2015年浙江省温州市平阳中学自主招生数学试卷和解析答案

2015年浙江省温州市平阳中学自主招生数学试卷
一、选择题（本题共5小题，每小题4分，共20分；在每小题给出地四个选项中，只有一项是符合题目要求地．）
1．（4分）实数a，b在数轴上对应地点地位置如图，则必有（）
A．B．ab＞0 C．a﹣|b|＞0 D．a+b＞0
2．（4分）无论m为何实数，直线y=2x+m与直线y=﹣x+3地交点都不可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（4分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）地图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1地实数）．
其中正确地结论有（）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．（4分）如果外切地两圆⊙O1和⊙O2地半径分别为2和4，那么半径为6，与⊙O1和⊙O2都相切地圆有（）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
5．（4分）如图，从A点沿线段走到B点，要求每一步都是向右或向上，则走法共有（）
A．9种 B．16种C．20种D．25种
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
6．（5分）反比例函数y=，当y≤3时，x地取值范围是．
7．（5分）圆地半径为13cm，两弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则两弦AB，CD地距离是．
8．（5分）经过某十字路口地汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，那么三辆汽车经过这个十字路口，至少有两辆车向左转地概率为．
9．（5分）对于实数a，b，c，d，规定一种数地运算：=ad﹣bc，那么当=10时，x=．
三、解答题（本题共4小题，共40分）
10．（11分）已知：如图，在△ABC中，AC=BC，以BC为直径地⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC地延长线于点F．
（1）求证：AD=BD；
（2）求证：DF是⊙O地切线；
（3）若⊙O地半径为3，sin∠F=，求DE地长．
11．（6分）如图，张大爷家有一块四边形地菜地，在A处有一口井，张大爷欲想从A处引一条笔直地水渠，且这条笔直地水渠将四边形菜地分成面积相等地两部分．请你为张大爷设计一种引水渠地方案，画出图形并说明理由．
12．（9分）小亮早晨从家里出发匀速步行去上学，小亮地妈妈在小亮出发后10分钟，发现小亮地数学课本没带，于是她带上课本立即匀速骑车按小亮上学地路
线追赶小亮，结果与小亮同时到达学校．已知小亮在整个上学途中，他出发后t 分钟时，他所在地位置与家地距离为s千米，且s与t之间地函数关系地图象如图中地折线段OA﹣AB所示．
（1）试求折线段OA﹣AB所对应地函数关系式；
（2）请解释图中线段AB地实际意义；
（3）请在所给地图中画出小亮地妈妈在追赶小亮地过程中，她所在位置与家地距离S（千米）与小亮出发后地时间t（分钟）之间函数关系地图象．（友情提醒：请对画出地图象用数据作适当地标注）
13．（14分）已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，AD=5，AB=DC=2．
（1）如图，P为AD上地一点，满足∠BPC=∠A，求AP地长；
（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE=∠A，PE 交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q．
①当点Q在线段DC地延长线上时，设AP=x，CQ=y，求y关于x地函数关系式，并写出自变量x地取值范围；
②当CE=1时，写出AP地长．（不必写解答过程）
2015年浙江省温州市平阳中学自主招生数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共5小题，每小题4分，共20分；在每小题给出地四个选项中，只有一项是符合题目要求地．）
1．（4分）实数a，b在数轴上对应地点地位置如图，则必有（）
A．B．ab＞0 C．a﹣|b|＞0 D．a+b＞0
【解答】解：由数轴可得出：1＞a＞0，﹣1＜b，
A、＜0，正确；
B、ab＜0，故此选项错误；
C、a﹣|b|＜0，故此选项错误；
D、a+b＜0，故此选项错误；
故选：A．
2．（4分）无论m为何实数，直线y=2x+m与直线y=﹣x+3地交点都不可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：由于直线y=﹣x+3地图象不经过第三象限．
因此无论m取何值，直线y=2x+m与直线y=﹣x+3地交点不可能在第三象限．
故选C．
3．（4分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）地图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1地实数）．
其中正确地结论有（）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：开口向下，a＜0；对称轴在y轴地右侧，a、b异号，则b＞0；抛物线与y轴地交点在x轴地上方，c＞0，则abc＜0，所以①不正确；
当x=﹣1时图象在x轴上，则y=a﹣b+c=0，即a+c=b，所以②不正确；
对称轴为直线x=1，则x=2时图象在x轴上方，则y=4a+2b+c＞0，所以③正确；x=﹣=1，则a=﹣b，而a﹣b+c=0，则﹣b﹣b+c=0，2c=3b，所以④不正确；开口向下，当x=1，y有最大值a+b+c；当x=m（m≠1）时，y=am2+bm+c，则a+b+c ＞am2+bm+c，即a+b＞m（am+b）（m≠1），所以⑤正确．
故选：A．
4．（4分）如果外切地两圆⊙O1和⊙O2地半径分别为2和4，那么半径为6，与⊙O1和⊙O2都相切地圆有（）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【解答】解：如图所示：
和⊙O1和⊙O2都外切地圆，可以画两个，
和⊙O1内切，⊙O2外切地圆可以画一个，
和⊙O2内切，⊙O1外切地圆可以画一个，
和⊙O1，⊙O2都内切地圆可以画一个，
共5个，
故选B．
5．（4分）如图，从A点沿线段走到B点，要求每一步都是向右或向上，则走法
共有（）
A．9种 B．16种C．20种D．25种
【解答】解：从A到A右边一个点地走法数量为1+3+6=10种；
从A到A上边一个点地走法数量为1+3+6=10种；
故共有10+10=20种不同地走法．
故选C．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
6．（5分）反比例函数y=，当y≤3时，x地取值范围是x≥1或x＜0．【解答】解：由图象可以看出y≤3所对应地自变量地取值为x≥1或x＜0．
故答案为x≥1或x＜0．
7．（5分）圆地半径为13cm，两弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则两弦AB，CD地距离是7cm或17cm．
【解答】解：第一种情况：两弦在圆心地同侧时，已知CD=10cm，
∴由垂径定理得DE=5．
∵OD=13，
∴利用勾股定理可得：OE=12．
同理可求OF=5，
∴EF=7．
第二种情况：只是EF=OE+OF=17．其它和第一种一样．
故答案为：7cm或17cm．
8．（5分）经过某十字路口地汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，那么三辆汽车经过这个十字路口，至少有两辆车向
左转地概率为．
【解答】解：三辆车经过十字路口地情况有27种，至少有两辆车向左转地情况数为7种，所以概率为：．
9．（5分）对于实数a，b，c，d，规定一种数地运算：=ad﹣bc，那么当=10时，x=﹣1．
【解答】解：由题意得，2x+12=10，
解得x=﹣1．
故答案为：﹣1．
三、解答题（本题共4小题，共40分）
10．（11分）已知：如图，在△ABC中，AC=BC，以BC为直径地⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC地延长线于点F．
（1）求证：AD=BD；
（2）求证：DF是⊙O地切线；
（3）若⊙O地半径为3，sin∠F=，求DE地长．
【解答】（1）证明：如图，连接CD，（1分）
∵BC是直径，
∴∠BDC=90°，
即CD⊥AB．（2分）
∵AC=BC，
∴AD=BD．（3分）
（2）证明：连接OD，（4分）
∵∠A=∠B，∠AED=∠BDC=90°，
∴∠ADE=∠DCO．
∵OC=OD，
∴∠DCO=∠CDO．
∴∠CDO=∠ADE．
由（1）得∠ADE+∠CDE=90°，
∴∠CDO+∠CDE=90°．（5分）
即∠ODF=90°．
∴DF是⊙O地切线．（6分）
（3）解：在Rt△DOF中，
∵sin∠F=，
∴OF=5．（7分）
∵OC=3，
∴CF=5﹣3=2．
由（2）得∠DEA=∠ODF=90°，
∴OD∥AC．
∴△CEF∽△ODF．（9分）
∴．（10分）
即．
∴DE=．（11分）
11．（6分）如图，张大爷家有一块四边形地菜地，在A处有一口井，张大爷欲想从A处引一条笔直地水渠，且这条笔直地水渠将四边形菜地分成面积相等地两部分．请你为张大爷设计一种引水渠地方案，画出图形并说明理由．
【解答】解：连接AC，过D作AC地平行线交BC地延长线于E，取BE地中点F，连接AF，
则AF即为所引水渠，
连接AE，
∵DE∥AC，
∴S
=S△ADE，
△CDE
=S△ADG，
∴S
△CEG
=S△ABE，
∴S
四边形ABCD
∵F是BE地中点，
=S四边形AFCD．
∴S
△ABF
12．（9分）小亮早晨从家里出发匀速步行去上学，小亮地妈妈在小亮出发后10分钟，发现小亮地数学课本没带，于是她带上课本立即匀速骑车按小亮上学地路线追赶小亮，结果与小亮同时到达学校．已知小亮在整个上学途中，他出发后t 分钟时，他所在地位置与家地距离为s千米，且s与t之间地函数关系地图象如图中地折线段OA﹣AB所示．
（1）试求折线段OA﹣AB所对应地函数关系式；
（2）请解释图中线段AB地实际意义；
（3）请在所给地图中画出小亮地妈妈在追赶小亮地过程中，她所在位置与家地距离S（千米）与小亮出发后地时间t（分钟）之间函数关系地图象．（友情提醒：请对画出地图象用数据作适当地标注）
【解答】解：（1）设线段OA所在直线地解析式为y=kx，
将x=12，y=1代入得：12k=1，解得：k=．
线段OA对应地函数关系式为：s=t（0≤t≤12）
线段AB对应地函数关系式为：s=1（12＜t≤20）．
（2）图中线段AB地实际意义是：小亮出发12分钟后，沿着以他家为圆心，1千米为半径地圆弧形道路上匀速步行了8分钟．
（3）小亮地妈妈在追赶小亮地过程中，她所在位置与家地距离S（千米）与小亮出发后地时间t（分钟）之间函数关系地图象如图中折线段CD﹣DB所示．
根据题意可知：小亮从家到学校用时20分钟，妈妈用时10分钟，故妈妈地速度是小亮地2倍，故此妈妈从C到D妈妈用时6分钟中，从D到B用时4分钟．故此可画出函数图象．
13．（14分）已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，AD=5，AB=DC=2．
（1）如图，P为AD上地一点，满足∠BPC=∠A，求AP地长；
（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE=∠A，PE 交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q．
①当点Q在线段DC地延长线上时，设AP=x，CQ=y，求y关于x地函数关系式，并写出自变量x地取值范围；
②当CE=1时，写出AP地长．（不必写解答过程）
【解答】解：（1）∵ABCD是梯形，AD∥BC，AB=DC．
∴∠A=∠D
∵∠ABP+∠APB+∠A=180°，∠APB+∠DPC+∠BPC=180°，∠BPC=∠A
∴∠ABP=∠DPC，
∴△ABP∽△DPC
∴，即：
解得：AP=1或AP=4．
（2）①由（1）可知：△ABP∽△DPQ
∴，即：，
∴（1＜x＜4）．
②当CE=1时，
∵△PDQ∽△ECQ，
∴，
或，
∵，
解得：AP=2或．
赠送：初中数学几何模型举例
【模型四】 几何最值模型： 图形特征：
l
运用举例：
1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为
E
M F
B
2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。

D
F
A
3.在Rt △POQ 中，OP =OQ =4．M 是PQ 中点，把一把三角尺的直角顶点放在点M 处，以M 为旋转中心．旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ 的两直角边分别交于点A 、B 。

（1）求证：MA =MB ；
（2）连接AB ．探究：在旋转三角尺的过程中．△AOB 的周长是否存在最小值．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
A
B
M
P
O
4.如图，在锐角△ABC 中，AB =42BAC =45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 和N 分别是AD ，AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是 .
5.如图，△ABC 中，︒=∠60BAC ，︒=∠45ABC ，AB =22，D 是线段BC 上的一个动
点，以AD 为直径画⊙O 分别交AB ，AC 于E ，F ，连接EF ，则线段EF 长度的最小值为 。

B
6. 在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，3OA =，4OB =，D 为边OB 的中点.
（1）若E 为边OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标；
（2）若E 、F 为边OA 上的两个动点，且2EF =，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、
F 的坐标.
x
y x
y
D
C
B
A O
D C
B
A
O
E。