5-3 正定二次型与正定矩阵习题评讲

５－３ 正定二次型与正定矩阵习题评讲１２、如果Ａ、Ｂ为同阶正定矩阵，证明：Ａ＋Ｂ为正定矩阵。

证明１：因为Ａ、Ｂ是ｎ阶实对称矩阵，故Ａ＋Ｂ也是ｎ阶实对称矩阵。

因为Ａ、Ｂ为ｎ阶正定矩阵，所以实二次型ｆ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）＝ＸＴＡＸ和ｇ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）＝ＸＴＢＸ都是正定二次型。

实二次型ｈ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）＝ＸＴ（Ａ＋Ｂ）Ｘ＝ＸＴＡＸ＋ＸＴＢＸ＝ｆ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）＋ｇ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）。

所以对任意不全为零的实数Ｃ１，Ｃ２，…，Ｃｎ，因为ｆ（Ｃ１，Ｃ２，…，Ｃｎ）＞０，ｇ（Ｃ１，Ｃ２，…，Ｃｎ）＞０，从而有ｈ（Ｃ１，Ｃ２，…，Ｃｎ）＝ｆ（Ｃ１，Ｃ２，…，Ｃｎ）＋ｇ（Ｃ１，Ｃ２，…，Ｃｎ）＞０，所以实二次型ｈ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）＝ＸＴ（Ａ＋Ｂ）Ｘ正定，从而Ａ＋Ｂ是正定矩阵。

证明２：因为Ａ、Ｂ是ｎ阶实对称矩阵，故Ａ＋Ｂ也是ｎ阶实对称矩阵。

因为Ａ、Ｂ为ｎ阶正定矩阵，所以对任意ｎ维非零实列向量Ｘ０，都有Ｘ０ＴＡＸ０＞０；Ｘ０ＴＢＸ０＞０；Ｘ０Ｔ（Ａ＋Ｂ）Ｘ０＝ Ｘ０ＴＡＸ０＋Ｘ０ＴＢＸ０＞０， 所以Ａ＋Ｂ是正定矩阵。

Ｐ２６３ 总自测题 证明题（２）设ｎ维列向量α与任何ｎ维向量都正交，证明：α＝０。

证明：设α＝（ａ１，ａ２，…，ａｎ），取ｎ维单位向量εｊ＝（０，…，０，１，０，…，０），ｊ＝１，２，…，ｎ。

有（α，εｊ）＝ａｊ，ｊ＝１，２，…，ｎ，所以α＝０。

８、判别下列实对称矩阵是否为正定矩阵：（１）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111121111；（２）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------211121112；（３）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----52121211211。

解（１）：Ａ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111121111是实对称矩阵，第三个顺序主子式Δ３＝A ＝０，Ａ不是正定矩阵。

解（２）：Ａ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------211121112是实对称矩阵，第三个顺序主子式 Δ３＝A ＝211121112------＝21112100----＝０，Ａ不是正定矩阵。

解（３）：实对称矩阵Ａ＝⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----52121211211所有顺序主子式为： Δ１＝１＞０；Δ２＝121211--＝43＞０；Δ３＝52121211211----＝52142121241----＝142121241---＝211241--＝43＞０所以Ａ是正定矩阵。

９、确定参数λ的值，使下列二次型正定：（１）５ｘ１２＋ｘ２２＋λｘ３２＋４ｘ１ｘ２－２ｘ１ｘ３－２ｘ２ｘ３；（２）２ｘ１２＋ｘ２２＋３ｘ３２＋２λｘ１ｘ２＋２ｘ１ｘ３。

解（１）：实二次型ｆ的矩阵为Ａ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----λ11112125，Ａ的顺序主子式为：Δ１＝５＞０； Δ２＝1225＝１＞０Δ３＝λ11112125----＝10111211--λ＝1111-λ＝λ－２。

ｆ正定⇔Ａ正定⇔Δ３＞０⇔λ－２＞０⇔λ＞２。

解（２）：二次型ｆ的矩阵为Ａ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡3010112λλ，Ａ的各阶顺序主子式为： Δ１＝２＞０；Δ２＝12λλ＝２－λ２； Δ３＝3010112λλ＝0350112λλλ--＝λλ351--＝－３（λ２－35）；ｆ正定⇔Ａ正定⇔⎪⎩⎪⎨⎧>-->-0)35(30222λλ⇔⎪⎩⎪⎨⎧<<352λλ⇔35<λ。

１０、设有二次曲线方程ａｘ２＋２ｂｘｙ＋ｃｙ２＝１（ａ＞０）。

证明：当ｂ２＜ａｃ时，曲线为一椭圆；当ｂ２＞ａｃ时，曲线为一双曲线。

证明：对二次曲线方程ａｘ２＋２ｂｘｙ＋ｃｙ２＝１（ａ＞０），对应的实二次型为：ｆ（ｘ，ｙ）＝ａｘ２＋２ｂｘｙ＋ｃｙ２（ａ＞０），ｆ的矩阵为Ａ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡c b b a ，Ａ是实对称矩阵，且A ＝2b ac -。

对实二次型ｆ（ｘ，ｙ），存在正交变换Ｘ＝ＰＹ（Ｐ是正交矩阵）化为标准形： ｆ（ｘ，ｙ）＝λ１2x '＋λ２2y '，其中λ１，λ２是Ａ的特征值。

这个正交变换，化二次曲线ａｘ２＋２ｂｘｙ＋ｃｙ２＝１（ａ＞０）为如下形式： λ１2x '＋λ２2y '＝１该二次曲线是椭圆⇔λ１，λ２都是正数⇔ｆ（ｘ，ｙ）正定⇔Ａ的所有顺序主子式都大于零⇔Δ１＝ａ＞０，Δ２＝A ＝2b ac -＞０⇔ｂ２＜ａｃ。

该二次曲线是双曲线⇔λ１，λ２一个是正数，另一个是负数⇔λ１λ２＜０。

因为λ１λ２＝A ＝2b ac -，所以该二次曲线是双曲线⇔2b ac -＜０⇔2b ac <。

１１、如果矩阵Ａ＝（ａｉｊ）ｎ×ｎ是正定矩阵，证明：ａｉｉ＞０（ｉ＝１，２，…，ｎ）。

证明：令εｊ＝（０，…，０，１，０，…，０）Ｔ，ｊ＝１，２，…，ｎ。

有εｊＴＡεｊ＝ａｊｊ，ｊ＝１，２，…，ｎ。

因为Ａ＝（ａｉｊ）是ｎ阶正定矩阵，对任意ｎ维非零实列向量Ｘ，都有ＸＴＡＸ＞０，特别对Ｘ＝εｊ结论也成立，所以ａｊｊ＞０，ｊ＝１，２，，ｎ。

１３、利用定理５．３的推论２证明：实对称矩阵Ａ正定的充要条件是存在可逆矩阵Ｍ，使得Ａ＝ＭＴＭ。

证明：必要性：如果Ａ正定，则存在可逆矩阵Ｃ，使ＣＴＡＣ＝Ｅ，于是，Ａ＝（ＣＴ）－１ＥＣ－１＝（Ｃ－１）ＴＣ－１。

令Ｍ＝Ｃ－１，则Ｍ是可逆矩阵，使Ａ＝ＭＴＭ。

充分性：如果Ａ是实对称矩阵，且存在可逆矩阵Ｍ，使Ａ＝ＭＴＭ，即Ａ＝ＭＴＥＭ，所以（ＭＴ）－１ＡＭ－１＝Ｅ，即（Ｍ－１）ＴＡＭ－１＝Ｅ，其中Ｍ－１是可逆矩阵，故Ａ与Ｅ合同，从而Ａ正定。

１４、如果矩阵Ａ正定，且存在可逆矩阵Ｃ，使得ＣＴＡＣ＝Ｂ。

证明：矩阵Ｂ是正定矩阵。

证明１：因为Ａ正定，所以Ａ是实对称矩阵。

又因为存在可逆矩阵Ｃ，使得ＣＴＡＣ＝Ｂ，故Ｂ也是实对称矩阵。

因为Ａ正定，所以存在可逆矩阵Ｍ，使Ａ＝ＭＴＭ，于是有Ｂ＝ＣＴＡＣ＝ＣＴＭＴＭＣ＝（ＭＣ）Ｔ（ＭＣ），其中ＭＣ是可逆矩阵，于是Ｂ是正定矩阵。

证明２：当Ｂ＝ＣＴＡＣ［Ｃ可逆］时，由Ａ是实对称矩阵知，Ｂ也是实对称矩阵。

对每一个非零列向量Ｘ，有ＣＸ是非零列向量，且Ａ是正定矩阵，所以ＸＴＢＸ＝ＸＴ（ＣＴＡＣ）Ｘ＝（ＣＸ）ＴＡ（ＣＸ）＞０， 所以Ｂ是正交矩阵。

Ｐ２１７ 第五章自测题２、单选题（２）（２）二次型ｆ＝ＸＴＡＸ（Ａ为实对称矩阵）正定的一个充要条件是（ ）。

（Ａ）det （Ａ）＞０； 必要不充分（Ｂ）存在可逆矩阵Ｃ，使得ＣＴＡＣ成为对角矩阵； 所有实对称矩阵的共性 （Ｃ）Ａ可逆； 必要不充分（Ｄ）存在可逆矩阵Ｍ，使得Ａ＝ＭＴＭ。

Ｐ２１６，１３题 解：选Ｄ。

（５）已知矩阵Ａ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡c b b a 正定，ｋ１和ｋ２都是正常数，则矩阵Ｂ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡c k b k k b k k a k 22122121（ ） （Ａ）不是对称矩阵； （Ｂ）是正定矩阵；（Ｃ）必是正交矩阵； （Ｄ）是奇异矩阵。

解：显然Ｂ是实方阵。

已知 Ａ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡c b b a 正定，顺序方子式a a =＞０，c b b a ＞０。

因为ｋ１和ｋ２都是正常数， Ｂ的顺序主子式：Δ１＝a k 21＝ｋ１２ａ＞０，Δ２＝ck b k k b k k a k 22122121＝c k b k b k a k k k 212121＝c b b a k k 2221＞０，Ｂ是正定矩阵。

选（Ｂ）。

３、计算题（３）若二次型ｆ＝２ｘ１２＋６ｘ２２＋ｔｘ３２－２ｘ１ｘ２－２ｘ１ｘ３正定，求实数ｔ的取值范围。

解：实二次型ｆ的矩阵为Ａ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----t 01061112，Ａ的顺序主子式为：Δ１２＞０，Δ２＝6112--＝１１＞０，Δ３＝t 01061112----＝t 016011112----＝t1611--＝１１ｔ－６。

ｆ正定⇔Ａ正定⇔１１ｔ－６＞０⇔ｔ＞116。

（４）设矩阵Ａ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--30082010101，试判别二次型ｆ＝ＸＴ（ＡＴＡ）Ｘ是否正定？其中Ｘ＝（ｘ１，ｘ２，ｘ３）Ｔ。

解１：A ＝－６≠０，Ａ是可逆矩阵，而Ｂ＝ＡＴＡ是实对称矩阵，据２１６页１３题知，Ｂ是正定矩阵，从而ｆ是正定二次型。

解２：A ＝－６≠０，Ａ是可逆矩阵，对任意３维非零实列向量Ｘ，ＡＸ也是３维非零实列向量，且有ｆ＝ＸＴ（ＡＴＡ）Ｘ＝（ＸＴＡＴ）（ＡＸ）＝（ＡＸ）Ｔ（ＡＸ）＝2AX＞０，所以ｆ是正定二次型。

４、证明题（２）设Ａ是正定矩阵，证明Ａ２也是正定矩阵。

证明１：因为正定矩阵Ａ是实对称矩阵，（Ａ２）Ｔ＝（ＡＴ）２＝Ａ２，Ａ２也是实对称矩阵。

正定矩阵Ａ是可逆矩阵，由Ａ２＝ＡＡ＝ＡＥＡ＝ＡＴＥＡ得，Ａ２与Ｅ合同，故Ａ２也是正定矩阵。

证明２：因为正定矩阵Ａ是实对称矩阵，（Ａ２）Ｔ＝（ＡＴ）２＝Ａ２，Ａ２也是实对称矩阵。

正定矩阵Ａ是可逆矩阵，由Ａ２＝ＡＡ＝ＡＴＡ，据１３题结论知Ａ２也是正定矩阵。

证明３：因为正定矩阵Ａ是实对称矩阵，（Ａ２）Ｔ＝（ＡＴ）２＝Ａ２，Ａ２也是实对称矩阵。

正定矩阵Ａ是可逆矩阵，且ＡＴ＝Ａ，对任意非零实列向量Ｘ，ＡＸ也是非零实列向量，且ｆ（Ｘ）＝ＸＴＡ２Ｘ＝ＸＴ（ＡＴＡ）Ｘ＝（ＸＴＡＴ）（ＡＸ）＝（ＡＸ）Ｔ（ＡＸ）＝2AX＞０，所以ｆ（Ｘ）是正定二次型，从而Ａ２是正定矩阵。

Ｐ２１９ 总自测题１、填空题（１０）若矩阵Ａ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡t 20220002正定，则ｔ的取值范围是 。

解：实对称矩阵Ａ的顺序主子式为：Δ１＝２＞０，Δ２＝2002＝４＞０，Δ３＝t 2022002＝200220002-t ＝４（ｔ－２）； Ａ正定⇔ｔ－２＞０⇔ｔ＞２。

２、单选题（１０）若实对称矩阵Ａ与矩阵Ｂ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-400020001相似，则二次型ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝ＸＴＡＸ是（ ）（Ａ）正定的； （Ｂ）负定的； （Ｃ）不定的； （Ｄ）半正定的。

解１：据题设，存在正交变换Ｘ＝ＰＹ（Ｐ是正交矩阵），使实二次型ＸＴＡＸ＝ｙ１２＋２ｙ２２－４ｙ３２。

ｆ的正惯性指数ｐ＝２，ｆ的负惯性指数ｒ－ｐ＝１，ｆ是不定的，选（Ｃ）。

解２：据题设，存在正交变换Ｘ＝ＰＹ（Ｐ是正交矩阵），使实二次型ＸＴＡＸ＝ｙ１２＋２ｙ２２－４ｙ３２。

ｆ的正惯性指数ｐ＝２＜３，ｆ不正定；ｆ的负惯性指数ｒ－ｐ＝１＜３，ｆ不负定，也不半正定；选（Ｃ）。