09第九章 压杆的稳定PPT课件
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3、1925年，前苏联莫兹尔桥，在试车时由于桥梁桁 架压杆丧失稳定而发生事故。
§ 9–2 细长压杆的临界力 一. 两端铰支 细长压杆的临界力
假设压力P 已达到临界值，杆处于微弯状态，如图，
从挠曲线入手，求临界力。 （1）弯矩：M(x)Pv
（2）挠曲线近似微分方程：
y
P=Pcr
v
x l
P=Pcr x
压杆的挠曲线： vAsink x Asin x
l
曲线为一正弦半波，A为幅值，但其值无法确定。
二. 其他约束情况下压杆的临界力 1、一端固定、一端自由
P
l
2l
2l
π 2 EI Pcr ( 2 l ) 2
2、一端固定一端铰支
P
Pcr
π 2 EI (0 .7 l ) 2
l 0.7l
C— 挠曲 线拐点
第九章 压杆稳定
§9–1 压杆稳定的概念 §9–2 两端铰支 细长压杆的临界压力 §9–3 其他支座条件下细长压杆的临界压力 §9-4 欧拉公式的适用范围 经验公式 §9-5 压杆的稳定校核 §9-6 提高压杆稳定性的措施
§9–1 压杆稳定的概念
构件的承载能力：
①强度 ②刚度 ③稳定性
工程中有些构 件具有足够的强度、 刚度，却不一定能 安全可靠地工作。
∵ A0 sinkl0 k ln
k2l2 n22 ,
Pn2 2 EI
l2
由 k2 P , EI
临界力 Pcr 是微弯下的最小压力，故，只能取 n=1
Pcr
π
2 EI l2
P
z y
上式称为两端铰支压杆临界力的 欧拉公式
z
若是球铰， 式中：I=Imin
y
Imin I y
y
P=Pcr
v
x
l
P=Pcr x
不稳定平衡时所受轴向压 力的界限值，称为临界压 力。
压杆失稳： 压杆丧失其直线形
状的平衡而过渡为曲线 平衡
P
工程结构失稳的实例
1、1907年，加拿大圣劳伦斯河魁北克大桥，在架设 中跨时，由于悬臂桁架中受压力最大的下弦杆丧 失稳定，致使桥梁倒塌，9000吨钢铁成废铁，桥 上86人中伤亡达75人。
工程结构失稳的实例
l
67.14(k N)
[例3] 已知：压杆为Q235钢，l=0.5m，E=200GPa，求细长
压杆的临界压力。
P 解：查表P366，Im inIy03.89cm43.89104mm4
y0 x
x0 x
Pcr
2EImin ( l)2
l
x1
x1
x0 z0
y0
(45百度文库5 6)
220(20 15030)320.89104
令:k 2 P
EI
x Px
EIvk2vk2M0
M0 vAc oksxBsinkPxM0
P
y
y
边界条件为:
M0 P
M0
P x 0 ,v v 0 ;x L ,v v 0
L
vAco ks xBsinkxM0 P
vAksinkxBkco ks x
由x0,v0,得AM0 , P
由x0,v0,得B0,
一、稳定性的概念 稳定性：保持原有平衡状态的能力 1、稳定平衡
影片：14-1
2、随遇平衡
3、不稳定平衡
影片：14-2
二、压杆失稳与临界压力 ：
P<Pcr F
稳 P=Pcr
P>Pcr
随
不
定
遇
稳
平
平
定
衡
衡
平
F
衡
F
影片：14-3
稳
定
影片：14-4
平
衡
不 稳 定 平 衡
影片：14-5
压杆的临界压力： 由稳定平衡转化为
v M 0 cos kx M 0
P
P
v M 0 k sin kx P
由 xl,v0,得 coksl1,即 k L 2n 由 xl,v0,得 sin kl0即k Ln
kl2n
k L2n
k 2 4n2 2
L2
又k 2 P EI
P k 2EI 4 n2 2EI
L2
为求最小临界力，P应取除零以外的最小值，即取：n=1
2E I (l)2 A
(i
I A
——惯性半径)
2E i2 (l)2
2E
(
i
l
)
2
记： l — —杆的柔度（或长细比 ）
i
cr
2E 2
——临界应力（欧拉公式）
二、欧拉公式 的适用范围
cr
2E 2
在 cr P 时成立
等边角钢
76.8103(N) 76.8(kN)
若是Q235钢，σs=235MPa，则杆子的屈服载荷：
Ps s A 235.071 62 0
119103(N)119(kN)
可见杆子失稳在先，屈服在后。
§ 9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力
一、 临界应力和柔度
cr
Pcr A
2 EI (l)2 A
加拿大圣劳伦斯河魁北克大桥
工程结构失稳的实例
采用悬臂法施工
工程结构失稳的实例
因 失 稳 倒 塌
工程结构失稳的实例
重 建 后 的 魁 北 克 大 桥
工程结构失稳的实例
2、1922年，美国华盛顿镍克尔卜克尔剧院，在大雪 中倒塌，死亡98人，受伤100多人，倒塌原因是由 于屋顶结构中一根梁雪后超载过甚，引起梁失 稳，从而使柱和其他结构产生移动，导致建筑物 的倒塌。
v M 0
EI
3、两端固定 P
l
l
P
Pcr
π 2 EI (0 .5l ) 2
l/2
其它约束情况下，压杆临界力的欧拉公式
Pcr
2 EI (l)2
上式称为细长压杆临界压力的一般形式
—长度系数（或约束系数）。 l —相当长度
两端铰支 一端固定 一端自由
一端固定 一端铰支
欧拉公式 两端固定
=1
v M EI
v P v EI
y
MP
P
v
v P v0 EI
令k 2 P , EI
vk2v0
（3）微分方程的解：vA sik n xB co ks x
（4）确定积分常数：由边界条件 x=0，v=0；x=l，v=0 确定
由 x0,v0,得 B0, 即vAsink x 由 xl,v0,得 A sikn l0
所以，临界力为：
Pcr4L22EI(L2/2E)I2
= 0.5
[例3] 求细长压杆的临界力。 l=0.5m，E=200GPa
P
10 50
解：Imi n51012034.17103(m4m )
Pcr
2EImin ( l)2
22(00.07103504).2017103
6 7.1 41 03 ( N)
=2
= 0.7
=0.5
[例1]求中间带约束的细长压杆的临界压力
P
π 2 EI Pcr ( 0 .5 l ) 2
l 0.5l
[例2] 求两端固定细长压杆的临界力 试由挠曲线近似微分方程，导出下述细长压杆的临界 力公式。 解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：
P
P
M0
EvIM (x) P v M 0
§ 9–2 细长压杆的临界力 一. 两端铰支 细长压杆的临界力
假设压力P 已达到临界值，杆处于微弯状态，如图，
从挠曲线入手，求临界力。 （1）弯矩：M(x)Pv
（2）挠曲线近似微分方程：
y
P=Pcr
v
x l
P=Pcr x
压杆的挠曲线： vAsink x Asin x
l
曲线为一正弦半波，A为幅值，但其值无法确定。
二. 其他约束情况下压杆的临界力 1、一端固定、一端自由
P
l
2l
2l
π 2 EI Pcr ( 2 l ) 2
2、一端固定一端铰支
P
Pcr
π 2 EI (0 .7 l ) 2
l 0.7l
C— 挠曲 线拐点
第九章 压杆稳定
§9–1 压杆稳定的概念 §9–2 两端铰支 细长压杆的临界压力 §9–3 其他支座条件下细长压杆的临界压力 §9-4 欧拉公式的适用范围 经验公式 §9-5 压杆的稳定校核 §9-6 提高压杆稳定性的措施
§9–1 压杆稳定的概念
构件的承载能力：
①强度 ②刚度 ③稳定性
工程中有些构 件具有足够的强度、 刚度，却不一定能 安全可靠地工作。
∵ A0 sinkl0 k ln
k2l2 n22 ,
Pn2 2 EI
l2
由 k2 P , EI
临界力 Pcr 是微弯下的最小压力，故，只能取 n=1
Pcr
π
2 EI l2
P
z y
上式称为两端铰支压杆临界力的 欧拉公式
z
若是球铰， 式中：I=Imin
y
Imin I y
y
P=Pcr
v
x
l
P=Pcr x
不稳定平衡时所受轴向压 力的界限值，称为临界压 力。
压杆失稳： 压杆丧失其直线形
状的平衡而过渡为曲线 平衡
P
工程结构失稳的实例
1、1907年，加拿大圣劳伦斯河魁北克大桥，在架设 中跨时，由于悬臂桁架中受压力最大的下弦杆丧 失稳定，致使桥梁倒塌，9000吨钢铁成废铁，桥 上86人中伤亡达75人。
工程结构失稳的实例
l
67.14(k N)
[例3] 已知：压杆为Q235钢，l=0.5m，E=200GPa，求细长
压杆的临界压力。
P 解：查表P366，Im inIy03.89cm43.89104mm4
y0 x
x0 x
Pcr
2EImin ( l)2
l
x1
x1
x0 z0
y0
(45百度文库5 6)
220(20 15030)320.89104
令:k 2 P
EI
x Px
EIvk2vk2M0
M0 vAc oksxBsinkPxM0
P
y
y
边界条件为:
M0 P
M0
P x 0 ,v v 0 ;x L ,v v 0
L
vAco ks xBsinkxM0 P
vAksinkxBkco ks x
由x0,v0,得AM0 , P
由x0,v0,得B0,
一、稳定性的概念 稳定性：保持原有平衡状态的能力 1、稳定平衡
影片：14-1
2、随遇平衡
3、不稳定平衡
影片：14-2
二、压杆失稳与临界压力 ：
P<Pcr F
稳 P=Pcr
P>Pcr
随
不
定
遇
稳
平
平
定
衡
衡
平
F
衡
F
影片：14-3
稳
定
影片：14-4
平
衡
不 稳 定 平 衡
影片：14-5
压杆的临界压力： 由稳定平衡转化为
v M 0 cos kx M 0
P
P
v M 0 k sin kx P
由 xl,v0,得 coksl1,即 k L 2n 由 xl,v0,得 sin kl0即k Ln
kl2n
k L2n
k 2 4n2 2
L2
又k 2 P EI
P k 2EI 4 n2 2EI
L2
为求最小临界力，P应取除零以外的最小值，即取：n=1
2E I (l)2 A
(i
I A
——惯性半径)
2E i2 (l)2
2E
(
i
l
)
2
记： l — —杆的柔度（或长细比 ）
i
cr
2E 2
——临界应力（欧拉公式）
二、欧拉公式 的适用范围
cr
2E 2
在 cr P 时成立
等边角钢
76.8103(N) 76.8(kN)
若是Q235钢，σs=235MPa，则杆子的屈服载荷：
Ps s A 235.071 62 0
119103(N)119(kN)
可见杆子失稳在先，屈服在后。
§ 9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力
一、 临界应力和柔度
cr
Pcr A
2 EI (l)2 A
加拿大圣劳伦斯河魁北克大桥
工程结构失稳的实例
采用悬臂法施工
工程结构失稳的实例
因 失 稳 倒 塌
工程结构失稳的实例
重 建 后 的 魁 北 克 大 桥
工程结构失稳的实例
2、1922年，美国华盛顿镍克尔卜克尔剧院，在大雪 中倒塌，死亡98人，受伤100多人，倒塌原因是由 于屋顶结构中一根梁雪后超载过甚，引起梁失 稳，从而使柱和其他结构产生移动，导致建筑物 的倒塌。
v M 0
EI
3、两端固定 P
l
l
P
Pcr
π 2 EI (0 .5l ) 2
l/2
其它约束情况下，压杆临界力的欧拉公式
Pcr
2 EI (l)2
上式称为细长压杆临界压力的一般形式
—长度系数（或约束系数）。 l —相当长度
两端铰支 一端固定 一端自由
一端固定 一端铰支
欧拉公式 两端固定
=1
v M EI
v P v EI
y
MP
P
v
v P v0 EI
令k 2 P , EI
vk2v0
（3）微分方程的解：vA sik n xB co ks x
（4）确定积分常数：由边界条件 x=0，v=0；x=l，v=0 确定
由 x0,v0,得 B0, 即vAsink x 由 xl,v0,得 A sikn l0
所以，临界力为：
Pcr4L22EI(L2/2E)I2
= 0.5
[例3] 求细长压杆的临界力。 l=0.5m，E=200GPa
P
10 50
解：Imi n51012034.17103(m4m )
Pcr
2EImin ( l)2
22(00.07103504).2017103
6 7.1 41 03 ( N)
=2
= 0.7
=0.5
[例1]求中间带约束的细长压杆的临界压力
P
π 2 EI Pcr ( 0 .5 l ) 2
l 0.5l
[例2] 求两端固定细长压杆的临界力 试由挠曲线近似微分方程，导出下述细长压杆的临界 力公式。 解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：
P
P
M0
EvIM (x) P v M 0