第四章 根轨迹分析法3_2
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自动控制原理-第4章 根轨迹
又 ∵ 根轨迹方程
n
n
(spi) sn( pi)sn 1L
n
m
Kim 1
i 1 m
snm( pi zj)snm 1L
(szj) sm( zj)sm 1L
i 1
j 1
j 1
j 1
n
m
∴ sn-m-1项系数对应相等
(nm)(a) pi zj
n
m
i1
j1
(2k 1) ,
nm
pi zi
闭环零、极点与开环零、极点的关系
闭环传递函数 (s) G(s)
1G(s)H(s)
开环传递函数 Gk(s)G(s)H(s)
f
l
(s zi)
(s z j)
G (s) KG
i 1 q
H
(s)
K
H
j 1 h
(s pi)
(s p j)
i 1
j 1
f
l
(szi)(szj)
Gk(s)G(s)H(s)K
如何应用根轨迹方程在[s]平面上找到闭环极点。
解： G ( s ) K 0 .5 K K * s(2 s 1) s(s 0.5) s(s 0.5)
K * 0.5 K 开 环 极 点 p1 0， p2 0.5 无开环零点 根据相角方程
s2
p2 4 5 o -0.5 s1
135o
p1 0
m
(s z j)
K j1 n
1
(s pi)
i1
m
n
(szj) (spi)(2k1)
j1
i1
k0,1,2,L
（1）相角条件是决定闭环根轨迹的充要条件； 在测量相角时，规定以逆
自动控制原理(胡寿松版)课件第四章
第一节 根轨迹的基本概念
二、根轨迹与系统性能
根轨迹图可以分析系统的各种性能： ω j ∞ ↑ 稳定性: 根轨迹均在s的左半平 Kr 面，则系统对所有k>0的值是稳定的。 s K =0 1 1 s1 2 r 0 σ -1 稳态性能：如图有一个开环极点 -2 -1 s=0，说明属于I型系统，阶跃作用 Kr ∞ 下的稳态误差为0。 动态性能：过阻尼 临界阻尼 欠阻 尼。 K越大，阻尼比 越小，超调量σ%越大。
第四章 根轨迹分析法
第一节 根轨迹的基本概念
当系统的某个参数变化时，特征方程的根随 之在S平面上移动，系统的性能也跟着变化。研究 S 平面上根的位置随参数变化的规律及其与系统 性能的关系是根轨迹分析法的主要内容。
第一节 根轨迹的基本概念
一、根轨迹
设系统的结构如图 K r变化时,闭环特征 Kr 根在 s平面上的轨迹 : 极点；右半平面为 C(s) 2+2s+K s1 s2 Kr 不稳定极点；虚轴 R(s) =s∞ ω r j ↑ -2 0 0 上为临界极点。 闭环特征方程式 Kr 1 -1 -1 1 2 (2) 0<Kr<1时，系统 s 0 s2 +2s+K Kr=0 1r= s1 -1-j -1+j 2 0 σ -1 有呈过阻尼状态。 -2 特征方程的根 -1 -1+j∞ -1-j∞ Kr (3) 当 时，系统 ∞Kr=1 s1.2 =-1± 1-Kr ∞ 呈临界阻尼状态 。 得相应的闭环特征根值: (4) 1<Kr<∞时，系统呈欠阻尼状态。
↑
↑
第一节 根轨迹的基本概念
三、闭环零、极点与开环零、极点的关系
系统传递函数为
G( s) ( s) 1 G(s) H (s)
自动控制原理第四章-根轨迹分析法
jω
×
p4 z 2
×
p3
×
×
p 2 z1 p1
σ
规则4：根轨迹的分会点（分离点和会合点）d。 （1）定义：分会点是指根轨迹离开实轴进入复平面的点（分 离点）或由复平面进入实轴的点（汇合点），位于相邻两极点 或两零点之间。
（2）位置：大部分的分会点在实轴上，若出现在复平面内时，则 成对出现。
（3）特点：分会点对应于闭环特征方程有重根的点；根轨迹离开
（4）与虚轴的交点：
方法1：闭环特征方程为s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 令s = jω得：-jω3 -6ω2 + j8ω + K* = 0
-6ω2 + K* = 0 即
-ω3 + 8ω= 0
K* = 48 ω= 2.8 s-1
方法2：闭环特征方程为 s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 列劳斯表如下：
规则1：根轨迹的起点和终点。 根轨迹起始于开环极点，终止开环零点或无穷远。
m
i 1
s
zi
n
s
l 1
pl
1 K
K
K
0 s pl
s s
zi , m条 （, n
m）条
规则2: 根轨迹的条数和对称性。 n阶系统有n条根轨迹。根轨迹关于实轴对称。
规则3: 实轴上的根轨迹分布。
由实数开环零、极点将实轴分为若干段，如某段右边 开环零、极点（包括该段的端点）数之和为奇数，则该段就 是根轨迹，否则不是。如下图所示。
又因为开环传函的零极点表达式为：
m
GK (s)
G(s)H(s)
K
n
(s
×
p4 z 2
×
p3
×
×
p 2 z1 p1
σ
规则4：根轨迹的分会点（分离点和会合点）d。 （1）定义：分会点是指根轨迹离开实轴进入复平面的点（分 离点）或由复平面进入实轴的点（汇合点），位于相邻两极点 或两零点之间。
（2）位置：大部分的分会点在实轴上，若出现在复平面内时，则 成对出现。
（3）特点：分会点对应于闭环特征方程有重根的点；根轨迹离开
（4）与虚轴的交点：
方法1：闭环特征方程为s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 令s = jω得：-jω3 -6ω2 + j8ω + K* = 0
-6ω2 + K* = 0 即
-ω3 + 8ω= 0
K* = 48 ω= 2.8 s-1
方法2：闭环特征方程为 s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 列劳斯表如下：
规则1：根轨迹的起点和终点。 根轨迹起始于开环极点，终止开环零点或无穷远。
m
i 1
s
zi
n
s
l 1
pl
1 K
K
K
0 s pl
s s
zi , m条 （, n
m）条
规则2: 根轨迹的条数和对称性。 n阶系统有n条根轨迹。根轨迹关于实轴对称。
规则3: 实轴上的根轨迹分布。
由实数开环零、极点将实轴分为若干段，如某段右边 开环零、极点（包括该段的端点）数之和为奇数，则该段就 是根轨迹，否则不是。如下图所示。
又因为开环传函的零极点表达式为：
m
GK (s)
G(s)H(s)
K
n
(s
第四章控制系统的根轨迹分析法
○
− p4
− p3
∠s + z 2
∠s + p2
− p2
共轭复根 相; ∠s + p2 = 2π 在 s 左边的零、极点其相角均为0
∠s + z1 + ∠s + z2 = 2π 在 s 右边的零、极点其相角均为π
n m 0 出射角公式： 出射角公式： θ pc =180 + ∑θzj − ∑θ pi j =1 i=1
ζ = 0.707
s’ s’
-2 0
K −1
Re
-1
根轨迹法的分析基本思路: 根轨迹法的分析基本思路 目的: 目的
①解决高阶系统求解特征根比较困难 的实现; 寻找到一种方便、 的实现 ②寻找到一种方便、有效的描述 系统的根轨迹的方法。 系统的根轨迹的方法。
方法: 方法
① 根据开环零极点的分布绘制出系统 的根轨迹图； 的根轨迹图；②利用根轨迹法来分析和设 计系统. 计系统
S1
0 -1 -1+j -1+j∞
∞ ↑ K
S2
-2 -1 -1-j -1-j∞ jω
1 S1 0 σ -1
闭环特征方程式 S2+2S+K= 0
S2 -2
特征方程的根 S1.2 = -1± 1-K ±
K变化时,闭环特征根 变化时,
在S平面上的轨迹图形
-1 K ∞ ↑
系统特征方程为 求得两个极点： 求得两个极点：
jω
z1 p3 -2 p2 -1 z2 1 p
1 0
-1
3、实轴上的根轨迹 、
实轴上某区间存在根轨迹， 实轴上某区间存在根轨迹，则 该区间右边的开环零、 该区间右边的开环零、极点数之和 必为奇数。 必为奇数。
− p4
− p3
∠s + z 2
∠s + p2
− p2
共轭复根 相; ∠s + p2 = 2π 在 s 左边的零、极点其相角均为0
∠s + z1 + ∠s + z2 = 2π 在 s 右边的零、极点其相角均为π
n m 0 出射角公式： 出射角公式： θ pc =180 + ∑θzj − ∑θ pi j =1 i=1
ζ = 0.707
s’ s’
-2 0
K −1
Re
-1
根轨迹法的分析基本思路: 根轨迹法的分析基本思路 目的: 目的
①解决高阶系统求解特征根比较困难 的实现; 寻找到一种方便、 的实现 ②寻找到一种方便、有效的描述 系统的根轨迹的方法。 系统的根轨迹的方法。
方法: 方法
① 根据开环零极点的分布绘制出系统 的根轨迹图； 的根轨迹图；②利用根轨迹法来分析和设 计系统. 计系统
S1
0 -1 -1+j -1+j∞
∞ ↑ K
S2
-2 -1 -1-j -1-j∞ jω
1 S1 0 σ -1
闭环特征方程式 S2+2S+K= 0
S2 -2
特征方程的根 S1.2 = -1± 1-K ±
K变化时,闭环特征根 变化时,
在S平面上的轨迹图形
-1 K ∞ ↑
系统特征方程为 求得两个极点： 求得两个极点：
jω
z1 p3 -2 p2 -1 z2 1 p
1 0
-1
3、实轴上的根轨迹 、
实轴上某区间存在根轨迹， 实轴上某区间存在根轨迹，则 该区间右边的开环零、 该区间右边的开环零、极点数之和 必为奇数。 必为奇数。
第四章 控制系统根轨迹分析法
i j 1 j
4.1 根轨迹的概念
模条件与角条件的作用： 1、角条件与k无关，即s平面上所有满足角条件的 点都属于根轨迹。（所以绘制根轨迹只要依据角条 件就足够了）。 2、模条件主要用来确定根轨迹上各点对应的根轨 I 迹增益k值。
m
k
j 1 m
n
s p
j
s Zi
args Z i
1
所以结论：实轴上线段右侧的零、极点数目之和为奇 数时，此区段为根轨迹。
jω
例
k G0 ( s ) Ts 1
1 T
×
×
×
×
σ
1 p T
j
1 1 T F 1 T 2k 1 1
k' G0 ( s ) s( s 0.5 )
j
p1 0 p2 0.5
k G0 s 举例： 开环传函： ss 1
K为开环增益（因为标准型） 有两个开环极点 无开环零点
rs
k ss 1
C s
k G s 2 闭环传函： s sk
2 D s s sk 0 则闭环特征方程为：
1 1 闭环特征根（即闭环传函的极点）： s1 1 4k
0 0 .5 F 0.25 2 2k 1 3 , 2 2 2
-0.5 0
4.2 根轨迹的绘制规则
规则四：根轨迹的渐近线： （1）条数： （n-m）条 （2）与实轴所成角度 当
m n 2k 1
n m
s 时，认为所有开环零极点引向s的角相同
Z1 Z m p1 p n
G 0 s k
m
为m个开环零点
4.1 根轨迹的概念
模条件与角条件的作用： 1、角条件与k无关，即s平面上所有满足角条件的 点都属于根轨迹。（所以绘制根轨迹只要依据角条 件就足够了）。 2、模条件主要用来确定根轨迹上各点对应的根轨 I 迹增益k值。
m
k
j 1 m
n
s p
j
s Zi
args Z i
1
所以结论：实轴上线段右侧的零、极点数目之和为奇 数时，此区段为根轨迹。
jω
例
k G0 ( s ) Ts 1
1 T
×
×
×
×
σ
1 p T
j
1 1 T F 1 T 2k 1 1
k' G0 ( s ) s( s 0.5 )
j
p1 0 p2 0.5
k G0 s 举例： 开环传函： ss 1
K为开环增益（因为标准型） 有两个开环极点 无开环零点
rs
k ss 1
C s
k G s 2 闭环传函： s sk
2 D s s sk 0 则闭环特征方程为：
1 1 闭环特征根（即闭环传函的极点）： s1 1 4k
0 0 .5 F 0.25 2 2k 1 3 , 2 2 2
-0.5 0
4.2 根轨迹的绘制规则
规则四：根轨迹的渐近线： （1）条数： （n-m）条 （2）与实轴所成角度 当
m n 2k 1
n m
s 时，认为所有开环零极点引向s的角相同
Z1 Z m p1 p n
G 0 s k
m
为m个开环零点
《根轨迹分析法》课件
《根轨迹分析法》课件1. 课件简介根轨迹分析法是一种用于分析和设计反馈控制系统的方法，通过绘制系统的根轨迹来了解系统在不同参数下的稳定性和动态性能。
本课件将介绍根轨迹分析法的基本概念、方法和应用。
2. 课件内容2.1 根轨迹分析法的基本概念2.1.1 根轨迹的定义根轨迹是指在系统参数变化范围内，使闭环系统稳定的闭环极点轨迹。
2.1.2 根轨迹的性质（1）根轨迹是闭环极点在复平面上的轨迹，反映了闭环系统的稳定性。
（2）根轨迹的形状由系统开环传递函数的极点和零点决定。
（3）根轨迹的分布与系统参数有关，通过改变参数可以改变系统的稳定性和动态性能。
2.2 根轨迹分析法的方法2.2.1 绘制根轨迹的基本步骤（1）确定系统开环传递函数。
（2）画出开环传递函数的极点和零点。
（3）根据系统参数的变化，绘制出根轨迹。
（4）分析根轨迹的形状，判断闭环系统的稳定性。
2.2.2 根轨迹的绘制技巧（1）利用软件工具，如MATLAB，自动绘制根轨迹。
（2）手动绘制根轨迹时，注意利用对称性和周期性简化绘制过程。
2.3 根轨迹分析法的应用2.3.1 设计控制器通过分析根轨迹，可以确定控制器参数，使闭环系统具有所需的稳定性和动态性能。
2.3.2 系统优化根轨迹分析法可以帮助我们找到系统参数的最佳组合，从而优化系统的性能。
2.3.3 故障诊断分析根轨迹可以帮助我们发现系统中的故障，为故障诊断提供依据。
3. 课件总结本课件介绍了根轨迹分析法的基本概念、方法和应用。
通过学习本课件，您可以了解根轨迹分析法在控制系统设计和分析中的重要性，并掌握绘制根轨迹的基本方法。
希望这有助于您在实际工作中更好地应用根轨迹分析法。
科学性：1. 内容准确：课件内容基于控制理论的基本原理，准确地介绍了根轨迹分析法的概念、方法和应用。
2. 逻辑清晰：课件从基本概念入手，逐步深入到方法介绍和应用实例，逻辑结构清晰，易于理解。
3. 实例典型：课件中提供了控制系统的实例，帮助学习者更好地理解根轨迹分析法的应用场景。
第4章 根轨迹
m
(s p
j 1
n
1
j
)
因ｓ为复变量，根轨迹方程又可分解为幅值方程和相 角方程。 幅值方程为
K r (s zi )
i 1 m
(s p
j 1
n
1 或
(s z )
i
m
j
)
(s p
j 1
i 1 n
j
)
1 Kr
相角方程为
(s z ) (s p ) (2k 1)
设p3的出射角为θ3，如图所示。
假设s1为根轨迹上的一点，则s1应 满足相角方程
(s
i 1
1
1
z i ) ( s1 p j ) (2k 1)
j 1
4
由此可推得出射角的一般表达式
l ( pl zi ) ( pl p j ) i j
例4-6 已知系统的开环传递函数为
K r (s 1.5)(s 2 4s 5) G( s) H ( s) s(s 2.5)(s 2 s 1.5)
试绘制系统的根轨迹图。
18
7. 根轨迹与虚轴的交点
根轨迹与虚轴的交点是系统稳定与不稳定的分界点，常 常需要求得这一交点和相应的Kr值。 设与虚轴相交的闭环极点为ｓ=jω，代入闭环特征方程得：
根为两个复数根，系统呈欠阻尼 状态，即输出呈衰减振荡形式。 特征根的实部σ为衰减系数，虚 部ω为振荡频率。
4
4.1.2 根轨迹方程
设系统的结构如图所示。 系统的闭环传递函数为
C ( s) G(s) R( s ) 1 G ( s ) H ( s )
开环传递函数的一般表达式为
《自动控制原理》第4章_根轨迹分析法
一般有两个解，从中
因此求分离点和会合点公式： 可以判断是分离点或
N(s)D '(s) N '(s)D(s) 0 会合点，只有满足条
Kg 0
件Kg≥0的是有用解。
例4-1.设系统结构如图， 试绘制其概略根轨迹。
R(s)
k(s 1) c(s)
s(s 2)(s 3)
解：画出 s 平面上的开环零点（-1），开环极点（0， -2，-3）。
逆时针为正。（- ， ）
m
n
pj (2k 1) ( z j pi ) pj pi
j 1
j 1
ji
m
n
zi (2k 1) ( z j zi ) p j zi
j 1
j 1
j i
k 0,1,
k 0, 1,
例3.设系统开环传递函数为： G(s) Kg(s 1.5)(s 2 j)(s 2 j) s(s 2.5)(s 0.5 j1.5)(s 0.5 j1.5)
K
s1
00
0.5 1
1 1 j1
s2
K
K 2.5
2
K 1
1 K 0
1 j1
2 1
2 1 j 3 1 j 3
1 j 1 j
j
2
1
0
K 0.5
1
2
一、根轨迹的一般概念
开环系统（传递函数）的某一个参数从零变化到 无穷大时，闭环系统特征方程根在 s 平面上的轨迹 称为根轨迹。
根轨迹法:图解法求根轨迹。 借助开环传递函数来求闭环系统根轨迹。
nm
独立的渐近线只有（n-m）条 u=0,1…,(n-m-1)
（2）渐近线与实轴的交点
分子除以分母
因此求分离点和会合点公式： 可以判断是分离点或
N(s)D '(s) N '(s)D(s) 0 会合点，只有满足条
Kg 0
件Kg≥0的是有用解。
例4-1.设系统结构如图， 试绘制其概略根轨迹。
R(s)
k(s 1) c(s)
s(s 2)(s 3)
解：画出 s 平面上的开环零点（-1），开环极点（0， -2，-3）。
逆时针为正。（- ， ）
m
n
pj (2k 1) ( z j pi ) pj pi
j 1
j 1
ji
m
n
zi (2k 1) ( z j zi ) p j zi
j 1
j 1
j i
k 0,1,
k 0, 1,
例3.设系统开环传递函数为： G(s) Kg(s 1.5)(s 2 j)(s 2 j) s(s 2.5)(s 0.5 j1.5)(s 0.5 j1.5)
K
s1
00
0.5 1
1 1 j1
s2
K
K 2.5
2
K 1
1 K 0
1 j1
2 1
2 1 j 3 1 j 3
1 j 1 j
j
2
1
0
K 0.5
1
2
一、根轨迹的一般概念
开环系统（传递函数）的某一个参数从零变化到 无穷大时，闭环系统特征方程根在 s 平面上的轨迹 称为根轨迹。
根轨迹法:图解法求根轨迹。 借助开环传递函数来求闭环系统根轨迹。
nm
独立的渐近线只有（n-m）条 u=0,1…,(n-m-1)
（2）渐近线与实轴的交点
分子除以分母
第四章根轨迹分析法
若G(s)为闭环传函，则-z和-p为闭环零、极点; 若G(s)为开环传函，则-z和-p为开环零、极点。 必须指出：a 闭环极点就是特征根。
b 根轨迹的实质，就是从开环零极点来 求取闭环极点
c 单位反馈系统的闭环零点就是开环零 点
4 、零点与极点表示法
若 一 开 环 传 函 G (s)H (s)=(s+1)K (s(-s1 +)2 ()s+ (s1+ -j3 ))(s+1+j)
-p3、-p4 和–z3 -z4 则 θ 3+θ 4=0
φ 3 +φ 4 =0
-z3 •-φ 3 -p3×-θ 3 •φ 2θ×2• φ•1θ×1 -z2 -p2 s1 -z1 -p1 -z4 • φ 4 -p4 ×θ 4
(2)开环零极点在左边实轴上
如-p2和–z2 也有θ2=0 φ2=0 所以φ2 + θ2 =0 (3)开环零极点在右边实轴上
实轴上的点，若其右边实轴上有奇数个开环零极
点，则它必在根轨迹上。
六、根轨迹的渐近线
有n-m条根轨迹分支沿着与实轴正方向的夹角 为θ，截距为-σ的一组渐近线趋向无穷远处。其 中
θ=
±180°（2k+1） n—m
式中，k=0，1，2，…一直取够n-m 个夹角为止。
渐近线与n 实轴交点m的坐标以-σa表示，则
③图形表示
j w z
φα
复数相加: z1 =α1+jβ1 z2=α2+jβ2 则z1 + z2=∣z1∣∠φ1+∣z2∣∠φ2 复数相乘:z1z2=∣z1∣∣z2∣∠(φ1+φ2) 复数相除: z1/ z2=∣z1∣/∣z2∣∠(φ1-φ2)
z2
b 根轨迹的实质，就是从开环零极点来 求取闭环极点
c 单位反馈系统的闭环零点就是开环零 点
4 、零点与极点表示法
若 一 开 环 传 函 G (s)H (s)=(s+1)K (s(-s1 +)2 ()s+ (s1+ -j3 ))(s+1+j)
-p3、-p4 和–z3 -z4 则 θ 3+θ 4=0
φ 3 +φ 4 =0
-z3 •-φ 3 -p3×-θ 3 •φ 2θ×2• φ•1θ×1 -z2 -p2 s1 -z1 -p1 -z4 • φ 4 -p4 ×θ 4
(2)开环零极点在左边实轴上
如-p2和–z2 也有θ2=0 φ2=0 所以φ2 + θ2 =0 (3)开环零极点在右边实轴上
实轴上的点，若其右边实轴上有奇数个开环零极
点，则它必在根轨迹上。
六、根轨迹的渐近线
有n-m条根轨迹分支沿着与实轴正方向的夹角 为θ，截距为-σ的一组渐近线趋向无穷远处。其 中
θ=
±180°（2k+1） n—m
式中，k=0，1，2，…一直取够n-m 个夹角为止。
渐近线与n 实轴交点m的坐标以-σa表示，则
③图形表示
j w z
φα
复数相加: z1 =α1+jβ1 z2=α2+jβ2 则z1 + z2=∣z1∣∠φ1+∣z2∣∠φ2 复数相乘:z1z2=∣z1∣∣z2∣∠(φ1+φ2) 复数相除: z1/ z2=∣z1∣/∣z2∣∠(φ1-φ2)
z2
第四章根轨迹分析法
闭环系统的阶次为3 ，有3条根轨迹 。
规则三、
证明：（1）连续性 从代数方程的性质可知，当方程中的系数连续变化 时，方程的根也连续，因此特征方程的根轨迹是连 续的。
证明：（2）对称性 因为特征方程的根或为实数，或为共轭复数，所以 根轨迹对称于实轴。
法则三、渐近线：根轨迹有n-m条渐进线。
渐近线与实轴的夹角为： (2k 1)1800 k 0,1,2,..
nm
n
m
pi z j
渐近线与实轴的交点为： i1
j 1
nm
l 它们是针对n-m条趋向无穷远点的根轨迹而设立的
l 如果知道了渐近线，可以马上画出根轨迹的大致形状
法则四、实轴上的根轨迹：在实轴上某线段右侧的实数 开环零、极点个数之和为奇数，则该线段为根轨迹。
对于例题，在实轴上的根轨迹： G(s)H (s) K*(s 5)
若当根轨迹出现在两相邻开环零点间（包括无穷
远处）时，必有一分离点。 分
离 点
K=∞
K=∞
分 离 点
××
K=0
K=0
它们可以利用代数重根法或极值法求出。(介绍后者)
由求极值的公式求出：
1 H (s)G(s) 1 K * N (s) 0 D(s)
K* D(s) N (s)
在实轴根轨迹上，求使K*达到最大（最小）值的s 值:
令虚轴的交点： s j 代入上式，得
( j)3 3( j)2 2 j K ( j 5) 0 Re 5K 3 2 0 Im (2 K ) 3 0 解得： 0，K 0;
本章主要内容
以K*为变量的常规根轨迹的绘制方法 以其它参数为变量的广义根轨迹的绘制方法 根轨迹分析方法的应用
－利用根轨迹分析和设计控制系统
第4章 根轨迹分析法
i 1
其余n m,
m
(s zi )
i 1 n
(s pj )
m
(1
m
i 1
pj
(1 s)
zi
n
s
) (s
p
j
)
1 Kg
j 1
j 1
j m 1
此时s ，即无穷远处
8/63
五.实轴上的根轨迹
在实轴上，右方的实数开环极点和实数开环零 点的总和为奇数时，此为根轨迹上点。
GK (s)
m
n
闭环系统特征方程 或根轨迹方程
4/63
GK (s) GK (s) e jGK (s) 1
幅值条件: GK (s) 1 相角条件: GK (s) 180o (2k 1) k 0,1, 2,
或:
m
(s zi )
充要条
K i1 gn
1
件
(s pi )
m
n
j 1
s zi s p j 180o (2k 1) k 0,1,2,
当 nm2
n
n
an1 ( pj ) (sj ) s j 为系统的闭环极点
j 1
j 1
随着根轨迹增益的变化，若一些闭环极点向右移动，则另一些
必向左移动
n
(sj )=(-1)n (a0 Kgb0) j 1
22/63
十条法则：
1.连续性 2.对称性 3.分支数 4.起点、终点 5.实轴上的根轨迹 6.渐近线 7.分离点、会合点 8.出射角、入射角 9.虚轴交点 10.闭环极点的和与积
D(s)N(s) N(s)D(s) 0,3s2 6s 2 0
ss21
0.423 1.577
第四章-根轨迹分析法
i 1
K
K*(sz1) (szm)
(sp1)(sp2) (spn)K 0 K 0 K
6 5
° 3
！绘制注意点
1）实轴、虚轴相同的刻度 5.53
2）“×”、 “〇” 3）加粗线及箭头
4）关键点的标注
j
• K 35, 1.35
1 1
1
0
• K 35, 1.35
29
绘制根轨迹的基本法则
从特征根的表达式中看出每个特征根都随K的变化 而变化。例如，设
K=0 K=0.5 K=1 K=2.5 K=+∞
s1 0, s2 2 s1 1, s2 1 s1 1 j, s2 1 j s1 1 2 j, s2 1 2 j s1 1 j , s2 1 j
l
h
(szj) (spi)(lh)
j1
i1
•如满足辐角条件必有
(lh)(21)
所以，L-h必为奇数，当然L+h也为奇数。
证毕
36
例3
设一单位负反馈系统的开环传递函数为 G(s)=K(s+1)/[s(0.5s+1)],求 K0 时的闭环根轨迹。
解：将开环传递函数写成零、极点形式 G(s) 2K(s 1) s(s 2)
因此，渐近线交点总在实轴上。
41
例4
已知系统的开环传递函数
G(s)H(s)s(s4 K)g((ss2 12)s2)
试根据6，求出根轨迹的渐近线。
解：
零点 z1, m1 极点 p 10,p2 4,p 3 1j1 ,p4 1j1 ,
n4
42
按照公式得
1800(1 2) 1800(1 2)
nm
➢1.根轨迹的连续性 ➢2.根轨迹分支数 ➢3.根轨迹的对称性 ➢4.根轨迹的起点和终点 ➢5.实轴上的根轨迹 ➢6.根轨迹的渐近线
自动控制原理 第四章 线性系统的根轨迹方法(2011-3) (2)
要求等价为：
பைடு நூலகம்β = 45
−ξπ 1−ξ 2
β = 60
[ s]
j
⎧45° < β < 60° ⎨ ⎩ 2 < ωn < 5
−5
−2
0
13
ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ
= 0.0 σ % = 100% = 0.4 σ % = 25% = 0.5 σ % = 15% = 0.6 σ % = 10% = 0.7 σ % = 5% = 0.8 σ % = 2% = 1.0 σ % = 0%
A
ξ = 0.5
Im
λ3 = −2.34 X
−2
λ1 = −0.33 + j0.58
−1
X
−0.5
60
0
X
Re
λ2 = −0.33 − j0.58
21
三、高阶系统动态性能指标估算
1、高阶系统单位阶跃响应
(1) 高阶系统的单位阶跃响应包括常数项和响应模态。 (2) 除常数项以外，高阶系统的单位阶跃响应是系统模态的组 合，组合系数即部分分式系数。 (3) 模态由闭环极点确定，而部分分式系数与闭环零点、极点 分布有关，闭环零点、极点对系统动态性能均有影响。
ξ ≥ 1− r
( α)
2
ωd ≤ r
α − r ≤ ωn ≤ α + r
α − r ≤ ξωn ≤ α + r
如果设定区域
ξωn ≥ q
则选择 r ≤ min
(α − q , α
ξ ≥ ξ min
1− ξ
2 min
)
8
[例]：如图系统，求系统具有最小阻尼时K值及相应的 动态性能和稳态误差。
பைடு நூலகம்β = 45
−ξπ 1−ξ 2
β = 60
[ s]
j
⎧45° < β < 60° ⎨ ⎩ 2 < ωn < 5
−5
−2
0
13
ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ
= 0.0 σ % = 100% = 0.4 σ % = 25% = 0.5 σ % = 15% = 0.6 σ % = 10% = 0.7 σ % = 5% = 0.8 σ % = 2% = 1.0 σ % = 0%
A
ξ = 0.5
Im
λ3 = −2.34 X
−2
λ1 = −0.33 + j0.58
−1
X
−0.5
60
0
X
Re
λ2 = −0.33 − j0.58
21
三、高阶系统动态性能指标估算
1、高阶系统单位阶跃响应
(1) 高阶系统的单位阶跃响应包括常数项和响应模态。 (2) 除常数项以外，高阶系统的单位阶跃响应是系统模态的组 合，组合系数即部分分式系数。 (3) 模态由闭环极点确定，而部分分式系数与闭环零点、极点 分布有关，闭环零点、极点对系统动态性能均有影响。
ξ ≥ 1− r
( α)
2
ωd ≤ r
α − r ≤ ωn ≤ α + r
α − r ≤ ξωn ≤ α + r
如果设定区域
ξωn ≥ q
则选择 r ≤ min
(α − q , α
ξ ≥ ξ min
1− ξ
2 min
)
8
[例]：如图系统，求系统具有最小阻尼时K值及相应的 动态性能和稳态误差。
根轨迹分析法
第四章根轨迹分析法一、主要内容<1）根轨迹法的基本概念<2）绘制180o根轨迹的基本法则<3）绘制0o根轨迹的基本法则<4）参变量系统的根轨迹<5）非最小相位系统的根轨迹<6）控制系统的根轨迹分析二、基本要求<1）理解根轨迹法、根轨迹、根轨迹方程、180o根轨迹和0o根轨迹等概念。
<2）掌握180o根轨迹的绘制方法，理解和熟记根轨迹的绘制法则，会用幅值方程求对应的<或）值。
<3）了解闭环零、极点分布和系统阶跃响应的定性关系，掌握系统根轨迹分析的基本思路。
<4）掌握0o根轨迹、参变量系统根轨迹和非最小相位系统根轨迹绘制的方法。
三、内容提要1、根轨迹法的基本概念<1）根轨迹：当系统开环传递函数中某参数<如根轨迹增益）在某一范围内<如）连续变化时，闭环特征根在S平面上移动的轨迹，称为根轨迹。
b5E2RGbCAP<2）根轨迹方程幅值方程：相角方程：。
相角方程是根轨迹的充分必要条件，而幅值方程的作用主要用来确定对应点的增益。
2、绘制180o根轨迹的基本法则法则1：根轨迹的起点和终点根轨迹起始于系统的开环极点<包括重极点），m条根轨迹终止于开环零点，条根轨迹分支终止于无穷远处。
法则2：根轨迹的连续性和分支数根轨迹具有连续性，且对称于实轴。
法则3：根轨迹的分支数根轨迹的分支数等于，即系统的阶数。
法则4：根轨迹的渐近线有条渐近线，渐近线与实轴正方向的夹角为：，渐近线与实轴的交点为：法则5：实轴上根轨迹的分布实轴上某区域，若其右边的开环零点和开环极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。
法则6：根轨迹的分离<会合）点根轨迹的分离<会合）点实质上闭环特征方程的重根，因而可以用求解方程式重根的方法来确定其在复平面上的位置。
p1EanqFDPw 设系统闭环特征方程为：满足以下任何一个方程，且保证为正实数的解，即是根轨迹的分离<会合）点。
自动控制原理 第四章 根轨迹
自动控制原理
第四章 根轨迹分析法
输入
偏差
+-
控制器
输出 被控对象
反馈元件
4.1.1 自动控制系统的根轨迹
什么是根轨迹？ 根轨迹是系统开环传递函数某一参数或某几
个参数从零变化到无穷大时，闭环系统特征根
在s平面上变化的轨迹。
用时域分析法，每次系统的参数发生变化都 要重新计算闭环传递函数和闭环极点。计算量 大且难以看出系统性能指标的变化趋势。
1 Gk (s) 0
根轨 迹方
m
程
s zi
K i1 gn
1s pjj 1源自根轨迹方程可以分解成幅值条件和相角条 件两个方程，即
幅值条件
Gk s 1
相角条件
Gk (s) 180 (2k 1)
k 0,1, 2,
幅值条件方程为
m
s zi
K i1 gn
1
s pj
j 1
相角条件方程为
或无穷远处。
m
s zi
i 1
n
s pj
1 Kg
j 1
根轨迹分支的起点是指当Kg=0时的闭环极点。当 s=pj ，即开环极点。
根轨迹分支的终点是指当Kg→∞时的闭环极点。
•当s=zi，即开环零点。
m
•当s→∞，方程左边趋于0.
s zi
lim i1
sm lim 0
s n
s pj
s s n
b0 )
Kg
n
(s pj )
sn an1sn1 a0
snm (an1 bm1 )snm1
j 1
当s模值很大时，可以在分母中只保留前两项，即
G(s)H (s)
snm
第四章 根轨迹分析法
输入
偏差
+-
控制器
输出 被控对象
反馈元件
4.1.1 自动控制系统的根轨迹
什么是根轨迹？ 根轨迹是系统开环传递函数某一参数或某几
个参数从零变化到无穷大时，闭环系统特征根
在s平面上变化的轨迹。
用时域分析法，每次系统的参数发生变化都 要重新计算闭环传递函数和闭环极点。计算量 大且难以看出系统性能指标的变化趋势。
1 Gk (s) 0
根轨 迹方
m
程
s zi
K i1 gn
1s pjj 1源自根轨迹方程可以分解成幅值条件和相角条 件两个方程，即
幅值条件
Gk s 1
相角条件
Gk (s) 180 (2k 1)
k 0,1, 2,
幅值条件方程为
m
s zi
K i1 gn
1
s pj
j 1
相角条件方程为
或无穷远处。
m
s zi
i 1
n
s pj
1 Kg
j 1
根轨迹分支的起点是指当Kg=0时的闭环极点。当 s=pj ，即开环极点。
根轨迹分支的终点是指当Kg→∞时的闭环极点。
•当s=zi，即开环零点。
m
•当s→∞，方程左边趋于0.
s zi
lim i1
sm lim 0
s n
s pj
s s n
b0 )
Kg
n
(s pj )
sn an1sn1 a0
snm (an1 bm1 )snm1
j 1
当s模值很大时，可以在分母中只保留前两项，即
G(s)H (s)
snm
根轨迹分析方法
第4章 根轨迹分析法通过对控制系统的时域分析，我们知道，系统的稳定性和输出响应中的瞬态分量都由系统闭环特征方程的特征根（闭环传递函数的极点）所决定。
你可能有问题：当系统的某个参数发生变化时，特征根会随之在复平面上移动，系统的性能也就会发生变化。
是的，确实如此！因此，我们可以根据特征根在复平面上的分布来分析系统的性能，也可以根据系统的性能指标要求来确定满足该指标的特征根的位置，并进一步确定相关的系统参数。
这就是根轨迹分析的意义。
s s 鉴于高阶特征方程的求解具有较大的难度，1948年伊文思（W••R••Evans）提出了一种求闭环系统特征根的简便图解法，称为根轨迹法。
4.1 根轨迹的基本概念根轨迹法主要研究当系统的某一参数发生变化时，如何根据系统已知的开环传递函数的零极点，来确定系统的闭环特征根的移动轨迹。
下面我们可以结合具体的例子来说明根轨迹的含义。
)2()(+=s s Ks G 设控制系统的结构如图4.1所示，图中，，系统的开环传递函数为1)(=s H图4.1 系统结构图)2()()(+=s s Ks H s GK 其中，为开环传递函数零极点形式的放大系数，也称为根轨迹增益。
系统的闭环传递函数为Ks s Ks R s C ++=2)()(2 则闭环特征方程为022=++K s sK s −+−=111K s −−−=112可以解出该方程的根为 ，可见，、是随参数1s 2s K 的变化而变化的。
改变K 值时，特征根、的变化值如表4.1所示，在平面上的轨迹变化如图4.2所示。
图中的粗实线就称为系统的根轨迹，根轨迹上的箭头方向表示1s 2s s ∞→K 时，闭环极点的变化方向，标注的数据代表与闭环极点位置相应的开环增益K 的数值。
表4.1 S S 12K 0 0 -2 0.5 -0.29 -1.7071 -1 -1图4.2 闭环特征根的轨迹实际上，图中的根轨迹是由两条分支组成的：①当0=K 时，闭环特征根、与开环极点重合，即开环极点为根轨迹的起点。
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K Gk ( s ) s ( s 1)(0.25s 1)
试应用根轨迹法求取具有阻尼比ξ＝0.5的共轭闭环主导极 点和其它的闭环极点，并估算此时系统的性能指标。
解：将开环传递函数改写成零、极点的形式得
Kg 4K Gk ( s) s( s 1)( s 4) s( s 1)( s 4)
解之得
s1ห้องสมุดไป่ตู้2=-0.59, -3.41（舍去）
1800 d 900 2
所以，会合点出现于负实轴上-0.59处，根轨迹的会合角为
（4）实轴根轨迹存在于[－2，+ ）的区段。根轨迹 两分支会合后，一条终止于开环零点－z＝－2处，另一 条经坐标原点一直往右趋于无穷远处。
其实这是2个极点、1个零点的问题，前面已证明过根轨 迹呈圆弧状，圆心在－2处，半径为R＝ 2 。故用圆规 可迅速绘出，再加上实轴根轨迹即可。
同理，-p2上根轨迹的出射角为
2 45
（3）求根轨迹在实轴上的会合点 令
( s 2) N ( s) Gk ( s ) K g 2 Kg s 2s 2 D( s )
(s2+2s+2)-(s+2)(2s+2)=0
计算N’(S)D(S)-N(S)D’(S)=0，得
经整理后有 S2+4s+2=0
n
则系统在单位阶跃信号作用下的输出表达式 可用部分分式展开成
1 C ( s) ( s) s
K ( s zi )
i 1
m
(s p
j 1
n
j
)
1 a0 n a j s s j 1 s p j
其中， ai为对应极点的留数。从而系统的时间响应为
零点位置对阶跃响应的影响
试绘制Kg由 0 变化时的根轨迹。 解：根据正反馈系统根轨迹的有关法则知： （1）系统有1个零点-z=-2，2个极点-p1,2=-1±j。 共有2条根轨迹分支，由-p1,2出发。
（2）在开环复数极点-p1上根轨迹的出射角按式（4-52）得
1 ( p1 z) ( p1 p2 ) 45 90 45
根据根轨迹方程的幅值条件可得对应于-s1点的根轨迹增益为
Kg s1 p1 s1 p2 s1 p3
0.40 j0.69 0.40 j0.69 1 0.40 j0.69 4
极点在左半平面系统稳定 系统的阶跃响应与闭环零、极点的分布密 切相关
极点越靠近虚轴，动态性能越差 零点的加入可以使调节时间缩短
稳态误差与系统的无差度和开环放大系数 有关
假设n阶系统的闭环传递函数
( s)
K ( s zi )
i 1
m
(s p )
j j 1
3. 正反馈系统的根轨迹的绘制
闭环传函
闭环特征方程
正反馈系统的根轨迹方程
实轴上的根轨迹
渐近线与实轴的 夹角 出射角、入射角
注释：负反馈系统的根轨迹称为常规根轨迹或180°根轨迹
正反馈系统的根轨迹称为零度根轨迹
绘制正反馈系统的根轨迹时，前面介绍过的10条法则中， 有3条与相角方程有关的法则，要作如下相应的修改，其余7条 法则对正、负反馈系统则是相同的。 （1）实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹区段的右侧实轴上， 开环零点和极点数目之和应为偶数。 （2）根轨迹的渐近线： 渐近线与实轴的交点σa常规根轨迹相同 渐近线与正实轴的夹角应改为
式中，Kg=4K，K为开环放大系数，Kg为根轨迹增益。
图4-30为当Kg＝ 0 变化时的根轨迹。其中实轴
上
[-1,0]以及（－ ，-2]是根轨迹区段，实轴上根轨迹的分 离点落在（－0.465，j0）处。两条根轨迹与虚轴有交点， 交点处对应的临界增益Kgp＝20。 当K>5时，根轨迹引伸至右半s平面，表明系统具有一对 实部为正数的共轭复根，此时系统不稳定。因此，为使系统 稳定，开环传递系数的取值范围应是0<K<5。
Kg 7
1. 求取闭环系统极点的方法
绘出系统的根轨迹图 作出等阻尼线 β=arccos ς , 求出与根轨迹 的交点。此交点为闭环系统的一个极点 由根轨迹的对称性可等到闭环系统的另一 个极点 由闭环系统极点和开环系统极点之间的关 系可得到闭环系统的其他极点
例4-22 已知单位反馈系统的开环传递函数为
用根轨迹法分析控制系统的步骤:
1. 画出系统的根轨迹图 2. 在根轨迹上确定闭环零、极点的位置
3. 根据系统闭环零极点的分布分析系统
的性能
§4.4 求取闭环系统零、极点的方法
根轨迹图可以直观地看到闭环系 统极点的分布 如何找出想要的闭环极点？
如何分析系统性能？
闭环零点的分布？ 加入开环零极点对根轨迹 位置的影响？
θ=±180°2k / (n - m)
k=0,1,2…
(3)根轨迹的出射角和入射角： 离开开环极点-pa 时的出射角改为 a= b =
i
i
-
ja
j
离开开环零点-zb 时的入射角改为
j
j
i
i
正反馈系统的根轨迹与负反馈系统的根 轨迹是互补的
10 5
10 5
Imag Axis
0 -5 -10 -6 -4 -2 Real Axis 0 2
Imag Axis
0 -5 -10 -6 -4 -2 Real Axis 0 2
3
2
2 1
0
0 -1
-2 -4 -2 0 2
-2 -3 -4 -2 0 2
例4-20
设单位正反馈系统的开环传递函数为
Gk ( s )
K g ( s 2) s 2 2s 2
为了确定满足ξ＝0.5条件时系统的3个闭环极点，首先作 出ξ＝0.5的等阻尼线OA，它与负实轴的夹角为
arccos arccos 0.5 60
0
如图4-30的点划线所示。等阻尼线OA与根轨迹的交 点即为相应的闭环极点－s1，
－s1＝－0.40＋j0.69
另一共轭复数极点为－s2＝－0.4－j0.69. 再根据闭环极点之和等于开环极点之和的法则 －s1－s2－s3＝－p1－p2－p3 可求得对应的第三个闭环极点为 －s3＝（0－1－4）－（－0.4＋j0.69－0.4－j0.69） ＝－4.20
试应用根轨迹法求取具有阻尼比ξ＝0.5的共轭闭环主导极 点和其它的闭环极点，并估算此时系统的性能指标。
解：将开环传递函数改写成零、极点的形式得
Kg 4K Gk ( s) s( s 1)( s 4) s( s 1)( s 4)
解之得
s1ห้องสมุดไป่ตู้2=-0.59, -3.41（舍去）
1800 d 900 2
所以，会合点出现于负实轴上-0.59处，根轨迹的会合角为
（4）实轴根轨迹存在于[－2，+ ）的区段。根轨迹 两分支会合后，一条终止于开环零点－z＝－2处，另一 条经坐标原点一直往右趋于无穷远处。
其实这是2个极点、1个零点的问题，前面已证明过根轨 迹呈圆弧状，圆心在－2处，半径为R＝ 2 。故用圆规 可迅速绘出，再加上实轴根轨迹即可。
同理，-p2上根轨迹的出射角为
2 45
（3）求根轨迹在实轴上的会合点 令
( s 2) N ( s) Gk ( s ) K g 2 Kg s 2s 2 D( s )
(s2+2s+2)-(s+2)(2s+2)=0
计算N’(S)D(S)-N(S)D’(S)=0，得
经整理后有 S2+4s+2=0
n
则系统在单位阶跃信号作用下的输出表达式 可用部分分式展开成
1 C ( s) ( s) s
K ( s zi )
i 1
m
(s p
j 1
n
j
)
1 a0 n a j s s j 1 s p j
其中， ai为对应极点的留数。从而系统的时间响应为
零点位置对阶跃响应的影响
试绘制Kg由 0 变化时的根轨迹。 解：根据正反馈系统根轨迹的有关法则知： （1）系统有1个零点-z=-2，2个极点-p1,2=-1±j。 共有2条根轨迹分支，由-p1,2出发。
（2）在开环复数极点-p1上根轨迹的出射角按式（4-52）得
1 ( p1 z) ( p1 p2 ) 45 90 45
根据根轨迹方程的幅值条件可得对应于-s1点的根轨迹增益为
Kg s1 p1 s1 p2 s1 p3
0.40 j0.69 0.40 j0.69 1 0.40 j0.69 4
极点在左半平面系统稳定 系统的阶跃响应与闭环零、极点的分布密 切相关
极点越靠近虚轴，动态性能越差 零点的加入可以使调节时间缩短
稳态误差与系统的无差度和开环放大系数 有关
假设n阶系统的闭环传递函数
( s)
K ( s zi )
i 1
m
(s p )
j j 1
3. 正反馈系统的根轨迹的绘制
闭环传函
闭环特征方程
正反馈系统的根轨迹方程
实轴上的根轨迹
渐近线与实轴的 夹角 出射角、入射角
注释：负反馈系统的根轨迹称为常规根轨迹或180°根轨迹
正反馈系统的根轨迹称为零度根轨迹
绘制正反馈系统的根轨迹时，前面介绍过的10条法则中， 有3条与相角方程有关的法则，要作如下相应的修改，其余7条 法则对正、负反馈系统则是相同的。 （1）实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹区段的右侧实轴上， 开环零点和极点数目之和应为偶数。 （2）根轨迹的渐近线： 渐近线与实轴的交点σa常规根轨迹相同 渐近线与正实轴的夹角应改为
式中，Kg=4K，K为开环放大系数，Kg为根轨迹增益。
图4-30为当Kg＝ 0 变化时的根轨迹。其中实轴
上
[-1,0]以及（－ ，-2]是根轨迹区段，实轴上根轨迹的分 离点落在（－0.465，j0）处。两条根轨迹与虚轴有交点， 交点处对应的临界增益Kgp＝20。 当K>5时，根轨迹引伸至右半s平面，表明系统具有一对 实部为正数的共轭复根，此时系统不稳定。因此，为使系统 稳定，开环传递系数的取值范围应是0<K<5。
Kg 7
1. 求取闭环系统极点的方法
绘出系统的根轨迹图 作出等阻尼线 β=arccos ς , 求出与根轨迹 的交点。此交点为闭环系统的一个极点 由根轨迹的对称性可等到闭环系统的另一 个极点 由闭环系统极点和开环系统极点之间的关 系可得到闭环系统的其他极点
例4-22 已知单位反馈系统的开环传递函数为
用根轨迹法分析控制系统的步骤:
1. 画出系统的根轨迹图 2. 在根轨迹上确定闭环零、极点的位置
3. 根据系统闭环零极点的分布分析系统
的性能
§4.4 求取闭环系统零、极点的方法
根轨迹图可以直观地看到闭环系 统极点的分布 如何找出想要的闭环极点？
如何分析系统性能？
闭环零点的分布？ 加入开环零极点对根轨迹 位置的影响？
θ=±180°2k / (n - m)
k=0,1,2…
(3)根轨迹的出射角和入射角： 离开开环极点-pa 时的出射角改为 a= b =
i
i
-
ja
j
离开开环零点-zb 时的入射角改为
j
j
i
i
正反馈系统的根轨迹与负反馈系统的根 轨迹是互补的
10 5
10 5
Imag Axis
0 -5 -10 -6 -4 -2 Real Axis 0 2
Imag Axis
0 -5 -10 -6 -4 -2 Real Axis 0 2
3
2
2 1
0
0 -1
-2 -4 -2 0 2
-2 -3 -4 -2 0 2
例4-20
设单位正反馈系统的开环传递函数为
Gk ( s )
K g ( s 2) s 2 2s 2
为了确定满足ξ＝0.5条件时系统的3个闭环极点，首先作 出ξ＝0.5的等阻尼线OA，它与负实轴的夹角为
arccos arccos 0.5 60
0
如图4-30的点划线所示。等阻尼线OA与根轨迹的交 点即为相应的闭环极点－s1，
－s1＝－0.40＋j0.69
另一共轭复数极点为－s2＝－0.4－j0.69. 再根据闭环极点之和等于开环极点之和的法则 －s1－s2－s3＝－p1－p2－p3 可求得对应的第三个闭环极点为 －s3＝（0－1－4）－（－0.4＋j0.69－0.4－j0.69） ＝－4.20