2013年中考数学复习 第六章图形与变换 第35课 用坐标表示图形变换课件
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中考数学《用坐标表示图形变换》ppt课件
坐标平面的轴对称变换
在平面直角坐标系中画轴对称图形，确定一半图形的关键点， 以及他们的对称点的坐标，再描点连线．
坐标平面的旋转变换
1．(2014·烟台)如图，将△ABC绕点P顺时针
旋转90°得到△A′B′C′，则点P的坐标是( )
A．(1，1) C．(1，3)
B．(1，2)
B
D．(1，4)
【解析】先根据旋转的性质得到点A的对应点为点A′，点B的
坐标平面的平移变换
1．(2014·钦州)如图，△A′B′C′是△ABC经过某种变换后得到
的图形，如果△ABC中有一点P的坐标为(a，2)，那么变换后
它的对应点Q的坐标为
(a＋5，．－2)
【解析】根据对应点A，A′的坐标确定出
平移规律为向右平移5个单位，向下平移
4个单位，然后写出点Q的坐标．
等腰三角形的边、角
在平面直角坐标系中，将点P(x，y)向右(或左)平移a个单位长 度后，其对应点的坐标变为(x＋a，y)[或(x－a，y)]；将点P(x， y)向上(或下)平移b个单位长度后，其对应点的坐标变为(x，y ＋b)[或(x，y－b)]．
坐标平面的平移变换
2．(2014·来宾)将点P(－2，3)向右平移3个单位得到点P1，
解：(1)A(2，4)，B(－2，2)，C(3，1)， A′(2，－4)，B′(－2，－2)，C′(3，－1)； 关于x轴对称得到 (2)m＝0，n＝5
坐标平面的轴对称变换
对称点坐标的规律： (1)坐标平面内，点P(x，y)关于x轴(横轴)的对称点P1的坐标 为________； (2)坐标平面内，点P(x，y)关于y轴(纵轴)的对称点P2的坐标 为________； (3)坐标平面内，点P(x，y)关于原点的对称点P3的坐标为 ________． 可用口诀记忆：关于谁轴对称谁不变，关于原点对称都要 变．
中考数学复习 第六章图形与变换 第35课 用坐标表示图形变换课件
2．图形变换前后的关系 比较变化后的图形与原图形的关系，一般是从橫、纵坐标的
关系着手，尤其要抓住关键点的横、纵坐标的变化．
基础自测
1．(2011·河南)如图，将一朵小花放置在平面直角坐标系中第三象
限内的甲位置，先将它绕原点O旋转180°到乙位置，再将它
向下平移2个单位长到丙位置，则小花顶点A在丙位置中的对
探究提高 在平面直角坐标系或网格中求面积，有一定的规律，常以
填空或选择题的形式出现，一般的做法是将难以求解的图形 分割成易求解面积的图形，即构图法．
知能迁移4 已知点A(－1,4)，B(2,2)，C(4,－1)，则△ABC的 面积是___2_.5___．
解析：如图：S△ABC＝5×5－ 1×2×3＝25－22.5＝2.5
显然，点P的极坐标与它的坐标存在一一对应关系．例如：
点P的坐标为(1,1)，则其极坐标为 [ , 45°]． 2
若点Q的极坐标为[4,60°]，则点Q的坐标为( A )
A．(2, 2 3 )
B．(2,－2 3)
C．(2 3 , 2 )
D．(2,2)
题型三 求轴对称、旋转对称对应点的坐标
【例 3】 如图，在边长为1的正方形网格中，将△ABC向右平移两
12×2a、×2a－
1 2
a×、42a＝3a2.
(m>0，
n>0且m≠n)，试运用构图m法2＋求1出6n这2 三9m角2＋形4的n2 面积．m2＋n2
解：构造△ABC如图(3)所示(未在试卷上画出相应图形 不1×扣2分m)×，2Sn△＝AB1C2＝mn3m－×2m4nn－－312×mnm－×24mnn－＝125×m3nm. ×2n－ 2
探究提高 本题利用数形结合的方法确定点P的坐标，在阅读理解的
关系着手，尤其要抓住关键点的横、纵坐标的变化．
基础自测
1．(2011·河南)如图，将一朵小花放置在平面直角坐标系中第三象
限内的甲位置，先将它绕原点O旋转180°到乙位置，再将它
向下平移2个单位长到丙位置，则小花顶点A在丙位置中的对
探究提高 在平面直角坐标系或网格中求面积，有一定的规律，常以
填空或选择题的形式出现，一般的做法是将难以求解的图形 分割成易求解面积的图形，即构图法．
知能迁移4 已知点A(－1,4)，B(2,2)，C(4,－1)，则△ABC的 面积是___2_.5___．
解析：如图：S△ABC＝5×5－ 1×2×3＝25－22.5＝2.5
显然，点P的极坐标与它的坐标存在一一对应关系．例如：
点P的坐标为(1,1)，则其极坐标为 [ , 45°]． 2
若点Q的极坐标为[4,60°]，则点Q的坐标为( A )
A．(2, 2 3 )
B．(2,－2 3)
C．(2 3 , 2 )
D．(2,2)
题型三 求轴对称、旋转对称对应点的坐标
【例 3】 如图，在边长为1的正方形网格中，将△ABC向右平移两
12×2a、×2a－
1 2
a×、42a＝3a2.
(m>0，
n>0且m≠n)，试运用构图m法2＋求1出6n这2 三9m角2＋形4的n2 面积．m2＋n2
解：构造△ABC如图(3)所示(未在试卷上画出相应图形 不1×扣2分m)×，2Sn△＝AB1C2＝mn3m－×2m4nn－－312×mnm－×24mnn－＝125×m3nm. ×2n－ 2
探究提高 本题利用数形结合的方法确定点P的坐标，在阅读理解的
最新图形的变换与坐标精品课件
右图中的直角三角形顶点的坐标发生怎样变化？
结束语
谢谢大家聆听！！！
32
关于x 轴对称 关于原点对称
三、伸长缩短： (x,y) (m x, ny)
沿x轴方向伸缩m倍，
沿y轴方向伸缩n倍；
四、放大缩小： (x,y) (k x, ky)
形状不变，与原图形是位似图形
位似中心是原点， 位似比为k。
图形变换与坐标
一、平移： (x,y) (x +a,y+b)
沿x轴方向平移a个单位，
2
1
1234
–3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4
1 23 4
与左图三角形相比，右图中的三角形发生了怎样变化？
右图中的直角三角形顶点的坐标发生怎样变化？
4 3 2 1 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4
4
1
3
(x,y)( x ,y )
2
2
1
1 2 3 4 –4 –3 –2 –1 0 –1
在直角坐标系中描出下列各组点，并将各点 用线段依次连接起来：(0,1)、(4,4)、(2,1)、 (4,2)、(4,0)、(2,1)、(3,-1)、(0,1)
y
5 4 3 2 1
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
x
-1
-2
横坐标×(-1) ，纵坐标×(-1) 。表示为：(x, y) (-x, -y)
(x,y)
(0,1) (4,4) (2,1) (4,2) (4,0) (2,1) (3,-1)
(-2x, y) (0,1) (-8, 4) (-4, 1) (-8, 2 (-8,0) (-4, 1) (-6, -1)
y
4
3
坐标平面内的图形变换PPT教学课件
4
1 怎样表示线段CD上任意一点的坐标？ 3
C
2
（2, y）(-1≤y ≤3)
1
-2 -1 0 1 2 3 4 5 -1 A D B
例题分析
规定.
如图,在直角坐标系中，平行于x轴的线段AB上所有点的纵
坐标都是－1，横坐标x的取值范围是1≤x ≤5 ，则线段AB上 任意一点的坐标可以用“(x,-1) (1≤x ≤5)”表示，按照这样
知识扩展
汉武帝是继秦始皇之后又一 位雄才大略而且饱受争议的皇帝，
汉 历史上经常以秦皇汉武并称。汉
武帝名刘彻，为景帝第三子，在
武 位54年，在位期间，在政治、经 帝 济、文化等各个领域推行一系列
“大一统”政策，加强中央集权；
其 派卫青、霍去病北击匈奴，开疆 人 扩土；派张骞两度出使西域，开
辟“丝绸之路”等等。同时，好 大喜功、穷兵黩武，穷奢极欲而 且沉迷神仙方术。
A. ②④ C. ①③
B. ①②④
√D. ①②③
3、汉武帝“独尊儒术，主要是利用儒家的:
（2002年高考题）
A. “已所不欲，勿施于人”的主张 B. “民贵君轻”的思想
√C. “性善论” D. “大一统”思想
假如有一台时光倒流机，让你 回到西汉王朝，你有幸参见汉武帝， 你会说什么？
发表高见
评价汉武帝
4 文化——“罢黜百家，独尊儒术” 详细….
兴办太学和郡国学校
详细….
尊儒尚法
诸不在六艺之科孔子 之术者，皆绝其道， 勿使并进。
——《汉书•董仲舒传》
看 一 看
北击匈奴
发表高见
汉武帝采用的“罢黜百家，独 尊儒术”是要扬儒而压抑其他 各家各派的学说，可是汉武帝 也说“汉家自有家法，王（儒 家）霸（法家）道（道家）杂 之”，我们现在也说汉武帝是 一个尊儒尚法的君王，这是矛 盾的说法吗？
坐标变换ppt课件
.
fb0坐标系统
fb0坐标系统
❖ fb0坐标系统
.
fb0坐标系统
fb0坐标系统
❖ fb0坐标系统到abc系统的转换
.
fb0坐标系统
fb0坐标系统
❖ abc坐标系统到fb0系统的转换
.
fb0坐标系统
fb0坐标系统
❖ fb0坐标系统与+-0系统的关系
.
fb0坐标系统
fb0坐标系统
坐标变换 coordinate transformation
一、变换系数 二、综合矢量 三、各坐标系统间的转换
.
一、变换系数
一、变换系数
原变量用新变量替代，问题在新的 变量系统中得到解决后，再把原来的变 量求出来。
目的：简化变量间关系
.
一、变换系数
一、变换系数
❖ 假定在原坐标系统中变量为x 1 、x 2 、 … x n
❖ 还可推广到m相系统 –旋转算子改为
.
二、综合矢量
综合矢量的优点
❖ 三相同时考虑 –除零序分量
❖ 在任意轴线上的投影 –表示与该轴线圈有关变量的瞬时值
.
三、坐标转换
各坐标系统间的转换
❖ 旋转电机的坐标变换：两大类 –坐标轴线放在定子上的静止坐标系统，如 abc,αβ0,+-0坐标系统 –坐标轴线放在转子上的旋转坐标系统，如 dq0,fb0坐标系统。
❖ fb0坐标系统与dq0系统的关系
.
坐标变换小结
坐标系统小结
❖ αβ0坐标系统的坐标轴是放在定子上的，从 abc到αβ0的变换是实数到实数的变换，它的 实质是用两相等效绕组来代替三相绕组。
.
坐标变换小结
坐标系统小结
❖ +-0坐标系统的坐标轴也是放在定子上的，从 abc到+-0的变换是实数到复数的变换
fb0坐标系统
fb0坐标系统
❖ fb0坐标系统
.
fb0坐标系统
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❖ fb0坐标系统到abc系统的转换
.
fb0坐标系统
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fb0坐标系统
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❖ fb0坐标系统与+-0系统的关系
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fb0坐标系统
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坐标变换 coordinate transformation
一、变换系数 二、综合矢量 三、各坐标系统间的转换
.
一、变换系数
一、变换系数
原变量用新变量替代，问题在新的 变量系统中得到解决后，再把原来的变 量求出来。
目的：简化变量间关系
.
一、变换系数
一、变换系数
❖ 假定在原坐标系统中变量为x 1 、x 2 、 … x n
❖ 还可推广到m相系统 –旋转算子改为
.
二、综合矢量
综合矢量的优点
❖ 三相同时考虑 –除零序分量
❖ 在任意轴线上的投影 –表示与该轴线圈有关变量的瞬时值
.
三、坐标转换
各坐标系统间的转换
❖ 旋转电机的坐标变换：两大类 –坐标轴线放在定子上的静止坐标系统，如 abc,αβ0,+-0坐标系统 –坐标轴线放在转子上的旋转坐标系统，如 dq0,fb0坐标系统。
❖ fb0坐标系统与dq0系统的关系
.
坐标变换小结
坐标系统小结
❖ αβ0坐标系统的坐标轴是放在定子上的，从 abc到αβ0的变换是实数到实数的变换，它的 实质是用两相等效绕组来代替三相绕组。
.
坐标变换小结
坐标系统小结
❖ +-0坐标系统的坐标轴也是放在定子上的，从 abc到+-0的变换是实数到复数的变换
【最新】人教版七年级数学下册第六章《用坐标表示图形的平移》公开课课件.ppt
A
Y
4
B
3
2
1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-1
x
-2
-3
如图△ABC中任意一点P(x0,y0)经平移后对应点 为P1(x0+5,y0+3),将△ABC作同样的平移到 △A1B1C1。
求A1、B1、C1的坐标
A1（3，6 ）B1（1，4 ）C1（7，3 ）
如图与(1)比较，请抢答：
y
2
（1）将三角形ABC三个顶点的 横坐标都减去6，纵坐标不变
B1 (-3,1) 1
-5 -4 -3 -2 -1
12
-1
（2）依次连接A1，B1，C1，各
-2
点，得到三角形A1B1C1
-3
(4,3)
A
B (3,1) 34 x
则有A1 (-2,3),B1(-3,1) ,C1 (-5,2)。
猜想: △ 为什么？
题。
探究一
(1)、向右平 移3个单位长 度 (2)、向右平 移5个单位长 度
A (-2,-3)
B ( 1,-3) C ( 3,-3)
y
4 3 2 1
-3 -2 -1 0 -11 2 3 4 x
-2 -3 A (-2,-3) B (1,-3) C (3,-3)
探究二
y
C (-2,4) 4
(1)、向上平 移5个单位长 度
•可通过左右平移和上下平移来完成。
总结规律2: 图形上点的坐标变化与图形平移间的关系
(1)横坐标变化,纵坐标不变： 原图形上的点(x,y) ，(x+a,y) 向右平移a个单位 原图形上的点(x,y) ，(x-a,y) 向左平移a个单位
坐标中的图形变换36-优质课件
1、两种坐标表示方法
（1）在平面直角坐标系中，用横坐标和纵坐标 表示点的位置，通常用M（x，y）的形式表示
（2）以某点为中心建立方位图，用角度和距 离表示点的位置
对称点的坐标
y
B(-a,b)
P(a,b)
1
-1 0 1
x
-1
C(-a,-b)
A(a,-b)
1、点P（x，y）在第四象限，且|x|=3，|y|=2，
个单位后，得到三角形A1B1C1的B1C1边上中
点M1此时的坐标为（-1，0），则M点坐标
为
。
3、已知点A（m，-2），点B（3，m-1），且
直线AB∥x轴，则m的值为
Hale Waihona Puke 。4．如图６，一个机器人从O点出以，向正东 方走3米到达A点，再向正北方走6米到达A2 点，再向正西方向走9米到达A3点，再向正南 方向走12米到达A4点，再向正东走15米到达 A5点，按如此规律走下去，当机器人走到A6 点时，离Ｏ点的距离是＿＿＿＿＿米。
5. 直角坐标系内有两点A（0，3），B（4，0）， 以这两点为顶点作一直角三角形，使第三点
C落在坐标轴上，这种C点有几个？分别求出来。 若是等腰三角形呢？
石器时代 /m/ 石器时代
wkd27xny
一击，希望冥大人今晚可以穿着这件长袍出席。”看着木兮女皇眼里的祈求，夜北冥非常无奈的点了点头，这女皇也是个心大 的，把龙袍都给自己做出来了，不知道的还以为女皇要退位让自己来做这皇位呢！不过木兮的心意，夜北冥也是记在了心里。 得到了夜北冥的一个人情，木兮以后的日子可谓是一片光明。梦瑶等人也穿着各自的衣服，朝凰大陆的衣服当然是未央大陆所 比不上的，款式新颖让木兮这个见惯了大场面的女皇都忍不住看直了眼，直到夜北冥穿着黑色镶金龙袍出现。夜北冥穿着龙袍 的时候，整个人的气势瞬间就变了，浑身透露着上位者的威压，带着王者气势，因为带着面具，所以看不见全部的面貌，可是 就是那露出来的小巧的下巴和轻抿的樱桃嘴唇，就已经很迷人了，还有面具下露出的那双黑曜石似的眼睛。当那双眼睛盯着你 的时候，你会感觉你的秘密都被她看透了，不敢与之对视。（鱼唇的人类，你们不知道盯着你们的其实是冥大大的精神力吧， 这世上有什么是精神力看不透的呢？嘎嘎嘎~）宴会时间到了，所有的臣民都带着自己的家属坐在专属于自己的位置上，桌子 前摆放着各种各样的瓜果美食，可是却没有任何人去吃，因为女皇还没来，所以所有人即使再饿也不敢动手直接吃。“女皇驾 到~”大殿门口的太监用她那尖细的嗓音，说出了在场所有人最想听的一句话，众人纷纷抬起头朝门口看去。只见穿着一身黄 色镶金龙袍的女皇对她身边同样穿着黑色龙袍的脸戴银色面具的神秘女子有说有笑的走进了大殿，梦瑶等人待在夜北冥的行宫 里没有跟来，所以陪同进来的都是太监宫男们。“吾皇万岁万岁万万岁！”大殿里所有人跪在地上低着头对木兮表示问安。 “平身！”然后与夜北冥走到大殿最上方坐在黄金龙椅上，而夜北冥则坐在龙椅旁边木兮早就叫人准备好的另一张黑玉石椅上， 靠着椅背，一只手倚在椅子的扶手上，摸着自己的下巴，眼神好笑的看着下面呆滞的人。此刻呆滞中的群臣们心里在想，什么 时候见过自家不苟言笑的女皇笑的这么开怀了，还有女皇身边那威武霸气带着王者气息的戴银色面具女子就是女皇的义妹吗？ 心思活络的一些大臣还想着什么时候让自己长相出众的儿子去勾引女皇义妹，成就一番好姻缘~“想必众位爱卿也很好奇朕今 天设宴接待的义妹是哪位，朕身边这位就是朕在外学成归来的义妹——冥！”木兮看了一眼旁边悠闲的夜北冥一眼，宠溺的说 道：“朕这义妹从小跟着自己的师傅在秘—境修炼，所以不怎么跟外界接触，这次有机会来到外界体验生活，朕就想给她最好 的。”说完，严肃的看着下面正在思考的众臣说道：“花总管上来宣读圣旨！”站在一旁侍奉的花总管走到台前将手中一直捧 着的圣旨打开，语气充满了喜悦的大声宣读道：“奉
中考数学总复习 第一部分 教材梳理 第六章 图形与变换、坐标 第2节 图形的相似课件
中考考点精讲精练
考点1 比例的有关概念和性质
考点精讲
【例1】如图1-6-2-3，l1∥l2∥l3，两条直线 与这三条平行线分别交于点A，B，C和D，E，
F. 已知
则 的值为（ ）
考题再现 1. （2016兰州）如图1-6-2-4，在△ABC中，DE∥BC，
（ C）
2. （2016杭州）如图1-6-2-5，已知直线a∥b∥c，直线m交
考点点拨： 本考点的题型一般为选择题或填空题，难度较低. 解答本考点的有关题目，关键在于熟练掌握比例、平行线分 线段成比例、黄金分割等的概念及性质（相关要点详见“知 识梳理”部分）.
考点2 相似多边形和相似比
考点精讲
【例2】两个相似多边形的面积比是9∶16，其中较小多边形
的周长为36 cm，则较大多边形的周长为
第一部分 教材梳理
第六章 图形与变换、坐标 第2节 图形的相似
知识梳理
概念定理
1. 比例的有关概念和性质 （1）线段的比：两条线段的长度之比叫做两条线段的比. （2）比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于
另外两条线段的比 段叫做成比例线段，简称比例线段.
那么这四条线
（4）平行线分线段成比例 ①定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长 线），所得的对应线段成比例.
考点3 相似三角形的性质
考点精讲 【例3】（2015佛山）如图1-6-2-8所示，在□ABCD中，对角 线AC，BD相交于点O，点E，F是AD上的点，且AE=EF=FD. 连接 BE，BF，使它们分别与AO相交于点G，H. （1）求EG∶BG的值； （2）求证：AG=OG； （3）设AG=a，GH=b，HO=c， 求a∶b∶c的值.
坐标平面内的图形变换课件
通过图形变换，可以将三维场景中的物体从世界坐标系转 换到屏幕坐标系，实现三维图形的渲染和显示。同时，图 形变换还可以用于实现三维动画、虚拟现实和增强现实等 应用。
05 图形变换的挑战 与展望
复杂图形的变换
总结词
处理复杂图形变换时需要考虑的因素
详细描述
对于复杂图形，如不规则多边形、包 含大量细节的图像等，进行变换时需 要考虑到几何特性、颜色、纹理等各 方面的因素，以确保变换后的图形保 持原有的形状和特征。
矩阵变换
平移矩阵
通过平移矩阵可以将图 形在坐标平面上进行平
移。
旋转矩阵
通过旋转矩阵可以将图 形绕原点进行旋转。
缩放矩阵
通过缩放矩阵可以将图 形在各个方向上进行缩
放。
仿射变换矩阵
通过仿射变换矩阵可以 将图形进行更复杂的变 换，如倾斜、反射等。
齐次坐标
齐次坐标是将一个点的坐标表示为分数的形式，通过齐次坐标可以将二维平面上 的点扩展到三维空间中，也可以将三维空间中的点扩展到更高维度的空间中。
坐标轴
坐标平面由x轴、y轴和原点构成，x 轴和y轴具有方向性。
单位长度
坐标轴上相邻刻度之间的距离称为单 位长度，通常为1个单位。
点的坐标表示
点与坐标
在坐标平面上，任意一点P可以用一对有序实数（x, y）表示，称为点P的坐标 。
原点
坐标平面的中心点O称为原点，其坐标为(0,0)。
02 图形变换基础
缩放变换可以应用于多种场景，如图像处理、计算机图形学、地图缩放等领域。
旋转变换
旋转变换是指图形绕着原点旋转一定的角度，而其形状和大小保持不变 。
旋转变换可以通过旋转变换矩阵或者向量运算来实现，旋转变换矩阵表 示为：$begin{bmatrix} cos theta & -sin theta & 0 sin theta & cos
05 图形变换的挑战 与展望
复杂图形的变换
总结词
处理复杂图形变换时需要考虑的因素
详细描述
对于复杂图形，如不规则多边形、包 含大量细节的图像等，进行变换时需 要考虑到几何特性、颜色、纹理等各 方面的因素，以确保变换后的图形保 持原有的形状和特征。
矩阵变换
平移矩阵
通过平移矩阵可以将图 形在坐标平面上进行平
移。
旋转矩阵
通过旋转矩阵可以将图 形绕原点进行旋转。
缩放矩阵
通过缩放矩阵可以将图 形在各个方向上进行缩
放。
仿射变换矩阵
通过仿射变换矩阵可以 将图形进行更复杂的变 换，如倾斜、反射等。
齐次坐标
齐次坐标是将一个点的坐标表示为分数的形式，通过齐次坐标可以将二维平面上 的点扩展到三维空间中，也可以将三维空间中的点扩展到更高维度的空间中。
坐标轴
坐标平面由x轴、y轴和原点构成，x 轴和y轴具有方向性。
单位长度
坐标轴上相邻刻度之间的距离称为单 位长度，通常为1个单位。
点的坐标表示
点与坐标
在坐标平面上，任意一点P可以用一对有序实数（x, y）表示，称为点P的坐标 。
原点
坐标平面的中心点O称为原点，其坐标为(0,0)。
02 图形变换基础
缩放变换可以应用于多种场景，如图像处理、计算机图形学、地图缩放等领域。
旋转变换
旋转变换是指图形绕着原点旋转一定的角度，而其形状和大小保持不变 。
旋转变换可以通过旋转变换矩阵或者向量运算来实现，旋转变换矩阵表 示为：$begin{bmatrix} cos theta & -sin theta & 0 sin theta & cos
坐标表示平移PPT课件
坐标表示平移ppt课件
• 引言 • 平移的坐标表示 • 平移的数学模型 • 平移的物理意义 • 平移的应用实例 • 总结与展望
01
引言
平移的定义与性质
总结词
平移是图形在平面内沿某一方向移动一定的距离，但不改变其形状和大小。平移具有传 递性、周期性和向量性等性质。
详细描述
平移是图形在平面内的一种基本变换，它保持了图形的基本属性，如形状、大小和方向 等。平移具有传递性，即如果图形A经过平移得到图形B，图形B再经过平移得到图形C， 那么图形A经过平移也可以得到图形C。此外，平移还具有周期性和向量性，即图形可
三维平移的坐标表示
总结词
三维平移涉及三个方向的移动，需要使用三个平移向量来表示。
详细描述
在三维空间中，假设原点为 $O(x, y, z)$，平移后的点为 $P'(x', y', z')$，则三 个平移向量分别为 $Delta x = x' - x$、$Delta y = y' - y$ 和 $Delta z = z' z$。这些向量共同决定了三维空间中的平移。
06
总结与展望
平移的重要性和意义
平移是图形变换的一种基本形式，在几何学、计算机图形学等领域有着广泛的应用。通过平移，我们可以对图形进行位置调 整、拼接、组合等操作，从而实现图形的变换和运动。
平移不仅在理论上有重要的研究价值，在实际应用中也具有广泛的意义。例如，在计算机图形学中，平移被广泛应用于图像 处理、动画制作、游戏开发等领域；在机械工程中，平移可以用于设计图纸的绘制和机械零件的定位；在物理学中，平移可 以描述物体的运动轨迹和速度方向。
以沿同一方向无限平移下去，且平移的距离可以表示为一个向量。
• 引言 • 平移的坐标表示 • 平移的数学模型 • 平移的物理意义 • 平移的应用实例 • 总结与展望
01
引言
平移的定义与性质
总结词
平移是图形在平面内沿某一方向移动一定的距离，但不改变其形状和大小。平移具有传 递性、周期性和向量性等性质。
详细描述
平移是图形在平面内的一种基本变换，它保持了图形的基本属性，如形状、大小和方向 等。平移具有传递性，即如果图形A经过平移得到图形B，图形B再经过平移得到图形C， 那么图形A经过平移也可以得到图形C。此外，平移还具有周期性和向量性，即图形可
三维平移的坐标表示
总结词
三维平移涉及三个方向的移动，需要使用三个平移向量来表示。
详细描述
在三维空间中，假设原点为 $O(x, y, z)$，平移后的点为 $P'(x', y', z')$，则三 个平移向量分别为 $Delta x = x' - x$、$Delta y = y' - y$ 和 $Delta z = z' z$。这些向量共同决定了三维空间中的平移。
06
总结与展望
平移的重要性和意义
平移是图形变换的一种基本形式，在几何学、计算机图形学等领域有着广泛的应用。通过平移，我们可以对图形进行位置调 整、拼接、组合等操作，从而实现图形的变换和运动。
平移不仅在理论上有重要的研究价值，在实际应用中也具有广泛的意义。例如，在计算机图形学中，平移被广泛应用于图像 处理、动画制作、游戏开发等领域；在机械工程中，平移可以用于设计图纸的绘制和机械零件的定位；在物理学中，平移可 以描述物体的运动轨迹和速度方向。
以沿同一方向无限平移下去，且平移的距离可以表示为一个向量。
人教版七年级数学下册第六章《用坐标表示图形的平移》优质课课件
•可通过左右平移和上下平移来完成。
总结规律2: 图形上点的坐标变化与图形平移间的关系
(1)横坐标变化,纵坐标不变： 原图形上的点(x,y) ，(x+a,y) 向右平移a个单位 原图形上的点(x,y) ，(x-a,y) 向左平移a个单位
(2)横坐标不变,纵坐标变化： 原图形上的点(x,y) ，(x,y+b) 向上平移b个单位
2
（1）将三角形ABC三个顶点的 横坐标都减去6，纵坐标不变
B1 (-3,1) 1
-5 -4 -3 -2 -1
12
-1
（2）依次连接A1，B1，C1，各
-2
点，得到三角形A1B1C1
-3
(4,3)
A
B (3,1) 34 x
则有A1 (-2,3),B1(-3,1) ,C1 (-5,2)。
猜想: △ 为什么？
2. 探究
• （ 3 ） 将 △ ABC 三 个 ①
A1 y
C1
22
顶点的横坐标都减 6， B1
11
纵 坐 标 减 5 ， 又 能 得 -6 -5 -4-4 -3 -2-2 -1 0
C 1
到什么结论？
-1-1
A1
-2-2
C1
-3 C -3
1
B1
-4-4
A
B
2
4
234 x
A1
②
B1
•总结：图形的斜向平移，
图中直角三角形的顶点坐标分别
22
了什么变化？
1
1
-4
-2
2
4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
(2)(3)中的三角形发生了哪些变化？
-1-1
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1．一些特殊点之间的坐标关系
平移前后，点的坐标是如何变化的？ (1)点(x，y)左移a个单位长度：(x－a，y)；
(2)点(x，y)右移a个单位长度：(x＋a，y)；
(3)点(x，y)上移a个单位长度：(x，y＋a)； (4)点(x，y)下移a个单位长度：(x，y－a)．
2．图形变换前后的关系
比较变化后的图形与原图形的关系，一般是从橫、纵坐标的 关系着手，尤其要抓住关键点的横、纵坐标的变化．
∴A′的坐标为(3,－4)．
3．(2012· 鄂州)如图，平面直角坐标系中，∠ABO＝90°，将直角
△AOB绕O点顺时针旋转，使点B落在x轴上的点B1处，点A落
在A1处，若B点的坐标为 16，12 ，则点A1的坐标是( B )
5
5
A．(3,－4)
B．(4,－3)
C．(5,－3)
5．如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴 平行．从内到外，它们的边长依次为2,4,6,8，…，顶点依次 用A1，A2，A3，A4，…表示，则顶点A55的坐标是( C ) A．(13,13) B．(－13,－13) C．(14,14) D．(－14,－14) 解析：55＝13×4＋3， 所以顶点A55在第一象限， 选C.
点P的坐标为(1,1)，则其极坐标为 [
A．(2, 2 3 ) C．(2 3 , 2 ) B．(2,－2 3 ) D．(2,2)
, 45°]． 2 若点Q的极坐标为[4,60°]，则点Q的坐标为( A )
题型三
求轴对称、旋转对称对应点的坐标
【例 3】 如图，在边长为1的正方形网格中，将△ABC向右平移两 个单位长度得到△A′B′C′，则与点B′关于x轴对称的点的坐标是( ) D A．(0,－1) C．(2,－1) B．(1,1) D．(1,－2)
A．(3,1)
C．(2,3)
B．(3,2)
D．(1,3)
题型四
在坐标系或网格中计算图形的面积
【例 4】 (2009· 咸宁)问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边
的长分别为 5 、 10、 13，求这个三角形的面积． 小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方
形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC(即△ABC三个顶点
批阅笔记
本题须理解运动规律，然后将点的坐标与运动时间相对应来确
定点的坐标．
思想方法 感悟提高
方法与技巧 1. 用坐标描述点的位置，关键在于建立适当的坐标系，并 确定单位长度． 2. 在给定的直角坐标系中，由坐标描出点的位置、由点的 位置写出它的坐标；在同一直角坐标系中，感受图形变换后 点的坐标的变化，灵活运用不同的方式确定物体的位置． 3. 直角坐标系是研究函数图象的基础，在直角坐标系中， 点与有序实数对之间是一一对应的．
坐标(0,1)，(0,2)，(0,3)对应时间为3分，4分，15分；
坐标(0,4)，(0,5)，(0,6)…对应时间为16分，35分，36分…；
观察上表可知，在x轴上奇数的平方对应着移动时间，在y轴上 偶数的平方对应着移动时间，而与1989最接近的是452＝2025，相 差2025－1989＝36分钟，即先将横坐标倒退一个单位，即44，再 向上进35个单位，此时，1989对应的坐标为(44,35)，而C答案中， 当横坐标为45时，对应的时间为2025分钟，不能直接再向上移动 36个单位，否则按照运动规律，对应时间为2061分钟． 正解 D
易错警示
23．错误确定平移变换后点的坐标
试题 如图，一个粒子在第一象限内移动，在第一分钟内它从 原点移动到(1,0)，而后接着按图所示，在x轴、y轴平行方向
移动，每分钟移动1个单位，那么在1989分钟后，这个粒子所
处位置为( A．(35,44) ) B．(36,45)
C．(45,36)
D．(44,35)
D．(3,－5)
16 12 ， 5 5
解析：过B画BC⊥OA于C，因为B 所以OC＝16 ，BC＝ 12 ，
，
5 5 于是OB＝20＝4，AC＝ 9，AB＝ 15 ＝3. 5 5 5
又△AOB≌△A1OB1，OB1＝OB＝4，A1B1＝AB＝3， 故A1的坐标为(4,－3)．
题型分类 深度剖析
题型一 确定点的坐标 【例 1】 如图，A、B、C为一个平行四边形的三个顶点，且A、B、 C三点的坐标分别为(3,3)、(6,4)、(4,6)． (1)请直接写出这个平行四边形第四个顶点的坐标； (2)求这个平行四边形的面积．
解：(1)第四个顶点的坐标为(1,5)或(5,1)或(7,7)． (2)过A画x轴平行线，过B画y轴平行线，记交点为E，过C作 CF⊥AE于F. ∴S△ABC＝S四边形AEBC－S△ABE，
2．(2012· 咸宁)平面直角坐标系中，点A的坐标为(4,3)，将线段OA
绕原点O顺时针旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是(
A．(－4,3) C．(3,－4) B．(－3,4) D．(4,－3)
)C
解析：如图，画AB⊥x轴，A′B′⊥y轴，
垂足分别为B、B′， 易证△AOB≌△OA′B′，
所以OB＝OB′＝4，AB＝A′B′＝3，
解：△ABC如图(2)所示(位置不唯一)． S△ABC＝2a×4a－ 1×a×2a－ 1×2a×2a－ 1 a×4a＝3a2. (m>0， (3)△ABC三边的长分别为 、 2 2 、2 2 n>0且m≠n)，试运用构图法求出这三角形的面积．2＋n2 m m2＋16n2 9m2＋4n2
解：构造△ABC如图(3)所示(未在试卷上画出相应图形 1 1 不扣分)，S△ABC＝3m×4n－ ×m×4n－ ×3m×2n－ 2 2 1×2m×2n＝12mn－2mn－3mn－2mn＝5mn. 2
探究提高
利用点到坐标轴及原点的距离，结合各象限点的坐标特点， 可以确定点的坐标．
ห้องสมุดไป่ตู้
知能迁移1
(2011· 永州)在如图所示的正方形网格中，每个小正方
形的边长为1，格点三角形(顶点是网格线的交点的三角形)ABC 的顶点A、C的坐标分别为(－4,5)、(－1,3)． (1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； (2)请作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′； (3)写出点B′的坐标．
D．(－ 3 ,－1)
>> 解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！
解：如图，过P作PM⊥y轴于M，在Rt△POM中，
∠MOP＝60°， ∴∠OPM＝30°. ∴OM＝1 OP＝1， 2 PM＝ OP2－OM2 ＝ 22－1 ＝ 3 . 又∵点P在第三象限，
∴P(－ 3 ,－1)，故选D.
探究提高
解析：B点坐标原为(－1,2)，向右平移
两个单位长度之后为B′(1,2)，
此时B′(1,2)关于x轴对称点的坐标 为(1,－2)，应选D.
探究提高 牢记坐标平移的规律，将其进行逆向思维，抓住关键点的横 纵坐标的变化．
知能迁移3
(2009· 白色)如图所示，在方格纸上建立的平面直
) D
角坐标系中，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90度，得到 △A′B′O，则点A′的坐标为(
探究提高 在平面直角坐标系或网格中求面积，有一定的规律，常以 填空或选择题的形式出现，一般的做法是将难以求解的图形 分割成易求解面积的图形，即构图法．
知能迁移4
已知点A(－1,4)，B(2,2)，C(4,－1)，则△ABC的
面积是_______． 2.5
解析：如图：S△ABC＝5×5－ 1×5×5－ 1 ×3×2－2×2－ 2 2 1×2×3＝25－22.5＝2.5 2
失误与防范 1．从不同角度，分不同情况，全面地考虑问题，才能得到 正确答案． 例如：如图，在已建立直角坐标系的4×4正方形方格纸中， △ABC是格点三角形(三角形的三个顶点都是小正方形的顶点)， 若以格点P、A、B为顶点的三角形与与△ABC相似(全等外)， 则格点P的坐标是( A．(1,4) C．(1,4)或(3,4) ) B．(3,4) D．以上都不对
4．在平面直角坐标系中，图形上的点的坐标同时加(或减、或
乘以、或除以)同一个不等于零的数，这样的变化有三种：
(1)横坐标改变，纵坐标不变，这时图形左右移动或伸缩； (2)横坐标不变，纵坐标改变，这时图形上下移动或伸缩；
(3)横坐标改变，纵坐标也改变，这时图形左右、上下移动
或伸缩．
[难点正本 疑点清源]
又∵S△四边形AEBC＝S△ACF＋S梯形BEFC， S△ABE＝ 1 ×1×3＝ 3，S△ACF＝ 1×1×3＝ 3， 2 2 2 2 S梯形BEFC＝ 1 ×(1＋3)×2＝4， 2 ∴S△ABC＝( 3 ＋4)－ 3 ＝4，∴S▱＝2S△ABC＝2×4＝8.
答：这个平行四边形的面积等于8.
2 2
基础自测
1．(2011· 河南)如图，将一朵小花放置在平面直角坐标系中第三象 限内的甲位置，先将它绕原点O旋转180°到乙位置，再将它 向下平移2个单位长到丙位置，则小花顶点A在丙位置中的对 应点A′的坐标为( C ) A．(3,1) C．(3,－1) B．(1,3) D．(1,1)
解析：点A的坐标为(－3,－1)， 原点O旋转180°后，该点的坐标 为(3,1)，向下平移2个单位长度， 得A′(3,－1)．
本题利用数形结合的方法确定点P的坐标，在阅读理解的
基础上，先结合方位角的知识，在平面直角坐标系中找到指 定[2,60°]所对应的点P的位置，然后利用解直角三角形的知
识和坐标平面内点的坐标特征，求出点P的坐标．
知能迁移2
在平面直角坐标系中，设点P到原点O的距离为ρ，
OP与x轴正方向的夹角为α，则用[ρ，α] 表示点P的极坐标， 显然，点P的极坐标与它的坐标存在一一对应关系．例如：
都在小正方形的顶点处)，如图①所示，这样不需求△ABC的高， 而借用网格就能计算出它的面积．
平移前后，点的坐标是如何变化的？ (1)点(x，y)左移a个单位长度：(x－a，y)；
(2)点(x，y)右移a个单位长度：(x＋a，y)；
(3)点(x，y)上移a个单位长度：(x，y＋a)； (4)点(x，y)下移a个单位长度：(x，y－a)．
2．图形变换前后的关系
比较变化后的图形与原图形的关系，一般是从橫、纵坐标的 关系着手，尤其要抓住关键点的横、纵坐标的变化．
∴A′的坐标为(3,－4)．
3．(2012· 鄂州)如图，平面直角坐标系中，∠ABO＝90°，将直角
△AOB绕O点顺时针旋转，使点B落在x轴上的点B1处，点A落
在A1处，若B点的坐标为 16，12 ，则点A1的坐标是( B )
5
5
A．(3,－4)
B．(4,－3)
C．(5,－3)
5．如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴 平行．从内到外，它们的边长依次为2,4,6,8，…，顶点依次 用A1，A2，A3，A4，…表示，则顶点A55的坐标是( C ) A．(13,13) B．(－13,－13) C．(14,14) D．(－14,－14) 解析：55＝13×4＋3， 所以顶点A55在第一象限， 选C.
点P的坐标为(1,1)，则其极坐标为 [
A．(2, 2 3 ) C．(2 3 , 2 ) B．(2,－2 3 ) D．(2,2)
, 45°]． 2 若点Q的极坐标为[4,60°]，则点Q的坐标为( A )
题型三
求轴对称、旋转对称对应点的坐标
【例 3】 如图，在边长为1的正方形网格中，将△ABC向右平移两 个单位长度得到△A′B′C′，则与点B′关于x轴对称的点的坐标是( ) D A．(0,－1) C．(2,－1) B．(1,1) D．(1,－2)
A．(3,1)
C．(2,3)
B．(3,2)
D．(1,3)
题型四
在坐标系或网格中计算图形的面积
【例 4】 (2009· 咸宁)问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边
的长分别为 5 、 10、 13，求这个三角形的面积． 小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方
形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC(即△ABC三个顶点
批阅笔记
本题须理解运动规律，然后将点的坐标与运动时间相对应来确
定点的坐标．
思想方法 感悟提高
方法与技巧 1. 用坐标描述点的位置，关键在于建立适当的坐标系，并 确定单位长度． 2. 在给定的直角坐标系中，由坐标描出点的位置、由点的 位置写出它的坐标；在同一直角坐标系中，感受图形变换后 点的坐标的变化，灵活运用不同的方式确定物体的位置． 3. 直角坐标系是研究函数图象的基础，在直角坐标系中， 点与有序实数对之间是一一对应的．
坐标(0,1)，(0,2)，(0,3)对应时间为3分，4分，15分；
坐标(0,4)，(0,5)，(0,6)…对应时间为16分，35分，36分…；
观察上表可知，在x轴上奇数的平方对应着移动时间，在y轴上 偶数的平方对应着移动时间，而与1989最接近的是452＝2025，相 差2025－1989＝36分钟，即先将横坐标倒退一个单位，即44，再 向上进35个单位，此时，1989对应的坐标为(44,35)，而C答案中， 当横坐标为45时，对应的时间为2025分钟，不能直接再向上移动 36个单位，否则按照运动规律，对应时间为2061分钟． 正解 D
易错警示
23．错误确定平移变换后点的坐标
试题 如图，一个粒子在第一象限内移动，在第一分钟内它从 原点移动到(1,0)，而后接着按图所示，在x轴、y轴平行方向
移动，每分钟移动1个单位，那么在1989分钟后，这个粒子所
处位置为( A．(35,44) ) B．(36,45)
C．(45,36)
D．(44,35)
D．(3,－5)
16 12 ， 5 5
解析：过B画BC⊥OA于C，因为B 所以OC＝16 ，BC＝ 12 ，
，
5 5 于是OB＝20＝4，AC＝ 9，AB＝ 15 ＝3. 5 5 5
又△AOB≌△A1OB1，OB1＝OB＝4，A1B1＝AB＝3， 故A1的坐标为(4,－3)．
题型分类 深度剖析
题型一 确定点的坐标 【例 1】 如图，A、B、C为一个平行四边形的三个顶点，且A、B、 C三点的坐标分别为(3,3)、(6,4)、(4,6)． (1)请直接写出这个平行四边形第四个顶点的坐标； (2)求这个平行四边形的面积．
解：(1)第四个顶点的坐标为(1,5)或(5,1)或(7,7)． (2)过A画x轴平行线，过B画y轴平行线，记交点为E，过C作 CF⊥AE于F. ∴S△ABC＝S四边形AEBC－S△ABE，
2．(2012· 咸宁)平面直角坐标系中，点A的坐标为(4,3)，将线段OA
绕原点O顺时针旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是(
A．(－4,3) C．(3,－4) B．(－3,4) D．(4,－3)
)C
解析：如图，画AB⊥x轴，A′B′⊥y轴，
垂足分别为B、B′， 易证△AOB≌△OA′B′，
所以OB＝OB′＝4，AB＝A′B′＝3，
解：△ABC如图(2)所示(位置不唯一)． S△ABC＝2a×4a－ 1×a×2a－ 1×2a×2a－ 1 a×4a＝3a2. (m>0， (3)△ABC三边的长分别为 、 2 2 、2 2 n>0且m≠n)，试运用构图法求出这三角形的面积．2＋n2 m m2＋16n2 9m2＋4n2
解：构造△ABC如图(3)所示(未在试卷上画出相应图形 1 1 不扣分)，S△ABC＝3m×4n－ ×m×4n－ ×3m×2n－ 2 2 1×2m×2n＝12mn－2mn－3mn－2mn＝5mn. 2
探究提高
利用点到坐标轴及原点的距离，结合各象限点的坐标特点， 可以确定点的坐标．
ห้องสมุดไป่ตู้
知能迁移1
(2011· 永州)在如图所示的正方形网格中，每个小正方
形的边长为1，格点三角形(顶点是网格线的交点的三角形)ABC 的顶点A、C的坐标分别为(－4,5)、(－1,3)． (1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； (2)请作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′； (3)写出点B′的坐标．
D．(－ 3 ,－1)
>> 解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！
解：如图，过P作PM⊥y轴于M，在Rt△POM中，
∠MOP＝60°， ∴∠OPM＝30°. ∴OM＝1 OP＝1， 2 PM＝ OP2－OM2 ＝ 22－1 ＝ 3 . 又∵点P在第三象限，
∴P(－ 3 ,－1)，故选D.
探究提高
解析：B点坐标原为(－1,2)，向右平移
两个单位长度之后为B′(1,2)，
此时B′(1,2)关于x轴对称点的坐标 为(1,－2)，应选D.
探究提高 牢记坐标平移的规律，将其进行逆向思维，抓住关键点的横 纵坐标的变化．
知能迁移3
(2009· 白色)如图所示，在方格纸上建立的平面直
) D
角坐标系中，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90度，得到 △A′B′O，则点A′的坐标为(
探究提高 在平面直角坐标系或网格中求面积，有一定的规律，常以 填空或选择题的形式出现，一般的做法是将难以求解的图形 分割成易求解面积的图形，即构图法．
知能迁移4
已知点A(－1,4)，B(2,2)，C(4,－1)，则△ABC的
面积是_______． 2.5
解析：如图：S△ABC＝5×5－ 1×5×5－ 1 ×3×2－2×2－ 2 2 1×2×3＝25－22.5＝2.5 2
失误与防范 1．从不同角度，分不同情况，全面地考虑问题，才能得到 正确答案． 例如：如图，在已建立直角坐标系的4×4正方形方格纸中， △ABC是格点三角形(三角形的三个顶点都是小正方形的顶点)， 若以格点P、A、B为顶点的三角形与与△ABC相似(全等外)， 则格点P的坐标是( A．(1,4) C．(1,4)或(3,4) ) B．(3,4) D．以上都不对
4．在平面直角坐标系中，图形上的点的坐标同时加(或减、或
乘以、或除以)同一个不等于零的数，这样的变化有三种：
(1)横坐标改变，纵坐标不变，这时图形左右移动或伸缩； (2)横坐标不变，纵坐标改变，这时图形上下移动或伸缩；
(3)横坐标改变，纵坐标也改变，这时图形左右、上下移动
或伸缩．
[难点正本 疑点清源]
又∵S△四边形AEBC＝S△ACF＋S梯形BEFC， S△ABE＝ 1 ×1×3＝ 3，S△ACF＝ 1×1×3＝ 3， 2 2 2 2 S梯形BEFC＝ 1 ×(1＋3)×2＝4， 2 ∴S△ABC＝( 3 ＋4)－ 3 ＝4，∴S▱＝2S△ABC＝2×4＝8.
答：这个平行四边形的面积等于8.
2 2
基础自测
1．(2011· 河南)如图，将一朵小花放置在平面直角坐标系中第三象 限内的甲位置，先将它绕原点O旋转180°到乙位置，再将它 向下平移2个单位长到丙位置，则小花顶点A在丙位置中的对 应点A′的坐标为( C ) A．(3,1) C．(3,－1) B．(1,3) D．(1,1)
解析：点A的坐标为(－3,－1)， 原点O旋转180°后，该点的坐标 为(3,1)，向下平移2个单位长度， 得A′(3,－1)．
本题利用数形结合的方法确定点P的坐标，在阅读理解的
基础上，先结合方位角的知识，在平面直角坐标系中找到指 定[2,60°]所对应的点P的位置，然后利用解直角三角形的知
识和坐标平面内点的坐标特征，求出点P的坐标．
知能迁移2
在平面直角坐标系中，设点P到原点O的距离为ρ，
OP与x轴正方向的夹角为α，则用[ρ，α] 表示点P的极坐标， 显然，点P的极坐标与它的坐标存在一一对应关系．例如：
都在小正方形的顶点处)，如图①所示，这样不需求△ABC的高， 而借用网格就能计算出它的面积．