霍夫变换在幂函数型曲线检测中的应用_曾接贤
霍夫变换(详解)
给定具体的五个点：
(a)image space
(b)hough space
选择由尽可能多直线汇成的点，如A和B。
y=x-1 y=1 (a)image space (b)hough translation
A,B确定了两组参数(k,q)，代入直线方程y=kx+q， 可以描述图像空间中对应的直线。
特殊情况，
hough translation 霍夫变换检测直线
基本原理
霍夫变换利用点和线之间的对偶性，将 图像空间中直线上离散的 像素点 通过参数方 程映射为霍夫空间中的 曲线 ，并将霍夫空间 中多条曲线的 交点 作为直线方程的参数 映射 为图像空间中的 直线。 给定直线的参数方程，可以利用霍夫变 换来检测图像中的直线。
原图
二值化
canny边缘检测
霍夫变换直线检测
谢谢！
给定具体的三个点：
y=x-1
(1,-1) (a)image space 图像空间中共线的点， 在霍夫空间对应的直线相交于一点。 (b)hough space
点和线的对偶性
（1）图像空间中的点，对应霍夫空间中的直 线。 （2）图像中的直线，对应霍夫空间中的点。 （3）共点的直线，在霍夫空间中对应的点在 一条直线上。 （4）共线的点，在霍夫空间中对应的直线交 与一点。
(b)hough space
过同一点的直线，在霍夫空间中所对应的点在一条直线上。
两个点的情况：
y=kx+q
(k,q)
(a)image space 霍夫空间中的交点，确定了一组参数(k,q) 。 将(k,q)代入直线方程 y=kx+q ， 可以描述图像空间中过A,B两点的直线。
(b)hough space
霍夫变换(hough transform)
一、概述霍夫变换是一种常用的图像处理技术，它可以用于检测图像中的直线、圆或者其他形状。
它具有很好的鲁棒性，可以应对图像中存在的噪声和其他干扰。
霍夫变换在计算机视觉、图像处理和模式识别领域有着广泛的应用，成为了处理图像中几何形状的重要工具。
二、霍夫变换的原理霍夫变换最初是由美国科学家保罗·霍夫在1962年提出的，用于检测图像中的直线。
后来，霍夫变换被扩展到检测圆或者其他形状。
霍夫变换的基本原理是将空间域中的坐标转换到参数域中，在参数域中对应的曲线经过的点在空间域中具有共线的特点。
通过累加空间域中的点的参数，可以找到曲线或者形状的参数方程，从而实现对图像中形状的检测。
具体来说，对于检测直线来说，可以通过霍夫变换将直线表示为参数空间中的斜率和截距，从而可以在参数空间中进行累加，最终找到直线的参数方程。
三、霍夫变换在直线检测中的应用1. 边缘检测在使用霍夫变换检测直线之前，通常需要对图像进行边缘检测。
边缘检测可以帮助找到图像中明显的过渡区域，这些过渡区域通常对应着直线的轮廓。
常用的边缘检测算法包括Sobel算子、Canny算子等。
2. 参数空间的设置为了使用霍夫变换来检测直线，需要设定参数空间的范围。
对于直线检测来说，一般可以设定直线的斜率和截距的取值范围。
3. 累加过程在设定好参数空间后，需要对图像中的边缘点进行霍夫变换的累加过程。
对于每一个边缘点，都可以在参数空间中找到对应的直线，通过对参数空间的累加，可以找到参数空间中的峰值，这些峰值对应着图像中的直线。
4. 直线检测可以根据参数空间中的峰值来确定图像中的直线。
通常可以设定一个阈值来筛选参数空间中的峰值，从而得到最终的直线检测结果。
四、霍夫变换在圆检测中的应用除了直线检测，霍夫变换也可以用于检测图像中的圆。
与直线检测类似，圆检测也需要进行边缘检测和参数空间的设定。
不同的是，在圆检测中，需要设定圆心和半径的参数空间范围。
五、霍夫变换的改进和应用1. 累加数组的优化在传统的霍夫变换中，需要对参数空间进行离散化，这会导致计算量较大。
霍夫变换直线检测
霍夫变换直线检测霍夫变换（HoughTransform）是计算机图形学中重要的一种技术，它可以定位直线曲线或其他形状的边缘。
它的发明者John Hough，在1962年的一篇论文中提出了这个概念。
霍夫变换是一种经典的图像处理技术，用于检测图像中的直线曲线轮廓与边缘，可以将数字图像转换为数学模型，从而提取和描述图像中的特征。
应用霍夫变换来检测图像中的直线曲线，通常采用基于投票和阈值技术来检测。
图像处理系统上运行霍夫变换，可以检测出图像中的直线曲线，并检测出图像中的边缘。
霍夫变换可以提取图像中的细微内容，主要是提取图像中的线性结构。
霍夫变换的核心是基于投票和阈值技术来检测边缘，这会将图像中的所有边缘（直线曲线或其他）进行分类。
为了提取图像中的边缘，霍夫变换会采用空间变换和梯度变换的方法，将图像转换为极坐标系。
然后，它会检测极坐标系中相关边缘的投票，用于提取边缘。
霍夫变换直线检测可以在图像中检测出直线或其他形状，提取出图像中的轮廓特征。
这是一种经典的图像处理技术，可以将图像转换为数学模型，主要用于线性结构的检测，如线段曲线或线条的检测，用于图形和图像的分析、识别和跟踪。
在印刷体识别、图像识别和计算机视觉等多个领域都有应用。
霍夫变换直线检测是一种效果良好的技术，可以有效检测复杂的线性结构，识别精确的特征。
它也有一些弊端，比如它可能无法检测出特定角度的线条，这可能会影响到它的检测效率。
霍夫变换直线检测是一种技术，可以有效的检测出图像中的线条结构，提取出图像的特征信息。
它广泛应用于图像处理和计算机视觉领域，是图像处理中非常重要的一种技术。
它可以有效的处理图像的细节内容，不仅提供了检测精确的特征，还可以有效减少计算量，是一种十分有用的图像处理技术。
霍夫变换(详解)
基本原理
霍夫变换利用点和线之间的对偶性，将 图像空间中直线上离散的 像素点 通过参数方 程映射为霍夫空间中的 曲线 ，并将霍夫空间 中多条曲线的 交点 作为直线方程的参数 映射 为图像空间中的 直线。 给定直线的参数方程，可以利用霍夫变 换来检测图像中的直线。
原图
二值化
canny边缘检测
霍夫变换直线检测
谢谢！
给定具体的五个点：
(a)image space
(b)hough space
选择由尽可能多直线汇成的点，如A和B。
y=x-1 y=1 (a)image space (b)hough translation
A,B确定了两组参数(k,q)，代入直线方程y=kx+q，况，
q q=-2k+4 q=-2k+3 q=-2k+1
(a)Image space q = -xk+y 无法确定图像空间中的垂线。
(b) hough space
k
转化为极坐标下的参数方程：
x1cosθ+y1sinθ=ρ
x1cosθ=ρcos2θ y1sinθ=ρsin2θ
图像空间中的点，对应了霍夫空间中的曲线。 曲线的交点确定了一组参数，能够描述图像空间中的特定直线。
给定具体的三个点：
y=x-1
(1,-1) (a)image space 图像空间中共线的点， 在霍夫空间对应的直线相交于一点。 (b)hough space
点和线的对偶性
（1）图像空间中的点，对应霍夫空间中的直 线。 （2）图像中的直线，对应霍夫空间中的点。 （3）共点的直线，在霍夫空间中对应的点在 一条直线上。 （4）共线的点，在霍夫空间中对应的直线交 与一点。
HOUGH变换及其在几何特征检测中的应用
Hough变换及其在几何特征检测中的应用王彬生黄乡生(东华理工大学电子工程学院, 抚州344000)摘要：介绍Hough变换原理,分析应用Hough变换检测直线的原理,并对Hough变换进行推广，用于检测圆的圆心、半径。
Hough变换在几何特征检测中用着独特的性能，它将检测目标从目标空间转换到参数空间，避免了在目标空间检测时的目标分类、目标编码等复杂运算，使得被测参数的测量变得简单易行。
关键词：Hough变换，直线和圆的检测，计算机实现Hough Transform and Application in Geometrical Property MeasurementWang bin sheng(College of Electronic Engineering, East China University of Tecnology , Fu Zhou, 344000) 【Abstract】The paper introduces the principle of The Hough Transform,and analyzed the theory of detecting the beeline based on The Hough transform. Especially, detecting the centre and radius of a circle since the extended of the Hough Transform..The Hough Transform has peculiarity in detecting the geometrical property, it can transform the detection target to the parameter space from the target space, and it will avoid the complex arithmetic on the target classfication and encoding in object space detection, therefore it make the parameter measurement become simpler and easier to solve.【Key words】Hough Transform, Detect the Beeline and Circle, Computer Implementation.0 引言模式识别是在一组目标中识别出特定的目标，它包括目标分割、目标测量和目标分类几个部分，整个过程可以在目标空间进行，也可以将目标变换到其它空间进行。
houghpeaks函数
houghpeaks函数HoughPeaks是一种图像处理算法，用于在霍夫变换中找到明显的峰值。
霍夫变换是一种用于检测直线、圆等形状的图像处理技术，它将原始图像转换为参数空间中的一组点，使得在该空间中的峰值表示了原始图像中的形状。
HoughPeaks将霍夫变换输出中的峰值作为输入，并返回一组坐标，这些坐标与原始图像中找到的形状相关联。
HoughPeaks的核心思想是找到霍夫变换输出的极大值。
霍夫变换输出的每个点都表示了一条直线或圆的参数。
如果这条直线或圆在原始图像中出现了多次，那么它在霍夫变换输出中对应的点就会比其他点更亮。
我们可以通过寻找这些亮点来找到原始图像中的形状。
为了实现这一目标，HoughPeaks算法中使用了两个参数：thresh和NhoodSize。
Thresh参数是一个阈值，用于确定哪些点应该被认为是峰值。
只有霍夫变换输出中的点亮度大于这个阈值，才被认为是峰值。
NhoodSize参数是一个邻域大小，用于定义一个点周围的邻域。
如果一个点是峰值，并且它的邻域内有其他点的亮度也大于thresh，则这些点被认为是属于同一峰值。
HoughPeaks算法的具体实现如下：1. 给定霍夫变换输出矩阵H。
2. 对于每个点(x,y)在H中，如果它的亮度大于thresh，则将其标记为峰值。
3. 对于每个峰值，检查它的邻域大小是否为NhoodSize。
如果是，则将它们归为同一峰值。
4. 返回所有峰值的坐标。
该算法在计算机视觉领域有广泛的应用，包括图像分割、形状检测以及模式识别等方面。
在实际应用中，参数thresh和NhoodSize的值需要根据具体的问题进行调整，以获得最佳的效果。
除了HoughPeaks算法以外，还有一些其他的霍夫变换的应用，例如霍夫直线变换和霍夫圆变换。
在霍夫直线变换中，一条直线可以表示为(x,y)坐标系中的极坐标(r,θ)。
通过建立一张(r,θ)空间的表格，计算Hough变换并找出极值，可以检测到原始图像中的直线。
!!霍夫变换原理
!!霍夫变换原理一、简单介绍Hough变换是图像处理中从图像识别几何形状的基本方法之一，霍夫变换寻找直线和圆的方法相比其他方法，可以更好的减少噪声干扰。
经典的霍夫变换常用来检测直线，圆，椭圆等。
Hough变换的基本原理在于利用点与线的对偶性，将原始图像空间的给定曲线通过曲线表达形式变为参数空间的一个点。
这样就把原始图像给定曲线的检测问题，转化为检测参数空间的峰值问题。
也就是把检测整体特性转化为检测局部特性。
比如直线，椭圆，圆，弧线等。
二、Hough变换的基本思想设已知一黑白图像上画了一条直线，要求出这条直线所在的位置。
我们知道，直线的方程可以用y=k*x+b 来表示，其中k和b是参数，分别是斜率和截距。
也就是说，我们将原始图像需要检测的直线，表示成y = k*x + b, 只要找出唯一的k，b即可检测出该直线。
该直线在原始图中是一系列离散点的集合，过该直线上某一点(x0,y0)的所有直线的参数都会满足方程y0=kx0+b。
即点(x0,y0)确定了原始图像中一族(有不同k,b)直线。
这一族直线，对应参数k--b平面上的一条直线：b=-x0*k+y0.即点（x0,y0）在参数空间确定了一条直线。
这样，图像x--y平面上的一个前景像素点就对应到参数平面上的一条直线。
因此，图像x-y内需检测直线上的N个点，在参数平面会有N条直线。
假设这N条直线相交，则交点k，b满足所有直线的方程。
而图像x-y内的直线有唯一一个k，b，因此，相应的参数平面N 条直线必然有唯一一个交点。
我们举个例子说明解决前面那个问题的原理。
设图x-y内的直线y=x, 取上面的三个点：A(0,0), B(1,1), C(2,2)。
代入y=kx+b可以求出，过A点的直线的参数要满足方程b=0,过B点的直线的参数要满足方程1=k+b,过C点的直线的参数要满足方程2=2k+b,这三个方程就对应着参数平面上的三条直线，而这三条直线会相交于一点(k=1,b=0)。
霍夫变换, 正弦曲线 检测
霍夫变换（Hough Transform）是一种在图像处理中用于检测形状的技术。
它被广泛应用于边缘检测、线条检测和圆检测等领域。
在正弦曲线检测中，霍夫变换可以用来检测图像中的正弦曲线。
基本原理：
霍夫变换的基本原理是将原始图像空间中的形状转换为参数空间中的累加器，通过找到累加器峰值的位置来确定形状的参数。
对于正弦曲线检测，我们可以将正弦曲线的振幅、周期和相位作为参数，使用霍夫变换来检测图像中的正弦曲线。
实现步骤：
1.边缘检测：首先需要对图像进行边缘检测，提取出图像中的边缘像素点。
常用的边缘检测算法包括Sobel、Canny等。
2.参数空间转换：将边缘像素点的坐标转换为参数空间中的形式。
对于正弦曲线，可以将振幅、周期和相位作为参数，将边缘像素点的坐标转换为这些参数的形式。
3.累加器计算：在参数空间中，对于每个可能的参数组合，计算累加器的值。
累加器的值可以通过投票的方式计算，即将相同参数组合的边缘像素点计数加一。
4.峰值检测：在累加器中寻找峰值，峰值的位置对应于正弦曲线
的参数。
通过峰值的位置可以确定正弦曲线的参数，从而检测出正弦曲线。
应用场景：
霍夫变换在图像处理中有着广泛的应用，例如在医学图像处理中用于检测心电图信号、在机器视觉中用于检测物体轮廓和线条等。
在正弦曲线检测中，霍夫变换可以用于检测图像中的振动信号、波形等，具有重要的实际意义和应用价值。
Hahn-Banach定理的几个应用
数学学习与研究2016.8【摘要】Hahn-Banach 定理,作为泛函分析三大基本定理之一应用广泛.本文介绍该定理的内容,并初步探讨其推论及其在泛函的延拓的应用.【关键词】Hahn-Banach 定理;泛函分析;延拓;应用一、引言Hahn-Banach 定理是泛函分析中的基本定理.它的重要性不仅作用在建立Banach 空间理论体系,而且还解决许多问题.下面探讨应用到定理的实际问题.二、定理的介绍定理1设G 是赋范线性空间X 的线性子空间,对于G 上任一有界线性泛函f ,可以作出X 上的有界线性泛函F ,使其满足:(i)当x ∈G 时,F (x )=f (x );(ii)||f||G =||F ||.定理2设G 是赋范线性空间X 的线性子空间,P (x )是X 上的拟范数,对于G 上任何一个给定的线性泛函f ,满足条件k =supx ∈G ,P (x )≤1|f (x )|<∞时,f 必可延拓为E 上的线性泛函F ,且满足supx ∈G ,P (x )≤1|F (x )|=k.三、定理的应用(一)推导定理的推论推论1设E 是赋范线性空间,则对任何x 0∈E ,x 0≠θ,必存在E 上的有界线性泛函f ,满足(i)f (x 0)=||x 0||,(ii)||f ||=1.证明:把定理中的G 取为{θ},有d =ρ(x 0{θ})=||x 0||,于是存在E 上的有界线性泛函f 满足(i),(ii).推论2设E 是赋范线性空间,则对于任何x 0∈E ,有||x 0||=sup ||f ||=1f ∈E *|f (x 0)|.证明:设f ∈E *,且||f||=1于是|f (x 0)|≤||f||·||x 0||=||x 0||,由此得到sup ||f ||=1f ∈E *|F (x 0)|≤||x 0||.另外对x 0∈E ,不妨设x 0≠θ(否则推论显然成立),根据推论1,存在着f 1∈E *,||f 1||=1,并且f 1(x 0)=||x 0||,有sup ||f ||=1f ∈E *|f (x 0)|≥||x 0||.结论得证.(二)解决延拓问题延拓问题是研究定义在给定集X 的一个子集A 上的某数学对象能否扩充到整个集X 上,并保持对象的基本性质.Hahn-Banach 泛函延拓定理保证赋范线性空间上具有充分多有界线性泛函及线性泛函的取值可先指定,且为共轭空间提供必需理论.例1设X 为赋范线性空间,x,y ∈X .若∀f ∈X *,恒有f(x)=f(y),证明x =y.证明用反证法.设x ≠y ,则x -y ≠θ,依据定理,必存在f ∈X *,使得f (x -y )=||x -y||≠0,从而f (x )≠f (y ),与题设矛盾.故必有x =y.例2P 是定义在赋范线性空间X 上的一个次线性泛函,证明:X 上存在一线性泛函F,使得-P(-x)≤F(x)≤P(x).证明设P 是定义在赋范线性空间X 上的一个次线性泛函,Z ={x ∈X|x =αx 0,α∈R },x 0∈X 是一固定元素,在Z 上定义泛函f 为f (x )=αP (x 0).不难证明f 是Z 上的线性泛函:对于x =αx 0,y =βx 0有f (x +y )=f [(α+β)x 0]=(α+β)P (x 0)=αP (x 0)+βP (x 0)=f (x )+f (y ),f (cx )=f (cαx 0)=cαf (x 0)=cf (x ),c ∈R.所以,f 是Z 上的线性泛函.当α≥0,有f (x )=αP (x 0)=P (x );当α<0,又0=P (θ)=P (-x +x )≤P (x )+P (-x ),有P (-x )≥-P (x ),又f (x )=αP (x 0)≤-αP (-x 0)=P (αx 0)=P (x ),因此f (x )≤P (x ).应用定理得X 上的线性泛函F 满足F (x )≤P (x ).故:-P (-x )=F (-x )≤P (-x )⇒-P (-x )≤f (x ).得证.(三)证明其他定理定理3设G 是赋范线性空间E 的子空间,x 0∈E ,并且d =ρ(x 0,G )>0,则存在E 上的有界线性泛函f ,满足:(i)f (x )=0,当x ∈G ;(ii)f (x 0)=d ;(iii)||f ||=1.证明令G 1=span{x 0∪G },由ρ(x 0,G )>0,故x 0∈⎺G ,因此G 中的任一元素y 可唯一表示为y =αx 0+x (x ∈G ,α为常数).在G 1上定义泛函g :g (y )=g (αx 0+x )=αd (y ∈G 1),g 是线性的,满足(i),(ii).任取y =αx 0+x ∈G 1,不妨设α≠0,则|g (y )|=|α|ρ(x 0,G )≤|α|x 0+xα=||αx 0+x||=||y||,故g 是有界的且||g||G 11.因此是G 1上满足条件(i),(ii)的有界线性泛函,根据定理,在E 上存在有界线性泛函f 满足(i),(ii),且||f||=||g||G ≤1.由引理得||f||≥f (x 0)ρ(x 0,G )=d d=1.(引理设G 是赋范线性空间E 的子空间,x 0∈E ,ρ(x 0,G )是x 0到G 的距离,f 是E 上的有界线性泛函,并且在G 上取值为零,则|f (x 0)|≤||f||ρ(x 0,G ).)四、小结Hahn-Banach 定理本身有研究价值,其应用也十分广泛.本文运用Hahn-Banach 定理研究其推论、延拓问题及对其他定理的证明.该定理研究空间还很大,本文研究还不全面.【参考文献】[1]张恭庆,林源渠.泛函分析讲义[M ].北京:北京大学出版社,2011:106-126.[2]江泽坚,孙善利.泛函分析[M ].北京:高等教育出版社,2005:79-93.Hahn-Banach 定理的几个应用◎赵畅(吉林师范大学数学学院,吉林长春130103). All Rights Reserved.。
霍夫变换的替代方法及应用场景探索
霍夫变换的替代方法及应用场景探索The topic of my article is similar to the Hough Transform. The Hough Transform is a popular image processing technique used for detecting shapes, particularly lines and circles, in digital images. It was first proposed by Paul Hough in 1962 and has since been widely used in computer vision and pattern recognition applications.The Hough Transform works by converting the image space into a parameter space, where each pixel in the image corresponds to a particular parameter value. For example, in the case of line detection, each pixel represents a line in the parameter space defined by its slope and intercept. By accumulating votes for different parameter values, we can identify the most prominent lines or circles in the image.Similar to the Hough Transform, my article explores a technique that aims to detect specific patterns or shapes in images. It may involve transforming the image space into a different representation or using a different set of parameters for shape detection. The goal is to provide an alternative approach or improvement over the traditional Hough Transform algorithm.中文回答：我文章的主题类似于霍夫变换。
Hough变换
经典的Hough圆检测
缺点：由于参数的累加器是三维数组，所以上述方法的算法复杂度太高， 资源需求大，处理时间长。在大噪声和具有复杂图像背景的情况下，大 量的无用的点也会参与投票，使算法性能大大降低，甚至影响到检测结 果。
一种快速Hough变换检测圆的方法
原理：
未知圆上的三个点可以确定该圆的方程，即可以得到a,b,r。那么在 图像中的三个点可以确定一组参数，即确定一个圆。本方法应用此原理， 在图像空间中随机取三个点，确定一组参数，然后再取三个点，再确定 一组参数，后者与前者相比较，若相同，则此参数的累加器加一，若不 同则将其作为一个新的参数源，放入参数表中，以此类推，直到有一个 参数组的累加器达到我们设定的阈值，或者达到我们设定的循环次数上 限，检测停止。
• Hough变换算法主要应用于二值图像(即边缘图像)，因此在对灰度图像进行 Hough变换前需要对其进行预处理(包括图像的滤波与边缘检测)。Hough变换 是一种使用表决原理的参数估计技术。其原理是利用图像空间和Hough参数 空间的点－线对偶性，把图像空间中的检测问题转换到参数空间。通过在参 数空间里进行简单的累加统计，然后在Hough参数空间寻找累加器峰值的方 法检测直线。Hough变换的实质是将图像空间内具有一定关系的像元进行聚 类，寻找能把这些像元用某一解析形式联系起来的参数空间累积对应点。
的最大值应为 x2 y2 ，所以 [0, (x2 y2)]
通常 [0, ]（每一度为一个点，分成180段） 2.建立一个累加数组（参数变量为2个，数组为二维数组）
检测步骤
3.对图像空间中的点进行hough变换，即算出该点在参数空间上的对应曲线， 并在相应的累加器加1；（图片大小为614*768）
经典的Hough圆检测
霍夫变换（Hough）
霍夫变换（Hough）⼀、霍夫变换（Hough） A-基本原理⼀条直线可由两个点A=(X1,Y1)和B=(X2,Y2)确定(笛卡尔坐标)另⼀⽅⾯，也可以写成关于（k,q）的函数表达式（霍夫空间）：对应的变换可以通过图形直观表⽰：变换后的空间成为霍夫空间。
即：笛卡尔坐标系中⼀条直线，对应霍夫空间的⼀个点。
反过来同样成⽴（霍夫空间的⼀条直线，对应笛卡尔坐标系的⼀个点）：再来看看A、B两个点，对应霍夫空间的情形：⼀步步来，再看⼀下三个点共线的情况：可以看出如果笛卡尔坐标系的点共线，这些点在霍夫空间对应的直线交于⼀点：这也是必然，共线只有⼀种取值可能。
如果不⽌⼀条直线呢？再看看多个点的情况（有两条直线）：其实（3，2）与（4，1）也可以组成直线，只不过它有两个点确定，⽽图中A、B两点是由三条直线汇成，这也是霍夫变换的后处理的基本⽅式：选择由尽可能多直线汇成的点。
看看，霍夫空间：选择由三条交汇直线确定的点（中间图），对应的笛卡尔坐标系的直线（右图）。
到这⾥问题似乎解决了，已经完成了霍夫变换的求解，但是如果像下图这种情况呢？k=∞是不⽅便表⽰的，⽽且q怎么取值呢，这样不是办法。
因此考虑将笛卡尔坐标系换为：极坐标表⽰。
在极坐标系下，其实是⼀样的：极坐标的点→霍夫空间的直线，只不过霍夫空间不再是[k,q]的参数，⽽是的参数，给出对⽐图：是不是就⼀⽬了然了？给出霍夫变换的算法步骤：对应code:1 function [ Hough, theta_range, rho_range ] = naiveHough(I)2 %NAIVEHOUGH Peforms the Hough transform in a straightforward way.3 %4 [rows, cols] = size(I);56 theta_maximum = 90;7 rho_maximum = floor(sqrt(rows^2 + cols^2)) - 1;8 theta_range = -theta_maximum:theta_maximum - 1;9 rho_range = -rho_maximum:rho_maximum;1011 Hough = zeros(length(rho_range), length(theta_range));12for row = 1:rows13for col = 1:cols14if I(row, col) > 0 %only find: pixel > 015 x = col - 1;16 y = row - 1;17for theta = theta_range18 rho = round((x * cosd(theta)) + (y * sind(theta))); %approximate19 rho_index = rho + rho_maximum + 1;20 theta_index = theta + theta_maximum + 1;21 Hough(rho_index, theta_index) = Hough(rho_index, theta_index) + 1;22 end23 end24 end25 end其实本质上就是：交点怎么求解呢？细化成坐标形式，取整后将交点对应的坐标进⾏累加，最后找到数值最⼤的点就是求解的，也就求解出了直线。
霍夫变换函数
霍夫变换函数:hough;houghpeaks;houghlines（1）(2014-03-31 11:50:36)转载▼分类：matlab图像处理工具箱提供了三个与霍夫变换有关的函数。
函数hough实现了前面讨论的概念，函数houghpeaks寻找霍夫变换的峰值(累加单元的高计数)，函数houghlines以来自其他两个函数的结果为基础在原始图像中提取线段。
1. 函数hough函数hough支持任意的默认语法：[H, theta, rho] = hough(f)还支持完整的语法形式：[H, theta, rho] = hough(f, 'ThetaRes', val1, 'RhoRes', val2)其中，H是霍夫变换矩阵，theta(以度计)和rho是ρ和θ值向量，在这些值上产生霍夫变换。
输入f是二值图像，val1是0到90的标量，指定了沿θ轴霍夫变换的间距(默认是1)，val2是0例10.5 霍夫变换的说明在这个例子中，我们用简单的合成图像来说明hough函数的机理：>> f = zeros(101, 101);>> f(1, 1) = 1; f(101, 1) = 1; f(1, 101) = 1;>> f(101, 101) = 1; f(51, 51) = 1;图10-10(a)显示了我们的测试图像，下面使用默认值计算并显示霍夫变换的结果：>> H = hough(f)>> Imshow(H,[])图10-10(b)显示了结果，以熟悉的方法使用imshow函数来显示。
在带有标度轴的较大图中显现霍夫变换常常更有用。
在接下来的代码片段中，我们调用带有三个参数的hough函数。
然后把向量theta和rho作为附加输入参量传递给imshow，从而控制水平轴和垂直轴的标度。
我们还要把'InitialMagnification'选项传递给带有值'fit'的imshow函数，因此，整个图像将被强迫在图形窗口中进行装配。
opencvsharp 霍夫变换 曲线
标题：探究OpenCVSharp中的霍夫变换及其在曲线检测中的应用一、介绍1.1 OpenCVSharp简介在图像处理和计算机视觉领域，OpenCVSharp是一个非常常用的开源计算机视觉库，它提供了丰富的图像处理和计算机视觉算法，方便开发者对图像进行处理和分析。
1.2 霍夫变换概念及应用霍夫变换是一种经典的图像处理算法，主要用于检测图像中的直线、圆、椭圆等几何形状，在图像处理领域有着广泛的应用。
二、霍夫直线变换2.1 霍夫直线变换算法原理霍夫直线变换是一种常用的图像处理算法，通过对图像中的像素点进行累积，找出可以构成直线的像素点的位置，进而找到图像中的直线。
2.2 OpenCVSharp中的霍夫直线变换OpenCVSharp提供了方便的API，可以直接调用霍夫直线变换算法，实现直线检测功能。
三、霍夫曲线变换3.1 霍夫曲线变换算法原理在图像处理中，曲线检测是一个重要的任务，霍夫曲线变换算法可以帮助我们实现对曲线的高效检测。
3.2 OpenCVSharp中的霍夫曲线变换OpenCVSharp提供了丰富的图像处理工具和API，可以很方便地实现对曲线的检测和分析。
四、应用场景4.1 霍夫变换在工业检测中的应用工业领域中，霍夫变换可以用于检测零件的形状和位置，帮助实现自动化生产。
4.2 霍夫变换在医学图像处理中的应用在医学图像处理中，霍夫变换可以帮助医生对X光片、CT图像等进行分析，实现疾病的诊断和治疗。
五、个人观点5.1 霍夫变换的局限性霍夫变换在处理噪声较大的图像时，容易受到误检的影响，需要结合其他图像处理算法进行优化。
5.2 霍夫变换的潜力霍夫变换作为一种经典的图像处理算法，仍然具有很大的潜力，可以结合深度学习等先进技术，实现更高效的图像处理和分析。
六、总结6.1 对于霍夫变换的认识与应用通过本文的介绍，我们对于OpenCVSharp中的霍夫变换及其在曲线检测中的应用有了更加深入的理解。
6.2 展望未来霍夫变换作为一种经典的图像处理算法，在未来的图像处理和计算机视觉领域仍然具有重要的地位，我们期待能够看到更多的优化和改进。
霍夫变换算子的分析与改进
霍夫变换算子的分析与改进第一章绪论Hough变换(Hough Transformation，HT) 是直线检测中常用的方法之一，是由PaulHough在1962年提出的。
它所实现的是一种从图像空间到参数空间的映射关系。
Hough变换将图像空间中复杂的边缘特征信息映射为参数空间中的聚类检测问题。
Duda和Hart于1972年首次用该方法提取直线。
他们发现，当许多点的分布近似为一条直线时，这条直线可以用Hough变换的方法确定。
经典HT常被用于直线、线段、圆和椭圆的检测。
广义霍夫变换(Generalized Hough Transformation，GHT)可以推广至检测任意形状的图形。
Hough变换的突出优点就是将图像空间中较为困难的全局检测问题转化为参数空间中相对容易解决的局部峰值检测问题。
也就是说，通过Hough变换之后，工作的重点就是如何更准确地、有效地检测出参数空间中共同投票区域的投票积累峰值。
当参数空间证据积累完成以后，通常采用给定阈值的方法确定备选估计参数。
但是，由于Hough变换自身的特点，使得提取出来的备选估计参数远远多于真实参数的个数，而且有好多备选估计参数来源于同一直线上数据点的投票积累。
若直接以备选估计参数作为检测到的直线参数输出直线，则是不符合实际、不正确的。
所以，在确定最终参数时，需要对备选估计参数做一定的处理，从而保证检测的准确性。
Hough 变换方法还具有明了的几何解析性、一定的抗干扰能力和易于实现并行处理点．Hough变换是从图像中识别几何形状的基本方法之一，因此有着广泛的应用。
例如：基于Hough变换的航片框标定位算法，霍夫变换在潮位相关分析中的应用等。
第二章 Hough变换2. 1 基本原理Hough变换的基本原理是将影像空间中的曲线（包括直线）变换到参数空间中，通过检测参数空间中的极值点，确定出该曲线的描述参数，从而提取影像中的规则曲线。
主要讨论直线与参数空间的变换性质。
利用Hough变换实现直线的快速精确检测
利用Hough变换实现直线的快速精确检测
滕今朝;邱杰
【期刊名称】《中国图象图形学报》
【年(卷),期】2008(013)002
【摘要】利用Hough变换对直线进行检测,通常存在"速度缓慢、结果不够精确"的问题,本文提出了"分式查表法".能在大幅度减少Hough变换的总计算量的情况下,检测精度保持最高,从而使超大型图像中,直线的实时、精确检测成为可能.
【总页数】4页(P234-237)
【作者】滕今朝;邱杰
【作者单位】威海职业学院机电工程系,威海,264210;海军航空工程学院,烟
台,264000
【正文语种】中文
【中图分类】TP391.41
【相关文献】
1.快速随机Hough变换多直线检测算法 [J], 张江鑫;沈小兰;王辉;裘加林;张标标
2.一种新的用于检测直线的快速Hough变换 [J], 卢惠民;郑志强
3.基于相位编组图像分块的快速Hough变换直线检测 [J], 袁广林;薛模根;李从利;韩裕生
4.一种快速直线检测并精确计算直线公式的方法 [J], 张亦宁
5.一种基于改进Hough变换的直线快速检测算法 [J], 段汝娇;赵伟;黄松岭;陈建业
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霍夫变换在幂函数型曲线检测中的应用_曾接贤
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霍夫变换实现方法
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数据预处理
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霍夫变换的作用
霍夫变换的作用霍夫变换是一种在图像处理领域中广泛应用的算法，它可以识别出图像中的直线、圆等特定形状。
通过霍夫变换，我们可以从复杂的图像中提取出我们感兴趣的特定模式，为图像分析和图像识别提供了有力的工具。
霍夫变换最早由英国数学家霍夫（Hough）于1962年提出，其基本原理是将图像空间中的每一个像素点转换到参数空间中，从而使得在图像空间中直线表达为参数空间中的一个点。
通过在参数空间中统计点的数量，我们可以找到出现次数最多的点，从而确定图像中的直线。
在霍夫变换中，直线的表达方式有多种，最常用的是极坐标形式。
在极坐标中，一条直线可以由两个参数表示：ρ（rho）表示直线到原点的距离，θ（theta）表示直线与x轴的夹角。
通过遍历图像中的所有点，我们可以计算出每个点对应的ρ和θ，并在参数空间中进行累加。
当我们在参数空间中找到数量最多的点时，就意味着在图像中存在一条直线。
通过设定一定的阈值，我们可以筛选出数量大于阈值的点，从而找到图像中的直线。
这样，我们可以通过霍夫变换来实现直线检测。
除了直线检测，霍夫变换还可以应用于圆检测。
在圆检测中，我们需要确定圆心的位置和半径的大小。
类似于直线检测，我们可以在参数空间中累加圆心的位置和半径的大小，从而找到数量最多的点，并筛选出合适的圆。
然而，霍夫变换也存在一些局限性。
首先，霍夫变换对图像噪声敏感，噪声点容易被错误地识别为直线或圆。
为了解决这个问题，我们可以在进行霍夫变换之前对图像进行预处理，如应用滤波器进行平滑处理或进行边缘检测。
其次，霍夫变换的计算复杂度较高，对于大尺寸的图像处理速度较慢。
为了提高计算效率，可以采用优化算法或使用并行计算。
除了直线和圆检测，霍夫变换还可以应用于其他形状的检测，如椭圆、多边形等。
通过适当的参数设置和算法优化，我们可以根据需要来实现不同形状的检测。
总结来说，霍夫变换是一种广泛应用于图像处理领域的算法，它可以实现直线、圆等特定形状的检测。
它的原理简单易懂，但在实际应用中也存在一些局限性。
基于形状特征的图像检索技术研究
收稿日期:2007-01-25基金项目:国家自然科学基金(60675022);江西省自然科学基金(0311019);江西省教育厅科技计划项目作者简介:付 玮(1975-),男,江西南昌人,硕士研究生,研究方向为计算机视觉与图像处理;曾接贤,教授,硕士,研究方向为计算机视觉、工程图学,计算机图形学等。
基于形状特征的图像检索技术研究付 玮,曾接贤(南昌航空大学无损检测技术教育部重点实验室,江西南昌330063)摘 要:随着图像信息数量的飞速增长,人们迫切需要对大量的图像信息进行快速、有效的检索。
因此,研究者们提出了许多图像检索新技术。
阐述了图像检索技术的发展过程;分析了基于形状特征的图像检索技术研究现状和局限性;着重从特征提取、高层语义和形状特征的关联、高维索引技术等方面研究了基于形状特征的图像检索的发展趋势。
关键词:形状特征;图象检索;研究进展中图分类号:T P391 文献标识码:A 文章编号:1673-629X(2007)11-0228-05Research of Shape-Based Image RetrievalFU Wei,ZENG Jie xian(M inistr y of Educat ion K ey Labor ator y of Nondestructiv e T est,Nanchang I nst itute of A ero nautical T echnology ,Nanchang 330063,China)Abstract:With the rapid grow th in the number of image information,it i s urgent to retri eve a great deal image information effectively.T herefore,researchers put forw ard a lot of new i mage retrieval technol ogy.Summarizes the image retrieval devel opment firstly,and then analyzes research status and the localization of shape-based image retrieval Las tly,its primary aim i s to study in the future development direction of shape-based i mage retrieval from several aspects,such as feature extraction,high semantic w ith the connection of shape fea ture ,hi gh-dimension i ndex etc.Key words:shape feature;image retrieval;review and prospect0 引 言随着互联网和多媒体信息技术的飞速发展,图像信息正变得越来越重要;而且许多行业的需求对专用图像的检索提出了新的要求,例如多媒体数字图书馆系统、卫星遥感图像、医疗图像的分析和检索。
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2 ! 霍夫变换原理与实现方法 !$% 霍夫变换原理
%&’! 年 ， ($)$*$+,-./ 根 据 数 学 对 偶 性 原 理 提 出 了 检 测 图
此后， 该方法被不断地研究和发展， 主要应用 象 直 线 的 方 法 0&1， 于模式识别领域中对二值图象进行直线检测。 其原理如图 % 所 示， 平面直角坐标系中的直线 * 表达为：
$+(!,其中， ( 为斜率， - 为截距。
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， 直线 * 上不同的点 （ !# ， 在参数空间中被变 根据式 （! ） $# ） 若能确定参数空 间 中 的 . 换为一族相交于 . 点的直线。显然， 点 （局部最大值） ， 就实现了直线检测。 由上述霍夫变换原理可知， 霍夫变换具有如下性质 0%"1： （%） 直角坐标系中的一个点映射到参数空间中为一条直线； 参数空间中的一个点对应直角坐标系中的一条直线； （! ） （2 ） 直角坐标系中的共点线映射到参数空间中为一条直 线； 直角坐标系中的共线点映射到参数空间中后为一个交 （# ） 于同一点的直线族。
$@2*1)(*： /0123 L56.7805, -7 6@R6M7 17BS L0 SBLBFL @-.B$Q. L3-7 N6NB5， 6 .BR 6NN@-F6L-0. 08 /0123 L56.7805, -7 N50T N07BS， R3-F3 -7 17BS L0 BDL56FL F15UB 850, ,6.M S-7F5BLB N0-.L7$43B 6NN506F3 F6. SBLBFL F15UB 850, L3B N0-.L7 %"， #" 8-L G * * N0RB5 81.FL-0.$43B 6@205-L3, -7 67 80@@0R7： V-57L@M ， L3B .BR S6L6 N0-.L7 &（% "， # "） 65B 20LLB. L350123 @0265-L3,-F L56.7805,T -.2 L0 L3B S-7F5BLB S6L6 N0-.L7， L3B 5B@6L-0. KBLRBB. %*"， #*" -7 @-.B65 6L L36L L-,B ； WBF0.S@M ， @-.B -7 SBLBFLBS KM 17-.2 /0123 L56.7805, 6.S N656,BLB57 )* ， -* 08 @-.B7 65B 6@70 20LLB.； WBX1B.FB ， L3B S-7L6.FB +," KBLRBB. N0-.L7 08 BS2B 6.S L3B @-.B7 -7 F6@F1@6LBS KM 17-.2 N656,BLB57 )* ， -* ， KM F0,N65-.2 L35B730@S +, R-L3 +,"， N0-.L7 -. L3B U-F-.-LM 08 S-88B5B.L @-.B7 65B BDL56FLBS 6.S -.LB58B5B.FB N0-.L7 6.S .0-7B 08 S6L6 N0-.L7 65B SB@BLBS L00； J67L@M ， @-.B -7 8-LLBS KM 17-.2 6 ,BL30S 08 @B67L 7X165B 6.S 6FF156LB N656,BLB57 ( 6.S ) 08 @-.B7 65B 0KL6-.BS$43B 6@205-L3, -7 -.7B.7-L-UB L0 .0-7B KBT F617B /0123 L56.7805, F6. 5B7-7L6.L .0-7B 6.S 7BN656LB N0-.L7 850, L3B U-F-.-LM 08 S-88B5B.L @-.B7$ A#B6+1C2： /0123 L56.7805,， @B67L 7X165B ， N0RB5 81.FL-0. ， 8-L F15UB
幂函数型曲线的检测方法
5 假设采集到的数据集为 %+ （!#， ， （#3% ， …， $#） !， 6， 6 为数据
集中的数据点数） ， % 中的数据点 !#， $# 满足幂函数关系， 4 表示 幂函数关系式方程个数 （曲线条数） ， 根据曲线检测的目的要求 给定阈值 &’ ， 则可采用如下方法检测幂函数型曲线。
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) 数据集中的数据满足 $#,&+( （!#,7ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ） 关系时的预处理
若数据集 % 中的数据 !#， $# 满足关系式：
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（5 ）
则可通过作平移变换：
! " $ # +$# ,& # ! ! # +!# ,7 %
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（’ ）
使式 （5 ） 变换成式 （2 ） 。 此时， 同样可以采用 2$%$% 节方法将 曲线方程变换成直线方程。
;* =* 和 椭 圆 )<， ， 对于其 线， 也 有 不 少 文 献 介 绍 用 霍 夫 变 换 检 测 圆 ):，
计数据分析、 计算机视觉中将离散形式的二值边缘轮廓拟合成 连续的曲线、 &’( 系统中获取三维物体图象的线图等。曲线拟 合在计算数学中有多种方法， 最常用的是平方逼近， 即最小二 乘法。最小二乘法的定义 是：
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具有线性关系； 其次， 用霍夫变换检测 &* 中的直线， 可得直线参数； 然后， 利用霍夫变换所得的直线参数， 计算图象中的 并与给定阈值 +, 比较， 从而将分布在不同直线附近的点分离 出 来 ， 同 时 剔 除 数 据 点 集 &* 中 的 边缘点到直线的距离 +,"， 干扰点或噪声； 最后， 用最小二乘法拟合直线， 得到剔除干扰点或噪声后的拟合曲线方程参数 ( 和 ) 。 关键词 霍夫变换 最小二乘法 幂函数 曲线拟合 文献标识码 ’ 中图分类号 4H9I%$#%
（2 ）
（# ）
其中 $# +678$# 8 ， !# +678!# 8， - +678(8，将 !# ， $# 构成的数据集记 作 %9。 的数据集 经过取对数后， 将原数据集中满足曲线方程 （2 ） 变换成满足直线方程 （# ） 的数据集 %"。 在 %" 中， 就可利用霍 %， 夫变换检测出式 （2 ） 的参数 ( 和 ) 。
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数据预处理
数据集中的数据满足关系时的预处理 若数据集 % 中的数据 !#， $# 满足关系式： （#3% ， …， $# +(!# ， !， 6） 两边求对数， 得： 则对式 （2 ） （#3% ， …， $# +)!# ,- ， !， 6 ； 6 !6 ）
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霍夫变换在幂函数型曲线检测中的应用
曾接贤 张桂梅 储 王君 鲁宇明 （南昌航空工业学院计算机视觉研究室， 南昌 99""9# ）
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摘 要 利用霍夫变换抗噪声能力强和能分离出属于不同直线附近点的特性， 研究离散数据点集 & 中 %"， #" 满足幂函数
G 得到新的数据点集 &（ ， 此时， 关系时的曲线检测问题。首先， 对离散数据点集 & 中的数据 %"， #" 作对数变换， %*"， #*"） %*"， #*"
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图% 直线检测中的霍夫变换
霍夫变换
将式 （# ） 改写成： （#3% ， …， …， - ’ +$# 8) ’ !# ， !， 6 "； ’ 3% ， !， 4）
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霍夫变换实现方法
工程中的实验数据和图象处理中的二值边缘图， 通常都是
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为已知数据点； （% ） 为拟合函数。 其中 （ %" ， #" ） ! 显然， 最小二乘法考虑的是已知数据点到拟合函数 （直 线 拟合时为直线） 的距离平方和为最小。 这里存在三个问题， 一是 已知数据点集中若存在干扰点或噪声时， 拟合函数并不通过最 （% ） 为 多的数据点， 拟合误差较大； 二是最小二乘法拟合函数 ! 多项式， 拟合时， 需要给定 ! （% ） 的形式； 三是已知数据点集中 的数据满足于多条曲线关系时， 需事先对已知数据进行分离预
由上述霍夫变换过程可知， 如果参数空间中的 ( 和 - 量化 过粗， 则参数空间中的凝聚效果较差， 找不出直线的准确参数 反之， 那么计算量将增大。 ( 和 -； ( 和 - 量化过细， 另外， 当直角坐标系中的 点 分 布 在 4 条 直 线 附 近 时 ， 可在 第 5 步检测累加器时，取出 累 加 器 中 前 4 个 值 最 大 的 单 元 所 对应的 (’ 和 -（ …， ， 以 (’ 和 - ’ 为 直 角 坐 标 系 中 直 线 !， 4） ’ ’ 3% ， 的参数， 即可同时实现多条直线的检测。 方程式 （! ）