微观经济学经典需求理论

y1
定义1.B.6 如果对于每个x，均有，对于任意
(0,1), y x, z x, y z y (1)z x
则称X上的偏好关系是严格凸的。 定义1.B.7 如果所有无差异集均通过射线的等比例 扩展联系在一起：即，若x~y，则对所有α≥0均 有αx~αy，则称 X RL上的单调偏好关系是位似 的。
定义1.B.8 如果： 1.任一无差异集都是其他无差异集沿商品1坐标轴的 水平位移，即若x~y，则对于e1 (1,0, ,0) 及任意
R，均有 (x e1) ~ ( y e1)
2. 商品1是合意的，即对所有x和α>0，有 x e1 x 则称X上偏好关系对于商品1（称为本位商品）是拟 线性的。
component
bundles x and y. y y2
x1
y1
Well-Behaved Preferences --
Weak Convexity.
x’ z’
x z y
Preferences are weakly convex if at least one mixture z is equally preferred to a component bundle.
x2
WP(x), the set of
x bundles weakly
preferred to x.
I(x)
I(x’)
x1
凸性假设
定义1.B.5 若对于每个x∈X，上等值集
{y X | y x} 是凸的；也就是若y≥x,z≥x，
就有对任意 [0,1],y (1)z x
则称X上的偏好关系是凸的。
消费者在给定价格p>0和财富w>0下选择她最偏好的 消费束，可以表示成效用最大化问题(UMP)
max u(x) s.t. p x w
x0
命题3.D.1 若p>0，且u(x)连续，则效用最大化问题 一定有解。
因此我们要研究： UMP问题的最优解（瓦尔拉斯需求）和最优值（最大 效用）的求法及各项性质。
3.C 效用函数的存在性
例3.C.1 词典式偏好。假设 X R2 ，如果 x1 y1 or x1 y1, x2 y2 则定义x≥y。这被称为字典 式偏好关系。
习题 证明：字典式偏好关系是完备的、可传递的、 严格单调的，严格凸的。可以证明，不存在能够代表 这一偏好关系的效用函数。
偏好关系的连续性假设
常见的效用函数
C-D型效用函数 u(x1, x2 ) x1 x12 CES型效用函数 u(x1, x2 ) (x1 x2 )1/ 列昂剔夫效用函数 u(x1, x2 ) min{ x1, x2}
作业
3.C.1, 3.C.6
3.D 效用最大化问题
假设消费者有理性的、连续的、局部非饱和的偏 好关系，u(x)是代表偏好关系的一个连续效用 函数。假定消费集为 X RL
偏好关系≥理性、连续，则存在连续的效用函数； 偏好关系≥单调，则效用函数递增； 偏好关系≥凸，则效用函数拟凹。
习题3.C.5 证明下面两个结论： 1. 一个连续≥，当切仅当它容许一个一次齐次的效用 函数时，它是位似的。即
0,u(x) u(x)
2. 一个连续≥，当切仅当它容许一个形如 u(x) x1 (x2, , xL ) 的效用函数时，它对第1种商品 是拟线性的。
y’
Non-Convex Preferences
x2
z y2
x1
The mixture z is less preferred than x or y.
y1
More Non-Convex Preferences
x2
z y2
x1
The mixture z is less preferred than x or y.
Rational Constrained Choice
x2
(x1*,x2*) is the most
preferred affordable
bundle.
x2*
x1*
x1
瓦尔拉斯需求对应/函数－最优解
每一个价格－财富水平(p,w)>0对应一个最优解（集） x(p,w)，这是一个集值映射。 求解UMP问题
第三章 经典需求理论
3.A 引言
本章研究经典的、基于偏好法的消费者需 求理论。
效用函数存在性 效用最大化问题 支出最小化问题 这是一对对偶问题，两者之间的关系。
3.B 偏好关系：基本性质
理性偏好 合意性假设：单意性假设。假定大数量的商品优于小 数量的商品。首先假定X无上界。
定义3.C.1 如果X上的偏好关系≥在极限下被保持，即 对于任意二元序列
{(xn ,
yn )}n1, xn
yn, x
lim
n
xn,
y
lim
n
yn
我们有x≥y，则称该偏好关系是连续的。
等价表示：对于所有x，上等值集和下等值集均为闭 集。 证明这两个定义之间的等价性。 词典式偏好是不连续的。
命题3.C.1 假设X上的理性偏好关系≥是连续的， 则存在一个代表它的连续效用函数。
边际替代率递减：在凸偏好的情况下，从任意一个初始消费 x开始，对任意两种商品而言，为补偿其中一种商品的单位逐 次减少，所需的另一种商品的数量不断增大。
Well-Behaved Preferences --
Convexity.
Preferences are strictly convex
x2
x
z
when all mixtures z are strictly preferred to their
是局部非饱和的。
习题 证明下述结论： 1.如果≥是严格单调的，则它是单调的； 2.如果≥是单调的，则它是局部非饱和的。
给定偏好关系和消费束x，三个相关的集合：
x的无差异集 {y X | y ~ x}
x的上等值集 {y X | y x}
x的下等值集 {y X | x y}
Weakly Preferred Set (弱偏好 集)
凸性假设。消费者在不同商品之间愿意 进行的取舍。
合意性假设
定义3.B.2 若x∈X，y x y x
则称X上的偏好关系是单调的。如果
y x, y x y x
则它是严格单调的。
定义1.B.4 如果对于每个x∈X和ε>0，存在y∈X,
使得 y x ，且 y x ，则称X上的偏好关系