第三章 扭转
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dx
§3.4 圆轴扭转时的应力
3. 静力关系
T A dA
A
G
d
dx
dA
T
G d 2dA
dx A
令 IP
2dA
A
d T
dx GIP
抗扭刚度：截面抵抗 扭转变形的能力
§3.4 圆轴扭转时的应力
4. 扭转切应力的一般公式
d T
dx GIP
G
d
dx
二、最大扭转切应力
max
T max
IP
Wt
IP
max
T
IP
max
T Wt
§3.4 圆轴扭转时的应力
三、极惯性矩与抗扭截面系数
1. 实心圆截面
IP
2dA
A
d 2
2
(2d
)
d
4
0
32
d3
Wt 16
2. 空心圆截面
D
IP
2dA
A
2 d
2 (2 d
)
2
(D4 d 4 ) D4(1 4 )
32
32
Wt
D3 (1 4 )
右手螺旋法则 右手拇指指向外法线方向为正(+),反之为负(-)
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
扭矩图
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
例题3.1
传动轴,已知转速 n=300r/min,主动轮A输入功率PA=45kW,
三个从动轮输出功率分别为 PB=10kW,PC=15kW,PD=20kW.试绘轴
的扭矩图.
解: (1)计算外力偶矩 由公式 M e 9549P / n
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
(2)计算扭矩 (3) 扭矩图
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
MB
MC
MD
MA
T3 M A 1432N m
Tmax 1432N m
传动轴上主、 从动轮安装的位 置不同，轴所承 受的最大扭矩也 不同。
B
C
D MA A
T3
A
318N.m
795N.m
1432N.m
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
§3.3 纯剪切
一、薄壁圆筒扭转时的切应力
观察到：
各圆周绕轴线相对转动，形状、大小、距离不变 ；各纵向线倾斜相同的角度，仍为直线，表面矩形 变为平行四边形。
§3.3 纯剪切
各圆周绕轴线相对转动，形状、大小、距离不变； 各纵向线倾斜相同的角度，仍为直线，表面矩形变为 平行四边形。
三、切应变 剪切胡克定律
当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应力 与切应变成正比。
G
剪切弹性模量
弹性模量、剪切弹性模量、 泊松比之间的关系
G E
2(1 )
τ
§3.4 圆轴扭转时的应力 一、圆轴扭转时的应力
1. 变形几何关系
各圆周绕轴线相对转动，形状、大小、距离不变；各 纵向线倾斜相同的角度，仍为直线，表面矩形变为平行 四边形。
按输入功率和转速计算
已知 轴转速－n 转/分钟 输出功率－P 千瓦 求：力偶矩Me
电机每秒输入功： 外力偶作功完成：
W P 1000(N m)
W
Me
2
n 60
P
P
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 2.扭矩和扭矩图
用截面法研究横 截面上的内力
T = Me
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 扭矩正负规定
§3.4 圆轴扭转时的应力
·平面假设
圆轴扭转变形前原为平面的横 截面，变形后仍为平面，形状、 大小不变，半径仍为直线，两相 邻截面间的距离不变。
·切应变在横截面上的分布
tan
dd ad
d
dx
d
dx
§3.4 圆轴扭转时的应力
2. 物理关系
d
dx
G
G
d
dx
d 未知，与内力、材料、截面有关
扭转受力特点 及变形特点:
杆件受到大小相等,方向相反且作用平 面垂直于杆件轴线的力偶作用, 杆件的横截 面绕轴线产生相对转动。
受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横 截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴 扭转。
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
1.外力偶矩
直接计算
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
16
§3.4 圆轴扭转时的应力
四、扭转失效与扭转极限应力
1. 塑性材料的扭转失效
断口材料呈片状，剪 切破坏
断口横截面，最大切 应力引起剪切破坏
横截面上的最大切应 力即扭转屈服应力为扭转 极限应力。
低碳钢抗剪能力 比抗拉能力差
§3.4 圆轴扭转时的应力 2. 脆性材料的扭转失效
断口45o的螺旋面，最大 拉应力引起的脆性断裂
断口材料呈颗粒状，脆 性断裂破坏
铸铁抗拉能力比 抗剪能力差
横截面上的最大切应力即扭转强度极限为扭转极 限应力。
§3.4 圆轴扭转时的应力
五、圆轴扭转的强度条件
max
T ( Wt
)max
1. 等截面圆轴：
2. 阶梯形圆轴：
max
Tmax Wt
max
T ( Wt
)max
§3.4 圆轴扭转时的应力
微元体无轴向、横向正应变，存在垂直于半径方向 的切应变，圆周上所有的剪切变形相同。
圆周上各点在轴向、横向无正应力，在垂直于半径 方向上有相同的切应力。
§3.3 纯剪切
圆周上各点在轴向、横向无正应力，在垂直于半径 方向上有相同的切应力。
Me
Me
由于管壁很薄，近似认为切应力沿壁厚均匀分布
Me
2 0
强度条件的应用
（1）校核强度
max
Tmax Wt
max
Tmax Wt
（2）设计截面
Wt
Tmax
源自文库
（3）确定载荷
Tmax Wt
§3.4 圆轴扭转时的应力
例题3.2
某传动轴，轴内的最大扭矩T = 1.5kN·m ，若许用切应力 [τ] = 50PMa。试按下列两种方案确定轴的横截面尺寸，并 比较其重量。⑴实心圆截面。⑵空心圆截面，其内外径的 比值di /d0 = 0.9。
第三章 扭转
第三章 扭 转
§3.1 扭转的概念和实例 §3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 §3.3 纯剪切 §3.4 圆轴扭转时的应力 §3.5 圆轴扭转时的变形 §3.7 非圆截面杆扭转的概念
§3.1 扭转的概念和实例 汽车传动轴
§3.1 扭转的概念和实例 汽车方向盘
§3.1 扭转的概念和实例
R02d
2 R02
Me
2 R02
§3.3 纯剪切
二、切应力互等定理
1. 纯剪切 微元体的四个侧面上只存在切应力无正应力。
Mz(F) 0 :
( dy)dx ( dx)dy
2. 切应力互等定理 在微元体的两个互相垂直的截面上，垂直于截面交线 的切应力数值相等，方向均指向或背离该交线。
§3.3 纯剪切
解： ⑴ 计算实心轴直径
max
T Wt
T
d 3 / 16
3
16T
3
16 1.5 103
d 50106 53.5mm
§3.4 圆轴扭转时的应力
§3.4 圆轴扭转时的应力
3. 静力关系
T A dA
A
G
d
dx
dA
T
G d 2dA
dx A
令 IP
2dA
A
d T
dx GIP
抗扭刚度：截面抵抗 扭转变形的能力
§3.4 圆轴扭转时的应力
4. 扭转切应力的一般公式
d T
dx GIP
G
d
dx
二、最大扭转切应力
max
T max
IP
Wt
IP
max
T
IP
max
T Wt
§3.4 圆轴扭转时的应力
三、极惯性矩与抗扭截面系数
1. 实心圆截面
IP
2dA
A
d 2
2
(2d
)
d
4
0
32
d3
Wt 16
2. 空心圆截面
D
IP
2dA
A
2 d
2 (2 d
)
2
(D4 d 4 ) D4(1 4 )
32
32
Wt
D3 (1 4 )
右手螺旋法则 右手拇指指向外法线方向为正(+),反之为负(-)
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
扭矩图
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
例题3.1
传动轴,已知转速 n=300r/min,主动轮A输入功率PA=45kW,
三个从动轮输出功率分别为 PB=10kW,PC=15kW,PD=20kW.试绘轴
的扭矩图.
解: (1)计算外力偶矩 由公式 M e 9549P / n
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
(2)计算扭矩 (3) 扭矩图
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
MB
MC
MD
MA
T3 M A 1432N m
Tmax 1432N m
传动轴上主、 从动轮安装的位 置不同，轴所承 受的最大扭矩也 不同。
B
C
D MA A
T3
A
318N.m
795N.m
1432N.m
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
§3.3 纯剪切
一、薄壁圆筒扭转时的切应力
观察到：
各圆周绕轴线相对转动，形状、大小、距离不变 ；各纵向线倾斜相同的角度，仍为直线，表面矩形 变为平行四边形。
§3.3 纯剪切
各圆周绕轴线相对转动，形状、大小、距离不变； 各纵向线倾斜相同的角度，仍为直线，表面矩形变为 平行四边形。
三、切应变 剪切胡克定律
当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应力 与切应变成正比。
G
剪切弹性模量
弹性模量、剪切弹性模量、 泊松比之间的关系
G E
2(1 )
τ
§3.4 圆轴扭转时的应力 一、圆轴扭转时的应力
1. 变形几何关系
各圆周绕轴线相对转动，形状、大小、距离不变；各 纵向线倾斜相同的角度，仍为直线，表面矩形变为平行 四边形。
按输入功率和转速计算
已知 轴转速－n 转/分钟 输出功率－P 千瓦 求：力偶矩Me
电机每秒输入功： 外力偶作功完成：
W P 1000(N m)
W
Me
2
n 60
P
P
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 2.扭矩和扭矩图
用截面法研究横 截面上的内力
T = Me
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 扭矩正负规定
§3.4 圆轴扭转时的应力
·平面假设
圆轴扭转变形前原为平面的横 截面，变形后仍为平面，形状、 大小不变，半径仍为直线，两相 邻截面间的距离不变。
·切应变在横截面上的分布
tan
dd ad
d
dx
d
dx
§3.4 圆轴扭转时的应力
2. 物理关系
d
dx
G
G
d
dx
d 未知，与内力、材料、截面有关
扭转受力特点 及变形特点:
杆件受到大小相等,方向相反且作用平 面垂直于杆件轴线的力偶作用, 杆件的横截 面绕轴线产生相对转动。
受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横 截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴 扭转。
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
1.外力偶矩
直接计算
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
16
§3.4 圆轴扭转时的应力
四、扭转失效与扭转极限应力
1. 塑性材料的扭转失效
断口材料呈片状，剪 切破坏
断口横截面，最大切 应力引起剪切破坏
横截面上的最大切应 力即扭转屈服应力为扭转 极限应力。
低碳钢抗剪能力 比抗拉能力差
§3.4 圆轴扭转时的应力 2. 脆性材料的扭转失效
断口45o的螺旋面，最大 拉应力引起的脆性断裂
断口材料呈颗粒状，脆 性断裂破坏
铸铁抗拉能力比 抗剪能力差
横截面上的最大切应力即扭转强度极限为扭转极 限应力。
§3.4 圆轴扭转时的应力
五、圆轴扭转的强度条件
max
T ( Wt
)max
1. 等截面圆轴：
2. 阶梯形圆轴：
max
Tmax Wt
max
T ( Wt
)max
§3.4 圆轴扭转时的应力
微元体无轴向、横向正应变，存在垂直于半径方向 的切应变，圆周上所有的剪切变形相同。
圆周上各点在轴向、横向无正应力，在垂直于半径 方向上有相同的切应力。
§3.3 纯剪切
圆周上各点在轴向、横向无正应力，在垂直于半径 方向上有相同的切应力。
Me
Me
由于管壁很薄，近似认为切应力沿壁厚均匀分布
Me
2 0
强度条件的应用
（1）校核强度
max
Tmax Wt
max
Tmax Wt
（2）设计截面
Wt
Tmax
源自文库
（3）确定载荷
Tmax Wt
§3.4 圆轴扭转时的应力
例题3.2
某传动轴，轴内的最大扭矩T = 1.5kN·m ，若许用切应力 [τ] = 50PMa。试按下列两种方案确定轴的横截面尺寸，并 比较其重量。⑴实心圆截面。⑵空心圆截面，其内外径的 比值di /d0 = 0.9。
第三章 扭转
第三章 扭 转
§3.1 扭转的概念和实例 §3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 §3.3 纯剪切 §3.4 圆轴扭转时的应力 §3.5 圆轴扭转时的变形 §3.7 非圆截面杆扭转的概念
§3.1 扭转的概念和实例 汽车传动轴
§3.1 扭转的概念和实例 汽车方向盘
§3.1 扭转的概念和实例
R02d
2 R02
Me
2 R02
§3.3 纯剪切
二、切应力互等定理
1. 纯剪切 微元体的四个侧面上只存在切应力无正应力。
Mz(F) 0 :
( dy)dx ( dx)dy
2. 切应力互等定理 在微元体的两个互相垂直的截面上，垂直于截面交线 的切应力数值相等，方向均指向或背离该交线。
§3.3 纯剪切
解： ⑴ 计算实心轴直径
max
T Wt
T
d 3 / 16
3
16T
3
16 1.5 103
d 50106 53.5mm
§3.4 圆轴扭转时的应力