，而二a n
收敛，所以二
nW
00
门
"■: ，而—a
n
收敛, n
故v —J 收敛.
nV 1 a
1
，则
n
4. 比值审敛法
解 lim n
u n =lim 也 芋=—lim(1 —)n
n 存 * f 2n 2
n
、任意项级数敛散性的判定
lim W = lim 山 n ?：V n
r‘
U n
二 lim —二 lim x
3 — (3)
J ：In n J ：ln x
二 lim 2
x 门：31 n x x 「：：二 lim —— = lim —=::， J 和6 由比较审敛法的极限形式得
1
发散.
例4判定级数
v n!e 的敛散性.
n
n
U n 1
n 1 n
(n 1)!e n
解 lim J =lim
n 1
F u n F (n +1)
无法断言原级数是否收敛，但
e
>1，从而u n 单调递增且5 = e,故m U n 0
n
n ：!
n
5.根值审敛法 例5判定级数
二(n 1)n
2n
n
n 2
的敛散性.
(n 1)n
2
故由根值审敛法知二(n 1)n
n n 2
nm 2 n
发散. 例6试研究级数曰 a
1 a n
(a - 0)是绝对收敛、条件收敛还是发散. oO
a
解先考虑级数nd 畀
的敛散性.
当a 1时， a
n ：：：二，而J 亠收敛，故由比较审敛法得 n(1 +a ) a
令 f(x) =x(1 a x
)，则 f (x) =1 a x
xa x
lna,当 x 充分大时,
「(x)二 a x
lna[2 xlna]：：：0，所以 f (x)单调递减，且
x 1
a1 l-n^ + i m a
1- l h _J i m x 厂：a x 厂：-ln aa
所以
f(x) 1
，函数f (
x
)= x (1a x
)单调增加，故后单调减少，且
n im ：
応=。，所以交错级数二呼忌收敛，故〔呼汴条件收敛.
『方法技巧』正项级数敛散性取决于参数a 的取值，因此先就a 的情况进 行了讨论，另交错级数数列「u 「的单调性应用函数的导数来说明
三、幕级数的收敛半径、收敛域的求法 1. 不缺项的幕级数收敛半径的求法 2. 缺项的幕级数收敛半径的求法
3. 非标准形式的幕级数收敛半径、收敛域的求法 1. 不缺项的幕级数收敛半径的求法
00
1
x n
例7求幕级数a
的收敛半径.
n^
3n
+2n
n
解 由于级数是不缺项的，故
收敛，从而V n 4 ::字忌绝对收敛. 当a <1时, 是)益,而鳥发散，故由比较审敛法得:: S (1a n
)发散
.
F 面讨论级数、 「匚⑪ J 的敛散性. n 4
n 1 a
oO
l i mf x( -)
1 a l n xlai x
m
X
x
厂:
2. 缺项的幕级数收敛半径的求法
oO
例
8
求幂级数：〒x2n
的收敛域.
径，故
解得x ：迈，故收敛半径为R .
3. 非标准形式的幕级数收敛半径、收敛域的求法 例9求级数'凹■( —)n 的收敛域.
n 二 n 2x +1
x
°°(—1)n
解 令t 二-^，
则原级数变形为a 3t n ，此时级数不缺项，故
心 n
dt n 的收敛域为(-1,1］，从而原级数在-仁:^^ -1内收敛，
故级数
n 的收敛域为x 乞-1或x —丄
n $
n 2x 1
3
四、幕级数和函数的求法
R = lim n _；=
a n
a
n 1
3n1
■ 2
n 1
1
2
= lim ，
屮 1 (2\ cO 1 x n
所以幂级数二上佥的收敛半径为
3.
解 由于级数缺项，故需要采用正项级数的比值 (根值) 审敛法确定收敛半
U n 1(X ) lim f U n (x)
(n +1)2n
2
x 二 x 2
lim
n
厂 2(n 1) 2
Jx 2
：：1，
又当w 、2时，幕级数变为、「n ， nA
显然'丁 n 发散，故收敛域为
n 吕 2x 1 R
J
im
：
a n a 1
= lim 丄亠1,
n
当t 一1时，1
发散；当t =1时，、 n# n
3收敛;
n
三
n
2x 1
