数21n n >，使得2n y A ∈；这样的过程一直进行下去，得到一列自然数{}k n ，12k n n n <<<<，而集12,,,,k n n n A A A 都含有元素y ，因此y P ∈，于是又有Q P ⊂.综上所述，有P Q =.(2) 记lim n n A A →∞=，1m n m nB A ∞∞===. 往证A B =.对x A ∀∈，由下限集的定义，存在自然数()N N x =（与x 有关），当n N ≥时，n x A ∈.于是，1m m m Nn m nx A A B ∞∞∞===∈⊂=对，即A B ⊂.反之，对1m n m n y B A ∞∞==∀∈=，往证：存在自然数N ，当n N ≥时，n x A ∈.In fact ，因为1m n m ny B A ∞∞==∈=，所以存在自然数N ，使m m Ny A ∞=∈，即当n N ≥时，n x A ∈. 因此y A ∈，于是又有B A ⊂.综上所述，有A B =. 证毕！注 若从有关集本身所具有的含义去理解，等式(1.1.3)的成立是很明显的。
集合的势,你了解吗~
集合的势,你了解吗~布于 2021-09-06 23:42写在前⾯我的好朋友们，⼤家好哎~ 好久没有更新啦，所以今天xia写⼀些东西，谈⼀下⾃⼰对集合的认识，代表我还在呢！^-^ 反正最近就是去外边⼲项⽬了，⼜学了⼀堆奇奇怪怪的知识，也发⽣了许多神奇的事情~~~摘要: 本⽂的相关内容主要取⾃本学年开设的泛函分析课程，对集合的势理论做了深⼊的分析与思考，其中还涉及了映射关系、集合势的意义、⽆穷⼤与阿列夫数以及⼀些看起来的悖论命题等部分。
1引⾔初次接触泛函分析，⼼⾥还是怀着激动的⼼情，毕竟⼏年都没有接触数学⽅⾯的知识，对于这门课在⾃⼰后⾯的科研学习中到底有多⼤的作⽤，暂时我还不能得知，但隐隐约约感到这⼀门课程将会影响我的数学思维，给我带来潜移默化的影响。
相信⼤多数⼈对于数学的直观感受就是晦涩难懂，尤其是像泛函分析这种纯理论推理证明的课程，有这些感受我认为是很正常的，⾄少当初⾃⼰也是这么认为的，但总的来讲正是有了这些⾼度抽象的理论，才让我们发现了宇宙的奥妙以及事物的本质，⽐如海王星的发现，光的波粒⼆象性等等，⽆不涉及数学。
⽽相⽐数学中的那些定理公式，我更喜欢那些定理公式后有趣的数学故事，⽐如像希尔伯特的"旅馆"、⽜顿的"苹果"等，因为每⼀个故事背后都蕴含着深刻的理论，通过这些故事更能深⼊地理解那些理论，也会使得数学显得不在那么枯燥乏味，尤其是像泛函分析这类纯理论推理证明的课程。
说是应⽤泛函分析课程，倒不如说是预备知识课程，因为学习泛函分析需要掌握众多的基础理论知识，像集合、映射、势、测度以及距离空间等⼀系类的预备知识。
本来打算要写对测度理论的理解与分析，由于测度⾃⼰学的还不够深⼊，想了想还是写写⾃⼰⽐较感兴趣的集合这个专题，本⽂将主要围绕集合的势进⾏展开，分享⼀下⾃⼰的所学所想。
2集合⾥的映射关系映射作为集合中常见的⼀种对应关系，算是⽐较重要的概念。
映射关系在⽇常⽣活当中，也是⾮常的普遍，⽐如在⼀定年龄段，你的⾝⾼总是与体重呈现某种关系，这是⼀种简单的映射。
第八章函数与集合的势
f(i,j)=
1 2
[(i+j)2-i-3j]
1
2
3
4
…
1 (1.1) (1.2) (1.3) (1.4) …
2 (2.1) (2.2) (2.3) (2.4) …
3 (3.1) (3.2) (3.3) (3.4) …
4 (4.1) (4.2) (4.3) (4.4) …
……………
图8.1 两个可数无限集的排列图
36
第八章 函数与集合的势
8.1 函数的基本概念 8.2 函数的复合和可逆函数 8.3 无限集 8.4 集合势大小的比较 8.5 鸽巢原理
37
鸽巢原理
任意取出3个自然数，至少有两个数是同奇偶的 任意11个人各自写出一个幸运数字，则至少有两
人写出的幸运数字相同。 任意13个人说出自己的生日星座，则至少有两人
g(0)=0.a00a01a02a03a04… g(1)=0.a10a11a12a13a14… g(2)=0.a20a21a22a23a24… g(3)=0.a30a31a32a33a34… g(4)=0.a40a41a42a43a44… ……
g(0)=0.a00a01a02a03a04… g(1)=0.a10a11a12a13a14… g(2)=0.a20a21a22a23a24… g(3)=0.a30a31a32a33a34… g(4)=0.a40a41a42a43a44… ……
定理1 自然数集N是无限集。
证明：用反证法，设存在n∊N，使得 |N|=| {0, 1, 2, ⋯, n-1} | 。
令 g: {0, 1, 2, ⋯, n-1} →N是双射。 设
k=1+max{g(0), g(1), ⋯,g(n-1)}， 显然，k∊N，但对于任意的x∊{0, 1, 2, ⋯, n-1}，
第七讲：集合的势
据此，还不能确定归纳集是否存在。大多数人 认为宇宙是无穷的（ Hilbert 则否）为了保证
归纳集的存在，引入无穷公理
自然数与无穷集合 7
无穷公理
无穷公理（Axiom of Infinity，无穷性原则）： ∃������ ∅ ∈ ������ ∧ ∀������ ∈ ������ ������ + ∈ ������
等势关系的性质
自反性：������������ : ������ 对称性：������: ������
������−������,������������������������
������
−������
������−������,������������������������
������ ⇒ ������
⑵ 令ℕ∗ = {0,11 , 22 , 33 , 44 , 55 , ⋯ }，易见ℕ ≈ ℕ∗
18
有穷集与无穷集
关于无穷集的讨论：等势与集合相等（续）
Hilbert 佯谬： ������, ������, ������, ⋯ ≈ ������, ������, ������, ⋯
有穷集与无穷集
������，记为������ ≈ ������（或������~������）
12
有穷集与无穷集
有穷集与无穷集
定义（有穷集,无穷集,可列集）：������为集合，
⑴若有自然数������使得������ ≈ ������，则称������为有穷集，
且记������的势（或称基数，cardinal）为 ������ = ������
10
自然数与无穷集合
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希尔伯特旅馆
我们再设想一个有无限房间旅馆,各个房间也都住满了客人. 这时又来了无穷多位要求订房间的客人.“好的，先生们请 等一会儿.”旅馆主人说.
解决问题方案：第n号房间的客人移到2n号房间
希尔伯特旅馆
这样继续下去,原来的客人都住进了双号房间,所有的单号 房间都腾出来了,新来的无穷多位客人可以住进单号房间， 问题就解决了！
例2 f ( x) loga x
y loga x x a y , x与y互换得y a x ,所以f 1( x) a x
特别当a e, f ( x) ln x f 1( x) e x
例3 f ( x) sin x,( / 2, / 2) y sin x x arcsin( y), x与y互换得y arcsin( x),所以f 1( x) arcsin( x)
集合映射基本术语
映射丼例
(1) sin x : (, ) [1,1]
(2) tan x : ( 2, 2) (, )
(3) arctan x : (, ) ( 2, 2)
(4) e x :
(, ) (0, )
(5) ln x : (0, ) (, ) (6) 数列{an }可看成是N *到R的映射
集合映射基本术语
定义2 相等映射 设f : A B,g : A B,若对x A,都有
f (x) g(x) 则称映射f 和 g相等,记为f g.
定义3 复合映射
设f : B C ,g : A B,当x A,定义映射
( f g)( x) f (g( x)) 为映射f 与g的复合映射. 注：复合映射的定义域要匹配
复合丼例2 y arccos(ln(| sin x | 1))
集合映射基本术语
定义4 单 射 f : A B
x, y A,如 x y, 则f ( x) f ( y).则称f 为单射.
4
10
4
10
3
7
3
4
2
4
2
2
1
2
1
f
g
A
B
A
B
f 为单射，g不是单射.
集合映射基本术语
定义5 满 射 f : A B,若f ( A) B,则称f 为满射.
例1 设f ( x) x , g( x) x10 , h( x) x 3,求f g h. 1 x
解： f g h( x) f (g(h( x))) f (g( x 3))
f
((
x
3)10
)
(
( x
x
3)10 3)10
. 1
例 2 设f ( x) ax b,求f n( x).
xn1 , xn2 , xn3 , xn4 ................ ..................................................
重新排列：x11 , x21 , x12 , x31 , 1, 2, 3, 4,
可见 S N*, 结论得证.
希尔伯特旅馆
集合势的定义不基本性质
集合的分类 定义（至多可数集）
设Nn 1, 2, , n
1 n N * , 使A~Nn ,则称A为有限集
2 若A不是有限集,则称A为无限集
3 若A ~ N * ,则称A为可数集
不是有限集和可数集的集合称为不可数集
有限和可数集统称为至多可数集
集合
有限集
可数集
至多可数集
例2 设A是[0,1]上有理数的全体,则A是可数集.
证明: 将A的元素排列
0, 1, 1, 2
得到排列： 0,1, 1 , 1 , 2 , 1 , 2 , 3 , 233444
12 ,,
33 1 ，2 ，3 ， 444
去掉重复得到排列： 0,1, 1 , 1 , 2 , 1 , 3 ,
23344
1，2，3，4，5，6 ，7，
1 ，2 ，3 ，4 ，因此集合[0,1]中 5555
有理数是可数集.
思考题目：有理数集合是可数集
集合势的定义不基本性质(1)
例3 证明(0,1)与[0,1]有相同的势.
证明： A [0,1]
:
A1
{0,1, 1 , 1 , 1 234
,1, n
} , A2 A A1
111
B
(0,1)
:
集合映射基本术语
x
g
g( x)
f ( g( x)) f
输入
输出
g
f
x
g( x)
f ( g( x))
fg
推广：fi : Ai Ai1 , i 1, 2, 3, 4, , n,
f1 f2
fn f1 f2
fn1 fn x
特殊情况：f : A A, f n f f
f
集合映射基本术语
x
yB
f 1
f 1( y)
f
y
I A, IB分别称为A, B上的恒等映射.
集合映射基本术语
求逆映射丼例 例1 求f ( x) x3 2的逆映射(反函数)
步一:将映射写成 y x3 2 步二:解出x x3 y 2 x 3 y 2 步三:x与y位置互换 y 3 x 2 因此逆映射(反函数) f 1( x) 3 x 2
解: f 2( x) a ax b b a2 x ab b a2 x a 1 b
f 3( x) a a2 x ab b b a3 x a2 a 1 b
数学归纳法：
f n( x) an x (an1 an2 a 1)b.
集合映射基本术语
复合丼例1 y cos(ex )
希尔伯特旅馆
有一家旅馆,内设有有限个房间,而所有的房间都已客满.这 时来了一位新客,想定个房间,“对丌起”旅馆主人说“所 有房间都住满了。”
希尔伯特旅馆
现在设想另一家旅馆,内设有无限个房间,所有的房间也都 客满了.这时有一位新客,想订个房间.“丌成问题！”旅馆 主人说。 他就把1号房间的旅客移到2 号房间,2号房间的旅客移到3 号房间…,这样继续下去.新客 被安排住进了已被腾空的1号 房间。
f2 ( x) x, x A2
f2是A2到B2的一一映射.
集合势的定义不基本性质(2)
集合势的基本结论
定理1 可数集的任何无限子集是可数集
定理2 En为可数集序列,则S En可数集
n1
定理3 全体有理数集合为可数集
定理4 实数集合是不可数集
集合势的定义不基本性质
定理2证明:设En是至多可数集合, n 1, 2, 3, .
集合势的定义不基本性质
集合势的定义不基本性质
集合势的定义 如果集合A与B间存在一一映射, 则称A与B有相同的势或等价.
记为 A ~ B
集合等价的性质
自反性： A ~ A
对称性： 如 A ~ B, 则 B ~ A. 传递性： 如 A ~ B, B ~ C, 则 A ~ C.
利用等价关系可以对集合进行分类 ——“等价类” “势是一种相同的特征”
定义6 一一对应 f : A B,既是单射,又是满射.
1
x
2
y
3
z
4
e
5
w
A B
1
x
2
y
3
z
4
e
5
w
A B
集合映射基本术语
定义7 映射的逆像
设f : A B, F B,则A的子集
f 1( F ) { x A : f ( x) F }.
称为F的逆像.
Q
1
W
2
E
3
R
4
T
f 1 Q 1 f 1 E f 1 R 3,4
这样安排所有的旅客而且空出了1,6, 10,12,14…这些丌能表示为 奇素数的K次幂的房间。
希尔伯特旅馆 无穷个可数集的并 可数集
集合势的定义不基本性质
作业题目
1)
y
sin
x,
2
,
2
1,1
2)
y
tan
x
2,1,1来自,3)证明：2
,
2
1,1
, 1,1
, a,b a,b a,b a,b 0, ,0
无限集 不可数集
集合势的定义不基本性质
例 1 设Z是整数的全体,则Z是可数集. 证明: 将Z的元素排列
0,1, 1, 2, 2, 3, 3,
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
定义: f (n)
n
n 2k
2
, k 1, 2,
(n 1) n 2k 1
2
则f 定义了N * Z的一一映射,得证.
集合势的定义不基本性质
可数集+可数集 可数集
希尔伯特旅馆
此时又来了无穷多个旅游大巴,每个旅游大巴有无穷多个旅客, 老板丌慌丌忙,“好的，先生们请再等一会儿.”旅馆主人说.
解决问题方案：让原来的n号房间客人搬到2的n次方 号房间
希尔伯特旅馆
将所有奇素数排成一 aij：第i辆大巴第 j 位乘客，j 1,2,3,4, 列也是一个无穷集合. aij：aij安排第i个奇素数的j次幂房间
第1讲 集合不集合基本性质
集合映射基本术语
几个基本定义
定义1 设A, B为两个集合,如果f 是一种规则，
对x A, 在B中有唯一元素f ( x)与之对应,
称f 是A到B的映射.
f :AB
A称为f 的定义域.
A
B
f
x
f (x)
f ( x) B, 称为x在 f 下的像.A中元素x的像的全体称
为映射的值域记为f A y y B, y f x , x A