4动量和角动量习题思考题

习题4

4-1．如图所示的圆锥摆，绳长为l ，绳子一端固定，另一端系一质量为m 的质点，以匀角速ω绕铅直线作圆周运动，绳子与铅直线的夹角为θ。在质点旋转一周的过程中，试求： （1）质点所受合外力的冲量I ； （2）质点所受张力T 的冲量T I 。

解：（1）设周期为τ，因质点转动一周的过程中，

速度没有变化，12v v =，由I mv =∆， ∴旋转一周的冲量0I =；

（2）如图该质点受的外力有重力和拉力，且cos T mg θ=，∴张力T

2cos T I T j mg j π

θτω

=⋅=

⋅

所以拉力产生的冲量为

2mg

πω

，方向竖直向上。

4-2．一物体在多个外力作用下作匀速直线运动，速度4/v m s =。已知其中一力与运动方向一致，大小随时间变化内关系曲线为半个椭圆，如图。求： （1）力F 在1s 到3s 间所做的功；

（2）其他力在1s 到3s 间所做的功。 解：（1）由于椭圆面积为S ab π=椭，

∴1

40125.62

A ab J ππ=

== （2）由动能定理可知，当物体速度不变时，外力做的总功为零，所以当该F 做的功为125.6J 时，其他的力的功为-125.6J 。

4-3．质量为m 的质点在Oxy 平面内运动，运动学方程为

cos sin r a t i b t j ωω=+，求：

（1）质点在任一时刻的动量； （2）从0=t 到ωπ/2=t 的时间内质点受到的冲量。

解：（1）根据动量的定义：P mv =，而dr

v dt

==sin cos a t i b t j ωωωω-+，

∴()(sin cos )P t m a t i b t j ωωω=-- ； （2）由2(

)(0)0I mv P P m b j m b j π

ωωω

=∆=-=-= ， 所以冲量为零。

4-4．质量为M =2.0kg 的物体（不考虑体积），用一根长为l =1.0m 的细绳悬挂在天花板上。今有一质量为m =20g 的子弹以0v =600m/s 的水平速度射穿物体。刚射出物体时子弹的速度大小v =30m/s ，设穿透时间极短。求：（1）子弹刚穿出时绳中张力的大小；（2）子弹在穿透过程中所受的冲量。 解：（1）解：由碰撞过程动量守恒可得：01mv mv M v =+ ∴01 5.7mv mv

v M

-=

=/m s 根据圆周运动的规律：21v T Mg M l -=，有：2

184.6v T Mg M

N l

=+=； （2）根据冲量定理可得：00.0257011.4I mv mv N s =-=-⨯=-⋅。

4-5．一静止的原子核经放射性衰变产生出一个电子和一个中微子，巳知电子的动量为m/s kg 102.122

⋅⨯-，中微子的动量为236.410kg m/s -⨯⋅，两动量方向彼此垂直。（1）求核反冲动量的大小和方向；（2）已知衰变后原子核的质量为kg 108.526

-⨯，求其反冲动能。

解：由碰撞时，动量守恒，分析示意图，有：

（1）22

10

P -=

=核 22

1.3610

/kgm s -=⨯

20

又∵0.64tan 1.2P P α=

=

中微子

电子

，∴028.1α= ， 所以221.410/P kgm s -=⨯核 ， 9.151=-=απθ ； （2）反冲的动能为：2

180.17102k P E J m -==⨯核

核

。

4-6．中子的发现者查德威克于1932年通过快中子与氢核、氮核的对心弹性碰撞发现氢核的反冲速度为

73.310/m s ⨯，氮核的反冲速度为64.710/m s ⨯，已知氢核的质量为1u ，氮核的质量为14u ，试推算中

子的质量及其初速度。

解：设快中子的质量为M ，氢核的质量为H m ，氮核的质量为N m ，

根据弹性碰撞的规律，可得：0H H N N Mv m v m v =+，

222

0111222

H H N N

Mv m v m v =+， 代入已知量，可得：7770 3.310 6.58109.8810Mv u u u =⨯+⨯=⨯

2141414010.8910 3.09261013.982610Mv u u u =⨯+⨯=⨯

那么，147

0713.982610 1.410/9.8810u v m s u ⨯==⨯⨯， 7

79.881071.410

u M u ⨯==⨯。

4-7．一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为54

40010()3

F t N =-

⨯，子弹从枪口射出时的速率为300/m s 。设子弹离开枪口处合力刚好为零。求：

（1）子弹走完枪筒全长所用的时间t ； （2）子弹在枪筒中所受力的冲量I ； （3）子弹的质量。

解：（1）由于离开枪口处合力刚好为零，有：54

4001003

t -

⨯=，得：3310t s -=⨯； （2）由冲量定义：0

t

I F dt =

⎰有：

0.0035520.003004240010(40010)0.633

I t dt t t N s =-⨯=-⨯=⋅⎰（） （3）再由I

m v

=，有：30.6/300210m kg -==⨯。

4-8．有质量为m 2的弹丸，从地面斜抛出去，它的落地点为c x 。如果它在飞行到最高点处爆炸成质量相等的两碎片。其中一碎片铅直自由下落，另一碎片水平抛出，它们同时落地。问第二块碎片落在何处。 解：利用质心运动定理，在爆炸的前后，质心始终只受重力的作用，因此，质心的轨迹为一抛物线，它的落地点为c x 。 112212c m x m x x m m +=

+，而12m m m ==， 12c x

x =，

∴2223

,42c c c mx mx x x x m +=

= 。

4-9．两个质量分别为1m 和2m 的木块B A 、，用一劲度系数为k 的轻弹簧连接，放在光滑的水平面上。A 紧靠墙。今用力推B 块，使弹簧压缩0x 然后释放。（已知m m =1，m m 32=）求：（1）释放后B A 、两滑块速度相等时的瞬时速度的大小；（2）弹簧的最大伸长量。

解：分析题意，首先在弹簧由压缩状态回到原长时，是弹簧的弹性势能转换为B 木块的动能，然后B 带动A 一起运动，此时动量守恒，两者具有相同的速度v 时，弹簧伸长最大，由机械能守恒可算出其量值。

c

c x