华丽高数上作业答案

第12次作业

教学内容：§3.1微分

**1.

．

求，设　dy x x x x y x ),4

0(2tan )(cos )(sin π

<

<+=

解: dy y x dx ='()

[]{}

dx x x x x x x x 2sec 2tan sin )ln(cos cos )(cos 2sin +⋅-=　.

**2.

设　求．y x e e dy x x ()ln()=++--241 解:

du u du du dy dy e

u x

2211,+===-则　令　dx

e e x x

4212--+-=　.

**3.

设　且处处可微求ϕϕϕϕϕ(),(),ln ()()x x d x x >⎡⎣⎢⎤

⎦⎥0 解:

)()

(ln x x u ϕϕ=

记，

则du u x x d )()()(ln ϕϕϕϕ'=⎥⎦⎤⎢⎣⎡dx x x x x u )()

(ln )()()(2

ϕϕϕϕϕ⋅'-'⋅'=

[]dx

x x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡'⋅-'=

)()(ln )(ln 1)()

(2ϕϕϕϕϕϕ　.

**4. ．的微分所确定隐函数求由方程dy x y y a axy y x )(,)0(033

3

=>=-+

解: 由

033

3=-+axy y x , 得 0)d d (3d 3d 322=+-+y x x y a y y x x

x

ax y x ay y d d 22

--=∴.

**5.

.)(0)cos(sin dy x y y y x x y 的微分所确定隐函数求由方程==+-

解: 0)()sin(cos sin =+⋅+++⋅dy dx y x xdx y x dy 由　

得　dy y x x y x x y dx

=-

++++cos sin()

sin sin().

**6. .26

3

的近似值用微分方法计算 解:127)()()()(0003

-=∆=∆⋅'+≈∴=x x x

x f x f x f x x f ．，令　

959.2271

3263

=-

≈.

**7.

.151cos ,0

的值计算用微分代替增量 解:

f x x x x ()cos ===

==．，000150561180ππ

∆,

8747.036023180

)150(sin 150cos )151(000-≈--

=⋅

-≈π

π

f .

**8.cm cm cm 005.02.55一层厚的空心铁球的表面上镀

外半径为在一个内半径为 量。

个金球中含铁和金的质，试用微分法分别求这，金的密度为已知铁的密度为的金33g/cm 9.18g/cm 86.7,

解: ，

．．，86.72.0534

1113==∆==ρπr r r V

)(6.4932086.7486.712

11g r r m ≈⨯=∆⋅⋅≈ππ，

，，，9.18005.02.5222==∆=ρr r )(1.32005.0)2.5(49.1822g m =⋅⨯≈π.

**9.

，要使周期，摆长，其中单摆振动周期cm 8.9cm/s 98022===l g g l

T π

?,01.0摆长需增长多少增大s

解:

l

gl

dT T ∆=

≈∆π

)(31.001.014.398

cm T gl

l ≈⋅≈

∆≈

∆　π

.

**10.设扇形的圆心角

60=α，半径cm R 100=，如果R 保持不变，α减少03'，问扇形面积约改变多少？如果

60=α不变，R 增加cm 1，问扇形

面积约改变多少？

解：扇形面积公式为2

21R S α=，

（1） 视α为变量，则

63.43)360(21)d d (

2-=-⋅=∆⋅≈∆π

ααR S S 。

（2） 视R 为变量，则7.10411003d d =⋅⋅=∆⋅=∆⋅≈

∆π

αR R R R S S .

**11.测得一个角大小为

45，若已知其相对误差为%3，问由此计算这个角的正弦函数值所产生的绝对误差和相对误差各是多少？

解：设角度为x ，于是x y sin =，由微分近似计算，有

（1）01666

.0%3422%3445cos cos =⨯⨯=⎪⎭⎫

⎝⎛⨯⋅=∆⋅=∆⋅'≈∆ππ x x x y y ； （2）%356.2sin =∆⋅'≈∆x x

y y y .

第13次作业

教学内容：§3.2微分中值定理

**1. .arcsin )(]1,1[的值时应用拉格朗日中值定理内对函数试求在

ξ=-x x f 解：在上连续在内可导f x x ()arcsin [,],(,)=--1111

即在满足拉格朗日中值定理的条件f x ()[,]-11

又'=

-f x x ()112

令'=

-=

----=

f f f ()()()()ξξπ

1111112

2

得到内的解(,)-=±-

1114

2ξπ

即存在ξπξπ12

2214

14

=-

=--

,,使

)

2,1()1(1)

1()1()(=----=

'i f f f i ，ξ.

**2.

成立内使则在设))(()()(,1

)(,0,a b f a f b f b x a x x f ab b a -'=-<<=

<<ξ

ξ的点 （ ）

的具体数值有关与是否存在 不存在

有两点

只有一点 b a D C B A ,,)(,)()()( 答　()C

***3.设()()()()()d x c x b x a x x f ----=（其中d c b a <<<），不用求()x f '，说明方程()0='x f 有几个实根，指出它们所在的区间。

解：显然，()x f 在[][][]d c c b b a ,,,,,三个闭区间上连续，且在()()()d c c b b a ,,,,,内可导，又因为有()()()()0====d f c f b f a f ，由罗尔中值定理，至少存在三点

()()()d c c b b a ,,,,,321∈∈∈ξξξ，

使得

()()()0321='='='ξξξf f f .

又()x f '是一个实系数一元三次多项式函数，所以方程()0='x f 在实数范围内最多只

有