3.4 离子晶体的长光学波、实验方法、局域振动
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《固体物理》课程教学大纲
《固体物理》课程教学大纲课程名称：固体物理课程类别：专业必修课适用专业：物理学考核方式：考试总学时、学分：56 学时 3.5 学分其中实验学时：0 学时一、课程性质、教学目标固体物理学是应用物理和物理类专业的一门基础课程，是继四大力学之后的一门基础且关键的课程。
主要内容是固体的结构及组成粒子（原子、离子、电子等）之间的相互作用与运动规律，阐明固体的性能、用途以及其与微观图像的联系，以晶格振动、固态电子论和固体的能带理论为主要内容。
课程教学目标为：课程教学目标1：通过固体物理学的整个教学过程，使学生理解晶体微观结构和宏观性质的联系。
课程教学目标2：熟悉固体无论晶格结构，基本键和作用，晶格振动的物理图像，固体电子论和能带理论等基本概念和物理图像。
课程教学目标3：了解固体物理领域的一些新进展，为以后的专业课和研究生阶段学习打好基础。
课程教学目标与毕业要求对应的矩阵关系注：以关联度标识，课程与某个毕业要求的关联度可根据该课程对相应毕业要求的支撑强度来定性估计，H表示关联度高；M表示关联度中；L表示关联度低。
二、课程教学要求本课程教学的基本结构要求：本课程以晶体结构、晶体结合、晶格振动、能带理论、金属和半导体电子理论、外场中晶体电子的运动规律为基本结构，内容有晶格周期性、晶格的对称性、晶体四种结合方式、简谐振动、声子、晶格振动的热容理论、晶格振动模式密度、布洛赫定理、弱周期场近似、紧束缚近似、能态密度、准经典运动、回旋共振、德哈斯-范阿尔芬效应、电子热容等。
执行本大纲应注意的问题：1.注意本课程与量子力学和热统的紧密联系，尤其是注意量子力学课程进度；2．注意讲清本课程中的基本概念和基本理论，在保持课程的科学性及系统性的基础上，应突出重点、难点，并努力反映本学科的新成就，新动向；3．因学时有限，而内容较多，因此有一部分内容要求学生自学。
学生自学部位不占总学时，但仍然是大纲要求掌握内容。
学生自学部分，采用由教师提示，学生课后自学并提出问题，老师课后解答的方式；4．注重学生思考问题，培养学生思维和研究精神。
高二物理竞赛离子晶体长光学波课件
对没志气的人，路程显得远;对没有银钱的人，城镇显得远。
生无一锥土，常有四海心。 人不可以有傲气，但不可以无傲骨 死犹未肯输心去，贫亦其能奈我何!
——黄昆方程
天才是由于对事业的热爱感而发展起来的，简直可以说天才。
人之所以异于禽者，唯志而已矣!
雄心志四海，万里望风尘。
• 长声学波 莫为一身之谋，而有天下之志。
所讨论的电介质中没有自由电荷，故 无散：
1、定义及定义式 （2）不能与电磁波发生耦合，因为电磁波亦为横波。
(1)等号右侧第一项表示离子位移引起的极化；
黄昆方程及体系、参数说明
长（光2）学能波与依电据磁原波子发（生L离耦S子合T）；位(L移y与d格d波a传n播o方-向S的a关c系h分s为-T横e波l和le纵r波)。关系是指ε与ωTO三者之间的 关系。 长光学波的宏观运动方程；
TO
2、关系式证明 (2)等号右侧第二项是电场附加的极化。
（1）离子位移⊥格波传播方向；
（2）不能与电磁波发生耦合，因为电磁波亦为横波。
纵光学模不能与电磁波发生耦合，只有横光学模才能与电磁波发生耦合。
e 设黄昆方程的解具有 （1）离子位移⊥格波传播方向；
黄昆方程及体系、参数说明
i(qrt )
横波(W )和纵波(W )部分. LST(Lyddano-Sachs-Teller)关系是指ε与ωTO三者之间的关系。
2 ( )
W.. b11W b12 E P b21W b22 E
M M M M M
为原胞体积；
，
为正负离子位移；
P 宏观极化强度；
E 宏观电场强度；
黄昆方程物理意义
• 第一式代表振动方程
(1)等号右侧第一项是准弹性恢复力，系数b11 相当于本征振动频率的平方负值，即-ω02；
生无一锥土，常有四海心。 人不可以有傲气，但不可以无傲骨 死犹未肯输心去，贫亦其能奈我何!
——黄昆方程
天才是由于对事业的热爱感而发展起来的，简直可以说天才。
人之所以异于禽者，唯志而已矣!
雄心志四海，万里望风尘。
• 长声学波 莫为一身之谋，而有天下之志。
所讨论的电介质中没有自由电荷，故 无散：
1、定义及定义式 （2）不能与电磁波发生耦合，因为电磁波亦为横波。
(1)等号右侧第一项表示离子位移引起的极化；
黄昆方程及体系、参数说明
长（光2）学能波与依电据磁原波子发（生L离耦S子合T）；位(L移y与d格d波a传n播o方-向S的a关c系h分s为-T横e波l和le纵r波)。关系是指ε与ωTO三者之间的 关系。 长光学波的宏观运动方程；
TO
2、关系式证明 (2)等号右侧第二项是电场附加的极化。
（1）离子位移⊥格波传播方向；
（2）不能与电磁波发生耦合，因为电磁波亦为横波。
纵光学模不能与电磁波发生耦合，只有横光学模才能与电磁波发生耦合。
e 设黄昆方程的解具有 （1）离子位移⊥格波传播方向；
黄昆方程及体系、参数说明
i(qrt )
横波(W )和纵波(W )部分. LST(Lyddano-Sachs-Teller)关系是指ε与ωTO三者之间的关系。
2 ( )
W.. b11W b12 E P b21W b22 E
M M M M M
为原胞体积；
，
为正负离子位移；
P 宏观极化强度；
E 宏观电场强度；
黄昆方程物理意义
• 第一式代表振动方程
(1)等号右侧第一项是准弹性恢复力，系数b11 相当于本征振动频率的平方负值，即-ω02；
34晶格振动谱的实验测定方法
(B)
Diffuse X-Ray Scattering
远红外和红外光谱 喇曼光谱 布里渊散射谱 X 射线漫散射
Inelastic neutron Scattering Ultrasonic methods
(INS) 非弹性中子散射 (US) 超声技术
Inelastic electron tunnelling Spectroscope （IETS) 非弹性电子隧道谱
(2)(3n-3)支光学支格波 横波（TO） 纵波（LO） longitudinal optical wave
纵波：原子振动方向与波传播方向一样 横波：原子振动方向与波传播方向垂直
光学波
声学波
光学纵波
声学纵波
光学横波
声学纵波
光学波：相邻原子振动方向相反，即质心不变，原子相对运动 声学波：相邻原子振动方向相同，即质心运动
晶格振动的横波和纵波
三维晶格的振动： ? ms? 2 As? ? ??? 3n 个线性齐次方程
3n个? 的实根
(1)其中有3个当波矢q ? 0时, ? Ai ? vAi (q)q ,(i ? 1,2 ,3)
声学支格波 两支横波(TA) transverse acoustic 一支纵波(LA) wave
? 光折变效应首先是由贝尔实验室的 Ashkin 等人于
1965年发现的。
? 他们用LiNbO 3 和LiTaO 3 晶体进行倍频实验时意外地
发现，由于光辐照区折射率的变化破坏了产生倍频的 相位匹配条件，从而降低了倍频转换效率。
光折变效应的物理机制
? 光折变效应是发生在电光材料中的一种电光现 象。
固体光散射
? 弹性与非弹性散射 布里渊散射与喇曼散射
3.4 离子晶体的长光学波、实验方法、局域振动
§3-6 确定晶格振动谱的实验方法
晶格振动频率与波数矢量之间的函数关系ω(q), 称为格波的色散关系, 也称为晶格振动谱
可以利用波与格波的相互作用， 以实验的方法直接测定ω(q) 最重要的实验方法是中子的非弹性散射
另外还有 X 射线散射、光的散射等
动量为 p、能量为 E = p² n 的中子流入射到样品上, /2M 由于中子仅仅和原子核之间有强的相互作用, 因此它 可以毫无困难地穿过晶体, 而以动量 p´、能量 E´ = p´² n 射出 /2M 格波振动可以引起中子的非弹性散射, 这种非 弹性散射也可以看成是吸收或发射声子的过程 能量守恒关系
ħq 称为声子的准动量
一般来说, 声子的准动量并不代表真实 的动量, 只是它的作用类似于动量
在声子吸收和发射的过程中, 存在类似于 动量守恒的变换规律, 但是多出 ħGn 项 动量守恒是空间均匀性(或称为完全的平移不 变性)的结果。准动量守恒关系实际上是晶格 周期性(或者称为晶格的平移不变性)的反映
中子的德布罗意波波长 ħ/mv 约为2－3×10-9cm, 正好 是晶格常数的数量级, 提供了确定格波 q, ω的最有利条 件已经Biblioteka 相当多的晶体进行了中子非弹性散射的研究
但中子的非弹性散射也有局限性, 例如固态氦-Ⅲ, 氦-Ⅲ 的原子核对中子有很大的俘获截面, 而形成 氦-Ⅳ, 因而无法获得它的中子衍射谱
一方面, 由于晶格也具有一定的平移对称性 (以 Bravais 格子为标志), 因而存在与动量守 恒相类似的变换规律; 另一方面, 由于晶格平移对称性与完全的平 移对称性相比, 对称性降低了, 因而变换规则 与动量守恒相比, 条件变弱了, 可以相差 ħGn
固定入射中子流的动量 p (和能量 E), 测量出不同散射 方向上散射中子流的动量 p´(即能量 E´), 根据能量和 准动量守恒关系确定出格波的波矢 q 以及能量 ħω(q) 三轴中子谱仪 单色器和分析器是 单晶,利用Bragg反 射产生单色中子或 确定散射中子动量
§3-5 离子晶体的长光学波 1 长光学波的宏观方程
∗
(a) (b)
由上式 (a ) × M − − (b) × M + , 令 μ = μ + − μ −
2 ⎡ q∗ ⎢ 3ε 0 Ω M μ = ⎢− k + ⎢ α 1 − ⎢ 3ε 0 Ω ⎢ ⎣
( )
⎤ ⎡ ⎥ ⎢ q∗ ⎥μ + ⎢ ⎥ ⎢1 − α ⎥ ⎢ 3ε 0 Ω ⎣ ⎥ ⎦
⎤ ⎥ ⎥E, ⎥ ⎥ ⎦
其中 b 11 =
− k 3ε 0 Ω M + α M 1− 3ε 0 Ω q∗
(q )
∗
2
b12 = b 21 =
(M
1−
α 3ε 0 Ω
Ω )2
1
b
22
=
α Ω − 3ε
α
0
5. 极化激元
根据麦克斯韦电磁波理论，电磁波在各向同性介质 传播应适应的波动方程给出的关系：
2 ⎤ 1 ⎡ c2q2 2 ⎤ 1 ⎡ c2q2 2 2 4c2q2ωTO 2 = ⎢ +ωLO⎥ ± ⎢( +ωLO) − ω± ⎥ ∞ ∞ 2 ⎣ε(∞) 2 ε ( ) ε ( ) ⎦ ⎣ ⎦
M μ = − kμ + q * E ′
2 ⎡ q∗ ⎢ 3ε 0 Ω = ⎢− k + ⎢ α 1 − ⎢ 3ε 0 Ω ⎢ ⎣
M =
mM m+M
P =
1 Ω 1 −
1
( )
α 3ε 0 Ω
[e
∗
u + αE
]
⎤ ⎤ ⎡ ⎥ ⎥ ⎢ q∗ ⎥μ + ⎢ ⎥E, ⎥ ⎢1 − α ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ε 3 Ω 0 ⎦ ⎣ ⎥ ⎦
光频介电常量
式中ε∞是离子晶体的光频介电常量。
(a) (b)
由上式 (a ) × M − − (b) × M + , 令 μ = μ + − μ −
2 ⎡ q∗ ⎢ 3ε 0 Ω M μ = ⎢− k + ⎢ α 1 − ⎢ 3ε 0 Ω ⎢ ⎣
( )
⎤ ⎡ ⎥ ⎢ q∗ ⎥μ + ⎢ ⎥ ⎢1 − α ⎥ ⎢ 3ε 0 Ω ⎣ ⎥ ⎦
⎤ ⎥ ⎥E, ⎥ ⎥ ⎦
其中 b 11 =
− k 3ε 0 Ω M + α M 1− 3ε 0 Ω q∗
(q )
∗
2
b12 = b 21 =
(M
1−
α 3ε 0 Ω
Ω )2
1
b
22
=
α Ω − 3ε
α
0
5. 极化激元
根据麦克斯韦电磁波理论，电磁波在各向同性介质 传播应适应的波动方程给出的关系：
2 ⎤ 1 ⎡ c2q2 2 ⎤ 1 ⎡ c2q2 2 2 4c2q2ωTO 2 = ⎢ +ωLO⎥ ± ⎢( +ωLO) − ω± ⎥ ∞ ∞ 2 ⎣ε(∞) 2 ε ( ) ε ( ) ⎦ ⎣ ⎦
M μ = − kμ + q * E ′
2 ⎡ q∗ ⎢ 3ε 0 Ω = ⎢− k + ⎢ α 1 − ⎢ 3ε 0 Ω ⎢ ⎣
M =
mM m+M
P =
1 Ω 1 −
1
( )
α 3ε 0 Ω
[e
∗
u + αE
]
⎤ ⎤ ⎡ ⎥ ⎥ ⎢ q∗ ⎥μ + ⎢ ⎥E, ⎥ ⎢1 − α ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ε 3 Ω 0 ⎦ ⎣ ⎥ ⎦
光频介电常量
式中ε∞是离子晶体的光频介电常量。
L3.5离子晶体中的长光学波29
u
q*
E
1
α 3ε0Ω
1
α 3ε0Ω
引入位移参量
W μu Ω
P
1
1
1
30
q*u
E
μu 2βu q* E有效
q* 2
2β
3ε0Ω
u
q*
E
1
α 3ε0Ω
1
α 3ε0Ω
则得黄昆方程
W b11W b12E (a)
P b21W b22E
(b )
ห้องสมุดไป่ตู้
实际上，由于长声学波波长比原胞线度大的多，在 半个波长内就已包括了许多原胞，因此，这些原胞都 整体的沿同一方向运动。
固体弹性理论中所述的宏观质点运动正是由这些原 子整体运动所构成的，这些原子偏离平衡位置的位移 就是宏观上的质点位移 u.
从宏观上看，原子的位置可视为准连续的，原子的 分离坐标可视为连续坐标。
波长λ比晶格常数a大得多。
• 在离子晶体中，长光学模代表元胞内正负 离子的反向运动，它将伴随着晶体的极化 并产生内场。
• 类似与长光学波可以看作连续介质中的弹 性波，在宏观弹性理论中求解运动方程， 对于长光学波，可以在宏观理论的基础上 进行讨论。
LA
q=0 LO
二、长光学波
1. 极化波 考虑由正、负离子所组成的一维复式格子。
其中
q *2
b11
2
30
1
30
b22
30
q*
1
b12
b21
2
1
30
W b11W b12E (a) P b21W b22E (b)
黄昆方程的物理意义很明显：
振动方程 极化方程
离子晶体的长光学波
1. 长光学波的宏观方程
—— 两种正负离子组成的复式格子_立方晶体
—— 半波长内，正离子 组成的布喇菲原胞同向 位移，负离子组成的布 喇菲原胞反向位移 —— 使晶体中出现宏观 的极化
—— 长光学波 — 极化波
原胞中的两个正负离子质量 两个正负离子的位移
描述长光学波运动的宏观量
—— 原胞体积
黄昆方程
W
b11W
b12 E
P b21W b22E
P and E —— 宏观极化强度和宏观电场强度
—— 离子相对运动的动力学方程
—— 正负离子相对运动位移产生的极 化和宏观电场产生的附加极化
1) 静电场下晶体的介电极化 恒定电场下
因为
和
比较
[ (0) 1]0
b22
b122 b11
2) 高频电场下晶体的介电极化
若q
q
E0
( 0
b12
b11 2
b22 ) 0
E0 0 得到对应波是纵波，
( 0
b12
b11 2
b22 )
0
TO
[
(0)
1
]2
LO ()
得到L-S-T关系，
若 q E0 0 得到对应波是横波，电磁波是横波
q qk , H0 H0 j—, E—0 正E负0i离, P子0 相 对P0运i ,W动0位移W产0i生的极
4) 离子晶体的光学性质
长光学波，正负离子相对运动产生一定的电偶极矩， 从 红而 外和 区电的磁强波烈发吸生 收— 化相 。—和互宏作正观用负电，离场只子产考相生虑对的库运附仑动加作位极用移化引产起生远的极
—— 离子相对运动的动力学方程，最后一项是耗 散项，r为正
支光学波晶格振动的波矢数目=晶体的原胞数N总的格波数目
P b21W b22E
长光学波的解的形式： W Aei(tqRn )
W WT WL
WT —— 横波 WT q
W A ei(TO t qRn )
T
T
WL —— 纵波 WL q
W A ei(LO t qRn )
L
L
WT 0 长光学横波是无散的
WL 0 长光学纵波是无旋的
电场满足静电方程： D (0E P) 0
E 0
W b11W b12 E
取旋度
W b11 W b12 E
(WT WL ) b11 (WT WL )
WT b11 WT
LST (Lyddano-Sachs-Teller)关系 LO (0) TO ()
—— 长光学纵波的宏观极化电场的大小与正、负离子的有效电
荷有关，有效电荷量越大，LO 和 TO 之间的差越大 共价晶体中，无宏观极化电场影响，LO TO
d 2WT dt 2
b11WT
2 TO
b11
02Biblioteka 0 WL 0 WT 0
W A ei
(
TO
t
q
Rn
)
T
T
W b11W b12 E
取散度
W b11 W b12 E
(WT WL ) b11 (WT WL ) b12 E WT 0
长光学纵波伴随着宏观极化电场，增加 了纵波的恢复力，从而提高了纵波的频率
WL
0 b22
b21
E
长光学纵波声子称为极化声子(LO)
东北师范固体物理16秋在线作业
固体物理16秋在线作业2一、单选题（共 20 道试题，共 60 分。
）1. 晶体的内能是指原子的动能与原子间的（）能之和．. 动. 相互作用势. 晶体结合. 零点振动正确答案：2.. -. -. -. -正确答案：3.. -. -. -. -正确答案：4.. -. -. -. -正确答案：5. 晶体的点对称操作中有（）种独立的基本操作．. 14. 32. 8. 230正确答案：6.. -. -. -. -正确答案：7. 石墨具有层状结构，石墨的层与层之间是靠（）结合的，这种力很弱，所以石墨硬度较金刚石差。
. 库仑引力. 一种强相互作用力. 范德瓦尔斯力. 氢键正确答案：8. 长波近似情况下，一维双原子链的相邻原子的振动振幅比为1，表明. 长声学波的相邻原子相对振动；. 长声学波描述原胞质心的振动；. 长光学波描述原胞中原子的相对振动；. 长光学波的原子做相对振动，且质心不动；正确答案：9.. -. -. -. -正确答案：10. 晶体中体积最小的周期性结构单元常称（）. 原胞. 晶胞. 布拉伐格子. 晶格正确答案：11.. -. -. -. -正确答案：12.. -. -. -. -正确答案：13. 晶体学中考虑到晶体对称性，将晶体结构划分为7个（），14种（）．. 布拉伐格子，晶系. 晶体结构，布拉伐格子. 晶系，布拉伐格子. 布拉伐格子，晶体结构正确答案：14.. -. -. -. -正确答案：15.. -. -. -. -正确答案：16. 离子性结合是以（）而不是以原子为结合单元，即靠（）间的静电库仑作用相互结合．. 离子，正负离子. 正负离子，离子. 负离子，正离子. 正离子，负离子正确答案：17. 立方晶系中的简立方晶格的倒格子结构是. 体心立方. 面心立方. 简立方. 立方密排正确答案：18.. －. －. －. －正确答案：19. 简立方结构的配位数是. 12. 8. 6. 4正确答案：20. 非晶体. 具有长程有序. 不具有周期性结构. 具有短程无序. 具有周期性结构正确答案：固体物理16秋在线作业2二、多选题（共 5 道试题，共 10 分。
34 离子晶体的红外光学性质
纵光学波离子振 动方向与传播方 向相同，退极化 场加强了回复力
＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋ ＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋
传播方向
横光学波离子振 动方向垂直于传 播方向，极化电 荷出现在晶体表 面，对回复力几 乎没有影响。
传播方向
K
离子晶体的长光学波是极化波，纵波中存在的极化
电场会提高其传播频率，横波不受影响。
NaCI 的色散曲线
e*E0 M M MM
2
e*E0
M (T2O 2 )
uo
e*E0
M (T2O 2 )
其中
2 TO
2
M M MM
2
⑤ 是光学支q＝0时的频率。
三. LST （Lyddane-Sachs-Teller）关系式：
大多数离子晶体在可见光谱区域是透明的，但在光谱的
红外区存在强烈的反射和吸收现象，这些红外光学性质是由 离子晶体光学支声子决定的。和离子晶体光学声子典型频率 值1013Hz 相近的红外电磁波对应的波长（10－5 m）远比原 子间距大得多，所以可能和红外电磁波发生作用的只能是长 波光学声子，即Brilouin 区心附近的光学声子。所以研究离 子晶体的红外光学性质要从分析长光学波运动的特点，求解 长光学波的宏观运动方程出发。
ห้องสมุดไป่ตู้
因为：
c 3 108 m s1 vS 103 m s1
电磁波色散关系贴近纵轴，所以 只会和 q→0的光学支耦合。当 电磁波垂直入射到离子晶体表面 时。如果它的频率和横光声子频 率相同，就能激发TO声子，因 为二者都是横波，它们会耦合在 一起。但横光子不与纵光学声子 发生耦合作用，垂直入射不能激 发LO声子。
固体物理课件：3_4离子晶体的长光学波(更新版)
的区域。由于波长很大，使晶体呈现出宏观上的极化，因此长 光学波又称为极化波。
对于立方晶格，洛伦兹提出了求解有效电场的方法，由理
论分析得到： 有效电场
'
1
E E
P
3 0
宏观电场
宏观极化强度
离子晶体的极化
离子位移极化 P 电子位移极化 Pe
对于长光学波，在相当大的范围内，同种原子的位移相
3 0 Ω 1
1
E
3 0 Ω
3 0 Ω
1
3 0
Ω
E
e
3 0 Ω
u
3 0 Ω 3 0 Ω
E
e
3 0 Ω
u
E
30 Ω 30 Ω
E
3 0
e
Ω
u
u 2 u e*E
m
d2 x2n1 dt 2
x2n2 x2n 2 x2n1
以u代替x2n , x2n2;以u代替x2n1 , x2n1
作用在离子上的除了准弹性恢复力以外，还要考虑到有 效电场的作用。
则正负离子的运动方程为：
Mu mu
2 u 2 u
P
P
Pe
1 Ω
e u
u
α Ω
E
将 E E
1
P 代入，得：
3 0
P
1
Ω 1
1
e
u
E
3 0 Ω
对于立方晶格，洛伦兹提出了求解有效电场的方法，由理
论分析得到： 有效电场
'
1
E E
P
3 0
宏观电场
宏观极化强度
离子晶体的极化
离子位移极化 P 电子位移极化 Pe
对于长光学波，在相当大的范围内，同种原子的位移相
3 0 Ω 1
1
E
3 0 Ω
3 0 Ω
1
3 0
Ω
E
e
3 0 Ω
u
3 0 Ω 3 0 Ω
E
e
3 0 Ω
u
E
30 Ω 30 Ω
E
3 0
e
Ω
u
u 2 u e*E
m
d2 x2n1 dt 2
x2n2 x2n 2 x2n1
以u代替x2n , x2n2;以u代替x2n1 , x2n1
作用在离子上的除了准弹性恢复力以外，还要考虑到有 效电场的作用。
则正负离子的运动方程为：
Mu mu
2 u 2 u
P
P
Pe
1 Ω
e u
u
α Ω
E
将 E E
1
P 代入，得：
3 0
P
1
Ω 1
1
e
u
E
3 0 Ω
上海师大固体物理 第三章(3)
d 2 u x dS dx dx 2 dt dx
d 2u ( x ) d 2u ( x ) c , 2 2 dt dx
改用偏微商的符号，则有：
2u ( x, t ) Y 2u ( x, t ) 2 t c x 2
上式是标准的波动方程，其解为：
u ( x , t ) u 0 e i qx t
/2
/2
/2
+ + -
+ + -
+ -
由正负离子构成的一维晶格的宏观极化
1 Eeff E P 3 0
（P为宏观极化强度）
长光学纵波（LO）
离子晶体具有复式晶格的特征，原胞中只有2个离子，3支光学波中有 2支是横波（TO），1支是纵波（LO）。 对于LO，离子位移与波的传播方向相同。由于极化电场的存在，使电 量为q*的正、负离子受到一个指向平衡位置的附加电场力f e q * Eeff 。 直接与恢复力有关，因此纵向极化使光学波的频率L增大。
u0
e* E0 M M M 2 MM e* E0 2
2 M TO 2
e* E0
2 M TO 2 1 1 2 其中 TO 2 是光学支q=0时的频率。 M M
LO 0 TO 0
NaCl的色散关系
金刚石的振动谱
2. 长光学波的宏观运动方程
仍以双原子链为例，讨论一 维离子晶体的振动。考虑到 正负离子受到极化场的作用 ，其运动方程写作：
a
a
2n
MMLeabharlann 2n 2 2n 1
*
离子晶体的长波
来描述长光学波振动
M W
1/ 2
( )
（1）
其中 M M M
M M
是约化质量（折合质量）；Ω为原胞体积；
, 为正负离子的位移。
2013-6-15
9
选择 W 作为宏观量后，黄昆建立了一对方程，称为黄昆方程：
2013-6-15 16
注意到（10）式，则有
因而
0 b22 WL E b12
0 b22 WL E b12
代入（15）式，得
d WL b12 2 b11 WL 2 dt 0 b22
2
（16）
2013-6-15
5
二、 长光学波的宏观运动方程
(macroscopic equation of long optic wave )
1、长光学晶格振动产生的内场 长光学波相邻的不同离子振动方向相反，设正、负离 子之间的相对位移为 (μ μ ) ，产生的极化强度矢量为
1 P q *(μ + μ )
b12 [ (0) ()] 0 b11
2013-6-15
2
（8）
12
且对于长光学振动，有
b11 0
2
ω0是横光学波的频率，可以从晶体的红外吸收谱测量中得到.
（其实 b11W 为准弹性力，b11相当于（－ω02））
由上面的讨论，我们得到
b11 0
2
1/ 2 1/ 2 0
所以
LO 2 [ (0) 2 ] 0 ( )
b11 0
2
因此有
M W
1/ 2
( )
（1）
其中 M M M
M M
是约化质量（折合质量）；Ω为原胞体积；
, 为正负离子的位移。
2013-6-15
9
选择 W 作为宏观量后，黄昆建立了一对方程，称为黄昆方程：
2013-6-15 16
注意到（10）式，则有
因而
0 b22 WL E b12
0 b22 WL E b12
代入（15）式，得
d WL b12 2 b11 WL 2 dt 0 b22
2
（16）
2013-6-15
5
二、 长光学波的宏观运动方程
(macroscopic equation of long optic wave )
1、长光学晶格振动产生的内场 长光学波相邻的不同离子振动方向相反，设正、负离 子之间的相对位移为 (μ μ ) ，产生的极化强度矢量为
1 P q *(μ + μ )
b12 [ (0) ()] 0 b11
2013-6-15
2
（8）
12
且对于长光学振动，有
b11 0
2
ω0是横光学波的频率，可以从晶体的红外吸收谱测量中得到.
（其实 b11W 为准弹性力，b11相当于（－ω02））
由上面的讨论，我们得到
b11 0
2
1/ 2 1/ 2 0
所以
LO 2 [ (0) 2 ] 0 ( )
b11 0
2
因此有
34离子晶体的红外光学性质
U (r)
q2 r
rn
(2) 计算与该频率相当的电磁波的波长，并与NaCl红外吸收频率的测量值
由后面两张图可以清楚地看出：离子晶体长光学波的极化 对纵波和横波的影响是不同的，纵波的极化场增大了原子位移 的恢复力，从而提高了振动频率，而横波的极化场对频率基本
没有影响，所以离子晶体中， LO (0) TO (0) 如NaCI
而在共价晶体中，没有极化影响 LO (0) TO (0) 如金刚石
晶体的哈密顿量可以写为：
H
1 2
w2
1 2
b11w2
b12 E
w
1 2
b22E 2
于是可以写出离子运动方程－－黄昆方程
②
w
H w
b11w b12E
③
P
H E
b12w b22E
b11, b12, b22 是三个待定系数。 可以由实验确定。
从黄昆方程出发，同样可以给出 LST 关系式。讨论离 子晶体的光学性质，详见黄昆书p104-115
在 q 中间区域，耦合很强，出现的是电磁波和格波的混合模式 TO LO 是禁区，该区域中将不会有电磁波在晶体中传播
见黄昆 书p115
习题：
3.8 已知NaCl晶体平均每对离子的相互作用能为
其中马德隆常数 1.75, n 9
平衡离子间距
0
r0 2.82 A
(1) 试求离子在平衡位置附近的振动频率。
大多数离子晶体在可见光谱区域是透明的，但在光谱的
红外区存在强烈的反射和吸收现象，这些红外光学性质是由 离子晶体光学支声子决定的。和离子晶体光学声子典型频率 值1013Hz 相近的红外电磁波对应的波长（10－5 m）远比原 子间距大得多，所以可能和红外电磁波发生作用的只能是长 波光学声子，即Brilouin 区心附近的光学声子。所以研究离 子晶体的红外光学性质要从分析长光学波运动的特点，求解 长光学波的宏观运动方程出发。
固体物理--第三章 晶格振动
三、周期性边界条件 周期性边界条件：
N n n
e
iNaq
1
2 q h Na
q的分布密度：
h =整数， N：晶体链的原胞数
Na L q const. 2 2
{
简约区中q的取值总数 ＝ q
2 N ＝晶体的原胞数 a 晶格振动的格波总数＝2N＝晶体的自由度数
2 1
两个色散关系即有两支格波：（＋：光学波； －：声学波）
简约区：
a
q
a
π a
π a
对于不在简约区中的波数q’ ，一定可在简约区中 找到唯一一个q，使之满足：
2 q q G a
G 为倒格矢
二、光学波和声学波的物理图象 第n个原胞中P、Q两种原子的位移之比
n m M n q0
离子晶体在某种光波的照射下，光波的电场可以激发这 种晶格振动，因此，我们称这种振动为光学波或光学支。
对于单声子过程（一级近 似），电磁波只与波数相同的格
(q)
=c0q +
+(0)
波相互作用。如果它们具有相同
的形式在整个晶体中传播，称为格波。
q取不同的值，相邻两原子间的振动位相差不同，则 晶格振动状态不同。 2 则 q 与 q描述同一晶格振动状态 若 q q a
1 4a
例：
q1
q2
2
1
2 a
5
4
2
2a 5
2a
2
2 q2 q1 a
三、周期性边界条件（Born－Karman边界条件）
N+1
第11、12讲、离子晶体的长光学波和晶格振动谱的确定方法
q、E0 、H0 相互垂直，构成右手系 相互垂直，
由(1) q × E0 = µ0ωH 由(2)
qE0 = µ0ωH0
q × H0 = −ω ε0E0 + P 0
(
)
qH0 = ω(ε0E0 + P ) 0
b2 = ω ε0 + b22 − 12 2 E0 b +ω 11
18
b2 = ω ε0 + b22 − 12 2 µ0ω b +ω 11 q2
(1)
(
(
)
)
(2) (3) (4) (5) (6)
−ω2W 0 = b W 0 + b E0 11 12 P0 = b W 0 + b22 E0 12
代回方程
16
q× E0 = µ0ωH0 q× H0 = −ω ε0 E0 + P0 q ⋅ ε0 E0 + P0 = 0 q ⋅ H0 = 0
(1)
Maxwell方程组 方程组
(
)
j =0
∇⋅ D = ∇⋅ ε0 E + P = 0 ∇⋅ B = µ0∇⋅ H = 0
(
)
ρ =0
黄昆唯象方程 黄昆唯象方程
∂2W = b11W + b12 E 2 ∂t P = b12W + b22 E
15
设晶格振动是频率为ω 波矢为 的平面格波 设晶格振动是频率为ω，波矢为q的平面格波
ε ( 0) 2 −1ωTO ω −ω = ε ( ∞) 2 L Nhomakorabea 2 TO
2 ε0 ε ( 0) −ε ( ∞)ωTO b2 = = 12 ε0ε ( ∞) ε0ε ( ∞)
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黄昆在1951年首先提出了这个概念, 并且 对这种耦合模的性质进行了系统的分析
后来证明不仅格波有这样的耦合模式, 另 外如等离子振荡、激子、自旋波等也有类 似的现象, 统称为极化激元 polariton
同时写出描写光波的 麦克斯韦方程组和晶 格振动的唯象方程
H E 0 t H 0 E P t D 0 H 0 W b11W b12 E P b12 W b22 E
若有一个质量为 M ´ 的杂质原子替代了一维单原 子链本身原子的位置，近似假定力常数是不变的 可以解出,杂质对整个频谱的影响 是很小的, 但会出现局域振动模 如果杂质原子比所替代的原子质量轻时, 即 M ´< M, 就会出现新的局域振动, 其频率 ωI 比原来格波振动的最高频率 ωm 更高 在原有的频带之上出 现了新的频率, 称为 高频模
2 b12 0 b22 0 b11 2
q2
2 b11 0 2 将 b12 0 002 代入得到
b22 1 0
0 2 q 0 2 2 2 0
1/ 2
LST 关系
长光学纵波的频率ωLO 总是大于长光学横波的频率ωTO
三、长光学波振动的原子理论 从一般的原子理论角度建立唯象的方程, 并推导出 系数
1 (q*) 2 3 0 M k b11 M 1 1 3 0
q* ( M )1/ 2 b12 b21 1 1 3 0
有两种情况
(1) 纵波 q E 0 0
2 b12 0 b22 0 2 b11
2 b11 0 1/ 2 1/ 2 b12 b21 (0) ( ) 0 0 b22 ( ) 1 0
同样如果固定入射光, 而测量不同方向散射光的 频率，就可以得到声子的频率和波数矢量
但由于一般可见光范围, |k| 只有 105 cm1量级, 因此 相互作用的声子的波数 |q| 也是在 105 cm1的量级
从晶体布里渊区来看, 它们只是在布里渊区中心 附近很小一部分区域内的声子,即长波声子(这时 在准动量守恒的关系中, 倒格矢 G n 只能为零) 这使得光散射的办法测定的晶格振动谱只 能是长波附近很小的一部分声子，与中子 非弹性散射相比这时一个根本的缺点
黄昆方程
W b W b E 11 12 P b21W b22 E
描写离子晶体 中长光学波的 基本方程
第一个方程是决定离子相对振动的动力学方程
第二个方程表示除去正、负离子相对位移产生 极化, 还要考虑宏观电场存在时的附加极化
LO (0) TO ()
ħq 称为声子的准动量
一般来说, 声子的准动量并不代表真实 的动量, 只是它的作用类似于动量
在声子吸收和发射的过程中, 存在类似于 动量守恒的变换规律, 但是多出 ħGn 项 动量守恒是空间均匀性(或称为完全的平移不 变性)的结果。准动量守恒关系实际上是晶格 周期性(或者称为晶格的平移不变性)的反映
q E 0 0 H 0 q H 0 0 E 0 P 0
2 b12 qH 0 ( 0 E0 P0 ) 0 b22 E 2 0 b11 两式联立，求得 2 b12 q2 0 b22 2 0 b11
中子源是反应 堆中产生出来 的慢中子流
准直器用来选择入射 和散射中子的方向
早期的反应堆中子流密度太小使实验工作受到很大 限制, 高通量的中子反应堆 (流量高于1014 cm-2 s-1) 比较普遍后, 这种方法才取得了许多有意义的结果
由于能量一般为 0.02-0.04 eV, 与声子的能量是同数量级
定义 有
M M ' M
表示杂质原子 质量与本身原 子质量之差
I
m
1 2
也就是说, 局域模的频率随 M ´的减小而增高, 而且可以证明随 M ´的减小, 局域振动在空间 的扩展程度也要随之减小
c2
2
0 0 1/ c2
解得
1 2 0 0 c2 q2 2
2
0 c q
2 0 2
2 2
2 40 c2 q 2
这里的解是考虑了格波与电磁波的耦合
格波产生晶体的极化, 极化与电磁波相互作用 两种波(格波和电磁波)互相耦合 出来新的耦合波模式
p '2 p2 (q) 2M n 2M n
ħω(q) 表示声子的 能量, +(－) 表示 吸收(发射)声子 Gn n1b1 n2 b2 n3 b3 为倒格子矢量
准动量守恒关系 p ' p q Gn
p ' p q Gn
§3-7 局域振动
当晶体中存在有杂质(或缺陷)时, 可能产生局域振 动, 这种局域振动只是局限在杂质 (或缺陷)附近, 其振幅随着与杂质(或缺陷)的距离增大而指数衰减 一维单原子链, 已知一维单原子链原子质量为 M, 间距 为 a, 其格波解的色散关系
1 2 sin aq m 2
格波振动频率取值在 0 和 m 2 / m 之间, 构成一个频带
一方面, 由于晶格也具有一定的平移对称性 (以 Bravais 格子为标志), 因而存在与动量守 恒相类似的变换规律; 另一方面, 由于晶格平移对称性与完全的平 移对称性相比, 对称性降低了, 因而变换规则 与动量守恒相比, 条件变弱了, 可以相差 ħGn
固定入射中子流的动量 p (和能量 E), 测量出不同散射 方向上散射中子流的动量 p´(即能量 E´), 根据能量和 准动量守恒关系确定出格波的波矢 q 以及能量 ħω(q) 三轴中子谱仪 单色器和分析器是 单晶,利用Bragg反 射产生单色中子或 确定散射中子动量
§3-5 离子晶体的长光学波 小 结
描写离子晶体中长光学波的基本方程
W b W b E 11 12 P b21W b22 E
LST 关系
LO (0) TO ()
1/ 2
长光学横波与电磁波耦合产生耦合模式—极化激元
代入得到
q E 0 0 H 0 q H 0 0 E 0 P 0 q 0 E 0 P 0 0 qH 0 0 2 W 0 b11W 0 b12 E 0 P 0 b12 W 0 b22 E 0
从后两式可得 代入第三式得到
2 b12 P 0 b22 E0 2 b11 2 b12 q E 0 0 b22 0 2 b11
2 b12 q E 0 0 b22 0 2 b11
这意味着
2 LO
0 2 0
— LST 关系
(2) 横波 由第四式
q E0 0
q H0 0
即
q E0
q H0
、H 0 相互垂直
所以 qE0 0 H0
b22 =
1 1 3 0
/
四、离子晶体的光学性质 正负离子间的相对振动产生一定的电偶极矩, 从而可以 和电磁波相互作用, 引起在远红外光区域的强烈吸收
红外选择 反射
五、极化激元
前面假定了晶体中的电场只是库仑作用引起的, 因而 有 ▽×E＝0, 即 E 为无旋的矢量场 严格的理论应该以麦克斯韦的电磁 方程代替前面的静电方程 把电磁方程和晶格的唯象方程结合以后, 所研究的对 象就成为晶格的长光学振动和电磁场相耦合的系统 求解得到的振动模实际上代表了 格波和光波的耦合振动模
§3-6 确定晶格振动谱的实验方法
晶格振动频率与波数矢量之间的函数关系ω(q), 称为格波的色散关系, 也称为晶格振动谱
可以利用波与格波的相互作用， 以实验的方法直接测定ω(q) 最重要的实验方法是中子的非弹性散射
另外还有 X 射线散射、光的散射等
动量为 p、能量为 E = p² n 的中子流入射到样品上, /2M 由于中子仅仅和原子核之间有强的相互作用, 因此它 可以毫无困难地穿过晶体, 而以动量 p´、能量 E´ = p´² n 射出 /2M 格波振动可以引起中子的非弹性散射, 这种非 弹性散射也可以看成是吸收或发射声子的过程 能量守恒关系
q0
c
0
q
低频电磁波
LO
晶体中的纵光学波, 是纯的振动模式
| q | 很大
c
q
高频电磁波
TO
横光学波,
纯的格波模式
在中间区域，耦合很强，出现的是电 磁波与格波的混合模式
ωTO<ω<ωLO, “禁止区” , 在这区域 中将不会有电磁波能在晶体中传播
中子的德布罗意波波长 ħ/mv 约为2－3×10-9cm, 正好 是晶格常数的数量级, 提供了确定格波 q, ω的最有利条 件
已经对相当多的晶体进行了中子非弹性散射的研究
但中子的非弹性散射也有局限性, 例如固态氦-Ⅲ, 氦-Ⅲ 的原子核对中子有很大的俘获截面, 而形成 氦-Ⅳ, 因而无法获得它的中子衍射谱
发射声子
吸收声子
也可以利用 X射线的散射, 测定晶格 振动谱, 其原理是相同的
X射线的波数矢量与晶体倒格子矢量同数量级, 因此测量的范围可以遍及整个布里渊区, 而不是 局限在布里渊区中心附近; 但是 X射线的能量 (~104eV) 远大于声子的能量 (~10-2eV ), 实际上用能量守恒关系确定声子的 能量是很困难的