集合与集合的势
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+N(有限数) ，可数集+N(有限数) 可数集
希尔伯特旅馆
我们再设想一个有无限房间旅馆,各个房间也都住满了客人. 这时又来了无穷多位要求订房间的客人.“好的，先生们请 等一会儿.”旅馆主人说.
解决问题方案：第n号房间的客人移到2n号房间
希尔伯特旅馆
这样继续下去,原来的客人都住进了双号房间,所有的单号 房间都腾出来了,新来的无穷多位客人可以住进单号房间， 问题就解决了！
例2 f ( x) loga x
y loga x x a y , x与y互换得y a x ,所以f 1( x) a x
特别当a e, f ( x) ln x f 1( x) e x
例3 f ( x) sin x,( / 2, / 2) y sin x x arcsin( y), x与y互换得y arcsin( x),所以f 1( x) arcsin( x)
集合映射基本术语
映射丼例
(1) sin x : (, ) [1,1]
(2) tan x : ( 2, 2) (, )
(3) arctan x : (, ) ( 2, 2)
(4) e x :
(, ) (0, )
(5) ln x : (0, ) (, ) (6) 数列{an }可看成是N *到R的映射
集合映射基本术语
定义2 相等映射 设f : A B,g : A B,若对x A,都有
f (x) g(x) 则称映射f 和 g相等,记为f g.
定义3 复合映射
设f : B C ,g : A B,当x A,定义映射
( f g)( x) f (g( x)) 为映射f 与g的复合映射. 注：复合映射的定义域要匹配
复合丼例2 y arccos(ln(| sin x | 1))
集合映射基本术语
定义4 单 射 f : A B
x, y A,如 x y, 则f ( x) f ( y).则称f 为单射.
4
10
4
10
3
7
3
4
2
4
2
2
1
2
1
f
g
A
B
A
B
f 为单射，g不是单射.
集合映射基本术语
定义5 满 射 f : A B,若f ( A) B,则称f 为满射.
例1 设f ( x) x , g( x) x10 , h( x) x 3,求f g h. 1 x
解： f g h( x) f (g(h( x))) f (g( x 3))
f
((
x
3)10
)
(
( x
x
3)10 3)10
. 1
例 2 设f ( x) ax b,求f n( x).
xn1 , xn2 , xn3 , xn4 ................ ..................................................
重新排列：x11 , x21 , x12 , x31 , 1, 2, 3, 4,
可见 S N*, 结论得证.
希尔伯特旅馆
集合势的定义不基本性质
集合的分类 定义（至多可数集）
设Nn 1, 2, , n
1 n N * , 使A~Nn ,则称A为有限集
2 若A不是有限集,则称A为无限集
3 若A ~ N * ,则称A为可数集
不是有限集和可数集的集合称为不可数集
有限和可数集统称为至多可数集
集合
有限集
可数集
至多可数集
例2 设A是[0,1]上有理数的全体,则A是可数集.
证明: 将A的元素排列
0, 1, 1, 2
得到排列： 0,1, 1 , 1 , 2 , 1 , 2 , 3 , 233444
12 ,,
33 1 ，2 ，3 ， 444
去掉重复得到排列： 0,1, 1 , 1 , 2 , 1 , 3 ,
23344
1，2，3，4，5，6 ，7，
1 ，2 ，3 ，4 ，因此集合[0,1]中 5555
有理数是可数集.
思考题目：有理数集合是可数集
集合势的定义不基本性质(1)
例3 证明(0,1)与[0,1]有相同的势.
证明： A [0,1]
:
A1
{0,1, 1 , 1 , 1 234
,1, n
} , A2 A A1
111
B
(0,1)
:
集合映射基本术语
x
g
g( x)
f ( g( x)) f
输入
输出
g
f
x
g( x)
f ( g( x))
fg
推广：fi : Ai Ai1 , i 1, 2, 3, 4, , n,
f1 f2
fn f1 f2
fn1 fn x
特殊情况：f : A A, f n f f
f
集合映射基本术语
x
yB
f 1
f 1( y)
f
y
I A, IB分别称为A, B上的恒等映射.
集合映射基本术语
求逆映射丼例 例1 求f ( x) x3 2的逆映射(反函数)
步一:将映射写成 y x3 2 步二:解出x x3 y 2 x 3 y 2 步三:x与y位置互换 y 3 x 2 因此逆映射(反函数) f 1( x) 3 x 2
解: f 2( x) a ax b b a2 x ab b a2 x a 1 b
f 3( x) a a2 x ab b b a3 x a2 a 1 b
数学归纳法：
f n( x) an x (an1 an2 a 1)b.
集合映射基本术语
复合丼例1 y cos(ex )
希尔伯特旅馆
有一家旅馆,内设有有限个房间,而所有的房间都已客满.这 时来了一位新客,想定个房间,“对丌起”旅馆主人说“所 有房间都住满了。”
希尔伯特旅馆
现在设想另一家旅馆,内设有无限个房间,所有的房间也都 客满了.这时有一位新客,想订个房间.“丌成问题！”旅馆 主人说。 他就把1号房间的旅客移到2 号房间,2号房间的旅客移到3 号房间…,这样继续下去.新客 被安排住进了已被腾空的1号 房间。
f2 ( x) x, x A2
f2是A2到B2的一一映射.
集合势的定义不基本性质(2)
集合势的基本结论
定理1 可数集的任何无限子集是可数集
定理2 En为可数集序列,则S En可数集
n1
定理3 全体有理数集合为可数集
定理4 实数集合是不可数集
集合势的定义不基本性质
定理2证明:设En是至多可数集合, n 1, 2, 3, .
集合势的定义不基本性质
集合势的定义不基本性质
集合势的定义 如果集合A与B间存在一一映射, 则称A与B有相同的势或等价.
记为 A ~ B
集合等价的性质
自反性： A ~ A
对称性： 如 A ~ B, 则 B ~ A. 传递性： 如 A ~ B, B ~ C, 则 A ~ C.
利用等价关系可以对集合进行分类 ——“等价类” “势是一种相同的特征”
定义6 一一对应 f : A B,既是单射,又是满射.
1
x
2
y
3
z
4
e
5
w
A B
1
x
2
y
3
z
4
e
5
w
A B
集合映射基本术语
定义7 映射的逆像
设f : A B, F B,则A的子集
f 1( F ) { x A : f ( x) F }.
称为F的逆像.
Q
1
W
2
E
3
R
4
T
f 1 Q 1 f 1 E f 1 R 3,4
这样安排所有的旅客而且空出了1,6, 10,12,14…这些丌能表示为 奇素数的K次幂的房间。
希尔伯特旅馆 无穷个可数集的并 可数集
集合势的定义不基本性质
作业题目
1)
y
sin
x,
2
,
2
1,1
2)
y
tan
x
2,1,1来自,3)证明：2
,
2
1,1
, 1,1
, a,b a,b a,b a,b 0, ,0
无限集 不可数集
集合势的定义不基本性质
例 1 设Z是整数的全体,则Z是可数集. 证明: 将Z的元素排列
0,1, 1, 2, 2, 3, 3,
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
定义: f (n)
n
n 2k
2
, k 1, 2,
(n 1) n 2k 1
2
则f 定义了N * Z的一一映射,得证.
集合势的定义不基本性质
可数集+可数集 可数集
希尔伯特旅馆
此时又来了无穷多个旅游大巴,每个旅游大巴有无穷多个旅客, 老板丌慌丌忙,“好的，先生们请再等一会儿.”旅馆主人说.
解决问题方案：让原来的n号房间客人搬到2的n次方 号房间
希尔伯特旅馆
将所有奇素数排成一 aij：第i辆大巴第 j 位乘客，j 1,2,3,4, 列也是一个无穷集合. aij：aij安排第i个奇素数的j次幂房间
第1讲 集合不集合基本性质
集合映射基本术语
几个基本定义
定义1 设A, B为两个集合,如果f 是一种规则，
对x A, 在B中有唯一元素f ( x)与之对应,
称f 是A到B的映射.
f :AB
A称为f 的定义域.
A
B
f
x
f (x)
f ( x) B, 称为x在 f 下的像.A中元素x的像的全体称
为映射的值域记为f A y y B, y f x , x A
f
集合映射基本术语
定义8 逆映射
设 f : A B为一一映射,定义f 1 : B A, 满足
f 1 f (x) f 1( f (x)) x, x A. f 1 f I A f f 1( y) f ( f 1( y)) y, y B.
f f 1 IB
x A
f
f (x)
f 1
，
令S En En xn1, xn2 , , xnk , , 考虑如下排列：
n1
x11 , x12 , x13 , x14 ................ x21 , x22 , x23 , x24 ................ x31 , x32 , x33 , x34 ................ x41 , x42 , x43 , x44 ................ .................................................
B1
{ , , , 234
,1, n
} , B2 B B1
则A2 B2 .
定义映射:
1 / 2, x 0
f1
f1(0) 1/ 2
f1
(
1 n
)
1
/
n
2,n
N
*
映射f ( x) 1 /(n 2), x 1 / n x, 其它
是A到B的一一映射.
f1是A1到B1的一一映射.
因此[0,1]与(0,1)有相同的势.
希尔伯特旅馆
我们再设想一个有无限房间旅馆,各个房间也都住满了客人. 这时又来了无穷多位要求订房间的客人.“好的，先生们请 等一会儿.”旅馆主人说.
解决问题方案：第n号房间的客人移到2n号房间
希尔伯特旅馆
这样继续下去,原来的客人都住进了双号房间,所有的单号 房间都腾出来了,新来的无穷多位客人可以住进单号房间， 问题就解决了！
例2 f ( x) loga x
y loga x x a y , x与y互换得y a x ,所以f 1( x) a x
特别当a e, f ( x) ln x f 1( x) e x
例3 f ( x) sin x,( / 2, / 2) y sin x x arcsin( y), x与y互换得y arcsin( x),所以f 1( x) arcsin( x)
集合映射基本术语
映射丼例
(1) sin x : (, ) [1,1]
(2) tan x : ( 2, 2) (, )
(3) arctan x : (, ) ( 2, 2)
(4) e x :
(, ) (0, )
(5) ln x : (0, ) (, ) (6) 数列{an }可看成是N *到R的映射
集合映射基本术语
定义2 相等映射 设f : A B,g : A B,若对x A,都有
f (x) g(x) 则称映射f 和 g相等,记为f g.
定义3 复合映射
设f : B C ,g : A B,当x A,定义映射
( f g)( x) f (g( x)) 为映射f 与g的复合映射. 注：复合映射的定义域要匹配
复合丼例2 y arccos(ln(| sin x | 1))
集合映射基本术语
定义4 单 射 f : A B
x, y A,如 x y, 则f ( x) f ( y).则称f 为单射.
4
10
4
10
3
7
3
4
2
4
2
2
1
2
1
f
g
A
B
A
B
f 为单射，g不是单射.
集合映射基本术语
定义5 满 射 f : A B,若f ( A) B,则称f 为满射.
例1 设f ( x) x , g( x) x10 , h( x) x 3,求f g h. 1 x
解： f g h( x) f (g(h( x))) f (g( x 3))
f
((
x
3)10
)
(
( x
x
3)10 3)10
. 1
例 2 设f ( x) ax b,求f n( x).
xn1 , xn2 , xn3 , xn4 ................ ..................................................
重新排列：x11 , x21 , x12 , x31 , 1, 2, 3, 4,
可见 S N*, 结论得证.
希尔伯特旅馆
集合势的定义不基本性质
集合的分类 定义（至多可数集）
设Nn 1, 2, , n
1 n N * , 使A~Nn ,则称A为有限集
2 若A不是有限集,则称A为无限集
3 若A ~ N * ,则称A为可数集
不是有限集和可数集的集合称为不可数集
有限和可数集统称为至多可数集
集合
有限集
可数集
至多可数集
例2 设A是[0,1]上有理数的全体,则A是可数集.
证明: 将A的元素排列
0, 1, 1, 2
得到排列： 0,1, 1 , 1 , 2 , 1 , 2 , 3 , 233444
12 ,,
33 1 ，2 ，3 ， 444
去掉重复得到排列： 0,1, 1 , 1 , 2 , 1 , 3 ,
23344
1，2，3，4，5，6 ，7，
1 ，2 ，3 ，4 ，因此集合[0,1]中 5555
有理数是可数集.
思考题目：有理数集合是可数集
集合势的定义不基本性质(1)
例3 证明(0,1)与[0,1]有相同的势.
证明： A [0,1]
:
A1
{0,1, 1 , 1 , 1 234
,1, n
} , A2 A A1
111
B
(0,1)
:
集合映射基本术语
x
g
g( x)
f ( g( x)) f
输入
输出
g
f
x
g( x)
f ( g( x))
fg
推广：fi : Ai Ai1 , i 1, 2, 3, 4, , n,
f1 f2
fn f1 f2
fn1 fn x
特殊情况：f : A A, f n f f
f
集合映射基本术语
x
yB
f 1
f 1( y)
f
y
I A, IB分别称为A, B上的恒等映射.
集合映射基本术语
求逆映射丼例 例1 求f ( x) x3 2的逆映射(反函数)
步一:将映射写成 y x3 2 步二:解出x x3 y 2 x 3 y 2 步三:x与y位置互换 y 3 x 2 因此逆映射(反函数) f 1( x) 3 x 2
解: f 2( x) a ax b b a2 x ab b a2 x a 1 b
f 3( x) a a2 x ab b b a3 x a2 a 1 b
数学归纳法：
f n( x) an x (an1 an2 a 1)b.
集合映射基本术语
复合丼例1 y cos(ex )
希尔伯特旅馆
有一家旅馆,内设有有限个房间,而所有的房间都已客满.这 时来了一位新客,想定个房间,“对丌起”旅馆主人说“所 有房间都住满了。”
希尔伯特旅馆
现在设想另一家旅馆,内设有无限个房间,所有的房间也都 客满了.这时有一位新客,想订个房间.“丌成问题！”旅馆 主人说。 他就把1号房间的旅客移到2 号房间,2号房间的旅客移到3 号房间…,这样继续下去.新客 被安排住进了已被腾空的1号 房间。
f2 ( x) x, x A2
f2是A2到B2的一一映射.
集合势的定义不基本性质(2)
集合势的基本结论
定理1 可数集的任何无限子集是可数集
定理2 En为可数集序列,则S En可数集
n1
定理3 全体有理数集合为可数集
定理4 实数集合是不可数集
集合势的定义不基本性质
定理2证明:设En是至多可数集合, n 1, 2, 3, .
集合势的定义不基本性质
集合势的定义不基本性质
集合势的定义 如果集合A与B间存在一一映射, 则称A与B有相同的势或等价.
记为 A ~ B
集合等价的性质
自反性： A ~ A
对称性： 如 A ~ B, 则 B ~ A. 传递性： 如 A ~ B, B ~ C, 则 A ~ C.
利用等价关系可以对集合进行分类 ——“等价类” “势是一种相同的特征”
定义6 一一对应 f : A B,既是单射,又是满射.
1
x
2
y
3
z
4
e
5
w
A B
1
x
2
y
3
z
4
e
5
w
A B
集合映射基本术语
定义7 映射的逆像
设f : A B, F B,则A的子集
f 1( F ) { x A : f ( x) F }.
称为F的逆像.
Q
1
W
2
E
3
R
4
T
f 1 Q 1 f 1 E f 1 R 3,4
这样安排所有的旅客而且空出了1,6, 10,12,14…这些丌能表示为 奇素数的K次幂的房间。
希尔伯特旅馆 无穷个可数集的并 可数集
集合势的定义不基本性质
作业题目
1)
y
sin
x,
2
,
2
1,1
2)
y
tan
x
2,1,1来自,3)证明：2
,
2
1,1
, 1,1
, a,b a,b a,b a,b 0, ,0
无限集 不可数集
集合势的定义不基本性质
例 1 设Z是整数的全体,则Z是可数集. 证明: 将Z的元素排列
0,1, 1, 2, 2, 3, 3,
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
定义: f (n)
n
n 2k
2
, k 1, 2,
(n 1) n 2k 1
2
则f 定义了N * Z的一一映射,得证.
集合势的定义不基本性质
可数集+可数集 可数集
希尔伯特旅馆
此时又来了无穷多个旅游大巴,每个旅游大巴有无穷多个旅客, 老板丌慌丌忙,“好的，先生们请再等一会儿.”旅馆主人说.
解决问题方案：让原来的n号房间客人搬到2的n次方 号房间
希尔伯特旅馆
将所有奇素数排成一 aij：第i辆大巴第 j 位乘客，j 1,2,3,4, 列也是一个无穷集合. aij：aij安排第i个奇素数的j次幂房间
第1讲 集合不集合基本性质
集合映射基本术语
几个基本定义
定义1 设A, B为两个集合,如果f 是一种规则，
对x A, 在B中有唯一元素f ( x)与之对应,
称f 是A到B的映射.
f :AB
A称为f 的定义域.
A
B
f
x
f (x)
f ( x) B, 称为x在 f 下的像.A中元素x的像的全体称
为映射的值域记为f A y y B, y f x , x A
f
集合映射基本术语
定义8 逆映射
设 f : A B为一一映射,定义f 1 : B A, 满足
f 1 f (x) f 1( f (x)) x, x A. f 1 f I A f f 1( y) f ( f 1( y)) y, y B.
f f 1 IB
x A
f
f (x)
f 1
，
令S En En xn1, xn2 , , xnk , , 考虑如下排列：
n1
x11 , x12 , x13 , x14 ................ x21 , x22 , x23 , x24 ................ x31 , x32 , x33 , x34 ................ x41 , x42 , x43 , x44 ................ .................................................
B1
{ , , , 234
,1, n
} , B2 B B1
则A2 B2 .
定义映射:
1 / 2, x 0
f1
f1(0) 1/ 2
f1
(
1 n
)
1
/
n
2,n
N
*
映射f ( x) 1 /(n 2), x 1 / n x, 其它
是A到B的一一映射.
f1是A1到B1的一一映射.
因此[0,1]与(0,1)有相同的势.