大学物理实验绪论误差和不确定度

第一章
测量误差与数据处理基本知识 测量与测量误差
第一节 一、测量与误差 （一）测量
1. 测量的定义：在一定条件下，利用仪器， 通过实验的方法，把被测量与作为计量单位的标 准量相比较的过程。或者说，测量就是测定待测 量和标准计量单位的倍数关系。
任何一种测量结果，其物理量都是由数值和 单位构成。
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2. 测量分类
表示真值处于
x σ x 区间内的概率为68.3%。
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பைடு நூலகம்
5. 测量结果的表示 设测量列的算数平均值及其总的标准偏差分别 为
x 和 x
，则测量结果可以表示为： (有单位)
（或 x ） x x x
E
x（或 x ）
x
100 %
(无单位)
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二、直接测得量的误差估算
(一) 单次测量的误差估算应根据测得量的实际情况 和仪器误差进行。
f ( x , y,)
2 2
f f 2 2 u [u( x )] [ u ( y )] x y ln f ln f 2 E [u( x )] y x u
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f f f dy dx1 dx 2 dx m x1 x 2 x m
由于∆x1, ∆x2, …, ∆xm 是很小量，可代替dx1, dx2, …, dxm, 则上式可写成
f f f Δy Δ x1 Δ x2 Δ xm x1 x 2 x m
1 算术平均偏差 x x i x n
标准偏差
σx
2 ( x x ) i
n( n 1)
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三、间接测得量的误差估算
间接测得量的误差估算，可以通过误差传递 公式得到。 1. 间接测量的误差传递公式 设间接测量量y是各相互独立的直接测得量 x1, x2, …, xm的函数 y = f(x1, x2, …, xm) 若各直接量的绝对误差估算值分别为∆x1, ∆x2, …, ∆xm, 将上 式求全微分:
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偶然误差的来源：主要来源于人们视觉、听觉和 触觉能力的限制以及实验环境偶然因素的干扰。
例如：温度、湿度的变化、电源电压的起伏，气流 波动及振动等因素的影响。 另有一种粗大误差，在数据处理时应予剔除。
3. 偶然误差的正态分布（亦称高斯分布）
⑴正态分布曲线 正态分布的特征可用曲线形象描述
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偶然误差的正态分布曲线
，i = 1, 2, …,n.
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定义算术平均偏差为 :
x
x1 x x 2 x x n x n
1 n xi x n i 1
式中取绝对值是考虑了全体偏差的贡献。 3. 标准偏差（测量列的标准偏差）
σx
2 x i
n 1

2 ( x x ) i
标准不确定度:用标准偏差表示测量结果的不确定 度，称为标准不确定度.分为A类和B类.
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A类标准不确定度:在同一条件下多次重复测量时,由 一系列观测结果用统计方法评定的标准不确定度,用uA 表示. B类标准不确定度:用其他方法(非统计分析)评定的标 准不确定度,用uB表示. 合成标准不确定度:间接测量结果的标准不确定度.用 u(y) 表示. 二、直接测量的标准不确定度的评定 1. A类标准不确定度的评定
n 1
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物理意义：实验标准偏差不是测量的实际误差，它 只是一组测量数据可靠性的估计。它表示任意一次 测量的值落在 x 之间的可能性为68.3% . 它是表示测量结果的分散程度的量。又称测量列的 标准偏差。 4. 算数平均值的标准偏差
σx σx n
2 ( x x ) i
n(n 1)
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第二节
测量结果的误差估算
一、算术平均值、算术平均偏差、标准偏差 1. 算术平均值 设在相同条件下对某一个物理量进行了多次重 复测量，测量值分别为： x1 , x2 , …, xi , …, xn 则
x1 x 2 x i x n x n n
1 xi n i 1
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系统误差的消除： 消除产生的原因。对测量过程及测量装置进行分 析和研究，找出可能产生系统误差的原因，并采 取相应措施使系统误差减小和消除。
对测量结果加以修正。如在计算公式中加修正 项等。
采用适当的测量方法。如天平两臂不等长，可 采用复称法称衡。
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（2）偶然误差
偶然误差定义（也称随机误差）：在相同条件 下，对同一物理量进行多次重复测量，即使系统误 差减小到最小程度，测量值仍会出现一些难以预料 和无法控制的起伏，而且测量误差的绝对值和符号 也随机地变化，这类误差称为偶然误差。 偶然误差的特点：随机性。
直接测量：用仪器直接读出测量值的测量。
例如：用刻度尺测长度；用电流表测电流等。 间接测量：根据直接测量所得到的数据，利用一定 的物理公式，通过运算，计算出结果。 例如，直接测出单摆的长度L和周期T，应用公 式 T 2π
L ，计算出重力加速度g。 g
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（二）误差
1. 真值与误差的定义 真值 x真：物理量的客观存在值。由于仪器准确
度、测量方法、环境影响等条件的限制，任何实
际测量总得不到真值。
测量误差：测量值x与真值x真的差异称为测量误 差，简称误差。 绝对误差
x x真
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误差存在于一切测量中！
相对误差：测量的绝对误差与被测量真值之比称 为相对误差，常用百分数来表示，又称百分误差。
δ δ E 100% 100% x真 x
1. 仪器误差△N仪：卡尺、千分尺一类一般分度仪
器常用“示值误差”进行估算；电工仪表常用
“基本误差的允许极限”进行估算。例如，
0~25mm的千分尺，示值误差为0.004mm。
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2. 单次测量 最大误差估算△N估：当仪器没有给出
“示值误差”或“基本误差的允许极限”时，可用
仪器的最小分度值（或最小分度值的1/2）进行估算。
图中横坐标为误差δ，纵坐标为误差 的概率密度分布函数ƒ(δ)。
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⑵遵从正态分布的偶然误差的四个特征
① 单峰性：绝对值小的误差出现的可能性 （概率）大，大误差出现的可能性小。
② 对称性：大小相等的正负误差出现的机会均等， 对称分布于真值的两侧。 ③ 有界性：非常大的正负误差出现的可能性几乎 为零。 ④ 抵偿性：当测量次数非常多时，正负误差相互抵 消，误差的代数和趋向于零。
(有单位)
x（或 x ）
x
100 %
(无单位)
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5. 仪器读数：一般来讲，仪器读数应读到仪器最 小分度值后再估读一位。下列情况不需估读：
⑴ 仪器本身不能估读。如游标卡尺。
⑵ 待测对象或测量方法较粗糙。 ⑶ 仪器的分度值优于仪器误差。 （二） 多次测量用算术平均偏差 x 或用标准偏
差 σ x 进行估算。
2
2 [u( y )]
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2
考虑每个直接量误差的贡献，得到:
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f f f Δy Δ x1 Δ x 2 Δ x m x 1 x 2 x m
相对误差的估算值为：
Δ y 1 m f E Δ x i y y i 1 x i
f Δ x i i 1 x i
m
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2. 标准偏差的传递公式
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由于实验原理或实验方法不完善对实验的影响。
有时也称理论误差。
例如：计算公式的近似或忽略一些其他因素 的影响等。 由于外界环境的变化对实验的影响。有时也称 环境误差。 例如：温度、压力、电磁场等发生变化对 测量的影响。 由于测量者生理或心理因素，缺乏经验对实验的 影响。有时也称观测误差。 例如：斜视读数、颜色辩别能力差等。
数字仪器可取末位一个单位估算。
游标卡尺，不可估读 取最小分度值0.02mm
米尺，可以估读
取最小分度的一半0.5mm
3. 单次测量的标准偏差估算
σ
Δ N仪 3
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注意：以系统误差为主的仪器，用标准误差评价测
量结果没有多大意义。
4. 单次直接测量的结果表示
x x测 仪 （或 仪 ）
E
若各个独立的直接量的标准偏差分别为
σ x1 ,σ x2 , ,σ xm 则间接量y的标准偏差为:
f f f 2 2 σy ( σ x1 ) ( σ x2 ) ( σ xm ) 2 x 1 x 2 x m
1 f f f 2 2 E ( σ x1 ) ( σ x2 ) ( σ xm ) 2 y y x 1 x 2 x m σy
2. 误差的分类
根据误差产生的原因和性质，误差可分为 系统误差和偶然误差。
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（1）系统误差 系统误差定义：在同一条件下，多次测量同一 物理量时，误差的大小和符号始终保持不变，或 在条件改变时，误差的大小和符号按一定规律变 化，这类误差叫系统误差。 系统误差的特征：确定性。
系统误差的来源：
由于测量仪器不完善、精度不够高或安装调试 不当对实验的影响。有时也称仪器误差。 例如：刻度不准、零点不对、应该水平放 置的仪器没有放水平等。
为算术平均值。 当n→∞时， x无限接近于真值，所以算术平均值是真 值的最佳估计值。
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2. 算术平均偏差 由于真值无法测得，实际中总是用算术平均值代 替真值，为了加以区别，称
xi xi x
为偏差。 有一组测量值x1, x2, …, xi , … xn 各次测量值的偏
xi xi x 差为：
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第三节 测量不确定度的评定 一、测量不确定度 （一）不确定度的基本概念
不确定度是指测量结果不能确定的程度.其表示 测量结果具有离散性的一个参数,即提供测量结果的 范围或区域,使被测量的值能以一定的概率位于其中. 测量不确定度小,表示测量结果的离散性小,测量 结果与真值越接近;反之, 测量结果与真值差别越大. （二）测量不确定度的分类