激光原理-第三章

（3）单程衍射损耗 由近似解得出两种共焦腔的单程衍射损耗为零。要 具体求其单程衍射损耗，须采用精确解。圆形镜共焦 腔的单程衍射损耗比方形镜共焦腔大。
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第三章
激光器的输出特性
（4）单程附加相移及谐振频率
方形镜共焦腔
ν mnq
圆形镜共焦腔
c 1 [q (m n 1)] 2L 2
νq
uq 再现出来，两者之间应有关系：
（3－3）
uq1 uq
8
第三章
激光器的输出特性
综合上两式可得：
uq ( x, y) ik 4 u( x, y) ik 4
uq ( x' , y' )
M'
e
ik

(1 cos )ds'
（3－4）
u( x' , y' )
2.当场振幅为轴上( x y 0)的值的e-1倍，即强度为轴上的值的e-2倍时，所对 应的横向距离 z 即z 处截面内基模的有效截面半径为；
2 s 4 z (z) 1 2 s 1 2 L 2 2 2 2 ω s x s y s L
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第三章
激光器的输出特性
(4)单程相移与谐振频率：
mn kL arg mn i[ kL ( m n 1) ] 2 mn e
ν mnq c 1 [q (m n 1)] 2L 2
mn (m n 1) 2 ν mnq
2. 纵模频率间隔
腔内两个相邻纵模频率之差称为纵模的频率间隔
ν mnq
qc c mn 2L 2L
c ν q ν q 1 ν q 2L
（3－17）
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第三章
激光器的输出特性
举例1：10cm腔长的He-Ne激光器可能出现的纵模数（一种，单纵模） 举例2：30cm腔长的He-Ne激光器可能出现的纵模数（三种，多纵模）
值解，这说明在某一给定开腔中，可以存在许多不同的自再现模。
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第三章
激光器的输出特性
3. 积分方程解的物理意义
(1)本征函数 umn 和激光横模 本征函数 umn 的模代表对称开腔任一镜面上的光场振幅分布，幅角则
代表镜面上光场的相位分布。它表示的是在激光谐振腔中存在的稳定的
横向场分布，就是自再现模，通常叫做“横模”，m、n称为横模序数。 图3-3为各种横模光斑。
图(3-4) 腔中允许的纵模数
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本节重点：
理解自再现模概念


激光谐振腔的谐振频率及激光纵模
第三章
激光器的输出特性
§3.2
对称共焦腔内外的光场分布
18
第三章
激光器的输出特性
3.2.1 共焦腔镜面上的场分布
1.方形镜面共焦腔自再现模积分方程的解析解 (1)设方镜每边长为2a，共焦腔的腔长为L，光波波长为λ，并把x，y坐标的原 点选在镜面中心而以(x，y)来表示镜面上的任意点，则在近轴情况下，积分方 程有 本征函数近似解析解
u ( P)
由下列积分式计算：
ik u ( P) 4


u' ( P)eik

(1 cos )ds'
（3－1）
图3-1 惠更斯-菲涅耳原理
式中 为源点 P '与观察点 P 之间的距离； 为源点P ' k 2 / 为光波矢的大 处的波面法线 n与 P ' P 的夹角； 小， 为光波长； ds ' 为源点 P '处的面元。

H2 ( X ) 4 X 2 2
H m ( X ) (1) m e X
2
d m X 2 e m dX 19
第三章
激光器的输出特性
X2 2
2. 镜面上自再现模场的特征 (1)振幅分布 Fm (X) H m (X)e
Fn (Y) H n (Y)e
Y 2 2
u mn Cmn Fm (X)Fn (Y)
qc c mn 2L 2L
νq c 2L νm νn νq 2
图(3-6) 方形镜共焦腔的振荡频谱
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第三章
激光器的输出特性
3.2.2 共焦腔中的行波场与腔内外的光场分布
1. 腔内的光场: 通过基尔霍夫衍射公式计算由镜面M1上的场分布在
腔内造成的行波求得。
图3-3 横模光斑示意图
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第三章
激光器的输出特性
(2)本征值
mn 和单程衍射损耗、单程相移
:自再现模在腔内单程渡越时所引起的功率损耗。
mn
损耗 = 衍射损耗 + 几何损耗， 主要是衍射损耗，称为单程衍射损耗，用
2 2
表示。定义为
uq uq1 2 2 （3－9） mn 1 mn uq uq1 uq 单程衍射损耗与横模序数有关
uq1( x, y)表示光波经过q+1次渡越后，到达另一镜面所形成的光场分布，
ik uq1 ( x, y) 4
u ( x', y' )
q M'
eik

(1 cos )ds'
（3－2）
考虑对称开腔的情况，按照自再现模的概念，除了一个表示振幅衰减和相位 移动的常数因子以外，uq 1 应能够将
2 2 x H n 1 2 w s
y
2 x2 y 2 exp 1 2 w2 exp i x, y, z s
L x2 y 2 ( x, y, z ) k (1 ) ( m n 1)( ) 2 1 L 2 2
2 2 I mn u 2 F ( X ) F mn m n (Y)
图(3-5) Fm ( X ) X及Fn (Y ) Y 的变化曲线及相应的光强分布
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第三章
激光器的输出特性
激光模式的符号：TEMmnq，TEM00是基横模。 m、n的数值正好分别等于光强在x，y方向上的节线(光强为零的线)数目， 而且m、n的数值越大，光场也越向外扩展。
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第三章
激光器的输出特性
镜面上自再现模场的特征 （1）振幅分布
TEM00
TEM10
TEM20
TEM00
TEM10
TEM20
TEM03
TEM11
TEM31
TEM01
TEM02
TEM03
方形镜共焦腔模的强度花样
圆形镜共焦腔模的强度花样
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第三章
激光器的输出特性
（2）相位分布 共焦腔的反射镜面本身构成光场的一个等相位面。
31
第三章
激光器的输出特性
3.3.1 高斯光束的振幅和强度分布
1. 基横模TEM00的场振幅U00和强度I00分布分别为：
2 x y U 00 exp 1 2 2 s
2
2 2
2

I 00 U 00
2
4 x2 y 2 exp 1 2 2 s
其中
（3－7）
ik ik ( x , y , x ', y ') i ik ( x , y , x ', y ') K ( x, y , x ' , y ' ) e e 2L L
----------积分方程的核。

和 mn 的下标表示该方程存在一系列的不连续的本征函数解与本征 umn
M'
e
ik

(1 cos )ds'
（3－5）
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第三章
激光器的输出特性
对于一般的激光谐振腔来说，腔长L与反射镜曲率半径R通常都远大于 现模所满足的积分方程：
反射镜的线度a，而a又远大于光波长 。对上式做两点近似可得到自再
mn umn ( x, y ) K ( x, y, x' , y ' )uq ( x' , y ' )ds '
腔外的光场: 腔内沿一个方向传播的行波透过镜面的部分。 即行波函数乘以镜面的透射率 t 。
图3-7 计算腔内外光场分布的示意图
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第三章
激光器的输出特性
2.如图3-7所示，将镜面场分布代入基尔霍夫衍射公式可得：
2 2 umn x, y, z Cmn H m 1 2 w s
c
2L νm νn νq 2
νq
c
νmnq
1 [q (m 2n 1)] 2L 2
c
2L νm νq 2
νn νq
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第三章
激光器的输出特性
（5）共焦腔内的行波场分布
方形镜共焦腔
圆形镜共焦腔
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激光器的输出特性
§3.3
高斯光束的传输特性
图(3-2)所示为一个圆形镜的平行平面腔，镜面 M 和 M’ 上分别建立了坐 标轴两两相互平行的坐标 x-y 和 x’-y’ 。利用上式由镜面M’上的光场分 布可以计算出镜 M 上的场分布函数，即任意一个观察点的光场强度。
图3-2 镜面上场分布的计算示意图
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第三章
激光器的输出特性
设 uq ( x' , y' ) 为经过q次渡越后在某一镜面上所形成的场分布
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第三章
激光器的输出特性
本征值幅角与自再现模腔内单程渡越后所引起的总相移有关。
u q1 u q
arg u q1 arg arg u q
自再现模在对称开腔中单程渡越所产生的总相移定义为