第一章 机械振动学基础

1.1 机械振动的运动学基本概念
1.简谐振动 位移和时间可以用时间表示：
2 2 x A cos( t ) A sin( t ) 1-1 T T 角速度 称为简谐运动的角频率或圆频率，单位 为rad/s，可表示为 2 T
它与频率f有关系式：
2f
简谐振动的速度和加速度是位移表达式关于 时间t的一阶和二阶导数： A cos(t ) A sin(t ) vx 2 （1-2） A 2 sin(t ) A 2 sin(t ) a x 在振动分析中。有时我们用旋转矢量来表示简谐 振动，旋转矢量的模为振幅A，角速度为角频 率 。若用复数来表示，则有：
（1）函数在一个周期内连续或只有有限个间 断点，且间断点上函数左右极限存在； （2）在一个周期内，只有有限个极大小值； 则可展开为Fourier级数的形式。
此时： a0 x(t ) a1 cost a2 cos 2t ... 2 b1 sin t b2 sin 2t ... （1-7) 其中：
有两个不同频率的简谐振动
x1 A1 sin 1t x2 A2 sin 2t
若
1 2
x x1 x2 A1 sin 1t A2 sin 2t
则合成运动为：
对于 A2 A1 ，这时有
x1 A1 sin 1t x2 A2 sin(1 )t
1.3 自由度和广义坐标
为了建立振动系统的数学模型，列出描述其运 动的微分方程，必须确定系统的自由度数和描 述系统运动的坐标。 物体运动时，受到各种条件的限制。这些限制 条件称为约束条件。物体在这些约束条件下支 边动时，用于确定其位置所需的独立坐标数就 是该系统的自由度数。
一个质点在空间作自由运动，决定其位置 需要三个独立的坐标，自由度数为3。而由 n个相对位置可变的质点组成的质点系，其 自由度数为3n。刚体运动可以分解为随质 心的平动和绕质心的转动，需要确定其沿 直角坐标x,y,z的三个平动位移和绕x, y, z的 三个转角，所以其自由度数为6。弹性体、 塑性体和流体等变形连续体，由于由无限 个质点所组成，其自由度数有无限多个。
z Ae
j (t )
A cos(t ) jAsin(t )
（1-3）
这时，简谐振动的位移x可表示为：
x Im[Ae
j (t )
]
（1-4）
简谐运动的速度和加速度表示为：
Im[ jAe j (t ) ] Im[Ae vx Im[ Ae a x
当系统受到约束时，其自由度数为系统无约束时 的自由度数与约束数之差。对于n个质点组成的质 点系，各质点的位移可用3n个直角坐标 来描述。当有r个约束条件，约束方程为：
( x1, y1, z1 ,...,xn , yn , zn )
f k ( x1 , y1 , z1 ,..., xn , yn , zn ) 0 k 1,2,...,r
为了确定各质点的位置，可选取N＝3n-r个独立 的坐标： q j q j ( x1 , y1 , z1 ,...,xn , yn , zn )
j 1,2,3,...,N
来代替3n个直角坐标。这种坐标叫做广义坐标。 在广义坐标之间不存在约束条件，它们是独立的 坐标。广义坐标必须能完整地描述系统的运动， 其因次不一是长度。因为选取了个数为自由度数 N的广义坐标，运动方程就能写成不包含约束条 件的形式。
比例常数K称为弹簧常数或刚度系数，单位为 N/m。
Fd cx
阻尼力Fd反应阻尼的强弱，通常是速度的函数。 当阻尼力Fd与速度成正比时，有：
这种阻尼称为粘性阻尼或线性阻尼，比例常 数c称为粘性阻尼系数，单位为N.s/m
质量，弹簧和阻尼器是构成机械振 动系统物理模型的三个基本元件。 质量大小、弹簧常数和阻尼系数是 表示振动系统动特性的基本物理参 数。
2 T a0 x(t )dt T 0 2 T b0 x(t ) cos ntdt T 0 2 T bn x(t ) sin ntdt T 0
an cos nt bn sin nt An sin(nt n )
式中：
对于特定的n，我们可得
An a
2
n
1.1 机械振动的运动学概念
机械振动是一种特殊形式的运动。在这种 运动过程中，机械振动系统将围绕其平衡 位置作往复运动。从运动学的观点看，机 械振动是研究机械系统的某些物理量在某 一数值附近随时间t变化的规律。可用函数 表示为x=x(t); 对于周期运动，表示为x(t)=x(t+nT) 其中T为振动的周期，其倒数即为f=1/T
从能量角度看，惯性是保持动能的元素，恢复性 是贮存势能的元素，阻尼是使能量散逸的元素。 当物体沿x轴作直线运动时，惯性的大小可用质 量来表示。根据牛顿第二定律，有：
d x F m 2 dt
质量的单位是KG。物体的质量是反映其惯性的基 本元件，质量的大小是反映物体惯性的基本物理 参数。
2
典型的恢复性元件是弹簧，该恢复性元件所产 生的恢复力Fs是该元件位移x的函数，即： Fs＝ Fs(x) 其作用方向与位移x的方向相反。当Fs(x)为 线性函数时，即 Fs＝－kx
合成运动可表示为：
x A sin 1t
式中：A
A A 2 A1 A2 cost
2 1 2 2
A2 2 2 A2 A1 1 ( ) cost A1 A1
1.2 构成机械振动系统的基本元素
构成机械振动系统的基本元素有惯性、恢 复性和阻尼。 惯性就是能使物体当前运动持续下去的 性质。 恢复性就是能使物体位置恢复到平衡状 态的性质。 阻尼就是阴碍物体运动的性质。
2 j (t )
j ( t ) 2
] ]
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] Im[Ae
j ( t )
（1-5）
z Ae e
式中：
式（1－3）还可改为：
j jt
Ae
jt
（1－6）
A Ae
j
是一复数，称为复振幅。它包含振动的振幅两 个信息。
2.周期振动
任何周期函数，只要满足条件
b tan n
2 n
an
bn
(1-8)
于是，方程（1-7）又可表示为：
a0 x(t ) An sin(nt n ) 2 n 1
3.简谐振动的合成
两个同频率振动的合成 有两个同频率的简谐振动
x1 A1 sin(t 1 ) x2 A2 sin(t 2 )
它们的合成运动为：
x A sin(t )
式中：
A ( A1 cos 1 A2 cos 2 ) 2 ( A1 sin 1 A2 sin 2 ) 2 A1 sin 1 A2 sin 2 tan A1 cos 1 A2 cos 2
两个不同频率振动的全成