秦九韶与中国剩余定理
什么是中国剩余定理
什么是中国剩余定理？剩余定理详细解法中国数学史书上记载：在两千多年前的我国古代算书《孙子算经》中，有这样一个问题及其解法：今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三：七七数之剩二。
问物几何？意思是说：现在有一堆东西，不知道它的数量，如果三个三个的数最后剩二个，如果五个五个的数最后剩三个，如果七个七个的数最后剩二个，问这堆东西有多少个？你知道这个数目吗？《孙子算经》这道著名的数学题是我国古代数学思想“大衍求一术”的具体体现，针对这道题给出的解法是：N=70×2＋21×3＋15×2-2×105＝23如此巧妙的解法的关键是数字70、21和15的选择： 70是可以被5、7整除且被3除余1的最小正整数，当70×2时被3除余2 21是可以被3、7整除且被5除余1的最小正整数，当21×3时被5除余3 15是可以被3、5整除且被7除余1的最小正整数，当15×2时被7除余2 通过这种构造方法得到的N就可以满足题目的要求而减去2×105 后得到的是满足这一条件的最小正整数。
韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。
刘邦茫然而不知其数。
我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。
中国有一本数学古书「孙子算经」也有类似的问题：「今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？」答曰：「二十三」术曰：「三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。
数书九章中华之光——宋代数学家秦九韶小记
秦九韶，字道古。
宋宁宗嘉定元年（1208）三月，出生于普州（今四川省资阳市安岳县）天庆观街“秦苑斋”的一个书香门第、仕宦之家。
秦九韶之祖父秦臻舜，宋高宗绍兴三十年（1160）进士及第，官至通议大夫（正四品）。
父亲秦季槱，宋光宗绍熙四年（1193）进士及第，累仕显谟阁直学士（从三品）。
秦臻舜父子，同治春秋，政声亦佳。
秦九韶之祖母和母亲，均出于书香门第。
秦九韶出生于如此书香之家，受到长辈之熏陶，接受良好家庭教育。
加之，秦九韶生活在父亲结交的忠臣良相、儒雅之士挚友圈中，师长之关爱教诲，为秦九韶之健康成长培植了优良环境。
嘉定九年（1216）秋，秦九韶随祖母、母亲离开普州，与知巴州军州事之父亲团聚。
嘉定十二年（1219），兴元军士权兴等兵变犯巴州，守臣秦季槱失巴州。
第二年，秦季槱出任工部郎中。
秦九韶随父至临安，开始了“早岁侍亲中都，因得访习于太史”之励志年华。
宋理宗宝庆元年（1225）六月，秦季槱知潼川府军州事，秦九韶随之。
秦九韶后擢升郪县县尉，24岁蟾宫折桂。
宋理宗端平元年（1234）冬，秦九韶赴临安任国史院校正。
端平三年（1236）正月，秦九韶任蕲州通判。
第二年，擢升和州军州事。
后相继任职淮南西路、两浙路和广南东路、广南西路。
宋理宗景定二年（1261）七月，秦九韶知梅州军州事，宋度宗咸淳四年（1268）三月卒于梅州。
终年59岁。
数书九章 中华之光——宋代数学家秦九韶小记 文/李青春（四川省安岳县地方志办公室主任）秦九韶身处宋金、宋蒙战争乱世，仕途坎坷。
他酷爱数学，虽置身政治，但对数学研究从未放弃。
在政务之余，广泛收集历学、数学、星象、音律、营造等资料，进行分类研究。
宋理宗淳祐四至七年（1244—1247），秦九韶利用为母守孝的宝贵时光，把长期积累之数学知识及研究所得予以整理编辑，写出中外闻名巨著《数书九章》。
早在汉、魏之间，《孙子算经》就提出了一个有名的数论科学算题，即某数除以8余7、除以5余3、除以7余2，求某数。
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中国剩余定理文章-回复中国剩余定理是一个数论中重要的定理，它被广泛应用于密码学、计算机科学以及通信等领域。
本文将以"中国剩余定理"为主题，详细介绍这一定理的含义、原理和应用。
一、引言中国剩余定理是古老而又精妙的数论问题之一。
它最早由我国古代数学家孙子所发现，被称为“孙子定理”。
孙子定理后来由中国数学家秦九韶进行了更加深入的研究和推广，因此也被称为“秦九韶定理”。
后来，西方的数学家们将其命名为中国剩余定理。
中国剩余定理是一个非常重要的数论定理，它解决了模运算中的一类复杂问题，并得到了广泛的应用。
二、数论的基本概念在介绍中国剩余定理之前，我们先了解一些基本的数论概念。
在数论中，我们经常碰到关于求余数的问题。
例如，当我们把一个数除以3时，有可能余数是0、1或2。
这种情况下，我们可以用数学符号表示为a ≡b (mod n)，其中a是被除数，b是余数，n是模数。
如果两个数满足这个关系，我们称它们是模n同余的。
三、中国剩余定理的原理中国剩余定理是一种基于同余关系的数论定理，它可以用来解决模n同余的问题。
具体而言，中国剩余定理告诉我们，如果给定了一组两两互质的模数，那么可以通过求解模数的一组同余方程来得到原方程的解。
换句话说，中国剩余定理帮助我们将原问题转化为一组相对简单的方程。
四、中国剩余定理的应用中国剩余定理在密码学和计算机科学中得到了广泛应用。
例如，在RSA 公钥加密算法中，中国剩余定理被用来加速密钥生成和解密过程。
在RSA 算法中，需要对大素数进行模n同余的计算，中国剩余定理的应用大大提高了计算效率。
此外，中国剩余定理还被用于解决模运算的扩展问题。
例如，我们可以利用中国剩余定理来求解模4、模3和模5的同余式，并得到一组解，用于解决一些问题。
中国剩余定理的应用不仅仅限于数论领域，在通信技术、电路设计等方面也有重要的应用。
五、范例让我们通过一个简单的例子来进一步理解中国剩余定理的应用。
中国剩余定理论文
用秦九韶方法证明中国剩余定理摘要：大衍问题源于《孙子算经》中的“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”这是属于现代数论中求解一次同余式方程组问题。
宋代数学家秦九韶在《数书九章》（1247年成书）中对此类问题的解法作了系统的论述，并称之为大衍求一术。
秦九韶在《数书九章》中明确地系统地叙述了求解一次同余组的一般计算步骤。
秦九韶的方法，正是前述的中国剩余定理。
关键词：同余式大衍求一术计算步骤剩余定理英文文摘：Big yan problem stems from "the grandson is the" in "thing don't know the number of questions:" today there are things that I do not know its number, since the number of remaining two, three of those Numbers, the number of remaining 2 groups, ask thing?" This is modern number theory to solve a congruence equations. Qin Jiushao song dynasty mathematicians in the number of book chapter nine > book (1247) in the solution of such problems in system, and call it the big yan asked a. Qin Jiushao explicitly in "the number" nine chapter systematically described the general calculation steps of solving a congruence group. Qin Jiushao method, it is the Chinese remainder theorem前言：秦九韶所创造的“大衍求一术”似乎没有为他同时代的人所充分理解。
数学家秦九韶简介_秦九韶算法简介
数学家秦九韶简介_秦九韶算法简介秦九韶(1208年-1261年)，字道古，汉族，生于普州安岳(今四川省安岳县)。
南宋官员、数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。
秦九韶提出的秦九韶算法是中世纪的数学泰斗。
下面是店铺为你搜集数学家秦九韶简介的相关内容，希望对你有帮助!数学家秦九韶简介作为著名数学家秦九韶来说，他并不是一出生就是数学家，而是凭借着自己对数学方面的喜好和勤奋好学。
在他小时候就很是聪敏勤学，宋绍定四年的时期，秦九韶考中进士，他每每在政务之余，就会对数学进行潜心钻研。
除此之外，他还喜欢广泛的搜集历学、数学、星象、音律、营造等资料，进行分析和研究。
他曾在为母亲守孝时，把长期积累的数学知识和研究所得加以编辑，写成了闻名的巨著《数学九章》，并创造了“大衍求一术”。
被称为“中国剩余定理”。
而其中他所论的“正负开方术”，还被称之为“秦九韶程序”。
他之所以能够成为著名的数学家，跟他的父亲是有密切联系的。
当时他的父亲担任工部郎中和秘书少监的期间，正好是他努力学习和积累知识的时候。
而他的父亲正好掌管营建，以及图书，在他的下属机构还设有太史局，因此，他便有机会阅读大量典籍，同时还可以拜访天文历法和建筑等方面的专家，请教天文历法和土木工程问题。
此外，他又曾向“隐君子”学习数学，向著名词人李刘学习骈俪诗词，并达到较高水平。
秦九韶算法秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法。
在西方则被称作霍纳算法。
它也是中国古代著名和伟大的数学家、中世纪的数学泰斗---秦九韶的算法理论之一。
秦九韶算法具体是将一种将一元n次多项式的求值问题转化为n 个一次式的算法。
它的解答方法大大简化了整个的计算过程，即便是在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法。
而“秦九韶算法”的主人公则是著名人物秦九韶。
他是南宋末年人，出生帝是在鲁郡。
早年曾从隐君子学数术，后因其父往四川做官，便跟随父迁徙。
奇人秦氏九韶 奇书《数书九章》 首创“大衍求一” 媲美《九章算术》 “正负开方”两术 誉称两部九章
78 \China Science & Technology Education Column专 栏［中国科技教育史话］奇人秦氏九韶奇书《数书九章》首创“大衍求一”媲美《九章算术》“正负开方”两术誉称两部九章 王渝生，中国科学院理学博士，教授，博士生导师，国家教育咨询委员会委员，中国科普产学研创新联盟副理事长，中国科学院自然科学史研究所原副所长，中国科学技术馆原馆长，北京市科学技术协会原副主席。
2020年6月5日，经实施四川历史名人文化传承创新工程领导小组会议审议通过，确定文翁、司马相如、陈寿、常璩、陈子昂、薛涛、格萨尔王、张栻、秦九韶、李调元（按年代排序）10位为第2批四川历史名人。
其中，南宋数学家秦九韶（1208—1268）因其数学名著《数书九章》（1247）而入选。
2天后，6月7日，我约当年《秦九韶籍贯考》考证秦氏为四川安岳人的内江市原副市长邵启昌同赴安岳秦九韶纪念馆考察，受到安岳县人大常委会副主任谢贻奎等领导热情接待。
回想1987年在北京师范大学举行的“纪念秦九韶《数书九章》成书740周年国际学术研讨会”（国内又称“全国第一次秦九韶学术研讨会”）上，当时尚为四川省内江市数学教师的邵启昌的论文《秦九韶籍贯考》，力排“鲁郡”山东、河南范县或陕西“秦凤间”的误传，一锤定音，确定了秦九韶是四川普州即今安岳县人。
2000年，我们参与组织了“秦九韶纪念馆落成典礼暨全国第二次秦九韶学术研讨会”。
当时我请中国科学院院长路甬祥题写的馆名“秦九韶纪念馆”还悬挂在纪念馆大门上，我撰文的碑刻《秦九韶其人其书》和邵启昌撰文的碑刻《数书九章 中华之光》仍在纪念馆大厅内秦九韶塑像两侧，迄今已整整20年了。
现在秦九韶纪念馆已被命名为四川省爱国主义教育基地、四川省科普教育基地和四川师范大学数学史教育研究基地，每年前来参观的青少年学生和外地游客络绎不绝。
秦九韶从小生活在家乡安岳，进士出身的父亲秦季槱是一位学识渊博、办事极为认真的知识分子，他对孩子因材施教，特色教导，助推秦九韶稳步成长。
中国剩余定理
中国剩余定理最近在看中国古典数学，对秦九韶的⼤衍术求解⼀次同余⽅程组颇有些⼼得体会，记录⼀下，以免忘记。
⼀次同余⽅程组的解法现在被称为中国剩余定理，即是对我国古代数学家在同余⽅程组求解⽅⾯的杰出贡献的⼀种肯定。
这种⽅法，源于我国古代天⽂历法的推算，由于历代封建统治阶级都把天⽂历算奉为天机，其推算⽅法被称为内算，从不外传，因此很难在流传的算书中找到记载，直到南宋时期秦九韶集前⼈之⼤成，系统⽽全⾯的把⼀次同余⽅程的解法记录在他的著作《数书九章》中。
秦⽒称⾃⼰的解法为⼤衍总数术，现在所说的中国剩余定理只是其中的⼀个主要部分，即当模数两两互素时候的求解⽅法。
秦⽒所研究的问题相当于把模数推⼴到任意有理数的情形，从理论⾓度⽽⾔，唯⼀美中不⾜的是他没有谈到⽅程是否有解的判定，这与中国传统数学重视应⽤⽽忽视理论严密性的习惯有关。
然⽽这⼀点瑕疵丝毫不能掩盖秦⽒在算法设计⽅⾯的杰出贡献，其设计的算法在今天看来仍然是漂亮⽽⾼效的。
在⼤衍术中，秦⽒创造了两个解决⼀般同余⽅程组的主要算法，其⼀是化任意模数为两两互素模数的算法，其⼆就是求解两两互素模数的同余⽅程组的核⼼算法——⼤衍求⼀术。
⼤衍求⼀术的精妙之处在于它可由更相减损术⾃然扩展⽽得，其计算过程简洁巧妙，完全符合现代计算机对算法设计的要求。
⽽对于化任意模数为两两互素模数的算法，秦⽒没有给它命名，因其计算过程要⽐求⼀术复杂得多，甚⾄于后⼈对该算法的理解仍有诸多分歧，因此也有⼈认为秦⽒这⼀算法是不够准确和完美的，并提出了改进的算法。
然⽽，撇开该算法的完美性不说，就这个算法所解决的问题⽽⾔，它恐怕也是⾄今为⽌唯⼀⼀个有效的算法，因为它提供了⼀种不通过分解质因数的⽅式化简N个数为两两互素的⽅法。
我们知道，对于⼤整数的质因数分解，到现在为⽌也还没有⼀个好的算法能做到。
该算法经过后⼈整理，可以简单描述如下（仅限于整数情形，分数、⼩数情形秦⽒也有算法将其转化为整数情况）：第⼀步：两两连环求等（最⼤公约数），约后不约前。
中国古代史上最完美和最值得骄傲的数学成果：中国剩余定理
中国古代史上最完美和最值得骄傲的数学成果：中国剩余定理导言：本文将介绍中国古代最完美和最值得骄傲的数学成果“中国剩余定理”，希望能有更多的读者和学生能重视我们国家的传统文化，并通过对中国剩余定理的了解和学习喜欢上数论。
在中外几乎每一本基础数论的教课书中，都会介绍一个被称之为“中国剩余定理”（Chinese Remainder Theorem）的知识。
在我的印象里，自己是在小学四五年级的时候接触到这个知识的，并知道如何去应用它，但要等到初中后才真正明白其原理。
中国剩余定理是中国古代史上最完美和最值得骄傲的数学成果，它是中国对世界数学思想史的重要贡献。
但很遗憾，现在的孩子大部分都已经不学这部分知识。
距我当年学习这部分内容已经近三十年了，我不知道我们的数学教育到底出了什么问题。
那么，今天我们就来了解和学习一下这个数论中的著名定理“中国剩余定理”。
第一部分：问题的起源中国剩余定理起源于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，因此又名“孙子剩余定理”。
《孙子算经》，中国南北朝数学著作，《算经十书》之一。
全书共分三卷：上卷详细的讨论了度量衡的单位和筹算的制度和方法；中卷主要是关于分数的应用题，包括面积、体积、等比数列等计算题，大致都在《九章》中论述的范围之内；下卷对后世的影响最为深远，如下卷第31题即著名的“鸡兔同笼”问题，后传至日本，被改为“鹤龟算”。
下卷第26题“物不知数”为后来的“大衍求一术”的起源，被看作是中国数学史上最有创造性的成就之一，称为“中国剩余定理”。
经考证，《孙子算经》的作者与《孙子兵法》的孙武并非同一人。
“中国剩余定理”在古代有“韩信点兵”、“鬼谷算”、“求一术”、“隔墙算”、“剪管术”、“秦王暗点兵”、“物不知数”、“孙子定理”之名，是数论中主要命题，它不仅在抽象代数理论中有相应的推广，也被应用到密码学、哥德尔不完全性定理的证明、快速傅里叶变换理论等。
首先，引述《孙子算经》中“物不知数”的原文：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？答曰：二十三。
中国历史数学人物
中国历史数学人物中国历史数学人物：1、秦九韶秦九韶（1208年－1261年），字道古，汉族。
精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，1247年完成著作《数书九章》，其中的大衍求一术（一次同余方程组问题的解法，也就是现在所称的中国剩余定理）、三斜求积术和秦九韶算法（高次方程正根的数值求法）是有世界意义的重要贡献，表述了一种求解一元高次多项式方程的数值解的算法——正负开方术。
源于他对数学的杰出贡献，历史上称秦九韶为“伟大的数学家”。
2、祖冲之、祖暅祖冲之（429-500），字文远。
祖籍范阳郡遒县（今河北涞水县），中国南北朝时期杰出的数学家、天文学家。
他们在《九章算术》刘徽注的基础上，将传统数学大大向前推进了一步，成为重视数学思维和数学推理的典范。
他们同时在天文学上也有突出的贡献。
3、梅文鼎梅文鼎：清朝精通中外数学的数学家，他坚信中国传统数学“必有精理”，对古代名著做了深入的研究，同时又能正确对待西方数学，使之在中国扎根，对清代中期数学研究的高潮是有积极影响的。
4、赵爽，刘徽魏晋时期中国数学在理论上有了较大的发展。
其中赵爽和刘徽的工作被认为是中国古代数学理论体系的开端。
赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明的最早的数学家之一，对《周髀算经》做了详尽的注释。
刘徽注释《九章算术》，不仅对原书的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，你且在论述过程中多有创新，更撰写《海岛算经》，应用重差术解决有关测量的问题。
刘徽其中一项重要的工作是创立割圆术，为圆周率的研究工作奠定理论基础和提供了科学的算法。
5、张衡《后汉书》提到，张衡曾写过一部《算罔论》。
此书迟到唐代已经失传，以至唐代的章怀太子李贤怀疑张衡没写过这部书，而是因为《灵宪》是网络天地而算之，故称《灵宪算罔论》。
从《九章算术·少广》章第二十四题的刘徽注文中得知有所谓“张衡算”，因此，张衡写过一部数学著作是应该肯定的。
从刘徽的这篇注文中可以知道，张衡给立方体定名为质，给球体定名为浑。
关于数学的传奇人物故事-秦九韶
关于数学的传奇人物故事-秦九韶秦九韶想必知道他的人其实是比较少的，所以小编想把他的事迹告诉大家，让更多人认识到我们祖国曾经有过这么伟大的数学家!简介秦九韶(1208年-1268年)，字道古，汉族，生于普州安岳(今四川省安岳县)人，祖籍鲁郡(今河南范县)。
南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。
精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，历任琼州知府、司农丞，后遭贬，卒于梅州任所，1247年完成著作《数书九章》，其中的大衍求一术(一次同余方程组问题的解法，也就是现在所称的中国剩余定理)、三斜求积术和秦九韶算法(高次方程正根的数值求法)是有世界意义的重要贡献，表述了一种求解一元高次多项式方程的数值解的算法——正负开方术。
人物生平秦九韶，字道古。
普州安岳(今四川安岳)人，祖籍鲁郡(今河南范县)。
中国古代数学家。
南宋嘉定元年(1208年)生;约景定二年(1261年)被贬至梅州，咸淳四年(1268)二月，在梅州辞世，时年61岁。
秦九韶其父秦季栖，进士出身，官至上部郎中、秘书少监。
秦九韶聪敏勤学。
宋绍定四年(1231)，秦九韶考中进士，先后担任县尉、通判、参议官、州守、同农、寺丞等职。
先后在湖北、安徽、江苏、浙江等地做官，1261年左右被贬至梅州，不久死于任所。
他在政务之余，对数学进行潜心钻研，并广泛搜集历学、数学、星象、音律、营造等资料，进行分析、研究。
宋淳祜四至七年(1244至1247)，他在为母亲守孝时，把长期积累的数学知识和研究所得加以编辑，写成了闻名的巨著《数学九章》，并创造了“大衍求一术”。
被称为“中国剩余定理”。
他所论的“正负开方术”，被称为“秦九韶程序”。
世界各国从小学、中学到大学的数学课程，几乎都接触到他的定理、定律和解题原则。
秦九韶祖籍鲁郡(今河南范县)，其父秦季槱，字宏父，绍熙四年(1193)进士，后任巴州(今四川巴中)守.嘉定十二年(1219)三月，兴元(今陕西汉中)军士张福、莫简等发动兵变，入川后攻取利州(今广元)、阆州(今阆中)、果州(今南充)、遂宁(今遂宁)、普州(今安岳)等地.在哗变军队进占巴州时，秦季槱弃城逃走，携全家辗转抵达南宋都城临安(今杭州)。
中国剩余定理
论述中国剩余定理的形成及对教育的影响摘要：“中国剩余定理”是由秦九韶从“孙子定理”的基础上推广而来的，本文从论述中国剩余定理的形成到中国剩余定理的主要方法和对现代教育的影响来写。
中国剩余定理在高中有初步的基础应用，在大学中的初等数论中该定理得到了仔细的讲解。
中国剩余定理的思想方法和原则不仅有光辉的历史意义,而且在近代数学中仍然有着重大影响和作用。
关键词：中国剩余定理（孙子定理）数学教学影响引言随着数学学科的发展，数学方面的知识得到了不断的更新和强化。
在数学发展史上，剩余问题（即：在整数除法里，一个数同时除以几个数，整数商后，均有剩余；已知各除数及其对应的余数，要求适合条件的这个被除数。
这类问题统称剩余问题）曾经困扰过人们很长一段时间。
这个问题的解决，是我们中国人迈出了开拓性的第一步。
如果说，一部中国数学发展史像一条渊远流长的河流，那么几千年来祖先们取得的辉煌成就，就是这河流中耀眼的浪花。
在祖先取得的成就中有一个“中国剩余定理”。
大家都知道，“勾股定理”最早是由我国西周时期的商高发现的，但国外却称其为“毕达哥拉斯定理”，法国称为“驴桥定理”，埃及称为“埃及三角形”等。
还有“增乘开方法”，最早是由我国宋代的贾宪发明的，但现代数学却称其为“霍纳法”，贾宪的发明比霍纳早了800年。
而中国剩余定理则是唯一一个以我国国名命名的定理，大家一定对这个定理很感兴趣，很想知道关于这个定理的故事。
现在我就为大家简单介绍一下“中国剩余定理”。
1、中国剩余定理的简介及形成在我国古代劳动人民中，长期流传着“隔墙算”、“剪管术”、“秦王暗点兵”等数学游戏。
有一首“孙子歌”，甚至远渡重洋，输入日本：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。
”这些饶有趣味的数学游戏，以各种不同形式，介绍世界闻名的“孙子问题”的解法，通俗地反映了中国古代数学一项卓越的成就。
“孙子问题”在现代数论中是一个一次同余问题，它最早出现在我国公元四世纪的数学著作《孙子算经》中。
秦九韶与中国剩余定理
北區國中「數學史融入數學教學」工作坊-作品6秦九韶與中國剩餘定理金門縣金城國中宋文法教師一、前言古代中國人的三大發明：指南針、造紙術及火藥，影響整個世界既深且廣。
中國古代的數學成就，更是在整個世界的數學知識歷史發展中，占有舉足輕重的角色，譬如說吧，除了商高定理、圓周率的逼近、劉徽的極限割圓術之外，還有由外國人所命名的中國剩餘定理。
談到這個世界聞名的數論問題，我們更不能不談到南宋秦九韶的貢獻。
二、自小勤奮好學的秦九韶秦九韶（1202-1261年），南宋末期人物。
他天性敏慧，勤奮好學，幼年随父居中都（今南京），受到名師指導，學習日益增進，在建築方面也極有才能。
秦九韶曾先後擔任縣尉、通判、参議官、州守、司農、寺丞等職。
他雖置身政治，但對數學的研究並未放棄。
在政務之餘，還廣泛搜集曆學、數學、星象、音律、營造等資料，進行分類研究。
宋朝淳祜四至七年間（1244-1247），他把長期研究積累的數學知識加以编輯，在浙江湖州完成了《數書九章》十八卷。
此時中國的局勢，正是在蒙古入侵中原，兵荒馬亂的動盪時期，秦九韶因此書而名留千古。
三、孫子問題在《孫子算經》下卷第二十六題是一個舉世聞名的數學問題，2一般人稱它為「孫子問題」3：2清代戴震根據該書中有出現長安、洛陽、佛書等用語，排除該書作者為春秋軍事家孫武，近人錢寶琮認為《孫子算經》成書在西元400年(南北朝時期)左右。
《孫子算經》是一部在古代供數學初學者使用的入門書，包括度量衡制度、大數進位法、籌算記數法、九九乘法表及整數乘除法等。
困擾現在小學生的雞兔同籠問題，也早就出現在此書。
3也稱「物不知數」問題，中國後來的「韓信點兵」、「鬼谷算」、「隔墻算」、「剪管術」、「秦王暗點兵」之名，皆是指同一類的數論命題別名。
今有物，不知其數。
三三數之，賸二；五五數之，賸三；七七數之，賸二。
問物幾何？《孫子算經》所給的解法如下：術曰：三三數之賸二，置一百四十；五五數之賸三，置六十三；七七數之賸二，置三十；併之，得二百三十三，以二百一十減之即得。
(完整版)论大衍求一术
论「大衍求一术」姓名学号专业课程名称指导教师开课学期20 至20 学年学期论「大衍求一术」目录1.秦九韶简介2.宋元时期历史背景3.大衍求一术4.中国剩余定理：5.“大衍求一术”源流6.“大衍求一术”命名7.“大衍求一术”的应用8.例题解析9.大衍求一术算法（用Algol 60 语言）10.民间流传论「大衍求一术」一、秦九韶秦九韶（公元1202~1261年），字道古，生于四川，南宋数学家。
秦九韶的一生十分复杂，首先他是学者，知识渊博，思想活跃。
他“性格机巧，星象、音律、算术以至营造等事无不精究。
迩尝从李梅亭（李刘）学骈俪诗词。
游戏、马、弓、剑，莫不能知。
”秦九韶从自然科学到社会科学，从技术到天文，从游戏到武术无不通晓，是为但是我国不可多得的通才、全才。
他在1247年著成『数书九章』十八卷。
全书共81道题，分为九大类：大衍类、天时类、田域类、测望类、赋役类、钱谷类、营建类、军旅类、市易类。
『数书九章』是一部划时代的巨着，它总结了前人在开方中所使用的列筹方法，将其整齐而有系统地应用到高次方程的有理或无理根的求解上去，其中对「大衍求一术」（一次同余组解法）和「正负开方术」（高次方程的数值解法）等有十分深入的研究。
『数书九章』的内容以数学为主，可是把数学用于天文历法、水利工程、建筑、测绘、田亩、军事、商业贸易、税收、气象、货币金融等方面。
这也充分说明秦九韶不仅学识渊博，而且有实践精神。
但是『数书九章』也有他的美中不足之处，周密说秦九韶“性喜奢好大，嗜老谋身”，他在著作中也有好高骛远哗众取宠的作风。
他为了发挥大衍求一术的公用，多方设计可用求一术来解决的应用问题，他而主观愿望积极，但是无可讳言有几个问题出现了纰漏。
二、历史背景宋元时期是中国数学大放异彩的时期，它像一盏灿烂的明灯，表明了世界数学发展的高度，宋元数学为什么会出现如此盛况呢？我们要从宋元社会的特点和中国数学发展规律中寻找答案：整个宋元时期（公元），重新统一了的中国封建发生了一系列有利于数学发展的变化。
中国剩余定理的背景及证明
毕业设计（论文）题目名称：中国剩余定理的背景及证明院系名称：理学院班级：数学与应用数学081班学号：学生姓名：********2012年4月中国剩余定理的背景及证明摘要本文主要讨论了中国剩余定理的背景、由来、证明方法以及一些简单的应用, 文中阐述了中国剩余定理的由来，介绍了它的几种解法，及其它在多项式，现代密码学，生活方面的应用. “中国剩余定理”是由秦九韶从“孙子定理”的基础上推广而来的，本文从论述中国剩余定理的形成到中国剩余定理的主要方法和对现代教育的影响来写。
中国剩余定理在高中有初步的基础应用，在大学中的初等数论中该定理得到了仔细的讲解。
中国剩余定理的思想方法和原则不仅有光辉的历史意义，而且在近代数学中仍然有着重大影响和作用。
关键词：中国剩余定理；证明；多项式；应用；影响THE BACKGROUND AND PROOF OFTHE CHINESE REMAINDER THEOREMABSTRACTThis paper mainly discusses the remainder theorem of the background and origin, and some simple ways to prove the application, this paper expounds the origin of the Chinese remainder theorem is introduced, and a few of its solution, and other in polynomial, modern cryptography, the application of life. "the Chinese remainder theorem" is by JiuShao Qin from "grandson theorem" in the foundation to promote, this paper discusses the formation of the Chinese remainder theorem to Chinese remainder theorem, the main method and modern education to the influence of writing. The Chinese remainder theorem in high school to have a preliminary foundation application, the elementary theory in university in this theorem got the sense of the carefully. The Chinese remainder theorem method and principle of thought not only a glorious history significance, and in modern mathematics still have significant influence and function.Keywords:1 引言中国剩余定理源于我国古代《孙子算经》, 其中有一题: “ 今有物不知其数, 三三数之剩二, 五五数之剩三, 七七数之剩二, 问物几何？” 这就是求解一次同余式组:⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≡≡≡)7(mod 2)5(mod 3)3(mod 2x x x 《孙子算经》中给出最小正整数解23, 解法传至今世。
中国剩余定理
中国剩余定理中国剩余定理缘起自求解一次同余式问题。
《孙子算经》中有“物不知其数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”用现代数学符号表示，这相当于求解一次同余式组()()()2mod 33mod 52mod 7N N N ≡⎧⎪≡⎨⎪≡⎩的最小正整数解。
《孙子算经》中给出了此题的解法及答案。
对于更一般的情况，南宋数学家秦九韶在他的划时代巨著《数学九章》中提出了“大衍总数术”，明确、系统地叙述了求解一次同余式组的一般方法。
在西方，经过欧拉、拉格朗日、高斯三代人、前后六十多年努力，才完成了一次同余式理论的建立，得到了与秦九韶一致的算法，并给出了严格的证明。
后人称之为“中国剩余定理”。
中国剩余定理是我国古代数学家为世界数学发展做出的巨大贡献，它其中蕴含的深刻的数学思想在近代数学中占有同样重要的地位。
在抽象代数的理论中，整数集与一元多项式集都属于主理想整环，有着许多相似的性质。
关于整数的中国剩余定理可以自然地推广到一元多项式环上，得到如下结果： 设()()()12,,,n m x m x m x 是n 个两两互素的多项式，()()()12,,,n a x a x a x 是任意n 个多项式，则一定存在多项式()f x 满足：()()()()()()()()()()()()1122mod mod mod n n f x a x m x f x a x m x f x a x m x ⎧≡⎪≡⎪⎨⎪⎪≡⎩并且在()()()()()()12mod n m x m x m x m x m x =意义下是唯一的。
也就是说，次数小于()m x 的()f x 是唯一确定的。
特别地，当()i m x 均为一次多项式时，上面的结果即等价于插值多项式的存在与唯一性定理，从而可得出著名的拉格朗日插值多项式。
不仅仅是主理想环，在更一般的含单位元1的交换环上，我们也有类似结论。
此外，中国剩余定理在赋值论中也起着不可或缺的作用，而赋值论是研究代数数论和交换代数的重要工具。
中国剩余定理
中国剩余定理
中国剩余定理，又称中国余数定理，是数论中的一个关于一元线性同余方程组的定理，说明了一元线性同余方程组有解的准则以及求解方法。
一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：
有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。
问物几何？
即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。
《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。
宋朝数学家秦九韶于1247年《数书九章》卷一、二《大衍类》对“物不知数”问题做出了完整系统的解答。
明朝数学家程大位在《算法统宗》中将解法编成易于上口的《孙子歌诀》：
三人同行七十希，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知
这个歌诀给出了模数为3、5、7时候的同余方程的秦九韶解法。
意思是：将除以3得到的余数乘以70，将除以5得到的余数乘以21，将除以7得到的余数乘以15，全部加起来后再减去105或者105的整数倍，得到的数就是答案（除以105得到的余数则为最小答案）。
比如说在以上的物不知数问题里面，使用以上的方法计算就得到。
中国剩余定理matlab
中国剩余定理matlab【原创实用版】目录1.介绍中国剩余定理2.概述 Matlab3.中国剩余定理与 Matlab 的结合4.应用案例5.总结正文1.介绍中国剩余定理中国剩余定理，又称为孙子定理或秦九韶算法，是我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中提出的一种数学算法。
该定理描述了一组整数线性方程组的解法，其解法可以推广到任意多个未知数的线性方程组。
中国剩余定理在我国古代数学发展史上具有重要地位，它为现代计算机科学中的算法设计与分析提供了理论基础。
2.概述 MatlabMatlab 是一种广泛应用于科学计算、数据分析、可视化和算法开发的编程语言。
它基于矩阵计算，具有丰富的函数库和强大的计算能力，使得用户可以方便地处理复杂的数学问题。
Matlab 同时具有交互式和编程两种操作方式，用户可以根据需要灵活选择。
3.中国剩余定理与 Matlab 的结合将中国剩余定理应用到 Matlab 中，可以实现对一组整数线性方程组的高效求解。
在 Matlab 中，可以通过编写相应的算法实现中国剩余定理，进而解决线性方程组问题。
例如，可以利用 Matlab 的矩阵操作功能，实现对中国剩余定理中系数矩阵的快速处理，从而提高求解效率。
4.应用案例假设我们有如下一组整数线性方程组：x + 2y + 3z = 102x - y + z = 153x + y - z = 5我们可以使用中国剩余定理在 Matlab 中求解该方程组，具体步骤如下：（1）将系数矩阵表示为增广矩阵（2）计算增广矩阵的行列式（3）计算矩阵的逆矩阵（4）根据逆矩阵和增广矩阵，求解方程组的解通过 Matlab 实现中国剩余定理，可以得到方程组的解为：x = 1, y = 2, z = 3。
5.总结中国剩余定理与 Matlab 的结合，使得我们可以高效地处理整数线性方程组问题。
在实际应用中，这种结合可以帮助我们更好地解决实际问题，提高科学计算的效率。
认真阅读3个数学家或科学家的故事并写出500字的读
篇一秦九韶，南宋数学家，1247年完成著作《数书九章》，其中“中国剩余定理”、三斜求积术和秦九韶算法（高次方程正根的数值求法）是有世界意义的重要贡献。
在中国数学史上，广泛流传着一个“韩信点兵”的故事：韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为汉朝的建立立下了卓绝的功劳。
据说韩信的数学水平也非常高超，他在点兵的时候，为了保住军事机密，不让敌人知道自己部队的实力，先令士兵从1至3报数，然后记下最后一个士兵所报之数：再令士兵从1至5报数，也记下最后一个士兵所报之数：最后令士兵从1至7报数，又记下最后一个士兵所报之数：这样，他很快就算出了自己部队士兵的总人数，而敌人则始终无法弄清他的部队究竟有多少名士兵？因为《孙子算经》早就对这类问题有过研究，但只是初具雏形，还远远谈不上完整。
因此，后人把这一命题及其解法称为“孙子定理”主要是推崇《孙子算经》在这一类问题处理上的时间领先，其实想法的成熟，还有待提高。
为了解决“孙子问题”中的不足，秦九韶推广了“孙子问题”的解法，从而提出了“中国剩余定理”。
秦九韶经过长期的积累和苦心钻研，于公元1247年写成《数书九章》。
这部中世纪的数学杰作，在许多方面都有所创造，其中求解一次同余组的“大衍求一术”和求高次方程数值解的“正负开方术”，更是具有世界意义的成就。
正是因为这样，在西方数学史著作中，一直公正地称求解一次同余组的剩余定理为“中国剩余定理”。
篇二约瑟夫·路易斯·拉格朗日(1736-1813)，18世纪的伟大科学家。
他在数学、力学和天文学三个学科中都有历史性的重大贡献，但尤以数学方面的成就最为突出，拿破仑曾称赞他是“一座高耸在数学界的金字塔”，他最突出的贡献是在把数学分析的基础脱离几何与力学方面起了决定性的作用。
拉格朗日出生在意大利的都灵。
由于是长子，父亲一心想让他学习法律，然而，拉格朗日对法律毫无兴趣，偏偏喜爱上文学。
直到16岁时，拉格朗日仍十分偏爱文学，对数学尚未产生兴趣。
中国剩余定理及秦九韶算法
中国剩余定理的程序：含有三个子程序程序1：function x = basic_sz_th(remainders, primes)%:本程序解决基本的同余方程：例如（x by 3, reminder: 2；x by 5, reminder: 3）%reminders, primes: 2*1 array which are intergets%检查输入是否满足要求if (numel(remainders)~=2 || numel(primes) ~= 2) %numel返回满足条件的元素个数error('incorrect inputs');endif(gcd(primes(1), primes(2)) ~= 1)error('incorrect input argument --> primes');end%找出较大的那个素数[chosen_prime, chosen_idx] = max(primes);%chose_idx表示max（primes）在原primes 的位置chosen_remainder = remainders(chosen_idx);[candidates_size, check_idx] = min(primes);check_remainder = remainders(check_idx);lambda_candidates = [0:candidates_size-1]*chosen_prime + chosen_remainder;%lambda_candidates一定能被chosen_prime整除后余chosen_remainder。
%接下找出lambda_candidates的一个能被candidates_size整除后也余check_remainder 即可lambda_found = 0;%标识for i=1:candidates_sizeif rem(lambda_candidates(i),candidates_size) == check_remainderlambda_found = 1;break;endendif lambda_found == 1x =lambda_candidates(i);elseerror('no solution');end程序2：function [remainders, primes] = sz_reduce_th(remainders, primes)%Affect: reduce a generally szt problem gradually to a basic szt%0. check inputs:if (numel(remainders) ~= numel(primes))error('the dimension of remainders and primes must agree.');endif (numel(remainders) <= 2)error('the input problem is already a trivial or basic szt problem');%1.reduce the first 2 module equations into 1 module equation using%'basic_szt':reduced_remainder = basic_sz_th(remainders(1:2), primes(1:2));reduced_prime = primes(1)*primes(2);%2. reducing result:remainders = [reduced_remainder, remainders(3:end)];primes = [reduced_prime, primes(3:end)];程序3：function x= sunzi_theorem(remainders, primes)%本程序用来求解中国剩余定理%remainders, primes: 1*N array；x: the solution%检查输入是否满足要求length_primes=length(primes);for i=1:length_primesfor j=i+1:length_primesif gcd(primes(i),primes(j))~=1;error('not prime to each other');endendendif numel(remainders) ~= numel(primes)error('number of elements between reminders and primes must agree'); end%1.trivial case:if numel(remainders) == 1x = remainders;end%2.reduce to the basic case:while length(remainders) > 2[remainders, primes] = sz_reduce_th(remainders, primes);end%3.basic case:x = basic_sz_th(remainders, primes);计算：remainders=input('给出同于方程组的余数\nremainders=');primes=input('给出同于方程组的除数\nprimes=');x = sunzi_theorem(remainders,primes);m=length(primes);prime=1;for i=1:mprime=prime*primes(i);disp('--------the result ---------------');fprintf('x≡%d(mod %d)\n',x,prime)秦九韶程序：function [p_x0,dp_x0]=qinjiushao(A,x0)%%%%A表示多项式系数矩阵，x0为所求多项值点。
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秦九韶与中国剩余定理报告人：宋文法一、前言：中国人的三大发明：指南针、造纸术及火药，影响整个世界既深且广。
中国古代的数学成就，更是在整个世界的数学知识历史发展中，占有举足轻重的角色，甚至是领先外国发现很久很久的，除了商高定理、圆周率的逼近、刘徽的极限割圆术，还有中国人的中国剩余定理，而谈到这个世界闻名的数论问题，更不能不谈南宋末年秦九韶的贡献。
二、自小勤奋好学的秦九韶：秦九韶（1202--1261年），南宋末期人物。
秦九韶性敏慧，勤奋好学，幼年随父居中都（今北京），受到名师指导，学习日益增进，在建筑方面也极有才能。
宋朝绍定四年（公元1231年），秦九韶考中进士，先后担任县尉、通判、参议官、州守、司农、寺丞等职。
他虽置身政治，但对数学的研究并未放弃。
在政务之余，还广泛搜集历学、数学、星象、音律、营造等数据，进行分类研究。
宋朝淳祜四至七年间（1244--1247），把长期研究积累的数学知识加以编辑，以四年的时间，在1247年九月，在浙江湖州完成了《数书九章》十八卷，此时中国的局势，正是在蒙古入侵中原，兵荒马乱的动荡时期，秦九韶因此书而名留千古。
三、孙子问题：在《孙子算经1》下卷第二十六题是一个举世闻名的数学问题，一般人称它为「孙子问题」2：今有物，不知其数。
三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二。
问物几何？《孙子算经》所给的答案是：1清代戴震根據該書中有出現長安、洛陽、佛書等用語，排除該書作者為春秋軍事家孫武，近人錢寶琮認為《孫子算經》成書在西元400年(南北朝時期)左右。
《孫子算經》是一部在古代供數學初學者使用的入門書，包括度量衡制度、大數進位法、籌算記數法、九九乘法表及整數乘除法等。
困擾現在小學生的雞兔同籠問題，也早就出現在此書。
2也稱「物不知數」問題，中國後來的「韓信點兵」、「鬼谷算」、「隔墻算」、「剪管術」、「秦王暗點兵」之名，皆是指同一類的數論命題別名。
「术曰：三三数之剩二，置一百四十；五五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十；并之，得二百三十三，以二百一十减之即得。
」而所给这类问题的一般解法则为：「凡三三数之剩一，则置七十；五五数之剩一，则置二十一；七七数之剩一，则置十五；一百六以上，以一百五3减之即得。
」也就是说，求出5和7的最小公倍数35的倍数中除以3余数为1的最小一个数为70（而70就称为相对于3的『数论倒数』），3和7的最小公倍数21相对于5的『数论倒数』为21，3和5的最小公倍数15相对于7的『数论倒数』为15。
最后乘上它们各别的余数值2，3，2：70×2＋21×3＋15×2＝140＋63＋30＝233233便是可能的解之一。
它加减3、5、7的最小公倍数105的若干倍仍然是解，因此最小的解为233除以105的余数23，即：233－2×105＝233－210＝2370、21、15、105这四个常数显然很重要，为了便于学习者记忆，秦九韶于1247年写下如下口诀4：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知。
四、秦九韶的大衍求一术：《孙子算经》虽已给出答案得数为23，但未给予理论上的证明以及详细的找解过程，例如如何找出70、21即15呢？若数字更大且更复杂，有没有快速、一统的方法呢？也就是说，若有一些两两互质的整数，则下列联立同余方程组对模的最小正整数解N ，如何有系统的找出来呢？()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡≡≡n n m r N m r N m r N mod ...mod mod 22113按古時一百六，一百五是指106、105；一百六十、一百五十才是160、1504明代數學家程大位在”算法統宗”（1592）一書中，也把這種解法編成了詩歌：「三歲孩兒七十稀，五留二十一事尤奇；七度上元重相會，寒食清明便可知」。
特別注意：上元為元月15，清明乃冬至後106天，寒食為清明前一天，第105天。
在前一节的叙述中，《孙子算经》”物不知数”问题中的三个重要『数论倒数』，70为(5×7)的2倍，21为(3×7)的1倍，15为(3×5)的1倍。
也就是说，如何求出满足：()i i i m m M a mod 1≡⨯ 的权值a i ，（其中M ＝m 1×m 2×m 3×…×m n ），显然是全部问题的关键了。
这些解法与过程，秦九韶在他的《数书九章》书中的”大衍求一术”有了相当清楚、详细的解法，借用现代的数学符号，我们说明如下：首先，由i m M连续减去m i ，使最后得出的G 满足G ＜m i ，秦九韶摆开筹式，如下图最左边的方格，其算法原文是：先以右上除右下，(以G 除i m )，所得商数(I Q )与左上一相生(按：相乘)入左下(按：加入左下，与此同时把i m 改为G 除i m 时的余数i R )然后乃以右行上下以少除多，递互除之(按：辗转相除，并不断地用新的余数去代替旧的余数)，所得商数随即递互累乘，归左行上下，须使右上末得奇一而止（直算至右上角的数目变为1乃止）。
乃验左上所得，以为乘率（即i a ）。
也就是说，假设辗转相除法所得的商数依次为n 321Q ,Q ,Q ,Q ⋅⋅⋅⋅⋅，余数为n 321R R ,R ,R ⋅⋅⋅⋅⋅，并把左行上下历次算得的各数改为3K ,K ,K ,K ⋅⋅⋅⋅⋅，则方格中上下左右四个数的变化为：＞＞＞＞--- --- 11R GQ m i += 11Q K = 221R Q R G += 1K Q K 122+= 3321R Q R R += 1233K K Q K += 4432R Q R R += 2344K K Q K +=5543R Q R R += 3455K K Q K += . . . . . . . .n n 1n 2n R Q R R +=-- (1R n =) 2n 1n n n K K Q K --+= 最后得到的n K 就是所求的i a 。
（注：n 必须是偶数。
若G 为1时，1a i =。
若1n R -已为1（即n-1为奇数）时，可取1R Q 2n n -=-（但1G Q 2-=）则第n 次的n R 仍为1）现在我们用一个具体例子来说明，如求同余式 )82(mod 11993≡⨯a式中 n = 82 G = 1993 －24×82 = 25 此时(两串算式为)n = 82 = 25×3 + 7 1K = 3G = 25 = 7×3 + 4 2K = 3×3 + 1 = 10 1R = 7 = 4×1 + 3 3K = 1×10 + 3 = 13 2R = 4 = 3×1 + 1 4K = 1×13 + 10 = 23最后，当4R = 1时，因为4为偶数，所以4K = 23 即为所求之a 。
＞＞ ＞ ＞现在我们可以来看前面所提的《孙子算经》上的”孙子问题”，代入”大衍求一术”公式可知：1m = 3 2m = 5 3m = 7 1r = 2 2r = 3 3r = 2 M = 3×5×7 = 105 N )3.(mod 2≡ )5.(mod 3≡)7.(mod 2≡ 1.3537531=⨯⨯=m M 35=3×11+2 得G=2 11*23111+=+==R GQ m 1Q K 11== 1R 1= 1为奇数，故取1121G Q 2=-=-=即11*1R Q R 2G 221+=+== 211*11K Q K 122=+=+= 所以 2K a 21== (乘率)其方块图的变化为＞ ＞ 右上角为1时，左上角之值为2，故乘率1a = 22. 2157532=⨯⨯=m M 21=5×4+1 得G=1 所以 乘率2a = 1其方块图为 右上角已为1，故取此时左上角之值1即为其 2a 3.1577533=⨯⨯=m M 15 = 7×2+1 得G=1 所以 乘率3a = 1其方块图为 右上角已为1，故取此时左上角之值1即为其乘率3a故 N =（333222111m Ma r m a r m M a r ++）－ P ×M =（2×2×35+3×1×21+2×1×15）－ P ×105 = 233 － 105×P取P = 2 得N = 233 ×105×2 = 23 所以23为此题之最小正整数解。
五、历史的肯定、留芳后世，也是吊诡的历史：当时秦九韶把《数书九章》推荐给南宋朝庭，希望得到重视和推广。
但由于朝庭昏庸无能，管场勾心斗角，得不到重视。
秦九韶抑郁成疾，于宋景定二年病逝，终年59岁。
在1852年时，英国来华的传教士伟烈亚力（A . Wylie）在”中国科学摘记”一书中，向欧洲人介绍中国古人的这个数学发现，以及南宋之后的数学家在这方面的工作，尤其是秦九韶在这方面的研究工作十分透测，在解法与各种情况的讨论上均给予相当深入的说明与解释，这个成就比欧洲早了五百多年5。
以后的数学家都公认这个定理是中国人最早发现的，因此，特别称之为「中国剩余定理」。
六、参考书籍郭书春、刘钝校对，2001，算经十书，九章出版社李俨、杜石然，1992，中国古代数学简史，九章出版社5《孫子算經》書成之時較尤拉（Euler，1707-1789）和高斯（Gauss，1777-1855）的聯立一次同餘式公解研究，早了一千多年。