(完整版)上海中考数学知识点梳理

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上海市中考初三数学知识点王港中学各位亲爱的初三同学看过来,初三知识点早知道,老师整理了五个大类,二十八个知识点,整个初三的知识点如下所示:一、相似三角形(7个考点)考点1:相似三角形的概念、相似比的意义、画图形的放大和缩小考核要求:(1)理解相似形的概念;(2)掌握相似图形的特点以及相似比的意义,能将已知图形按照要求放大和缩小.考点2:平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的有关定理考核要求:理解并利用平行线分线段成比例定理解决一些几何证明和几何计算.注意:被判定平行的一边不可以作为条件中的对应线段成比例使用.考点3:相似三角形的概念考核要求:以相似三角形的概念为基础,抓住相似三角形的特征,理解相似三角形的定义. 考点4:相似三角形的判定和性质及其应用考核要求:熟练掌握相似三角形的判定定理(包括预备定理、三个判定定理、直角三角形相似的判定定理)和性质,并能较好地应用.考点5:三角形的重心考核要求:知道重心的定义并初步应用.考点6:向量的有关概念考点7:向量的加法、减法、实数与向量相乘、向量的线性运算考核要求:掌握实数与向量相乘、向量的线性运算二、锐角三角比(2个考点)考点8:锐角三角比(锐角的正弦、余弦、正切、余切)的概念,30度、45度、60度角的三角比值.考点9:解直角三角形及其应用考核要求:(1)理解解直角三角形的意义;(2)会用锐角互余、锐角三角比和勾股定理等解直角三角形和解决一些简单的实际问题,尤其应当熟练运用特殊锐角的三角比的值解直角三角形.三、二次函数(4个考点)考点10:函数以及函数的定义域、函数值等有关概念,函数的表示法,常值函数考核要求:(1)通过实例认识变量、自变量、因变量,知道函数以及函数的定义域、函数值等概念;(2)知道常值函数;(3)知道函数的表示方法,知道符号的意义.考点11:用待定系数法求二次函数的解析式考核要求:(1)掌握求函数解析式的方法;(2)在求函数解析式中熟练运用待定系数法.注意求函数解析式的步骤:一设、二代、三列、四还原.考点12:画二次函数的图像考核要求:(1)知道函数图像的意义,会在平面直角坐标系中用描点法画函数图像;(2)理解二次函数的图像,体会数形结合思想;(3)会画二次函数的大致图像.考点13:二次函数的图像及其基本性质考核要求:(1)借助图像的直观、认识和掌握一次函数的性质,建立一次函数、二元一次方程、直线之间的联系;(2)会用配方法求二次函数的顶点坐标,并说出二次函数的有关性质. 注意:(1)解题时要数形结合;(2)二次函数的平移要化成顶点式.四、圆的相关概念(6个考点)考点14:圆心角、弦、弦心距的概念考核要求:清楚地认识圆心角、弦、弦心距的概念,并会用这些概念作出正确的判断.考点15:圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系考核要求:认清圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系,在理解有关圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的定理及其推论的基础上,运用定理进行初步的几何计算和几何证明.考点16:垂径定理及其推论垂径定理及其推论是圆这一板块中最重要的知识点之一.考点17:直线与圆、圆与圆的位置关系及其相应的数量关系直线与圆的位置关系可从与之间的关系和交点的个数这两个侧面来反映.在圆与圆的位置关系中,常需要分类讨论求解.考点18:正多边形的有关概念和基本性质考核要求:熟悉正多边形的有关概念(如半径、边心距、中心角、外角和),并能熟练地运用正多边形的基本性质进行推理和计算,在正多边形的计算中,常常利用正多边形的半径、边心距和边长的一半构成的直角三角形,将正多边形的计算问题转化为直角三角形的计算问题.考点19:画正三、四、六边形.考核要求:能用基本作图工具,正确作出正三、四、六边形.五、数据整理和概率统计(9个考点)考点20:确定事件和随机事件考核要求:(1)理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念,知道确定事件与必然事件、不可能事件的关系;(2)能区分简单生活事件中的必然事件、不可能事件、随机事件.考点21:事件发生的可能性大小,事件的概率考核要求:(1)知道各种事件发生的可能性大小不同,能判断一些随机事件发生的可能事件的大小并排出大小顺序;(2)知道概率的含义和表示符号,了解必然事件、不可能事件的概率和随机事件概率的取值范围;(3)理解随机事件发生的频率之间的区别和联系,会根据大数次试验所得频率估计事件的概率.注意:(1)在给可能性的大小排序前可先用“一定发生”、“很有可能发生”、“可能发生”、“不太可能发生”、“一定不会发生”等词语来表述事件发生的可能性的大小;(2)事件的概率是确定的常数,而概率是不确定的,可是近似值,与试验的次数的多少有关,只有当试验次数足够大时才能更精确.考点22:等可能试验中事件的概率问题及概率计算本考点的考核要求是(1)理解等可能试验的概念,会用等可能试验中事件概率计算公式来计算简单事件的概率;(2)会用枚举法或画“树形图”方法求等可能事件的概率,会用区域面积之比解决简单的概率问题;(3)形成对概率的初步认识,了解机会与风险、规则公平性与决策合理性等简单概率问题.在求解概率问题中要注意:(1)计算前要先确定是否为可能事件;(2)用枚举法或画“树形图”方法求等可能事件的概率过程中要将所有等可能情况考虑完整.考点23:数据整理与统计图表本考点考核要求是:(1)知道数据整理分析的意义,知道普查和抽样调查这两种收集数据的方法及其区别;(2)结合有关代数、几何的内容,掌握用折线图、扇形图、条形图等整理数据的方法,并能通过图表获取有关信息.考点24:统计的含义本考点的考核要求是:(1)知道统计的意义和一般研究过程;(2)认识个体、总体和样本的区别,了解样本估计总体的思想方法.考点25:平均数、加权平均数的概念和计算本考点的考核要是:(1)理解平均数、加权平均数的概念;(2)掌握平均数、加权平均数的计算公式.注意:在计算平均数、加权平均数时要防止数据漏抄、重抄、错抄等错误现象,提高运算准确率.考点26:中位数、众数、方差、标准差的概念和计算考核要求:(1)知道中位数、众数、方差、标准差的概念;(2)会求一组数据的中位数、众数、方差、标准差,并能用于解决简单的统计问题.注意:当一组数据中出现极值时,中位数比平均数更能反映这组数据的平均水平;(2)求中位数之前必须先将数据排序.考点27:频数、频率的意义,画频数分布直方图和频率分布直方图考核要求:(1)理解频数、频率的概念,掌握频数、频率和总量三者之间的关系式;(2)会画频数分布直方图和频率分布直方图,并能用于解决有关的实际问题.解题时要注意:频数、频率能反映每个对象出现的频繁程度,但也存在差别:在同一个问题中,频数反映的是对象出现频繁程度的绝对数据,所有频数之和是试验的总次数;频率反映的是对象频繁出现的相对数据,所有的频率之和是1.考点28:中位数、众数、方差、标准差、频数、频率的应用本考点的考核要是:(1)了解基本统计量(平均数、众数、中位数、方差、标准差、频数、频率)的意计算及其应用,并掌握其概念和计算方法;(2)正确理解样本数据的特征和数据的代表,能根据计算结果作出判断和预测;(3)能将多个图表结合起来,综合处理图表提供的数据,会利用各种统计量来进行推理和分析,研究解决有关的实际生活中问题,然后作出合理的解决.。

(简化版)上海中考数学知识点梳理

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一、代数与函数
1. 一次函数及其应用
2. 幂函数及其应用
3. 绝对值函数及其应用
4. 平方根函数及其应用
5. 指数函数及其应用
6. 对数函数及其应用
二、图形的认识与初步研究
1. 点、直线、线段、射线的认识
2. 角的认识与性质
3. 三角形的认识、性质与判定
4. 平行四边形的认识、性质与判定
5. 直角三角形的认识、性质与判定
6. 圆的认识、性质与应用
三、数与量的关系
1. 数、量和单位的认识
2. 有理数的概念与运算
3. 整数、分数、小数的相互转化与比较
4. 百分数的概念与计算
5. 换算问题的解决
四、数形关系的初步认识
1. 计数原则和排列、组合
2. 几何变化中的相似与全等
3. 二次根式的概念与运算
4. 平面的认识与证明
5. 空间的认识与证明
五、统计与概率
1. 数据的调查与统计
2. 数据的整理与图表
3. 暂未涉及概率相关知识
六、应用题
1. 高斯消元法
2. 无穷等差数列和无穷等比数列的和
以上是 (简化版)上海中考数学知识点的梳理,旨在帮助同学们更好地准备中考数学。

详细的知识点、公式推导和例题解析可以参考相关教材和辅导资料。

上海中考数学知识点梳理

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上海中考数学知识点梳理1.数与代数(1)整数:整数的概念、整数的加法、减法、乘法和除法运算、整数的乘方。

(2)有理数:有理数的概念、有理数的加法、减法、乘法和除法运算、有理数的乘方、开方。

(3)分数:分数的概念、分数的加法、减法、乘法和除法运算、分数的乘方、倒数。

(4)百分数:百分数的概念、百分数与分数的相互转化、百分数之间的比较。

(5)比例与比例的应用:比例的概念、比例的性质、比例的种类、比例的计算、比例问题的应用。

(6)平均数:算术平均数、加权平均数。

2.函数与方程(1)函数:函数的概念、函数的图像、函数的性质、函数的应用。

(2)一次函数:一次函数的概念、一次函数的图像、一次函数的性质、一次函数的应用。

(3)二次函数:二次函数的概念、二次函数的图像、二次函数的性质、二次函数的应用。

(4)方程:方程的概念、方程的解、方程的性质、方程的应用。

3.几何(1)平面几何:平面图形的性质(点、线、面)、平面图形的分类与特征、平面图形的面积与周长。

(2)三角形:三角形的性质、三角形的分类、三角形的面积与周长。

(3)四边形:四边形的性质、四边形的分类、四边形的面积与周长。

4.统计与概率(1)统计:统计调查与统计分析、频数与频率、统计图表与直方图的绘制与分析。

(2)概率:随机事件的概念、概率的计算、概率的性质、概率在实际问题中的应用。

此外,上海中考数学考试还会涉及到一些数学思维与方法,如解决问题的策略与方法、解决问题的分析与推理、解决问题的模型、解决问题的证明等。

考生需要熟练掌握这些数学思维与方法,并能够灵活运用于各种题型中。

上海中考数学知识点总结新

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上海中考数学知识点总结新一、数与式1.整数、有理数、无理数、实数的概念及它们之间的关系。

2.实数的近似数及其应用。

3.代数式:含有字母的算式。

4.代数式的化简、展开和因式分解。

5.二次根式的化简与近似计算。

二、方程与不等式1.一元一次方程及其应用。

2.一元二次方程及其应用。

3.一元一次不等式及其应用。

4.一元二次不等式及其应用。

三、函数1.函数的概念及表示法。

2.线性函数的性质及图象。

3.一次函数、二次函数及其图象。

4.反比例函数及其图象。

5.导数的概念及计算。

四、图形的性质1.点、线、面、角的概念。

2.直线与平面的位置关系。

3.平行线与垂直线的性质。

4.同位角与内错角的性质。

5.平行四边形与特殊四边形的性质。

6.三角形的基本性质。

7.三角形的分类及其性质。

8.圆的相关概念及性质。

五、空间与图形运动1.空间坐标系的建立及应用。

2.直线与平面的位置关系。

3.空间中的图形运动。

4.图形的平移、旋转、对称等变换。

六、数据与统计1.统计中的基本概念。

2.统计中的图表和图形。

3.列数据的分组、统计和分析。

4.事件的概念与性质。

七、几何证明1.几何证明的基本思想与方法。

2.证明方法的灵活运用。

3.利用已知条件论证结论的正确性。

4.聪明构造和直观推理的应用。

以上是上海中考数学的主要知识点总结,包含了数与式、方程与不等式、函数、图形的性质、空间与图形运动、数据与统计以及几何证明等内容。

熟练掌握这些知识点,可以帮助学生更好地应对中考数学考试。

上海中考数学复习要点

上海中考数学复习要点

上海中考数学复习要点一、整数运算1.整数的加减乘除运算。

2.整数加减法的应用。

二、分数与小数1.分数和小数的相互转换。

2.分数的加减乘除运算。

3.分数的化简与约分。

三、代数式与简单方程1.代数式的运算。

2.一元一次方程的解法。

3.文字题中的一元一次方程。

四、几何基础1.直线、线段、射线的概念与特点。

2.角的概念与特点。

3.三角形的分类与特点。

4.四边形的分类与特点。

5.梯形、平行四边形、矩形、正方形、菱形的性质。

6.圆的概念、元素及性质。

五、平面图形的认识1.平面图形的特点。

2.等边三角形、等腰三角形、直角三角形的性质。

3.同边角、同位角、内错角、内反角的概念与性质。

4.平行线、垂直线与四边形之间的关系。

5.合同图形的判定。

六、比例与相似1.比例与比例的性质。

2.身高、体重等的比例问题。

3.相似图形的概念与性质。

七、数的运算1.小数的加减乘除运算。

2.平方根与简单的开方运算。

3.百分数的计算。

4.比例、百分比、利率的关系。

八、统计与概率1.统计图表的分析。

2.数据的计算。

3.简单的概率计算。

九、函数1.一元一次函数的概念与性质。

2.函数图象的认识。

十、三角函数1.正弦、余弦、正切的概念与性质。

2.三角函数在直角三角形中的应用。

十一、空间几何与解题思路1.空间图形的特征与性质。

2.空间图形的正视图、侧视图与俯视图的认识与绘制。

3.平面与空间几何的运用。

以上是上海中考数学的复习要点,希望对你的复习有所帮助。

祝你取得好成绩!。

上海初三数学知识点

上海初三数学知识点

上海初三数学知识点上海初三数学知识点概述一、实数1. 有理数和无理数的概念2. 实数的运算法则,包括加法、减法、乘法、除法和乘方3. 绝对值的概念及性质4. 实数的大小比较和不等式5. 二次根式的性质和运算二、代数式1. 单项式和多项式的概念2. 多项式的加减法运算3. 乘法公式,包括平方差、完全平方、立方和与立方差4. 多项式的乘法和除法运算5. 因式分解,包括提取公因式法、配方法、十字相乘法等三、方程与不等式1. 一元一次方程和二元一次方程的解法2. 一元二次方程的解法,包括直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法3. 不等式的性质和解集表示4. 一元一次不等式和一元二次不等式的解法5. 系统方程组的解法,包括代入法、消元法等四、平面几何1. 平行线和垂线的性质2. 三角形的基本概念,包括分类、面积计算、内角和外角性质3. 四边形的基本概念和性质,包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形4. 圆的基本性质,包括圆心、半径、直径、弦、弧、切线等5. 相似三角形和相似四边形的性质及判定6. 几何图形的平移、旋转和对称性质五、立体几何1. 立体图形的基本概念,包括体积和表面积的计算2. 柱体、锥体和台体的性质3. 球体的性质4. 空间图形的视图和投影六、概率与统计1. 随机事件的概率计算2. 概率分布和期望值3. 统计的基本概念,包括平均数、中位数、众数、方差和标准差4. 数据的收集、整理和图表表示,如条形图、折线图和饼图七、函数1. 函数的概念及表示方法2. 线性函数和二次函数的图像和性质3. 函数的运算,包括加法、减法、乘法和复合函数4. 函数的极值和最值问题5. 反函数的概念和性质八、数列1. 等差数列和等比数列的概念2. 等差数列和等比数列的通项公式和求和公式3. 数列的极限概念和计算九、三角函数1. 三角函数的定义和基本性质2. 三角函数的图像和周期性3. 三角恒等变换4. 解三角形问题,包括正弦定理和余弦定理十、应用题1. 利用所学数学知识解决实际问题2. 数学建模的基本方法3. 分析问题和建立数学关系的能力请注意,以上内容是根据一般的教学大纲和上海地区的初三数学教学要求编写的,具体的教学内容和要求可能会根据不同学校和教师的教学计划有所变化。

(完整word版)上海中考数学知识点梳理

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上海中考数学知识点梳理第一单元数与运算一、数的整除1.内容要目数的整除性、奇数和偶数、因数和倍数、素数和合数,公因数和最大公因数、公倍数和最小公倍数、分解素因数;能被2和5整除的正整数的特征。

2.基本要求(1)知道数的整除性、奇数和偶数、素数和合数、因数和倍数、公倍数和公因素等的意义;知道能被2、5整除的正整数的特征。

(2)会用短除法分解素因数;会求两个正整数的最大公因素和最小公倍数。

3.重点和难点重点是会正确地分解素因数,并会求两个正整数的最大公因数和最小公倍数。

难点是求两个正整数的最小公倍数。

4.知识结构二、实数1.内容要目实数的概念,实数的运算。

近似计算以及科学记数法。

2.基本要求(1)理解开方及方根的意义,知道无理数的概念,知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系。

(2)理解实数概念,掌握实数的加、减、乘、除、乘方、开方等运算的法制,会正确进行实数的运算。

(3)会用计算器进行实数的运算,初步掌握估算、近似计算的基本方法和科学记数法。

3.重点和难点重点是理解实数概念,会正确进行实数的运算。

难点是认识实数与数轴上的点的一一对应关系。

4.知识结构第二单元 方程与代数一、整式与分式 1.内容要目 代数式,整式的加减法,同底数幂的乘法和除法,幂的乘方,积的乘方。

单项式的乘法和除法,单项式与多项式的乘法,多项式除以单项式,多项式的乘法。

乘法公式:22222()();()2a b a b a b a b a ab b +-=-±=±+因式分解:提取公因式法,公式法,十字相乘法,分组分解法。

分式,分式的基本性质,约分,最简分式,通分,分式的乘除法,分式的加减法,整数的指数幂,整数指数幂的运算。

2.基本要求(1)理解用字母表示数的意义;理解代数式的有关概念。

(2)通过列代数式,掌握文字语言与数学式子的表述之间的转换,领悟字母“代”数的数学思想;会求代数式的值。

(3)掌握整式的加、减、乘、除及乘方的运算法则,掌握平方差公式、两数和(差)的平方公式。

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完整版)上海中考数学知识点梳理3)掌握整式的加减法、单项式的乘法和除法、多项式的乘法和除法,以及分式的基本性质、约分、通分、乘除法和加减法等运算法则。

3.重点和难点重点是掌握整式和分式的基本性质和运算法则,以及因式分解的方法。

难点是理解代数式的概念和文字语言与数学式子的转换,以及分式的加减法。

4.知识结构代数式整式单项式多项式加减法乘法除法因式分解分式约分通分乘除法加减法二、方程与不等式1.内容要目一元一次方程及其应用,一元二次方程及其应用,简单的分式方程和含有绝对值的方程。

一元一次不等式及其应用,一元二次不等式及其应用,简单的分式不等式和含有绝对值的不等式。

2.基本要求1)掌握解一元一次方程及其应用的方法,理解解方程的意义。

2)掌握解一元二次方程及其应用的方法,理解二次函数的基本性质。

3)掌握解简单的分式方程和含有绝对值的方程的方法,理解绝对值的概念和性质。

4)掌握解一元一次不等式及其应用的方法,理解不等式的意义。

5)掌握解一元二次不等式及其应用的方法,理解二次函数的基本性质。

6)掌握解简单的分式不等式和含有绝对值的不等式的方法,理解绝对值的概念和性质。

3.重点和难点重点是掌握解一元一次方程和不等式、一元二次方程和不等式的方法,以及含有绝对值的方程和不等式的解法。

难点是理解二次函数的基本性质和绝对值的概念和性质,以及运用它们解题的能力。

4.知识结构一元一次方程及应用一元二次方程及应用分式方程和含有绝对值的方程一元一次不等式及应用一元二次不等式及应用分式不等式和含有绝对值的不等式本文介绍了数学中的几个重要概念和解法,包括二次根式、一次方程与不等式组、一元二次方程以及代数方程。

其中,二次根式的性质包括最简和同类,以及分母有理化的方法。

在一次方程与不等式组中,主要包括概念、解法、性质和应用,例如一元一次方程的解法、二元一次方程组的解法、不等式的解集和利用数轴表示不等式的解集等。

在一元二次方程中,涉及到解法、根的判别式和应用,例如利用开平方法、因式分解法和公式法解特殊的一元二次方程,以及利用判别式判断实数根的情况。

上海数学中考知识点

上海数学中考知识点

上海数学中考知识点数学中考是对初中数学知识的一次全面考查,对于上海的考生来说,了解并掌握相关知识点是取得好成绩的关键。

以下将为大家详细梳理上海数学中考的主要知识点。

一、数与代数1、实数包括有理数和无理数。

有理数的运算规则,如加减乘除、乘方等,要熟练掌握。

无理数如根号 2、π 等的概念和基本性质也要清楚。

实数的大小比较、绝对值、相反数等都是常见考点。

2、代数式整式的加减乘除运算,特别是幂的运算规则(同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方等)。

因式分解的方法,如提公因式法、公式法(平方差公式、完全平方公式)。

分式的化简求值,要注意分母不能为零。

3、方程与不等式一元一次方程、二元一次方程组的解法及应用。

一元二次方程的求根公式、根的判别式,以及用配方法、公式法求解。

不等式的性质和解法,一元一次不等式组的解集。

4、函数一次函数的图像与性质,包括斜率、截距的意义,以及用待定系数法求函数解析式。

反比例函数的图像与性质,重点是其对称性和增减性。

二次函数的图像与性质是重点中的重点,包括开口方向、对称轴、顶点坐标、最值等,同时要能根据题目条件灵活运用配方法、公式法求函数解析式。

二、图形与几何1、三角形三角形的基本性质,如内角和定理、外角性质。

全等三角形的判定方法(SSS、SAS、ASA、AAS、HL),相似三角形的判定和性质,包括相似比的应用。

直角三角形的勾股定理及其逆定理。

2、四边形平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定定理。

多边形的内角和与外角和公式。

3、圆圆的基本性质,如垂径定理、圆心角定理、圆周角定理。

直线与圆的位置关系(相离、相切、相交),以及切线的性质和判定。

圆与圆的位置关系。

4、图形的变换平移、旋转、轴对称的性质和作图。

三、统计与概率1、数据的收集与整理普查和抽样调查的区别,总体、个体、样本、样本容量的概念。

2、数据的分析平均数、中位数、众数的计算和意义,方差的计算和意义,用于反映数据的集中趋势和离散程度。

上海中考数学知识点

上海中考数学知识点

上海中考数学知识点上海中考数学知识点概述一、数与代数1. 有理数的混合运算- 绝对值、相反数、有理数的加、减、乘、除运算 - 有理数的乘方、平方根、立方根2. 整式的运算- 单项式与多项式的概念- 整式的加减、乘除运算- 因式分解:提公因式、公式法、分组分解法3. 代数式的化简与求值- 代数式的化简- 代数式的求值4. 一元一次方程与不等式- 方程与方程的解- 解一元一次方程- 不等式及其解集- 一元一次不等式(组)的解法5. 函数的概念与性质- 函数的定义- 函数的表示方法:图像、表格、解析式- 函数的性质:定义域、值域、单调性、特殊点6. 二元一次方程组- 二元一次方程组的解法:代入法、消元法- 线性方程组的应用问题7. 一元二次方程- 一元二次方程的解法:直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法- 一元二次方程根的判别式- 一元二次方程的应用问题二、几何1. 平面图形的认识- 点、线、面的基本性质- 角的概念及其分类:邻角、对顶角、同位角、内错角2. 三角形- 三角形的基本性质- 等边三角形、等腰三角形的性质- 三角形的内角和定理- 三角形的外角性质3. 四边形- 平行四边形的性质与判定- 矩形、菱形、正方形的性质与判定- 梯形的性质与判定4. 圆的基本性质- 圆的定义及其性质- 圆的对称性- 圆周角、圆心角、弦、弧的关系5. 圆的位置关系- 点与圆的位置关系- 直线与圆的位置关系- 圆与圆的位置关系6. 面积与体积的计算- 平面图形的面积计算:长方形、正方形、三角形、梯形、圆 - 立体图形的体积计算:长方体、正方体、圆柱、圆锥7. 相似与全等- 全等三角形的判定- 相似三角形的判定与性质- 相似多边形与相似比8. 解析几何- 坐标系中点的位置表示- 平面直角坐标系中直线的方程- 圆的标准方程三、统计与概率1. 统计- 统计调查- 频数与频率- 统计图表的绘制与解读:条形图、折线图、饼图2. 概率- 随机事件的概率- 概率的计算- 简单事件的概率分布四、综合应用题- 结合实际情境,运用所学数学知识解决实际问题- 理解题目要求,分析问题,运用适当的数学工具和方法- 逻辑清晰地表述解题过程和结果请注意,本文仅为上海中考数学知识点的概述,具体的教学大纲和考试要求可能会有所变化。

上海初三数学知识点

上海初三数学知识点

上海初三数学知识点
上海初三数学知识点详解
一、代数与函数
1. 多项式运算
•加减乘除多项式的基本运算法则
•对多项式进行提取公因式和合并同类项的方法2. 一次函数与二次函数
•一次函数的定义及图像特点
•二次函数的定义及图像特点
•二次函数的平移、翻折、缩放等变化规律
3. 函数的性质
•函数的奇偶性及判定方法
•函数的单调性及判定方法
•函数图像的对称性及判定方法
二、几何与三视图
1. 几何图形的运算
•各种几何图形的周长和面积计算方法
•重叠图形的面积计算方法
•平行线、垂直线的性质及判定方法
2. 空间几何与三视图
•空间几何体的计算方法(包括长方体、正方体、圆柱体等)•三视图的绘制方法及用途
•空间位置关系的判定方法(平行、垂直等)
3. 相似与全等
•两个图形相似的判定方法
•相似图形的比例关系及应用
•全等图形的判定方法及应用
三、统计与概率
1. 数据的整理和描述
•数据的整理方法(频数表、频率分布表等)
•数据的描述性统计指标(均值、中位数、众数等)
2. 概率的基本概念
•随机事件的概念及表示方法
•概率的计算方法(频率法、古典概型等)
•互斥事件与独立事件的判定
3. 统计图表的应用
•条形图、折线图、饼图等统计图的绘制方法
•统计图的解读和应用
以上是上海初三数学的相关知识点详解。

希望对你的学习有所帮助!。

上海中考数学知识点汇总

上海中考数学知识点汇总

上海中考数学知识点汇总
本文档旨在汇总上海中考数学考试中的重点知识点,以帮助学
生更好地准备考试。

下面是数学考试的主要知识点概述:
1. 数与式
- 整数:正整数、负整数和零的概念及运算规则。

- 分数:分数的定义、化简、比较大小和四则运算。

- 小数:小数的表示、小数与分数的相互转化及四则运算。

- 百分数:百分数的定义、表示方法、百分数之间的换算和应用。

- 平方根:平方根的定义、性质及运算规则。

2. 几何图形
- 直线与角:直线的性质、角的分类、角的度量和角的运算。

- 三角形:三角形的分类、性质、全等三角形和三角形的应用。

- 四边形:四边形的分类、性质、平行四边形和矩形等特殊四
边形的性质。

- 圆与圆周:圆的性质、弧和弦的性质、圆的切线、圆的面积和弧长的计算。

3. 数据与函数
- 统计与概率:数据的收集与整理、频数和频率、统计图表的制作与分析、简单概率计算。

- 一次函数:一次函数的定义与性质、函数图象的特点和函数关系的表示与应用。

- 一元二次方程:一元二次方程的解的判定和解的性质、一元二次方程的应用。

4. 变量与关系
- 平面直角坐标系:平面直角坐标系的引入、坐标的定义和坐标表示点的位置。

- 线性方程组:线性方程组的解的判别准则和解的性质、线性方程组的应用。

这些知识点是上海中考数学考试的主要内容,通过复习和理解这些知识点,学生可以提高数学考试的成绩。

希望这份文档对大家有所帮助!。

上海数学中考知识点

上海数学中考知识点

上海数学中考知识点上海数学中考知识点概述一、代数知识1. 整数与有理数- 整数: 正整数、负整数、零- 有理数: 分数、小数、比例- 有理数的四则运算- 绝对值与有理数的比较2. 代数表达式- 单项式与多项式- 代数式的加减运算- 代数式的乘除运算- 因式分解3. 一元一次方程与不等式- 方程与方程的解- 解一元一次方程- 不等式及其解集- 线性不等式的解法4. 二元一次方程组- 代入法与消元法- 方程组的解集- 线性方程组的应用问题二、几何知识1. 平面几何- 点、线、面的基本性质- 角的概念及分类- 三角形的性质- 四边形的性质- 圆的性质2. 空间几何- 空间图形的认识- 立体图形的表面积与体积计算 - 空间图形的位置关系3. 坐标几何- 平面直角坐标系- 点的坐标表示- 线段、射线、直线的方程- 距离公式与斜率概念三、数列与函数1. 数列- 等差数列与等比数列- 数列的通项公式与前n项和 - 数列的实际应用2. 函数- 函数的概念与表示方法- 线性函数与二次函数- 函数的图像与性质- 函数的应用问题四、概率与统计1. 概率- 随机事件的概率- 概率的计算- 条件概率与独立事件2. 统计- 数据的收集与整理- 统计量的概念与计算(平均数、中位数、众数等) - 统计图表的绘制与解读五、解题技巧与策略1. 题目分析- 理解题意与要求- 提取关键信息2. 解题方法- 选择适当的解题途径- 运用数学公式与定理3. 答题规范- 答题的格式与步骤- 检查与验算六、历年真题分析1. 真题回顾- 分析历年中考数学试题- 归纳常见题型与考点2. 模拟练习- 根据真题进行模拟练习- 针对薄弱环节进行强化训练请注意,以上内容仅为上海数学中考知识点的概述,具体的学习与复习应结合教材和教师的指导进行。

同时,考生应关注最新的考试大纲和相关信息,以确保所学内容与考试要求相符。

上海初中中考数学知识点总结

上海初中中考数学知识点总结

上海初中中考数学知识点总结一、整数和有理数1.整数概念:正整数、负整数、0。

数轴图示。

2.整数的比较和大小关系。

3.整数的加减运算:同号相加、异号相减。

整数的运算性质。

4.有理数的概念:正有理数、负有理数、0。

5.有理数的比较和大小关系。

6.有理数的加减乘除运算。

二、代数表达式与证明1.代数表达式:由常数、变量和运算符组成的表达式。

2.代数式的运算:加法、减法、乘法、除法、乘方。

3.代数式的化简和拓展。

4.方程与方程的解:一元一次方程、二元一次方程。

三、平面图形与几何体1.平面图形的基本概念:点、线、线段、直线、射线等。

2.角度的概念:锐角、直角、钝角、平角。

3.各种三角形的性质:等腰三角形、等边三角形、直角三角形等。

4.平行四边形的性质:对角线互相平分。

5.直角梯形、矩形、正方形的性质。

6.圆的概念:圆心、半径、直径。

7.圆的周长、面积的计算。

8.圆锥、圆柱、直角锥、直角柱的性质与计算。

四、函数与图像1.函数概念:自变量、因变量。

2.函数的性质:奇函数、偶函数、周期函数。

3.函数图像的绘制:一次函数、二次函数、绝对值函数等。

五、数据与图表1.统计概念:数据、频数、频率、平均数。

2.统计图表的绘制与分析:折线图、柱状图、扇形图等。

六、几何运动1.直角坐标系:坐标、横坐标、纵坐标、坐标轴。

2.图形的平移、旋转、翻折等变换。

3.坐标变换与对称性。

七、概率与统计1.事件与概率:基本事件、必然事件、不可能事件。

2.概率的计算:概率的加法原理、概率的乘法原理。

3.实际问题的概率计算。

4.统计的概念与方法:样本、总数、频数统计等。

总结:上海初中中考数学涵盖了整数和有理数、代数表达式与证明、平面图形与几何体、函数与图像、数据与图表、几何运动、概率与统计等多个知识点。

这些知识点包括整数和有理数的运算、代数表达式的化简和扩展、平面图形和几何体的性质、函数的概念和图像的绘制、统计的概念和方法等。

掌握这些知识点,可以更好地理解数学的基本概念和运算规律,提高解题能力和数学思维。

上海中考数学知识点汇总

上海中考数学知识点汇总

上海中考数学知识点汇总上海中考数学考试的知识点可以分为以下几个方面:整数计算、有理数计算、数据的整理与统计、几何与变换、代数式与因式分解、方程与不等式、比例与相似、数列与数表、函数与图像等。

在这里,我们将对这些知识点进行简洁的汇总。

整数计算:1.整数的概念及性质:正整数、负整数、零,数轴表示等。

2.四则运算:加法、减法、乘法、除法的运算法则。

3.整数的混合运算:带括号的计算,变号与不变号的计算。

4.整数的大小比较:用大小关系符号(大于、小于、等于)比较大小。

有理数计算:1.有理数的概念及性质:正有理数、负有理数、零,数轴表示等。

2.四则运算:加法、减法、乘法、除法的运算法则。

3.有理数的混合运算:带括号的计算,变号与不变号的计算。

4.有理数的大小比较:用大小关系符号(大于、小于、等于)比较大小。

数据的整理与统计:1.数据的统计:频数、频率、众数、中数、平均数的计算与应用。

2.数据的图表表示:条形图、折线图、饼图的绘制与解读。

几何与变换:1.几何图形的性质:平行线、垂直线、直角、等边、等角等。

2.基本几何图形的面积与周长:矩形、正方形、三角形、圆形等的计算与应用。

3.平面图形的平移、旋转、对称等的认识与应用。

代数式与因式分解:1.代数式的概念:字母表示数,用代数式表示算式。

2.代数式的运算:加法、减法、乘法、除法的运算法则。

3.因式分解:提取公因式,分解平方差、平方和等。

方程与不等式:1.一元一次方程:一元一次方程的解的求法与应用。

2.一元一次不等式:一元一次不等式的解的求法与应用。

3.一元二次方程:一元二次方程的解的求法与应用。

比例与相似:1.比例的概念:比的定义,比例的性质及应用。

2.身高、体重、价格等的比较与计算。

3.图形的相似:相似的判断与确定。

数列与数表:1.数列的概念:数字的有序排列。

2.等差数列:公差、通项公式的求法与应用。

3.等比数列:公比、通项公式的求法与应用。

函数与图像:1.函数的概念:自变量与函数值的关系。

上海中考数学知识点汇总(简洁版)

上海中考数学知识点汇总(简洁版)

上海初中数学知识点汇总
第九章
解直角三角形
一、三角函数
1.定义:在Rt△ABC中,∠C=Rt∠,则sinA= ;cosA= ;tgA= ;ctgA= .
2.特殊角的三角函数值:
0° 30° 45° 60° 90°
3.互余两角的三角函数关系:sin(90°-α)=cosα
4.三角函数值随角度变化的关系
5.查三角函数表
二、解直角三角形
1.定义:已知边和角(两个,其中必有一边)→所有未知的边和
角。

2.依据:①边的关系:
②角的关系:A+B=90°
③边角关系:三角函数的定义。

注意:尽量避免使用中间数据和除法。

三、对实际问题的
处理
1.俯、仰角
2.方位角、象限角
3.坡度
4.在两个直角三角形中,都缺解直角三角形的条件时,可用列方
程的办法解决。

★重点★解直角三角形
第十
章圆一、圆的基本性质
1.圆的定义(两种)
2.有关概念:弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等
圆、同圆、同心圆。

3.“三点定圆”定理
4.垂径定理及其推论
5.“等对等”定理及其推论
6.与圆有关的角:
⑴圆心角定义(等对等定理)
⑵圆周角定义(圆周角定理,与圆心角的关系)
⑶弦切角定义(弦切角定理)
弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.
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上海中考数学概念知识点总汇

上海中考数学概念知识点总汇

上海中考数学概念知识点总汇1.整数的认识:正整数、负整数、零、绝对值、相反数、相邻整数、整数的比较、绝对值的性质等。

2.分数的认识:真分数、假分数、整数、带分数、约分、最简形式、分数的大小比较、分数的加减乘除、分数的本质、分数的应用等。

3.百分数的认识:百分数、百分之一、百分之十、百分之一十、百分数的加减乘除、百分数与小数的互化、百分数的应用等。

4.小数的认识:有限小数、无限不循环小数、无限循环小数、小数的大小比较、小数的加减乘除、小数与分数和百分数的互化、小数的应用等。

5.平方数与平方根:完全平方数、平方根、向下取整、平方数的性质、平方根的性质、开根号的运算、平方根的应用等。

6.比例与比例的应用:比例的认识、比例的性质、比例的四种关系、比例的简化、比例的求解、比例的应用等。

7.实数与实数运算:有理数、无理数、有理数的加减乘除、实数的大小比较、实数的绝对值、实数的应用等。

8.因式分解与最大公因数:因式分解、公因数、最大公因数、公倍数、最小公倍数、奇数、偶数、质数、合数、素因数分解等。

9.一次函数与一次函数的应用:斜率、截距、函数的变化趋势、函数的图像、函数的性质、函数方程的求解、函数的应用等。

10.二次函数与二次函数的应用:抛物线、对称轴、顶点、函数的图像、函数的性质、函数方程的求解、函数的应用等。

11.图形的认识与运动:平行线、垂直线、相交线、直角、等腰三角形、等边三角形、等角三角形、平行四边形、正方形、长方形等。

12.统计与概率:频数、频率、统计图、抽样、调查、统计量、概率、概率的运算、统计与概率的应用等。

13.数字和字母的加减运算:数字和字母的加减运算、字母的代数计算、字母的应用等。

14.数据的分析与解读:数据的收集、数据的整理、数据的分析、数据的解读、数据的应用等。

15.地图与比例尺:比例尺的认识、地图的缩放、地图上长度的测量、地图的应用等。

16.平方与立方:平方的认识、立方的认识、平方与立方的性质、平方与立方的计算等。

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上海中考数学知识点梳理第一单元数与运算一、数的整除1.内容要目数的整除性、奇数和偶数、因数和倍数、素数和合数,公因数和最大公因数、公倍数和最小公倍数、分解素因数;能被2和5整除的正整数的特征。

2.基本要求(1)知道数的整除性、奇数和偶数、素数和合数、因数和倍数、公倍数和公因素等的意义;知道能被2、5整除的正整数的特征。

(2)会用短除法分解素因数;会求两个正整数的最大公因素和最小公倍数。

3.重点和难点重点是会正确地分解素因数,并会求两个正整数的最大公因数和最小公倍数。

难点是求两个正整数的最小公倍数。

4.知识结构二、实数1.内容要目实数的概念,实数的运算。

近似计算以及科学记数法。

2.基本要求(1)理解开方及方根的意义,知道无理数的概念,知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系。

(2)理解实数概念,掌握实数的加、减、乘、除、乘方、开方等运算的法制,会正确进行实数的运算。

(3)会用计算器进行实数的运算,初步掌握估算、近似计算的基本方法和科学记数法。

3.重点和难点重点是理解实数概念,会正确进行实数的运算。

难点是认识实数与数轴上的点的一一对应关系。

4.知识结构第二单元 方程与代数一、整式与分式 1.内容要目 代数式,整式的加减法,同底数幂的乘法和除法,幂的乘方,积的乘方。

单项式的乘法和除法,单项式与多项式的乘法,多项式除以单项式,多项式的乘法。

乘法公式:22222()();()2a b a b a b a b a ab b +-=-±=±+因式分解:提取公因式法,公式法,十字相乘法,分组分解法。

分式,分式的基本性质,约分,最简分式,通分,分式的乘除法,分式的加减法,整数的指数幂,整数指数幂的运算。

2.基本要求(1)理解用字母表示数的意义;理解代数式的有关概念。

(2)通过列代数式,掌握文字语言与数学式子的表述之间的转换,领悟字母“代”数的数学思想;会求代数式的值。

(3)掌握整式的加、减、乘、除及乘方的运算法则,掌握平方差公式、两数和(差)的平方公式。

(4)理解因式分解的意义,掌握提取公因式法、公式法、二次项系数为1时的十字相乘法、分组分解法等因式分解的基本方法。

(5)理解分式的有关概念及其基本性质,掌握分式的加、减、乘、除运算。

(6)理解正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的概念,掌握有关整数指数幂的乘(除)、乘方等运算的法则。

说明 ①在求代数式的值时,不涉及繁难的计算;②不涉及繁难的整式运算,多项式除法中的除式限为单项式;③在因式分解中,被分解的多项式不超过四项,不涉及添项、拆项等技巧;④不涉及繁复的分式运算。

3.重点和难点 重点是整式与分式的运算,因式分解的基本方法,整数指数幂的运算。

难点是选择适当的方法因式分解及代数式的混合运算。

4.知识结构二、二次根式1.内容要目二次根式的概念,二次根式的性质;最简二次根式,同类二次根式,分母有理化,二次根式的加、减、乘、除及其混合运算,分数指数幂。

2.基本要求(1)理解二次根式的概念,会根据二次根式中被开放数应满足的条件,判断或确定所含字母的取值范围。

(2)掌握二次根式的性质,会利用性质化简二次根式。

(3)理解最简二次根式、同类二次根式、分母有理化的意义,会将二次根式化为最简二次根式,会判别同类二次根式,会进行分母有理化。

(4)会进行二次根式的加、减、乘、除及其混合运算。

(5)会解系数或常数项含二次根式的一元一次方程和一元一次不等式。

(6)理解分数指数幂的概念,会求分数指数幂。

说明①关于二次根式的性质,包括:2(0(||0(0),(0);(0,0,a aa a a aa aa b a b a b⎧⎪=≥===⎨⎪-⎩=≥≥=≥>),<>0)②不出现繁难的二次根式的运算;在求解其系数或常数项含二次根式的一元一次方程和一元一次不等式时,所涉及的计算不繁难。

3.重点和难点重点是二次根式的性质,二次根式的加、减、乘、除及其混合运算,分数指数幂的运算。

难点是系数或常数项含二次根式的一元一次不等式的求解。

4.知识结构三、一次方程与不等式(组)1.内容要目列方程,一元一次方程的概念,一元一次方程的解法,一元一次方程的应用。

不等式的概念,不等式的性质,不等式的解集;一元一次不等式,一元一次不等式的解法;一元一次不等式组及其解集,一元一次不等式组的解法。

二元一次方程、二元一次方程组的概念,二元一次方程组的解法,三元一次方程的概念,三元一次方程组的解法。

一次方程组的应用。

2.基本要求(1)理解一元一次方程的有关概念,掌握一元一次方程解法。

(2)理解二元一次方程和它的解以及一次方程组和它的解的概念,掌握“消元法”,会解二元、三元一次方程组。

(3)会列一次方程(组)解简单的应用题。

(4)理解不等式及不等式的基本性质,理解一元一次不等式(组)及其解的有关概念,掌握一元一次不等式的解法,会利用数轴表示不等式的解集,会解简单的一元一次不等式组。

说明不出现涉及繁难计算的解方程(组)、不等式(组)的问题。

3.重点和难点重点是一元一次方程、二元一次方程组、三元一次方程组、一元一次不等式、一元一次不等式组的解法。

难点是一次方程(组)的应用。

4.知识结构四、一元二次方程1.内容要目一元二次方程的概念,一元二次方程的解法,一元二次方程的根的判别式,一元二次方程的应用。

2.基本要求(1)理解一元二次方程的概念。

(2)会用开平方法、因式分解法解特殊的一元二次方程,理解配方法解一元二次方程的思路,会用配方法和公式法解一元二次方程。

(3)会求一元二次方程的根的判别式的值,知道判别式与方程实数根情况之间的联系,会利用判别式判断实数根的情况。

(4)会利用一元二次方程的求根公式对二次三项式在实数范围内进行因式分解。

(5)会列一元二次方程解简单的实际问题。

3.重点和难点重点是一元二次方程的解法。

难点是一元二次方程的简单应用。

4.知识结构五、代数方程1.内容要目含有字母系数的一元一次与一元二次方程,特殊的高次方程(二项方程、双二次方程),分式方程,无理方程,简单的二元二次方程(组),列方程(组)解应用题。

2.基本要求(1)知道整式方程的概念;会解含有一个字母系数的一元一次方程与一元二次方程。

(2)知道高次方程的概念;会用计算器求二项方程的实数根(近似跟),会用换元法解双二项方程,会用因式分解的方法解某些简单的高次方程。

(3)理解分式方程、无理方程的概念;掌握可化为一元一次方程、一元二次方程的分式方程(组)和简单的无理方程的解法,知道“验根”是解分式方程(组)和无理方程的必要步骤,掌握验根的基本方法。

(4)理解二元二次方程和二元二次方程组的概念;会用代入消元法解由一个二元一次方程与一个二元二次方程所组成的二元二次方程组,会用因式分解法解两个方程中至少有一个容易变形为二元一次方程的二元二次方程组。

(5)会列出一元二次方程、分式方程(组)、无理方程、二元二次方程组求解简单的实际问题。

3.重点和难点重点是特殊的高次方程的解法和简单的分式方程、无理方程、二元二次方程组的解法,以及有关方程(组)的基本应用。

难点是对分式方程和无理方程有可能产生增根的理解以及对实际问题中数量关系的分析。

4.知识结构第三单元图形和几何一、长方体的在认识1.内容要目长方体,长方体的画法,直线与直线、直线与平面、平面与平面的基本位置关系。

2.基本要求(1)认识长方体的顶点、棱、面等元素,会画长方体的直观图。

(2)以长方体为载体理解长方体中棱、面之间的基本位置关系的含义,知道两条直线之间三种位置关系。

(3)认识线面、画面的平行和垂直关系,知道一些简单的检验方法。

3.重点和难点重点是长方体的概念、画法,长方体中棱、面之间的位置关系。

难点是利用工具检验空间直线、平面之间的位置关系。

1.内容要目平面上两直线的位置关系;垂线;对顶角;邻补角。

同位角、内错角、同旁内角。

两点的距离、点到直线的距离、两条平行线间的距离。

平行线的判定、性质。

角平分线及其性质,线段的垂直平分线及其性质;轨迹。

基本作图。

2.基本要求(1)知道平面中两条直线的位置关系是相交或平行;知道两条相交直线只有一个交点,它们所成的角(小于平角)有四个,会用交角的大小描述相交直线的位置特征;知道垂线的概念及性质;理解对顶角和邻补角的概念,掌握对顶角的性质。

(2)掌握同位角、内错角、同旁内角的概念。

(3)知道两点之间线段最短,理解两点的距离的意义;知道过直线外一点到直线的垂线段最短,理解点到直线的距离的意义;知道过直线外一点能且只能画一条直线与这条直线平行,理解两条平行线间的距离的意义。

(4)掌握平行线的判定方法及其性质。

(5)掌握角的平分线、线段的垂直平分线的有关性质,知道轨迹的意义以及三条基本轨迹(圆、角平分线、线段的垂直平分线)。

(6)掌握直尺、三角板、圆规、量角器的使用方法,会画已知线段的中点和直线的垂线;会用直尺和圆规作一条线段等于已知线段,作一个角等于已知角、作角的平分线、作线段的垂直平分线等,从中体会交轨法作图。

3.重点和难点重点的平行线的判定和性质及其应用。

难点是角的平分线性质和线段的垂直平分线性质及其应用。

4.知识结构三、三角形(一)三角形的概念1.内容要目三角形的概念,三角形三边之间的关系,三角形的高、中线、角平分线,三角形中位线定理,三角形的分类,三角形的内角和定理,三角形外角的概念和性质。

命题,真命题,假命题,逆命题,定理,逆定理。

2.基本要求(1)掌握三角形的任意两边之和大于第三边的性质(2)理解三角形的高、中线、角平分线等概念,并会画这些特殊线段。

(3)知道三角形的三条中线交与一点(重心)、三条角平分线交于一点(内心)、三条高所在的直线交于一点(垂心),三条边的垂直平分线交于一点(外心)。

(4)知道三角形中位线的定义,掌握三角形中位线定理。

(5)知道三角形按边分类和按角分类的类型,体会分类讨论思想。

(6)理解三角形内角和定理的推导过程,掌握三角形的内角和定理;知道三角形的外角,初步掌握三角形外角的性质。

(7)理解命题、真命题、假命题、逆命题、定理、逆定理的意义,会叙述简单命题的逆命题,知道命题的真假与逆命题的真假无关。

3.重点和难点重点是三角形的内角和定理,以及三角形中位线定理。

难点是三角形内角和定理的证明过程和对三角形的任意两边之和大于第三边的理解。

4.知识结构(二)等腰三角形与直角三角形1.内容要目等腰三角形的概念,等腰三角形的性质和判定,等边三角形的概念,等边三角形的性质和判定,直角三角形的概念,直角三角形的性质和判定,勾股定理。

2.基本要求(1)知道等腰三角形的轴对称性及对称轴。

(2)掌握等腰三角形、等边三角形的有关性质和判定,能运用这些性质及判定定理进行有关的计算和证明(3)掌握直角三角形的判断和性质,能运用这些性质及判定定理进行有关的计算和证明。

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