静电场：原理与方法
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
q 10
q Q1 Q1 ① A r R q Q C 时 电荷不再从C球移向A球，故 r R R = Q1 q Q q q Q1 r q Q Q Q1 q C球与B球接触最终亦有 q Q1 r 1 r R ⑵由①式及题给条件 R 9 2
q Q2 Q 9 Q2 1 若第２次C与A接触后A又获电量 Q ， q 2 則 Q2 n 9 r 10 R 1
β
－
－q2
q1 2 r r 1 cos q2 2 r r 1 cos 2 0 0 4 r 4 r 2
在A内侧有
Eq E A 0
kQ 在A外侧有 Eq E A R2
kQ EA 2 R2
kqQ F 2 2R
例: 一个半径为a的孤立的带电金属丝环，其中心电势为U0．将此环
靠近半径为b的接地的球，只有环中心O位于球面上，如图．试求球 上感应电荷的电量 ．
O点O1点电势均为0;
O点O1点电势均由环上电荷及 球上感应电荷共同引起！ 环上电荷在O点的总电势为U0
在球面上取一面元 2
2
E
R sin
2
R
T
面元受力如示
E Q 8 0 R 2
Fe
Q 8 0 R2
Q Q sin s i n 2 4 2 2 32 0 R
2
2
2
T 2 R sin 2 sin 2 面元处于平衡,则 2 Q2 2 R sin sin sin 2 2 2 2 32 0 R Q2
k
2 r1
q
S1
r1
1
r2
2
S2
m q r O
带电球壳内场强为零!
Q M
例:均匀带电球壳半径为R，带正电，电量为Q，若在球面上划出很
小一块，它所带电量为q．试求球壳的其余部分对它的作用力．
点电荷q在两侧场强等值反向! 整个带电球内部场强为0;
Eq A Eq q
kQ 外表面场强大小为 R2 设球壳除A外其余部分在A处的场强为EA
Q 4 R 0
2
R r 由高斯定理有
E
e
4 R
2
kQ R
2
0
E
R r
由高斯定理有
两面积S、间距d平行板电容器当 带电荷量Q时，板间电场由电场 叠加原理可得为
S e 0 e E 2S 2 0
E
S
4 kQ E2 2 0 0 S
2 2
B
例: 一半径为R、带电量为Q的均匀带电球面，试求其上的表面张力系数σ，返回 σ定义
为面上单位长度线段两侧各向对方施加的作用力 ．
S R sin 2 2 2 Q Q T q R sin sin 2 2 4 2 4 R
e d E 2S 2 0
E
0
d/2 d 2 0
r
例:一点电荷q位于一立方体中心，立方体边长为a，试问通过立方体一面的电通量
是多少？如果点电荷移至立方体的一个角上，这时通过立方体每个面的电通量各 是多少？
点电荷位于立方体中心时，通过立方体一个表面的电通量为
q e 6 0
Q Q
例:半径为r的圆板，在与其中心O距离为d处置一点电荷q，
试求板上电通量． 球冠面上的电通量与圆板的电通量相同！ 距q为R处电场强度大小为
E
kq R
2
kq r d
2 2
q
R r
d
球冠面积为
q d kq 1 e 2 2 R R d 2 2 2 0 R d r
由对称性及半球几何关系可知 E大与E小垂直，如图所示:
半球面均匀分布电荷 在O点引起的场强可视 为“小瓣”球面电荷 与“大瓣”球面电荷 在O点引起的电场的矢 量和.
Ｏ
E
2
E小 E0 sin
E0
2
例:有两个异种点电荷，其电量之比为n，相互间距离为d．试证明它 们的电场中电势为零的等势面为一球面，并求此等势面的半径及其 中心与电量较小电荷的距离r ．
O1
例 : 正点电荷 Ｑ 1 和正点电荷 Ｑ 2 分别放置在 A 、 B 两点，两点间相距 L．现以L为直径作一半圆，电荷在此半圆上有一电势最小的位置P， 3 设PA与AB的夹角为α，则α＝ ．（用三角函数表示）
tan1 Q2 Q1
切向场强为0位置为 电势最小的位置！
L cos
kQ1
O aBiblioteka Baidu
kqi U0 a i 环上电荷在O1点的总电势为 U aU0 O1 kqi UO1 a 2 b2 2 2 a b i 球上感应电荷在O1点引起的电势Ub abU 0 aU0 kQi Q Ub U O1 2 2 2 2 b k a b a b i
由高斯定理有
EP
例:如图，有“无限长”均匀带电圆柱面，半径为R，电荷面密度为σ，试求其场强，
并作E（r）图 ．
r<R
e E 0 S
rR
e 0
R
l
E
2 R l e 0 e e R 1 E S 2 r l 0 r
0
Q
Qq
qmax
qQ Qq
例: 如图所示，半径相同的两个金属球A、B相距很远，原来不带电，C球先与远处 返回
电池正极接触，（负极接地），接着与球A接触，再与B球接触；然后又与电池正 极接触，重复上述过程，反复不已．已知C球第一次与电池接触后的带电量为q， 第一次与A球接触后A球的带电量为Q1，求⑴A球与B球最后的带电量Q与Q′；⑵ Q1 9 设 ，至少经过几次与 A球的带电量可达最后带电量的一半？ C球接触后， ⑴设A、B球半径为 R,C球半径为 r,C球与A球第1次接触后有
2
sin
L sin
kQ2
Q1
2
Q2
cos
3
tan
Q2 Q1
例: 电荷均匀分布在半球面上，它在这半球的中心 O处电场强度等于 E0．两个平面通过同一条直径，夹角为α，从半球中分出一部分球面， 如图所示．试求所分出的这部分球面上（在“小瓣”上）的电荷在O 处的电场强度E．
2
q
q
S
0
根据电场线的性质——在电场中 没有电荷处电场线是连续的、不 相交的，可以肯定包围点电荷q的 任意封闭曲面S′上的电通量也是
e
q
0
入 出 e 0 q e 0
返回
S
q0
q
根据电场迭加原理，将上述结果推广到任意点电荷 系构成的静电场：若闭合曲面包围的电荷的代数和 为 q,
球在第一次与板接触后获得电量为q，说明有量 值为q的正电荷从板上转移到球上，由电荷守恒可 知，此时板上电量为(Q-q),
分配到球上与板上的．
q 球与板这一系统中的总电量是按比例 Qq
当多次操作直至最终板上电量又一次为Q但不能 向与之接触的球迁移时（此时两者等电势），球上电 量达到最大: q q
max
S 2 R R d
例 : 在相距 d 的两根平行细长导线上均匀地分布有异种电荷，其线密度为＋及－
λ ．求在对称平面上与导线所在平面相距为x的一点P的电场强度 ．
R E l 2 R 0l e 0 E1 E 2 2 e d 2 E 2 x 0 2 R l 2 R 2 0 d d d / 2 2 2 Ep 2 2 d E2 2 2 Ep x d d 2 2 2 2 4 x d 2 x 0 0 x P 2 2
以小电量电荷所在位置为坐 y 标原点，建立直角坐标 -q与nq在坐标为（x、y） 的点电势迭加为零，即有
-q O
x, y
nq
dx
kq x2 y2
knq
d x
2
y2
2 2
d nd 2 x 2 y 2 n 1 n 1
球心坐标
面元周边所受张力合力大小为
64 2 0 R3
例 :如图，电场线从正电荷＋ q1出发，与正点电荷及负点电荷的连线 成α角，则该电场线进入负点电荷－q2的角度β是多大？
以点电荷+q1与-q2为中心， 取一半径r很小的球面，可 视为其上电场线均匀分布， 穿出2α角所对的球冠面的 α 电场线应完全穿入2β角所 对的球冠面，两面上电通 +q1 量相等：
k 2 R1 1 U1 2k R1 1 R1 2 小半球面上电荷量为 2 2 R2
小半球面上电荷在其底面引起的电势为整个小球 面上电荷引起电势的一半,即 k 2 R 2
2k R2 2 R2 2 k 2 R 2 2 小半球面上电荷在球面外引起的电势亦为 U 2 整个小球面上电荷引起电势的一半,即 r2 r R2 根据电场叠加原 U 2k R1 1 R2 2 2 理,直径AB上电 R2 2 U 2k R1 1 R1 r R2 荷分布为: r U2
电场线的疏密表示电场的强弱，若场中某面元上有 e 条电场线垂直穿过，则 E e 点电荷电场
S
球面上各处场强大小均为
E
1
kq r
2
q
q
S
12 2 2 从该球面穿出的电通量 0 8.85 10 C /N m
4 0 r
4 0 r
2
4 k ES e
2
4 r
E
r
0
R
例:如图，在一厚度为d的无穷大平板层内均匀地分布有正电荷，其密度为ρ，求在
平板层内及平板层外的电场强度E，并作E（r）图 ．
d r 时 2
e E r 2S 0
d r < 时 S 2r e 2 0
d S
S d e 0
d 2 0
d , 0 2 n 1
球半径 r
nd n 1
2
例:半径分别为R1和R2的两个同心半球相对放置，如图所示，两个半 球面均匀带电，电荷密度分别为σ1和σ2，试求大的半球面所对应底面 圆直径AOB上电势的分布 ． 2 A 大半球面上电荷量为 1 2 R1 大半球面上电荷在底面引起的电势为整个大球 面上电荷引起电势的一半,即 2
i
i
則 e
qi
i
0
R < r 由高斯定理有
E
e 4 R e 4 R
2 2
0 4 R 0
2
0
O
R r 由高斯定理有
E
Q 4 R 0
2
kQ R
2
0
E
R r
R < r 由高斯定理有
R Q 3 r e
3
R
O
0
kQ Q e E R E 3 R 2 3 4 R 4 r 0 r
n次C、A接触后有
9 q 10 10 4.5q 1 10
B
n 7次
cos F1 k q 2 cos r1 2 r2 k q cos F2 k q 2 cos r2
4 3 k r 3 E r 2 3 0 r
F=
♠
在真空中的任何静电场中，通过任一闭合曲面的 电通量等于这闭合曲面所包围的电荷的代数和的ε0 分之一，这就是真空中静电场的高斯定理．
等效处理方法
等效对称替代法 等效电像变换法
e
qi
i
0
例:一个金属球借助导电薄板从起电机上获得电荷，板在每次与球接
触后又从起电机上带电至电量为Q．如果球在第一次与板接触后带 电量为q，求球可获得的最大电量.
点电荷位于立方体顶点时， 通过立方体一个表面的电通量为
q 1 e 6 0 4
q 24 0
♠ ♠
静电场的两大外观表现
对引入电场的任何带电体产生力的作用. 当带电体在电场中移动时,电场力做功,说明电 场具有能量.
描述静电场的基本规律
kq1q2 r
2
对一个孤立系统，电荷可在系统各部分之间迁移，但其总量保 持不变——原来为零的始终为零，原来为某一量Q的，则始终 为Q，此即电荷守恒定律．
q Q1 Q1 ① A r R q Q C 时 电荷不再从C球移向A球，故 r R R = Q1 q Q q q Q1 r q Q Q Q1 q C球与B球接触最终亦有 q Q1 r 1 r R ⑵由①式及题给条件 R 9 2
q Q2 Q 9 Q2 1 若第２次C与A接触后A又获电量 Q ， q 2 則 Q2 n 9 r 10 R 1
β
－
－q2
q1 2 r r 1 cos q2 2 r r 1 cos 2 0 0 4 r 4 r 2
在A内侧有
Eq E A 0
kQ 在A外侧有 Eq E A R2
kQ EA 2 R2
kqQ F 2 2R
例: 一个半径为a的孤立的带电金属丝环，其中心电势为U0．将此环
靠近半径为b的接地的球，只有环中心O位于球面上，如图．试求球 上感应电荷的电量 ．
O点O1点电势均为0;
O点O1点电势均由环上电荷及 球上感应电荷共同引起！ 环上电荷在O点的总电势为U0
在球面上取一面元 2
2
E
R sin
2
R
T
面元受力如示
E Q 8 0 R 2
Fe
Q 8 0 R2
Q Q sin s i n 2 4 2 2 32 0 R
2
2
2
T 2 R sin 2 sin 2 面元处于平衡,则 2 Q2 2 R sin sin sin 2 2 2 2 32 0 R Q2
k
2 r1
q
S1
r1
1
r2
2
S2
m q r O
带电球壳内场强为零!
Q M
例:均匀带电球壳半径为R，带正电，电量为Q，若在球面上划出很
小一块，它所带电量为q．试求球壳的其余部分对它的作用力．
点电荷q在两侧场强等值反向! 整个带电球内部场强为0;
Eq A Eq q
kQ 外表面场强大小为 R2 设球壳除A外其余部分在A处的场强为EA
Q 4 R 0
2
R r 由高斯定理有
E
e
4 R
2
kQ R
2
0
E
R r
由高斯定理有
两面积S、间距d平行板电容器当 带电荷量Q时，板间电场由电场 叠加原理可得为
S e 0 e E 2S 2 0
E
S
4 kQ E2 2 0 0 S
2 2
B
例: 一半径为R、带电量为Q的均匀带电球面，试求其上的表面张力系数σ，返回 σ定义
为面上单位长度线段两侧各向对方施加的作用力 ．
S R sin 2 2 2 Q Q T q R sin sin 2 2 4 2 4 R
e d E 2S 2 0
E
0
d/2 d 2 0
r
例:一点电荷q位于一立方体中心，立方体边长为a，试问通过立方体一面的电通量
是多少？如果点电荷移至立方体的一个角上，这时通过立方体每个面的电通量各 是多少？
点电荷位于立方体中心时，通过立方体一个表面的电通量为
q e 6 0
Q Q
例:半径为r的圆板，在与其中心O距离为d处置一点电荷q，
试求板上电通量． 球冠面上的电通量与圆板的电通量相同！ 距q为R处电场强度大小为
E
kq R
2
kq r d
2 2
q
R r
d
球冠面积为
q d kq 1 e 2 2 R R d 2 2 2 0 R d r
由对称性及半球几何关系可知 E大与E小垂直，如图所示:
半球面均匀分布电荷 在O点引起的场强可视 为“小瓣”球面电荷 与“大瓣”球面电荷 在O点引起的电场的矢 量和.
Ｏ
E
2
E小 E0 sin
E0
2
例:有两个异种点电荷，其电量之比为n，相互间距离为d．试证明它 们的电场中电势为零的等势面为一球面，并求此等势面的半径及其 中心与电量较小电荷的距离r ．
O1
例 : 正点电荷 Ｑ 1 和正点电荷 Ｑ 2 分别放置在 A 、 B 两点，两点间相距 L．现以L为直径作一半圆，电荷在此半圆上有一电势最小的位置P， 3 设PA与AB的夹角为α，则α＝ ．（用三角函数表示）
tan1 Q2 Q1
切向场强为0位置为 电势最小的位置！
L cos
kQ1
O aBiblioteka Baidu
kqi U0 a i 环上电荷在O1点的总电势为 U aU0 O1 kqi UO1 a 2 b2 2 2 a b i 球上感应电荷在O1点引起的电势Ub abU 0 aU0 kQi Q Ub U O1 2 2 2 2 b k a b a b i
由高斯定理有
EP
例:如图，有“无限长”均匀带电圆柱面，半径为R，电荷面密度为σ，试求其场强，
并作E（r）图 ．
r<R
e E 0 S
rR
e 0
R
l
E
2 R l e 0 e e R 1 E S 2 r l 0 r
0
Q
qmax
qQ Qq
例: 如图所示，半径相同的两个金属球A、B相距很远，原来不带电，C球先与远处 返回
电池正极接触，（负极接地），接着与球A接触，再与B球接触；然后又与电池正 极接触，重复上述过程，反复不已．已知C球第一次与电池接触后的带电量为q， 第一次与A球接触后A球的带电量为Q1，求⑴A球与B球最后的带电量Q与Q′；⑵ Q1 9 设 ，至少经过几次与 A球的带电量可达最后带电量的一半？ C球接触后， ⑴设A、B球半径为 R,C球半径为 r,C球与A球第1次接触后有
2
sin
L sin
kQ2
Q1
2
Q2
cos
3
tan
Q2 Q1
例: 电荷均匀分布在半球面上，它在这半球的中心 O处电场强度等于 E0．两个平面通过同一条直径，夹角为α，从半球中分出一部分球面， 如图所示．试求所分出的这部分球面上（在“小瓣”上）的电荷在O 处的电场强度E．
2
q
q
S
0
根据电场线的性质——在电场中 没有电荷处电场线是连续的、不 相交的，可以肯定包围点电荷q的 任意封闭曲面S′上的电通量也是
e
q
0
入 出 e 0 q e 0
返回
S
q0
q
根据电场迭加原理，将上述结果推广到任意点电荷 系构成的静电场：若闭合曲面包围的电荷的代数和 为 q,
球在第一次与板接触后获得电量为q，说明有量 值为q的正电荷从板上转移到球上，由电荷守恒可 知，此时板上电量为(Q-q),
分配到球上与板上的．
q 球与板这一系统中的总电量是按比例 Qq
当多次操作直至最终板上电量又一次为Q但不能 向与之接触的球迁移时（此时两者等电势），球上电 量达到最大: q q
max
S 2 R R d
例 : 在相距 d 的两根平行细长导线上均匀地分布有异种电荷，其线密度为＋及－
λ ．求在对称平面上与导线所在平面相距为x的一点P的电场强度 ．
R E l 2 R 0l e 0 E1 E 2 2 e d 2 E 2 x 0 2 R l 2 R 2 0 d d d / 2 2 2 Ep 2 2 d E2 2 2 Ep x d d 2 2 2 2 4 x d 2 x 0 0 x P 2 2
以小电量电荷所在位置为坐 y 标原点，建立直角坐标 -q与nq在坐标为（x、y） 的点电势迭加为零，即有
-q O
x, y
nq
dx
kq x2 y2
knq
d x
2
y2
2 2
d nd 2 x 2 y 2 n 1 n 1
球心坐标
面元周边所受张力合力大小为
64 2 0 R3
例 :如图，电场线从正电荷＋ q1出发，与正点电荷及负点电荷的连线 成α角，则该电场线进入负点电荷－q2的角度β是多大？
以点电荷+q1与-q2为中心， 取一半径r很小的球面，可 视为其上电场线均匀分布， 穿出2α角所对的球冠面的 α 电场线应完全穿入2β角所 对的球冠面，两面上电通 +q1 量相等：
k 2 R1 1 U1 2k R1 1 R1 2 小半球面上电荷量为 2 2 R2
小半球面上电荷在其底面引起的电势为整个小球 面上电荷引起电势的一半,即 k 2 R 2
2k R2 2 R2 2 k 2 R 2 2 小半球面上电荷在球面外引起的电势亦为 U 2 整个小球面上电荷引起电势的一半,即 r2 r R2 根据电场叠加原 U 2k R1 1 R2 2 2 理,直径AB上电 R2 2 U 2k R1 1 R1 r R2 荷分布为: r U2
电场线的疏密表示电场的强弱，若场中某面元上有 e 条电场线垂直穿过，则 E e 点电荷电场
S
球面上各处场强大小均为
E
1
kq r
2
q
q
S
12 2 2 从该球面穿出的电通量 0 8.85 10 C /N m
4 0 r
4 0 r
2
4 k ES e
2
4 r
E
r
0
R
例:如图，在一厚度为d的无穷大平板层内均匀地分布有正电荷，其密度为ρ，求在
平板层内及平板层外的电场强度E，并作E（r）图 ．
d r 时 2
e E r 2S 0
d r < 时 S 2r e 2 0
d S
S d e 0
d 2 0
d , 0 2 n 1
球半径 r
nd n 1
2
例:半径分别为R1和R2的两个同心半球相对放置，如图所示，两个半 球面均匀带电，电荷密度分别为σ1和σ2，试求大的半球面所对应底面 圆直径AOB上电势的分布 ． 2 A 大半球面上电荷量为 1 2 R1 大半球面上电荷在底面引起的电势为整个大球 面上电荷引起电势的一半,即 2
i
i
則 e
qi
i
0
R < r 由高斯定理有
E
e 4 R e 4 R
2 2
0 4 R 0
2
0
O
R r 由高斯定理有
E
Q 4 R 0
2
kQ R
2
0
E
R r
R < r 由高斯定理有
R Q 3 r e
3
R
O
0
kQ Q e E R E 3 R 2 3 4 R 4 r 0 r
n次C、A接触后有
9 q 10 10 4.5q 1 10
B
n 7次
cos F1 k q 2 cos r1 2 r2 k q cos F2 k q 2 cos r2
4 3 k r 3 E r 2 3 0 r
F=
♠
在真空中的任何静电场中，通过任一闭合曲面的 电通量等于这闭合曲面所包围的电荷的代数和的ε0 分之一，这就是真空中静电场的高斯定理．
等效处理方法
等效对称替代法 等效电像变换法
e
qi
i
0
例:一个金属球借助导电薄板从起电机上获得电荷，板在每次与球接
触后又从起电机上带电至电量为Q．如果球在第一次与板接触后带 电量为q，求球可获得的最大电量.
点电荷位于立方体顶点时， 通过立方体一个表面的电通量为
q 1 e 6 0 4
q 24 0
♠ ♠
静电场的两大外观表现
对引入电场的任何带电体产生力的作用. 当带电体在电场中移动时,电场力做功,说明电 场具有能量.
描述静电场的基本规律
kq1q2 r
2
对一个孤立系统，电荷可在系统各部分之间迁移，但其总量保 持不变——原来为零的始终为零，原来为某一量Q的，则始终 为Q，此即电荷守恒定律．