江苏省泰州中学2020学年高一数学下学期期中试题(扫描版)
江苏省泰州中学2019-2020学年高一下学期期中数学试题(解析版)
江苏省泰州中学2019-2020学年度第二学期期中考试高一数学试题一、单项选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分）1.在ABC ∆中，若30B°?，AB =2AC =，则满足条件的三角形有（ ）个 A.B. 1C. 2D. 不确定 【答案】C【解析】【分析】直接利用sin AB AC AB B >>来判断三角形解得情况.【详解】在ABC ∆中，30B°?，AB =2AC =，则sin AB AC AB B >>，所以，ABC ∆有两解.故选：C.【点睛】本题考查的知识要点：三角形解的情况的应用，属于基础题．2.正方体被平面所截得的图形不可能是（ ）A. 正三角形B. 正方形C. 正五边形D. 正六边形 【答案】C【解析】【分析】平面与正方形相交与不同的位置，可以出现正三角形，正方形，正六边形，不可能出现正五边形【详解】如图所示，平面与正方形相交与不同的位置，可以出现正三角形，正方形，正六边形，不可能出现正五边形，故选C 项【点睛】本题考查正方形的截面图形，空间想象能力，属于基础题.3.10y +-=的倾斜角为（ ）A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°【答案】C【解析】【分析】由直线的一般式方程得到直线的斜率k ，再由tan θk =求解倾斜角.10y +-=的斜率=k -tan [0,180)o o k θθ∴==∈，∴120θ︒=.故选：C【点睛】本题考查了直线的一般式方程、直线的斜率和直线的倾斜角的关系，考查了学生转化，运算的能力，属于基础题.4.以()3,1A -，()2,2B -为直径的圆的方程是A. 2280x y x y +---=B. 2290x y x y +---=C. 2280x y x y +++-=D. 2290x y x y +++-= 【答案】A【解析】【分析】设圆的标准方程，利用待定系数法一一求出,,a b r ，从而求出圆的方程.【详解】设圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，由题意得圆心(,)O a b 为A ，B 的中点， 根据中点坐标公式可得32122a -==，12122b -+==，又||2AB r ===，所以圆的标准方程为： 221117()()222x y -+-=，化简整理得2280x y x y +---=， 所以本题答案为A.【点睛】本题考查待定系数法求圆的方程，解题的关键是假设圆的标准方程，建立方程组，属于基础题.5.过两直线1l ：310x y -+=，2l ：260x y ++=的交点且与310x y +-=平行的直线方程为（ ）A. 310x y -+=B. 370x y ++=C. 3110x y --=D. 3130x y ++=【答案】D【解析】【分析】求出两直线1l 、2l 的交点坐标，再设与310x y +-=平行的直线方程为30x y m ++=，代入交点坐标求出m 的值，即可写出方程. 【详解】解：两直线1l ：310x y -+=，2l ：260x y ++=的交点为310260x y x y -+=⎧⎨++=⎩解得41x y =-⎧⎨=-⎩，即()4,1--； 设与310x y +-=平行的直线方程为30x y m ++=则3(4)(1)0m ⨯-+-+=解得13m =所求的直线方程为3130x y ++=.故选：D【点睛】本题考查了直线方程的应用问题，是基础题.6.将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为（ ）A. 2B.C. 43πD. 6π 【答案】D【解析】【分析】依题意最大的球为与正方体各个面相切，直径为正方体的棱长，即可求解.【详解】将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球， 该球为正方体的内切球，其半径为12，所以球体积为341()326ππ⨯=.故选：D .【点睛】本题考查多面体与球的“接”“切”问题，属于基础题.7.在ABC V 中，2cos22B a c c +=（a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边），则ABC V 的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形 【答案】B【解析】【分析】由二倍角公式和余弦定理化角为边后变形可得． 【详解】∵2cos 22B a c c +=，∴22cos 2B a c c +=，1cos a c B c ++=，22212a c b a c ac c+-++=，整理得222+=a b c ，∴三角形为直角三角形．故选：B ．【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查二倍角公式和余弦定理，用余弦定理化角为边是解题关键． 8.一竖立在水平面上的圆锥物体的母线长为2m ，一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上的点P 出发，绕圆锥表面爬行一周后回到P点，蚂蚁爬行的最短路径为，则圆锥的底面圆半径为（ ） A. 1m B. 2m 3 C. 43m D. 3m 2【答案】B【解析】【分析】将圆锥展开后的扇形画出，结合母线及最短距离，即可确定圆心角大小；进而求得弧长，即为底面圆的周长，由周长公式即可求得底面圆的半径.【详解】将圆锥侧面展开得半径为2m 的一扇形，蚂蚁从P 爬行一周后回到P （记作1P ），作1OM PP ⊥，如下图所示：的由最短路径为，即12PP OP ==， 由圆的性质可得13POM POM π∠=∠=，即扇形所对的圆心角为23π， 则圆锥底面圆的周长为24233l ππ=⨯=， 则底面圆的半径为423223l r πππ===， 故选：B.【点睛】本题考查了了圆锥侧面展开图、扇形弧长公式的简单应用，属于基础题.9.在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC V 的面积为1)，则b c +=（ ）A. 5B. C. 4 D. 16 【答案】C【解析】【分析】 根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得4A π=,再根据面积公式可求得6(2bc =-,再代入余弦定理求解即可.【详解】ABC V 中,cos sin a B b A c +=,由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=,又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,∴sin sin cos sin B A A B =,又sin 0B ≠,∴sin A cos A =,∴tan 1A =,又(0,)A π∈, ∴4A π=.∵1sin 1)24ABC S bc A ===-V , ∴bc=6(2,∵2a =,∴由余弦定理可得22()22cos a b c bc bc A =+--,∴2()4(2b c bc +=++4(26(216=++⨯-=,可得4b c +=.故选：C 【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题.10.在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：224x y +=，圆2C ：226x y +=，点(1,0)M ，动点A ，B 分别在圆1C 和圆2C 上，且MA MB ⊥，N 为线段AB 的中点，则MN 的最小值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】由MA MB ⊥得0MA MB ⋅=u u u r u u u r ，根据向量的运算和两点间的距离公式，求得点N 的轨迹方程，再利用点与圆的位置关系，即可求解MN 的最小值，得到答案．【详解】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)N x y ，由MA MB ⊥得0MA MB ⋅=u u u r u u u r ，即1212121x x y y x x +=+-，由题意可知，MN 为Rt △AMB 斜边上的中线，所以12MN AB =,则2222222121211221122()()22AB x x y y x x x x y y y y =-+-=-++-+222211*********()()2()102(1)124x y x y x x y y x x x =+++-+=-+-=- 又由12MN AB =，则224AB MN =，可得220001244[(1)]x x y -=-+，化简得220019()24x y -+=， ∴点00(,)N x y 的轨迹是以1(,0)2为圆心、半径等于32的圆C 3， ∵M 在圆C 3内，∴ MN 的最小值即是半径减去M 到圆心1(,0)2的距离， 即min 31122MN r d =-=-=，故选A ． 【点睛】本题主要考查了圆的方程及性质的应用，以及点圆的最值问题，其中解答中根据圆的性质，求得N 点的轨迹方程，再利用点与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．二、多项选择题（本题共2小题，每小题5分，共10分.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分）11.已知α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，下列说法中正确的是（ ）A. 若m α⊥，//m n ，n β⊂，则αβ⊥B. 若//αβ，m α⊥，n β⊥，则//m nC. 若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m nD. 若αβ⊥，m α⊂，n αβ=I ，m n ⊥，则m β⊥【答案】ABD【解析】【分析】根据线面的位置关系对每个选项进行判断．【详解】由m α⊥，//m n ，得n α⊥，又由n β⊂，得αβ⊥，A 正确；由//αβ，m α⊥，得m β⊥，又由n β⊥，得//m n ，B 正确；若//αβ，m α⊂，n β⊂，,m n 可能平行也可能是异面直线，C 错误；由面面垂直的性质定理知D 正确．故选：ABD ．【点睛】本题考查空间线面间的平行与垂直关系，掌握直线、平面间平行垂直的判定定理的性质定理是解题关键．12.设有一组圆k C ：()()224132x k y k k -++-=（*k N ∈）.下列四个命题中真命题的是（ ） A. 存在一条定直线与所有的圆均相切B. 存在一条定直线与所有的圆均相交C. 存在一条定直线与所有的圆均不相交D. 所有圆均不经过原点【答案】BD【解析】【分析】由圆与圆的位置关系判断A ．由圆心所在直线判断B ，由圆半径可能无穷大，判断C ，代入原点坐标确定方程是否有整数解判断D ．【详解】圆心为(1,3)k C k k -，半径为2k r =，1(0,3)C ，1r =2(1,6)C ，2r =12C C ==<=1C 与圆2C 是内含关系，因此不可能有直线与这两个圆都相切，从而A 错误；易知圆心在直线3(1)y x =+上，此直线与所有圆都相交，B 正确；若k 取无穷大，则所有直线都与圆相交，C 错；将(0,0)代入圆方程得224(1)92k k k -+=，即2410212k k k -+=，等式左边是奇数，右边是偶数，因此方程无整数解，即原点不在任一圆上，D 正确．故选：BD ．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查圆与圆的位置关系，掌握反证法，特殊值法，综合性较高．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，其中第15题第一空2分，第二空3分；共20分）13.若直线()2540a x y +-+=与()2210x a y +--=互相垂直，则a 的值是__________.【答案】4-.【解析】【分析】由垂直的条件求解．【详解】∵已知两直线垂直，∴2(25)(2)0a a +--=，解得4a =-．故答案为：－4．【点睛】本题考查两直线垂直的条件，属于基础题．14.在四面体ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点.若BD ，AC 所成的角为60°，且1BD AC ==，则EF 的长为__________.【答案】12【解析】【分析】 取BC 中点G ，可证EGF ∠（或其补角）是BD ，AC 所成的角，分类计算．【详解】取BC 中点G ．连接,GE GF ，∵E ，F 分别是AB ，CD 的中点，∴//,//EG AC GF BD ，1122GE BD ==，1122GF BD ==， ∴BD ，AC 所成的角是EGF ∠（或其补角）， 若60EGF ∠=︒，则12EF GE ==，若120EGF ∠=︒，则12sin 6022EF GF =︒=⨯=，故答案为：12或2．【点睛】本题考查异面直线所成的角，解题时要注意通过平行线作出异面直线所成角时，对应的角或其补角是异面直线所成的角，因此可分类讨论．15.2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：()0,3Q -是圆Q 的圆心，圆Q 过坐标原点O ；点L 、S 均在x 轴上，圆L 与圆S 的半径都等于2，圆S 、圆L 均与圆Q 外切.已知直线l 过点O .（1）若直线l 与圆L 、圆S 均相切，则l 截圆Q 所得弦长为__________；（2）若直线l 截圆L 、圆S 、圆Q 所得弦长均等于d ，则d =__________.【答案】 (1). 3 (2).125【解析】【分析】圆L 与圆S 关于原点对称，直线l 过原点，只要与一个圆相切，必与另一圆相切．求出圆L 与圆S 的圆心坐标，（1）求出切线方程后，求出Q 到切线l 的距离后由勾股定理得弦长．（2）设出直线l 方程，由三个弦长相等得直线方程，从而可得弦长d ．【详解】由题意圆L 与圆S 关于原点对称，设(,0)(0)S a a >23=+，4a =，即(4,0)S ，∴(4,0)L -．（1）设l 方程为y kx =，即0kx y -=2=得k =，由对称性不妨取k =l方程为y x =，0x -=，圆心Q 到l2=，∴弦长为3=； （2）同（1）设直线l 方程为0kx y -=，点Q 到直线l，直线截圆Q得弦长为d ==S 到直线l，直线截圆S得弦长为d ===，解得2421k =，∴125d ==． 故答案为：3；125． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线与圆相交弦长问题．求出圆心到直线的距离，用勾股定理求得弦长是求圆弦长的常用方法．16.在锐角ABC V 中，2BC =，sin sin 2sin B C A +=，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是__________.【答案】2⎭【解析】【分析】由正弦定理化角为边，由余弦定理求出中线长（用三边表示），然后根据已知条件求出b 的范围，结合二次函数性质得bc 的范围，从而得中线取值范围．【详解】因为sin sin 2sin B C A +=，由正弦定理得2b c a +=，又2a =，所以4b c +=，由余弦定理得2222cos b AD CD AD CD ADC =+-⋅∠，2222cos c AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，又cos cos ADB ADC ∠=-∠，12BD CD a ==， 所以2222122b c AD a +=+，所以AD === 又4b c +=，即4c b =-，因为ABC V 是锐角三角形，∴222222222b c a b a c a c b ⎧+>⎪+>⎨⎪+>⎩，所以222222(4)44(4)(4)4b b b b b b ⎧+->⎪+>-⎨⎪-+>⎩，解得3522b <<，∴2215(4)4(2)4(,4]4bc b b b b b =-=-=--+∈，AD ≤<故答案为：． 【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，二次函数的性质的综合应用，解题时利用余弦定理建立中线与三角形边长之间的关系是基础，利用锐角三角形求出b 的取值范围是解题关键．四、解答题（本题共6小题，其中第17题10分，其他每题12分，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在△ABC 中，a =7，b =8，cos B = –17． ∴Ⅰ）求∠A ∴∴Ⅱ）求AC 边上的高． 【答案】(1) ∠A =π3 (2) AC【解析】分析：（1）先根据平方关系求sin B ,再根据正弦定理求sin A ，即得A ∠∴∴2）根据三角形面积公式两种表示形式列方程11sin 22ab C hb =，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求sin C ，解得AC 边上的高∴ 详解：解∴∴1）在△ABC 中，∵cos B =–17∴∴B ∴∴π2∴π∴∴∴sin B=由正弦定理得sin sin a b A B =⇒ 7sin A=AB ∴∴π2∴π∴∴∴A ∴∴0∴π2∴∴∴∴A =π3∴ ∴2）在∴ABC 中∴∴sin C =sin∴A +B ∴=sin A cos B +sin B cos A1172⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴ 如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ∴∴h =sin BC C ⋅=7=∴∴AC∴点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 18.在如图所示五面体ABCDEF 中,四边形ABCD 为菱形,且60,22,//,DAB EA ED AB EF EF AB M ∠=︒====为BC 中点.(1)求证:FM ∕∕平面BDE ;(2)若平面ADE ⊥平面ABCD ,求F 到平面BDE 的距离. 【答案】(1)见解析(2) 【解析】【详解】(1)取BD 中点O ,连接,OM OE ,因为,O M 分别为,BD BC 的中点,所以//OM CD ,且12OM CD =,因为四边形ABCD 为菱形,所以//,CD AB CD ⊄又平面,ABFE AB ⊂平面ABFE ,所以//CD 平面ABFE .因为平面ABFE I 平面,CDEF EF CD =⊂平面CDEF , 所以CD EF ∕∕.又2AB CD ==,所以12EF CD =.所以四边形OMFE 为平行四边形∴所以//MF OE .又OE ⊂平面BDE ∴且MF ⊄平面BDE ,所以//MF 平面BDE .(2)由(1)得//FM 平面BDE ,所以F 到平面BDE 的距离等于M 到平面BDE 的距离. 取AD 的中点H ,连接,EH BH ,因为四边形ABCD 为菱形,且60,2DAB EA ED AB EF ∠====o,所以,EH AD BH AD ⊥⊥因为平面ADE ⊥平面ABCD ,平面ADE I 平面ABCD AD =,所以EH ⊥平面,ABCD EH BH ⊥,因为EH BH ==,所以BE =所以122BDES ==V , 设F 到平面BDE 的距离为h ,又因为11422BDM BCD S S ===V V , 所以由E BDM M BDE V V --=,得113232h =⨯⨯,解得5h = 即F 到平面BDE的距离为5∴ 19.已知以点P 为圆心的圆经过点A （－1，0）和B （3，4），线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝,（1）求直线CD 的方程； （2）求圆P 的方程.【答案】（1）x ＋y －3＝0（2）圆P 的方程为（x ＋3）2＋（y －6）2＝40或（x －5）2＋（y ＋2）2＝40 【解析】 【分析】（1）求出AB 中点坐标和直线CD 的斜率，即得直线CD 的方程；（2）设圆心P （a ，b ），求出,a b 的值，即得圆P 的方程.【详解】（1）由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为（1，2）. 所以1CD k =-.则直线CD 的方程为y －2＝－（x －1）， 所以直线CD 的方程为x ＋y －3＝0.（2）设圆心P （a ，b ），则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0.①又因为直径|CD |＝，所以|P A |＝ 所以（a ＋1）2＋b 2＝40.② 由①②解得36a b =-⎧⎨=⎩或52a b =⎧⎨=-⎩所以圆心P （－3，6）或P （5，－2）.所以圆P 的方程为（x ＋3）2＋（y －6）2＝40或（x －5）2＋（y ＋2）2＝40.【点睛】本题主要考查直线和圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20.如图，AB 是O e 的直径，PA 垂直于O e 所在的平面，C 是圆周上不同于A ，B 的一动点.（1）证明：PBC V 是直角三角形；（2）若2PA AB ==，且当直线PC 与平面ABC 时，求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）3【解析】 【分析】（1）由PA ABC ⊥平面，得BC PA ⊥，再有BC AC ⊥，这样可由线面垂直的判定定理得线面垂直，从而得证线线垂直，即得证结论；（2）过A 作AH PC ⊥于H ，由（1）可证AH PBC ⊥平面，从而有ABH ∠是直线AB 与平面PBC 所成的角，求出此角正弦值即可．【详解】（1）证明∴AB 是O e 的直径，C 是圆周上不同于A ，B 的一动点.∴BC AC ⊥， ∴PA ABC ⊥平面，∴BC PA ⊥，又PA AC A =I ，PA ，AC PAC ⊂平面， ∴BC PAC ⊥平面，∴BC PC ⊥， ∴BPC △是直角三角形.（2）如图，过A 作AH PC ⊥于H ，∴BC PAC ⊥平面， ∴BC AH ⊥，又PC BC C ⋂=，PC ，BC PBC ⊂平面， ∴AH PBC ⊥平面，∴ABH ∠是直线AB 与平面PBC 所成的角， ∴PA ABC ⊥平面，∴PCA ∠即是PC 与平面ABC 所成的角，∴tan PAPCA AC∠==又2PA =，∴AC =∴在Rt PAC △中，3AH ==，∴在Rt ABH △中，3sin 2AH ABH AB ∠===，即直线AB 与平面PBC 【点睛】本题考查证明线线垂直，考查直线与平面所成的角，求线面角时一般可作出平面的垂直，得出直线与平面所成的角，在三角形中计算即可，即通常所说的作证算三步． 21.已知方程（2＋λ）x －（1＋λ）y －2（3＋2λ）＝0与点P （－2，2）.（1）证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；（2）证明：该方程表示的直线与点P 的距离d 小于【答案】（1）证明见解析；直线经过的定点为M （2，－2）（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）变形得到2x －y －6＋λ（x －y －4）＝0，得到方程26040x y x y --=⎧⎨--=⎩计算得到答案.（2）易知d ≤|PM |=PM 与直线垂直时，直线方程为x －y －4＝0.，而直线系不能表示此直线，故得证.【详解】（1）解显然2＋λ与－（1＋λ）不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线. ∵方程可变形为2x －y －6＋λ（x －y －4）＝0，∴26040x y x y --=⎧⎨--=⎩ 解得22x y =⎧⎨=-⎩故直线经过的定点为M （2，－2）.（2）证明：易知d ≤|PM |=PM 与直线垂直时，等号成立 此时对应的直线方程是y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.但直线系方程唯独不能表示直线x －y －4＝0，∴d <.【点睛】本题考查了直线过定点，点到直线的距离范围，确定直线系不能表示x －y －4＝0是解题的关键.22.已知直线220x y -+=与圆C ：2240x y y m +-+=. （1）求圆C 的方程；（2）过原点O 作圆C 的两条切线，与函数2y x =的图象相交于M 、N 两点（异于原点），证明：直线MN 与圆C 相切；（3）若函数2y x =图象上任意三个不同的点P 、Q 、R ，且满足直线PQ 和PR 都与圆C 相切，判断线QR 与圆C 的位置关系，并加以证明.【答案】（1）()2221x y +-=（2）证明见解析；（3）直线QR 与圆C 相切；证明见解析； 【解析】 【分析】（1）化圆方程为标准方程，得圆心坐标和半径，求出圆心到直线的距离，用表示出弦长，从而求得m ，得圆方程；（2）求出过原点的圆C 的两条切线方程，然后求得两条切线与抛物线的交点坐标后可得证； （3）设()2,P a a，()2,Q b b ，()2,R c c ，由此写出直线,,PQ PR QR 的方程，由直线,PQ PR 与圆相切得出,,a b c 的关系，可得221a b c a +=-；2231a bc a-=-，然后可证直线QR 也与圆相切． 【详解】（1）解：圆C ：2240x y y m +-+=，可化为圆()2224x y m +-=-+，圆心到直线的距离d =，∴，∴224m +=-+⎝⎭， ∴3m =，∴圆C 的方程为()2221x y +-=；（2）证明：设过原点O 的切线方程为y kx =，即0kx y -=，1=，∴k =∴设过原点O 的切线方程为y =，与函数2y x =，联立可得3x y ==，∴3y =与圆C 相切；（3）解：设()2,P a a，()2,Q b b ，()2,R c c ，可得22PQb a ka b b a-==+-， 直线PQ 的方程为()()2y a a b x a -=+-，即为()y a b x ab =+-，同理可得，直线PR 的方程为()y a c x ac =+-， 直线QR 的方程为()y b c x bc =+-， ∴直线PQ 和PR 都与圆C 相切，1=1=，即为()2221230b a ab a --+-=，()2221230c a ac a --+-=，即有b ，c 为方程()2221230x a ax a --+-=的两根， 可得221a b c a +=-；2231a bc a-=-， 由圆心到直线QR222211111a a a a ---===+-，则直线QR 与圆C 相切.【点睛】本题考查直线与圆相交弦长问题，考查直线与圆的位置关系，掌握用几何方法求弦长和判断直线与圆的位置关系是解题基础．。
江苏省泰州市高一下学期期中数学试卷
江苏省泰州市高一下学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若集合，且，则实数m的可取值组成的集合是（）A .B .C .D .2. （2分）若点P（sinα﹣cosα，tanα）在第一象限，则在[0，2π）内α的取值范围是（）A . (,)(,)B . (,)(,)C . (,)(,)D . (,)(,)3. （2分）若，且，则tanα=（）A .B .C .D .4. （2分） (2020高一下·南宁期中) 函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于（）A . 2B . 4C . 6D . 85. （2分）函数y=5sin（ x+ ）的最小正周期是（）A . πB . πC .D . 5π6. （2分） (2019高一下·鹤岗期中) 在中，内角的对边分别为，若，且，则是（）A . 等腰三角形B . 直角三角形C . 等边三角形D . 等腰直角三角形7. （2分） (2016高一下·邯郸期中) 已知和是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中不能作为一组基底的是（）A . 和 +B . ﹣2 和﹣C . + 和﹣D . 2 ﹣和﹣8. （2分） (2016高二上·阳东期中) Sn是等差数列{an}的前n项和，如果S10=120，那么a1+a10的值是（）A . 12B . 36C . 24D . 489. （2分） (2020高一下·金华月考) 秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”也把这种方法称为“三斜求积术”，设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则 .若，，则用“三斜求积术”求得的的面积为（）A .B . 2C .D . 410. （2分） (2019高一上·郁南月考) 为了得到函数y=4sin(x- )的图象，只要把函数y=3cos（－x)的图象上所有的点（）A . 纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位长度B . 纵坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位长度C . 横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位长度D . 横坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位长度11. （2分） (2016高一下·龙岩期末) 已知函数f（x）=cos4x﹣sin4x．下列结论正确的是（）A . 函数f（x）在区间[0， ]上是减函数B . 函数f（x）的图象关于原点对称C . f（x）的最小正周期为D . f（x）的值域为[﹣， ]12. （2分）已知关于x的方程ax2+x+3a+1=0，在（0，3]上有根，则实数a的取值范围为（）A . （﹣，﹣ ]B . [﹣，﹣ ]C . [﹣3，﹣2]D . （﹣3，﹣2]二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一下·姜堰期中) 已知cos（α﹣）=﹣，sin（﹣β）= ，且0＜β＜＜α＜π，则sin =________．14. （1分）在△ABC中，（tanB+tanC）=tanBtanC﹣1，则sin2A=________．15. （1分） (2016高一下·抚顺期末) 已知平面向量与满足| |=1，| ﹣ |= ，且＜ + ，﹣＞= ，则| |=________．16. （1分）某台风中心位于A港口东南方向的B处，且台风中心与A港口的距离为400 千米．预计台风中心将以每小时40千米的速度向正北方向移动，离台风中心500千米的范围都会受到台风影响，则A港口从受到台风影响到影响结束，将持续________小时．三、解答题： (共6题；共55分)17. （10分） (2019高二上·拉萨月考) 已知向量，， .（1）若，求x的值；（2）记，求的最大值和最小值以及对应的x的值.18. （10分） (2018高一下·瓦房店期末) 某校一个校园景观的主题为“托起明天的太阳”，其主体是一个半径为5米的球体，需设计一个透明的支撑物将其托起，该支撑物为等边圆柱形的侧面，厚度忽略不计．轴截面如图所示，设．(注：底面直径和高相等的圆柱叫做等边圆柱．)（1）用表示圆柱的高；（2）实践表明，当球心O和圆柱底面圆周上的点D的距离达到最大时，景观的观赏效果最佳，试求出OD最大值，并求出此时的值．19. （5分）已知等差数列{an}的前n项和记为Sn ，公差为2，且a1 ， a2 ， a4依次构成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式与Sn（2）数列{bn}满足bn=，求数列{bn}的前n项和Tn ．20. （15分） (2019高三上·上海月考) 对于数列，若对任意的，也是数列中的项，则称数列为“ 数列”，已知数列满足：对任意的，均有，其中表示数列的前项和.（1）求证：数列为等差数列；（2）若数列为“ 数列”，，且，求的所有可能值；（3）若对任意的，也是数列中的项，求证：数列为“ 数列”.21. （10分）(2018·许昌模拟) △ABC中，已知B＝2C，AB:AC＝2:3．（1）求cosC；（2）若AC＝，求BC的长度．22. （5分） (2016高一下·黄石期中) 据气象部门预报，在距离码头A南偏东45°方向400千米B处的台风中心正以20千米每小时的速度向北偏东15°方向沿直线移动，以台风中心为圆心，距台风中心100 千米以内的地区都将受到台风影响．据以上预报估计，从现在起多长时间后，码头A将受到台风的影响？影响时间大约有多长？参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共6题；共55分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、第11 页共11 页。
2020年江苏省泰州中学高一下学期 数学 期中考试(附带详细解析)
5．B
【解析】
【分析】
利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．
【详解】
解：∵a＝log1.40.7＜log1.41＝0，
b＝1.40.7＞1.40＝1，
0＜c＝0.71.4＜0.70＝1，
∴a，b，c的大小关系是a＜c＜b．
故选B．
【点睛】
本题考查三个数的大小的求法，考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8．已知 ， ， 分别表示三条直线， 表示平面，给出下列四个命题
①若 ， ，则 ；②若 ， ，则 ；
③若 ， ，则 ；④若 ， ，则 .
其中正确命题的个数有（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
9．设函数f(x)＝ －ln（|x|+1），则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是( )
A． B．
16．在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若 为锐角三角形，且满足 ，则 的取值范围是_______________.
评卷人
得分
三、解答题
17．已知 中， ， ， 分别为三个内角 ， ， 的对边， ，
（1）求角 ；
（2）若 ，求 的值.
18．如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，平面 平面 ， ， ， 为 的中点.
13．在正方体 中， 是棱 的中点，则直线 和平面 所成的角的正弦值为_____________.
14．如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠ADC=90°,AB=3,AD= ,E为BC中点,若 ,则 ___.
15．如图，在 中， ， 平面 ， 垂直平分 ，且分别交 ， 于点 ， ，又 ， ，则二面角 的大小为_______________.
2019-2020学年江苏省泰州中学高一下学期期中数学试题(解析版)
将圆锥侧面展开得半径为2m的一扇形，蚂蚁从 爬行一周后回到 （记作 ），作 ，如下图所示：
由最短路径为 ，即 ，
由圆的性质可得 ，即扇形所对的圆心角为 ，
则圆锥底面圆的周长为 ，
则底面圆的半径为 ，
故选：B.
【点睛】
本题考查了了圆锥侧面展开图、扇形弧长公式的简单应用，属于基础题.
9．在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 .若 ， 的面积为 ，则 （）
所以球的体积为 .
故选：D.
【点睛】
本题考查多面体与球的“接”“切”问题，属于基础题.
7．在 中， （a，b，c分别为角A，B，C的对边），则 的形状为（）
A．等边三角形B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】由二倍角公式和余弦定理化角为边后变形可得．
【详解】
∵ ，∴ ， ， ，整理得 ，∴三角形为直角三角形．
A．5B． C．4D．16
【答案】C
【解析】根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得 ,再根据面积公式可求得 ,再代入余弦定理求解即可.
【详解】
中, ,由正弦定理得 ,
又 ,
∴ ,又 ,∴ ,∴ ,又 ,
∴ .∵ ,
∴ ,∵ ,∴由余弦定理可得 ,
∴ ,可得 .
故选：C
【点睛】
本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题.
【点睛】
本题主要考查直线和圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
详解：解：（1）在△ABC中，∵cosB=– ，∴B∈（ ，π），∴sinB= ．由正弦定理得 = ，∴sinA= ．∵B∈（ ，π），∴A∈（0， ），∴∠A= ．
2020年泰州市高一数学下期中一模试题含答案
2020年泰州市高一数学下期中一模试题含答案一、选择题1．圆心在x +y =0上，且与x 轴交于点A （-3，0）和B （1，0）的圆的方程为（ ） A ．22(1)(1)5x y ++-= B ．22(1)(1)5x y -++= C ．22(1)(1)5x y -++=D ．22(1)(1)5x y ++-=2．已知(2,0)A -，(0,2)B ，实数k 是常数，M ，N 是圆220x y kx ++=上两个不同点，P 是圆220x y kx ++=上的动点，如果M ，N 关于直线10x y --=对称，则PAB ∆面积的最大值是（ ）A ．32-B ．4C ．6D ．32+3．直线(2)4y k x =-+与曲线2320x y y ++-=有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．53(,]124B ．51(,]122C ．13(,]24D ．1[,)2+∞4．如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图，其原来平面图形面积是（ ）A ． 22B ． 42C ．4D ．85．在梯形ABCD 中，90ABC ∠=︒，//AD BC ，222BC AD AB ===.将梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） A ．23π B ．43π C ．53π D ．2π6．矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B ACD --，则四面体ABCD 的外接球的体积是（ ）A ．12512π B ．1259π C ．1256π D ．1253π 7．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b8．已知实数,x y 满足250x y ++=22x y +的最小值为（ ） A 5B 10C ．25D ．2109．某锥体的三视图如图所示（单位：cm ），则该锥体的体积（单位：cm 3）是（ ）A ．13B ．12C ．16D ．110．如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )A ．aB ．2a C ．2aD ．2a 11．如图，平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =，BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，若四面体A BCD '-的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．3πB ．32C ．4πD ．3412．α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面α，β平行的是（ ） A ．m ，n 是平面α内两条直线，且//m β，//n β B ．α内不共线的三点到β的距离相等 C ．α，β都垂直于平面γD ．m ，n 是两条异面直线，m α⊂，n β⊂，且//m β，//n α二、填空题13．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 为B 1C 1中点，连接A 1B ，D 1M ，则异面直线A 1B 和D 1M 所成角的余弦值为________________________．14．已知三棱锥D ABC -的体积为2，ABC ∆是边长为2的等边三角形，且三棱锥D ABC -的外接球的球心O 恰好是CD 的中点，则球O 的表面积为_______.15．直线10ax y ++=与连接A （4，5），B （-1，2）的线段相交，则a 的取值范围是___．16．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C --，①AB 与平面BCD 所成角的大小为60o ②ACD ∆是等边三角形 ③AB 与CD 所成的角为60o ④AC BD ⊥⑤二面角B AC D --为120︒ 则上面结论正确的为_______．17．圆221x y +=上的点到直线34250x y +-=的距离的最小值是 ．18．正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上.若163P ABCDV -=，则球O 的体积是______． 19．函数2291041y x x x +-+_________.20．已知PA 垂直于平行四边形ABCD 所在平面，若PC BD ⊥，则平行四边形ABCD 一定是___________.三、解答题21．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 经过()0,2A ，()0,0O ，(),0D t （0t >）三点，M 是线段AD 上的动点，1l ，2l 是过点()10B ,且互相垂直的两条直线，其中1l 交y 轴于点E ，2l 交圆C 于P 、Q 两点. （1）若6t PQ ==，求直线2l 的方程； （2）若t 是使2AM BM ≤恒成立的最小正整数 ①求t 的值； ②求三角形EPQ 的面积的最小值．22．已知两直线1l ：240x y -+=和2l ：20x y +-=的交点为P . （1）直线l 过点P 且与直线5360x y +-=垂直，求直线l 的方程； （2）圆C 过点()3,1且与1l 相切于点P ，求圆C 的方程.23．如图，在三棱锥A BCD -中，,E F 分别为棱,BC CD 上的中点.（1）求证：EF P 平面ABD ；（2）若,BD CD AE ⊥⊥平面BCD ，求证：平面AEF ⊥平面ACD .24．已知点(3,4),(9,0)A B -，,C D 分别为线段,OA OB 上的动点，且满足AC BD = （1）若4,AC =求直线CD 的方程；（2）证明：OCD ∆的外接圆恒过定点（异于原点）．25．已知直线1:20l ax y a +--=，22:0l x ay ++=，点(5,0)P - （1）当12//l l 时，求a 的值；（2）求直线1l 所过的定点Q ，并求当点P 到直线1l 的距离最大时直线1l 的方程. 26．（1）用符号表示下来语句，并画出同时满足这四个语句的一个几何图形： ①直线l 在平面α内； ②直线m 不在平面α内； ③直线m 与平面α交于点A ； ④直线l 不经过点A .（2）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1BB 的中点，F 为棱1CC 的三等分点，画出由1,,D E F 三点所确定的平面β与平面ABCD 的交线.(保留作图痕迹)【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】由题意得：圆心在直线x=-1上，又圆心在直线x+y=0上，故圆心M 的坐标为（-1，1），再由点点距得到半径。
江苏省泰州中学2020学年度数学第二学期高一期中试卷苏教版
江苏省泰州中学2020学年度数学第⼆学期⾼⼀期中试卷苏教版江苏省泰州中学2020学年度第⼆学期⾼⼀数学期中试卷(总分160分,考试时间120分钟)⼀、填空题：本⼤题共14⼩题,每⼩题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.1．不等式022≤--x x 的整数解共有▲个．2．在ABC ?中，如果4:3:2::=c b a ，那么C cos = ▲． 3．在等差数列}{n a 中，当292=+a a 时，它的前10项和10S = ▲．4．在ABC ?中，C B A ∠∠∠,,所对的边分别是,,a b c ，已知1,3,3===b a A π，则ABC ?的形状是▲．5．海上有B A ,两个⼩岛相距n 210mile ，从A 岛望C 岛和B 岛所成的视⾓为060，从B 岛望C 岛和A 岛所成的视⾓为075，则B 岛和C 岛之间的距离BC = ▲ n mile ． 6．若n S 为等⽐数列}{n a 的前n 项的和，0852=+a a ，则36S S = ▲． 7．设关于x 的不等式342+≤+-x m x x 的解集为A ，且A A ?∈2,0，则实数m 的取值范围是▲． 8．若x x f 6sin)(π=，则=++++)2011()5()3()1(f f f f Λ▲．9．已知等⽐数列{}n a 满⾜0n a >，n =l ，2，…，且()252523nn a a n -?=≥，则当3n ≥时，212223221log log log log n a a a a -++++=L ▲．10．在ABC ?中，C B A ∠∠∠,,所对的边分别是,,a b c ，若222b c a +=，且ba=则C ∠= ▲．11．设{}n a 是正项数列，它的前n 项和n S 满⾜：()()314+?-=n n n a a S ，则=1005a ▲．12．已知1,100=≤<<cb a b a 122+-+的最⼩值是▲． 13．洛萨?科拉茨（Lothar Collatz, 1910．7．6-1990．9．26）是德国数学家，他在1937年提出了⼀个著名的猜想：任给⼀个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即2n）；如果n 是奇数，则将它乘3加1（即13+n ），不断重复这样的运算，经过有限步后，⼀定可以得到1．如初始正整数为3，按照上述变换规则，我们得到⼀个数列：3，10，5，16，8，4，2，1．对洛萨?科拉茨（Lothar Collatz ）猜想，⽬前谁也不能证明，更不能否定．现在请你研究：如果对正整数n （n 为⾸项）按照上述规则施⾏变换后的第六项为1（注：1可以多次出现），则n 的所有可能的取值为▲．14．我们知道，如果定义在某区间上的函数()f x 满⾜对该区间上的任意两个数1x 、2x ，总有不等式1212()()()22f x f x x xf ++≤成⽴，则称函数()f x 为该区间上的向上凸函数（简称上凸）. 类⽐上述定义，对于数列{}n a ，如果对任意正整数n ，总有不等式：212n n n a a a +++≤成⽴，则称数列{}n a 为向上凸数列（简称上凸数列）. 现有数列{}n a 满⾜如下两个条件：（1）数列{}n a 为上凸数列，且1101,28a a ==；（2）对正整数n （*,101N n n ∈<≤），都有20n n a b -≤，其中2610n b n n =-+.则数列{}n a 中的第五项5a 的取值范围为▲ .⼆、解答题：本⼤题共6⼩题，计90分.解答应写出必要的⽂字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．(本⼩题满分14分)设函数)0(3)2()(2≠+-+=a x b ax x f ，若不等式0)(>x f 的解集为)3,1(-．（Ⅰ）求b a ,的值；（Ⅱ）若函数)(x f 在]1,[m x ∈上的最⼩值为1，求实数m 的值．16．(本⼩题满分14分)在ABC ?中，C B A ∠∠∠,,所对的边分别是,,a b c ．（Ⅰ）⽤余弦定理证明：当C ∠为钝⾓时，222c b a <+；（Ⅱ）当钝⾓△ABC 的三边,,a b c 是三个连续整数时，求ABC ?外接圆的半径．17．(本⼩题满分15分)在ABC ?中，C B A ∠∠∠,,所对的边分别是,,a b c ，不等式06sin 4cos 2≥++C x C x 对⼀切实数x 恒成⽴．（Ⅰ）求C cos 的取值范围；（Ⅱ）当C ∠取最⼤值，且2=c 时，求ABC ?⾯积的最⼤值并指出取最⼤值时ABC ?的形状．18．(本⼩题满分15分)设n S 是等⽐数列{}n a 的前n 项和，3S ，9S ，6S 成等差数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的公⽐q ；（Ⅱ）求证：3a ，9a ，6a 成等差数列；（Ⅲ）当m a ，s a ，t a []()互不相等t s m t s m ,,,10,1,,∈成等差数列时，求t s m ++的值．19．(本⼩题满分16分)某企业去年年底给全部的800名员⼯共发放2000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都⽐上⼀年增加60万元，企业员⼯每年净增a ⼈．（Ⅰ）若9=a ，在计划时间内，该企业的⼈均年终奖是否会超过3万元？（Ⅱ）为使⼈均年终奖年年有增长，该企业每年员⼯的净增量不能超过多少⼈？20．(本⼩题满分16分)将数列}{n a 中的所有项按第⼀排三项，以下每⼀⾏⽐上⼀⾏多⼀项的规则排成如下数表：记表中的第⼀列数Λ,,,841a a a 构成的数列为}{n b ，已知：①在数列}{n b 中，11=b ，对于任何*N n ∈，都有0)1(1=-++n n nb b n ；②表中每⼀⾏的数按从左到右的顺序均构成公⽐为)0(>q q 的等⽐数列；③5266=a ．请解答以下问题：（Ⅰ）求数列}{nb 的通项公式；（Ⅱ）求上表中第)(*N k k ∈⾏所有项的和)(k S ；（Ⅲ）若关于x 的不等式x x k k S 211)(->+在]201,2001[∈x 上有解，求正整数k 的取值范围．江苏省泰州中学2020学年度第⼆学期ΛΛΛ121110987654321a a a a a a a a a a a a⾼⼀数学期中试卷参考答案⼀、填空题：本⼤题共14⼩题,每⼩题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.1． 4 2． 41- 3． 10 4．直⾓三⾓形 5． 310 6． 7- 7． [)1,3-- 8． 23 9． ()21n n - 10． 0010515或11．2011 12．102201+ 13． 32,5,4 14． []13,25⼆、解答题：本⼤题共6⼩题，计90分.解答应写出必要的⽂字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．(本⼩题满分14分) 解：（Ⅰ）由条件得()()()()?=+-+=+--==-032390320301b a b a f f ， 4分解得：4,1=-=b a ． 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得32)(2++-=x x x f ， 8分()x f y =Θ的对称轴⽅程为1=x ，)(x f ∴在]1,[m x ∈上单调递增， 10分 m x =∴时，()()132,2min =++-∴=m m m f x f ， 12分解得31±=m ．31,1-=∴解：（Ⅰ）当C ∠为钝⾓时，0cos由余弦定理得：22222cos 2b a C ab b a c +>?-+=， 5分即：222c b a <+． 6分（Ⅱ）设ABC ?的三边分别为()Z n n n n n ∈≥+-,21,,1，ΘABC ?是钝⾓三⾓形，不妨设C ∠为钝⾓，由（Ⅰ）得()()4004112222<3,2,,2==∴∈≥n n Z n n Θ，当2=n 时，不能构成三⾓形，舍去，当3=n 时，ABC ?三边长分别为4,3,2， 11分415sin 41322432cos 222=?-=??-+=C C ， 13分ABC ?外接圆的半径1515841524sin 2===CcR ． 14分 17．(本⼩题满分15分) 解：（Ⅰ）由已知得：()≥-+?≤->02cos 3cos 20cos 24sin 40cos 22C C C C C ， 4分 ()舍去或2cos 21cos -≤≥∴C C ． 5分 1cos 21<≤∴C 6分（Ⅱ）,21cos ,0≥<∴当C ∠取最⼤值时，3π=∠C ． 8分由余弦定理得：ab ab ab ab b a ab b a =-≥-+=??-+=243cos2222222π，3433sin 21≤=?=∴?ab ab S ABC π， 12分当且仅当b a =时取等号，此时()3max =?ABC S ， 13分由3 ,π=∠=C b a 可得ABC ?为等边三⾓形． 15分18．(本⼩题满分15分)解：（Ⅰ）当1=q 时，133a S =，199a S =，166a S =，6392S S S +≠Θ，∴3S ，9S ，6S 不成等差数列，与已知⽭盾，1≠∴q ． 2分由6392S S S +=得：()()()qq a q q a q q a --+--=--?1111112613191， 4分即()()()012111236639=--?-+-=-q qq q q，332121-=?-=∴q q ，113=?=q q （舍去），243-=∴q 6分（Ⅱ）()012223621512181639=--=--=--q q q a q a q a q a a a a Θ，6392a a a +=∴，∴3a ，9a ，6a 成等差数列． 9分（Ⅲ）3S ，9S ，6S 成等差数列1471316136362212012a a a a q a q a q q q q +=?+=?+=?=--?，GP a a a 成471,,∴或GP a a a 成174,,，则12=++t s m ， 11分同理：GP a a a 成582,,或GP a a a 成285,,，则15=++t s m ，GP a a a 成693,,或GP a a a 成396,,，则18=++t s m ， GP a a a 成7104,,或GP a a a 成4107,,，则21=++t s m ，t s m ++∴的值为21,181512，，． 15分 19．(本⼩题满分16分)解：（Ⅰ）设从今年起的第x 年（今年为第1年）该企业⼈均发放年终奖为y 万元．则)101,(800602000*≤≤∈++=x N x axxy ； 4分解法1：由题意，有310800602000≥++xx， 5分解得，10340>≥x ． 7分所以，该企业在10年内不能实现⼈均⾄少3万元年终奖的⽬标． 8分解法2：由于101,*≤≤∈x N x ，所以01080040030310800602000<+-=-++xx x x 7分所以，该企业在10年内不能实现⼈均⾄少3万元年终奖的⽬标． 8分（Ⅱ）解法1：设10121≤<≤x x ，则=-)()(12x f x f 22800602000ax x ++11800602000ax x ++-0)800)(800())(200080060(1212>++--?=ax ax x x a ，13分所以，020*******>-?a ，得24所以，为使⼈均发放的年终奖年年有增长，该企业员⼯每年的净增量不能超过23⼈．16分解法2：)808060200060(1)800(8006080060602000800602000a x a a a x a a a x axxy +-+=+-++=++=13分由题意，得0800602000-a，解得2420．(本⼩题满分16分)解：（Ⅰ）由0)1(1=-++n n nb b n ，得数列}{n nb 为常数列。
江苏省泰州市姜堰区2020学年高一数学下学期期中试题(含解析)
江苏省泰州市姜堰区2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸相应的答题线上）1. 已知点，，则直线的斜率是______．【答案】3【解析】分析：利用斜率公式，计算即可.详解：∵点，，∴故答案为：3点睛：本题考查了斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2. 正方体中，与棱平行的棱有________条.【答案】3【解析】与棱AA1异面的有：BC，CD，C1D1，B1C1故答案为：4．3. 直线在轴上的截距为_______．【答案】4【解析】分析：根据纵截距的意义，令，即可得到结果.详解：直线,当时，.∴直线在轴上的截距为4故答案为：4点睛：本题考查直线方程的应用，直线的截距的求法，基础题．4. 圆的圆心坐标为________．【答案】【解析】分析：化一般方程为标准方程，得到圆心坐标.详解：将圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y+）2=，则圆心坐标为．故答案为：点睛：本题解题关键是熟练掌握圆的一般方程与标准方程的互化，也可以利用结论直接得到圆心的坐标.5. 已知直线和直线垂直，则实数的值为_____. 【答案】3【解析】分析：直线和直线垂直等价于. 详解：∵直线和直线垂直，∴∴故答案为：3...........................6. 直线的方程为，直线的方程为，若∥则实数的值为_______.【答案】2【解析】分析：利用∥得到系数满足的关系，从而得到结果.详解：∵直线的方程为，直线的方程为，且∥∴∴故答案为：2平行：，同时还需要保证两条直线不能重合，需要检验！7. 如图,正方体中, ,点为的中点,点在上,若平面,则________．【答案】2【解析】分析：由平面结合线面平行的性质定理与面面平行的性质定理可得EF∥AC，再利用三角形中位线定理即可得到结果.详解：设平面AB1C∩平面=∵EF∥平面AB1C，EF⊆平面，平面AB1C∩平面=m，∴EF∥m，又平面∥平面AC，平面AB1C∩平面=m，平面AB1C∩平面AC=AC∴m∥AC，又EF∥m，∴EF∥AC，又∥AC，∴EF∥，又为的中点∴EF=故答案为：2．点睛：本题重点考查了平行关系的转化，熟练掌握平行的判定定理及性质定理是解题的关键.8. 若直线被圆所截得的弦长为，则实数的值为_______．【答案】0或4【解析】分析：利用垂径定理布列a的方程，从而得到实数的值.详解：∵圆∴圆心为：（0，），半径为：2圆心到直线的距离为：∵，即，∴a=4，或a=0．故答案为：0或4．点睛：当直线与圆相交时，弦长问题属常见的问题，最常用的手法是弦心距，弦长一半，圆的半径构成直角三角形，运用勾股定理解题.9. 已知是两条不重合的直线是三个两两不重合的平面给出下列四个命题:(1)若,则(2)若,则(3)若,则(4)若，，则其中正确的命题是________．(填上所有正确命题的序号)【答案】（1）【解析】分析：根据线面关系的判定定理或性质定理进行推理判断即可.详解：①根据线面垂直的性质可知若m⊥α，m⊥β，则α∥β成立；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或α与β相交；故②不成立；③根据面面平行的可知，当m与n相交时，α∥β，若两直线不相交时，结论不成立；④若，，则或，故④不成立．故正确的是①，故答案为：①．点睛：本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．10. 过点引圆的切线，则切线长为________．【答案】4【解析】分析：求出点到圆心C（1，1）的距离和圆的半径，利用勾股定理求得切线长．详解：由圆的标准方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，得到圆心A坐标（1，1），半径r=|AB|=2，又点P（3，5）与A（1，1）的距离|AP|==，由直线PB为圆A的切线，得到△ABP为直角三角形，根据勾股定理得：|PB|===．则切线长为．故答案为：4．点睛：本题主要考查了直线与圆相切属于基础题；当直线与圆相切时，其性质圆心到直线的距离等于半径是解题的关键.11. 已知圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的标准方程为________．【答案】【解析】由题意可得的中点坐标为，，故其中垂线的方程为即，联立得，故圆心，半径，即圆方程为，故答案为. 点睛：本题主要考查了圆的方程的求法，解答有关圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，关键是确定圆心的坐标，常见的确定圆心的方法有：1、圆心在过切点且与切线垂直的直线上；2、圆心在圆的任意弦的垂直平分线上；3、两圆相切时，切点与两圆圆心共线.12. 已知两圆相交于两点，且两圆的圆心都在直线上，则的值是_______．【答案】-3【解析】分析：求出两点的中点坐标，代入直线方程，在根据垂直关系得到斜率互为负导数，联立方程组，求解即可．详解：两圆相交于两点A（2，3）和B（m，2），且两圆圆心都在直线上，可得K AB=，即1=，…①AB的中点（，）在直线上，可得++n=0…②，由①②可得m=1，n=﹣4，∴m+n=﹣3．故答案为：﹣3．点睛：本题考查了两圆间的位置关系问题，解题关键两圆的圆心连线垂直平分两点的连线.13. 如图，直三棱柱中，，，，，为线段上的一动点，则当最小时，△的面积为________.【答案】【解析】分析：先将直三棱柱沿棱AA1展开成平面连接BC1，与AA1的交点即为满足最小时的点F，由此可以求得△BFC1的三边长，再由余弦定理求出其中一角，由面积公式求出面积详解：将直三棱柱ABC﹣A1B1C1沿棱AA1展开成平面连接BC1，与AA1的交点即为满足最小时的点F，由于，，，再结合棱柱的性质，可得AF==2，由图形及棱柱的性质，可得BF=2，FC1=，BC1=2 ，cos∠==．∴sin∠=△的面积为××2 ×=，故答案为：点睛：在空间处理折线段长度和最小的问题的手段为“空间问题平面化”“化曲为直”的策略，通过折叠把问题纳入一个平面，再根据两点之间线段最短，即可解决问题.14. 已知点为圆外一点，若圆上存在一点，使得，则正数的取值范围是______．【答案】【解析】分析：易得圆的圆心为C （a，a），半径r= r=|a|，由题意可得1≥≥sin由距离公式可得a的不等式，解不等式可得．详解：由题意易知：圆的圆心为C（a，a），半径r=|a|，∴PC=，QC=|a|，∵PC和QC长度固定，∴当Q为切点时，最大，∵圆C上存在点Q使得，∴若最大角度大于，则圆C上存在点Q使得，∴=≥sin =sin=，整理可得a2+6a﹣6≥0，解得a≥或a≤﹣，又=≤1，解得a≤1，又点为圆外一点，∴02+22﹣4a＞0，解得a＜1∵a＞0，∴综上可得．故答案为：．点睛：处理圆的问题，要充分利用圆的几何性质，把问题转化为更加简单的代数问题来处理即可.二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）15. 已知分别为正方体的棱的中点．（1）求异面直线和所成的角的大小.（2）求证:.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】分析：(1) 根据异面直线所成角定义进行合理平移即可；（2）要证，可转证，利用好四边形为平行四边形，问题迎刃而解.详解：（1）因为,所以即为异面直线和所成的角又因为，所以两条异面直线所成的角为（2）法1：因为分别为正方体的棱的中点．所以,,得到,且，四边形为平行四边形，所以,同理可证，又因为,所以,,即证法2：因为分别为正方体的棱的中点．所以,,得到，四边形为平行四边形，所以同理可证又因为与方向相同，与方向相同，所以点睛：本题主要考查异面直线所成的角问题,难度一般．求异面直线所成角的步骤:1平移,将两条异面直线平移成相交直线．2定角,根据异面直线所成角的定义找出所成角．3求角,在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角．4结论．16. 已知的顶点,,．（）若为的中点，求线段的长．（）求边上的高所在的直线方程．【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）由中点坐标公式可得D坐标，利用两点间距离公式求得线段的长；（2）由斜率公式可得k AB，由垂直关系可得AB边上的高所在的直线的斜率，可得方程详解：(1)D为BC的中点，由中点坐标公式得到点D的坐标为（-1，-3）（），边上的高斜率，，则．边上的高过点．∴边上的高线所在的直线方程为，整理得．点睛：本题考查了直线方程的求法，关键是两点：定点与斜率.17. 四边形是正方形，是正方形的中心，平面，是的中点．（1）求证：∥平面；（2）求证：．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）要证PA与平面EBD平行，而过PA的平面PAC与平面EBD的交线为EO，因此只要证PA∥EO即可，这可由中位线定理得证；（2）要证，就是要证平面。
江苏省泰州市2020版高一下学期期中数学试卷(I)卷
江苏省泰州市2020版高一下学期期中数学试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高一下·成都期中) 已知为等差数列的前n项和，若，则等于（）A . 30B . 45C . 60D . 1202. （2分）要得到函数的图象,可以将函数的图象（）A . 向左平移个单位B . 向左平移个单位C . 向右平移个单位D . 向右平移个单位3. （2分）已知，则（）A .B .C .D .4. （2分） (2018高三上·贵阳月考) 在等差数列中，已知，且公差，则其前项和取最小值时的的值为（）A .B . 或C .D .5. （2分）已知sin（﹣α）﹣cosα=，则cos（2α+）=（）A .B . -C .D . -6. （2分）给出下列四个命题：①的对称轴为x=；②函数的最大值为2；③函数f（x）=sinx•cosx﹣1的周期为2π；④函数在上的值域为[-,]．其中正确命题的个数是（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个7. （2分）若△ABC的周长等于20，面积是，，则BC边的长是（）A . 5B . 6C . 7D . 88. （2分） (2018高二上·牡丹江期中) 以下四个命题中，正确的是（）A . 若 ,则三点共线B . 若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底C .D . 为直角三角形的充要条件是9. （2分）设数列{an}的前n项和为Sn ，若a1=1，an+1=3Sn（n∈N*），则S6=（）A . 44B . 45C . （46-1）D . （45﹣1）10. （2分）已知函数，若方程f（x）=x+a在区间[﹣2，4]内有3个不等实根，则实数a的取值范围是（）A . {a|﹣2＜a＜0}B . {a|﹣2＜a≤0}C . {a|﹣2＜a＜0或1＜a＜2}D . {a|﹣2＜a＜0或a=1}11. （2分）已知是第二象限的角，且，则的值是（）A .B .C .D .12. （2分）式子σ（a，b，c）满足σ（a，b，c）=σ（b，c，a）=σ（c，a，b），则称σ（a，b，c）为轮换对称式．给出如下三个式子：①σ（a，b，c）=abc；②σ（a，b，c）=a2﹣b2+c2；③σ（A，B，C）=cos C•cos （A﹣B）﹣cos2C（A，B，C是△ABC的内角）．其中，为轮换对称式的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 3二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2020·沈阳模拟) 已知等差数列的前n项和为，且， .数列中，， .则 ________.14. （1分）已知角α的终边经过点P(,)，则tanα的值为________15. （1分）设 =（x，2）， =（1，﹣1），⊥ ，则x=________．16. （1分） (2018高一上·华安期末) 下列说法中，所有正确说法的序号是________．①终边落在轴上角的集合是；②函数图象的一个对称中心是；③函数在第一象限是增函数；④为了得到函数的图象，只需把函数的图象向右平移个单位长度．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分）(2014·广东理) 已知函数f（x）=Asin（x+ ），x∈R，且f（）= ．（1）求A的值；（2）若f（θ）+f（﹣θ）= ，θ∈（0，），求f（﹣θ）．18. （15分） (2017高二下·高淳期末) 设数列{an}的前n项和为Sn ，且2Sn=（n+2）an﹣1（n∈N*）．（1）求a1的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）设Tn= ，求证：Tn＜．19. （10分）已知函数（1）求该函数的最小正周期和取最小值时x的集合；（2）若x∈[0，π]，求该函数的单调递增区间．20. （10分） (2017高三上·南充期末) 已知，其中A，B，C是△ABC 的内角．（1）当时，求的值；（2）若，当取最大值是，求B的大小及BC边的长．21. （5分） (2018高三上·邹城期中) 设分别为的三个内角的对边，且.（Ⅰ）求内角的大小；（Ⅱ）若，试求面积的最大值.22. （10分） (2019高二上·耒阳月考) 已知函数 . （1）求的值；（2）求的最小正周期及单调递减区间.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共60分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、答案：18-3、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。
【精准解析】江苏省泰州市兴化市板桥高级中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题
2.在正方体 ABCD A1B1C1D1 的各条棱中，与直线 AA1 异面的棱有（
A. 2
B. 3
C. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
）条． D. 5
根据题意画出图形,结合图形写出与直线 AA1 异面的棱,可得答案.
【详解】与棱 AA1 异面的有： BC,CD,C1D1, B1C1 共四条,
故选 C．
点间的距离为 50m ． ACB 45, CAB 105 ，则 A, B 两点间的距离为（ ）m．
A. 25 2 2
【答案】C
B. 25 2
C. 50 2
D. 50 3
【解析】
【分析】
先根据三角形内角和求
ABC
，再根据正弦定理
siC
求解.
-3-
【详解】在 ABC 中, AC 50m, ACB 45, CAB 105 ，
8.如图，侧棱长为 3 的正三棱锥V ABC 中， AVB BVC CVA 40 ，过点 A 作 截面则截面 AEF ，则截面 AEF 的周长的最小值为（ ）
A. 3
B. 2
C. 3
D. 4
-5-
【答案】C 【解析】 【分析】
沿着侧棱VA 把正三棱锥V ABC 展开在一个平面内，则 AA 即为截面 AEF 周长的最小值， 且 AVA 120 ，在 △VAA 中，由余弦定理可得 AA 的值. 【详解】如图所示：沿着侧棱VA 把正三棱锥V ABC 展开在一个平面内，如图（2）， 则 AA 即为截面 AEF 周长的最小值，且 AVA 3 40 120 ， 在△VAA 中，由余弦定理可得 AA VA2 VA2 2VAVA cosAVA 3 3 23 1 3，
-1-
2020-2021学年江苏省泰州中学高一(下)期中数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年江苏省泰州中学高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知两点A(3,−1)，B(6,−5)，则与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向的单位向量是( )A. (35,−45)B. (−35,45)C. (−45,35)D. (45,−35)2. 如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是( )A. 6B. 8C. 2+3√2D. 2+2√33. 求值：sin20°+sin40°+sin60°−sin80°=( )A. 12B. √22 C. √32D. 14. 已知平面α，直线m ，n ，下列结论正确的是( )A. 若m//n ，n//α，则m//αB. 若m ⊥n ，n//α，则m ⊥αC. 若m//α，n//α，则m//nD. 若m ⊥α，n//α，则m ⊥n5. 如图所示，△ABC 中，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点E 是线段AD 的中点，则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 56AB ⃗⃗⃗⃗⃗−13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. −56AB ⃗⃗⃗⃗⃗−13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. −56AB ⃗⃗⃗⃗⃗+13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 56AB ⃗⃗⃗⃗⃗+13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 6. 碌碡是我国古代人民发明的一种把米、麦、豆等粮食加工成粉末的器具，如图，近似圆柱形碌碡的轴固定在经过圆盘圆心且垂直于圆盘的木桩上，当人或动物推动木柄时，碌碡在圆盘上滚动．若人或动物推动木柄绕圆盘转动一周，碌碡恰好滚动了3圈，则该圆柱形碌碡的底面圆的半径与其高之比为( )A. 1：2B. 1：3C. 1：4D. 2：37. 泰州基督教堂，始建于清光绪二十八年，位于泰州市区迎春东路185号，市人民医院北院对面，总建筑面积2500多平方米．2017年被认定为省四星级宗教活动场所．小明同学为了估算泰州基督教堂的高度，在人民医院北院内找到一座建筑物AB ，高为(15√3−15)m ，在它们之间的地面上的点M(B,M ，D 三点共线)处测得楼顶A ，教堂顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30°，则小明估算泰州基督教堂的高度为( )A. 20mB. 30mC. 20√3mD. 30√3m8. 骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A(前轮)，圆D(后轮)的直径均为1，△ABE ，△BEC ，△ECD 均是边长为1的等边三角形，设点P 为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) A. 3B. 3+√32C. 3+√3D. 3√3二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列各组条件中使得△ABC 有唯一解的是( )A. b =10，A =45°，C =70°B. a =7，b =5，A =60°C. a =14，b =16，A =45°D. a =3，c =4，cosC =1310. 已知a ⃗ ，b ⃗ ，c⃗ 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是( ) A. |a ⃗ ⋅b ⃗ |≤|a ⃗ ||b ⃗ |B. 若a ⃗ ⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅c ⃗ ，则b ⃗ =c ⃗C. 非零向量a ⃗ 和b ⃗ ，满足|a ⃗ |=|b ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |，则a ⃗ 与a ⃗ +b ⃗ 的夹角为30°D. (a⃗ |a ⃗ |+b⃗ |b ⃗ |)⋅(a⃗ |a ⃗ |−b⃗ |b ⃗ |)=011.对于△ABC，有如下命题，其中正确的有()A. 若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰三角形B. 若acosB−bcosA=c，则△ABC一定为直角三角形C. 若tanA+tanB+tanC>0，则△ABC为锐角三角形D. 若cos(A−B)cos(B−C)cos(C−A)=1，则△ABC一定是等边三角形12.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，BC=BB1=2，E、F分别为棱AB、AD的中点，则下列说法中正确的有()A. DB1⊥CEB. 直线CF与A1B为相交直线C. 若P是棱C1D1上一点，且D1P=1，则E、C、P、F四点共面D. 平面CEF截该长方体所得的截面可能为六边形三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗,b⃗ 的夹角为2π3，若|a⃗|=1,|a⃗+b⃗ |=√7，则|b⃗ |=______．14.喷泉是流动的艺术，美妙绝伦的喷泉给人以无限的享受，若不考虑空气阻力，当喷泉水柱以与水平方向夹角为α的速度v喷向空气中时，水柱在水平方向上移动的距离为D=v 2g sin2α，能够达到的最高高度为H=v24g(1−cos2α)(如图所示，其中g为重力加速度).若tanα=√52，则H与D的比值为______ ．15.在△ABC中，D是BC边上一点，且B=π6，ADBD=12，若D是BC的中点，则ACAB=______；若AC=4√3，则△ADC的面积的最大值为______．16.如图，已知圆台高为5，上底面⊙O半径为3，下底面⊙O1半径为4，△ABC为⊙O1的内接三角形，且AB⊥AC，P为⊙O上一点，则PA2+PB2+PC2的最小值为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知0<α<π2<β<π，tan(α+π4)=−2，sinβ=√22．(1)求sinα+3cosα2sinα−cosα的值；(2)求sin(α+2β)的值．18.已知向量a⃗=(3,1)，|b⃗ |=5，a⃗⋅(a⃗+b⃗ )=15．(1)求向量a⃗与b⃗ 夹角的正切值；(2)若(λa⃗−b⃗ )⊥(a⃗+2b⃗ )，求λ的值．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点．(1)求证：PC//平面BDE；(2)若PC⊥PA，PD=AD，求证：PA⊥平面BDE．20.在①cosC+(cosA−√3sinA)cosB=0，②cos2B−3cos(A+C)=1，③bcosC+√3csinB=a这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．3问题：在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若a+c=1，_____，求角B的值和b的最小值．21.已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是菱形．(1)求证：若PB=PD，求证：BD⊥平面PAC；(2)E，F分别是AB，PD上的点，若EF//平面PBC，AE=2EB，求PF的值；PD(3)若∠DAB=60°，Q为AD上一点，且BQ⊥平面PAD，PB⊥PD，判断△PAD是否为等腰三角形？并说明理由．22. 在△ABC 中，满足：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，M 是BC 的中点． (1)若O 是线段AM 上任意一点，且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2，求OA ⃗⃗⃗⃗⃗⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值； (2)若点P 是∠BAC 内一点，且|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，求|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：由两点A(3,−1)，B(6,−5)，可知与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向的单位向量是：AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=(3,−4)5=(35,−45). 故选：A ．利用AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |可解决此题．本题考查单位向量的求法，考查数学运算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】 【分析】本题考查了平面图形的直观图，考查了数形结合思想，解答此题的关键是掌握平面图形的直观图的画法，能正确的画出直观图的原图形，属于基础题．根据题目给出的直观图的形状，画出对应的原平面图形的形状，求出相应的边长，则问题可求． 【解答】解：作出该直观图的原图形，因为直观图中的线段C ′B ′//x ′轴，所以在原图形中对应的线段CB 平行于x 轴且长度不变， 点C ′和B ′在原图形中对应的点C 和B 的纵坐标是O ′B ′的2倍， 则OB =2√2，所以OC =3，则四边形OABC 的长度为8． 故选：B ．3.【答案】C【解析】解：sin20°+sin40°+sin60°−sin80°=2sin30°cos10°+sin60°−sin80° =2×12sin80°+√32−sin80°=√32． 故选：C ．把前两项利用和差化积变形，进一步求解得答案．本题考查三角函数的化简求值，考查三角函数的和差化积公式，是基础题．4.【答案】D【解析】解：对于A ，若m//n ，n//α，则m//α或m ⊂α，故A 错误；对于B ，若m ⊥n ，n//α，则m//α或m ⊂α或m 与α相交，相交也不一定垂直，故B 错误；对于C ，若m//α，n//α，则m//n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故C 错误；对于D ，若m ⊥α，则m 垂直α内所有直线，m 垂直所有与α平行的直线，又n//α，∴m ⊥n ，故D 正确． 故选：D ．由空间中直线与直线、直线与平面位置关系逐一分析四个选项得结论．本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．5.【答案】C【解析】解：如图所示，△ABC 中，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点E 是线段AD 的中点，则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12×23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12AB⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC⃗⃗⃗⃗⃗=−12AB⃗⃗⃗⃗⃗ +13(BA⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )=−56AB⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC⃗⃗⃗⃗⃗ ．故选：C．直接利用已知条件，结合向量的平行四边形法则，推出结果即可．本题考查平面向量的基本定理的应用，向量的平行四边形法则的应用，是基础题．6.【答案】B【解析】解：由题意，人推动木柄绕圆盘转动1周，碌碡恰好滚动了3圈，因为圆的周长为c=2πr，所以圆盘与碌碡的半径之比为3：1，所以圆柱形碌碡的高与其底面圆的直径之比约为3：2，所以该圆柱形碌碡的底面圆的半径与其高之比为1：3．故选：B．由题意结合圆的周长公式，得到它们的半径之比，从而求得答案．本题考查了空间几何体的结构特与应用问题，解题的关键是正确理解木柄绕圆盘转动1周与碌碡恰好滚动了3圈之间的关系，是基础题．7.【答案】D【解析】解：在Rt△ABM中，sin15°=ABAM，解得AM=ABsin15∘=√3−15√6−√24=30√2；在△ACM中，∠CAM=30°+15°=45°，∠AMC=180°−15°−60°=105°，所以∠ACM=180°−45°−105°=30°，由正弦定理得，AMsin30∘=CMsin45∘，解得CM=AM⋅sin45°sin30∘=30√2×√2212=60；在Rt△CDM中，CD=CMsin60°=60×√32=30√3，即估算泰州基督教堂的高度为30√3m.故选：D ．利用Rt △ABM 求得AM ，在△ACM 中运用正弦定理可得CM ，解Rt △CDM ，可得CD 的值．本题考查了三角形的正弦定理和解直角三角形应用问题，也考查了方程思想和运算能力，是中档题．8.【答案】B【解析】解：据题意：圆D(后轮)的半径均为12，△ABE ，△BEC ，△ECD 均是边长为1的等边三角形．点P 为后轮上的一点，如图建立平面直角坐标系：则A(−2,0)，B(−32,√32)，C(−12,√32).圆D 的方程为x 2+y 2=14，可设P(12cosα,12sinα)， 所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12cosα+2,12sinα)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,−√32). 故AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34cosα−√34sinα+3=√32(12cosα−√32sinα)+3 =√32cos(α+π3)+3≤3+√32． 故选：B ．根据题意建立平面直角坐标系，然后将涉及到的点的坐标求出来，其中P 点坐标借助于三角函数表示，则所求的结果即可转化为三角函数的最值问题求解．本题考查数量积的运算、三角函数的性质在实际问题中的应用，同时考查了学生的数学建模的核心素养．属于中档题．9.【答案】ABD【解析】解：对于A ，b =10，A =45°，C =70°，所以B =55°， 由正弦定理得asinA =csinC =bsinB =2sin65∘， 所以a =2sin45°sin65∘=√2sin65°，b =2sin70°sin65∘，所以△ABC 有唯一解；对于B ，a =7，b =5，A =60°，由正弦定理得a sinA =b sinB ，所以sinB =5×sin60°7=5√314，且b <a ， 所以B 为锐角，△ABC 有唯一解；对于C ，a =14，b =16，A =45°，由正弦定理得a sinA =b sinB ，所以sinB =16sin45°14=4√27，且b >a ，所以B 的值有2个，△ABC 有两解；对于D ，a =3，c =4，cosC =13，由余弦定理得c 2=a 2+b 2−2abcosC ，即16=9+b 2−2b ，整理得b 2−2b −7=0，解得b =1±2√2，只取b =1+2√2，所以△ABC 有唯一解．故选：ABD ．A 中，由正弦定理求出a 、b 的值，判断△ABC 有唯一解；B 中，由正弦定理求出sin B ，根据b <a 判断B 为锐角，△ABC 有唯一解； C 中，由正弦定理求出sin B ，根据b >a 判断B 的值有2个，△ABC 有两解；D 中，由余弦定理求出b 的值只有1个，判断△ABC 有唯一解．本题考查了解三角形的应用问题，考查了数学运算能力及数据分析能力，是中档题．10.【答案】ACD【解析】解：|a ⃗ ⋅b ⃗ |=|a ⃗ ||b ⃗ ||cos <a ⃗ ,b ⃗ >|≤|a ⃗ ||b ⃗ |，故选项A 正确；显然a ⃗ ⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅c ⃗ ，b ⃗ ,c ⃗ 不一定相等，例如当a⃗ 为零向量时，故选项B 错误； 设a ⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,b ⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则a ⃗ −b ⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗|=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |， ∴△OAB 为正三角形，而由三角形法则可知，<a ⃗ ,a ⃗ +b ⃗ >为∠AOB 的一半，即为30°，故选项C 正确；设i =a ⃗ |a ⃗ |,j =b ⃗ |b⃗ |，则i 是与a ⃗ 共线的单位向量，j 是与b ⃗ 共线的单位向量， ∴(i +j )⋅(i −j )=i 2−j 2=1−1=0，故选项D 正确．故选：ACD ．由数量积公式结合余弦值的有界性即可判断A ；举例子判断B ；由三角形法则判断C ；直接计算判断D．本题考查平面向量的三角形法则，数量积的运用，考查运算能力及推理能力，属于中档题．11.【答案】BCD【解析】解：对于A：sin2A=sin2B，故2A=2B或2A=π−2B，整理得A=B或A+B=π，故△ABC是等腰三角形或直角三角形，故A错误；2对于B：acosB−bcosA=c，利用正弦定理：sinAcosB−sinBcosA=sinC，整理得sin(A−B)=sinC=sin(A+B)，整理得sinBcosA=0，由于0<A，B<π，故sinB≠0，，所以△ABC一定为直角三角形，故B正确；故cosA=0，故A=π2对于C：由于tan(A+B)=tanA+tanB，整理得tanA+tanB=−tanC+tanAtanBtanC，1−tanAtanB故tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，由于tanA+tanB+tanC>0，故tanAtanBtanC>0，故0<A,B,C<π，所以△ABC为锐角三角形，故C正确，2对于D：cos(A−B)cos(B−C)cos(C−A)=1，根据三角形的内角的范围和函数余弦值的取值，只有当A=B=C，关系式才成立，所以△ABC一定是等边三角形，故D正确；故选：BCD．直接利用三角函数关系式的恒等变换，正弦定理的应用，三角形形状的判定的应用判定A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理的应用，三角形形状的判定，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．12.【答案】BC【解析】解：由题意可知，BB1⊥平面ABCD，故DB 1在平面ABCD内的射影为BD，因为BD与CE不垂直，故DB 1与CE不垂直，故选项A错误；因为A1F//BC，且AF≠BC，所以四边形CFA1B为梯形，则CF与BA1必相交，故选项B正确；点P是棱C1D1上一点，且D1P=1，取C1D1的中点M，连结A1M，MC，PF，因为F，P分别为A1D1和D1C1的中点，所以PF//A1M，又四边形A1MCE为平行四边形，所以PF//CE，故E、C、P、F四点共面，故选项C正确；由选项C可知，PF，PC，CE为截面的边，截面又与平面ABB1A1以及平面ADD1A1相交，则可得截面的两条边，所以截面共有五条边，故选项D错误．故选：BC．利用三垂线定理即可判断选项A，证明四边形CFA1B为梯形，即可判断选项B，取C1D1的中点M，连结A1M，MC，PF，通过证明PF//CE，即可判断选项C，确定截面共有五条边，即可判断选项D．本题主要考查了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力，考查化归与转化思想等，属于中档题．13.【答案】3【解析】解：向量a⃗,b⃗ 的夹角为2π3，可得a⃗⋅b⃗ =|a⃗|⋅|b⃗ |×(−12)，∵|a⃗+b⃗ |2=7，∴a⃗2+b⃗ 2+2a⃗⋅b⃗ =7．1+|b⃗ |2+|b⃗ |×(−12)×2=7设|b⃗ |=x，(x≥0)可得x2−x−6=0解得：x=3故答案为：3由向量a⃗b⃗ 的夹角为2π3，可得a⃗⋅b⃗ =|a⃗|⋅|b⃗ |×(−12)，将|a⃗+b⃗ |2=7，展开即可求解|b⃗ |本题考查了向量的夹角与数量积的关系；也考查了计算能力，是基础题目．14.【答案】√58【解析】解：HD =v24g(1−cos2α)v2gsin2α=1−cos2α4sin2α=2sin2α8sinαcosα=sinα4cosα=14tanα=√58．故答案为：√58．先表示HD，然后结合二倍角公式进行化简即可求解．本题主要考查了二倍角公式在实际问题中的应用，属于基础题．15.【答案】√2134√3【解析】解：若D为BC中点，则AD=BD2=BC 4，B=π6，在△ABD中，由余弦定理可得AD2=BD2+AB2−2AB⋅BD⋅cosB，即BD24=BD2+AB2−2AB⋅BD⋅√32，所以AB2−√3AB⋅BD+34BD2=0，即AB−√32BD=0，所以AB=√32BD，在△ABC中，AC2=BC2+AB2−2AB⋅BC⋅cosB=4BD2+34BD2−2×√32BD×2BD×√22=74BD2，所以AC=√72BD，所以ACAB =√72BD√22BD=√213，若AC=4√3，B=π6，BD=2AD，由上可得AB=√32BD，作DE⊥AB于点E，因为B=π6，DE=BD2=AD，所以DA⊥AB，作AF⊥BC，∠ADB=π3，所以△ABC在BC边上的高为ℎ=AB2=√34BD=AF，BF=√32AB=34BD，所以S△ADC=12AF⋅CD=√38BD⋅CD，因为AD=12BD，AC=4√3，∠ADB=π3，所以∠ADC=2π3，由余弦定理AC2=AD2+CD2−2AD⋅CD⋅cos∠ADC，可得48=14BD2+CD2+12BD⋅CD=(CD−12BD)2+32BD⋅CD，即当CD=12BD时，BD⋅CD有最大值，即32BD⋅CD=48，则BD⋅CD=32，所以S△ADC=√38BD⋅CD=√38×32=4√3．故答案为：√213，4√3．若D为BC中点，则AD=BC4，B=π6，在△ABD中，由余弦定理可得AB=√32BD，在△ABC中，可得AC=√72BD，即可得解ACAB的值，若AC=4√3，作DE⊥AB于点E，作AF⊥BC，可求S△ADC=12AF⋅CD=√38BD⋅CD，由余弦定理，可得48=(CD−12BD)2+32BD⋅CD，利用二次函数的性质可得BD⋅CD的最大值，进而可求S△ADC的最大值．本题主要考查了余弦定理，二次函数的性质，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．16.【答案】126【解析】解：如图，设P在底面的投影为M，如图建立平面直角坐标系，则点M在圆x2+y2=9上，可设M(x,y)，A(a,b)，可得x2+y2=9，a2+b2=16，则PA2+PB2+PC2=(x−4)2+y2+(x+4)2+y2+(x−a)2+(y−b)2+ 3×PM2=3(x2+y2)+a2+b2−2(ax+by)+32+75=150−2(ax+by)由柯西不等式可得(x2+y2)(a2+b2)≥(ax+by)2，即16×9≥(ax+by)2，∴−24≤2(ax+by)≤24，(当 xa =yb时取等号)．∴126≤PA2+PB2+PC2≤174．故答案为：126．设P在底面的投影为M，建立平面直角坐标系，则点M在圆x2+y2=9上，可设M(x,y)，A(a,b)，则PA2+PB2+PC2=(x−4)2+y2+(x+4)2+y2+(x−a)2+(y−b)2+ 3×PM2即可求解．本题考查了空间距离的计算，考查了转化思想、运算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)因为tan(α+π4)=tanα+11−tanα=−2，所以tanα=3，所以sinα+3cosα2sinα−cosα=tanα+32tanα−1=65；(2)因为tanα=3，0<α<π2，所以cos2α=11+tan2α=110，所以cosα=√1010，sinα=3√1010，因为π2<β<π，sinβ=√22，所以β=3π4，所以sin(α+2β)=sin(α+3π2)=−cosα=−√1010．【解析】(1)由已知结合两角和的正切公式先求tanα，然后结合同角基本关系即可求解；(2)由已知结合同角基本关系可求以cosα，sinα，然后结合诱导公式即可求解．本题主要考查了两角和的正切公式，同角基本关系在求解三角函数值中的应用，属于基础题．18.【答案】解(1)因为a⃗=(3,1)，所以|a⃗|=√32+12=√10．设向量a⃗与b⃗ 的夹角θ，则a⃗⋅(a⃗+b⃗ )=a⃗2+a⃗⋅b⃗ =|a⃗|2+|a⃗||b⃗ |cosθ=10+5√10cosθ=15，解得cosθ=√1010．又θ∈[0,π]，所以sinθ=√1−cos2θ=3√1010，故tanθ=sinθcosθ=3．(2)因为(λa⃗−b⃗ )⊥(a⃗+2b⃗ )，所以(λa⃗−b⃗ )⋅(a⃗+2b⃗ )=λa⃗2+(2λ−1)a⃗⋅b⃗ −2b⃗ 2= 0，即10λ+5(2λ−1)−50=0，解得λ=114．【解析】(1)先代入数量积求出夹角的余弦，再根据同角三角函数基本关系式求解结论，(2)直接根据向量垂直的条件即可求得结论．本题主要考查向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的概念及范围，以及向量垂直的应用，属于中档题目．19.【答案】证明：(1)连接AC，交BD于点O，连接OE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，∵E为侧棱PA的中点，∴OE//PC，∵PC⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴PC//平面BDE．(2)∵E为AP中点，PD=AD，∴PA⊥DE，∵PC⊥PA，OE//PC，∴PA⊥OE，∵OE⊂平面BDE，DE⊂平面BDE，OE∩DE=E，∴PA⊥平面BDE．【解析】(1)连接AC，交BD于点O，连接OE，推导出OE//PC，由此能证明PC//平面BDE．(2)推导出PA⊥DE，PC⊥PA，OE//PC，PA⊥OE，由此能证明PA⊥平面BDE．本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是中档题．20.【答案】解：选择条件①cosC+(cosA−√3sinA)cosB=0，可得−cos(A+B)+cosAcosB−√3sinAcosB=0，即−cosAcosB+sinAsinB+cosAcosB−√3sinAcosB=0，即sinAsinB−√3sinAcosB=0，因为sinA≠0，所以sinB−√3cosB=0，所以tanB=√3，因为B∈(0,π)，所以B=π3，由余弦定理b²=a²+c²−2accosB=a²+c²−ac=(a+c)²−ac=1−3ac，因为ac≤(a+c2)2=14，当且仅当a=c=12时等号成立，所以b²=1−3ac≥1−34=14，所以b≥12，即b的最小值为12．选择条件②cos2B−3cos(A+C)=1，可得2cos²B−1+3cosB=1，即2cos²B+3cosB−2=0，解得cosB=12或cosB=−2(舍)，因为B∈(0,π)，所以B=π3，由余弦定理b²=a²+c²−2accosB=a²+c²−ac=(a+c)²−ac=1−3ac，因为ac≤(a+c2)2=14，当且仅当a=c=12时等号成立，所以b²=1−3ac≥1−34=14，所以b≥12，即b的最小值为12．选择条件③bcosC+√33csinB=a，由正弦定理可得sinBcosC+√33sinCsinB=sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，即√33sinCsinB=cosBsinC，因为sinC≠0，所以√33sinB=cosB，即tanB=√3，因为B∈(0,π)，所以B=π3，由余弦定理b²=a²+c²−2accosB=a²+c²−ac=(a+c)²−ac=1−3ac，因为ac≤(a+c2)2=14，当且仅当a=c=12时等号成立，所以b²=1−3ac≥1−34=14，所以b≥12，即b的最小值为12．【解析】选择条件①，利用诱导公式及两角和的余弦公式可求得角B的值，再由余弦定理和基本不等式即可求得b的最小值；选择条件②，利用二倍角公式和诱导公式可求得角B的值，再由余弦定理和基本不等式即可求得b的最小值；选择条件③，利用正弦定理及两角和的正弦公式可求得角B的值，再由余弦定理和基本不等式即可求得b的最小值．本题主要考查正、余弦定理和基本不等式的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)证明：设AC∩BD=O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，DO=OB，∵PB=PD，∴PO⊥BD，∵AC∩PO=O，PO⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC．(2)过F作FG//DC交PC于G，连接BG，在菱形ABCD中，AB=DC，AB//DC，∴FG//AB，∴E，F，G，B共面，∵EF//平面PBC，EF⊂平面FEBG，平面FEBG∩平面PBC=BG，∴EF//BG，∴四边形FEBG是平行四边形，∴EB=FG，∵AE=2EB，∴PFPD =FGDC=EBAB=13．(3)△PAD不可能为等腰三角形，理由如下：由BQ⊥平面PAD，可知BQ⊥PD，∵PD⊥PB，PB∩BQ=B，PB、BQ⊂平面PBQ，∴PD⊥平面PBQ，∵PQ⊂平面PBQ，∴PD⊥PQ，∴AD>PD，AD>PA，QD>PD，∠PQD<90°，∴∠PQA>90°，∴PA>AQ，在菱形ABCD 中，若∠DAB =60°，则△ABD 是等边三角形，∴Q 为AD 中点，∴AQ =QD ，∴PA >PD ，∴△PAD 不可能为等腰三角形．【解析】(1)设AC ∩BD =O ，推导出AC ⊥BD ，DO =OB ，PO ⊥BD ，由此能证明BD ⊥平面PAC ．(2)过F 作FG//DC 交PC 于G ，连接BG ，推导出FG//AB ，从而E ，F ，G ，B 共面，进而EF//BG ，四边形FEBG 是平行四边形，EB =FG ，由此能求出结果．(3)由BQ ⊥平面PAD ，知BQ ⊥PD ，PD ⊥平面PBQ ，PD ⊥PQ ，从而AD >PD ，AD >PA ，QD >PD ，∠PQD <90°，进而∠PQA >90°，PA >AQ ，PA >PD ，由此推导出△PAD 不可能为等腰三角形．本题考查线面垂直的证明，考查两线段比值的求法，考查三角形是否为等腰三角形的判断与证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是中档题．22.【答案】解：(1)∵|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2， ∴|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，设|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=x ，则|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1−x ，而OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cosπ=−2x(1−x)=2x 2−2x =2(x −12)2−12，当且仅当x =12时，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值−12； (2)设∠CAP =α，则∠BAP =π2−α，∵AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1,|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3， ∴3|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosα=2，则|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=23cosα， 同理3|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos(π2−α)=1，可得|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=13sinα， ∴|AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =49cos 2α+19sin 2α+9+2+4=49⋅sin 2α+cos 2αcos 2α+sin 2α+cos 2α9sin 2α+15 =4sin 2α9cos 2α+cos 2α9sin 2α+15+59第21页，共21页 ≥2√4sin 2α⋅cos 2α81cos 2α⋅sin 2α+1409=16，当且仅当4sin 2α9cos 2α=cos 2α9sin 2α，即tanα=√22时取等号， ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为4．【解析】(1)设|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=x ，则|OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1−x ，把所求转化为含x 的函数，利用函数性质得解；(2)设∠CAP =α，则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =4sin 2α9cos 2α+cos 2α9sin 2α+15+59，再利用基本不等式得解． 本题考查平面向量的数量积运算，考查利用函数思想及基本不等式求最值，考查运算求解能力，属于中档题．。
2020年度高一数学下学期期中试卷及答案(共五套)
2020年年高一数学下学期期中试卷及答案（共五套）2020年年高一数学下学期期中试卷及答案（一）（考试时间：120分钟总分：150分）★友情提示：要把所有答案都写在答题卷上，写在试卷上的答案无效。
一、选择题（每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．在空间直角坐标系中，A(0,2,4)，B(1,4,6)，则|AB|等于 ( ) A．2 B．2 2 C.7 D．3 2．直线l过点P(－1,2)，倾斜角为135°，则直线l的方程为 ( ) A．x＋y－1＝0 B．x－y＋1＝0C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝03. 下列命题正确的是（）A．若两个平面平行于同一条直线，则这两个平面平行B．若有两条直线与两个平面都平行，则这两个平面平行C. 若有一条直线与两个平面都垂直，则这两个平面平行D. 若有一条直线与这两个平面所成的角相等，则这两个平面平行4.已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC是一个( )A．等边三角形 B．直角三角形C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形5．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的侧面积等于( )A ．12π cm 2B ．15π cm 2C ．24π cm 2D ．30π cm 26.若三棱锥Ｐ-ABC 的三个侧面与底面ABC 所成角都相等，则顶点Ｐ在底面的射影为ABC △的( )A ．外心B ．重心 C. 内心 D ．垂心7. 圆1C ：224210x y x y +--+=与圆2C ：2248110x y x y ++-+=的位置关系为（ ）A ．相交B ．相离C ．外切D ．内切8. 若P (2，－1)为圆222240x y x +--=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( )A ．x －y －3＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝09．已知点P 是圆x 2＋y 2＝1上动点，定点Q (6,0)，点Ｍ是线段PQ 靠近Q 点的三等分点，则点M 的轨迹方程是( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝4B ．(x －4)2＋y 2＝19C ．(2x －3)2＋4y 2＝1D ．(2x ＋3)2＋4y 2＝110.若圆2240x y x +-=上恰有四个点到直线20x y m -+=的距离等于1，则实数m 的取值范围是方程是( )A ． ()25,25---+B ． ()45,45---+C ． ()435,45----D ．()45,435-+-+11. 已知实数x ，y 满足方程2x ＋y ＋5＝0，那么22425x y x y +--+的最小值为( )A. 210 B.10 C ．2 5 D ． 512.函数sin 3,,cos 222y θππθθ-⎡⎤=∈-⎢⎥+⎣⎦的值域为( ) A ．23232,233⎡⎤---+⎢⎥⎣⎦ B ．432,23⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦ C ．[]2,1-- D ．232,23⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦二、填空题（每小题5分，共20分）13. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E F G H ，，， 分别为1AA ，AB ，1BB ，11B C 的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于14. 已知直线43:1-=x y l 和直线:2l 关于点Ｍ(2，1)对称，则2l 的方程为15. 如果直线2y ax =+与直线3y x b =-关于直线y x =对称，那么a b +=16. 已知⊙M ：,1)2(22=-+y x Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点，求动弦AB 的中点P 的轨迹方程为三、解答题。
江苏省泰州市2020年(春秋版)高一下学期数学期中考试试卷(I)卷
江苏省泰州市2020年（春秋版）高一下学期数学期中考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共35题；共70分)1. （2分）(2018·张家口期中) 若a，b，c，d∈R，则下列说法正确的是（）A . 若a＞b，c＞d，则ac＞bdB . 若a＞b，c＞d，则a+c＞b+dC . 若a＞b＞0，c＞d＞0，则D . 若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d2. （2分） (2019高三上·鹤岗月考) 若关于的不等式的解集为，其中为常数，则不等式的解集是（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高二上·榆林期中) 数列3，6，12，21，x，48…中的x等于（）A . 29B . 33C . 34D . 284. （2分）在△ABC中，已知，，则cosC的值为（）A .B .C . 或D .5. （2分）的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知，向量，，若，则角A的大小为（）A .B .C .D .6. （2分） (2018高二上·万州月考) 如图，直三棱柱，，且，则直线与直线所成角的余弦值为（）．A .B .C .D .7. （2分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．若a=5bsinC，且cosA=5cosBcosC，则tanA的值为（）A . 5B . 6C . -4D . -68. （2分） (2017高一下·双流期中) 在△ABC中的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若b=2ccosA，c=2bcosA 则△ABC的形状为（）A . 直角三角形B . 锐角三角形C . 等边三角形D . 等腰直角三角形9. （2分）(2019高一下·湖北期中) 在中，角的对边分别为 .已知，则角的大小是（）A .B .C .D .10. （2分）正项等比数列{an}中，lga3+lga8+lga13=6，则a1a15的值为（）A . 10000B . 1000C . 100D . 1011. （2分） (2016高二上·澄城期中) 若等比数列an满足anan+1=16n ，则公比为（）A . 2B . 4C . 8D . 1612. （2分） (2016高三上·呼和浩特期中) 在等差数列{an}中，Sn为它的前n项和，若a1＞0，S16＞0，S17＜0，则当Sn最大时，n的值为（）A . 7B . 8C . 9D . 1013. （2分）数列2，，…的一个通项公式an等于（）A .B .C .D .14. （2分）已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则（）A .B .C .D .15. （2分）已知数列 {an}{bn}满足 a1=b1=1，an+1﹣an==2，n∈N* ，则数列 {}的前10项和为（）A . （﹣1）B . （﹣1）C . （﹣1）D .16. （2分）设数列{an}中，已知a1=1，an=1+（n＞1），则a3=（）A .B .C .D . 217. （2分）已知有穷数列A：（）.定义如下操作过程T：从A中任取两项,将的值添在A的最后，然后删除,这样得到一系列n-1项的新数列A1(约定:一个数也视作数列)；对A1的所有可能结果重复操作过程T又得到一系列n-2项的新数列A2 ，如此经过k次操作后得到的新数列记作Ak .设A：,则A3的可能结果是……………………………（）A . 0；B . ；C . ；D . .18. （2分）已知函数f（x）=ax2﹣x﹣c，且不等式=ax2﹣x﹣c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜1}，则函数y=f（﹣x）的图象为（）A .B .C .D .19. （2分）不等式（x+1）(x-2)0的解集为（）A . {x|-2x1}B . {x|-1x2}C . {x|x-1或x2}D . {x|x-2或x-1}20. （2分）若a>b>0，则代数式的最小值为（）A . 2B . 3C . 4D . 521. （2分）双曲线的一条渐近线的倾斜角为，离心率为，则的最小值为（）A .B .C .D .22. （2分）在中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，，则c=（）A . 28B .C .D .23. （2分） (2019高三上·广东月考) 已知数列满足，，则等于（）A .B .C .D .24. （2分）在三角形ABC中，角A,B,C对应的边分别为a,b,c，若， a=2，，则B＝（）A .B .C . 或D .25. （2分）中，若,则的面积为（）A .B .C . 或D . 或26. （2分） (2016高二上·济南期中) 在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=8，则△ABC的形状是（）A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 非钝角三角形27. （2分）已知等差数列{an}的公差d>0，若a1+a2+a3+...+a2013=2013at(t，则t=（）A . 2014B . 2013C . 1007D . 100628. （2分）已知等差数列{an}的前项和为Sn ，若M,N,P三点共线，O为坐标原点，且(直线MP不过点O)，则S20等于（）A . 15B . 10C . 40D . 2029. （2分）在中，a，b,c分别是，，的对边，已知a，b，c成等比数列，且，则的值为（）A .B .C .D .30. （2分） (2019高一上·葫芦岛月考) 若不等式的解集为，则的取值范围是（）A .B .C .D .31. （2分）若实数a,b满足，则的最小值为（）A .B . 2C .D . 432. （2分）已知x，y都是正数，且lnx+lny=ln（x+y），则4x+y的最小值为（）A . 6B . 8C . 9D . 1033. （2分） (2017高三上·伊宁开学考) 已知数列{an}满足 an+2﹣an+1=an+1﹣an ，n∈N* ，且a5= 若函数f（x）=sin2x+2cos2 ，记yn=f（an），则数列{yn}的前9项和为（）A . OB . ﹣9C . 9D . 134. （2分）(2017·唐山模拟) 等差数列{an}的各项均为正值，若a3+2a6=6，则a4a6的最大值为（）A . 1B . 2C . 4D . 635. （2分）已知数列{an}的通项公式为，设其前n项和为Sn ，则使Sn<-5成立的自然数n有（）A . 最大值31B . 最小值31C . 最大值63D . 最小值63二、解答题 (共5题；共42分)36. （10分） (2018高一下·江津期末) 如图，在中，已知，D是BC边上的一点，（1）求的面积；（2）求边的长.37. （10分）关于x的方程mx2+2（m+3）x+2m+14=0有两个实数根，且一根大于4，一根小于4，求实数m 的取值范围．38. （10分） (2016高二上·上海期中) 已知四个数，前三个数成等比数列，和为19，后三个数成等差数列，和为12，求此四个数．39. （10分）(2013·湖北理) 在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积S=5 ，b=5，求sinBsinC的值．40. （2分）(2017·新课标Ⅱ卷文) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn ，等比数列{bn}的前n项和为Tn ，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．（Ⅰ）若a3+b3=5，求{bn}的通项公式；（Ⅱ）若T3=21，求S3 ．参考答案一、单选题 (共35题；共70分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、18-1、19-1、20-1、21-1、22-1、23-1、24-1、25-1、26-1、27-1、28-1、29-1、30-1、31-1、32-1、33-1、34-1、二、解答题 (共5题；共42分) 36-1、36-2、37-1、38-1、39-1、39-2、40-1、。
泰州中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题含解析
江苏省泰州中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设复数51i 1i z +=-，则复数z 的虚部是（ ）A ．iB ．i -C ．1D ．1-2．已知点()1,3A ，()4,1B -，则与向量AB 的方向相反的单位向量是（ ）A ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．43,55⎛⎫ ⎪⎝⎭3．如图，在等腰梯形ABCD 中，2AB CD =，BC AB AD λμ=+，则λμ-=（ ）A ．32-B ．32 C ．54-D ．544．公元前六世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为2sin18m =︒，若2416m n +=，则的值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．85．已知非零向量a b ，满足2a b =，且b a b ⊥（–），则a 与b 的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π66．已知ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S .若sin sin 2A Ca b A +=，2S CA =⋅，则ABC 的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．正三角形D ．等腰直角三角形7．已知i 为虚数单位，如果复数z 满足|2||2|4z i z i ++-=，那么|1|z i ++的最小值是（ ）A ．1B C ．2D 8．当x θ=时，()26sin 2sin cos 3222x x xf x =+-取得最大值，则tan θ=（ ）A ．3B ．3-C ．13D ．13-二、多选题9．已知复数1z ，()212z z z ≠在复平面上对应的点关于实轴对称．则下列说法一定正确的是（ ） A ．12z z +是实数B ．12z z -是纯虚数C ．12z z ⋅是实数D ．12z z 是纯虚数 10） A ．222cos 2sin 1212ππ- B ．1tan151tan15+︒-︒C．sin 75︒︒ D．cos15︒︒11．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，2,3a b A π===，则（ ）A ．3c = B．sin B =C．sin C =D ．ABC 外接圆的面积为73π 12．折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形AOB ，其中120,33AOB OA OC ∠=︒==，点E 在弧CD 上.（ ）A ．2OA CD ⋅=-B ．若OE uOC uOD =+，则1u =C ．若30DOE ∠=︒，则32333OE OC OD =+ D ．EA EB ⋅的最小值为132-三、填空题13．若()21ai +（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数=a _________. 14．如果tan α，tan β是方程2220x x --=的两根，则()()sin cos αβαβ+=-______．15．设12,e e 是平面内两个不共线的向量，12(1)AB a e e =-+，122AC be e =-，0a >，0b >．若A 、B 、C 三点共线，则12a b+的最小值是____.16．已知ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且()226c a b =-+，若ABCsin sin A B ⋅的取值范围为______.四、解答题17．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.． （1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 18．已知23sin 2sin 12αα=-(1)求sin 2cos2αα+的值；(2)已知(0,)απ∈，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，22tan tan 10ββ--=，求αβ+的值.19．北京2022年冬奥会中，运动员休息区本着环保､舒适､温馨这一出发点，进行精心设计，如图，在四边形ABCD 休闲区域，四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道,2AC D B ∠∠=，且1,3,cos AD CD B ===(1)求氢能源环保电动步道AC 的长； (2)若___________；求花卉种植区域总面积.从①3BCA π∠=，②=BC .20．如图，在ABC 中，已知2,3,60,AB AC BAC N ∠===为AC 边上的中点，点M 在线段BC 上，且2CM MB =；(1)求线段AM 的长度，(2)设AM 与BN 相交于点P ，求MPN ∠的余弦值.21．已知函数21()sin sin sin 242f x x x x x π⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭．(1)求()f x 在[0,]π上的单调递增区间；(2)求函数()()g x f x =-[2,2]ππ-上的所有零点之和． 22．同时定义在D 上的函数(),()f x g x ，如果满足对任意,()0,()0x D f x g x ∈>>恒成立，且(),()f x g x 具有相同的单调性，则乘积函数()()y f x g x =⋅也是D 上的单调函数．已知函数2()ln ,()x f x x g x x e -==⋅．(1)试判断函数()()y f x g x =⋅在区间(1,2]上的单调性，并求出其值域；(2)若函数()g x 在[2,)+∞上满足不等式22[()]()g x ax x g x ≥+⋅恒成立，求实数a 的取值范围；(3)已知0x 是关于x 的方程()()20x g x f x ⋅+-=的实数根，求020ln xe x -+的值．参考答案：1．C【分析】应用复数的乘方、除法化简复数，即可得z 的虚部.【详解】521i 1i (1i)i 1i 1i (1i)(1i)z +++====---+. 所以复数z 的虚部是1. 故选：C 2．A【分析】利用向量坐标运算可得AB 和AB ，由此可知所求向量为AB AB-. 【详解】()3,4AB =-，5AB ∴=，∴与向量AB 的方向相反的单位向量为34,55ABAB ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 故选：A. 3．A【分析】利用向量的三角形法则可求解.【详解】BC BD DC BA AD DC =+=++ 又2AB CD =，12DC AB ∴= 1122BC AB AD AB AB AD ∴=-++=-+ 1,12λμ∴=-=，32λμ∴-=-故选：A 4．C【分析】运用代入法，根据二倍角的正弦公式、余弦公式，结合同角的三角函数关系式、诱导公式进行求解即可. 【详解】因为2sin18m =︒，所以由222416164(2sin18)16cos 18m n n +=⇒=-︒=︒，2sin184cos184sin 364cos544cos54cos54cos54︒⋅︒︒︒====︒︒︒， 故选：C 5．B【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由()a b b -⊥得出向量,a b 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．【详解】因为()a b b -⊥，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-=0，所以2a b b ⋅=，所以cos θ=22||122||a bb b a b ⋅==⋅，所以a 与b 的夹角为3π，故选B ． 【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π． 6．C【分析】由三角形的内角和定理、诱导公式、正弦定理以及二倍角的正弦公式化简已知条件，可求角B ，由三角形的面积公式和平面向量数量积的定义可求角A ，再由三角形的内角和求角C ，即可判断ABC 的形状，进而可得正确选项. 【详解】因为sinsin 2A C a b A +=，所以sin sin 22B a b A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即cos sin 2B a b A =， 由正弦定理可得：sin cos sin sin 2BA B A =， 因为sin 0A ≠，所以cos sin 2sin cos 222B B B B ==， 因为022B π<<，所以cos 02B ≠，所以2sin 12B =，可得1sin 22B =， 所以26B π=，解得3B π=，因为2S CA ⋅，所以12sin cos 2bc A A ⨯=，即sin A A =，所以tan A =3A π=，所以3C A B ππ=--=，所以ABC 的形状是正三角形， 故选：C. 7．A【解析】首先根据|2||2|4z i z i ++-=，结合复数模的几何意义，判断出z 对应点的轨迹，再根据|1|z i ++的几何意义，求得|1|z i ++的最小值.【详解】设复数2i -，2i ，(1)i -+在复平面内对应的点分别为1Z ，2Z ，3Z ，因为|2||2|4z i z i ++-=，124Z Z =，所以复数z 在复平面内对应的点的轨迹为线段12Z Z （包括端点），如图所示.问题转化为：动点Z 在线段12Z Z 上移动，求3ZZ 的最小值.因此作3012Z Z Z Z ⊥于0Z ，则3Z 与0Z 之间的距离即为所求的最小值，即031Z Z =.故选：A.【点睛】本小题主要考查复数模的几何意义，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 8．D【分析】利用三角恒等变换化简()f x ，求得其取得最大值时x 的取值情况，再其正切值即可.【详解】因为()26sin2sin cos 3222x x xf x =+-()31cos sin 3x x =-+- (),tan 3,,22x ππϕϕϕ⎛⎫+=-∈- ⎪⎝⎭，故当()f x 取得最大值时，若x θ=，则2,2k k Z πθϕπ+=+∈，则11tan tan 2tan 22tan 3k ππθπϕϕϕ⎛⎫⎛⎫=+-=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：D. 9．ABC【分析】结合向量运算、向量的有关概念对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】依题意，设1i,(,)z a b a b R =+∈，则2i z a b =-，其中0b ≠.122z z a +=为实数，A 选项正确.122i z z b -=为纯虚数，B 选项正确.2212z z a b ⋅=+为实数，C 选项正确.()()()2221222i i 2i i i i a b z a b a b ab z a b a b a b a b ++-+===--++，当22a b≠时，12z z 不是纯虚数，D 选项错误. 故选：ABC 10．ABC【分析】对于A 、C ，逆用二倍角公式化简判断； 对于B ，逆用两角和的正切公式化简判断；对于D ，用配凑法及逆用两角差的正弦公式化简判断； 【详解】解：对于A ，222cos 2sin 1212ππ-=2cos 6πA 正确；对于B ，31tan15tan 45tan15tan 601tan151tan 45tan15++=-=⨯=-，故B 正确；对于C ，11cos152sin15cos15sin 3022︒︒︒︒︒==⨯=C 正确；对于D，1cos15cos15sin15222︒︒︒︒︒⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭D 不正确；故选：ABC . 11．ABD【分析】设ABC 的外接圆的半径为R , 利用正弦定理求出sin B R ==弦定理和正弦定理求出c 和sin C 即得解. 【详解】解：设ABC 的外接圆的半径为R ,因为2sin sin sin a b c R A B C===22sin sinsin 3cRB C===， 所以sin B R ==ABC 外接圆的面积为273R ππ=. 因为22222cos 422cos73a b c bc Ac c π=+-=+-⨯=，所以3,c =3sin sin3C =，所以sin C =. 所以ABD 正确，C 错误. 故选：ABD 12．BCD【分析】A 选项先利用()OA CD OA CO OD ⋅=⋅+，再按照数量积运算即可；B 选项由平行四边形法则即可判断；C 选项通过0,32OC OE OD OE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩解方程组即可；D 选项先表示出EA EB ⋅，再结合正弦函数的范围求出最小值.【详解】()19()3113122OA CD OA CO OD OA CO OA OD ⎛⎫⋅=⋅+=⋅+⋅=⨯⨯-+⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，A 错误； 由OE uOC uOD =+知，E 为弧CD 的中点，又120AOB ∠=︒，由平行四边形法则可知则OE OC OD =+，故1u =，B 正确.由30DOE ∠=︒知，30,11cos302OC OE OD OE ⋅=⋅=⨯⨯=OE xOC yOD =+，则()()10,212OC OE OC xOC yOD x y OD OE OD xOC yOD x y ⎧⋅=⋅+=-=⎪⎪⎨⎪⋅=⋅+=-+=⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故32333OE OC OD =+，C 正确.2()()EA EB EO OA EO OB EO EO OB OA EO OA OB ⋅=+⋅+=+⋅+⋅+⋅ ()913cos 3cos1202BOE BOE ∠=----︒∠()273713cos 3sin 30222BOE BOE BOE ∠∠∠=---︒-=+≥-，当且仅当60BOE ∠=︒时，等号成立，故EA EB ⋅的最小值为132-，D 正确.故选：BCD. 13．1±【分析】利用复数的运算，求得()22112ai a ai +=-+，再根据复数为纯虚数，列出方程，即可求解.【详解】由题意，复数()222112()12ai ai ai a ai +=++=-+， 又由复数为纯虚数，则210a -=，即21a =，解得1a =±.【点睛】本题主要考查了复数的运算和复数的分类的应用，其中解答中熟记复数的运算法则和复数的分类是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 14．2-【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系得tan tan αβ+，tan tan αβ，再运用余弦、正弦和差公式，以及同角三角函数间的关系，代入可得答案.【详解】由已知得tan tan 2αβ+=，tan tan 2αβ=-， ()()sin sin cos cos sin tan tan 22cos cos cos sin sin 1tan tan 12+++====--++-αβαβαβαβαβαβαβαβ.故答案为：2-. 15．4【分析】根据向量共线定理和基本不等式即可求解. 【详解】0a >，0b >．若A 、B 、C 三点共线，∴设AB xAC =，即1212(1)(2)a e e x be e -+=-，12,e e 是平面内两个不共线的向量，∴112a xb x -=⎧⎨=-⎩，解得12x =-，112a b -=-，即112a b +=，则12121211222422b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++++=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭…， 当且仅当22b a a b =，即2b a =，即12a =，1b =时，取等号，故最小值为4. 故答案为：4.16．30,4⎛⎤⎥⎝⎦【分析】由三角形面积可得sin ab C =由已知条件结合余弦定理可得3cos ab C ab-=，然后由正余弦的平方和为1，可求得6ab =，从而可求得1cos 2C =，则可得3C π=，203A π<<，则利用三角函数恒等变换公式可得11sin sin sin 2264A B A π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质可求得其范围【详解】∵1sin 2ABCSab C ==sin ab C = ∵()226c a b =-+，由余弦定理可得2223cos 2a b c ab C ab ab +--==，∴22223sin cos 1ab C C ab -⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭⎝⎭，解得6ab =， ∴1cos 2C =，∵0C π<<，∴3C π=，203A π<<.所以()1sin sin sin sin sin sin sin sin 32A B A A C A A A A A π⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211cos 211sin cos sin 224264A A A A A π-⎛⎫===-+ ⎪⎝⎭， ∵203A π<<，∴72666A πππ-<-<，∴1sin 2126A π⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭.因此，113sin sin sin 20,2644A B A π⎛⎫⎛⎤=-+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦.故答案为：30,4⎛⎤⎥⎝⎦17．（1（2）存在，且2a =. 【分析】（1）由正弦定理可得出23c a =，结合已知条件求出a 的值，进一步可求得b 、c 的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出sin B ，再利用三角形的面积公式可求得结果；（2）分析可知，角C 为钝角，由cos 0C <结合三角形三边关系可求得整数a 的值. 【详解】（1）因为2sin 3sin C A =，则()2223c a a =+=，则4a =，故5b =，6c =，2221cos 28a b c C ab +-==，所以，C 为锐角，则sin C =，因此，11sin 4522ABC S ab C ==⨯⨯△ （2）显然c b a >>，若ABC 为钝角三角形，则C 为钝角，由余弦定理可得()()()()22222221223cos 022121a a a a b c a a C ab a a a a ++-++---===<++， 解得13a -<<，则0<<3a ，由三角形三边关系可得12a a a ++>+，可得1a >，a Z ∈，故2a =.18．(1)15(2)74αβπ+=【分析】（1）由二倍角公式化简已知条件可得tan α，再由二倍角公式化为关于正余弦的齐次式，分子分母同除以2cos α化为切函数代入即可的解；（2）由方程求出1tan 2β=-，再由两角和的正切公式计算tan()αβ+，根据角的范围求角即可. （1）因为23sin 2sin 12αα=-，所以3sin cos αα=- 所以1tan 3α=-又因为22222sin cos cos sin sin 2cos2sin cos αααααααα+-+=+=222tan 1tan 1tan ααα+-+ 所以1121139sin 2cos 21519αα⎛⎫-+-⎪⎝⎭+==+ （2）因为,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以tan 0β<因为22tan tan 1(2tan 1)(tan 1)0ββββ--=+-= 所以1tan 2β=-又因为1(0,),tan 3απα∈=-，所以2απ<<π 所以11tan tan 23tan()11ta 1n tan 16αβαβαβ--++=--=-= 由,22πβππαπ⎧⎛⎫∈ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪<<⎪⎩，得2παβπ<+<所以74αβπ+= 19．(1)(2)答案见解析【分析】（1）利用二倍角公式求出cos D ，利用余弦定可求AC 的长； （2）选①：由正弦定理可求得AB =，利用两角和的正弦公式可求得sin BAC ∠，可分别求得ABCS，ADC S △，从而可求花卉种植区域总面积．选②：利用余弦定理求出AB =ABCS ，ADC S △，从而可求花卉种植区域总面积． 【详解】（1）解：cos B =2D B ∠=∠，21cos cos22cos 13D B B ∴==-=-，1AD =，3CD =，∴由余弦定理得22212cos 196()123AC AD CD AD CD D =+-⋅=+-⨯-=，0AC >，∴=AC（2）解：若选①：3BCA π∠=，在ABC 中，由正弦定理得sin sin AB AC ACB B =∠，cos B =sin B ∴=1）知AC ==AB1sin sin()sin cos cos sin 2BAC B ACB B ACB B ACB ∠=∠+∠=∠+∠+11sin 22ABCSAB AC BAC ∴=⨯⋅∠= 1cos 3D =-，sin D ∴=故11sin 1322ADCSAD DC D =⨯⨯⨯=⨯⨯= ∴=若选②：=BC 在ABC 中，由余弦定理得2cos B =解得AB =AB =，cos B =sin B ∴，11sin 22ABCS AB BC B ∴=⨯⋅== 1cos 3D =-，sin D ∴=故11sin 13223ADCSAD DC D =⨯⨯⨯=⨯⨯⨯= ∴花卉种植区域总面积为20．(1)AM(2)【分析】（1）设,AB a AC b ==，把,a b 作为基底，再根据题意将AM 用基底表示出来，然后求出其模即可，（2）将BN 用,a b 表示出来，然后利用向量的夹角公式求解即可 【详解】（1）设,AB a AC b ==，则2,3,,,33a b a b a b π===⋅=，()112121333333AM AB BM AB BC AB AC AB AB AC a b =+=+=+-=+=+22241441437||4939999999AM a b a b =++⋅=⋅+⋅+⋅=373AM =，即AM =（2）因为12BN a b =-+，所以222191134234424BN a b a b =+-⋅=+-⨯⨯= 所以132BM =. 因为222112111733233366AM BN a b a b a a b a b b ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-+⋅-⋅+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以cos ,AM BN AM BN AM BN⋅==-=因为,MPN AM BN ∠=，所以cos MPN ∠= 21．(1)0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,8ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)π【分析】（1）根据三角函数的二倍角公式和辅角公式，可得()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据正弦函数的单调性，即可求出结果；（2）由题意可知sin 24x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，作出函数sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[2,2]ππ-上的图象，根据图象和函数sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称性，即可得到结果.(1)解： 2()sin sin cos f x x x x x x x ⎫=+-+⎪⎝⎭222sin cos cos sin sin 2cos224x x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，由222()242k x k k πππππ-+≤+≤+∈Z ，得3()88k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ， 故()f x 的单调递增区间为3,()88k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ． 当0k =时，388x ππ-≤≤； 当1k =时，5988x ππ≤≤． 故()f x 在[0,]π上的单调递增区间为0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,8ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．(2)解：()()0g x f x ==，得sin 24x π⎛⎫+=⎪⎝⎭， sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[2,2]ππ-上的图象如图所示，因为1517sin 4sin 4sin 4444ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-=>+==> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以在区间[2,2]ππ-上，函数sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象与直线y =8个交点，即()g x 有8个零点，设这8个零点分别为128,,,x x x ，由242x ππ+=，得8x π=，所以函数sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于直线8x π=对称， 所以12345678284x x x x x x x x ππ+=+=+=+=⨯=，故()g x 在[2,2]ππ-上的所有零点之和为44ππ⨯=．22．(1)函数()()y f x g x =⋅在(1,2]上单调递增，值域为(]0,2ln 2；(2)0a ≤ (3)2【分析】（1）根据题意，判断()y g x =在(1,2]上单调递增，且()0g x >，()ln f x x =在(1,2]上也单调递增，且()0f x >即可求解；（2）原问题等价于2()()g x g x a x x ⎡⎤≤-⎢⎥⎣⎦恒成立， 记2()x g x t e x -==，[1,)t ∈+∞， 求出函数2y t t =-的最小值即可得答案；（3）原问题等价于0x 是关于x 的方程22ln x e e x e x x ⋅=⋅的实数根，令2ln e m x=，则上式等价于xmx e m e ⋅=⋅，根据xy x e =⋅单调递增，可得m x =，所以满足原方程的0x 一定满足200ln e x x =，从而即可求解. (1)解：由题意，当(1,2]x ∈时，y x =及2x y e -=均单调递增，且20,0x x e ->>， 所以()y g x =在(1,2]上单调递增，而()ln f x x =在(1,2]上也单调递增，且ln 0x >， 所以()()y f x g x =⋅在(1,2]上单调递增，因为1(1)(10)0f g e -==⨯，(2)(2)ln 22f g =⨯， ∴()()y f x g x =⋅的值域为(]0,2ln 2； (2)解：当[2,)x ∈+∞时，22[()]()g x ax x g x ≥+⋅等价于2()()g x g x a x x ⎡⎤≥+⎢⎥⎣⎦，即2()()g x g x a x x ⎡⎤≤-⎢⎥⎣⎦恒成立， 记2()x g x t e x-==，则由[2,)x ∈+∞，得[1,)t ∈+∞， 由221124y t t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭可得，1t =时，函数2y t t =-取得最小值为0，所以0a ≤； (3)解：由()()20x g x f x ⋅+-=，得22ln 20x x e x -⋅+-=，222ln x x ex -⇔⋅=-222ln x e x ex -⇔⋅=222ln x e x e e x ⇔⋅=⋅22ln xe e x e x x⇔⋅=⋅，令2ln e m x =，则2m e e x=，所以上式等价于x m x e m e ⋅=⋅，由0x >知x y x e =⋅单调递增，所以m x =，所以满足原方程的0x 一定满足200ln e x x =，即00002ln ,2ln x x x x -=-=，所以002ln 0000ln ln ln 2x x ex e x x x -+=+=+=．【点睛】关键点点睛：本题（3）问解题的关键是将原方程等价变形为22ln xe e x e x x ⋅=⋅，再令2ln e m x =，得x m x e m e ⋅=⋅，根据x y x e =⋅单调递增，得m x =，从而得满足原方程的0x 一定满足200ln e x x =.。