中考数学几何压轴题及答案及答案

中考数学几何压轴题及答案

一、解答题（共30小题）

1.观察猜想

（1）如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，点D与点A重合，点E在边BC上，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DF，连接BF，BE与BF的位置关系是，BE+BF＝；

探究证明

（2）在（1）中，如果将点D沿AB方向移动，使AD＝1，其余条件不变，如图②，判断BE与BF的位置关系，并求BE+BF的值，请写出你的理由或计算过程；

拓展延伸

（3）如图③，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D在边BA的延长线上，BD＝n，连接DE，将线段DE绕着点D顺时针旋转，旋转角∠EDF＝α，连接BF，则BE+BF的值是多少？请用含有n，α的式子直接写出结论

2.在△ABC的边BC上取B′、C′两点，使∠AB′B＝∠AC′C＝∠BAC

（1）如图1中∠BAC为直角，∠BAC＝∠AB′B＝∠AC′C＝90°（点B′与点C′重合），则△ABC∽△B'BA∽△C'AC，，，进而可得AB2+AC2＝；

（2）如图2中当∠BAC为锐角，图3中∠BAC为钝角时（1）中的结论还成立吗？若不成立，则AB2+AC2等于什么（用含用BC和B′C′的式子表示）？并说明理由

（3）若在△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝9，请你先判断出△ABC的类型，再求出B′C′的长

3．（1）问题发现

如图1，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝45°，点D是线段AB上一动点，连接BE

填空：

①的值为；②∠DBE的度数为．

（2）类比探究

如图2，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，点D是线段AB上一动点，连接BE．请判断的值及∠DBE的度数，并说明理由；

（3）拓展延伸

如图3，在（2）的条件下，将点D改为直线AB上一动点，其余条件不变，取线段DE 的中点M，连接BM、CM，若AC＝2，则当△CBM是直角三角形时，线段BE的长是多少？请直接写出答案．

4.（1）问题发现：如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，以

点D为顶点作正方形DFGE，使点A、C分别在DE和DF上，连接BE、AF．则线段BE 和AF数量关系．

（2）类比探究：如图②，保持△ABC固定不动，将正方形DFGE绕点D旋转α（0°＜α≤360°），则（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．（3）解决问题：若BC＝DF＝2，在（2）的旋转过程中，连接AE，请直接写出AE的最大值．

5.如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，以点O为顶点的∠EOF的两边分别

与边AB、AD交于点E、F，且∠EOF与∠BAD互补．

（1）若四边形ABCD是正方形，则线段OE与OF有何数量关系？请直接写出结论；

（2）若四边形ABCD是菱形，那么（1）中的结论是否成立？若成立，请画出图形并给出证明；若不成立，请说明理由；

（3）若AB：AD＝m：n，探索线段OE与OF的数量关系，并证明你的结论.

6.如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，

垂足为点F.

（1）证明与推断：

①求证：四边形CEGF是正方形；

②推断：的值为：

（2）探究与证明：

将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；

（3）拓展与运用：

正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG＝6，GH＝2，则BC＝．

7.如图1，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，点D、E分别是AC、BC的中点，连

接DE.

定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．探索发现：

图1中，的值为；的值为．

（2）拓展探完

若将△CDE绕点C逆时针方向旋转一周，在旋转过程中的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．

（3）问题解决

当△CDE旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BE的长．

8.已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6，点D是射线OM

上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE，设OD＝m．

（1）问题发现

如图1，△CDE的形状是三角形．

（2）探究证明

如图2，当6＜m＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由．

（3）解决问题

是否存在m的值，使△DEB是直角三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

9.等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝4，AE＝2，

其中△ABC固定，△ADE绕点A作360°旋转，点F、M、N分别为线段BE、BC、CD 的中点，连接MN、NF．

问题提出：（1）如图1，当AD在线段AC上时，则∠MNF的度数为，线段MN 和线段NF的数量关系为

；

深入讨论：（2）如图2，当AD不在线段AC上时，请求出∠MNF的度数及线段MN和线段NF的数量关系；

拓展延伸：（3）如图3，△ADE持续旋转过程中，若CE与BD交点为P，则△BCP面积的最小值为．

10．四边形是我们在学习和生活中常见的图形，而对角线互相垂直的四边形也比较常见，比如筝形、菱形、图1中的四边形ABCD等．它们给我们的学习和生活带来了很多的乐趣和美感．

（1）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，则AC与BD的位置关系是，请说明理由．

（2）试探究图1中四边形ABCD的两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，请