第十二章无穷级数(解题方法归纳)
高等数学无穷级数知识点总结
高等数学无穷级数知识点总结
无穷级数是高等数学中的一个重要内容，它涉及到很多重要的概念和定理。
以下是一些高等数学无穷级数的知识点总结:
1. 无穷级数的基本概念：无穷级数是指一个数列的项按一定规律相加而成的数列。
其中，无穷级数的定义域可以是实数集或复数集。
2. 无穷级数的分类：无穷级数可以分为数项级数和函数项级数两大类。
数项级数是指以常数项级数的形式表示的无穷级数，而函数项级数则是以函数项的形式表示的无穷级数。
3. 无穷级数的敛散性：无穷级数的敛散性是指级数是否收敛或发散。
如果一个无穷级数收敛，则称其为收敛级数，反之则称为发散级数。
4. 无穷级数的判别法：无穷级数的判别法是指判断一个无穷级数是否收敛的方法。
常用的判别法包括比较判别法、比值判别法、根值判别法和莱布尼兹判别法等。
5. 无穷级数的和应用：无穷级数在数学中有着广泛的应用，例如求和、积分、微积分等。
在实际应用中，无穷级数往往被用来求解各种问题。
6. 无穷级数的和函数：无穷级数的和函数是指级数的每一项相加得到的总和。
无穷级数的和函数具有很多重要的性质，例如连续性、可导性等。
7. 无穷级数的广义性质：无穷级数的广义性质是指关于无穷级数的一些扩展概念和定理。
例如，无穷级数的前 n 项和的广义性质、
无穷级数的广义收敛性等。
以上是高等数学无穷级数的一些重要知识点总结。
希望能对读者有所帮助。
高等数学 第十二章 无穷级数
n 1
n 1
设法求出和函数s( x)
an xn ,
n 1
n(n 1)
例10 求 n 1
2n
的和.
1 将其转化成幂级数求和函数问题.
2
原式
s(
1 2
),
s(x)
n(n
n 1
1)xn
2x (1 x)2
.
3
推广：
n1
n（n 3n
1）
S
(
1
)，
3 n1
n（n 1
n1）
S(1) 5
.
5
n1 的和 .
n0
(2n1)!
解: 原式 = 1 (1)n (2n 1) 1
2 n0 ( 2 n 1)!
1 2
n0
(1)n ( 2 n)!
n0
(
(1)n 2 n 1)!
1 [cos1 sin 1 ].
2
（参见例6 ，也可用间接法解本题.）
（间接法）求数项级数和：
化
an an x0n s( x0 ),
0
0
n 0
∴
f(x)
x(1)nx2ndx(1)nx2n 1
(
x
1).
0 n0
n0 2n1
例13
将函数
(2
1
x )2
展开成 x 的幂级数.
解:
1 (2x)2
1 2x
11
2
1
x 2
1 2
xn 2n
n0
1 2
n 1
n x n1 2n
x2 (
)n
x n1 2
1x12x2
x 2x2
,
无穷级数总结
无穷级数总结无穷级数是数学中的重要概念，常出现在分析学、代数学、数论等领域。
它的形式为一列数相加的无穷和。
无穷级数的研究对于了解数学的发展历程和数学的基本思想方法具有重要意义。
本文将对无穷级数的定义、性质、收敛与发散的判定方法以及一些典型的无穷级数进行介绍和总结。
无穷级数的定义意味着\[S_n=a_1+a_2+...+a_n\]\[S=a_1+a_2+a_3+...\]其中，$S_n$表示级数的前n项和，S表示整个级数的和，$a_n$表示级数的第n项。
我们称一个无穷级数收敛或发散取决于它的部分和序列。
具体来说，如果存在一个有限的实数 S，使得对于任意给定的正数 $\varepsilon $，当 n 大于一些自然数 N 时，总有\[ ，S-S_n，< \varepsilon \]那么我们说该级数是收敛的，并把这个实数S叫做级数的和，记做\[ S=\sum_{n=1}^{+ \infty } a_n\]如果上述性质不成立，即对于任意给定的正数S，当n大于一些自然数N时，总存在\[ ，S-S_n， \geq \varepsilon \]那么我们说该级数是发散的。
在判断无穷级数是否收敛时，可以运用收敛的充分条件。
其中，比较判别法、比值判别法、根值判别法是最常用的方法之一1.比较判别法：如果存在一个收敛的级数 $\sum b_n$，使得对于所有的正整数 n，有 $，a_n， \leq b_n$，那么级数 $\sum a_n$ 收敛。
反之，如果级数$\sum a_n$ 发散，那么对于所有的正整数 n，必有 $，a_n， \geqb_n$ 对一些发散的正项级数 $\sum b_n$ 成立。
2.比值判别法：对于正项级数 $\sum a_n$，如果存在一个常数 L，使得当 n 大于一些正整数 N 时，总有 $\frac{a_{n+1}}{a_n} \leq L < 1$，那么级数$\sum a_n$ 收敛。
无穷级数知识点总结
无穷级数知识点总结一、无穷级数的定义无穷级数是指由无限个实数或复数项组成的数列之和。
一般地，我们用数列 {a_n} 来表示无穷级数的各项，那么无穷级数就可以表示为：S = a_1 + a_2 + a_3 + ...其中 S 代表无穷级数的和，而 a_1, a_2, a_3, ... 分别代表无穷级数的各项。
无穷级数通常可以用极限的概念来进行定义，即无穷级数的和就是数列的极限。
如果数列 {S_n} 的部分和数列收敛到某个数 L，那么无穷级数 S 的和便为 L，即：S = lim (n->∞) S_n = L这里的 S_n 代表无穷级数的部分和数列，它可以写成：S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n无穷级数的定义是无穷数列极限的推广，它引入了无穷个数的概念，因此无穷级数的性质和收敛性等问题相对于有限级数来说更加复杂和多样。
二、无穷级数的性质无穷级数在数学中有着许多重要的性质，这些性质对于研究无穷级数的收敛性、计算方法以及应用等方面都有着重要的作用。
下面我们将详细介绍无穷级数的一些重要性质。
1. 无穷级数的有限项相加结果相同如果无穷级数的有限项相加的结果相同，那么这个无穷级数的和也相同。
即如果无穷级数S = a_1 + a_2 + a_3 + ... 的前 n 项之和等于 S_n，而无穷级数 T = b_1 + b_2 + b_3 + ... 的前 n 项之和等于 T_n，并且 S_n = T_n，那么这两个无穷级数的和也相等，即 S = T。
2. 无穷级数的倒序相加结果相同如果无穷级数的倒序相加的结果与原来的无穷级数相同，那么这个无穷级数的和同样相同，即如果无穷级数 S = a_1 + a_2 + a_3 + ... 的倒序相加的结果也等于 S，那么这个无穷级数的和就等于 S。
3. 无穷级数的部分和数列的有界性如果无穷级数的部分和数列 {S_n} 是有界的，即存在一个正数 M，使得对于所有的正整数n，都有 |S_n| <= M，那么这个无穷级数是收敛的。
无穷级数知识点汇总
无穷级数知识点汇总无穷级数是由无穷多个数的和组成的数列。
它是数学中的基本概念，具有广泛的应用，涉及到数学分析、物理学、工程学等领域。
无穷级数的收敛与发散是无穷级数研究的核心问题。
收敛意味着无穷级数的和存在，而发散则意味着无穷级数的和不存在。
接下来，我们将介绍几个与无穷级数收敛与发散相关的知识点。
1.部分和的概念：对于给定的无穷级数，在给定的位置截取有限个数进行求和，这个和称为部分和。
部分和序列是由部分和构成的数列。
在研究无穷级数收敛与发散时，通常先分析部分和序列的性质。
2.等比级数：等比级数是指形如a+ar+ar^2+...的级数，其中a是首项，r是公比。
当公比，r，<1时，等比级数收敛，和为a/(1-r)。
当，r，≥1时，等比级数发散。
3.绝对收敛与条件收敛：如果一个无穷级数的各项绝对值组成的级数收敛，那么这个级数是绝对收敛的。
如果一个级数是收敛的但不是绝对收敛的，那么这个级数是条件收敛的。
4. 正项级数：如果一个无穷级数的各项都是非负数，或者说对于所有的n，an≥0，那么这个级数是正项级数。
正项级数的部分和序列是递增的，且如果部分和序列有上界，则该级数收敛。
5.收敛判别法：为了判断一个无穷级数的收敛性，数学家发展了多种不同的方法。
其中一些著名的判别法包括比值判别法、根值判别法、积分判别法等。
这些方法根据级数项之间的关系，通过判断级数的部分和序列是否满足一些特定条件，进而判断级数的收敛性。
6.绝对收敛级数的性质：绝对收敛级数在加法和乘法运算下具有良好的性质。
例如，绝对收敛级数可以无限重排项而不改变其和。
此外，对于绝对收敛级数，我们可以通过将级数分拆成两部分再进行求和，这样的重排不改变级数的和。
除了以上内容，无穷级数还涉及到级数的收敛半径、幂级数、Fourier级数等等一系列的概念和方法。
-收敛半径是幂级数中重要的一个概念，指的是幂级数在哪些点上收敛的临界点。
可以使用柯西－阿达玛公式来计算收敛半径。
无穷级数知识点总结简短
无穷级数知识点总结简短
1. 无穷级数的定义
无穷级数是指由无限个数相加而成的级数，通常表示为：
S = a1 + a2 + a3 + ...
其中，a1, a2, a3...表示级数的每一项。
2. 无穷级数的收敛与发散
无穷级数可能收敛也可能发散。
如果无穷级数的部分和S_n在n趋向无穷时收敛于某一有
限数，即lim(S_n) = S，则称该无穷级数收敛；如果无穷级数的部分和S_n在n趋向无穷
时发散至无穷大或者发散至负无穷大，即lim(S_n) = ±∞，则称该无穷级数发散。
3. 无穷级数的收敛性判别法
无穷级数的收敛性判别法有很多种，包括比较判别法、比值判别法、根值判别法、积分判
别法等。
这些判别法可以用来判断无穷级数的收敛性，并且在实际问题中有很多应用。
4. 无穷级数的性质
无穷级数有许多重要的性质，包括级数的线性性质、级数的绝对收敛性、级数的收敛域等。
这些性质在研究无穷级数的收敛性和计算级数的和时非常重要。
5. 无穷级数的应用
无穷级数在物理、工程、计算机科学等领域都有重要的应用。
例如，在物理学中，泰勒级
数可用于近似计算非线性函数的值；在工程学中，级数可以用来描述振动、波动等现象；
在计算机科学中，级数在算法复杂性分析和数值计算中也有广泛的应用。
总之，无穷级数是数学中一个重要的概念，它涉及到收敛与发散、收敛性判别法、性质和
应用等方面，对于理解和应用级数有着重要的意义。
无穷级数知识点总结公式
无穷级数知识点总结公式无穷级数的定义：无穷级数的一般形式可以表示为：\[ \sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n + \ldots \]其中，\( a_n \) 是级数的第 n 个项。
级数的和通常记为 \( S \)，即\[ S = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n + \ldots \]当级数的和存在有限值时，称级数收敛；当级数的和不存在有限值时，称级数发散。
无穷级数的性质：1. 无穷级数的和与项的次序无关级数的项次序可以进行重新排列，其和仍然相同。
2. 收敛级数的任意项的和都趋于零对于收敛级数，其各项的和对应的部分和序列的极限为级数的和。
3. 收敛级数的每一项都可以表示为部分和序列的差对于收敛级数，其每一项都可以表示为相邻两个部分和之差。
无穷级数的收敛性：在讨论无穷级数时，我们关心的一个重要问题是该级数是否收敛。
无穷级数的收敛性可以通过不同的收敛判别法来进行判断。
1. 正项级数收敛判别法对于正项级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)：- 若 \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \) 且 \( a_n \) 单调递减（即 \( a_{n+1} \leq a_n \)），则级数收敛；- 若 \( a_n \) 单调递减且有界，则级数收敛；- 若 \( \lim_{n \to \infty} a_n \) 不存在或 \( \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0 \) ，则级数发散。
2. 比较判别法设 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) 和 \( \sum_{n=1}^{\infty} b_n \) 为两个级数，若存在正常数 \( C \)，当 \( n \) 充分大时有 \( 0 \leq a_n \leq Cb_n \)，则级数\( \sum_{n=1}^{\infty} b_n \) 收敛时级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) 收敛，级数\( \sum_{n=1}^{\infty} b_n \) 发散时级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) 发散。
无穷级数重要知识点总结
无穷级数重要知识点总结一、无穷级数的定义1.1 无穷级数的概念无穷级数是一种特殊的数列求和形式。
它由一个无穷数列的项之和构成，通常表示为a1 + a2 + a3 + ... + an + ...，其中a1, a2, a3, ...是数列的项。
无穷级数的和是用极限的概念来定义的，即当n趋向无穷时，无穷级数的前n项和趋于一个确定的数。
1.2 无穷级数的收敛和发散无穷级数有两种基本的收敛性质：收敛和发散。
当无穷级数的和存在时，我们称这个级数是收敛的；当无穷级数的和不存在时，我们称这个级数是发散的。
1.3 无穷级数的通项无穷级数的通项是指级数中每一项的公式表示。
通项的形式多种多样，可以是一个简单的代数式，也可以是一个复杂的函数表达式。
通项的形式对于判断无穷级数的收敛性有着重要的作用。
二、无穷级数的性质2.1 无穷级数的加法性质如果无穷级数a1 + a2 + a3 + ... + an + ...和无穷级数b1 + b2 + b3 + ... + bn + ...都存在，那么它们的和也存在，并且等于这两个级数的和的和。
即∑(ai + bi) = ∑ai + ∑bi。
2.2 无穷级数的乘法性质如果无穷级数a1 + a2 + a3 + ... + an + ...和无穷级数b1 + b2 + b3 + ... + bn + ...都存在，那么它们的乘积也存在，并且等于这两个级数的乘积的和。
即(∑ai) * (∑bi) = ∑(ai * bi)。
2.3 无穷级数的极限性质当n趋向无穷时，无穷级数的前n项和会趋于一个确定的数。
这个极限的存在性和确定性是无穷级数的一个重要性质。
2.4 无穷级数的收敛性质对于一个给定的无穷级数，我们需要研究它的收敛性质，即它是否收敛、以及收敛到哪个数。
无穷级数的收敛性质对于很多数学问题有着深远的影响。
2.5 无穷级数的发散性质发散是无穷级数的另一个重要性质，它表示无穷级数的和不存在。
课件：无穷级数 基本方法归纳
3.定义在[0,]上的函数展成正弦级数与余弦级数
奇延拓
f ( x ) , x [ 0 , π ] 偶延拓
y
y
O x
O x
周期延拓 F (x)
f (x) 在 [0, ] 上展成 正弦级数
周期延拓 F (x)
f (x) 在 [0, ]上展成 余弦级数
4. 周期为2l 的周期函数展开成傅里叶级数
x .
2. 定义在 ( , ] 上的函数展开成傅里叶级数 定义在[-,]上的函数 f(x)的傅氏级数展开法:
周期延拓
f (x) ,
x [ π , π ]
F ( x) f ( x 2k π ) , x ((2k 1) , (2k 1) ],
傅里叶展开
k 1, 2,
上的傅里叶级数.
二、求函数项级数 un ( x)的收敛域 n0
利用比值或根值判别法计算：
lim un1( x) ( x) 或 n un ( x)
lim n
n
un( x)
(x)
1. 通过讨论 ( x ) 1 ; ( x ) 1 得到收敛区间；
2. 对满足 ( x ) 1 的点代入原函数项级数讨论；
3. 综合1和2即可得原函数项级数的收敛域。
三、幂级数的收敛半径与收敛区间（收敛域）
注意收敛域与收敛区间的区别
1. 形如 an xn 的幂级数求收敛半径方法： n0
求收敛半径公式 R lim an a n
n1
Abel定理 (抽象的幂级数)
(具体的幂级数)
2. 形如 a n ( x x 0 )n , a 2n x 2 n , a 2n 1 x 2 n 1 等的求收敛半径方法：
3! 5! 7!
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un ，un
0 ）lim
n
Sn
S
前 n 项和存在极限则收敛；
un 收敛 S n 有界；
n 1
n 1
比较审敛法：且u n v n
(n 1,2,3,)，若 vn 收敛，则 un 收敛；若 un 发散，则 vn 发散.
n 1
n 1
n 1
n 1
比较法的极限形式：lim un l
n 1
n 1
nБайду номын сангаас1
2、 交错级数：
莱布尼茨审敛法：交错级数： (1)n un ，un 0 满足：un 1 un
(n
1,2,3,)，且lim n
un
0 ，则级数 (1)nun 收敛。
n 1
n 1
条件收敛：
un 收敛，而
un
发散；绝对收敛：
un
收敛。
un 绝对收敛，则
un 收敛。
若级数收敛 则对这级数的任意项加括号后所成的级数仍收敛，其和不变，且加括号后所成的级数发散 则原来级数也发散 注：收敛级
数去括号后未必收敛.
u lim 0
必要条件：级数 un 收敛 n n
.（注意：不是充分条件！唯一判断发散条件）
n 1
3)
审敛法：（条件：均为正项级数 表达式：
2、 和函数s(x )的性质：在收敛域I 上连续;在收敛域(R , R )内可导，且可逐项求导; 和函数s(x )在收敛域I 上可积分，且可逐项
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积分.( R 不变,收敛域可能变化).
3、
泰勒级数：f(x )
f
(n
)(x
0
) (x
n0 n !
x 0 )n
第十二章---无穷级数
无穷级数内容概要和重难点提示常数项级数的收敛与发散的概念，收敛级数的和的概念，级数的基本性质与收敛的必要条件，几何级数与p -级数及其收敛性；正项级数收敛性的判别法、任意项级数的绝对收敛与条件收敛、交错级数与莱布尼茨定理。
幂级数及其收敛半径、收敛区间〔指开区间〕和收敛域；幂级数的和函数、幂级数在其收敛区间内的基本性质，简单幂级数的和函数的求法、初等函数的幂级数展开式。
对数一，要理解狄利克雷收敛定理以及付式展开式。
考试要求1．了解级数的收敛与发散、收敛级数的和的概念。
2．了解级数的基本性质及级数收敛的必要条件，掌握几何级数及p -级数的收敛与发散的条件，掌握正项级数收敛性的比较判别法、比较判别法的极限形式 和比值判别法。
3．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系，了解交错级数的莱布尼茨判别法。
4．会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域。
5．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质〔和函数的连续性、逐项求导和逐项积分〕，会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数。
6．了解函数的麦克劳林〔Maclaurin 〕展开式〔牢记5个公式〕。
难点 判断数项级数的敛散性 剖析级数与数列的关系 求和函数 理解狄利克雷定理考试知识要点讲解一、 常数项级数的概念与基本性质 （一） 基本概念1、 设有数列}{12:,,...,,...n n u u u u ，将它们依次相加 12......n u u u ++++称为由数列}{n u 构成的无穷级数，记为1n n u ∞=∑。
2、 假设12......n u u u s ++++=〔定数〕，则称级数1n n u ∞=∑收敛，且收敛于总和s ；假设12......n u u u ++++=∞〔或者不定〕，则称级数1n n u ∞=∑发散。
〔通俗的定义〕3、 令12...n n u u u s +++=，称n s 为级数前n 项部分和。
显然数列}{n u 与 }{n s 有：12...n n s u u u =+++ ⇔ 1n n n u s s -=-。
第12章无穷级数知识点总结
第十二章 无穷级数一、 常数项级数1． 常数项级数的基本性质①1nn u∞=∑收敛⇔部分和数列{}n s 收敛，其中12n n s u u u =+++．② 若1nn u∞=∑收敛，则lim 0n n u →∞=；反之，则不一定成立．③ 若1nn uU ∞==∑，1n n v V ∞==∑，则()1n n n au bv aU bV ∞=+=+∑（a 、b 为任意常数）．④ 收敛级数满足结合律注意：发散级数加括号后有可能得到收敛级数，因此不能由加括号后的级数的收敛性判断加括号前的级数的收敛性．⑤ 增加、删除或改变级数的有限项不会改变级数的收敛性．2． 常数项级数的收敛性判定 (1) 一般方法① 级数的收敛性定义 ② 级数的基本性质③ 绝对收敛、条件收敛（P.263）(2) 正项级数审敛法理论基础：正项级数1nn u∞=∑收敛⇔部分和数列{}n s 有界（P.256定理1）① 比较审敛法（通常选择等比级数、调和级数、p-级数作为比较对象） ② 比值审敛法（适用范围：结合课件） ③ 根值审敛法（适用范围：结合课件） ④ 积分审敛法（适用范围：结合课件）无穷级数常数项级数1n n u ∞=∑函数项级数1()n n u x ∞=∑正项级数一般常数项级数（交错级数等）幂级数 傅里叶级数 其它(3) 交错级数审敛法——莱布尼茨定理（P.262定理7，充分非必要条件）3． 几个重要结论等比级数 P.250例1 调和级数 P.253、P.263（交错级数）p-级数P.257例1、交错级数111(1)n p n n∞-=-∑（结合课件） 级数收敛的“夹逼准则”，即由n n n a c b ≤≤，1nn a∞=∑、1nn b∞=∑收敛推出1nn c∞=∑收敛（结合课件）二、 幂级数1． 幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域（P.271定理1的推论、P.272定理2）关键：注意收敛区间与收敛域的区别（P.272）求幂级数收敛域的基本步骤（P.273~274例1、2、3、4）2． 幂级数的运算性质（P.274~275四则运算，P.276性质1、2、3连续、逐项可积、逐项可导）=<<+∞时，当0=时，1n v∞=∑当=+∞时，==01<<时，n ∞∑当1>时，1n u∞=∑当1=时，无法判定积分审敛法1n n u ∞=∑收敛⇔1()f x dx +∞⎰收敛，其中()f x 在[1,)+∞上连续、单调减少且()n f n u =3．常用函数的麦克劳林展开式（五条公式P.281）关键：牢记级数的一般项，n从零开始，注意收敛域．4．求幂级数的和函数、函数展开成幂级数的间接法通过线性运算法则、变量变换、恒等变形、逐项求导、逐项积分等方法将所给幂级数化为常用函数的幂级数展开式，利用已知的和函数求解．三、傅里叶级数1．三角函数系的正交性（P.304）2．傅里叶系数、傅里叶级数、狄利克雷充分性条件（P.305，P.306的定理）3．正弦级数、余弦级数（P.310）4．奇延拓、偶延拓（P.312）5．一般周期函数的傅里叶级数（P.316的定理）。
高数无穷级数总结
高数无穷级数总结高等数学中的无穷级数是一项非常重要且有趣的概念。
在学习高等数学的过程中，我们不可避免地要接触无穷级数的各种性质和计算方法。
今天我将通过总结无穷级数的相关概念和性质，为大家提供一个关于高数无穷级数的综合知识点总结。
首先，我们来回顾无穷级数的定义。
无穷级数是由一列实数或复数按照一定规则排列形成的数列。
一般地，如果数列的部分和存在有限极限L，那么我们称这个无穷级数收敛到L。
反之，如果数列的部分和不存在有限极限，那么我们称这个无穷级数发散。
接下来，我们来看一些常见的收敛判定定理。
首先是比较判别法，其基本思想是通过比较给定级数的部分和与一些已知性质的级数的部分和大小关系来判断级数的收敛性。
比较判别法包括了比较判别法、极限判别法和积分判别法。
通过这些判别法，我们可以轻松地判断一些无穷级数的收敛性。
另一个重要的概念是级数的绝对收敛和条件收敛。
如果一个级数收敛，同时其所有项的绝对值组成的级数也收敛，那么我们称这个级数绝对收敛；如果一个级数收敛，但其所有项的绝对值组成的级数发散，那么我们称这个级数条件收敛。
可以证明，绝对收敛的级数一定是收敛的，而条件收敛的级数则不一定收敛。
无穷级数的运算也是我们需要掌握的一个重要内容。
对于收敛的无穷级数，我们可以进行四则运算，并且结果仍然是一个收敛的无穷级数。
此外，我们还可以通过级数的逐项求导、求积分以及其他形式的操作来得到一个新的级数。
在实际应用中，无穷级数在各个领域都有广泛的应用。
例如，在物理学中，泰勒级数是一种特殊的无穷级数，可以将一个函数表示为无穷级数的形式。
这种表达方式在数值计算和近似计算中起着重要的作用。
此外，在概率论中，无穷级数可以用来表示随机变量的分布函数，从而提供了一种分析概率分布的方法。
最后，我想提醒大家在学习无穷级数的过程中要注意一些常见的陷阱和注意事项。
首先是级数的收敛半径问题，即一个幂级数在哪些点上收敛。
此外，无穷级数在进行运算时要注意收敛性的保持，避免出现无意义的结果。
无穷级数的求和方法和判别准则
无穷级数的求和方法和判别准则无穷级数是数学中十分重要的概念，它是有无限个数相加得到的一种数列，其中每一项为数列中的一个元素。
无穷级数的求和方法和判别准则是研究无穷级数的重要内容。
本文将讨论无穷级数的求和方法和判别准则，介绍几种常用的方法和准则，以促进对无穷级数的研究和理解。
一、求和方法1.部分和法部分和法是一种最基本的无穷级数求和方法。
所谓部分和就是对前N项进行求和，当N趋于无穷时，若极限存在，则称该级数收敛，否则发散。
即：$\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\lim_{N \to \infty}\sum_{n=1}^{N}a_n$2. 级数求和公式法对于一些特殊的无穷级数，我们可以使用其求和公式来求其和。
例如：$\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2}=\dfrac{\pi^2}{6}$$\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^n}{n!}=e^x$3. 特殊级数求和方法对于一些特殊的无穷级数，我们也可以使用一些特殊的方法来求其和。
例如：$\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{2^n} = 2$$\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n}{n+1} = \ln2$4. Abel求和法当级数满足Abel条件时，我们可以使用Abel求和法来求其和。
该条件是指级数$\sum_{n=0}^{\infty}a_n$和$\sum_{n=0}^{\infty}b_n$都是收敛的，并且对于任意的N和M （N≤M），有：$|\sum_{n=N}^{M}a_n| \leq M$$|b_n| \downarrow 0$则有：$\sum_{n=0}^{\infty}a_n b_n$收敛二、判别准则判别准则是判断一个无穷级数是否收敛的重要方法，可以分为以下几种：1. 正项级数判别法若级数$\sum_{n=0}^{\infty}a_n$的每一项都为非负数，则称该级数为正项级数。
级数知识点总结
第十二章 无穷级数一、 常数项级数 1、 常数项级数：1) 定义和概念：无穷级数： +++++=∑∞=n n n u u u u u 3211部分和：n nk k nu u u u u S ++++==∑= 3211正项级数：∑∞=1n nu，0≥n u级数收敛：若SS n n =∞→lim 存在，则称级数∑∞=1nn u 收敛，否则称级数∑∞=1n n u 发散 2)性质：改变有限项不影响级数的收敛性；如级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛两个收敛级数的和差仍收敛，级数∑∞=1n n a ，∑∞=1nn b 收敛，则∑∞=±1)(nn n b a 收敛；注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散.去掉、加上或改变级数有限项 不改变其收敛性级数∑∞=1nn a 收敛，则任意加括号后仍然收敛； 若级数收敛 则对这级数的任意项加括号后所成的级数仍收敛，其和不变，且加括号后所成的级数发散 则原来级数也发散 注：收敛级数去括号后未必收敛.必要条件：级数∑∞=1nn u 收敛⇒0lim =∞→n n u .（注意：不是充分条件！唯一判断发散条件） 3) 审敛法：（条件：均为正项级数 表达式：∑∞=1nn u ，0≥n u ）SS n n =∞→lim 前n 项和存在极限则收敛；∑∞=1n nu收敛⇔{}nS 有界；比较审敛法：且),3,2,1( =≤n v u n n ，若∑∞=1n n v 收敛，则∑∞=1n n u 收敛；若∑∞=1n n u 发散，则∑∞=1n n v 发散.比较法的极限形式：)0( l lim +∞<≤=∞→l v u nn n ，而∑∞n v 收敛，则∑∞n u 收敛；若0lim >∞→n n n v u 或+∞=∞→n n n v u lim ，而∑∞n v 发散，则∑∞nu 发散. 比值法： l u u nn n =+∞→1lim，当：1<l 时，级数∑=1n n u 收敛；1>l 时，级数∑=1n n u 发散；1=l 时，级数∑=1n n u 可能收敛也可能发散.2、 交错级数：莱布尼茨审敛法：交错级数：∑∞=-1)1(n n nu ，0≥nu 满足：),3,2,1( 1 =≤+n u u n n ，且0lim =∞→n n u ，则级数∑∞=-1)1(n n n u 收敛。
第十二章 无穷级数(解题方法归纳)
第十二章解题方法归纳一、正项级数敛散性的判定方法 1. 一般项极限不趋于零则级数发散. 2. 比较审敛法3. 比较审敛法的极限形式4. 比值审敛法5. 根值审敛法1. 一般项极限不趋于零则级数发散 例1 判定级数1123(0)s s s s n n n s ∞==+++++>∑的敛散性.解 由于lim 0sn n →∞=+∞≠，所以1s n n ∞=∑发散.『方法技巧』 无论是正项级数还是任意项级数，判定其敛散性时一般第一步都是验证一般项的极限是否为零. 2. 比较审敛法例2 判定级数21(0)1nnn a a a∞=>+∑的敛散性. 解 当01a <<时，21n n n a a a <+，而1nn a ∞=∑收敛，所以211n nn a a∞=+∑收敛. 当1a >时，2211n n n nn a a a a a ⎛⎫<= ⎪+⎝⎭，而11nn a ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑收敛，故211n n n a a ∞=+∑收敛. 当1a =时，2112n na a =+，而112n ∞=∑发散. 所以，级数211nnn a a∞=+∑在1a ≠时收敛；在1a =时发散. 『方法技巧』 比较审敛法中，选作参照物的级数可以是p -级数，也可以是等比级数.3. 比较审敛法的极限形式 例3 判定级数311ln n n∞=∑的敛散性.解 取1n v n=，则 3331ln lim limlim lim 1ln ln n n n n x nu n x n v n x n →∞→∞→∞→+∞=== 2lim lim lim 3ln 6ln 6x x x x x xx x →+∞→+∞→+∞====+∞， 而11n n ∞=∑发散，由比较审敛法的极限形式得311ln n n∞=∑发散.4. 比值审敛法例4 判定级数1!nn n n e n∞=∑的敛散性.解 111(1)!lim lim lim 11(1)!(1)n n n n n n n n n n u n e n eu n n e n+++→∞→∞→∞+=⋅==++， 无法断言原级数是否收敛，但11(1)nen>+，从而n u 单调递增且1u e =，故l i m 0n n u →∞≠， 所以，1!nn n n e n∞=∑发散.5. 根值审敛法 例5 判定级数221(1)2n nn n n n∞=+∑的敛散性.解(1)11lim lim(1)1222n n n n n n n en n →∞→∞+==+=>， 故由根值审敛法知221(1)2n nn n n n∞=+∑发散.二、任意项级数敛散性的判定例6 试研究级数1(1)(0)1n nn aa n a ∞=->+∑是绝对收敛、条件收敛还是发散. 解 先考虑级数1(1)nn an a ∞=+∑的敛散性.当1a >时，11(1)n n a n a a -<+，而111n n a ∞-=∑收敛，故由比较审敛法得1(1)nn an a ∞=+∑收敛，从而1(1)1n nn an a ∞=-+∑绝对收敛. 当1a ≤时, (1)2n a a n a n >+,而12n a n ∞=∑发散，故由比较审敛法得1(1)nn an a ∞=+∑发散. 下面讨论级数1(1)1n nn an a ∞=-+∑的敛散性. 令()(1)x f x x a =+，则()1ln x x f x a xa a '=++,当x 充分大时，()ln [2ln ]0x f x a a x a ''=+<，所以()f x '单调递减，且1l i m ()1l n l i m 1l n l i m 1l n l i m ln x x x x x x x x f x a xaa a a aa--→+∞→+∞→+∞→+∞'=+=+=+- 11l i m 1x x a-→+∞=-=，所以()1f x '>，函数()(1)x f x x a =+单调增加，故(1)nan a +单调减少，且 lim 0(1)n n a n a →∞=+，所以交错级数1(1)1n n n a n a ∞=-+∑收敛，故1(1)1n n n a n a ∞=-+∑条件收敛. 『方法技巧』 正项级数敛散性取决于参数a 的取值，因此先就a 的情况进行了讨论，另交错级数数列{}n u 的单调性应用函数的导数来说明. 三、幂级数的收敛半径、收敛域的求法 1.不缺项的幂级数收敛半径的求法 2. 缺项的幂级数收敛半径的求法3. 非标准形式的幂级数收敛半径、收敛域的求法 1.不缺项的幂级数收敛半径的求法例7 求幂级数1132nn nn x n ∞=+∑的收敛半径. 解 由于级数是不缺项的，故1111213213limlim lim 3321233n n n n n n n n n n n a n R a n +++→∞→∞→∞+⎛⎫+ ⎪++⎝⎭==⋅==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 所以幂级数1132nn nn x n ∞=+∑的收敛半径为3. 2. 缺项的幂级数收敛半径的求法 例8 求幂级数212nn n n x ∞=∑的收敛域. 解 由于级数缺项，故需要采用正项级数的比值（根值）审敛法确定收敛半径，故22211()(1)21lim lim lim 1()22(1)2n n n n n n nu x n n x x x u x n n ++→∞→∞→∞+===<+，解得x <R =.又当x =1n n ∞=∑，显然1n n ∞=∑发散，故收敛域为(.3. 非标准形式的幂级数收敛半径、收敛域的求法例9 求级数1(1)()21n nn x n x ∞=-+∑的收敛域.解 令21x t x =+，则原级数变形为1(1)n nn t n ∞=-∑，此时级数不缺项，故11limlim 1n n n n a n R a n→∞→∞++===， 当1t =-时，11n n ∞=∑发散；当1t =时，1(1)nn n ∞=-∑收敛；故1(1)n nn t n ∞=-∑的收敛域为(1,1]-，从而原级数在1121x x -<≤+内收敛，故级数1(1)()21n nn x n x ∞=-+∑的收敛域为1x ≤-或13x >-. 四、幂级数和函数的求法1. 利用微分、积分的方法求和函数2. 转化为微分方程求和函数3．利用已知的函数的幂级数展开式求和函数 1. 利用微分、积分的方法求和函数 例10 求幂级数0(21)n n n x ∞=+∑的和函数.解 因为123limlim 1,21n n n n a n R a n →∞→∞++===+ 且1x =±时级数发散，故幂级数的收敛域为(1,1)-设0()(21)2nnn n n n S x n x nx x ∞∞∞====+=+∑∑∑（直接积分无效，只能进行拆项）记 10()2nn S x nx ∞==∑1111122(())2()xn n n n n n x nxx nxdx x x ∞∞∞--===''===∑∑∑⎰222,111(1)x x x x x x '⎛⎫==-<< ⎪--⎝⎭201(),111n n S x x x x∞===-<<-∑所以 1222211()()(),111(1)(1)x xS x S x S x x x x x +=+=+=-<<---. 2. 转化为微分方程求和函数例10 求幂级数40(4)!nn x n ∞=∑的和函数.解 易求此幂级数的收敛域为(,)-∞+∞.设40()(4)!n n x y x n ∞==∑，则411()(41)!n n x y x n -∞='=-∑，421()(42)!n n x y x n -∞=''=-∑，431()(43)!n n x y x n -∞='''=-∑，444(4)10()()(44)!(4)!n n n n x x y x y x n n -∞∞=====-∑∑，因此，(0)1,(0)(0)(0)0y y y y ''''''====且(4)()()0y x y x -=,由常系数齐次线性方程组的解法有 1234cos sin x x y C e C e C x C x -=+++，由初始条件得123411,,042C C C C ====,从而11()()cos 42x x y x e e x -=++，故 4011()cos (,)(4)!42n x x n x e e x x n ∞-==++∈-∞+∞∑.3．利用已知的函数的幂级数展开式求和函数例11 求幂级数21013!n n n n x n ∞+=+⋅∑的和函数.解 令 22100011(1)1()3!3!3!n n nn n nn n n n n n n n S x x x x x x n n n ∞∞∞+===++-++===⋅⋅⋅∑∑∑ 000(1)3!3!3!n n n n n n n n n n n n x x x x n n n ∞∞∞===⎛⎫-=++ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭∑∑∑210333(2)!(1)!!n n nn n n x x x x n n n ∞∞∞===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪=++ ⎪-- ⎪⎝⎭∑∑∑2122103333(2)!3(1)!!n n n n n n x x x x x x n n n --∞∞∞===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭∑∑∑ 22331(1)3393x xx x x xxe x e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，(,).x ∈-∞+∞五、常数项级数的和1. 利用定义求常数项级数的和2. 利用幂级数的和函数求常数项级数的和3. 利用级数的傅里叶级数求常数项级数的和 1. 利用定义求常数项级数的和例12 求级数21(1)(2)n n n n ∞=++∑的和.解 因为11(2)111(1)(2)2(1)(2)2(1)(1)(2)n n n u n n n n n n n n n n ⎡⎤⎡⎤+-===-⎢⎥⎢⎥+++++++⎣⎦⎣⎦，1111111212343445(1)(1)(2)n S n n n n⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+-++-⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⨯⨯⨯⨯+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭ 111212(1)(2)n n ⎧⎫=-⎨⎬⨯++⎩⎭， 1111l i m l i m 212(1)(2)4n n n S n n →∞→∞⎧⎫==-=⎨⎬⨯++⎩⎭. 故 211(1)(2)4n n n n ∞==++∑. 2. 利用幂级数的和函数求常数项级数的和例13 求级数11(1)(21)!n n nn -∞=-⋅+∑的和.解 由于级数中含因子1(21)!n +，因而考虑sin x 的展开式，故幂级数设为缺项形式. 令1211(1)(),(,)(21)!n n n n S x x x n -∞-=-⋅=∈-∞+∞+∑，则1112212100111(1)1(1)21(1)()(21)!2(21)!2(21)!n n n nxxx n n n n n n n x S x dx x dx x dx n n n ---∞∞∞--===-⋅-⋅-===+++∑∑∑⎰⎰⎰ 12121101(1)1(1)1()(sin )2(21)!2(21)!2n n n n n n x x x x x x n x n x-++∞∞==--==-+=-++∑∑，求导得 21sin cos ()[(sin )],022x x xS x x x x x x -'=-=≠. 故级数11(1)1(1)(sin1cos1)(21)!2n n n S n -∞=-⋅==-+∑.『方法技巧』 所求常数项级数的一般项中若含有 !,(21)!,(21)!n n n +-时，所构造的幂级数的和通常为,sin ,cos x e x x 等，注意灵活运用幂级数球和函数的方法.3. 利用级数的傅里叶级数求常数项级数的和 例14 将函数()2(1)f x xx =+≤展开成以2为周期的傅里叶级数，并求级数由于()2f x x =+是偶函数，故0,(1,2,)n b n ==,211n n∞=∑的和.解 10002()2(2)5la f x dx x dx l ==+=⎰⎰,1100022()cos 2(2)cos sin l n n x a f x dx x n xdx xd n xdx l l n ππππ==+=⎰⎰⎰ 1110022022{sin sin }cos x n x n xdx n x n n πππππ=-=⎰ 222224[(1)1](1,3,5,)n n n n ππ-=--==,所以22254112{cos cos3cos5}(11)235x x x x x ππππ+=-+++-≤≤, 当0x =时,有22222154115412{1}2352(21)n n ππ∞==-+++=-+∑， 即222115(2)(21)428n n ππ∞==-=+∑, 2222211111111111(21)(2)(21)4n n n n n n n n n n ∞∞∞∞∞======+=+++∑∑∑∑∑, 故 222113114(21)8n n n n π∞∞====+∑∑， 所以 222114386n n ππ∞==⋅=∑. 六、函数展开为幂级数的方法 1.直接展开的方法 2.间接展开的方法例15 将函数()sec f x x =展开成x 的幂级数.解 由于()sec f x x =是偶函数，它的导数必是奇函数，即(21)()n f x -是奇函数，因而(21)(0)0n f-=，因此()sec f x x =展开式中奇次幂的系数(21)(0)0(21)!n f n -=-，即()f x 幂级数展开式中只含x 的偶次幂，故可设220sec n n n x a x ∞==∑，而sec cos 1x x ⋅=，其中 24cos 1()2!4!x x x x =-++-∞<<+∞，故2424024sec cos ()(1)12!4!x x x x a a x a x ⋅=+++⋅-++=，比较系数得00002411,10,10,2!2!4!a a aa a a ⋅=⋅-=⋅-+= 所以 024141,,,225a a a ===，因此， 2414sec 1225x x x =+++.『方法技巧』 本题虽然采用间接的方法，但与以前的例题有所不同的是利用了函数自身的性质以及三角恒等式的关系.同理，你可以试着将()1xxf x e =+展开为x 的幂级数.七、 函数展开为傅里叶级数例16 ()f x 在[,]ππ-上满足()()f x f x π+=，试证其傅里叶系数21210n n a b --==. 证211()cos(21)n a f x n xdx πππ--=-⎰ 011()cos(21)()cos(21)f x n xdx f x n xdx ππππ-=-+-⎰⎰令x t π=+，则00()cos(21)()cos(21)()cos(21)f x n xdx f t n tdt f x n xdx πππππ---=-+-=-+-⎰⎰⎰故210n a -=，同理.七、 综合杂例例17 证明柯西积分判别法，并判定级数21ln(!)n n ∞=∑的敛散性. 设()f x 在1x ≥上非负、连续且单调递减，则1()n f n ∞=∑与1()f x dx +∞⎰同敛散.证 由于1k x k ≤≤+时，(1)()()f k f x f k +≤≤，因此11(1)()()k k k ka f k f x dx f k a ++=+≤≤=⎰,从而 11111()()nnnk k k kik k k a f x dx f x dx a +∞+===≤=≤∑∑∑⎰⎰，即 111()nnk k ik k a a f x dx a ∞==-≤≤∑∑⎰，由上式知1()n f n ∞=∑与1()f x dx +∞⎰敛散性一致.因为111l n (!)l n 1l n 2l n l nn nn n =>+++， 又因为 221ln ln ln dx x x x+∞+∞==+∞⎰发散，故由柯西积分判别法知21ln n n n∞=∑发散，再由比较审敛法得级数21ln(!)n n ∞=∑发散. 例18(09 数一) 设n a 为曲线n y x =与1(1,2,)n y x n +==所围成区域的面积，记11n n S a ∞==∑，2211n n S a ∞-==∑，求12,S S 的值.解 曲线 n y x =与1n y x +=的交点为(0,0),(1,1).所以11121001111()()1212n n n n n a x x dx x x n n n n +++=-=-=-++++⎰. 从而1111111111lim lim()lim()2312222Nn n N N N n n S a a N N N ∞→∞→∞→∞=====-++-=-=+++∑∑， 221111111111()22123456Nn n n S a n n ∞-====-=-+-+-+∑∑，由于23111ln(1)(1)23nn x x x x x n-+=-+++-+，令2x =，则211111ln 21()123456S =--+-+-=-，所以21ln 2S =-.。
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第十二章解题方法归纳 一、正项级数敛散性的判定方法 1. 一般项极限不趋于零则级数发散• 2. 比较审敛法3. 比较审敛法的极限形式4. 比值审敛法5. 根值审敛法1. 一般项极限不趋于零则级数发散例1判定级数a n s= 1 • 2s• 3s • 「n s*11 (s 0)的敛散性.n 4『方法技巧』无论是正项级数还是任意项级数，判定其敛散性时一般第 步都是验证一般项的极限是否为零.2. 比较审敛法n a 2n1 a1 ln 3n的敛散性.由于lim ns=邑学0，所以总n s发散.n =100 an 判定级数二诗(a 0)的敛散性.当a 1时,n a 2n1 ana 2n1 ana '2n a<a n，而二a n收敛，所以二nW00门"■: ，而—an收敛, n故v —J 收敛.nV 1 a1，则n4. 比值审敛法解 lim nu n =lim 也 芋=—lim(1 —)nn 存 * f 2n 2n、任意项级数敛散性的判定lim W = lim 山 n ?：V nr‘U n二 lim —二 lim x3 — (3)J ：In n J ：ln x二 lim 2x 门：31 n x x 「：：二 lim —— = lim —=::， J 和6 由比较审敛法的极限形式得1发散.例4判定级数v n!e 的敛散性.nnU n 1n 1 n(n 1)!e n解 lim J =limn 1F u n F (n +1)无法断言原级数是否收敛，但e>1，从而u n 单调递增且5 = e,故m U n 0nn ：!n5.根值审敛法 例5判定级数二(n 1)n2nnn 2的敛散性.(n 1)n2故由根值审敛法知二(n 1)nn n 2nm 2 n发散. 例6试研究级数曰 a1 a n(a - 0)是绝对收敛、条件收敛还是发散. oOa解先考虑级数nd 畀的敛散性.当a 1时， an ：：：二，而J 亠收敛，故由比较审敛法得 n(1 +a ) a令 f(x) =x(1 a x)，则 f (x) =1 a xxa xlna,当 x 充分大时,「(x)二 a xlna[2 xlna]：：：0，所以 f (x)单调递减，且x 1a1 l-n^ + i m a1- l h _J i m x 厂：a x 厂：-ln aa所以f(x) 1，函数f (x)= x (1a x)单调增加，故后单调减少，且n im ：応=。
，所以交错级数二呼忌收敛，故〔呼汴条件收敛.『方法技巧』正项级数敛散性取决于参数a 的取值，因此先就a 的情况进 行了讨论，另交错级数数列「u 「的单调性应用函数的导数来说明三、幕级数的收敛半径、收敛域的求法 1. 不缺项的幕级数收敛半径的求法 2. 缺项的幕级数收敛半径的求法3. 非标准形式的幕级数收敛半径、收敛域的求法 1. 不缺项的幕级数收敛半径的求法001x n例7求幕级数a的收敛半径.n^3n+2nn解 由于级数是不缺项的，故收敛，从而V n 4 ::字忌绝对收敛. 当a <1时, 是)益,而鳥发散，故由比较审敛法得:: S (1a n)发散.F 面讨论级数、 「匚⑪ J 的敛散性. n 4n 1 aoOl i mf x( -)1 a l n xlai xmXx厂:2. 缺项的幕级数收敛半径的求法oO例8求幂级数：〒x2n的收敛域.径，故解得x ：迈，故收敛半径为R .3. 非标准形式的幕级数收敛半径、收敛域的求法 例9求级数'凹■( —)n 的收敛域.n 二 n 2x +1x°°(—1)n解 令t 二-^，则原级数变形为a 3t n ，此时级数不缺项，故心 ndt n 的收敛域为(-1,1］，从而原级数在-仁:^^ -1内收敛，故级数n 的收敛域为x 乞-1或x —丄n $n 2x 13四、幕级数和函数的求法R = lim n _；=a nan 13n1■ 2n 112= lim ，屮 1 (2\ cO 1 x n所以幂级数二上佥的收敛半径为3.解 由于级数缺项，故需要采用正项级数的比值 (根值) 审敛法确定收敛半U n 1(X ) lim f U n (x)(n +1)2n2x 二 x 2limn厂 2(n 1) 2Jx 2：：1，又当w 、2时，幕级数变为、「n ， nA显然'丁 n 发散，故收敛域为n 吕 2x 1 RJim：a n a 1= lim 丄亠1,n当t 一1时，1发散；当t =1时，、 n# n3收敛;n三n2x 11. 利用微分、积分的方法求和函数2. 转化为微分方程求和函数3 •利用已知的函数的幕级数展开式求和函数 1. 利用微分、积分的方法求和函数 例10求幕级数（2n 1）x n的和函数. n 30解因为且x 时级数发散，故幕级数的收敛域为（-1,1）OQQ QQ Q设S （x ）八一（2n 1）x^x?2nx n（直接积分无效，只能进行拆项）n zSn z0n^0x ::::= 2x M nx nJ1=2x( °C 二 nx n ')dx) = 2x(二 x n)n =1n =1 n =12. 转化为微分方程求和函数旳x4n例10求幕级数的和函数.心（4n ）!解 易求此幕级数的收敛域为（-"'，•：：）.因此，y （o ）",y （o ）=y （o ）=y （o ）=o 且 y ⑷（x ） -y （x ）=o ,a n a n 1= lim 沁n2n 1 =1, COS (x)二2nx nnT= 2^ —I 1 — x 」2x (1-x)2一 1 ：： X ：：： 1COS 2(x)八 x nn=01 1-x-1 ：：： x ::: 1所以 S(x) P(x) S 2(x)二2x (1-x)21 1 xr ---------- = ---------------------1-x (1-x)2一 1 :： X :: 1 .□0设 y(x)二、 n=&4nx丽ad 则 y (x)二、' 4n -1x(4n_ 1)! y(x)八n¥4n -2x(4n_ 2)!y (x)八n#4n -3x(4n -3)!y ⑷(x)八n =14n -4X(4n 「4)!n=o(4n)!=y(x)，1 €3^1. 利用定义求常数项级数的和2. 利用幕级数的和函数求常数项级数的和3. 利用级数的傅里叶级数求常数项级数的和 1. 利用定义求常数项级数的和Q Q例12求级数Z n 三 n(n 1)(n 2)的和.解因为u1「 1n一 n(n +1)(n +2) 2 [n(n +1)(n +2) 一 2|L n(n 1) (n 1)(n 2)'由常系数齐次线性方程组的解法有 y =G e x• C 2e» • c 3 cosx • C 4sinx ,、 1111由初始条件得 G = C 2, C 3 , C 4 = 0 ,从而 y(x) (^ e") cosx ,42 421 1(e xe») cosx x (一心，：：).n=o (4n)! 4 2n 2亠111求幕级数nn'x n 1的和函数. ^o3nn!z 亠亠+送亠亠+送 n=2 (n-2)! nm (n -1)! n=on!2X x+1 =x(—+—+1)e 3 , x €(-°o ,畑).9 3五、常数项级数的和:=x 4n3. 利用已知的函数的幕级数展开式求和函数近 n(n_ 1) + n +1n'X3nn!7(讥 3nn!oa n^3nn!cdn 1X vn^)3n-n!：：3 3 n^(n -2)! 3 nm(n-1)!n =2n =0n!2.利用幕级数的和函数求常数项级数的和 °° (_1)n」n例13求级数a (__--的和. n 二(2n +1)! 解 由于级数中含因子-——，因而考虑sinx 的展开式，故幕级数设为缺(2n +1)!n 1项形式•令S(x)八•上丿 -X 2-」，(」：「：)，则n 壬(2n +1)!故级数二汕代⑴冷伽1®1).『方法技巧』 所求常数项级数的一般项中若含有n!, (2n 十1)!, (2n -1)!时,所构造的幕级数的和通常为e x,si nx,cosx 等，注意灵活运用幕级数球和函数的方 法.3. 利用级数的傅里叶级数求常数项级数的和例14将函数f(x)=2 + x | (x <1)展开成以2为周期的傅里叶级数，并求级数由于f(x)=2+|x|是偶函数，故bn=O, (n = 1,2,川)，迟-的和.n# n1 ：(1)n」x 2 1 1：：(_1)nxn2 1S = — J |2 H 2岛一4[乂3 4汇 4」—1一 一 All一n n (1) (n 1)(2)——5—f52 12 n 什 fh>( 2)I i n$h 二 I i=m2 1 2 n( 1)(2)odz n (n 1)(n2) 4n / n』:S(x)dx::右严如几:右乂対匕丄：已乂2-T (2n 1)!1+ x)=——(x-sinx),(2n 1)! 2x求导得1S(x) = [ (x -sin x)]=2xs inx-x c°sx,x = o .2x 21.直接展开的方法 2•间接展开的方法例15将函数f(x)二secx 展开成x 的幕级数. 解 由于f(x)二secx 是偶函数，它的导数必是奇函数,幕级数展开式中只含x 的偶次幕，故可设secx 」’ a 2n x2nn =024中COS"1吆和川(-一X 」)，故l 1解 a 0 = | J 0 f (x)dx=2 J0(2+x)dx=5,2 ln 二 x 1f (x)cos dx = 2 o (2 x)cos n 二 xdx =2 ..{xsin n 二 x a n1xd sin n 二 xdx所以六、 1 10「; sin n 二 xdx} 12 2 cos n二 x0 n兀2 n_4 -~~2~2 [( _1) - U = ~~2~2(n =1,3,5,丨1(),n ■:2 + x=={cosCOz1 1二x 2cos3二 x 2cos5二 x ||(} (_1_x_1),3 52 5n4(2n - 1)n±(2 n 1)22n^(2 n 1)圧1 2吕(2n吕(2 n 1)4n4 n3〔 二 1— -2 -4 n j n 2 ?n 吕n n生(2门1)8所以二1\丄 - 2 n二2二2函数展开为幕级数的方法 即f (2n」)(x)是奇函数,(2nd)因而f (2n')(0) = 0,因此f(x)二secx 展开式中奇次幕的系数(2n_ 1)!(叭 0 ,即 f (x)，而 secx cosx = 1，从而n n' a k 1 八k =i k =1k 1k f(x)dx 二:: n.f(x)dx E' ak，i k』2 42 4 XXsecx cosx = (a0 a2x a4x HI) (1 )=1 ,2! 4!比较系数得a o 1=1, a2 1-色=0, a4 1-勺虫7川2! 2! 4!所以a°= 1, a? = 1, a4 =-4 ,| |(,2 251 2 4 4因此，secx = 1 x x T 1(.5『方法技巧』本题虽然采用间接的方法，但与以前的例题有所不同的是利用了函数自身的性质以及三角恒等式的关系•同理，你可以试着将f(x) 二展1 +e x 开为x的幕级数.七、函数展开为傅里叶级数例16 f(x)在［」卫］上满足f(x")= f(x，试证其傅里叶系数a2nJL 讥」证1 二a2n A f (x)cos(2 n -1)xdx1 01 二f (x)cos(2 n-1)xdx f (x)cos(2 n-1)xdx令x -二t，则兀0 0f (x)cos(2n-1)xdx f (二t)cos(2nTXdt f (二x)cos(2n-1)xdx0 ■- ■-故a2n4 =0，同理.七、综合杂例旳1例17证明柯西积分判别法，并判定级数—的敛散性.n=2 ln( n!)设f(x)在x_1上非负、连续且单调递减，则f( n)与.「■ f (x)dx同敛散. n A证由于k乞x^k，1时，f (k，1)乞f(x)乞f(k)，因此k十a k 1 = f(k 1)乞f(x)dx 咗f (k) =a k,knn比-a^< i'f(x)dx<^ a k ,k 4'kJ由上式知' f( n)与十''f (x)dx 敛散性一致. n 4 1 1 1,Inn ! ) I n 1 -1 in 2 n Inn n<d|二A又因为 —d^lnln三发散，故由柯西积分判别法知 —发、2xln xn=2 n In nO0 A散，再由比较审敛法得级数V 丄发散•n=2ln(n!)例18(09数一)设a n 为曲线y=x n与y = x n 1(n=1,2川I)所围成区域的面 积，记0八「a .，S 2八，求的值.n T n 丑解 曲线 y=x n与y=x n1的交点为(0,0),(1,1).所以旳1而71 *发散.ni2:_ n所以，级数在小时收敛；在心时发散-a n从而003 =、anN=lim ' a n 二 lim-1 — n=1N —丿n吕N ?:23N 1/ / n n卅、』 z 1n 卅1n 42、0(x -x )dx =(FT —R x )1N 2□a S 2 二' a 2n 4n 4n * 2n丄)丄1丄-1丄」I ，2n 12 3 4 5 611 由于 ln(1 x) = x x 2x 323nm ^1)nJ —n11111ln 2=1-(—-— —-— — TH)=1 -S 2，所以 S 2=1 -1n2.2 3 4 5 6因为n n『方法技巧』比较审敛法中，选作参照物的级数可以是P-级数，也可以是等比级数.3. 比较审敛法的极限形式----- L ------------------------------ = ( —L 2x n A (2n +1)! 2x 心。