【2016二轮讲练测精品数学】热点三 函数、数列、三角函数中大小比较问题【新课标】【讲】【教师版】【理】

纵观近几年高考对于大小比较问题的考查，重点放在与函数、数列、三角函数的大小

比较问题上，要求学生有较强的推理能力和准确的计算能力，才能顺利解答，从实际教学

来看，这部分知识是学生掌握最为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的

入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.

1 函数中的大小比较问题

函数是高中数学必修教材中重要的部分，应用广泛，教材中重点介绍了利用判断单调性、最值、单调性、奇偶性、周期性等基础知识，但是高考数学是以能力立意，所以往往以数列、方程、不等式为背景，综合考察学生转化和化归、分类讨论、数形结合等数学思想的应用能力，面对这种类型的题目，考生会有茫然，无所适从的感觉，究其原因是没有认真分析总结这种题目的特点和解题思路.

1.1 指数函数中的大小比较问题

比较指数幂值的大小时，要注意区分底数相同还是指数相等，是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性，要注意指数函数图象和幂函数的图象的应用，指数函数的图象在第一象限内“底大图高(逆时针方向底数依次变大)”，还应注意中间量0，1等的运用．

例1. 设253()5a =，352()5b =，252()5

c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a c b >> B ．a b c >> C ．c a b >> D ．b c a >>

思路分析：首先比较b ，c 的大小，构造函数2

()5

x y =，再比较a 与c 的大小.

点评：该题考查了指数函数单调性上的应用，难度中等，根据底数选择比较的顺序是解题的关键.

1.2 对数函数中的大小比较问题

比较对数值的大小时，要注意区分对数底数是否相等，是用对数函数的单调性，还是用对数函数的单调性，要注意对数函数图象的应用，还应注意中间量0，1等的运用．

例2. 已知1

32a -=，21211log ,log 33

b c ==，则（ ）

A.a b c >>

B.a c b >>

C.c a b >>

D.c b a >>

思路分析：利用对数函数的单调性以及选择中间变量0，1进行比较. 解析：1

032122

110221,log 0,log log 3133a b c -<=<==<==>，∴c a b >>，故选C. 点评：该题考查了对数函数单调性上的应用，难度中等，构造合适的函数模型与选择比较顺序是解题的关 键.

1.3 通过求函数的最值证明不等式

在对不等式的证明过程中，可以依此不等式的特点构造函数，进而求函数的最值，当该函数的最大值或最小值对不等式成立时，则不等式是永远是成立的，从而可将不等式的证明转化到求函数的最值上来. 例3. 已知函数2()x f x ke x =-（其中k R ∈，e 是自然对数的底数)

（1）若2k =-，判断函数()f x 在区间(0,)+∞上的单调性；

（2）若函数()f x 有两个极值点1x ，212()x x x <，求k 的取值范围；

（3）在（2）的条件下，试证明：10()1f x <<.

思路分析：（1）当2k =-时，2()2x f x e x =--，通过求导易知()f x 在(0,)+∞上单调递减；（2）由题意 可知，问题等价于'()20x f x ke x =-=有两个不同的实数根，分离参数可得2x x k e =

，从而可将问题 转化为判断函数2()x x x e

φ=的取值情况，考虑通过求导判断函数的单调性，即可知()x φ的值域，从而 可得实数k 的取值范围是2(0,)e

；（3）由（2）可知，1201x x <<<，111'()20x f x ke x =-=，得 112x ke x =，从而122211111()2(1)1x

f x ke x x x x =-=-=--+，即可证10()1f x <<

.

（3）由（2）可知，函数()f x 的两个极值点1x ，2x 满足1201x x <<<，由111'()20x

f x ke x =-=，

得112x ke x =，∴122211111()2(1)1x f x ke x x x x =-=-=--+，又∵1(0,1)x ∈，∴

210(1)11x <--+<，即10()1f x <<.

点评：该题考查导数的应用，考查学生综合分析问题、解决问题的能力，第二问是存在性问题，经常利用 参变分离法，转化为函数的最值求解，第三问，结合（2）利用求函数的最值来证明不等式即可. 2 数列与不等式相结合

数列与不等式交汇主要以压轴题的形式出现，试题还可能涉及到与导数、函数等知识综合一起考查．主要考查知识重点和热点是数列的通项公式、前n 项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、归纳与猜想、数学归纳法、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求，在不等式的证明中要注意放缩法的应用．此类题型主要考查学生对知识的灵活变通、融合与迁移，考查学生数学视野的广度和进一步学习数学的潜能．近年来加强了对递推数列考查的力度，这点应当引起我们高度的重视．预计在高考中，比较新颖的数列与不等式选择题或填空题一定会出现．数列解答题的命题热点是与不等式交汇，呈现递推关系的综合性试题．其中，以函数与数列、不等式为命题载体，有着高等数学背景的数列与不等式的交汇试题是未来高考命题的一个新的亮点，而命题的冷门则是数列与不等式综合的应用性解答题．

2.1 数列中的不等问题

例4. 若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<，则当n = 时，{}n a 的前n 项和最大. 思路分析：根据等差数列的性质，将条件中给出的不等关系转化为转化为与n S 有关的信息

.

点评：此题以通项公式为背景建立一个不等关系，然后对变量进行代换，再利用前n 项和最大时的等价形 式：11n n n

n S S S S -+≥⎧⎨≤⎩，从而求解问题． 2.2 数列参与的不等式证明

此类不等式的证明常用的方法：（1）比较法；（2）分析法与综合法，一般是利用分析法分析，再利用综合法分析；（3）放缩法，主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的． 例5. 设函数()ln 1f x x px =-+

（1）求函数()f x 的极值点；

（2）当0p >时，若对任意的0x >，恒有()0f x ≤，求p 的取值范围；