23届高一数学上期半期考试试卷【含答案解析】
高一上半期数学试题含答案
高一上期半期考试数学试卷一、选择题：1.已知集合M ＝｛x |x ＜3｝，N ＝｛x |22x >｝，则M ∩N ＝ ( )A ．∅B ．｛x |0＜x ＜3｝C ．｛x |1＜x ＜3｝D ．｛x |2＜x ＜3｝ 2. 有五个关系式：①∅≠⊂}0{；②}0{=∅；③∅=0；④}0{0∈；⑤∅∈0其中正确的有 （ ） A.1个. B.2个. C.3个. D.4个. 3．下列各组函数中表示同一函数的是（ ） A ．()f x x = 与()()2g x x =B ．()f x x = 与()33g x x =C ．()f x x x = 与()()()2200x x g x x x ⎧ >⎪=⎨- <⎪⎩D ．()211x f x x -=- 与()()11g x x x =+ ≠4. 下列各图形中，是函数的图象的是( )5.设,)31(,)31(,)32(313231===c b a 则c b a ,,的大小关系是（ ）A.b c a >>B.c b a >>C.b a c >>D.a c b >>6．下列函数为偶函数且在[)+∞,0上为增函数的是（ ） A ．y x = B ．2y x = C ．2x y = D ．2x y -=7．已知函数⎩⎨⎧>-≤=2),1(log 2,2)(2x x x x f x ，则))5((f f 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 8.下列函数中值域为),0(+∞的是（ ） A. y =－5xB.y =(31)1-x C.y =1)21(-xD.y =x 21-9.若)(x f 是偶函数，其定义域为()+∞∞-,，且在[)+∞,0上是减函数，则)252()23(2++-a a f f 与的大小关系是（ ）OxyO x yOxyO xyA B C DA ．)23(-f >)252(2++a a fB ．)23(-f <)252(2++a a fC ．)23(-f ≥)252(2++a a fD ．)23(-f ≤)252(2++a a f{}{}[][][)[][]2,0.1,0.,21,0.),2(1,0.B A ,0,,2A .)()(B A .1022D C B x y y B x y x B A x B A x x B A xx +∞+∞⨯>==⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==⋂∉⋃∈=⨯ Ａ等于（）则已知且是非空集合，定义、设 二、填空题 11.函数y =的定义域是 ；12．函数)10(1)(1≠>+=-a a a x f x 且恒过定点 ; 13．300)32(10])2[(])37(2[25.013132021--+-⨯⨯----=___________;14. 设{}{}25,121A x x B x m x m =-≤≤=+≤≤-，若A B B ⋂=,则实数m 的取值范围是 ;15. 设定义在R 的函数)(x f 同时满足以下条件：①0)()(=-+x f x f ； ②)2()(+=x f x f ；③当10<≤x 时，12)(-=x x f 。
高一数学上学期半期考试试题含解析 试题
智才艺州攀枝花市创界学校一中办学一共同体二零二零—二零二壹高一数学上学期半期考试试题〔含解析〕一、选择题〔一共60分，每一小题5分，每个小题有且仅有一个正确之答案〕，，那么等于〔)A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据集合交集的定义，找到集合A、B的公一共元素即可.【详解】那么应选D【点睛】此题考察集合运算，对于A，B两个集合，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的交集，记作A∩B.所以找出A、B的公一共元素是求交集的关键.，，那么满足条件的集合的个数为〔〕A.4B.8C.9D.16【答案】B【解析】根据集合A、B、C的关系，集合C中必然包含集合A中的元素，集合B一共有五个元素，只需要确定集合的子集个数，即为集合C的所有可能，所以集合C有种可能.【详解】集合C为：，，，，，，应选B【点睛】此题考察集合之间的关系以及集合子集个数的求法，首先需要确定集合中的元素，然后根据集合的特点确定集合子集个数，一般一个集合里有N个元素〔可以是数〕,那么它所有子集的数目是,所有真子集数目(子集除去本身),所有非空子集数目是〔子集除去空集〕,所有非空真子集数目〔子集除去本身和空集〕.3.集合A＝[0,8]，集合B＝[0,4]，那么以下对应关系中，不能看作从A到B的映射的是A.f：x→y＝xB.f：x→y＝xC.f：x→y＝xD.f：x→y＝x【答案】D【解析】试题分析：D选项里面的映射不能使集合A中的每一个元素都在集合B中找到一个元素与之对应，例如集合A 中的元素6就不能在集合B中找到一个元素与之对应.考点：运用映定义判断对应关系是否为映射.4.以下各组函数表示同一函数的是〔〕A. B.C. D.【答案】C试题分析：A中两函数定义域不同；B中两函数定义域不同；C中两函数定义域一样，对应关系一样，是同一函数；D中两函数定义域不同考点：判断两函数是否同一函数5.那么等于(〕A.π＋1B.0C.2D.【答案】A【解析】【分析】此题可以根据分段函数解析式，由内到外，依次求解函数值，即可求得答案.【详解】f(-2)=0,f(0)=,应选A【点睛】此题主要考察了函数值的求解问题，解答题目的过程中要准确把握分段函数的分段条件，正确选择相应的解析式计算求值是解答的关键，着重考察了推理与运算才能.6.以下函数中，既是奇函数又是增函数的是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据奇函数定义先判断出奇偶性，然后根据单调性定义判断单调性即可.【详解】A.非奇非偶函数；B.奇函数且是单调递增函数；C.奇函数但在定义域上不是增函数；D.奇函数，单调递减函数；【点睛】此题主要考察函数的奇偶性和单调性，结合初等函数的奇偶性和单调性判断出原函数的性质，主要考察了推理才能。
2023届高一上半期考试数学(成都七中)参考解答 (1)
4
4
易知：两个函数图象之间有四个公共点.
函数y f f ( x) g( x)在0,1上有且只有四个零点.
12分
第4页
x2 x1
1),
x22 1 x12 1
x2 x1,( x2 x1) 0,又 x22 1 x2 , x12 1 x1 ,
x2 x1
x2 x1
1,
x2 x1
1 0.
x22 1 x12 1 x22 1 x12 1
x22 1 x12 1
(
x22
x2 1
x1 x12
1
1)(
x2
bx2 2x 1有解.
即b
2 x
1 x2
有解, 令
1 x
t可知t
1 3
,
1 2
.
b
2t t 2
max
,t
1 3
,
1 2
,b
3 4
.
9分
(3)易知g(x) lg(
x2 1 x),
f (x) 1 2
x1 2
2
2
2x, x, x
x
1 2
1 2
.
,
f ( f ( x)) 1 2
6分 12分
19.解(1) 航天飞机发射时的最大声强是10000W / m2 ,
据题意此时I 10000W / m2 .
I
104
L1 10 lg(1012 ), L1 10 lg 1012 160.
其声强级为160dB.
2分 6分
第1页
(2)由题意可知0 L1 120,
f (x) 1 2
2
2
2 f
f (x ( x),
浙江省宁波市2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷含解析
宁波2023学年第一学期高一数学期中考试卷（答案在最后）考生须知：1．本卷满分100分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题卷．第Ⅰ卷（选择题部分，共40分）一、选择题：本题共8小题．每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.命题“x ∀∈Z ，20x >”的否定为（）A.x ∀∈Z ，20x ≤B.x ∀∉Z ，20x ≤ C.x ∃∈Z ，20x ≤ D.x ∃∉Z ，20x ≤【答案】C 【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题分析判断.【详解】由题意可得：命题“x ∀∈Z ，20x >”的否定为“x ∃∈Z ，20x ≤”.故选：C.2.“1x >-”是“2230x x -++<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】解一元二次不等式，再由充分条件、必要条件判断即可.【详解】由2230x x -++<可得2230x x -->，解得3x >或1x <-，因为1x >-成立推不出3x >或1x <-，而3x >或1x <-成立不能推出1x >-，故“1x >-”是“2230x x -++<”的既不充分也不必要条件.故选：D 3.函数()11x f x a +=-（1a >）的图象必经过点（）A.()0,1- B.()1,1-- C.()0,0 D.()1,0-【答案】D【分析】令10x +=即可求解.【详解】令10x +=，则=1x -，代入函数()11x f x a +=-，解得0y =，则函数()11x f x a +=-（1a >）的图象必经过点()1,0-.故选：D4.设1lg 202a =+4log 5b =，则2b a +的值为（）A.2+B.1+C.27D.26【答案】B 【解析】【分析】根据对数的运算法则及性质化简求值即可.【详解】因为1lg 202a =+4log 5b =，所以41log 5log 24lg10412b a =++==++，故选：B5.函数()321y x =+的图象可以看成将某个奇函数的图象（）A .向左平移1个单位得到B.向左平移12个单位得到C.向右平移1个单位得到 D.向右平移12个单位得到【答案】B 【解析】【分析】根据函数的平移变换规则判断即可.【详解】()321y x =+可以由()32y x =向左平移12个单位得到，其中()()32y g x x ==定义域为R 且()()()()3322g x x x g x -=-=-=-，即()32y x =为奇函数.故选：B6.函数()f x =）A.(]2,3 B.[][)1,23,⋃+∞ C.()[),23,-∞⋃+∞ D.[)[)1,23,+∞【解析】【分析】根据题意结合分式不等式运算求解.【详解】由题意可得：()()21302--≥-x x x ，因为()210x -≥，原不等式等价于302x x -≥-，等价于()()32020x x x ⎧--≥⎨-≠⎩，解得3x ≥或2x <，所以函数()f x 的定义域为()[),23,-∞⋃+∞.故选：C.7.若不等式240x ax ++≤对任意实数[]3,1x ∈--恒成立，则实数a 的最小值为（）A.0B.4C.133D.5【答案】D 【解析】【分析】通过分离常量，将恒成立问题转化成求最值，利用函数的单调性求解即可．【详解】当[]3,1x ∈--时，240x ax ++≤恒成立，即4a x x ⎛⎫≥-+⎪⎝⎭恒成立，令4(),[3,1]g x x x x ⎛⎫=-+∈-- ⎪⎝⎭，1212122112124()()((4)4x x g x g x x x x x x x x x ⎛⎫--=-+++=- ⎪⎝⎭当[]12,3,2x x ∈--且12x x <时，2112120,40,0x x x x x x ->->>，则12()()0g x g x ->，当[)121,2,x x --∈且12x x <时，2112120,40,0x x x x x x ->-<>，则12()()0g x g x -<，可得()g x 在[]3,2--上单调递减，在(]2,1--上单调递增，又13(3),(2)4,(1)53g g g -=-=-=，所以()g x 最大值为(1)5g -=，∴5a ≥，则实数a 的最小值为5．故选：D ．8.已知函数()f x =，()()g x f x =，则使()25204g m g m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≥成立的实数m 的取值范围为（）A.11,28⎡⎤--⎢⎣⎦B.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.11,8⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】【分析】跟函数的单调性、奇偶性化简不等式()25204g m g m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≥，由此求得m 的取值范围.【详解】依题意，()f x =，由12010x x +≥⎧⎨-≥⎩解得112x -≤≤，所以()f x 的定义域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.由112x -≤≤，解得11x -≤≤，所以()()g x f x =的定义域为[]1,1-，由于()()()()g x fx f x g x -=-==，所以()g x 是偶函数.当01x ≤≤时，()()()g x fx f x ===所以当10x -≤≤时，()g x 为减函数.由()25204g m g m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≥得()2524g m g m ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，所以225245121411m m m m ⎧+≥⎪⎪⎪-≤+≤⎨⎪-≤≤⎪⎪⎩，解得11,28m ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦.故选：A【点睛】求解含有函数符号的不等式的方法，主要是考虑奇偶性、单调性、定义域等方面，特别是定义域是很容易忽略的地方，求解函数的性质前，首先必须求得函数的定义域，要在函数的定义域的范围内来对函数进行研究.二、选择题：本题共4小题．每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列函数与,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩表示同一函数的是（）A.y x =B.y =C.2y =D.2x y x=【答案】AB 【解析】【分析】根据同一函数的概念判断即可．【详解】,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩的定义域为R ．,0,0x x y x x x ≥⎧==⎨-<⎩，与,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩定义域与对应关系均相同，故A 正确；,0,0x x y x x x ≥⎧===⎨-<⎩，与,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩定义域与对应关系均相同，故B 正确；2y =的定义域为[0,)+∞，与,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩定义域不同，故C 错误；2x y x =的定义域为{}|0x x ≠，与,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩定义域不同，故D 错误．故选：AB ．10.下列说法中正确的是（）A.若a b >，则22a b >B.若0a b >>，则11a b b a+>+C.若a b >，c d >，则ac bd > D.若0a b >>，0c <，则c ca b>【答案】ABD 【解析】【分析】根据不等式的性质，即可判断.【详解】对A ，若a b >，则22a b >，A 正确；对B ，若0a b >>，则110b a >>，则11a b b a+>+，B 正确；对C ，若a b >，c d >，设2,1,1,2a b c d ===-=-，此时ac bd =，C 错误；对D ，若0a b >>，0c <，则110b a >>，则c cb a<，D 正确.故选：ABD11.已知正实数a ，b 满足1a b +=，则下列选项中正确的是（）A.ab 的最大值为12 B.11a b+的最小值为4C.22a b +的最大值为12 D.22a b +的最小值为【答案】BD 【解析】【分析】根据基本不等式，结合已知条件判断ab 、11a b+、22a b +、22a b +的最值，注意不等式等号成立的条件，进而判断各项的正误.【详解】对A ，由a b +≥，又1a b +=，所以14ab ≤，当且仅当12a b ==时等号成立，A 错误；对B ，1111()224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时等号成立，B 正确；对C ，由22222a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭得()2222()a b a b +≥+，即2212a b +≥，当且仅当12a b ==时等号成立，C 错误；对D ，由22a b +≥=，当且仅当12a b ==时等号成立，D 正确.故选：BD12.已知函数()22f x x x =--，()2g x x =-，用{}max ,m n 表示m ，n 中的最大值，x ∀∈R ，记函数()()(){}max ,h x f x g x =，则下列选项中正确的是（）A.方程()2h x =有3个解B.方程()()f h x k =最多有4个解C.()1h x x >+的解集为⎪()1,3,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭D.方程()()h h x x =在[)0,x ∈+∞上的根为1+【答案】ABC 【解析】【分析】根据定义求得()h x 的表达式，作出()h x 的图象，利用图象可判断ABD ，结合()y h x =的图象分类讨论解不等式()1h x x >+判断C ．【详解】由222x x x -->-得0x <或2x >，即此时2()2h x x x =--，02x ≤≤时，()2h x x =-，作出()h x 的图象，如图，由图象可知，()2h x =有两个解，()2h x =-有一个解，即()2h x =有3个解，A 正确；例如0k =时，由2()20f x x x =--=得=1x -或2x =，显然()1h x =-与()2h x =都有2个解，因此(())0f h x =有4个解，又()f x m =与()h x n =都最多有2个解，因此B 正确；作出()y h x =的图象和直线1y x =+，如下图，由21x x -=+得12x =，由221x x x -->+，解得1x <-或3x >，结合()y h x =的图象与直线1y x =+知C 正确；02x ≤≤时，()2h x x =-，由(())h h x x =得2(2)(2)2x x x ----=的解是35x =35x =+舍去），2x >时，2()2h x x x =--，由222x x --=得1172x +=（1172舍去），11722x +<≤时，由(())h h x x =得2(2)2x x x ---=，无解，1172x +>时，由(())h h x x =得222(2)(2)2x x x x x ------=，化简22x x x --=或22x x x --=-，2x =±13x =±，只有13x =符合题意，其它均舍去，因此在[0,)+∞上的解是35-13+D 错．故选：ABC ．第Ⅱ卷（非选择题部分，共60分）三、填空题：本题共4小题．每小题3分，共12分．13.已知12x f x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，则()f x 的解析式为______________．【答案】22x -【解析】【分析】利用换元法求函数解析式.【详解】令12=+xt ，则22x t =-，可得()22=-f t t ，所以()22f x x =-.故答案为：22x -.14.已知集合{}2,2,1A a a a a =---，若1A -∈，则实数a 的值为______________．【答案】1-或0【解析】【分析】根据元素与集合关系列式求解，利用元素的互异性进行验证.【详解】由题意，1A -∈，若1a =-，此时223,11a a a -=---=，符合题意；若21a -=-，则1a =，此时211a a --=-，不符合题意；若211a a --=-，则1a =或0a =，1a =时，221,11a a a -=---=-，不符合题意；0a =时，222,11a a a -=---=-，符合题意，综上，1a =-或0a =.故答案为：1-或0.15.设函数()22x axf x +=在区间()0,1上单调递增，则a 的取值范围是______________．【答案】[0,)+∞【解析】【分析】根据题意，由复合函数的单调性，列出不等式，代入计算，即可得到结果.【详解】函数2x y =在R 上单调递增，而函数()22x axf x +=在区间()0,1上单调递增，故需2y x ax =+在区间()0,1上单调递增，即02a-≤，即0a ≥.则a 的取值范围是[0,)+∞.故答案为：[0,)+∞16.函数2167x y x x -=-+，0x >的值域为______________．【答案】21,,47∞∞⎛⎤+⎛⎫--⋃-+ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦【解析】【分析】由题意分析可得关于x 的方程()261710-+++=yx y x y 有正根，分0y =和0y ≠两种情况，结合二次函数分析求解.【详解】因为2167x y x x -=-+，整理得()261710-+++=yx y x y ，可知关于x 的方程()261710-+++=yx y x y 有正根，若0y =，则10x -+=，解得1x =，符合题意；若0y ≠，则211670⎛⎫-+++= ⎪⎝⎭x x y y ，可得1602170y y ⎧+⎪≤⎪⎨⎪+<⎪⎩或2160211Δ6470y y y ⎧+⎪>⎪⎪⎨⎪⎛⎫⎛⎫⎪=+-+≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得17<-y或14≥y 且10≠y ，则107-<<y 或0y >或224y +≤-；综上所述：17>-y 或224y +<-，即函数2167x y x x -=-+，0x >的值域为21,,47∞∞⎛⎤+⎛⎫--⋃-+ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦.故答案为：21,,47∞∞⎛⎤+⎛⎫--⋃-+ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦.四、解答题：本题共6小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算：（110.7531160.1258-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭；（2）已知11222a a -+=，求133a a a a --++的值．【答案】（1）298（2）1【解析】【分析】（1）指数的运算法则及性质化简求解；（2）根据式子的结构特征，利用完全平方公式及立方和公式化简即可得解.【小问1详解】10.7531160.1258-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭213334(0.75)2712182⨯⨯-⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3912142-=-++298=【小问2详解】因为11222a a -+=，所以21112224a a a a --⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭，即12a a -+=，所以()212224a a a a --+=++=，即222a a -+=，所以1133122221111(21)()1a a a a a a a a a a a a -------+-+++====++-.18.设集合{}52A x x =-<，{}121B x m x m =+≤≤-．（1）当5m =时，求A B ⋃R ð；（2）若A B B = ，求实数m 的取值范围．【答案】18.{R |7A B x x ⋃=<ð或9}x ≥19.{|4m m <且2}m ≠【解析】【分析】（1）求集合A 与R B ð，再结合并集的概念计算即可；（2）因为A B B = ，所以B A ⊆，分B =∅和B ≠∅两种情况讨论，由B A ⊆列不等式组，求解集即可.【小问1详解】由题意得{}{}|52|37A x x x x =-<=<<，当5m =时，{}|69B x x =≤≤，所以{R |6B x x =<ð或}9x >，所以{R |7A B x x ⋃=<ð或}9x >.【小问2详解】因为A B B = ，所以B A ⊆，当121m m +>-，即2m <时，B =∅，满足B A ⊆.当2m =时，{}3B =，不满足题意，当121m m +<-，即m>2时，要使B A ⊆成立，只需13,217,m m +>⎧⎨-<⎩即24m <<.综上，当B A ⊆时，m 的取值范围是{|4m m <且}2m ≠.19.已知函数()3131-=+x x f x ．（1）判断()f x 在R 上单调性并证明；（2）当1x ≥时，()()g x f x =，且x ∀∈R ，()()11g x g x +=-，求()g x 的解析式．【答案】（1）证明见解析；（2）31,131()93,193x x x xx g x x ⎧-≥⎪⎪+=⎨-⎪<⎪+⎩.【解析】【分析】（1）根据单调性的定义证明，设12,R x x ∈，且12x x <，()()120f x f x -<；（2）由()()11g x g x +=-转化为()()2g x g x =-，设1x <时，则21x ->，代入解析式，即可求解.【小问1详解】设12,R x x ∈，且12x x <，()()()()()x x x x x x x x f x f x ----=+++=+-1212121212313123331313131，12x x < ，,,x x x x ∴<>>1212333030，则()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以()f x 在R 上单调递增.【小问2详解】当1x ≥时，()3131x x g x -=+，由x ∀∈R ，()()11g x g x +=-，即()()2g x g x =-，当1x <时，则21x ->，则()22319331932x xx x g x ---=--=++，则当1x <时，()xx g x -=+9393，故函数()g x 的解析式为31,131()93,193x x x xx g x x ⎧-≥⎪⎪+=⎨-⎪<⎪+⎩.20.（1）若x ∀∈R ，210ax ax -+>，求实数a 的取值范围；（2）若[]2,1a ∃∈--，210ax ax -+>，求实数x 的取值范围．【答案】（1）[0,4)（2）11,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据全称命题为真，分类讨论不等式恒成立即可；（2）根据存在性命题为真，转化为不等式有解，求最大值后解不等式即可.【详解】（1）因为x ∀∈R ，210ax ax -+>，①当0a =时，不等式10>对x ∀∈R 成立，符合题意.②当0a ≠时，若不等式210ax ax -+>对x ∀∈R 恒成立，则20Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩，解得04a <<，综上，实数a 的取值范围[0,4).（2）[]2,1a ∃∈--，210ax ax -+>，即[]2,1a ∃∈--，21x x a-<-，所以2max1x x a ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，而1y x =-在[]2,1x ∈--上单调递增，所以21x x -<，解得1122x -+<<，故实数x的取值范围11,22⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.21.已知函数()()211,022,0a x x f x ax x a x ⎧--<⎪=⎨⎪+-≥⎩．（1）若()f x 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）求()f x 在区间[]1,2上的最大值．【答案】（1）10,2⎡⎤⎢⎣⎦（2）答案见解析【解析】【分析】（1）分0a =和0a ≠两种情况，结合分段函数单调性分析求解；（2）分类讨论()f x 在区间[]1,2上的单调性，结合单调性求最值.【小问1详解】因为()f x 在R 上单调递增，则有：若0a =，则()1,022,0x x f x x x ⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩，因为1,22=-=y x y x 在定义域内单调递增，且102-<，所以0a =符合题意；若0a ≠，则1001012a a a a ->⎧⎪>⎪⎪⎨-≤⎪⎪-≤-⎪⎩，解得102a <≤，综上所述：实数a 的取值范围10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】因为[]1,2x ∈，则()22=+-f x ax x a ，（i ）若0a =，可知()2f x x =在[]1,2上单调递增，最大值为()24f =；（ⅱ）若0a >，则()22=+-f x ax x a 开口向上，对称轴10x a=-<，可知()f x 在[]1,2上单调递增，最大值为()234=+f a ；（ⅲ）若a<0，则()22=+-f x ax x a 开口向下，对称轴10x a =->，①当101a <-≤，即1a ≤-时，可知()f x 在[]1,2上单调递减，最大值为()12f =；②当12a -≥，即102a -≤<时，可知()f x 在[]1,2上单调递增，最大值为()234=+f a ；③当112a <-<，即112a -<<-时，可知()f x 在11,⎡⎫-⎪⎢⎣⎭a 上单调递增，在1,2a ⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递减，所以最大值为11⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭f a a a ；综上所述：若12a ≥-，()f x 在区间[]1,2上的最大值为()234=+f a ；若112a -<<-，()f x 在区间[]1,2上的最大值为11⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭f a a a ；若1a ≤-，()f x 在区间[]1,2上的最大值为()12f =.22.黎曼函数是一个特殊的函数，是德国著名数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在数学中有广泛的应用．黎曼函数定义在[]0,1上，()()1,(,N ,)0,010,1p p x p q q q q R x x +⎧=∈⎪=⎨⎪=⎩为既约真分数或或内的无理数．（1）请用描述法写出满足方程(),(0)R x x x =≠的解集；（直接写出答案即可）（2）解不等式()1155R x x >+；（3）探究是否存在非零实数,k b ，使得()y R kx b =+为偶函数？若存在，求k ，b 应满足的条件；若不存在，请说明理由．【答案】（1）{|x 1,x q=q 为大于1的正整数}（2）11,23⎧⎫⎨⎬⎩⎭（3）存在，11,2k b ==【解析】【分析】（1）根据黎曼函数的定义，分类讨论求解；（2）根据黎曼函数的定义，分类讨论求解；（3）根据黎曼函数的定义，分类讨论可证得()(1)R x R x =-，则()R x 关于12x =对称，即1122R x R x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12R x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，即可得解.【小问1详解】依题意，0x ≠，当1x =时，()0R x =，则方程()R x x =无解，当x 为()0,1内的无理数时，()0R x =，则方程()R x x =无解，当p x q =(,N ,p p q q +∈为既约真分数)时，则()1R x q=，q 为大于1的正整数，则由方程()R x x =，解得1x q=，q 为大于1的正整数，综上，方程(),(0)R x x x =≠的解集为{|x 1,x q =q 为大于1的正整数}.【小问2详解】若0x =或1x =或x 为()0,1内无理数时，()0R x =，而11055x +>，此时()1155x x R <+，若p x q =(,N ,p p q q +∈为既约真分数)，则()1R x q=，q 为大于1的正整数，由()1155R x x >+，得11155q p q >⋅+，解得5p q +<，又因为p x q =(,N ,p p q q+∈为既约真分数)，所以11,23x =，综上，不等式()1155R x x >+的解为11,23⎧⎫⎨⎬⎩⎭.【小问3详解】存在非零实数11,2k b ==，使得()y R kx b =+为偶函数，即12y R x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为偶函数，证明如下：当0x =或1x =时，有(0)(1)0R R ==成立，满足()(1)R x R x =-，当x 为(0,1)内的无理数时，1x -也为(0,1)内的无理数，所以()(1)0R x R x =-=，满足()(1)R x R x =-，当p x q =(,N ,p p q q +∈为既约真分数)，则11p q p x q q--=-=为既约真分数，所以1()(1)R x R x q =-=，满足()(1)R x R x =-，综上，对任意[0,1]x ∈，都有()(1)R x R x =-，所以()R x 关于12x =对称，即1122R x R x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12R x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，所以，存在非零实数11,2k b ==，使得()y R kx b =+为偶函数.。
高一上学期半期考试数学试题(解析版)
高一上学期半期考试数学试卷第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填涂在答题卡对应的位置.1. 定义集合运算，设，，则集合的子集个数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵，，∴∴集合的子集个数为故选：A点睛：本题以新定义为载体，考查了集合子集的概念，注意重要结论：集合的子集个数为,非空真子集个数为.2. 一个扇形的面积为，弧长为，则这个扇形的中心角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设这个扇形中心角的弧度数是θ，半径等于r，则由题意得θr=5π，θr2=15π，解得r=6，θ=．故选：D．3. 已知角的终边经过点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵角的终边经过点，∴，∴故选：D4. 对定义域内的任意实数，满足的函数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，∴故选：C5. 已知函数，则的定义域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意易得：，解得：，即∴的定义域是故选：B6. 函数的单调递增区间是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函数的定义域为令，则在上单调递减，在上单调递增，为减函数，根据“同增异减”可知：函数的单调递增区间是故选：A点睛：：复合函数的单调性的判断口诀为“同增异减”，即内外层单调性一致为增函数，内外层单调性相反为减函数，易错点忽略了函数的定义域，单调区间必然是定义域的子集.7. 如图所示是某条公共汽车路线收支差额y与乘客量x的图象(收支差额=车票收入—支出费用).由于目前本条线路在亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(Ⅰ)是不改变车票价格，减少支出费用；建议(Ⅱ)是不改变支出费用，提高车票价格. 图中虚线表示调整前的状态，实线表示调整后的状态. 在上面四个图象中（）A. ①反映了建议(Ⅱ),③反映了建议(Ⅰ)B. ①反映了建议(Ⅰ),③反映了建议(Ⅱ)C. ②反映了建议(Ⅰ),④反映了建议(Ⅱ)D. ④反映了建议(Ⅰ),②反映了建议(Ⅱ)【答案】B【解析】∵建议(Ⅰ)是不改变车票价格，减少支出费用；也就是增大，车票价格不变，即平行于原图象，∴①反映了建议(Ⅰ)；∵建议(Ⅱ)是不改变支出费用，提高车票价格，也就是图形增大倾斜度，提高价格，∴③反映了建议（Ⅱ），故选B.点睛：此题主要考查了函数图象的性质，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程是做题的关键；观察函数图象可知，函数的横坐标表示乘客量，纵坐标表示收支差额，根据题意得；（I）的平行于原图象，（II）与原图象纵截距相等，但斜率变大，进而得到答案.8. 已知函数，，，，则的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函数关于直线轴对称，且在上单调递增，在上单调递减，=，，又，在上单调递减，∴故选：A9. 函数（且）的自变量与函数值的一组近似值为2 3 4 50.3010 0.4771 0.6020 0.6990则函数的一个零点存在区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由表格易知：，∴在定义域上单调递增，，,∴函数的一个零点存在区间是故选：C10. 已知函数，若存在实数，使函数有两个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵g(x)=f(x)−b有两个零点∴f(x)=b有两个零点,即y=f(x)与y=b的图象有两个交点，由于y=在[0,a)递增,y=2x在[a,+∞)递增，要使函数f(x)在[0,+∞)不单调，即有a2>2a,由g(a)=a2−2a,g(2)=g(4)=0，可得2<a<4.故选C.11. 已知函数对任意满足，且在上递增，若，且，则实数的范围为()A. B. C. D.【答案】A【解析】∵函数f(x)对∀x∈R满足，∴f(x)的图象关于点(2,0)对称，∵,f(x)在[2,+∞)上递增∴g(x)也为奇函数,并且在[0,+∞)是增函数，∵，∴3⩽3g(0)即⩽0解得：0<a⩽1.故选：A.12. 已知函数，，若对任意的实数，与中至少有一个为正数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函数f(x)=tx,.△=16−4×(2−t)×1=8+4t，①当t=0时,f(x)=0,△>0,g(x)有正有负，不符合题意，故排除C.②当t=2时,f(x)=2x,g(x)=−4x+1，符合题意，③当t>2时,.f(x)=tx,当x取−∞时,与都为负值，不符合题意，故排除D④当t<−2时,△<0,∴恒成立，符合题意，故B不正确，故选：A点睛：本题重点考查了二次函数的图像与性质，合理分类讨论是解决好本题的关键所在，充分借助一次函数与二次函数的图象特征分析问题解决问题,小题小做，避免死缠烂打.第II卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡对应的位置.13. 已知函数满足，则____________.（其中为自然对数的底数，为常数）【答案】1【解析】由题意可得：，得：，，故答案为：114. 已知，则__________.【答案】2【解析】∵，又∴故答案为：215. 已知函数，若存在，不等式成立，则实数的取值范围是____________. 【答案】【解析】，易知：为奇函数且在上为增函数，由，可得：∴，即x，又∴，解得：故答案为：16. 已知，函数，，若关于的方程有个解，则的取值范围为_____________.【答案】【解析】令g（x）=t，则方程f（t）=λ的解有3个，由图象可得，0＜λ＜1．且三个解分别为t1=﹣1﹣λ，t2=﹣1+λ，t3=10λ，则x2﹣4x+1+4λ=﹣1﹣λ，x2﹣4x+1+4λ=﹣1+λ，x2﹣4x+1+4λ=10λ，均有两个不相等的实根，则△1＞0，且△2＞0，且△3＞0，即16﹣4（2+5λ）＞0且16﹣4（2+3λ）＞0，解得0＜λ＜，当0＜λ＜时，△3=16﹣4（1+4λ﹣10λ）＞0即3﹣4λ+10λ＞0恒成立，故λ的取值范围为．故答案为：．点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知，计算下列各式的值.（Ⅰ）；（Ⅱ）.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）利用同角基本关系式化简计算即可；（2）利用诱导公式及商数关系化简计算即可. 试题解析：由题易得：（Ⅰ）原式（Ⅱ）原式点睛：1．利用sin2＋cos2＝1可以实现角的正弦、余弦的互化，利用＝tan可以实现角的弦切互化．2．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin＋cos，sin cos，sin－cos这三个式子，利用(sin±cos)2＝1±2sin cos，可以知一求二．3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin2＋cos2，sin2＝1－cos2，cos2＝1－sin2.18. 声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：）（Ⅰ）一般正常人听觉能忍受的最高声强为，能听到的最低声强为，求人听觉的声强级范围；（Ⅱ）在一演唱会中，某女高音的声强级高出某男低音的声强级，请问该女高音的声强是该男低音声强的多少倍？【答案】(1) (2)该女高音的声强是该男低音声强的倍.【解析】试题分析：(1)由题意得：，再求的值域即可;(2)设该女高音的声强级为，声强为，该男低音的声强级为，声强为，由题意得到，进而得到，从而得到.试题解析：（Ⅰ）由题知：，，人听觉的声强级范围是（Ⅱ）设该女高音的声强级为，声强为，该男低音的声强级为，声强为，由题知：，则，故，该女高音的声强是该男低音声强的倍.19. 已知函数.（Ⅰ）求函数的零点的集合；（Ⅱ）设，讨论函数的零点个数.【答案】(1) (2) 当时，没有零点；当时，2个零点；当时，1个零点.【解析】试题分析：(1)化简函数的解析式，明确函数图象的走势，从而得到函数的零点；(2)，研究函数的单调性及极值，从而得到函数的零点个数. 试题解析：（Ⅰ）当时，易知单调递增函数的零点的集合为.（Ⅱ）①当时，单调递增，则，②当时，单调递增，则又当时，，结合①②可知：当时，没有零点；当时，2个零点；当时，1个零点.另解：（Ⅱ）直接画出的草图，通过直观的观察拿出相应范围上的函数零点个数也给满分,20. 已知函数，若函数图象上任意一点关于原点对称的点在函数的图象上，且.（Ⅰ）写出函数的解析式和定义域；（Ⅱ）当,时，总有成立，求的取值范围；（Ⅲ）解不等式：.【答案】(1) 定义域为； (2) ；(3) 当时，；当时，【解析】试题分析：(1)由题知：，定义域为；(2)明确函数的最小值，原问题等价于，解得m的范围即可;(3)对底数a分类讨论转化为具体不等式问题.试题解析：（Ⅰ）由题知：（或），定义域为；（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，令，则当时，在上单增，又，，则原问题等价于另解：当时，单增，单减在上单增原问题等价于,（Ⅲ）当时，；当时，；结合.21. 已知函数在区间上有最大值和最小值.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，证明：对任意实数，函数的图象与直线最多只有一个交点；（Ⅲ）设，是否存在实数m和n m＜n，使的定义域和值域分别为，如果存在，求出m和n的值．【答案】(1) ， (2)见解析（3），【解析】试题分析：(1)利用二次函数的单调性，明确函数的最值，得到关于a，b的方程组，解之即可；(2)函数的图象与直线最多只有一个交点转化为y=k与y=最多只有一个交点，(3)由可知：，即在上单增，从而转化为方程的两个不等实根.试题解析：（Ⅰ）在上单增，（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知：，令，令任取，则，，，，即为上的单增函数对任意实数，函数的图象与直线最多只有一个交点备注：若此问用分析法说明的得一半的分（Ⅲ）由题知：，，假设存在实数，使得当时，的值域为，则，，在上单增，则为方程的两个不等实根由得：，，经检验，满足条件，故存在.，.22. 已知集合是满足下列条件的函数的全体：在定义域内存在实数，使得成立.（Ⅰ）判断幂函数是否属于集合？并说明理由；（Ⅱ）设，，i）当时，若，求的取值范围；ii）若对任意的，都有，求的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：(1)根据条件，得到，解出x的值即可；(2) i）当时，根据及对数的运算，求出关于a的方程，再根据方程有解的条件求出a的取值范围；ii）同i）得到根据方程有解得到关于a的不等关系，解之即可.学+科+网...学+科+网...学+科+网...学+科+网...学+科+网...学+科+网...学+科+网...学+科+网...试题解析：（Ⅰ），理由如下：令，则，即，解得：，均满足定义域.当时，（Ⅱ）当时，，,由题知：在上有解，令，则即，从而，原问题等价于或或又在上恒成立，另解：原问题等价于在上有解令，由根的分布知：或解得：或又，当或时，经检验仅满足条件ii)由i)知：对任意，在上有解，即，令，则则在上有解令，，则，即由可得：，令，则，，.点睛：本题以新定义为载体，重点考查了方程有解的问题，方程解的问题有两个转化方向，其一，转化为函数的值域问题；其二，转化为两个函数图象的交点个数问题,同时，对于初等函数二次函数要牢固掌握，很多问题最终会转化为二次函数问题.。
山东省2023-2024学年高一上学期期中考试 数学含解析
山东省2023~2024学年第一学期期中高一数学试题（答案在最后）2023.11说明：本试卷满分150分，分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷1为第1页至第2页，第II 卷为第3页至第4页.试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（共60分）一､单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题意）1.集合{1,0,1,2,3}A =-，{0,2,4}B =，则图中阴影部分所表示的集合为（）A.{0,2}B.{1,1,3,4}-C.{1,0,2,4}- D.{1,0,1,2,3,4}-2.命题“x ∀∈R 都有210x x ++>”的否定是（）A.不存在2,10x R x x ∈++>B.存在2000,10x R x x ∈++≤C.存在2000,10x R x x ∈++>D.对任意的2,10x R x x ∈++≤3.下列图象中，以{}01M x x =≤≤为定义域，{}01N x x =≤≤为值域的函数是（）A. B.C. D.4.“12x >”是“12x<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知函数()22132f x x +=+，则()3f 的值等于（）A.11B.2C.5D.1-6.函数()f x =的单调递增区间是（）A.(]-1∞， B.[)1+∞，C.[]1,3 D.[]1,1-7.已知实数0a ≠，函数()2,12,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩，若()()112f a f a -=+，则a 的值为（）A.1B.12-C.-1D.28.已知函数y =的定义域与值域均为[]0,1，则实数a 的取值为（）A.-4B.-2C.1D.1二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9.若0a b c >>>则以下结论正确的是（）A.c c a b> B.22ac bc >C.a b b c->- D.b c ba c a+>+10.设正实数a 、b 满足1a b +=，则（）A.有最大值12B.1122a b a b +++有最小值3C.22a b +有最小值12D.有最大值11.若定义域为R 的函数()f x 满足()2f x +为奇函数，且对任意[)12,2,x x ∈+∞，12x x ≠，已知()()()1212[]0f x f x x x -->恒成立，则下列正确的是（）A.()f x 的图象关于点()2,0-对称B.()f x 在R 上是增函数C.()()44f x f x +-=D.关于x 的不等式()0f x <的解集为(),2-∞12.设函数()y f x =的定义域为R ，对于任意给定的正数p ，定义函数()()()(),,p f x f x p f x p f x p⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则称()p f x 为()f x 的“p 界函数”.若函数2()21f x x x =-+，则下列结论正确的是（）A.()424f = B.()4f x 的值域为[]0,4C.()4f x 在[]1,1-上单调递减D.函数()41y f x =+为偶函数第II 卷（非选择题，共90分）三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知集合{}21,2,4m M m +=+，且5M ∈，则m 的值为________．14.函数()f x =的定义域为______．15.函数2(5)2,2()2(1)3,2a x x f x x a x a x --≥⎧=⎨-++<⎩是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围为__________.16.设()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的1x ，2(0,)x ∈+∞，12x x ≠，满足：()()1122120x f x x f x x x ->-，若()24f =，则不等式8()0f x x->的解集为___________.四､解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.已知集合{}27,{121}A xx B x m x m =-≤≤=+<<-∣∣，（1）3m =时，求A B ⋂；（2）若A B B = ，求实数m 的取值范围.18.已知幂函数()()215m f x m m x+=--，且函数在()0,∞+上单增（1）函数()f x 的解析式；（2）若()()122f a f -<，求实数a 的取值范围.19.已知函数()2bf x ax x=-，且()11f -=-，()13f =（1）求()f x 解析式；（2）判断并证明函数()f x 在区间()1,+∞的单调性.20.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为λ，一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将5g 砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g 砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将两次称得的黄金交给顾客（1）试分析顾客购得的黄金是小于10g ，等于10g ，还是大于10g ？为什么？（2）如果售货员又将5g 的砝码放在天平左盘中，然后取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡，请问要使得三次黄金质量总和最小，商家应该将左臂长和右臂长之比λ，设置为多少？请说明理由.21.已知命题：“[]1,3x ∀∈-，都有不等式240x x m --<成立”是真命题.（1）求实数m 的取值集合A ；（2）设不等式()223200x ax a a ≥-+≠的解集为B ，若x A ∈是x B ∈的充分条件，求实数a 的取值范围.22.已知函数()f x 是定义域在R 上的奇函数，当0x ≥时，()2f x x ax =-+.（1）当1a =时，求函数()f x 的解析式；（2）若函数()f x 为R 上的单调函数.且对任意的[)1,m ∈+∞，()221240tf mt m f m m ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭恒成立，求实数t 的范围.山东省2023~2024学年第一学期期中高一数学试题2023.11说明：本试卷满分150分，分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷1为第1页至第2页，第II 卷为第3页至第4页.试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（共60分）一､单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题意）1.集合{1,0,1,2,3}A =-，{0,2,4}B =，则图中阴影部分所表示的集合为（）A.{0,2}B.{1,1,3,4}-C.{1,0,2,4}-D.{1,0,1,2,3,4}-【答案】B 【解析】【分析】求()()A B A B ð得解.【详解】解：图中阴影部分所表示的集合为()(){1,1,3,4}A B A B =- ð.故选：B2.命题“x ∀∈R 都有210x x ++>”的否定是（）A.不存在2,10x R x x ∈++>B.存在2000,10x R x x ∈++≤C.存在2000,10x R x x ∈++>D.对任意的2,10x R x x ∈++≤【答案】B 【解析】【分析】由全称命题的否定：将任意改为存在并否定原结论，即可写出原命题的否定.【详解】由全称命题的否定为特称命题，∴原命题的否定为：存在2000,10x R x x ∈++≤.故选：B3.下列图象中，以{}01M x x =≤≤为定义域，{}01N x x =≤≤为值域的函数是（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据函数的定义，依次分析选项中的图象，结合定义域值域的范围即可得答案．【详解】对于A ，其对应函数的值域不是{}01N y y =≤≤，A 错误；对于B ，图象中存在一部分与x 轴垂直，即此时x 对应的y 值不唯一，该图象不是函数的图象，B 错误；对于C ，其对应函数的定义域为{|01}M x x = ，值域是{|01}N y y = ，C 正确；对于D ，图象不满足一个x 对应唯一的y ，该图象不是函数的图象，D 错误；故选：C ．4.“12x >”是“12x<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】12x >时12x <成立，12x <时如112x =-<，则=1x -12<，因此只能是充分不必要条件，故选：A ．5.已知函数()22132f x x +=+，则()3f 的值等于（）A.11B.2C.5D.1-【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，令213x +=求出x 即可计算作答.【详解】函数()22132f x x +=+，令213x +=，得1x =，所以()233125f =⨯+=.故选：C6.函数()f x =的单调递增区间是（）A.(]-1∞， B.[)1+∞，C.[]1,3 D.[]1,1-【答案】D 【解析】【分析】先求出()f x 定义域，在利用二次函数单调性判断出结果.【详解】函数()f x =的定义域需要满足2320x x +-≥，解得()f x 定义域为[]13，-，因为232y x x =+-在[]11-，上单调递增，所以()f x =在[]11-，上单调递增，故选：D .7.已知实数0a ≠，函数()2,12,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩，若()()112f a f a -=+，则a 的值为（）A.1B.12-C.-1D.2【答案】B 【解析】【分析】对a 进行分类讨论，分别确定1a -与12a +的范围，代入相应的函数解析式，再利用()()112f a f a -=+即可求解.【详解】当0a >时，有11a -<，121a +>，又因为()()112f a f a -=+，所以()()21122a a a a -+=-+-，解得：1a =-，又0a >，所以1a =-舍去；当a<0时，有11a ->，121a +<，又因为()()112f a f a -=+，所以()()21212a a a a ++=---，解得：12a =-.故选：B.8.已知函数y =的定义域与值域均为[]0,1，则实数a 的取值为（）A.-4B.-2C.1D.1【答案】A 【解析】【分析】依题意知2y ax bx c =++的值域为[]0,1，则方程20ax bx c ++=的两根为0x =或1，可得0c =，a b =-，从而确定当12x =时，2124a y a x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭取得最大值为1，进而解得4a =-.【详解】依题意，2y ax bx c =++的值域为[]0,1，且20ax bx c ++≥的解集为[]0,1，故函数的开口向下，a<0，则方程20ax bx c ++=的两根为0x =或1，则0c =，0122b a +-=，即a b =-，则222124a y ax bx c ax ax a x ⎛⎫=++=-=-- ⎪⎝⎭，当12x =时，2124a y a x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭取得最大值为1，即14a-=，解得：4a =-.故选：A.二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9.若0a b c >>>则以下结论正确的是（）A.c c a b> B.22ac bc >C.a b b c ->- D.b c ba c a+>+【答案】AB 【解析】【分析】对于AB ，可利用不等式的性质直接判断；对于CD ，可赋值判断.【详解】对于A ，因为0a b >>，所以11a b <，又因为0c >，所以c c a b>，故A 正确；对于B ，因为0a b c >>>，则有20c >，所以22ac bc >，故B 正确；对于C ，因为0a b c >>>，若2a =，1b =，1c =-，则211a b -=-=，()112b c -=--=，此时a b b c -<-，故C 错误；对于D ，因为0a b c >>>，若2a =，1b =，1c =-，则11021b c a c +-==+-，12b a =，此时b c b a c a +<+，故D 错误.故选：AB.10.设正实数a 、b 满足1a b +=，则（）A.有最大值12B.1122a b a b +++有最小值3C.22a b +有最小值12 D.有最大值【答案】ACD 【解析】【分析】利用基本不等式求出各选项中代数式的最值，由此可判断各选项的正误.【详解】设正实数a 、b 满足1a b +=.对于A 122a b +=，当且仅当12a b ==时，等号成立，A 选项正确；对于B 选项，由基本不等式可得()111113322322a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪++++⎝⎭()()111122=222322322a b a b a b a b a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫++++=+⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦++++⎝⎭⎝⎭14233⎛≥+= ⎝，当且仅当12a b ==时，等号成立，B 选项错误；对于C 选项，()()()222222122222a b a b a b a b ab a b ++⎛⎫+=+-≥+-⨯== ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，C 选项正确；对于D 选项，()222a b a b =+++=≤，当且仅当22a b ==时，等号成立，D 选项正确.故选：ACD.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.11.若定义域为R 的函数()f x 满足()2f x +为奇函数，且对任意[)12,2,x x ∈+∞，12x x ≠，已知()()()1212[]0f x f x x x -->恒成立，则下列正确的是（）A.()f x 的图象关于点()2,0-对称B.()f x 在R 上是增函数C.()()44f x f x +-=D.关于x 的不等式()0f x <的解集为(),2-∞【答案】BD 【解析】【分析】根据给定条件，探讨函数的对称性及单调性，再逐项判断即得答案．【详解】由()2f x +为奇函数，得()2(2)f x f x -+=-+，即(4)()0f x f x -+=，因此()f x 的图象关于点()2,0对称，由任意[)12,2,x x ∈+∞，12x x ≠，()()()1212[]0f x f x x x -->恒成立，得函数()f x 在[)2,+∞上单调递增，于是()f x 在R 上单调递增，B 正确；显然(2)(2)0f f -<=，即()f x 的图象关于点()2,0-不对称，A 错误；对C ，由(4)()0f x f x -+=，得()()44f x f x +-≠，C 错误；对D ，由于()f x 在R 上单调递增，()()0(2)f x f x f <⇔<，则2x <，即不等式()0f x <的解集为(),2-∞，D 正确．故选：BD12.设函数()y f x =的定义域为R ，对于任意给定的正数p ，定义函数()()()(),,p f x f x p f x p f x p⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则称()p f x 为()f x 的“p 界函数”.若函数2()21f x x x =-+，则下列结论正确的是（）A.()424f = B.()4f x 的值域为[]0,4C.()4f x 在[]1,1-上单调递减 D.函数()41y f x =+为偶函数【答案】BCD 【解析】【分析】令2214x x -+≤求出不等式的解，即可求出()4f x 的解析式，即可判断A 、B 、C ，再求出()41y f x =+的解析式，画出图象，即可判断D.【详解】根据题意，由2214x x -+≤，解得13x -≤≤，∴()2421,134,14,3x x x f x x x ⎧-+-≤≤⎪=<-⎨⎪>⎩，所以()24222211f =-⨯+=，故A 错误；当13x -≤≤时()()224211f x x x x =-+=-，且()4f x 在[]1,1-上单调递减，在[]1,3上单调递增，()401f =，()()44431f f -==，所以()404f x ≤≤，即()4f x 的值域为[]0,4，故B 、C 正确；因为()24,2214,24,2x x y f x x x ⎧-≤≤⎪=+=<-⎨⎪>⎩，则()41y f x =+的图象如下所示：由图可知()41y f x =+的图象关于y 轴对称，所以函数()41y f x =+为偶函数，故D 正确；故选：BCD第II 卷（非选择题，共90分）三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知集合{}21,2,4m M m +=+，且5M ∈，则m 的值为________．【答案】1或3##3或1【解析】【分析】根据题意得到25m +=，245m +=，解方程再验证得到答案.【详解】{}21,2,4m M m +=+，5M ∈，当25m +=时，3m =，此时{}1,9,13M =，满足条件；当245m +=时，1m =±，1m =-时，不满足互异性，排除；1m=时，{}1,3,5M =，满足条件.综上所述：1m =或3m =.故答案为：1或3.14.函数()f x =的定义域为______．【答案】1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】【分析】根据偶次方根的被开方数非负且分母不为零得到不等式组，解得即可.【详解】对于函数()f x =，则1021210xx x -⎧≥⎪+⎨⎪+≠⎩等价于()()1210210x x x ⎧-+≥⎨+≠⎩，解得112x -<≤，所以函数()f x =的定义域为1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦.故答案为：1,12⎛⎤-⎥⎝⎦15.函数2(5)2,2()2(1)3,2a x x f x x a x a x --≥⎧=⎨-++<⎩是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围为__________.【答案】[]1,4【解析】【分析】根据分段函数单调性的定义，解不等式求实数a 的取值范围.【详解】函数2(5)2,2()2(1)3,2a x x f x x a x a x --≥⎧=⎨-++<⎩是R 上的单调减函数，则44(1)32(5)21250a a a a a -++≥--⎧⎪+≥⎨⎪-<⎩，解得14a ≤≤，所以实数a 的取值范围为[]1,4.故答案为：[]1,4．16.设()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的1x ，2(0,)x ∈+∞，12x x ≠，满足：()()1122120x f x x f x x x ->-，若()24f =，则不等式8()0f x x->的解集为___________.【答案】(2,0)(2,)-+∞ 【解析】【分析】令()()F x xf x =，可得函数利()F x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的偶函数且在(0,)+∞上单调递增，原不等式等价于()80F x x->，分析可得答案.【详解】令()()F x xf x =，由()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的奇函数，可得()F x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的偶函数，由对任意的1x ，2(0,)x ∈+∞，12x x ≠，满足：()()2211210x f x x f x x x ->-，可得()()F x xf x =在(0,)+∞上单调递增，由(2)4f =，可得(2)8F =，所以()F x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)8F -=，不等式8()0f x x ->，即为()80xf x x ->，即()80F x x->，可得0()8x F x >⎧⎨>⎩或0()8x F x <⎧⎨<⎩，即02x x >⎧⎨>⎩或020x x <⎧⎨-<<⎩解得2x >或20x -<<.故答案为：(2,0)(2,)-+∞ .四､解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.已知集合{}27,{121}A xx B x m x m =-≤≤=+<<-∣∣，（1）3m =时，求A B ⋂；（2）若A B B = ，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}|45A B x x =<<I （2）(]4∞-，【解析】【分析】（1）代入m 求集合B ，根据交集的定义即可得解；（2）A B B = ，即B A ⊆，分B =∅和B ≠∅两种情况讨论，从而可得出答案.【小问1详解】解：若3m =，则{}45B x x =<<，又{}27A xx =-≤≤∣，所以{}|45A B x x =<<I ；【小问2详解】解：因为A B B = ，所以B A ⊆，当B =∅时，则211m m -≤+，解得2m ≤，此时B A ⊆，符合题意，当B ≠∅时，则12112217m m m m +<-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得24m <≤，综上所述4m ≤，所以若A B B = ，m 的取值范围为(]4∞-，.18.已知幂函数()()215m f x m m x+=--，且函数在()0,∞+上单增（1）函数()f x 的解析式；（2）若()()122f a f -<，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()4f x x =（2）13,22⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）幂函数()()215m f x m m x+=--，有251m m --=，再由函数在()0,∞+上单调递增，解出m 的值，得函数()f x 的解析式；（2）由函数的奇偶性和单调性解不等式.【小问1详解】()()215m f x m m x +=--为幂函数，则有251m m --=，解得3m =或2m =-，3m =时，()4f x x =，在()0,∞+上单调递增，符合题意；2m =-时，()1f x x -=，在()0,∞+上单调递减，不合题意；所以()4f x x =.【小问2详解】()4f x x =，函数定义域为R ，()()()44f x x x f x -=-==，函数为偶函数，在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，若()()122f a f -<，有2122a -<-<，解得1322a -<<，所以实数a 的取值范围为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.19.已知函数()2bf x ax x=-，且()11f -=-，()13f =（1）求()f x 解析式；（2）判断并证明函数()f x 在区间()1,+∞的单调性.【答案】（1）()22f x x x=+（2）单调递增，证明见解析.【解析】【分析】（1）依题意可得1a b +=-，3a b -=，解方程即可得函数解析式；（2）利用函数单调性的定义法判断即可.【小问1详解】因为()11f -=-，()13f =，所以1a b +=-，3a b -=，解得：1a =，2b =-，所以函数()f x 解析式为：()22f x x x=+.【小问2详解】函数()f x 在区间()1,+∞上单调递增，证明如下：由（1）知()22f x x x=+，取任意1x 、()21,x ∈+∞，令12x x <，则()()()22121212121212222f x f x x x x x x x x x x x ⎛⎫-=+--=-+- ⎪⋅⎝⎭因为12x x <，所以120x x -<，又211x x >>，则122x x +>，121x x ⋅>，所以12101x x <<⋅，则12202x x <<⋅，所以1222x x ->-⋅，即121220x x x x +->⋅，所以()()120f x f x -<，即函数()f x 在区间()1,+∞上单调递增.20.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为λ，一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将5g 砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g 砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将两次称得的黄金交给顾客（1）试分析顾客购得的黄金是小于10g ，等于10g ，还是大于10g ？为什么？（2）如果售货员又将5g 的砝码放在天平左盘中，然后取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡，请问要使得三次黄金质量总和最小，商家应该将左臂长和右臂长之比λ，设置为多少？请说明理由.【答案】（1）顾客购得的黄金是大于10g ，理由见详解（2）三次黄金质量总和要最小，则左臂长和右臂长之比2λ=,理由见详解【解析】【分析】（1）设天平的左臂长为a ，右臂长b ，则a b ¹，售货员先将5g 的砝码放在左盘，将黄金x g 放在右盘使之平衡；然后又将5g 的砝码放入右盘，将另一黄金y g 放在左盘使之平衡，则顾客实际所得黄金为x y +（g）利用杠杆原理和基本不等式的性质即可得出结论.（2）再一次将5g 的砝码放在天平左盘，再取黄金m g 放在右盘使之平衡，加上前两次利用基本不等式进行分析即可.【小问1详解】由于天平两臂不等长，设天平左臂长为a ，右臂长为b ，且a b ¹，先称得黄金为x g，后称得黄金为y g，则5,5bx a ay b ==，则55,a b x y b a ==，所以555210a b x y b a +=+≥⨯=当且仅当a bb a=，即a b =时取等号，由a b ¹，所以10x y +>顾客购得的黄金是大于10g【小问2详解】由（1）再一次将5g 的砝码放在天平左盘，再取黄金m g 放在右盘使之平衡，则此时有5a bm =，此时有5am b=，所以三次黄金质量总和为：55525()52a b a a b x y m b a b b a ++=++=+≥⨯=当且仅当2a b b a =，即2a b b λ=⇒==所以三次黄金质量总和要最小，则左臂长和右臂长之比22λ=.21.已知命题：“[]1,3x ∀∈-，都有不等式240x x m --<成立”是真命题.（1）求实数m 的取值集合A ；（2）设不等式()223200x ax a a ≥-+≠的解集为B ，若x A ∈是x B ∈的充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}5A m m =>（2）5002a a a ⎧⎫<<≤⎨⎩⎭或【解析】【分析】（1）分析可知24m x x >-在[]13,x ∈-时恒成立，利用二次函数的基本性质可求得实数m 的取值集合A ；（2）分析可知A B ⊆，分a<0、0a >两种情况讨论，求出集合B ，结合A B ⊆可得出关于实数a 的不等式，综合可得出实数a 的取值范围.【小问1详解】解：由[]1,3x ∀∈-，都有不等式240x x m --<成立，得240x x m --<在[]13,x ∈-时恒成立，所以()2max4m x x>-，因为二次函数24y x x =-在[]1,2-上单调递减，在[]2,3上单调递增，且()21145x y=-=-+=，233433x y ==-⨯=-，所以，当[]13,x ∈-时，max 5y =，5m ∴>，所以，{}5A m m =>.【小问2详解】解：由22320x ax a -+≥可得()()20x a x a --≥.①当0a <时，可得{2B x x a =≤或}x a ≥，因为x A ∈是x B ∈的充分条件，则A B ⊆，则5a ≤，此时，0a <；②当0a >时，可得{B x x a =≤或}2x a ≥，因为x A ∈是x B ∈的充分条件，则A B ⊆，则25a ≤，解得52a ≤，此时502a <≤.综上所述，实数a 的取值范围是5002a a a ⎧⎫<<≤⎨⎩⎭或.22.已知函数()f x 是定义域在R 上的奇函数，当0x ≥时，()2f x x ax =-+.（1）当1a =时，求函数()f x 的解析式；（2）若函数()f x 为R 上的单调函数.且对任意的[)1,m ∈+∞，()221240tf mt m f m m ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭恒成立，求实数t 的范围.【答案】（1）22,(0)(),(0)x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩（2）5,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义和0x ≥时()f x 的解析式，即可得出0x <时的解析式，进而得出答案；（2）由()f x 的单调性和奇偶性解不等式，通过参变分离、换元法、构造函数求单调性，求得函数的最值，可求实数t 的范围．【小问1详解】函数()f x 是定义域在R 上的奇函数，1a =，当0x ≥时，2()f x x x =-+．当0x <时，有0x ->，22()()()f x f x x x x x =--=---=+．所以22,(0)(),(0)x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩．【小问2详解】因奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，由2()f x x ax =-+在[)0,∞+上单调递减，故函数()f x 为单调递减函数，由()221240t f mt mf m m⎛⎫-+->⎪⎝⎭，可得()2221124t t f mt mf f m m m m ⎛⎫⎛⎫->--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故22124t mt m m m -<-，即221124m t m m m ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭，又注意到22211424m m m m ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，结合[)1,m ∈+∞，知120m m +>，得：14(21(2)t m m m m<+-+．令1()2=+g x x x，其中[)1,x ∞∈+，任取121x x ≤<，故2112121212121212111()()222()()2x x g x g x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫--=+--=-+=-- ⎪⎝⎭，因121x x ≤<，则120x x -<，121x x >，12120->x x ，故12121()20x x x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，即12()()<g x g x ，所以()g x 在[)1,+∞上单调递增，得()()13g x g ≥=．又令12m n m +=，则14(21(2)t m m m m <+-+转化为4t n n <-，其中3n ≥．要使式子成立，需t 小于4n n-的最小值．又注意到函数y x =与函数4y x=-均在[)3,+∞上单调递增，则函数4y x x=-在[)3,+∞上单调递增．故445333n n -≥-=，得53t <，则t 的范围为5,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．。
四川省成都2023-2024学年高一上学期期中考试 数学含解析
成都2023-2024学年度上期半期考试高一数学试卷（答案在最后）注意事项：1.本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.2.本堂考试120分钟，满分150分；3.答题前，考生务必先将自己的姓名、学号填写在答题卡上，并使用2B 铅笔填涂.4.考试结束后，将答题卡交回.第Ⅰ卷选择题部分，共60分一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,3,6A =，{}2,3,4B =，则A B = （）A.3B.{}1,3 C.{}3 D.{}2,32.命题“3x ∃≥，2230x x -+<”的否定是（）A.3x ∀≥，2230x x -+<B.3x ∀≥，2230x x -+≥C.3x ∀<，2230x x -+≥D.3x ∃<，2230x x -+≥3.函数()2f x x =-的定义域为（）A.[)1,+∞ B.()1,+∞C.[)1,2 D.[)()1,22,⋃+∞4.“1k >-”是“函数3y kx =+在R 上为增函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件5.若,,R,0a b c c ∈>且0a b >>，下列不等式一定成立的是（）A .ac bc< B.11a b< C.a c b c-<- D.11b b a a +>+6.函数()2605y x x x =-+≤≤的值域是（）A.[]0,5 B.[]0,9 C.[]5,9 D.[)0,∞+7.函数()21x f x x-=的大致图象为（）A. B.C. D.8.若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在区间(],0-∞上是减函数，且()10f =，则不等式()10f x x+≥的解集为（）A.[)2,-+∞ B.[)()2,00,-⋃+∞ C.[)0,∞+ D.[)(]2,00,2-U 二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列数学符号使用正确的是（）A.1N -ÏB.{}1Z⊆C.0∈∅D.∅{}010.下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（）A.()1f x x =+与()0g x x x =+B.()f x x =与()g x =C.()f x x =与()2x g x x=D.()f t t =与()g x x =11.设正实数m n ､满足2m n +=，则（）A.12m n+的最小值为B.的最小值为2C.的最大值为1D.22m n +的最小值为212.已知定义在R 的函数()f x 满足以下条件：（1）对任意实数,x y 恒有()()()()()f x y f x f y f x f y +=++；（2）当0x >时，()f x 的值域是()0,∞+（3）()11f =则下列说法正确的是（）A.()f x 值域为[)1,-+∞B.()f x 单调递增C.()8255f =D.()()()31f x f f x f x -⎡⎤≥⎣⎦+的解集为[)1,+∞第Ⅱ卷非选择题部分，共90分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知集合{}{}21,,A B a a==，且A B A = ，则a 的值为_________．14.设函数()4,0,2,0,3x x xf x x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪≥⎪+⎩则()()1f f -=__________.15.一元二次不等式23280x x -++≤的解集为________.16.设函数()f x 的定义域为D ，若存在实数()0T T >，使得对于任意x D ∈，都有()()f x f x T <+，则称()f x 为“T -严格增函数”，对于“T -严格增函数”，有以下四个结论：①“T -严格增函数”()f x 一定在D 上严格增；②“T -严格增函数”()f x 一定是“nT -严格增函数”（其中*N n ∈，且2n ≥）③函数()[]f x x =是“T -严格增函数”（其中[]x 表示不大于x 的最大整数）④函数()[]f x x x =-不是“T -严格增函数”（其中[]x 表示不大于x 的最大整数）其中，所有正确的结论序号是______.四、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知集合U =R ，集合{}23A x x =-≤≤，{1B x x =<-或}4x >（1）求A B ⋃;（2）求()U A B∩ð18.已知函数()bf x x x=+过点(1,2)．（1）判断()f x 在区间(1,)+∞上的单调性，并用定义证明；（2）求函数()f x 在[]2,7上的最大值和最小值．19.(1)已知函数()212f x x =+，则()f x 的值域；(2)已知1)f x +=+，求()f x 的解析式；(3)已知函数()f x 对于任意的x 都有()2()32f x f x x +-=-，求()f x 的解析式.20.已知关于x 的不等式230x bx c ++-<的解集为()1,2-．（1）当[]0,3x ∈时，求2x bx cx++的最小值；（2）当x ∈R 时，函数2y x bx c =++的图象恒在直线2y x m =+的上方，求实数m 的取值范围．21.已知函数()21ax bf x x-=+是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f =-．（1）求函数()f x 的解析式；（2）判断()f x 在[]1,1-上的单调性，并用单调性定义证明；（3）解不等式()()()210f t f tf -+>．22.若函数()f x 在[],x a b ∈时，函数值y 的取值区间恰为11,b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，就称区间[],a b 为()f x 的一个“倒域区间”.已知定义在[]22-,上的奇函数()g x ，当[]0,2x ∈时，()22g x x x =-+.（1）求()g x 的解析式；（2）求函数()g x 在[]1,2内的“倒域区间”；（3）求函数()g x 在定义域内的所有“倒域区间”.成都2023-2024学年度上期半期考试高一数学试卷注意事项：1.本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.2.本堂考试120分钟，满分150分；3.答题前，考生务必先将自己的姓名、学号填写在答题卡上，并使用2B 铅笔填涂.4.考试结束后，将答题卡交回.第Ⅰ卷选择题部分，共60分一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,3,6A =，{}2,3,4B =，则A B = （）A.3 B.{}1,3 C.{}3 D.{}2,3【答案】C 【解析】【分析】利用交集的运算求解即可.【详解】由题知，{}3A B ⋂=.故选：C2.命题“3x ∃≥，2230x x -+<”的否定是（）A.3x ∀≥，2230x x -+<B.3x ∀≥，2230x x -+≥C.3x ∀<，2230x x -+≥D.3x ∃<，2230x x -+≥【答案】B 【解析】【分析】利用含有一个量词的命题的否定规律“改量词，否结论”分析判断即可得解.【详解】解：因为命题“3x ∃≥，2230x x -+<”为存在量词命题，所以其否定为“3x ∀≥，2230x x -+≥”．故选：B ．3.函数()2f x x =-的定义域为（）A.[)1,+∞ B.()1,+∞C.[)1,2 D.[)()1,22,⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】根据开偶数次发根号里的数大于等于零，分母不等于零计算即可.【详解】由()2f x x =-，得1020x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得1x >且2x ≠，所以函数()2f x x =-的定义域为[)()1,22,⋃+∞.故选：D.4.“1k >-”是“函数3y kx =+在R 上为增函数”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据一次函数的性质与必要不充分条件的判定即可得到答案.【详解】当12k =-时，满足1k >-，但是函数3y kx =+在R 上为减函数，则正推无法推出；反之，若函数3y kx =+在R 上为增函数，则01k >>-，则反向可以推出，则“1k >-”是“函数3y kx =+在R 上为增函数”的必要不充分条件，故选：B .5.若,,R,0a b c c ∈>且0a b >>，下列不等式一定成立的是（）A.ac bc <B.11a b< C.a c b c-<- D.11b b a a +>+【答案】B 【解析】【分析】ACD 举反例确定错误，B 作差法可判断.【详解】A ，2,1a c b ===时，2212⋅>⋅，A 错误；B ，11110,0,b a a b a b ab a b->>∴-=<∴< ，B 正确；C ，2,1a c b ===时，2212->-，C 错误；D ，2,1a c b ===时，111221+<+，D 错误.故选：B6.函数()2605y x x x =-+≤≤的值域是（）A.[]0,5 B.[]0,9 C.[]5,9 D.[)0,∞+【答案】B 【解析】【分析】根据二次函数的性质即可求解.【详解】函数26y x x =-+的图象是一条开口向下的抛物线，对称轴为3x =，所以该函数在(0,3)上单调递增，在(3,5)上单调递减，所以max 39x y y ===，又050,5x x y y ====，所以min 0y =，即函数的值域为[0,9].故选：B.7.函数()21x f x x-=的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【详解】根据函数的奇偶性以及函数的解析式判断出正确答案.【分析】()21x f x x -=的定义域为{}|0x x ≠，()()()2211x x f x f x xx----==-=--，所以()f x 是奇函数，图象关于原点对称，所以A 选项错误.当0x >时，()210x f x x-=≥，所以C 选项错误.当0x >时，令()210x f x x-==，解得1x =，所以B 选项错误.所以正确的是D.故选：D8.若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在区间(],0-∞上是减函数，且()10f =，则不等式()10f x x+≥的解集为（）A.[)2,-+∞ B.[)()2,00,-⋃+∞ C.[)0,∞+ D.[)(]2,00,2-U 【答案】B 【解析】【分析】确定函数的单调性，考虑0x >和0x <两种情况，将问题转化为(1)0f x +≥或(1)0f x +≤，再根据函数值结合函数单调性得到答案.【详解】函数()f x 是定义在实数集R 上的偶函数，()f x 在区间(],0-∞上是严格减函数，故函数()f x 在()0,∞+上单调递增，且(1)(1)0f f -==，当0x >时，由(1)0f x x +≥，即(1)0f x +≥，得到11x +≥或11x +≤-（舍弃），所以0x >，当0x <时，由(1)0f x x+≥，即(1)0f x +≤，得到111x -≤+≤，所以20x -≤<，综上所述，20x -≤<或0x >，故选：B.二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列数学符号使用正确的是（）A.1N -ÏB.{}1Z⊆C.0∈∅ D.∅{}0【答案】ABD 【解析】【分析】根据集合与元素之间的关系符号和集合与集合之间的关系符号来判断即可.【详解】对于A ，N 表示自然数集，1-不是自然数，故1N -Ï成立，则A 选项正确;对于B ，Z 表示整数集，1Z ∈，故{}1Z ⊆成立，则B 选项正确;对于C ，∅表示空集，没有任何一个元素，即0∉∅，故C 选项不正确;对于D ，空集是任何一个非空集合的真子集，故∅{}0成立，则D 选项正确.故选：ABD.10.下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（）A.()1f x x =+与()0g x x x =+B.()f x x =与()g x =C.()f x x =与()2x g x x=D.()f t t =与()g x x =【答案】BD 【解析】【分析】根据函数的“三要素”一一判断每个选项中的函数，看定义域和对应关系是否相同，即可得答案.【详解】对于A ，函数()1f x x =+的定义域为R ，()0g x x x =+的定义域为{|0}x x ≠，故二者不是相同函数，A 错误；对于B ，()f x x =的定义为域为R ，()||g x x ==的定义域为R ，二者对应关系也相同，值域都为[0,)+∞，故二者表示相同函数，B 正确；对于C ，()f x x =的定义域为R ，()2x g x x=的定义域为{|0}x x ≠，故二者不是相同函数，C 错误；对于D ，()f t t =与()g x x =的的定义域均为(,0]-∞，对应关系相同，值域均为(,0]-∞，故二者表示相同函数，D 正确；故选：BD11.设正实数m n ､满足2m n +=，则（）A.12m n+的最小值为B.的最小值为2C.的最大值为1D.22m n +的最小值为2【答案】CD 【解析】【分析】由已知条件结合基本不等式及其相关变形，分别检验各个选项即可判断正误.【详解】对于选项A ，322121222m n n m m n m n m n ⎛⎫+=++⎛⎫=+ ⎪⎪⎭⎭+⎝⎝3322+≥=，当且仅当2=m nn m且2m n +=时，即2m =-，4n =-时取等号，则A 错误；对于选项B ，22m n =+++24m n ≤++=,当且仅当1m n ==2+≤+的最大值为2，则B 错误；对于选项C ，m n +≥212m n mn +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1m n ==时，等号成立，则C 正确；对于选项D ，()222242m n m n mn mn +=+-=-24222m n +⎛⎫≥-= ⎪⎝⎭，当且仅当1m n ==时，等号成立，则D 正确,故选:CD .12.已知定义在R 的函数()f x 满足以下条件：（1）对任意实数,x y 恒有()()()()()f x y f x f y f x f y +=++；（2）当0x >时，()f x 的值域是()0,∞+（3）()11f =则下列说法正确的是（）A.()f x 值域为[)1,-+∞B.()f x 单调递增C.()8255f =D.()()()31f x f f x f x -⎡⎤≥⎣⎦+的解集为[)1,+∞【答案】BCD【解析】【分析】计算()00f =得到()()1111f x f x =-+>--+，A 错误，根据单调性的定义得到B 正确，计算()23f =，()415f =，()8255f =得到C 正确，题目转化为()()2f x f x f ⎡⎤+≥⎣⎦得到()2x f x +≥，根据函数的单调性得到D 正确，得到答案.【详解】对选项A ：令1,0x y ==可得()()()()()11001f f f f f =++，故()00f =，令y x =-可得()()()()()0f f x f x f x f x =-++-，()1f x -≠-，()()()()1111f x f x f x f x --==-+-+-+，当0x <时，()0f x ->，则()()1111f x f x =-+>--+，综上所述：()()1,f x ∈-+∞，错误；对选项B ：任取12,R x x ∈且12x x >，()120f x x ->，()21f x >-，则()()()()()()()12122212212f x f x f x x x f x f x x f x f x x -=-+-=-+-()()12210f x x f x ⎡⎤=-+>⎣⎦，所以函数()y f x =在R 上单调递增，正确；对选项C ：取1x y ==得到()()()()()211113f f f f f =++=；取2x y ==得到()()()()()4222215f f f f f =++=；取4x y ==得到()()()()()84444255f f f f f =++=，正确；对选项D ：()()()31f x f f x f x -⎡⎤≥⎣⎦+，()()()13f f x f x f x ⎡⎤⎡⎤+≥-⎣⎦⎣⎦，即()()()()()()2f f x f x f x f f x f x f x f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++=+≥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即()2x f x +≥，函数()()g x x f x =+单调递增，且()1112g =+=，故1x ≥，正确；故选：BCD【点睛】关键点睛：本题考查了抽象函数问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据题目信息转化得到()()2f x f x f ⎡⎤+≥⎣⎦，再利用函数的单调性解不等式是解题的关键.第Ⅱ卷非选择题部分，共90分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知集合{}{}21,,A B a a==，且A B A = ，则a 的值为_________．【答案】1-【解析】【分析】由A B A = 得A B ⊆，列式求解，然后检验元素的互异性.【详解】∵A B A = ，∴A B ⊆，又{}{}21,,A B a a==，∴1a =或21a =，解得1a =或1a =-，当1a =不满足元素的互异性，舍去，所以1a =-.故答案为：1-.14.设函数()4,0,2,0,3x x x f x x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪≥⎪+⎩则()()1f f -=__________.【答案】1【解析】【分析】分段函数求值，根据自变量的取值范围代入相应的对应关系.【详解】当=1x -时，()f -=--=-41131，则()()231(3)133f f f ⋅-===+.故答案为：115.一元二次不等式23280x x -++≤的解集为________.【答案】(][),47,-∞-+∞【解析】【分析】由一元二次不等式的解法进行求解即可.【详解】()()22328032804707x x x x x x x -++≤⇒--≥⇒+-≥⇒≥，或4x ≤-所以一元二次不等式23280x x -++≤的解集为(][),47,-∞-+∞ ，故答案为：(][),47,-∞-+∞ 16.设函数()f x 的定义域为D ，若存在实数()0T T >，使得对于任意x D ∈，都有()()f x f x T <+，则称()f x 为“T -严格增函数”，对于“T -严格增函数”，有以下四个结论：①“T -严格增函数”()f x 一定在D 上严格增；②“T -严格增函数”()f x 一定是“nT -严格增函数”（其中*N n ∈，且2n ≥）③函数()[]f x x =是“T -严格增函数”（其中[]x 表示不大于x 的最大整数）④函数()[]f x x x =-不是“T -严格增函数”（其中[]x 表示不大于x 的最大整数）其中，所有正确的结论序号是______.【答案】②③④【解析】【分析】根据“T -严格增函数”的定义对四个结论逐一分析，从而确定正确答案.【详解】①，函数(),01,0x x f x x x <⎧=⎨-≥⎩，定义域为R ，存在2T =，对于任意x ∈R ，都有()()2f x f x <+，但()f x 在R 上不单调递增，所以①错误.②，()f x 是“T -严格增函数”，则存在0T >，使得对任意x D ∈，都有()()f x f x T <+，因为2,0n T ≥>，所以()()f x T f x nT +<+，故()()f x f x nT <+，即存在实数0nT >，使得对任意x D ∈，都有()()f x f x nT <+，所以()f x 是“nT -严格增函数”，②正确.③，()[]f x x =，定义域为R ，当1T =时，对任意的x ∈R ，都有[][]1x x <+，即()()1f x f x <+，所以函数()[]f x x =是“T -严格增函数”.④，对于函数()[]f x x x =-，()[][][]()11111f x x x x x x x f x +=+-+=+--=-=，所以()f x 是周期为1的周期函数，11112222f ⎛⎫⎡⎤=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，若1T =，则133********f f ⎛⎫⎡⎤⎛⎫+=-== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭，不符合题意.当0T >且1T ≠时，若()()f x f x T <+，则[][]x x x T x T -<+-+，即[][]T x T x >+-（*），其中，若01T <<，则总存在,2n n ∈≥*N ，使得1nT >，当1T >时，若T 是正整数，则[][]x T x T +-=，（*）不成立，若T 不是正整数，[][]T x T x >+-不恒成立，所以函数()[]f x x x =-不是“T -严格增函数”.故答案为：②③④【点睛】本题主要考查新定义函数的理解，对于新定义函数的题，解题方法是通过转化法，将“新”转化为“旧”来解题，选择题中，可利用特殊值进行举反例来排除.四、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知集合U =R ，集合{}23A x x =-≤≤，{1B x x =<-或}4x >（1）求A B ⋃;（2）求()U A B ∩ð【答案】（1）{3x x ≤或}4x >（2）{}13x x -≤≤【解析】【分析】（1）根据并集概念进行计算；（2）先求出{}14U B x x =-≤≤ð，进而利用交集概念进行计算.【小问1详解】{}{|231A B x x x x ⋃=-≤≤⋃<-或}4x >{3x x =≤或}4x >；【小问2详解】{}14U B x x =-≤≤ð，(){}{}{}|231413U A B x x x x x x ⋂=-≤≤⋂-≤≤=-≤≤ð18.已知函数()b f x x x=+过点(1,2)．（1）判断()f x 在区间(1,)+∞上的单调性，并用定义证明；（2）求函数()f x 在[]2,7上的最大值和最小值．【答案】（1）()f x 在区间(1,)+∞上单调递增，证明见解析（2）最大值为507，最小值为52【解析】【分析】（1）求出函数的表达式，利用单调性定义即可判断函数的单调性；（2）根据单调性即可得出函数()f x 在[]2,7上的最大值和最小值.【小问1详解】单调递增，由题意证明如下，由函数()b f x x x =+过点(1,2)，有121b +=，解得1b =，所以()f x 的解析式为：1()f x x x =+．设12,(1,)x x ∀∈+∞，且12x x <，有()()()()121212121212111x x x x f x f x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．由1212,(1,),x x x x ∈+∞<，得121210,0x x x x ->-<．则()()12121210x x x x x x --<，即()()12f x f x <．∴()f x 在区间(1,)+∞上单调递增．【小问2详解】由()f x 在(1,)+∞上是增函数，所以()f x 在区间[2,7]上的最小值为5(2)2f =，最大值为50(7)7f =．19.(1)已知函数()212f x x =+，则()f x 的值域；(2)已知1)f x +=+，求()f x 的解析式；(3)已知函数()f x 对于任意的x 都有()2()32f x f x x +-=-，求()f x 的解析式.【答案】（1）1|02y y ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭；（2）2()1f x x =-，其中1x ≥；（3）2()33f x x =--【解析】【分析】（1）根据函数的性质即可得函数的值域；（2）配凑法或换元法求函数的解析式（3）列方程组法求函数的解析式【详解】（1）由于220,22x x ≥+≥，故211022x <≤+，故函数的值域为1|02y y ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭（2）)221)1111f +=+-=-，，故所求函数的解析式为2()1f x x =-，其中1x ≥.（3）∵对于任意的x 都有()2()32f x f x x +-=-，∴将x 替换为-x ，得()2()32f x f x x -+=--，联立方程组：()2()32()2()32f x f x x f x f x x +-=-⎧⎨-+=--⎩消去()f x -，可得2()33f x x =--.20.已知关于x 的不等式230x bx c ++-<的解集为()1,2-．（1）当[]0,3x ∈时，求2x bx c x++的最小值；（2）当x ∈R 时，函数2y x bx c =++的图象恒在直线2y x m =+的上方，求实数m 的取值范围．【答案】（1）1（2）5,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）依题意可得，1-和2是方程230x bx c ++-=的两根，从而可求得b ，c 的值，再利用基本不等式即可求解；（2）依题意可得，已知条件等价于212x x x m -+>+在(),-∞+∞上恒成立，分离参数转化为最值问题即可求解．【小问1详解】因为关于x 的不等式230x bx c ++-<的解集为()1,2-，所以1-和2是方程230x bx c ++-=的两根，所以12123b c -+=-⎧⎨-⨯=-⎩，解得11b c =-⎧⎨=⎩，由2x bx c x++可知，0x ≠，所以当(]0,3x ∈时，2211111x bx c x x x x x x ++-+==+-≥=，当且仅当1x =时，等号成立，所以2x bx c x++的最小值为1．【小问2详解】结合（1）可得221y x bx c x x =++=-+，对于R x ∀∈，函数2y x bx c =++的图象恒在函数2y x m =+的图象的上方，等价于212x x x m -+>+在(),x ∈-∞+∞上恒成立，即231m x x <-+在(),x ∈-∞+∞上恒成立，则()2min 31m x x <-+即可，因为2235531()244x x x -+=--≥-，所以54m <-，所以实数m 的取值范围为5,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭．21.已知函数()21ax b f x x -=+是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f =-．（1）求函数()f x 的解析式；（2）判断()f x 在[]1,1-上的单调性，并用单调性定义证明；（3）解不等式()()()210f t f tf -+>．【答案】21.()221x f x x -=+，[]1,1x ∈-22.减函数；证明见解析；23.10,2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质和()11f =求解即可.（2）利用函数单调性定义证明即可.（3）首先将题意转化为解不等式()()21f tf t >-，再结合()f x 的单调性求解即可.【小问1详解】函数()21ax b f x x-=+是定义在[]1,1-上的奇函数，()()f x f x -=-；2211ax b ax b x x ---=-++，解得0b =，∴()21ax f x x =+，而()11f =-，解得2a =-，∴()221x f x x -=+，[]1,1x ∈-．【小问2详解】函数()221x f x x-=+在[]1,1-上为减函数；证明如下：任意[]12,1,1x x ∈-且12x x <，则()()()()()()121212122222121221221111x x x x x x f x f x x x x x ------=-=++++因为12x x <，所以120x x -<，又因为[]12,1,1x x ∈-，所以1210x x ->，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以函数()()12f x f x >在[]1,1-上为减函数．【小问3详解】由题意，()()()210f t f tf -+>，又()00f =，所以()()210f t f t -+>，即解不等式()()21f t f t >--，所以()()21f t f t >-，所以22111111t t t t ⎧-≤≤⎪-≤-≤⎨⎪<-⎩，解得102t ≤<，所以该不等式的解集为510,2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭．22.若函数()f x 在[],x a b ∈时，函数值y 的取值区间恰为11,b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，就称区间[],a b 为()f x 的一个“倒域区间”.已知定义在[]22-,上的奇函数()g x ，当[]0,2x ∈时，()22g x x x =-+.（1）求()g x 的解析式；（2）求函数()g x 在[]1,2内的“倒域区间”；（3）求函数()g x 在定义域内的所有“倒域区间”.【答案】（1）()222,022,20x x x g x x x x ⎧-+≤≤=⎨+-≤<⎩（2）11,2⎡+⎢⎣⎦（3）151,2⎡+⎢⎣⎦和1,12⎡⎤---⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）设[)2,0x ∈-，利用奇函数的定义可求得函数()g x 在[)2,0-上的解析式，由此可得出函数()g x 在[]22-,上的解析式；（2）设12a b ≤<≤，分析函数()g x 在[]1,2上的单调性，可出关于a 、b 的方程组，解之即可；（3）分析可知0a b ab <⎧⎨>⎩，只需讨论02a b <<≤或20a b -≤<<，分析二次函数()g x 的单调性，根据题中定义可得出关于实数a 、b 的等式组，求出a 、b 的值，即可得出结果.【小问1详解】解：当[)2,0x ∈-时，则(]0,2x -∈，由奇函数的定义可得()()()()2222x g x g x x x x ⎡⎤=--=---=⎣⎦++-，所以，()222,022,20x x x g x x x x ⎧-+≤≤=⎨+-≤<⎩.【小问2详解】解：设12a b ≤<≤，因为函数()g x 在[]1,2上递减，且()g x 在[],a b 上的值域为11,b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以，()()22121212g b b b b g a a a a a b ⎧=-+=⎪⎪⎪=-+=⎨⎪≤<≤⎪⎪⎩，解得112a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，所以，函数()g x 在[]1,2内的“倒域区间”为11,2⎡⎢⎣⎦.【小问3详解】解：()g x 在[],a b 时，函数值()g x 的取值区间恰为11,b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，其中a b ¹且0a ≠，0b ≠，所以，11a b b a<⎧⎪⎨<⎪⎩，则0a b ab <⎧⎨>⎩，只考虑02a b <<≤或20a b -≤<<，①当02a b <<≤时，因为函数()g x 在[]0,1上单调递增，在[]1,2上单调递减，故当[]0,2x ∈时，()()max 11g x g ==，则11a≤，所以，12a ≤<，所以，12a b ≤<≤，由（2）知()g x 在[]1,2内的“倒域区间”为151,2⎡⎢⎥⎣⎦；②当20a b -≤<<时，()g x 在[]2,1--上单调递减，在[]1,0-上单调递增，故当[]2,0x ∈-时，()()min 11g x g =-=-，所以，11b≥-，所以，21b -<≤-.21a b ∴-≤<≤-，因为()g x 在[]2,1--上单调递减，则()()22121221g a a a a g b b b b a b ⎧=+=⎪⎪⎪=+=⎨⎪-≤<≤-⎪⎪⎩，解得121a b ⎧+=-⎪⎨⎪=-⎩，所以，()g x 在[]2,1--内的“倒域区间”为112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.综上所述，函数()g x在定义域内的“倒域区间”为11,2⎡+⎢⎣⎦和1,12⎡⎤---⎢⎥⎣⎦.【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义，解题的关键在于分析函数的单调性，结合题意得出关于参数的方程，进行求解即可.。
四川省成都市2023-2024学年高一上学期期中数学试题(含答案)
成都2023-2024学年度上期高2026届半期考试数学试题（答案在最后）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.全称量词命题“5,lg 4x x x ∀∈+≠R ”的否定是（）A.x ∃∈R ，5lg 4x x +=B.x ∀∈R ，5lg 4x x +=C.x ∃∈R ，5lg 4x x +≠D.x ∀∉R ，5lg 4x x +≠【答案】A 【解析】【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题.【详解】“5,lg 4x x x ∀∈+≠R ”的否定是“x ∃∈R ，5lg 4x x +=”.故选：A .2.下列命题为真命题的是（）A.若33a bc c<，则a b < B.若a b <，则33<ac bc C.若a b <，c d <，则a c b d -<- D.若a c b d -<-，c d <，则a c b d+<+【答案】D 【解析】【分析】举反例可判断选项A 、B 、C ，由不等式的性质可判断选项D.【详解】对于选项A ，当1c =-时，若33a bc c<，则a b >，与a b <矛盾，故选项A 错误；对于选项B ，当0c =时，若a b <，则330ac bc ==，与33<ac bc 矛盾，故选项B 错误；对于选项C ，当56a b ==，，10c d =-=，，满足a b <，c d <，但a c b d -=-，这与a c b d -<-矛盾，故选项C 错误；对于选项D ，因为a c b d -<-，c d <，所以由不等式性质可得：()()a c c b d d -+<-+，即a b <.因为a b <，c d <，由不等式性质可得：a c b d +<+，故选项D 正确.故选：D.3.设函数()ln 26f x x x x =+-，用二分法求方程ln 260x x x +-=在()2,3x ∈内的近似解的过程中，计算得(2)0,(2.5)0,(2.25)0f f f <>>，则下列必有方程的根的区间为（）A.()2.5,3 B.()2.25,2.5 C.()2,2.25 D.不能确定【答案】C 【解析】【分析】利用零点存在性定理及二分法的相关知识即可判断.【详解】显然函数()ln 26f x x x x =+-在[]2,3x ∈上是连续不断的曲线，由于(2)0,(2.25)0f f <>，所以()()2· 2.250f f <，由零点存在性定理可得：()ln 26f x x x x =+-的零点所在区间为()2,2.25，所以方程ln 260x x x +-=在区间()2,2.25内一定有根.故选：C.4.函数2||3()33x x f x =-的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据函数的奇偶性、定义域、正负性，结合指数函数的单调性进行判断即可.【详解】由33011xx x -≠⇒≠⇒≠±，所以该函数的定义域为()()(),11,11,-∞-⋃-⋃+∞，显然关于原点对称，因为()()()22||||333333x x x x f x f x ---===--，所以该函数是偶函数，图象关于纵轴对称，故排除选项AC ，当1x >时，()33=3300xxf x --<⇒<，排除选项B ，故选：D5.若0a >，0b >，则“221a b +≤”是“a b +≤”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据不等式之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.【详解】当0a >，0b >，且221a b +≤时，()()22222222a b a b ab a b +=++≤+≤，当且仅当2a b ==时等号成立，所以a b +≤，充分性成立；1a =，14b =，满足0a >，0b >且a b +≤，此时221a b +>，必要性不成立.则“221a b +≤”是“a b +≤”的充分不必要条件.故选：A6.已知当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量y 与死亡年数x 的关系为573012x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭．不久前，考古学家在某遗址中提取了数百份不同类型的样品，包括木炭、骨头、陶器等，得到了一系列的碳14测年数据，发现生物组织内碳14的含量是死亡前的34．则可以推断，该遗址距离今天大约多少年（参考数据ln 20.7≈，ln 3 1.1≈）（）A.2355B.2455C.2555D.2655【答案】B 【解析】【分析】设该遗址距离今天大约0x 年，则0573005730132412x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭，再根据对数的运算性质及换底公式计算即可.【详解】设该遗址距离今天大约0x 年，则0573005730132412x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭，即057301324x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以01222234ln 3 1.1log log log 4log 322573043ln 20.7x ===-=-≈-，所以0115730224557x ⎛⎫≈⨯-= ⎪⎝⎭，即该遗址距离今天大约2455年.故选：B .7.已知函数2295,1()1,1a x ax x f x xx -⎧-+≤=⎨+>⎩，是R 上的减函数，则a 的取值范围是（）A.92,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.94,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.[]2,4 D.(]9,2,2⎛⎤-∞+∞⎥⎝⎦【答案】C 【解析】【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得a 的取值范围.【详解】依题意，()f x 在R 上单调递减，所以2291229011511a aa a -⎧≥⎪⎪-<⎨⎪-⨯+≥+⎪⎩，解得24a ≤≤，所以a 的取值范围是[]2,4故选：C8.设358log 2,log 3,log 5a b c ===，则（）A.a c b <<B.a b c<< C.b<c<aD.c<a<b【答案】B 【解析】【分析】利用中间值比较大小得到23<a ，2334b <<，34c >，从而得到答案.【详解】333log 22log 20o 33938l g a --=-=<，故23<a ，555log 27log 2522log 30333b --=-=>，555log 81log 12533log 30444b --=-=<，故2334b <<，888log 5log 33log 5054246124c --=-=>，34c >，故a b c <<故选：B二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.任何集合都是它自身的真子集B.集合{},,,a b c d 共有16个子集C.集合{}{}42,Z 42,Zx x n n x x n n =+∈==-∈D.集合{}{}22|1,|22,x x a a x x a a a ++=+∈==-+∈N N 【答案】BC 【解析】【分析】根据真子集的性质、子集个数公式，结合集合的描述法逐一判断即可.【详解】A ：根据真子集的定义可知：任何集合都不是它自身的真子集，所以本选项说法不正确；B ：集合{},,,a b c d 中有四个元素，所以它的子集个数为42=16，所以本选项说法正确；C ：因为{}(){}42,Z 412,Z x x n n x x n n =-∈==-+∈，所以{}42,Z x x n n =+∈与{}42,Z x x n n =-∈均表示4的倍数与2的和所组成的集合，所以{}{}42,Z 42,Z x x n n x x n n =+∈==-∈，因此本选项说法正确；D ：对于{}2|22,x x a a a +=-+∈N ，当1a =时，2221x a a =-+=，即{}21|22,x x a a a +∈=-+∈N ，但{}21|1,x x a a +∉=+∈N ，所以两个集合不相等，因此本选项说法不正确.故选：BC.10.已知正实数x ，y 满足1x y +=，则下列不等式成立的有（）A.22x y +≥ B.14≤xy C.124x x y+≥ D.1174xy xy +≥【答案】ABD【解析】【分析】选项A 用基本不等式性质判断即可；选项B 用基本不等式的推论即可；选项C 将1x y +=带入，再用基本不等式判断；D 利用对勾函数的单调性判断.【详解】对A ：因为x ，y为正实数22x y +≥==，当且仅当12x y ==时取等号，所以A 正确；对B ：因为2211224x y xy +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当12x y ==时取等号，所以B 正确；对C：因为1222111x x y x y x x y x y x y ++=+=++≥+=+2y x x y =时取等号，所以C 错误；对D ：由B 选项可知14≤xy ，令xy t =，则104t <≤，11xy t xy t +=+()1104f t t t t ⎛⎫=+<≤ ⎪⎝⎭因为对勾函数在104t <≤上是减函数，所以()11744f t f ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，所以D 正确；故选：ABD 11.已知()1121xa f x +=+-是奇函数，则（）A.1a = B.()f x 在()(),00,x ∈-∞⋃+∞上单调递减C.()f x 的值域为()(),11,-∞-⋃+∞ D.()()3log 2f x f >的解集为()0,9x ∈【答案】AC 【解析】【分析】由奇函数的定义可判定A 项，利用指数函数的性质可判定B 项，进而可求值域判定C 项，可结合对数函数的性质解不等式判定D 项.【详解】因为函数()1121xa f x +=+-是奇函数，易知2100x x -≠⇒≠，则有()()()()()11211112210212121x x x xa a a f x f x a -+-++-+=+++=+=-+=---，解之得1a =，故A 正确；则()2121xf x =+-，易知当0210x x y >⇒=->且有21xy =-单调递增，故此时()2121x f x =+-单调递减，又由奇函数的性质可知0x <时()f x 也是单调递减，故()f x 在(),0∞-和()0,∞+上单调递减，故B 错误；由上可知0x >时，222100112121xx x ->⇒>⇒+>--，即此时()1f x >，由奇函数的性质可知0x <时，()1f x <-，则函数()f x 的值域为()(),11,-∞-⋃+∞，故C 正确；由上可知()()()33log 20log 21,9f x f x x >⇒<<⇒∈，故D 错误.故选：AC12.已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 在区间()0,6上满足()()6f x f x -=，当(]0,3x ∈时，()13log f x x =；当[)6,x ∈+∞时，()21448f x x x =-+-．若直线y m =与函数()f x 的图象有6个不同的交点，各交点的横坐标为()1,2,3,4,5,6i x i =，且123456x x x x x x <<<<<，则下列结论正确的是（）A.122x x +>B.()5648,49x x ∈C.()()34661x x --> D.()()()()1122660,26x f x x f x x f x +++∈⎡⎤⎣⎦ 【答案】ABD 【解析】【分析】先利用函数的对称性和解析式作出函数图象，分别求出直线y m =与函数()f x 的图象的交点的横坐标的范围，运用基本不等式和二次函数的值域依次检验选项即得.【详解】如图，依题意可得13132log ,03()log (6),361448,6x x f x x x x x x ⎧<≤⎪⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪-+-≥⎪⎪⎩，作出函数()y f x =在(0,)+∞上的图象，设直线1y =与()y f x =的图象分别交于,,,A B C D 四点，显然有1(,1),(3,1),(7,1)3A B D ，由()()6f x f x -=知函数()f x 在区间()0,6上关于直线3x =对称，故可得：17(,1)3C .对于A 选项，由12()()f x f x =可得121133x x <<<<，111233log log x x =-，化简得121=x x ，由基本不等式得：122x x +>=，故A 项正确；对于B 选项，当[)6,x ∈+∞时，由()21448f x x x =-+-可知其对称轴为直线7x =，故562714,x x +=⨯=又因56678x x <<<<，故()25655551414x x x x x x =-=-+25(7)+49x =--在区间()6,7上为增函数，则有564849x x <<，故B 项正确；对于C 选项，由34()()f x f x =可得34356x x <<<<，131433log (6)log (6)x x -=--，化简得1343log [(6)(6)]0x x --=，故有()()34661x x --=，即C 项错误；对于D 选项，依题意，1236()()()(),f x f x f x f x m ===== 且01m <<，故()()()112266126()x f x x f x x f x x x x m +++=+++ ，又因函数()f x 在区间()0,6上关于直线3x =对称，故1423236,x x x x +=+=⨯=又由B 项分析知5614,x x +=于是126661426,x x x +++=++= 故得：()()()()1122660,26x f x x f x x f x +++∈⎡⎤⎣⎦ ，故D 项正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数与直线y m =的交点横坐标的范围界定，关键在于充分利用绝对值函数与对称函数的图象特征进行作图，运用数形结合的思想进行结论检验.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若定义在[]4,4-上的奇函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的单调增区间为______．【答案】[]2,4和[]4,2--【解析】【分析】直接根据图象结合奇函数性质得到答案.【详解】根据图象，0x >时函数在[]2,4上单调递增，函数为奇函数，故函数在[]4,2--上也单调递增.故答案为：[]2,4和[]4,2--.14.若()()2log ,0215,0xx x f x f x x >⎧=⎨++≤⎩，则(1)(7)f f --=______．【答案】32【解析】【分析】直接计算得到答案.【详解】()()2log ,0215,0x x x f x f x x >⎧=⎨++≤⎩，则()()2221113(1)(7)147log 14log 7log 22222f f f f --=+-=+-=+=.故答案为：32.15.石室中学“跳蚤市场”活动即将开启，学生们在该活动中的商品所卖款项将用来支持慈善事业．为了在这次活动中最大限度地筹集资金，某班进行了前期调查．若商品进货价每件10元，当售卖价格（每件x 元）在1025x <≤时，本次活动售出的件数()42105P x =-，若想在本次活动中筹集的资金最多，则售卖价格每件应定为______元．【答案】15【解析】【分析】结合已知条件，求出利润()f x 的解析式，然后结合换元法和基本不等式即可求解.【详解】由题意可知，利润4210(10)()(5)x f x x -=-，1025x <≤，不妨令10(0,15]t x =-∈，则利润44421010()50025(5)10t f x y t t t ===≤+++，当且仅当25t t=时，即5t =时，即15x =时，不等式取等号，故销售价格每件应定为15元.故答案为：15.16.我们知道，函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数．那么，函数()323f x x x x =--图象的对称中心是______．【答案】()1,3-【解析】【分析】计算出()()b f x a b f x a +-++--()232662622a x a a a b =-+---，得到3266026220a a a a b -=⎧⎨---=⎩，求出13a b =⎧⎨=-⎩，得到对称中心.【详解】()()bf x a b f x a +-++--()()()()()()3232332x a x a x a x a x a x a b =+-+-++-+--+--+-32232232233336333x ax a x a x ax a x a x ax a x a =+++------+-+223632x ax a x a b-+-+--()232662622a x a a a b =-+---，要想函数()y f x a b =+-为奇函数，只需()2326626220a x a a a b -+---=恒成立，即3266026220a a a a b -=⎧⎨---=⎩，解得13a b =⎧⎨=-⎩，故()323f x x x x =--图象的对称中心为()1,3-故答案为：()1,3-四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.（1）计算2173ln 383log 210e 22lg 527log 10-⎛⎫-⨯--⎪⎝⎭；（2）已知11224x x-+=，求3322x x -+的值．【答案】（1）0（2）52【解析】【分析】（1）结合指数运算及对数运算性质，换底公式即可求解；（2）考察两式间的内在联系，结合立方和公式即可求解.【详解】（1）21723ln 3833log 2101727e22lg 52()(lg 5lg 2)27log 10864-⎛⎫-⨯--=--+ ⎪⎝⎭1791088--==；（2）由11224x x-+=，则112122()216x x x x --+=++=，则114x x -+=，则3322x x-+()11122141352x x x x --⎛⎫=+-+=⨯= ⎪⎝⎭.18.已知全集R U =，集合5|1,{|16}2A x B x x x ⎧⎫=>=<≤⎨⎬-⎩⎭，{1C x x a =≤-∣或21}x a ≥+．（1）求()U A B ∩ð；（2）若()A B C ⊆ ，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{31}xx -<≤∣（2）(],2[7,)-∞-+∞ 【解析】【分析】（1）解出分式不等式，求出集合A ，再利用交集和补集的含义即可得到答案；（2）分R C =和R C ≠讨论即可.【小问1详解】{}5310(3)(2)0{32}22x A x x x x x x x x x +⎧⎫⎧⎫=>=>=+->=-<<⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭∣∣∣∣{16}B x x =<≤∣，{1U B x x ∴=≤∣ð或6}x >，(){31}U A B x x ∴=-<≤ ∣ð.【小问2详解】{36}A B x x =-<≤ ∣，且()A B C ⊆ ，①R C =，1212a a a -≥+⇒≤-，此时满足()A B C ⊆ ，②R C ≠，2a >-，此时213a +>-，则167-≥⇒≥a a ，此时满足()A B C ⊆ ，综上所述，实数a 的取值范围为(],2[7,)-∞-+∞ .19.在“①函数()f x 是偶函数；②函数()f x 是奇函数．”这两个条件中选择一个补充在下列的横线上，并作答问题．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．已知函数()ln(e )ln(e )f x x k x =++-，且______．（1）求()f x 的解析式；（2）判断()f x 在()0,e 上的单调性，并根据单调性定义证明你的结论．【答案】（1）选择①时，()ln(e )ln(e )f x x x =++-；选择②时，()ln(e )ln(e )f x x x =+--（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义求解参数k ，即可得()f x 的解析式；（2）根据函数单调性的定义证明即可得结论.【小问1详解】选择①：函数()ln(e )ln(e )f x x k x =++-的定义域满足e 0e 0x x +>⎧⎨->⎩，解得e e x -<<，故定义域为()e,e -，若函数()f x 是偶函数，所以()()()()ln e ln e f x x k x f x -=-++=，则()()()()ln e ln e ln e ln e x k x x k x -++=++-，则1k =所以()ln(e )ln(e )f x x x =++-；选择②：函数()ln(e )ln(e )f x x k x =++-的定义域满足e 0e 0x x +>⎧⎨->⎩，解得e e x -<<，故定义域为()e,e -，若函数()f x 是奇函数，所以()()()()ln e ln e f x x k x f x -=-++=-，则()()()()ln e ln e ln e ln e x k x x k x -++=-+--，则1k =-所以()ln(e )ln(e )f x x x =+--；【小问2详解】选择①：函数22()ln(e )ln(e )ln(e )f x x x x =++-=-在()0,e 上单调递减．证明：1x ∀,()20,e x ∈，且12x x <，有，有22222221121212(e )(e )()()x x x x x x x x ---=-=+-，由120e x x <<<，得120x x +>，120x x -<，所以1212()()0x x x x +-<，于是222212e e 0x x ->->，所以222221e 01e x x -<<-，所以22222222121221e ()()ln(e )ln(e )ln ln10e xf x f x x x x --=---=<=-，即12()()f x f x >，所以函数22()ln(e )f x x =-在()0,e 上单调递减．选择②：函数e ()ln(e )ln(e )ln e xf x x x x+=+--=-在()0,e 上单调递增．证明：1x ∀,()20,e x ∈，且12x x <，则21211221212121e e (e )(e )(e )(e )2()e e (e )(e )(e )(e )x x x x x x x x x x x x x x +++--+---==------由120e x x <<<，得210x x ->，2e 0x ->，1e 0x ->，所以21212()0(e )(e )x x x x ->--，即2121e e 0e e x x x x ++>>--，于是2211e e 1e e x x x x +->+-，所以2212211211e e e e ()()lnln ln ln10e e e e x x x x f x f x x x x x +++--=-=>=+---，即12()()f x f x <，所以函数e ()lne xf x x+=-在()0,e 上单调递增．20.酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量达到20~79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车．经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的含量变化规律的“散点图"”如图，该函数近似模型如下：()20.43()49.18,02256.26e14.73,2x a x x f x x -⎧-+≤<⎪=⎨⎪⋅+≥⎩，又已知酒后1小时测得酒精含量值为46.18毫克/百毫升，根据上述条件，解答以下问题：（1）当02x ≤<时，确定()f x 的表达式；（2）喝1瓶啤酒后多长时间后才可以驾车？（时间以整分钟计算）（附参考数据：ln527 6.27,ln56268.63,ln14737.29===）【答案】（1）23()12()49.182f x x =--+（2）314分钟后【解析】【分析】（1）根据题中条件，建立方程(1)46.18f =，解出即可；（2）根据题意建立不等式，解出即可.【小问1详解】根据题意知，当02x ≤<时，23()()49.182f x a x =-+，所以23(1)(149.1846.182f a =-+=，解得12a =-，所以当02x ≤<，23()12()49.182f x x =--+.【小问2详解】由题意知，当车辆驾驶人员血液中的酒精含量小于20mg /百毫升时可以驾车，当02x ≤<时，()20f x >，此时2x ≥，由0.456.26e 14.7320x -⋅+<，得0.4 5.27527e56.265626x-<=，两边取自然对数可得，0.4ln 527ln 5626 6.278.36 2.09x -<-=-=-，所以 2.095.2250.4x >=，又5.225小时=313.5分钟，故喝1瓶啤酒314分钟后才可以驾车.21.已知函数12x y a -=-（0a >，且1a ≠）过定点A ，且点A 在函数()()ln 1f x x m =+-，(R)m ∈的图象上．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若定义在[]1,2上的函数()()ln 2y f x k x =+-恰有一个零点，求实数k 的取值范围．【答案】（1）()ln 1f x x =-（2）e 2e,42⎛⎤++ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）把定点A 代入函数()f x 的解析式求出m 的值即可；（2）问题等价于()22e g x x kx =-+在[]1,2上恰有一个零点，根据函数零点的定义，结合二次函数的性质进行求解即可；【小问1详解】函数12x y a -=-（0a >，且1a ≠）过定点()1,1A -，函数()()ln 1f x x m =+-(R)m ∈的图象过点()1,1A -，即()ln 111m +-=-，解得0m =，函数()f x 的解析式为()ln 1f x x =-.【小问2详解】函数()()()ln 2ln 1ln 2y f x k x x k x +--==+-定义在[]1,2上，20k x ->在[]1,2上恒成立，可得4k >，令()()2ln 1ln 2ln 210y x k x kx x =-+--=-=，得22e 0xkx -+=，设()22e g x x kx =-+，函数()()ln 2y f x k x =+-在[]1,2上恰有一个零点，等价于()g x 在[]1,2上恰有一个零点，函数()22e g x x kx =-+图像抛物线开口向上，对称轴14kx =>，若()()12e 0282e 0g k g k ⎧=-+=⎪⎨=-+<⎪⎩，无解，不成立；若()()()()122e 82e 0g g k k ⋅=-+-+<，解得e2e 42k +<<+，满足题意；若()24282e 0k g k ⎧≥⎪⎨⎪=-+=⎩，无解，不成立；若()()12e 0124282e 0g k kg k ⎧=-+<⎪⎪<<⎨⎪=-+=⎪⎩，解得e 42k =+，满足题意.所以实数k 的取值范围为e 2e,42⎛⎤++ ⎥⎝⎦.22.若函数()f x 与()g x 满足：对任意的1x D ∈，总存在唯一的2x D ∈，使()()12f x g x m =成立，则称()f x 是()g x 在区间D 上的“m 阶伴随函数”；对任意的1x D ∈，总存在唯一的2x D ∈，使()()12f x f x m=成立，则称()f x 是区间D 上的“m 阶自伴函数”．（1）判断()22111f x x x =+++是否为区间[]0,4上的“2阶自伴函数”？并说明理由；（2）若函数()32πx f x -=区间1,3b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的“1阶自伴函数”，求b 的值；（3）若()2214f x x ax a =-+-是()4log (167)g x x =--在区间[0,2]上的“2阶伴随函数”，求实数a 的取值范围．【答案】（1）不是，理由见解析（2）1b =（3）314a ≤≤【解析】【分析】（1）根据给定的定义，取12x =，判断2()1f x =在[]0,4是否有实数解即可；（2）根据给定的定义，当11,3x b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，用1x 表示2x 并判断单调性，求出值域，借助集合的包含关系求解即可；（3）根据()g x 的单调性求解其在区间[0,2]上的值域，进而将问题转化为()f x 在区间[0，2]上的值域是[]4,1--的子集，再结合二次函数的性质，分类讨论即可求解．【小问1详解】假定函数()22111f x x x =+++是区间[]0,4上的“2阶自伴函数”，则对任意的[]10,4x ∈，总存在唯一的[]20,4x ∈，使()()122f x f x =成立，取10x =，1()2f x =，由12()()2f x f x =，得2()1f x =，则()222221111f x x x =++=+，则()()222221110x x +-++=，进而可得()222131024x ⎡⎤+-+=⎢⎣⎦显然此方程无实数解，所以函数()22111f x x x =+++不是区间[]0,4上的“2阶自伴函数”，【小问2详解】函数()32πx f x -=为区间1,3b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的“1阶自伴函数”，则对任意11,3x b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在唯一的21,3x b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得12()()1f x f x =，即123232ππ1x x --=，进而1243x x +=，得2143x x =-，显然函数2143x x =-在11,3x b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，且当113x =时，21x =，当1x b =时，243x b =-，因此对1,3b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的每一个1x ，在4[,1]3b -内有唯一2x 值与之对应，而21,3x b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以41[,1][,]33b b -⊆，所以14133b b ≥⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得11b b ≥⎧⎨≤⎩，即1b =，所以b 的值是1．【小问3详解】由于41log 67,t x y t =-=分别为定义域内单调递增和单调递减函数，所以函数()4log (167)g x x =--在[0,2]上单调递增，且()()102,22g g =-=-得函数()g x 的值域为12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，由函数()2214f x x ax a =-+-是()4log (167)g x x =--在区间[0,2]上的“2阶伴随函数”可知，对任意的1[0x ∈,2]，总存在唯一的2[0x ∈,2]时，使得12()()2f x g x =成立，于是[]122()4,1()f xg x =∈--，则()2214f x x ax a =-+-在区间上[0,2]的值域是区间[]4,1--的子集，而函数()2214f x x ax a =-+-图象开口向上，对称轴为x a =，显然(0)14f a =-，()258f a =-，()241f a a a =--+，当0a ≤时，()f x 在[0,2]上单调递增，则min max ()(0)4()(2)1f x f f x f =≥-⎧⎨=≤-⎩，即0144581a a a ≤⎧⎪-≥-⎨⎪-≤-⎩，无解；当2a ≥时，()f x 在[0,2]上单调递减，则min max ()(2)4()(0)1f x f f x f =≥-⎧⎨=≤-⎩，即2584141a a a ≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤-⎩，无解；当02a <<时，()f x 在[0,]a 上单调递减，在[a ,2]上单调递增，则()()4(2)101f a f f ≥-⎧⎪≤-⎨⎪≤-⎩，即202581141144a a a a a <<⎧⎪-≤-⎪⎨-≤-⎪⎪-+-≥-⎩，解得314a ≤≤；综上，a 的取值范围是314a ≤≤．。
2022-2023学年全国高中高一上数学人教A版期中试卷(含解析)
2022-2023学年全国高一上数学期中试卷考试总分：95 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 集合，，，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A.B.C.D.2. 若，则下列不等式成立的是( )A.B.C.D.3. 设命题，命题，则是成立的（ ）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4. 年文汇高中学生运动会，某班名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的学生中，参加田赛的有人，参加径赛的有人，则田赛和径赛都参加的学生人数为( )A.B.C.U =R A ={x |−x −2<0}x 2B ={x |y =ln(1−x)}{x |x ≥1}{x |1≤x <2}{x |0<x ≤1}{x |x ≤1}0<a <b <<a <b ab −−√a +b 2<a <<b ab −−√a +b 2a <<<b ab −−√a +b 2a <<<b a +b 2ab −−√p :x >2–√q :>2x 2p q 20196216237810D.5. 已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线，其中，，，则等于（）A.B.C.D.6. 定义域为的函数的值域为，则函数的值域为（ ）A.B.C.D.7. 函数的部分图象大致为（ ）A.B. 12y =f (x)y =g(x)ABC A (1,3)B (2,1)C (3,2)f(g(2))x 123f(x)230321R y =f(x)[a,b]y =f(x +a)[a,b][2a,a +b][0,b −a][−a,a +b]y =sin 2x1−cos xC. D.8. 下列四个函数：①＝；②；③＝；④，其中定义域与值域相同的函数的个数为（ ）A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 设集合＝，＝，则下列关系正确的是（ ）A.B.C.＝D.10. 已知函数，则下列说法正确的是( )A.函数是偶函数B.函数是奇函数C.函数在上为增函数D.函数的值域为11. 已知函数若关于的方程有且仅有一个实数解，且幂函数在上单调递增，则实数的取值可能是( )y 2x +3y 2x 1234M {y |y ＝−+4}e x N {x |y ＝lg[(x +2)(3−x)]}M ⊆N∁R ∁R N ⊆MM ∩N ∅N ⊆M∁R f (x)=(1+)−xlog 24x f (x)f (x)f (x)(−∞,0]f (x)[1,+∞)f (x)={,x >0,e |x−1|x ,x ≤0,e x xf (x)=a g(x)=x a (0,+∞)aA.B.C.D.12. 已知函数，给出下列四个命题，其中真命题的序号是( )A.存在实数，使得函数恰有个不同的零点B.存在实数，使得函数恰有个不同的零点C.存在实数，使得函数恰有个不同的零点D.存在实数，使得函数恰有个不同的零点卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ）13. （5分） 已知正数，满足，则的最小值为________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）14. 已知，关于的不等式的解集为.当为空集时，求的取值范围；在的条件下，求的最小值；当不为空集，且时，求实数的取值范围.15. 已知集合 ，．当时，求；若，求的取值范围．16. 已知函数且是奇函数.求的值；讨论在上的单调性，并予以证明．17. 已知函数为定义在）的函数．当时，是的二次函数；当时，．给出数据如表（部分）：求关于的函数关系式；求函数的值域； 11e2ef(x)=(−1−|−1|+k x 2)2x 2k 2k 5k 6k 8a b a +b =19a +bab m ∈R x −2mx +m +2≤0x 2M (1)M m (2)(1)y =+3m +4m 2m +1(3)M M ⊆[1,4]m A ={x|−3≤x <4}B ={x|a +1<x ≤3a −1}(1)a =2A ∪B (2)A ∩B =B a f(x)=+m(a >0log a x +1x −1a ≠1)(1)m (2)f(x)(1,+∞)f(x)[0,+∞0≤x <6f(x)x x ≥6f (x)=()13x−tx 0127⋯f(x)0169⋯(1)y x y =f (x)(2)f(x)18. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司年全年投入研发资金万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，求该公司全年投入的研发资金开始超过万元的年份．（参考数据：）19.已知，证明：；解关于的不等式：.201513012%200lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30(1)a >1，b >1a +b <2ab (2)x +2x −−2a <0x 2a 2参考答案与试题解析2022-2023学年全国高一上数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】B【考点】Venn 图表达集合的关系及运算【解析】根据图和集合之间的关系进行判断．【解答】解：由图可知，阴影部分的元素为属于当不属于的元素构成，所以用集合表示为．，，则，则．故选：．2.【答案】C【考点】不等式的基本性质基本不等式【解析】【解答】解：因为，所以，，由基本不等式：当时， ，所以．故选．3.【答案】Venn Venn A B A ∩(B)∁U A ={x |−x −2<0}={x |−1<x <2}x 2B ={x |y =ln(1−x)}={x |1−x >0}={x |x <1}B ={x |x ≥1}∁U A ∩(B)={x |1≤x <2}∁U B 0<a <b a <ab −−√<b a +b 20<a <b <ab −−√a +b 2a <<<b ab −−√a +b 2CB【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断一元二次不等式【解析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：，解得或.若成立，则成立，反之，若成立，则未必成立，即是成立的充分不必要条件.故选.4.【答案】B【考点】集合中元素的个数Venn 图表达集合的关系及运算【解析】此题暂无解析【解答】解：设参加田赛的学生为集合，参加径赛的学生为集合，全集为，由题可得参加比赛的学生共有人，由，可得田赛和径赛都参加的学生人数为 ．故选．5.【答案】B【考点】q :>2x 2x >2–√x <−2–√p :x >2–√q :>2x 2q :>2x 2p :x >2–√p q B A B U 31A ∩B =A +B −A ∪B 16+23−31=8B【解析】根据函数图象和函数值的对应关系即可得到结论．【解答】解：由图象可知，由表格可知，∴.故选．6.【答案】A【考点】函数的值域及其求法【解析】此题暂无解析【解答】解：函数的图象左右平移个单位长度后得的图象，因此它们的值域是相同的．故选．7.【答案】C【考点】函数的图象【解析】判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊值判断即可．【解答】解：函数，可知函数是奇函数，排除选项，当时，，排除，时，，排除．故选．8.g(2)=1f (1)=2f [g(2)]=f (1)=2B y =f(x)|a|y =f(x +a)A y =sin 2x1−cos x B x =π3f()==π33–√21−123–√A x =πf(π)=0D CC【考点】函数的值域及其求法函数的定义域及其求法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,B【考点】集合的包含关系判断及应用交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】A,D【考点】奇偶性与单调性的综合函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明【解析】由，判断是偶函数；f (−x)=(1+)+x =(1+)−x =f (x)log 214x log 24x f (x)(−1)=>1=f (0)5由判断函数的值域为）【解答】解：∵，∴函数是偶函数，故选项正确，选项错误；则，故选项错误，选项正确．故选．11.【答案】A,D【考点】函数的图象幂函数的性质函数的零点【解析】此题暂无解析【解答】解：的图象如图所示，因为有且仅有一个实数解，即的图象与有且只有一个交点，所以．又因为在上单调递增，所以，所以.故选 . 12.【答案】A,B,D【考点】f (−1)=>1=f (0)log 252f (x)[1,+∞f (−x)=(1+)+x =(1+)−x =f (x)log 214x log 24x f (x)A B f (−1)=>1=f (0)log 252C D AD f (x)f (x)=a y =f (x)y =a a ∈[e,+∞)∪{1,0,−}1eg(x)=x a (0,+∞)a >0a ∈[e,+∞)∪{1}AD命题的真假判断与应用【解析】首先考查函数的奇偶性，然后利用复合函数单调性的法则考查函数的性质，最后数形结合即可确定函数零点的个数．【解答】原问题等价于考查函数 ＝与函数＝的交点个数，注意到为奇函数，故首先研究函数在上的性质：当时，＝，函数＝在区间上单调递减，值域为，函数＝在区间上单调递减，在区间上单调递增，由复合函数单调性的法则可得，函数在区间 上单调递减，在区间上单调递增，同理可得函数在区间上单调递减，在区间 上单调递增，据此函数函数的图象如图所示，如图所示，轴与函数图象交点个数为个，选项正确，轴上方的直线与函数图象交点个数为个，选项正确，轴下方的直线与函数图象交点个数为个，选项正确，交点个数不可能为个，选项错误，三、 填空题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ）13.【答案】【考点】基本不等式【解析】此题暂无解析g(x)(−1−|−1|x 2)2x 2h(x)−k g(x)g(x)[0,+∞)0≤x ≤1g(x)(1−−(1−)x 2)2x 2u(x)1−x 2[0,1][0,1]y −u u 2g(x)g(x)x 5C x 2A x 8D 6B 16【解答】解：正数，满足，则，当且仅当且，即 时，取得最小值故答案为：．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）14.【答案】解：，即方程无实根，，即，解得.故实数的取值范围为.由知，则，，当且仅当，即时等号成立，故所求的最小值为.设，当不为空集时，由，得解得，故所求实数的取值范围为.【考点】基本不等式在最值问题中的应用一元二次方程的根的分布与系数的关系一元二次不等式与一元二次方程一元二次不等式的解法集合的包含关系判断及应用【解析】无【解答】解：，即方程无实根，，即，解得.故实数的取值范围为.由知，则，，a b a +b =1=+=(+)(a +b)=10++≥10+9a +b ab 9b 1a 9b 1ab a 9ab 2=16⋅b a 9a b −−−−−−√=b a 9a ba +b =1a =,14b =3416.16(1)∵M =∅−2mx +m +2=0x 2∴Δ=4−4(m +2)<0m 2−m −2<0m 2−1<m <2m (−1,2)(2)(1)m ∈(−1,2)0<m +1<3∴y =+3m +4m 2m +1=+(m +1)+2(m +1)2m +1=(m +1)++12m +1≥2+1(m +1)⋅2m +1−−−−−−−−−−−−−√=2+12–√m +1=2m +1m =−12–√1+22–√(3)f (x)=−2mx +m +2x 2=−+m +2(x −m)2m 2M M ⊆[1,4]Δ=4−4(m +2)≥0,m 2f (1)=3−m ≥0,f (4)=18−7m ≥0,1≤m ≤4,2≤m ≤187m [2,]187(1)∵M =∅−2mx +m +2=0x 2∴Δ=4−4(m +2)<0m 2−m −2<0m 2−1<m <2m (−1,2)(2)(1)m ∈(−1,2)0<m +1<3∴y =+3m +4m 2m +1=+(m +1)+2(m +1)2m +1=(m +1)++12m +1≥2+1(m +1)⋅2m +1−−−−−−−−−−−−−√=2+12–√+1=2当且仅当，即时等号成立，故所求的最小值为.设，当不为空集时，由，得解得，故所求实数的取值范围为.15.【答案】解：当时，则，又 ，所以；因为，所以，当时，符合题意，此时，解得；当时，因为，所以解得；综上，的取值范围是.【考点】并集及其运算集合关系中的参数取值问题【解析】本题考查了并集及其运算，集合的包含关系的应用，集合关系中参数取值问题，属于基础题.当时，求出集合，进而求出答案；由题意可得，再分和两种情况解答即可.【解答】解：当时，则，又 ，所以；因为，所以，当时，符合题意，此时，解得；当时，因为，所以解得；综上，的取值范围是.m +1=2m +1m =−12–√1+22–√(3)f (x)=−2mx +m +2x 2=−+m +2(x −m)2m 2M M ⊆[1,4]Δ=4−4(m +2)≥0,m 2f (1)=3−m ≥0,f (4)=18−7m ≥0,1≤m ≤4,2≤m ≤187m [2,]187(1)a =2B =｛x|3<x ≤5｝A ={x|−3≤x <4}A ∪B =｛x|−3≤x ≤5｝(2)A ∩B =B B ⊆A B =∅B ⊆A a +1≥3a −1a ≤1B ≠∅B ⊆Aa +1<3a −1，a +1≥−3，3a −1<4，1<a <53a (−∞，1)∪(−∞，)53（1）a =2B （2）B ⊆A B =ΦB ≠Φ(1)a =2B =｛x|3<x ≤5｝A ={x|−3≤x <4}A ∪B =｛x|−3≤x ≤5｝(2)A ∩B =B B ⊆A B =∅B ⊆A a +1≥3a −1a ≤1B ≠∅B ⊆Aa +1<3a −1，a +1≥−3，3a −1<4，1<a <53a (−∞，1)∪(−∞，)5316.【答案】解：由题意可知，是奇函数，则，即，解得.设，任取，则.∵，，∴，.又∵，∴.∴，即.当时，是增函数，∴，即；当时，是减函数，∴，即.综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增．【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的判断与证明对数函数的单调性与特殊点【解析】根据奇函数的定义便可求出；讨论的取值判断的符号，从而判断出函数在上的单调性．【解答】解：由题意可知，是奇函数，则，即，解得.设，任取，则.∵，，∴，.又∵，∴.(1)f(x)f(−x)=−f(x)+m =−−m log a−x +1−x −1log a x +1x −1m =0(2)u =x +1x −1>>1x 2x 1−=−u 2u 1+1x 2−1x 2+1x 1−1x 1=(+1)(−1)−(+1)(−1)x 2x 1x 1x 2(−1)(−1)x 2x 1=2(−)x 1x 2(−1)(−1)x 2x 1>1x 1>1x 2−1>0x 1−1>0x 2<x 1x 2−<0x 1x 2<02(−)x 1x 2(−1)(−1)x 2x 1<u 2u 1a >1y =x log a <log a u 2log a u 1f()<f()x 2x 10<a <1y =x log a >log a u 2log a u 1f ()>f ()x 2x 1a >1f (x)(1,+∞)0<a <1f (x)(1,+∞)(1)f(−x)=−f(x)m (2)a f'(x)f(x)(1,+∞)(1)f(x)f(−x)=−f(x)+m =−−m log a−x +1−x −1log a x +1x −1m =0(2)u =x +1x −1>>1x 2x 1−=−u 2u 1+1x 2−1x 2+1x 1−1x 1=(+1)(−1)−(+1)(−1)x 2x 1x 1x 2(−1)(−1)x 2x 1=2(−)x 1x 2(−1)(−1)x 2x 1>1x 1>1x 2−1>0x 1−1>0x 2<x 1x 2−<0x 1x 202(−)∴，即.当时，是增函数，∴，即；当时，是减函数，∴，即.综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增．17.【答案】解：当时，设，则可解得，故；当时，可解得，故，综上当时，,在上单调递减，在上单调递增，所以的值域为；当时，在上单调递减，所以的值域为，综上，值域为.【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法函数解析式的求解及常用方法函数的值域及其求法【解析】【解答】解：当时，设，则可解得，故；当时，可解得，故，<02(−)x 1x 2(−1)(−1)x 2x 1<u 2u 1a >1y =x log a <log a u 2log a u 1f()<f()x 2x 10<a <1y =x log a >log a u 2log a u 1f ()>f ()x 2x 1a >1f (x)(1,+∞)0<a <1f (x)(1,+∞)(1)0≤x <6f (x)=a +bx +c x 2f(0)=0，f(1)=1，f(2)=6，c =0,a =2,b =−1f (x)=2−x x 2x ≥6f (7)==9()137−t t =9f (x)=()13x−9f(x)= 2−x(0≤x <6)，x 2((x ≥6).13)x−9(2)0≤x <6f (x)=2−x =2(x −−x 214)218f(x)[0,]14(,6)14f(x)[−,66)18x ≥6f (x)=()13x−9[6,+∞)f(x)(0,27][−,66)18(1)0≤x <6f (x)=a +bx +cx 2f(0)=0，f(1)=1，f(2)=6，c =0,a =2,b =−1f (x)=2−x x 2x ≥6f (7)==9()137−tt =9f (x)=()13x−9(x)=2−x(0≤x <6)，2综上当时，,在上单调递减，在上单调递增，所以的值域为；当时，在上单调递减，所以的值域为，综上，值域为.18.【答案】年【考点】函数模型的选择与应用【解析】此题暂无解析【解答】设第年的研发投资资金为，则，由题意，需，解得，故从年该公司全年投入的研发资金超过万．19.【答案】证明：因为，所以，则．又因为，所以因为，所以解：，若，即，则不等式的解集为；若，即，则不等式无解；若，即，则不等式的解集为.【考点】不等式恒成立问题一元二次不等式的解法f(x)= 2−x(0≤x <6)，x 2((x ≥6).13)x−9(2)0≤x <6f (x)=2−x =2(x −−x 214)218f(x)[0,]14(,6)14f(x)[−,66)18x ≥6f (x)=()13x−9[6,+∞)f(x)(0,27][−,66)182019n ,=130a n a 1=130×a n 1.12n−1=130×≥200a n 1.12n−1n ≥52019200(1)a >1，b >1<1，<11a 1b+<21a 1b +=1a 1b a +b ab <2.a +b ab ab >0a +b <2ab.(2)+2x −−2a =(x −a)(x +a +2)<0x 2a 2a >−a −2a >−1{x|−a −2<x <a}a =−a −2a =−1a <−a −2a <−1{x|a <x <−a −2}【解析】【解答】证明：因为，所以，则．又因为，所以因为，所以解：，若，即，则不等式的解集为；若，即，则不等式无解；若，即，则不等式的解集为.(1)a >1，b >1<1，<11a 1b+<21a 1b +=1a 1b a +b ab <2.a +b ab ab >0a +b <2ab.(2)+2x −−2a =(x −a)(x +a +2)<0x 2a 2a >−a −2a >−1{x|−a −2<x <a}a =−a −2a =−1a <−a −2a <−1{x|a <x <−a −2}。
高一年级上学期半期统一考试数学试题(附解析)
高一年级上学期半期统一考试数学试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、若全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}{}1,2,2,3,4M N ==，则()U C M N 等于（ ） A 、{}1B 、{}2C 、{}3,4D 、{}52、函数()12f x x-的定义域是（ ） A 、[)()1,22,-+∞B 、[)1,-+∞C 、()(),22,-∞+∞D 、()()1,22,-+∞3、若函数()()3,52,5x x f x f x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩，则()2f 的值为（ ）A 、2B 、3C 、4D 、54、设集合{}{}2430,230A x x x B x x =-+≥=-≤，则A B =（ ）A 、(][),13,-∞+∞B 、[]1,3C 、3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D 、[)3,3,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦5、函数()()2213f x x a x =---在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，则实数a 的范围是（ ）A 、1a ≤B 、1a ≥C 、2a ≤D 、2a ≥6、已知函数()()22,2x x f x g x x -==- ）A 、函数()f x 是奇函数，函数()g x 是偶函数B 、函数()f x 不是奇函数，函数()g x 是偶函数C 、函数()f x 是奇函数，函数()g x 不是偶函数D 、函数()f x 不是奇函数，函数()g x 不是偶函数7、若函数()f x 满足关系式()()321f x f x x+-=-，则()2f 的值为（ ）A 、32-B 、32C 、52-D 、52知圆柱形桶中液面上升的速度是一个常量，H 是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H 与下落时间()min t 的函数关系式表示的图象只可能是（ ）9、已知()()314,1,1a x a x f x ax x ⎧-+<⎪=⎨-≥⎪⎩是定义在(),-∞+∞上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A 、11,83⎡⎫⎪⎢⎣⎭B 、11,83⎡⎤⎢⎥⎣⎦C 、10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D 、10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦10、已知函数()f x 满足：对任意的实数,a b 都有()()()f a b f a f b +=⋅，且()12f =，则()()()()()()()()24620161352015f f f f f f f f ++++=（ ）A 、504B 、1008C 、2016D 、403211、奇函数()f x 在()0,+∞内单调递增且()20f =，则不等式()01f x x >-的解集为（ ）A 、()()(),20,11,2-∞-B 、()()2,01,2-C 、()(),22,-∞-+∞D 、()()(),20,12,-∞-+∞12、已知函数22y x x =+在闭区间[],a b 上的值域为[]1,3-，则满足题意的有序实数对(),a b 在坐标平面内所对应点组成图形为（ ）A B C D第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2022-2023学年全国高中高一上数学苏教版月考试卷(含解析)
2022-2023学年全国高一上数学月考试卷考试总分：105 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 11 小题 ，每题 5 分 ，共计55分 ）1. 若关于的方程是一元二次方程，则 A.B.C.D.2. 如图，若是的直径，是的弦，，则的度数为 A.B.C.D.3. 若是方程的一个根，设，则与的大小关系正确的为( )A.B.C.D.无法确定x (m +1)−3x +2=0x 2()m >−1m ≠0m ≥0m ≠−1AB ⊙O CD ⊙O ∠BCD =35∘∠ABD ()35∘45∘55∘75∘x 0a +2x +c =0(a ≠0)x 2M =1−ac N =,(a +1)x 02M N M >NM =NM <Ny =−2+4x +624. 已知抛物线，下列说法中不正确的是( )A.该抛物线与轴的交点坐标为B.点一定在该抛物线上C.该抛物线的顶点坐标为D.该抛物线与轴两个交点之间的距离是5. 已知等腰三角形的底边长为，其腰长为一元二次方程的根，那么该等腰三角形的周长为（ ）A.B.C.D.或6. 已知是一元二次方程的一个根，则的值是( )A.B.C.D.7. 已知某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的侧面积等于( )A.B.C.D.8. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）A.对称轴是B.顶点坐标是y =−2+4x +6x 2y (0,6)(−2,−10)(1,8)x 225–√−3x +6=0x 23–√+23–√5–√2+23–√5–√4+23–√5–√2+23–√5–√4+23–√5–√a −4x +1=0x 23−12a −2+a 28a1+a 23−3−11cm 12πcm 215πcm 224πcm 230πcm 2y =(x +2−3)2x =2(2,−3)C.与轴有两个交点D.开口向下9. 分式的值为，则的值为 （ ）A.B.C.D.任意实数10. 如图，为的直径，弦于点，已知＝，＝，则的长为（ ）A.B.C.D.11. 如图，四边形内接于，为的直径，点为的中点，若，则的度数为 A.B.C.D.卷II （非选择题）x a −2−−−−√−2a 20a 2−2±2AB ⊙O CD ⊥AB E OE 6DO 10CD 8121620ABCD ⊙O AB ⊙O C BDˆ∠DCB =140∘∠ABC ()60∘65∘70∘75∘二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）12. 方程的解为________．13. 已知：的半径为，弦＝，弦＝，．则这两条平行弦，之间的距离是________．14. 如图，抛物线（为常数）交轴于点，与轴的一个交点在和之间，顶点为．①抛物线与直线有且只有一个交点；②若点、点、点在该函数图象上，则；③将该抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线解析式为；④点关于直线的对称点为，点、分别在轴和轴上，当时，四边形周长的最小值为．其中正确判断的序号是________．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）16. 已知函数.讨论函数的单调性；若函数既有极大值，又有极小值，记分别为函数的极大值点和极小值点，求证：；设为整数，且对于任意的正整数，有…，求的最小值． 17. 如图，用米篱笆围成一个外形为矩形的花园，花园一面利用院墙，中间用一道篱笆间隔成两个小矩形，院墙的长度为米，平行于院墙的一边长为米，花园的面积为平方米.=2x x 2⊙O 13cm AB 24cm CD 10cm AB //CD AB CD y=−+2x +m +1x 2m y A x 23B y=−+2x +m +1x 2y=m +2M(−2,)y 1N(,)12y 2P(2,)y 3<<y 1y 2y 322y =−(x +1+m )2A x =1C D E x y m =1BCDE +34−−√2–√f (x)=ln x −(a ∈R)a (x −1)x +1(1)f (x)(2)f (x),x 1x 2f (x)f ()<+x 1x 22f ()+f ()x 1x 22(3)m n (1+)(1+)12122(1+)<m 12n m 4820x S求与之间的函数关系式；问花园面积可以达到平方米吗？如果能，花园的长和宽各是多少？如果不能，请说明理由. 18. 如图，已知在中，直径＝，正方形的四个顶点分别在及半径、上，并且＝，求正方形的边长．19. 已知是关于的方程的一个根，求的值．20. 如图，将矩形纸片的沿着过点的直线折叠，使点落在边上，落点为，折痕交边于点．图中的全等三角形是________，相似三角形是________；若，，求的长；若，求（用含有，的代数式表示）．21. 如图，抛物线的顶点在轴上，交轴于，将该抛物线向上平移，平移后的抛物线与轴交于，，顶点为．（1）求点的坐标和平移后抛物线的解析式；(1)S x (2)180⊙O MN 10ABCD ⊙O OM OP ∠POM 45∘x =2x −mx −4=0x 2m 2m(2m +1)ABCD (AD >DC)∠A D A BC E AB F (1)(2)BE :EC =1:4CD =9BF (3)BE :EC =m :n AF :FB m n 1y =−+2x −1x 2A x y B x C D E(1,4)B OM =ON（2）点在原抛物线上，平移后的对应点为，若，求点的坐标；（3）如图，直线与平移后的抛物线交于．在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形是直角三角形？若存在， 直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．M N OM =ON M 2CB F P C F P P参考答案与试题解析2022-2023学年全国高一上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 11 小题 ，每题 5 分 ，共计55分 ）1.【答案】D【考点】一元二次方程的定义【解析】根据一元二次方程的定义得到，然后解不等式即可．【解答】解：∵关于的方程是一元二次方程，∴，∴．故选．2.【答案】C【考点】圆心角与圆周角的综合计算【解析】首先利用同弧所对的圆周角是圆心角的倍，得出，再由于半径相等得出等腰三角形，结合三角形内角和，即可求出.【解答】解：连接，m −1≠0x (m +1)−3x +2=0x 2m +1≠0m ≠−1D 2∠BOD OD ∠BOD =2∠BCD =70∘则.由于，则.又，所以.故选.3.【答案】B【考点】一元二次方程的解【解析】把代入方程得，作差法比较可得．【解答】解：是方程的一个根，，即，则，∴.故选.4.【答案】D【考点】二次函数图象上点的坐标特征【解析】此题暂无解析【解答】解：，令，解得，所以与轴的交点坐标为，故选项正确；，令，解得，所以点在该抛物线上，故选项正确；，，所以顶点坐标为，故选项正确；∠BOD =2∠BCD =70∘OB =OD ∠ABD =∠ODB ∠ABD +∠ODB =∠AOD =−=180∘70∘110∘∠ABD =∠AOD =1255∘C x 0a +2x +c =0x 2a +2−c x 20x 0∵x 0a +2x +c =0(a ≠0)x 2∴a +2+c =0x 20x 0a +2=−c x 20x 0N −M =−(1−ac)(a +1)x 02=+2a +1−1+aca 2x 20x 0=a (a +2)+acx 20x 0=−ac +ac =0M =N B A x =0y =6y (0,6)B x =−2y =−10(−2,−10)C y =−2+4x +6=−2(x −1+8x 2)2(1,8)=−1，=3，令，解得，两个交点之间的距离是，故选项错误.故选.5.【答案】C【考点】解一元二次方程-因式分解法三角形三边关系等腰三角形的性质【解析】先由三角形的三边关系确定出第三边的长，再求周长．【解答】解：一元二次方程，则，解得或，当时，由于，所以可以构成等腰三角形，所以该等腰三角形的周长为；当时，由于，所以不能构成三角形，故舍去.综上所述，该等腰三角形的周长为.故选.6.【答案】B【考点】一元二次方程的解列代数式求值【解析】把代入已知方程，列出关于的新方程，通过解新方程可以求得的值．【解答】解：∵是一元二次方程的一个根，∴，即，D y =0=−1，=3x 1x 24D −3x +6=0x 23–√(x −2)(x −)=03–√3–√x =23–√x =3–√x =23–√2×2>23–√5–√4+23–√5–√x =3–√2×<23–√5–√4+23–√5–√C x =a a a a −4x +1=0x 2−4a +1=0a 2+1=4a a 2−12a −2+8a∴.故选.7.【答案】B【考点】由三视图判断几何体圆锥的展开图及侧面积【解析】此题暂无解析【解答】解：由三视图可知这个几何体是圆锥，高是，底面半径是，所以母线长是，侧面积.故选．8.【答案】C【考点】二次函数y=ax^2 、y=a （x-h ）^2+k (a≠0)的图象和性质二次函数的性质【解析】根据抛物线的性质由得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为，对称轴为直线，从而可判断抛物线与轴没有公共点．【解答】解：二次函数的图象开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线，抛物线与轴有两个公共点.故选．9.【答案】3−12a −2+a 28a1+a 2=3−3(+1)−2+a 2a 22(1+)a 21+a 2=−3B 4cm 3cm =5(cm)+4232−−−−−−√∴=π×3×5=15π(c )m 2B a =1(1,2)x =1x y =(x +2−3)2(−2,−3)x =−2x CA【考点】根的判别式【解析】【解答】解：根据题意可知分式，分数中分母不能为，所以，所以，.故选.10.【答案】C【考点】勾股定理垂径定理【解析】先由垂径定理得＝＝，再由勾股定理求出＝，即可得出答案．【解答】∵弦于点，∴＝＝，＝，∴＝＝＝，∴＝＝，11.【答案】C【考点】圆周角定理圆心角、弧、弦的关系=0a −2−−−−√−2a 20=0a −2−−−−√a −2=0a =2A CE DE CD DE 8CD ⊥AB E CE DE CD ∠OED 90∘DE 8CD 2DE 16【解析】此题暂无解析【解答】解：连接，如图所示，因为点为的中点，所以，因为，所以，故选．二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）12.【答案】，【考点】解一元二次方程-因式分解法【解析】首先移项，再提取公因式，即可将一元二次方程因式分解，即可得出方程的解．【解答】解：∵，∴，，解得：，．故答案为：，．13.【答案】或【考点】勾股定理垂径定理OC C BDˆ∠BCO =∠OCD =70∘OC =OB ∠ABC =∠BCO =70∘C =0x 1=2x 2=2x x 2−2x =0x 2x(x −2)=0=0x 1=2x 2=0x 1=2x 2177平行线之间的距离【解析】分两种情况进行讨论：①弦和在圆心同侧；②弦和在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可，小心别漏解．【解答】过作于，交于，∵，∴，①当弦和在圆心同侧时，如图，∵＝，＝，∴＝，＝，∵＝＝，∴＝，＝，∴＝＝；②当弦和在圆心异侧时，如图，∵＝，＝，∴＝，＝，∵＝＝，∴＝，＝，∴＝＝．∴与之间的距离为或．14.【答案】①③④【考点】二次函数的性质抛物线与x 轴的交点二次函数图象与几何变换二次函数图象上点的坐标特征轴对称——最短路线问题【解析】①把＝代入＝中，判断所得一元二次方程的根的情况便可得判断正确；②根据二次函数的性质进行判断；③根据平移的公式求出平移后的解析式便可；④因边一定，只要其他三边和最小便可，作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接，与轴、轴分别交于、点，求出便是其他三边和的最小值．【解答】解：①把代入中，AB CD AB CD O OM ⊥AB M OM CD N AB //CD ON ⊥CD AB CD 1AB 24cm CD 10cm AE 12cm CF 5cm OA OC 13cm EO 5cm OF 12cm EF 12−57cm AB CD 2AB 24cm CD 10cm AE 12cm CF 5cm OA OC 13cm EO 5cm OF 12cm EF OF +OE 17cm AB CD 7cm 17cm y m +2y −+2x +m +1x 2BC B y B'C x C'B'C'x y D E B'C'y =m +2y=−+2x +m +1x 2−2x +1=2得，∵，∴此方程有两个相等的实数根，则抛物线与直线有且只有一个交点，故此小题结论正确；②∵抛物线的对称轴为，∴点关于的对称点为.∵，∴当时，随增大而增大.又∵，点、点、点在该函数图象上，∴，故此小题结论错误；③将该抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，抛物线的解析式为：，即，故此小题结论正确；④当时，抛物线的解析式为：，∴，，.作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接，与轴、轴分别交于、点，如图，则，根据两点之间线段最短，知最短，而的长度一定，∴此时，四边形周长＝最小，为：，故此小题结论正确.故答案为：①③④.15.【答案】【考点】列代数式求值抛物线与x 轴的交点【解析】根据题意，把点代入可得，然后把代入计算即可求值.−2x +1=x 20Δ=4−4=0y=−+2x +m +1x 2y =m +2x =1P(2,)y 3x =1(0,)P ′y 3a =−1<0x <1y x −2<0<12M(−2,)y 1N(,)12y 2(0,)P ′y 3<<y 1y 3y 222y=−(x +2+2(x +2)+m +1−2)2y=−(x +1+m )2m =1y =−+2x +2x 2A(0,2)C(2,2)B(1,3)B y (−1,3)B ′C x (2,−2)C ′B ′C ′x y D E BE +ED +CD +BC =E +ED +D +BC B ′C ′=+BC B ′C ′B ′C ′BC BCDE +BC B ′C ′++B ′M 2C ′M 2−−−−−−−−−−−−√B +C M 2M 2−−−−−−−−−−−√=++3252−−−−−−√+1212−−−−−−√=+34−−√2–√6(m,0)y =−x −1x 2−m =1m 2−m =1m 2−m +5m 2【解答】解：∵抛物线与轴的一个交点为，∴.∴.∴.故答案为：.三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）16.【答案】解：,令,,当，,∴，，∴在上单调递增，当时， ，得当，，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，，∴，在递增;综上：当时， 在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减．证明：当时， ，，令，，，在上递减， ，，∴.解：∵，∴,∴,∴,y =−x −1x 2x (m,0)−m −1=0m 2−m =1m 2−m +5m 2=1+5=66(1)(x)=(x >0)f ′−2(a −1)x +1x 2x(x +1)2p (x)=−2(a −1)x +1(x >0)x 2Δ=4a (a −2)(1)0≤a ≤2Δ≤0p (x)>0(x)≥0f ′f (x)(0,+∞)a >2Δ>0{+=2(a −1)>0,x 1x 2=1>0,x 1x 2{=a −1−,x 1−2a a 2−−−−−−√=a −1+,x 2−2a a 2−−−−−−√x ∈(0,a −1−)−2a a 2−−−−−−√x ∈(a −1+,+∞)−2a a 2−−−−−−√(x)>0f ′f (x)x ∈(a −1−,a −1+)−2a a 2−−−−−−√−2a a 2−−−−−−√(x)<0f ′f (x)a <0x 1<0x 2(x)>0f ′f (x)(0,+∞)a ≤2f (x)(0,+∞)a >2f (x)(0,a −1−)−2a a 2−−−−−−√(a −1+,+∞)−2a a 2−−−−−−√(a −1−,a −1+)−2a a 2−−−−−−√−2a a 2−−−−−−√(2)a >2(f ()+f ())=012x 1x 2f ()=f (a −1)=ln(a −1)−(a −2)+x 1x 22a −1=x u (x)=ln x −(x −1)(x >1)(x)=−1<0u ′1x u (x)(1,+∞)u (x)<u (1)=0f ()<0+x 1x 22>f ()f ()+f ()x 1x 22+x 1x 22(3)ln x <x −1ln(x +1)<x ln(1+)<12n 12n ln(1+)+⋯+ln(1+)<++⋯+1212n 1212212n =1−<112n1+)(1+)⋯(1+)<e 111∴. ∵,又递增，∴，∴.【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究不等式恒成立问题其他不等式的解法【解析】无无无【解答】解：,令,,当，,∴，，∴在上单调递增，当时， ，得当，，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，，∴，在递增;综上：当时， 在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减．证明：当时， ，，令，，，(1+)(1+)⋯(1+)<e 1212212n (1+)(1+)(1+)=>21212212313564(1+)(1+)⋯(1+)1212212n (1+)⋯(1+)∈(2,e)12112n =3m min (1)(x)=(x >0)f ′−2(a −1)x +1x 2x(x +1)2p (x)=−2(a −1)x +1(x >0)x 2Δ=4a (a −2)(1)0≤a ≤2Δ≤0p (x)>0(x)≥0f ′f (x)(0,+∞)a >2Δ>0{+=2(a −1)>0,x 1x 2=1>0,x 1x 2{=a −1−,x 1−2a a 2−−−−−−√=a −1+,x 2−2a a 2−−−−−−√x ∈(0,a −1−)−2a a 2−−−−−−√x ∈(a −1+,+∞)−2a a 2−−−−−−√(x)>0f ′f (x)x ∈(a −1−,a −1+)−2a a 2−−−−−−√−2a a 2−−−−−−√(x)<0f ′f (x)a <0x 1<0x 2(x)>0f ′f (x)(0,+∞)a ≤2f (x)(0,+∞)a >2f (x)(0,a −1−)−2a a 2−−−−−−√(a −1+,+∞)−2a a 2−−−−−−√(a −1−,a −1+)−2a a 2−−−−−−√−2a a 2−−−−−−√(2)a >2(f ()+f ())=012x 1x 2f ()=f (a −1)=ln(a −1)−(a −2)+x 1x 22a −1=x u (x)=ln x −(x −1)(x >1)(x)=−1<0u ′1x()<0在上递减， ，，∴.解：∵，∴,∴,∴,∴. ∵,又递增，∴，∴.17.【答案】解：根据题意得，.花园面积可以到达平方米. 平方米时，即 解得， ，（舍去），，答:花园的长和宽各是18米和10米.【考点】一元二次方程的应用——几何图形面积问题二次函数的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：根据题意得，u (x)(1,+∞)u (x)<u (1)=0f ()<0+x 1x 22>f ()f ()+f ()x 1x 22+x 1x 22(3)ln x <x −1ln(x +1)<x ln(1+)<12n 12n ln(1+)+⋯+ln(1+)<++⋯+1212n 1212212n =1−<112n(1+)(1+)⋯(1+)<e 1212212n (1+)(1+)(1+)=>21212212313564(1+)(1+)⋯(1+)1212212n (1+)⋯(1+)∈(2,e)12112n =3m min (1)S =x()=−+16x(0<x ≤20)48−x 313x 2(2)180S =180−+16x =18013x 2=18a 1=30x 2==1048−x 348−183(1)=x()=−+16x(0<x ≤20)48−x 1.花园面积可以到达平方米.平方米时，即 解得， ，（舍去），，答:花园的长和宽各是18米和10米.18.【答案】∵四边形是正方形，∴＝＝，＝＝，∴＝，∵＝，∴＝，∴＝，∴＝＝，∴＝，连接，如图：∵＝，∴＝，在中，＝，即＝，解得：，则正方形的边长为．【考点】圆心角、弧、弦的关系正方形的性质【解析】证出是等腰直角三角形，得出＝，求出＝，连接，得出＝，再根据勾股定理求出的长即可．【解答】∵四边形是正方形，S =x()=−+16x(0<x ≤20)48−x 313x 2(2)180S =180−+16x =18013x 2=18a 1=30x 2==1048−x 348−183ABCD ∠ABC ∠BCD 90∘AB BC CD ∠DCO 90∘∠POM 45∘∠CDO 45∘CD CO BO BC +CO BC +CD BO 2AB AO MN 10AO 5Rt △ABO A +B B 2O 2AO 2A +(2AB B 2)252AB =5–√ABCD 5–√△DCO DC CO BO 2AB AO AO 5AB ABCD ∠ABC ∠BCD 90∘AB BC CD∴＝＝，＝＝，∴＝，∵＝，∴＝，∴＝，∴＝＝，∴＝，连接，如图：∵＝，∴＝，在中，＝，即＝，解得：，则正方形的边长为．19.【答案】∵是关于的方程的一个根，∴，∴，∴，∴．【考点】一元二次方程的解【解析】根据是关于的方程的一个根，将代入方程变形即可求得所求式子的值．【解答】∵是关于的方程的一个根，∴，∴，∴，∴．20.【答案】,∵，∴设，则，．∠ABC ∠BCD 90∘AB BC CD ∠DCO 90∘∠POM 45∘∠CDO 45∘CD CO BO BC +CO BC +CD BO 2AB AO MN 10AO 5Rt △ABO A +B B 2O 2AO 2A +(2AB B 2)252AB =5–√ABCD 5–√x =2x −mx −4=0x 2m 2−2m −4=022m 24=4+2m m 22=m(2m +1)m(2m +1)=2x =2x −mx −4=0x 2m 2x =2x =2x −mx −4=0x 2m 2−2m −4=022m 24=4+2m m 22=m(2m +1)m(2m +1)=2△ADF ≅△EDF △BEF ∼△CDE(2)BE ∶EC =1∶4BE =x EC =4x AD =BC =DE =5x CD =9∵，∴，∴，．由知，∴，∴，∴．，∴．∵，∴可设，，则，∴.∵，∴．【考点】翻折变换（折叠问题）相似三角形的判定相似三角形的性质与判定勾股定理相似三角形的性质【解析】【解答】解：根据折叠的性质，得；，，，.，．故答案为：；.∵，∴设，则，．∵，∴，∴，．由知，CD =9+16=2592x 2x 2x =BE =3EC =12(1)△BEF ∼△CDE =BF CE BE CD =BF 1239BF =4(3)∵△BEF ∼△CDE =EF DE BF CE BE ∶EC =m ∶n BE =mk EC =nk DE =AD =BC =BE +EC =(m +n)k===EF BF DE CE (m +n)k nk m +n n EF =AF =AF BF m +n n(1)△ADF ≅△EDF ∵∠DEF =∠C =90∘∴∠BEF +∠DEC =90∘∠DEC +∠EDC =90∘∴∠BEF =∠EDC ∵∠B =∠C =90∘∴△BEF ∼△CDE △ADF ≅△EDF △BEF ∼△CDE (2)BE ∶EC =1∶4BE =x EC =4x AD =BC =DE =5x CD =9+16=2592x 2x 2x =BE =3EC =12(1)△BEF ∼△CDE BF BE∴，∴，∴．，∴．∵，∴可设，，则，∴.∵，∴．21.【答案】解：（1）当时，，∴点的坐标为．∵平移后的抛物线顶点为，∴平移后抛物线的解析式为，即．（2）设点的坐标为，则点的坐标为．∵，∴点，关于轴对称，∴，整理，得：，解得：，，∴点的坐标为或．（3）当时，，解得：，，∴点的坐标为．设直线的解析式为，将，代入，得：，解得：，∴直线的解析式为．联立直线与平移后的抛物线解析式成方程组，得：，解得：，，∴点的坐标为．设点的坐标为，∵点的坐标为，点的坐标为，∴，，．①当时，，即，=BF CE BE CD=BF 1239BF =4(3)∵△BEF ∼△CDE =EF DE BF CE BE ∶EC =m ∶n BE =mk EC =nk DE =AD =BC =BE +EC =(m +n)k ===EF BF DE CE (m +n)k nk m +n n EF =AF=AF BF m +n n x =0y =−+2x −1=−1x 2B (0,−1)E(1,4)y =−(x −1+4)2y =−+2x +3x 2M (x,−+2x −1)x 2N (x,−+2x +3)x 2OM =ON M N x −+2x −1=−(−+2x +3)x 2x 2−2x −1=0x 2=1−x 12–√=1+x 22–√M (1−,−2)2–√(1+,−2)2–√y =0−+2x +3=0x 2=−1x 1=3x 2C (−1,0)CB y =kx +b(k ≠0)B(0,−1)C(−1,0)y =kx +b {b =−1−k +b =0{k =−1b =−1CB y =−x −1CB {y =−x −1y =−+2x +3x 2{=−1x 1=0y 1{=4x 2=−5y 2F(4,−5)P (1,m)C (−1,0)F (4,−5)C =[4−(−1)+(−5−0=50F 2]2)2C =[1−(−1)+(m −0=+4P 2]2)2m 2P =(4−1+(−5−m =+10m +34F 2)2)2m 2∠PCF =90∘P =C +C F 2F 2P 2+10m +34=50++4m 2m 2解得：，∴点的坐标为 ；②当时，，即，解得：，∴点的坐标为；③当时，，即，解得：，，∴点的坐标为或．综上所述：在抛物线的对称轴上存在点，使得以，，为顶点的三角形是直角三角形，点的坐标为，，或．【考点】二次函数与一次函数的综合二次函数图象上点的坐标特征【解析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与变换、等腰三角形的性质、解一元一次（二次）方程、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、两点间的距离以及勾股定理．【解答】解：（1）当时，，∴点的坐标为．∵平移后的抛物线顶点为，∴平移后抛物线的解析式为，即．（2）设点的坐标为，则点的坐标为．∵，∴点，关于轴对称，∴，整理，得：，解得：，，∴点的坐标为或．（3）当时，，解得：，，∴点的坐标为．设直线的解析式为，将，代入，得：，m =2P (4,2)∠CFP =90∘C =C +P P 2F 2F 2+4=50++10m +34m 2m 2m =−8P (4,−8)∠CPF =90∘C =C +P F 2P 2F 250=+4++10m +34m 2m 2=−6m 1=1m 2P (1,−6)(1,1)P C F P P (1,−8)(1,−6)(1,1)(1,2)x =0y =−+2x −1=−1x 2B (0,−1)E(1,4)y =−(x −1+4)2y =−+2x +3x 2M (x,−+2x −1)x 2N (x,−+2x +3)x 2OM =ON M N x −+2x −1=−(−+2x +3)x 2x 2−2x −1=0x 2=1−x 12–√=1+x 22–√M (1−,−2)2–√(1+,−2)2–√y =0−+2x +3=0x 2=−1x 1=3x 2C (−1,0)CB y =kx +b(k ≠0)B(0,−1)C(−1,0)y =kx +b {b =−1−k +b =0解得：，∴直线的解析式为．联立直线与平移后的抛物线解析式成方程组，得：，解得：，，∴点的坐标为．设点的坐标为，∵点的坐标为，点的坐标为，∴，，．①当时，，即，解得：，∴点的坐标为 ；②当时，，即，解得：，∴点的坐标为；③当时，，即，解得：，，∴点的坐标为或．综上所述：在抛物线的对称轴上存在点，使得以，，为顶点的三角形是直角三角形，点的坐标为，，或．{k =−1b =−1CB y =−x −1CB {y =−x −1y =−+2x +3x 2{=−1x 1=0y 1{=4x 2=−5y 2F (4,−5)P (1,m)C (−1,0)F (4,−5)C =[4−(−1)+(−5−0=50F 2]2)2C =[1−(−1)+(m −0=+4P 2]2)2m 2P =(4−1+(−5−m =+10m +34F 2)2)2m 2∠PCF =90∘P =C +C F 2F 2P 2+10m +34=50++4m 2m 2m =2P (4,2)∠CFP =90∘C =C +P P 2F 2F 2+4=50++10m +34m 2m 2m =−8P (4,−8)∠CPF =90∘C =C +P F 2P 2F 250=+4++10m +34m 2m 2=−6m 1=1m 2P (1,−6)(1,1)P C F P P (1,−8)(1,−6)(1,1)(1,2)。
2022-2023学年人教A版高一上数学期中试卷(含解析)
2022-2023学年高中高一上数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 设集合，，若，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.2. 若，则下列不等式中成立的是（）A.B.C.D.3. 函数的最大值为( )A.B.C.D.A ={(x,y)≤+≤}∣∣m2(x −2)2y 2m 2B ={(x,y)|2m ≤x +y ≤2m +1}A ∩B ≠∅m [,2+]122–√[2−,2+]2–√2–√[1+,+∞]2–√2∅a <b <0>1a −b 1aa +>b +1b 1a<b a b −1a −1>(1−a)a (1−b)by =3−−x(x >0)4x −11−55y =x −ln 2()4. 函数的图象大致为 A.B. C. D.5. 关于抛物线，下面几点结论中，正确的有( )①当时，对称轴左边随的增大而减小，对称轴右边随的增大而增大，当时，情况相反．②抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点．③只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同．④一元二次方程的根，就是抛物线与轴交点的横坐标．A.①②③④B.①②③C.①②D.①6. 已知，则指数函数①，②的图象为（ ） A.y =x −ln x 2()y =a +bx +c(a ≠0)x 2a >0y x y x a <0a +bx +c =0x 2(a ≠0)y =a +bx +c x 2x 1>n >m >0y =m x y =n xB. C. D.7. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是( )A.B.C.D.8. 已知是定义在上的奇函数，在上是增函数，且．则使得成立的的取值范围是 A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 设，，若，则实数的值可以为( )A.B.C.D.f(x)=+a |x −1|x 2[0,+∞)a (−∞,0][−2,0][1,2][−2,+∞)f(x)R (0,+∞)f (−4)=0xf (x)>0x ()(−4,4)(−4,0)∪(0,4)(0,4)∪(4,+∞)(−∞,−4)∪(4,+∞)A ={x|−x −2=0}x 2B ={x|mx −1=0}A ∩B =B m 12−1−12y =(α∈R)α(2,8)10. 已知幂函数的图象过点，下列说法正确的是（ ）A.函数的图象过原点B.函数是偶函数C.函数是单调减函数D.函数的值域为11. 已知函数若关于Ⅰ的方程恰有个不同的实数解，则关于的方程的正整数解的取值可能是A.1B.2C.3D.412. 已知函数，则( )A.B.若有两个不相等的实根，，则C.D.若，，均为正数，则卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 命题“，，使得”的否定形式是________．14. 已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是________．15. 函数的值域为________．16. 如图，一块边长为的正方形区域，在处有一个可转动的探照灯，其照射角始终为，记探照灯照射在正方形内部区域（阴影部分）的面积为，剩余部分面积为．则y =(α∈R)x α(2,8)y =x αy =x αy =x αy =x αRf (x)={−−4x −2,x ≤1x 2ln x +1,x >1,f (x)=m 3,x 1x 2(<<)x 3x 1x 2x 3π=−(−−4)(−1)e n−1+x 1x 14x 21x 1x 3f (x)=ln x xf (2)>f (5)f (x)=m x 1x 2<x 1x 2e 2ln 2>2e−−√=2x 3y x y 2x >3y ∀x ∈R ∃n ∈N ∗n ≤+23x f(x)=(−ax +3a)log 12x 2[2,+∞)a y =x +(4−x)log 2log 2a ABCD A ∠MAN π4ABCD S 1S 2S的最小值为________ . 四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ） 17. 求值与化简.；． 18. 已知集合＝，＝．（1）若＝，则；（2）若＝，求实数的取值范围． 19. 已知函数，其中是常数．若是奇函数，求的值；求证：是单调增函数．20.假如你的公司计划购买台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．在购进机器时，可以一次性额外购买几次维修服务，每次维修服务费用元，另外实际维修一次还需向维修人员支付小费，小费每次元．在机器使用期间，如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，则每维修一次需支付维修服务费用元，无需支付小费．现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务，为此搜集并整理了台这种机器在三年使用期内的维修次数，得下面统计表：维修次数频数记表示台机器在三年使用期内的维修次数，表示台机器在维修上所需的费用（单位：元），表示购机的同时购买的维修服务次数．（1）若，求与的函数解析式；（2）若要求“维修次数不大于”的频率不小于，求的最小值；（3）假设这台机器在购机的同时每台都购买次维修服务，或每台都购买次维修服务，分别计算这台机器在维修上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买台机器的同时应购买次还是次维修服务？ 21. 函数，且，当是函数图象上的点时，是函数图象上的点．S 2S 1(1)(1)+(−791232)−1(−23–√)2−−−−−−−−√(2)+−9×22lg6−lg31+lg0.36+lg8121324log 2log 2log 3A {x |(x +3)≤3}log 2B {x |2m −1<x ≤m +3}m 3A ∪B A ∩B B m f(x)=lg(+2x)4+b x 2−−−−−−√b (1)y =f(x)b (2)y =f(x)120050500100891011121020303010x 1y 1n n =10y x n 0.8n 100101110011011f(x)=(x −3a)(a >0log a a ≠1)P(x,y)y =f(x)Q(x −a,−y)y =g(x)y =g(x)（I）求函数的解析式；（II）当时，恒有，试确定的取值范围．22. （1）求函数＝的最大值；（2）若，，，＝，求的最小值．y=g(x)x∈[a+3,a+4]f(x)−g(x)≤1a f(x)|2x−1|−|2x+3|ma>1b>1c>1a+b+c m参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一上数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】C【考点】不等式性质的应用不等式比较两数大小不等式的基本性质【解析】利用不等式的性质，结合特值法，作差法逐项判定即可.【解答】解：对于， ，则，∴，即，则不成立；对于，，则，A a <b <0a −b <0−==<01a −b 1a a −a +b a (a −b)b a (a −b)<1a −b 1a A B a <b <0<<01b 1a+<b +<011∴，则不成立；对于，，则，，∴，则成立；对于，若,时，不成立.故选.3.【答案】A【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：由题，，令，当且仅当，即时，有最小值..函数的最大值为.故选.4.【答案】A【考点】函数图象的作法函数的图象【解析】a +<b +<01b 1a B C a <b <0a −b <0a (a −1)>0−=<0b a b −1a −1a −b a (a −1)C D a =−2b =−1C y =3−−x 4x ∴y =3−(+x)4xt =+x ≥2⋅=44x ⋅x 4x−−−−√=x 4xx =2(x >0)t 4∴y =3−t ≤3−4=−1∴−1A此题暂无解析【解答】解：，讨论：当时，，；当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增；当时，，令，引入 ，，∴当时，，∴函数在上单调递减，∴函数在上单调递增.故选.5.【答案】A【考点】二次函数的性质【解析】利用二次函数的性质逐一判断后即可确定正确的选项．【解答】解：①当时，对称轴左边随的增大而减小，对称轴右边随的增大而增大，当时，情况相反，正确；②抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的定点，正确；③只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同，正确；④一元二次方程的根，就是抛物线与轴交点的横坐标，正确.故选.6.【答案】C【考点】指数函数的性质y =x −ln x 2x >0y =x−2ln x ∴=1−=y ′2x x −2x 0<x <2<0y ′x >2>0y ′y =x −ln x 2(0,2)(2,+∞)x <0y =x −2ln(−x)−x =t(t >0)G(t)=−t−2ln t(t >0)∴(t)=−1−G ′2t t >0(t)G ′<0G(t)=−t −2ln t (0,+∞)y =x −2ln(−x)(−∞,0)A a >0y x y x a <0a +bx +c =0x 2(a ≠0)y =a +bx +c x 2x A【解析】利用指数函数底数的大小与单调性的关系去判断．【解答】解：由可知①②应为两条递减指数函数曲线，故只可能是选项或，进而再判断①②与和的对应关系，不妨选择特殊点，令，则①②对应的函数值分别为和，由知选．故选：．7.【答案】B【考点】二次函数的性质【解析】去绝对值原函数变成：，由已知条件知，函数在单调递增，在单调递增，所以，解该不等式组即得的取值范围．【解答】解：，要使在上单调递增，则：，解得：，∴实数的取值范围是．故选．8.【答案】D【考点】其他不等式的解法函数奇偶性的性质a 1>n >m >0C D n m x =1m n m <n C C f(x)={+ax −a x 2−ax +a x 2x ≥1x <1+ax −a x 2[1,+∞)−ax +a x 2[0,1) −≤1a 2≤0a 2a f(x)=+a |x −1|={x 2+ax −a ，x ≥1x 2−ax +a ，x <1x 2f(x)[0,+∞) −≤1a 2≤0a 2−2≤a ≤0a [−2,0]B函数单调性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：函数是定义在上的奇函数，在上为增函数，在上为增函数，，或的取值范围是.故选.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,B,C【考点】交集及其运算集合关系中的参数取值问题【解析】由题意：，可得，那么有可能是空集或是的真子集．【解答】解：，由，可得，当时，，满足；当时， ，要使，则或，∴或，解得或，综上所述，实数的值可以为，或.故选．10.∵f(x)R (0,+∞)(−∞,0)f(0)=0∴{x <0，f(x)<f(−4)，{x >0，f(x)>f(4)，∴x (−∞,−4)∪(4,+∞)D A ∩B =B B ⊆A B B A A ={x|−x −2=0}={−1,2}x 2A ∩B =B B ⊆A m =0B =∅B ⊆A m ≠0B ={x|mx −1=0}={}1m B ⊆A B ={−1}B ={2}=−11m =21m m =−1m =12m 0−112ABC【答案】A,D【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】利用函数过点解得解析式，再逐项判定函数的性质.【解答】解：由题设幂函数过，所以得，，故幂函数为，函数过原点，值域为，故正确.函数为奇函数，且为单调增函数，故错误.故选.11.【答案】A,B【考点】函数单调性的性质函数单调性的判断与证明【解析】此题暂无解析【解答】【解析】在同一平面直角坐标系中作出的函数图像如下图所示：当时，，当时，，所以由图像可知当时，关于～的方程恰有个不同实数解，又，所以，又所以，y =x α(2,8)8=2αα=3y =x 3y =x 3R AD y =x 3BC AD AB y =f (x)y =m x ≤1y =−+2≤2(x +2)2x >1y =ln x+1>1m ∈(1,2)f (x)=m 3+=2×(−2)=x 1x 2−4,−−4−2=ln +1x 21x 1x 3=−e x−1+x 1x 24(−−4)(−1)=(ln +3)(−1)x 21x 1x 3x 3x 3m ∈(1,2)ln +1∈(1,2)x 3∈(1,e)g(x)=(ln x+(x −1)(x ∈(1,e)所以．设3），所以，显然在区间内单调递增，所以，所以在区间内单调递增，所以，即，所以，且，所以可取，．故选项．12.【答案】A,D【考点】利用导数研究函数的单调性函数的零点利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的最值指数函数的性质【解析】求出导函数，由导数确定函数日单调性，极值，函数的变化趋势，然后根据函数的性质判断各选项，由对数函数的单调性及指数函数单调性判断，由函数性质判断，设 ，且均为正数，求得，再由函数性质判断．【解答】解：由得：，令得， ，当变化时，，变化如表： 单调递增极大值单调递减故在上单调递增，在上单调递减，则是极大值也是最大值.，，，因为，所以 ，所以，故正确；∈(1,e)r 3g(x)=(ln x+(x −1)(x ∈(1,e)(x)=+ln x +3=g ′x −1x ln x −+41x (x)g ′(1,e)(x)>(1)=3>0g ′g ′g(x)(1,e)g(x)∈(g(1),g(e))g(x)∈(0,4e −4)∈(0,4e −4)e x−11<e <4e −4<e 3n 12AB A f (x)B,C ==k 2x 3y x,y 2x =ln k,3y =ln k 2ln 23ln 3f (x)D f (x)=(x >0)ln x x (x)=f ′1−ln x x 2(x)=0f ′x =e x (x)f ′f (x)x(0,e)e (e,+∞)(x)f ′+0−f (x)1e f (x)=ln x x (0,e)(e,+∞)f (e)=1e A f (2)==ln ln 22212f (5)=ln 515=>=()2121025()5151052>212515f (2)>f (5)A，不妨设，则要证： ，即要证： ，因为，所以，因为在上单调递增，所以只需证 ，只需证 ，①令， ，则，当时，，，所以，则在上单调递增，因为，所以 ，即 ，这与①矛盾，故错误；，因为，且在上单调递增，所以，所以 ，所以，所以 ，故错误；，设，且，均为正数，则，，所以，，因为，，，所以，所以，则 ，故正确．故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】，，使得【考点】命题的否定B 0<<e <x 1x 2<x 1x 2e 2<x 1e 2x 2>e x 2<e e 2x 2f (x)(0,e)f ()<f ()x 1e 2x 2f ()−f ()<0x 2e 2x 2g(x)=f (x)−f ()e 2x x >e (x)=(ln x −1)(−)g ′1e 21x 2x >e ln x >1>1e 21x 2(x)>0g ′g(x)(e,+∞)>e x 2g()>g(e)=0x 2f ()−f ()>0x 2e 2x 2B C <<e 2–√e √f (x)(0,e)f ()<f ()2–√e √<ln 2–√2ln e √e <ln 2122–√lne 12e √ln 2<2e −−√C D ==k 2x 3y x y x =k =log 2ln k ln 2y =k =log 3ln k ln 32x =ln k 2ln 23y =ln k 3ln 3=ln ln 22212=ln ln 33313<212313<ln 22ln 33>2ln 23ln 32x >3y D AD ∃x ∈R ∀n ∈N ∗n >+23x【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答14.【答案】【考点】复合函数的单调性【解析】令 由题意可得 在上是增函数，它的对称轴，且，由此求得实数的取值范围．【解答】解：令，由函数在上是减函数，可得 在上是增函数，故有对称轴，且．解得，故答案为：．15.【答案】【考点】对数函数的值域与最值对数的运算性质【解析】由对数的真数大于可得函数的定义域，将函数解析式化成后，考虑这个二次函数的值域，即可得出结论．【解答】解：∵函数中，且，故的定义域是；∵函数(−4,4]t(x)=−ax +3a x 2t(x)=−ax +3a x 2[2,+∞)x =≤2a 2t(2)=4−2a +3a >0a t(x)=−ax +3a x 2f(x)=(−ax +3a)log 12x 2[2,+∞)t(x)=−ax +3a x 2[2,+∞)x =≤2a 2t(2)=4−2a +3a >0−4<a ≤4(−4,4](−∞,2]0[x(4−x)]log 2x(1−x)f(x)=x +(4−x)log 2log 2x >04−x >0f(x)(0,4)f(x)=x +(4−x)=[x(4−x)]log 2log 2log 2∵，∴∴，∴函数的值域为．故答案为：16.【答案】【考点】基本不等式在最值问题中的应用两角和与差的正切公式函数最值的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：设，，则，∴，，∴，设，，当且仅当时取等号成立，因为是定值，所以最小时，同时取到最大值，的最小值为.故答案为：.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）0<x <40<x(4−x)≤[=4x +(4−x)2]2[x(4−x)]≤2log 2y =x +(4−x)log 2log 2(−∞,2](−∞,2]2–√2∠BAM =αα∈[0,]π4|=tan α|BM||AB||BM|=atan α∠DAN =−απ4|DN|=a tan(−α)=()a π41−tan α1+tan αtan α=t,0≤t ≤1=|AB|⋅|BM|+|AD|⋅|DN|S 21212=(t +)=(t +−1)a 221−t1+t a 2221+t =(t +1+−2)≥(2−2)a 2221+t a 22(t +1)×21+t −−−−−−−−−−−−√=(−1)a 22–√t =−12–√+S 2S 1a 2S 2S1S 2S 1=(−1)a 22–√−(−1)a 2a 22–√2–√22–√217.【答案】解：；．【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值对数的运算性质【解析】（1）化带分数为假分数，化负指数为正指数，再由有理指数幂的运算性质求解；（2）直接利用对数的运算性质化简求值．【解答】解：；．18.【答案】若＝，则＝，依题意，＝＝＝，(1)(1)+(−791232)−1(−23–√)2−−−−−−−−√=(+−(2−)169)12233–√=+−2+43233–√=3–√(2)+−9×22lg6−lg31+lg0.36+lg8121324log 2log 2log 3=+4−23×2lg36−lg31+lg0.6+lg2log 2log 3=+4−2lg12lg12=3(1)(1)+(−791232)−1(−23–√)2−−−−−−−−√=(+−(2−)169)12233–√=+−2+43233–√=3–√(2)+−9×22lg6−lg31+lg0.36+lg8121324log 2log 2log 3=+4−23×2lg36−lg31+lg0.6+lg2log 2log 3=+4−2lg12lg12=3m 3B {x |5<x ≤8}A {x |(x +3)≤4}log 2{x |(x +3)≤8}log 2log 2{x |−3<x ≤7}A ∪B {x |−3<x ≤6}故＝．因为＝，故，若，即时，符合题意；若，即时，，综上所述，实数的取值范围为：．【考点】交集及其运算并集及其运算【解析】（1）将＝代入可得集合，解对数不等式可得集合，由并集运算即可求解；（2）由＝可知为的子集，分类讨论，当＝，符合题意；当不为空集时，由不等式关系即可求解的取值范围．【解答】若＝，则＝，依题意，＝＝＝，故＝．因为＝，故，若，即时，符合题意；若，即时，，综上所述，实数的取值范围为：．19.【答案】解：设的定义域为，∵是奇函数，∴对任意，有，得，此时，，为奇函数．证明：设定义域内任意，令，则当时，总有，，，∴，A ∪B {x |−3<x ≤6}A ∩B B B ⊆A 3m −1≥m +3m ≥62m −1<m +4m <4m [−1,+∞)m 3B A A ∩B B B A B ∅B m m 3B {x |5<x ≤8}A {x |(x +3)≤4}log 2{x |(x +3)≤8}log 2log2{x |−3<x ≤7}A ∪B {x |−3<x ≤6}A ∩B B B ⊆A 3m −1≥m +3m ≥62m −1<m +4m <4m [−1,+∞)(1)y =f(x)D y =f(x)x ∈D f(x)+f(−x)=0b =1f(x)=lg(+2x)4+1x 2−−−−−−√D =R (2)<x 1x 2h(x)=+2x 4+b x 2−−−−−−√h()−h()=+2−−2x 1x 24+b x 21−−−−−−√x 14+b x 22−−−−−−√x 2=2[+−]2−2x 21x 22+4+b x 21−−−−−−√4+b x 22−−−−−−√x1x 2=2(−)[+1]x 1x22(+)x1x 2+4+b x 21−−−−−−√4+bx 22−−−−−−√b ≤00<<x 1x 2≤24+b x 21−−−−−−√x 1≤24+b x 22−−−−−−√x 2≥12(+)x 1x 2+4+b x 21−−−−−−√4+bx 22−−−−−−√h()<h()得，当时，∵，，，∴，得，故总有在定义域上单调递增．【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的判断与证明【解析】（1）根据函数的奇偶性以及对数函数的性质求出的值即可；（2）根据函数单调性的定义判断函数的单调性即可．【解答】解：设的定义域为，∵是奇函数，∴对任意，有，得，此时，，为奇函数．证明：设定义域内任意，令，则当时，总有，，，∴，得，当时，∵，，，∴，得，故总有在定义域上单调递增．20.【答案】h()<h()x 1x 2b >0−<0x 1x 2>24+b x 21−−−−−−√x 1>24+b x 22−−−−−−√x 2−1<<12(+)x 1x 2+4+b x 21−−−−−−√4+bx 22−−−−−−√h()<h()x 1x 2f(x)b (1)y =f(x)D y =f(x)x ∈D f(x)+f(−x)=0b =1f(x)=lg(+2x)4+1x 2−−−−−−√D =R (2)<x 1x 2h(x)=+2x 4+b x 2−−−−−−√h()−h()=+2−−2x 1x 24+b x 21−−−−−−√x 14+b x 22−−−−−−√x 2=2[+−]2−2x 21x 22+4+b x 21−−−−−−√4+bx 22−−−−−−√x 1x 2=2(−)[+1]x 1x 22(+)x 1x 2+4+b x 21−−−−−−√4+b x 22−−−−−−√b ≤00<<x 1x 2≤24+b x 21−−−−−−√x 1≤24+b x 22−−−−−−√x 2≥12(+)x 1x 2+4+b x 21−−−−−−√4+bx 22−−−−−−√h()<h()x 1x 2b >0−<0x 1x 2>24+b x 21−−−−−−√x 1>24+b x 22−−−−−−√x 2−1<<12(+)x 1x 2+4+b x 21−−−−−−√4+bx 22−−−−−−√h()<h()x 1x 2f(x)={200×10+50x ，x ≤10，解：（1）即．（2）因为“维修次数不大于”的频率，“维修次数不大于”的频率，所以若要求“维修次数不大于”的频率不小于，则的最小值为．（3）若每台都购买次维修服务，则有下表：维修次数频数费用此时这台机器在维修上所需费用的平均数为（元）．若每台都购买次维修服务，则有下表：维修次数频数费用此时这台机器在维修上所需费用的平均数为（元）．因为，所以购买台机器的同时应购买次维修服务．【考点】函数模型的选择与应用y ={200×10+50x ，x ≤10，250×10+500(x −10)，x >10，y ={50x +2000，x ≤10，500x −2500，x >10，x ∈N 10==0.6<0.810+20+3010011==0.9≥0.810+20+30+30100n 0.8n 1110x891011121020303010y 24002450250030002500100=y 12400×10+2450×20+2500×30+3000×30+3500×10100=273011x891011121020303010y 26002650270027503250100=y 22600×10+2650×20+2700×30+2750×30+3250×10100=2750<y 1y 2110函数的最值及其几何意义频率分布直方图【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）即．（2）因为“维修次数不大于”的频率，“维修次数不大于”的频率，所以若要求“维修次数不大于”的频率不小于，则的最小值为．（3）若每台都购买次维修服务，则有下表：维修次数频数费用此时这台机器在维修上所需费用的平均数为（元）．若每台都购买次维修服务，则有下表：维修次数频数费用此时这台机器在维修上所需费用的平均数为y ={200×10+50x ，x ≤10，250×10+500(x −10)，x >10，y ={50x +2000，x ≤10，500x −2500，x >10，x ∈N 10==0.6<0.810+20+3010011==0.9≥0.810+20+30+30100n 0.8n 1110x891011121020303010y 24002450250030002500100=y 12400×10+2450×20+2500×30+3000×30+3500×10100=273011x891011121020303010y 26002650270027503250100=y 22600×10+2650×20+2700×30+2750×30+3250×10100（元）．因为，所以购买台机器的同时应购买次维修服务．21.【答案】解：设是图象上点，，则，∴，∴，∴ ．（II ）令，由，得，由题意知，故，从而，故函数在区间上单调递增，①若，则在区间是单调递减，∴在上的最大值为，在区间上不等式恒成立，等价于不等式成立，从而，解得或，结合．得，．（2）若，则在区间上单调递增，∴上的最大值为，在上不等式恒成立．等价于不等式成立，从而，即，解得．∵，∴不符合．综上可知：的取值范围为．【考点】对数函数图象与性质的综合应用【解析】（I ）设是图象上点，，由此能求出函数的解析式．（II ）令，由，得，所以函数在区间上单调递增，由此能求出的取值范围为．【解答】=2750<y 1y 2110(I)P(,)x 0y 0y =f(x)Q(x,y){x =−a x 0y =−y 0{=x +a x 0=−y y 0−y =(x +a −3a)log a y =log a 1x −2a (x >2a)∅(x)=f(x)−g(x)=[(x −2a)(x −3a)]=[(x −−]log a log a 5a 2)2a 24{x −2a >0x −3a >0x >3a a +3>3a a <32(a +3)−=(a −2)>05a 232∅(x)=(x −−5a 2)2a 24[a +3,a +4]0<a <1∅(x)[a +3,a +4]∅(x)[a +3,a +4]∅(a +3)=(2−9a +9)log a a 2[a +3,a +4]f9x)≤1(2−9a +9)≤1log a a 22−9a +9≥a a 2a ≥5+7–√2a ≤5−7–√20<a <10<a 11<a <32∅(x)[a +3,a +4]∅(a +3,a +4]∅(a +4)=(2−12a +16)log a a 2[a +3,a +4]∅(x)≤1(2−12a +16)≤1log a a 22−12a +16≤a a 22−13a +16≤0a 2<a ≤13−41−−√413+41−−√4>13−41−−√432a (0,1)P(,)x 0y 0y =f(x)Q(x,y)y =g(x)∅(x)=f(x)−g(x)=[(x −2a)(x −3a)]=[(x −−]log a log a 5a 2)2a 24{x −2a >0x −3a >0x >3a ∅(x)=(x −−5a 2)2a 24[a +3,a +4]a (0,1)解：设是图象上点，，则，∴，∴，∴ ．（II ）令，由，得，由题意知，故，从而，故函数在区间上单调递增，①若，则在区间是单调递减，∴在上的最大值为，在区间上不等式恒成立，等价于不等式成立，从而，解得或，结合．得，．（2）若，则在区间上单调递增，∴上的最大值为，在上不等式恒成立．等价于不等式成立，从而，即，解得．∵，∴不符合．综上可知：的取值范围为．22.【答案】由绝对值不等式的性质可得，＝＝，当，且时，取得最大值，所以＝．由（1）知：＝，即＝，由柯西不等式：，当且仅当，等号成立，即的最小值为．【考点】基本不等式及其应用函数的最值及其几何意义【解析】（1）利用绝对值三角不等式，直接求出的最大值；(I)P(,)x 0y 0y =f(x)Q(x,y){x =−a x 0y =−y 0{=x +a x 0=−y y 0−y =(x +a −3a)log a y =log a 1x −2a (x >2a)∅(x)=f(x)−g(x)=[(x −2a)(x −3a)]=[(x −−]log a log a 5a 2)2a 24{x −2a >0x −3a >0x >3a a +3>3a a <32(a +3)−=(a −2)>05a 232∅(x)=(x −−5a 2)2a 24[a +3,a +4]0<a <1∅(x)[a +3,a +4]∅(x)[a +3,a +4]∅(a +3)=(2−9a +9)log a a 2[a +3,a +4]f9x)≤1(2−9a +9)≤1log a a 22−9a +9≥a a 2a ≥5+7–√2a ≤5−7–√20<a <10<a 11<a <32∅(x)[a +3,a +4]∅(a +3,a +4]∅(a +4)=(2−12a +16)log a a 2[a +3,a +4]∅(x)≤1(2−12a +16)≤1log a a 22−12a +16≤a a 22−13a +16≤0a 2<a ≤13−41−−√413+41−−√4>13−41−−√432a (0,1)f(x)|2x −1|−|3x +3|≤|2x −3−2x −3|2(2x −1)(7x +3)≥0|6x −1|≥|2x +2|f(x)2m 4m 4a +b +c 39f(x)M a +b +c a −1+b −1+c −1（2）＝，所以＝，由柯西不等转化求解最小值即可．【解答】由绝对值不等式的性质可得，＝＝，当，且时，取得最大值，所以＝．由（1）知：＝，即＝，由柯西不等式：，当且仅当，等号成立，即的最小值为．a +b +c 4a −1+b −1+c −11f(x)|2x −1|−|3x +3|≤|2x −3−2x −3|2(2x −1)(7x +3)≥0|6x −1|≥|2x +2|f(x)2m 4m 4a +b +c 39。
安徽省六安2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题含解析
六安2023年秋学期高一年级期中考试数学试卷（答案在最后）满分：150分时间：120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是（）A.1x ∃≤，20x x ->B.1x ∀>，20x x -≤C.1x ∃>，20x x -≤D.1x ∀≤，20x x ->【答案】C 【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得解.【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是1x ∃>，20x x -≤.故选：C.2.若12162x A x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，501x B x x ⎧⎫-=≥⎨⎬-⎩⎭，则()R A B =I ð（）A.{}14x x <≤ B.{}14x x ≤< C.{}14x x << D.{}14x x ≤≤【答案】D 【解析】【分析】分别解指数不等式和分式不等式求出集合A 与集合B ，再由补集和交集知识进行求解即可.【详解】由12162x ≤≤，得14222x -≤≤，∵2x y =在R 上单调递增，∴解得14x -≤≤，∴{}1216142x A xx x ⎧⎫=≤≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭，又∵501x x -≥-()()51010x x x ⎧--≥⇔⎨-≠⎩，解得1x <或5x ≥，∴501x B x x ⎧⎫-=≥⎨⎬-⎩⎭{1x x =<或}5x ≥，∴{}15B x x =≤<R ð，又∵{}14A x x =-≤≤，∴(){}14A B x x ⋂=≤≤R ð.故选：D.3.已知p ：12a >，q ：指数函数()()32xf x a =-是增函数，则p 是q 的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件【答案】C 【解析】【分析】求出命题q 中a 的范围，判断两个命题间的充分性与必要性即可.【详解】因为指数函数()()32xf x a =-是增函数，所以3211a a ->⇒>，又p ：12a >，所以p 是q 的必要不充分条件，故选：C4.若0.62a =，30.6b =，0.63c =，则它们的大小关系是（）A.c a b >>B.c b a>> C.a c b>> D.b a c>>【答案】A 【解析】【分析】利用函数0.6y x =和0.6x y =的单调性即可比较.【详解】因为0.6y x =在()0,∞+上单调递增，所以0.60.60.6123<<，即1c a >>又0.6x y =在R 上单调递减，所以300.60.6<，即1b <，综上，c a b >>.故选：A5.若,x y 满足0,0,3x y xy x y >>=+，则3x y +的最小值为（）A.10+B.10+C.12D.16【答案】D 【解析】【分析】利用乘“1”法即可得到答案.【详解】因为3xy x y =+，0,0x y >>，两边同除xy 得131x y+=，所以()133********y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当且仅当4x y ==时等号成立，故选：D .6.已知函数()x f x a b =+的图象如图所示，则函数()()()g x x a x b =--的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数的图象与性质结合函数()x f x a b =+的图象可求得,a b 的范围，再根据二次函数的图象即可得解.【详解】函数()x f x a b =+的图象是由函数x y a =的图象向下或向上平移b 个单位得到的，由函数()x f x a b =+的图象可得函数为单调递减函数，则01a <<，令0x =得()11,0b +∈-，则()2,1b ∈--，则函数()()()g x x a x b =--的大致图象为A 选项.故选：A .7.设定义在()2,2-上的函数()2112x f x x +=-，则使得()()121f x f x +>-成立的实数x 的取值范围是（）A.1,02⎛⎫-⎪⎝⎭B.1,12⎛⎫-⎪⎝⎭C.()0,1 D.()0,2【答案】C 【解析】【分析】利用函数的单调性和奇偶性解不等式即可.【详解】()()()211=2x f x x x f -+=---，且定义域是()2,2-，所以()f x 为偶函数，且2112,x y x y +=-=在()0,2均为增函数，所以()f x 在()0,2为增函数，且()f x 为偶函数，所以()()121f x f x +>-，即1212122212x x x x ⎧+>-⎪-<+<⎨⎪-<-<⎩，解得01x <<.故选：C8.已知函数()f x 满足()()()1f x y f x f y +=++（,R x y ∈），当0x >时，()10f x +>且()12f =，若当[]1,3x ∈时，()()221f ax x f x ++<有解，则实数a 的取值范围为（）A.9,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B.8,9⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C.(),2-∞- D.82,9⎛⎫--⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】证明函数单调递增，变换得到()()231f ax x f +<，根据单调性得到231ax x +<，计算函数最值得到答案.【详解】设12x x <，故()2110f x x -+>，则()()()()()2121112110f x f x f x x x f x f x x -=-+-=-+>，函数单调递增，()()221f ax x f x ++<，即()222f ax x x ++<，即()()231f ax x f +<，即231ax x +<在[]1,3x ∈有解，即221313924a x x x ⎛⎫<-=-- ⎪⎝⎭，2max1398249x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫--=-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，故8,9a ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为{3x x ≤-或}4x ≥，则下列说法正确的是（）A.0a >B.不等式0bx c +>的解集为{}4x x <-C.不等式20cx bx a -+<的解集为{14x x <-或13x ⎫>⎬⎭D.0a b c ++>【答案】AC 【解析】【分析】由题意可得3,4-是方程20ax bx c ++=的两个根，且0a >，然后利用根与系数的关系表示出,b c ，再逐个分析判断即可.【详解】关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为(][),34,-∞-⋃+∞，所以二次函数2y ax bx c =++的开口方向向上，即0a >，故A 正确；且方程20ax bx c ++=的两根为－3、4，由韦达定理得3434bac a⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⨯⎪⎩，解得12b a c a =-⎧⎨=-⎩.对于B ，0120bx c ax a +>⇔-->，由于0a >，所以12x <-，所以不等式0bx c +>的解集为{}12x x <-，故B 不正确；对于C ，因为12b ac a=-⎧⎨=-⎩，所以20cx bx a -+<，即2120ax ax a -++<，所以21210x x -->，解得14x <-或13x >，所以不等式20cx bx a -+<的解集为{14x x <-或13x ⎫>⎬⎭，故C 正确；对于D ，12120a b c a a a a ++=--=-<，故D 不正确.故选：AC .10.以下从M 到N 的对应关系表示函数的是（）A.R M =，R N =，1:f x y x→=B.R M =，{}0N y y =≥，:f x y x →=C.{}0M x x =>，R N =，:f x y →=D.*{|2,N }M x x x =≥∈*{|0,N },N y y y =≥∈2:22f x y x x →=-+【答案】BD 【解析】【分析】判断从M 到N 的对应关系是否表示函数，主要是判断集合M 中的每一个元素在集合N 中是否都有唯一的元素与之对应即可.【详解】对于A 选项，因0,M ∈而0没有倒数，故A 项错误；对于B 选项，因任意实数的绝对值都是非负数，即集合M 中的每一个元素在集合N 中都有唯一的元素与之对应，故B 项正确；对于C 选项，因每个正数的平方根都有两个，即集合M 中的每个元素在集合N 中都有两个元素与之对应，故C 项错误；对于D 选项，因2222(1)1,y x x x =-+=-+当*2,N x x ≥∈时，即有*,2,N y y ∈≥且每个x 对应唯一的y 值，故必有y N ∈成立,故D 项正确.故选：BD.11.已知函数()33f x x =--，下列说法正确的是（）A.()f x 定义域为[)(]3,00,3-B.()f x 在(]0,3上单调递增C.()f x 为奇函数D.()f x 值城为()3,3-【答案】ABC 【解析】【分析】根据函数的性质逐个判定即可.【详解】对于A ：函数定义域需满足290330x x ⎧-≥⎪⎨--≠⎪⎩，解得[)(]3,00,3x -∈ ，A 正确；对于B ：当(]0,3x ∈时()f x ====，在(]0,3单调递减，所以()f x 在(]0,3内单调递增，B 正确；对于C ：由A 知函数定义域为[)(]3,00,3- ，所以()f x ==，所以()()f x f x x-==-，所以()f x 为奇函数，C 正确；对于D ：由B 知()f x 在(]0,3内单调递增，所以(]0,3x ∈时()(],0f x ∈-∞，又由C 知()f x 为奇函数，所以[)3,0x ∈-时()[)0,f x ∈+∞，所以()f x 得值域为(),-∞+∞，D 错误，故选：ABC12.一般地，若函数()f x 的定义域为[],a b ，值域为[],ka kb ，则称[],a b 为()f x 的“k 倍跟随区间”；特别地，若函数()f x 的定义域为[],a b ，值域也为[],a b ，则称[],a b 为()f x 的“跟随区间”.下列结论正确的是（）A.函数()922f x x=-不存在跟随区间B.若[]1,a 为()222f x x x =-+的跟随区间，则2a =C.二次函数()22f x x x =-+存在“3倍跟随区间”D.若函数()f x m =-存在跟随区间，则1,04m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【答案】BC 【解析】【分析】根据“跟随区间”的定义对选项逐一分析，根据函数的单调性、值域等知识确定正确答案.【详解】对于A 选项，由题，因为函数()922f x x=-在区间(),0∞-与()0,∞+上均为增函数，若()922f x x =-存在跟随区间[],a b 则有922922a ab b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即,a b 为922x x =-的两根．即22940x x -+=的根，故1,42a b ==，故A 错误．对于B 选项，若[]1,a 为()222f x x x =-+的跟随区间，因为()222f x x x =-+在区间[]1,a 为增函数，故其值域为21,22a a ⎡⎤-+⎣⎦，根据题意有222a a a -+=，解得1a =或2a =，因为1a >故2a =，故B 正确．对于C 选项，若()22f x x x =-+存在“3倍跟随区间”，则可设定义域为[],a b ，值域为[]3,3a b ，当1a b <≤时，易得()22f x x x =-+在区间上单调递增，此时易得,a b 为方程232x x x =-+的两根，求解得=1x -或0x =.故定义域[]1,0-，则值域为[]3,0-．故C 正确．对于D 选项，若函数()f x m =-存在跟随区间[],a b ，因为()f x m =-为减函数，故由跟随区间的定义可知b m a b a m ⎧=-⎪⇒-=⎨=-⎪⎩即()()11a b a b a b -=+-+=-（，因为a b <1=．易得01≤<．所以(1a m m ==--，令t =[]()0,1t ∈代入化简可得20t t m --=，同理t =也满足20t t m --=，即20t t m --=在区间[]0,1上有两不相等的实数根．故1400m m +>⎧⎨-≥⎩，解得1,04m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，故D 错误．故选：BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.)2232711644-⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________.【答案】13【解析】【分析】根据题意，由指数幂的运算，即可得到结果.【详解】原式2332345194134⨯⎛⎫=⨯+-=+= ⎪⎝⎭.故答案为：1314.已知函数()f x 的定义域为()1,3，则函数()3g x -=的定义域为________.【答案】()5,6【解析】【分析】根据复合函数的定义域的性质求解即可.【详解】因为()f x 的定义域为()1,3，所以()3f x -满足13346x x <-<⇒<<，又函数()3g x -=有意义，所以505x x ->⇒>，所以函数()3g x -=的定义域为()5,6，故答案为：()5,615.已知)132fx +=++，则()f x 的解析式为________.【答案】()2354f x x x =-+，1x ≥【解析】【分析】换元法求解表达式，第一步令括号内的表达式为t ,第二步将表达式中的x 换成t 即可.【详解】)132f x +=++的定义域为[)0,∞+.令1,1t t =≥，则2(1)x t =-，所以，由)132fx +=++得()23(1)2,1f t t t =-++≥，即()2354,1f t t t t =-+≥.于是()2354,1f x x x x =-+≥.故答案为：()2354,1f x x x x =-+≥.16.已知函数()f x x x a =-，当[]0,1x ∈时()f x 的最大值为3，则实数a 的值为________.【答案】2-或4【解析】【分析】化简()f x x x a =-解析式为分段函数形式，讨论0a ≤时，结合最大值求得a 的值；0a >时，数形结合，讨论12a ≥和1122a a +<£以及112a <，确定函数在何处取得最值，求得a 的值，综合可得答案.【详解】由题意知函数的定义域为R ，()22,,x ax x af x x x a x ax x a ⎧-≥=-=⎨-+<⎩，当0a ≤时，由[]0,1x ∈得()()2224a a f x x x a x ⎛⎫=-=--⎪⎝⎭，所以当1x =时，()max 13,2f x a a =-=∴=-，当0a >时，()f x 的图象如图所示，当12a≥，即2a ≥时，()f x 在[0,1]上单调递增,所以()f x 函数在[0,1]上的最大值为(1)13,4f a a =-=∴=，当1122a a <£，即22a ≤<时，()f x 在[0,1]上的图象在2a x =处达到最高点，所以()f x 在[0,1]上的最大值为2(324a a f ==，不符合题意；当112a <，即02a <<-时，()f x 在[0,1]上的图象在1x =处达到最高点，所以()f x 在[0,1]上的最大值为(1)13,2f a a =-==-，不符合题意，故a 的值为2-或4，故答案为：2-或4四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设集合U =R ，{}03A x x =≤≤，{}21,R B x m x m m =≤≤+∈.（1）2m =，求A B ⋃；（2）若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，求m 的取值范围.【答案】（1）{}05A B x x ⋃=≤≤（2）()[],10,1-∞-⋃【解析】【分析】（1）根据集合的并集运算求解即可.（2）根据命题间的充分不必要关系转化为集合间的包含关系，进而求出参数取值范围.【小问1详解】当2m =时，{}25B x x =≤≤，因为{}03A x x =≤≤，所以{}05A B x x ⋃=≤≤【小问2详解】由题意“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件得B AÜ①若B =∅，则21m m >+，解得1m <-；②若B ≠∅，则21m m ≤+，解得1m ≥-；B A Ü，∴0213m m ≥⎧⎨+<⎩或0213m m >⎧⎨+≤⎩，∴01m ≤≤综合①②得：m 的取值范围是()[],10,1-∞-⋃.18.已知幂函数()()233af a a x x =-+为偶函数，a ∈R .（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()g x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()1g x f x x =++，求函数()g x 的解析式.【答案】（1）()2f x x=（2）()221,00,01,0x x x g x x x x x ⎧++>⎪==⎨⎪-+-<⎩【解析】【分析】（1）根据题意，由幂函数的定义，列出方程，即可得到结果；（2）根据题意，由函数的奇偶性求解函数解析式，即可得到结果.【小问1详解】()f x 为幂函数，∴2331a a -+=，解得1a =或2a =，又()f x 为偶函数，∴2a =，∴()2f x x =.【小问2详解】由（1）得，当0x >时，()21g x x x =++①当0x =时，()0g x =；②当0x <时，0x ->；∴()()()2211g x x x x x -=-+-+=-+，∴()()21g x g x x x =--=-+-综上得()221,00,01,0x x x g x x x x x ⎧++>⎪==⎨⎪-+-<⎩19.已知二次函数()f x 是R 上的偶函数，且()04f =，()15f =.（1）设()()f x g x x=，根据函数单调性的定义证明()g x 在区间[)2,+∞上单调递增；（2）当0a >时，解关于x 的不等式()()()21212f x a x a x <-+++.【答案】（1）证明见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）待定系数法求的()f x ，应用定义法证明函数的单调性；（2）分类讨论两根的大小关系即可求解.【小问1详解】设()2f x ax bx c =++，（0a ≠）()f x 为偶函数，∴0b =.()04f =，∴4c =，∴()24f x ax =+又()15f =，∴1a =，∴()24f x x =+，∴()244x g x x x x+==+.证明：[)12,2,x x ∀∈+∞，且12x x <，()()12121244g x g x x x x x ⎛⎫-=+-+ ⎪⎝⎭()()1212124x x x x x x --=[)12,2,x x ∈+∞，且12x x <，∴120x x -<，1240x x ->，120x x >∴()()120g x g x -<，∴()()12g x g x <∴()g x 在[)2,+∞上单调递增.【小问2详解】()()2241212x a x a x +<-+++整理得：()22120ax a x -++<，因式分解得()()120ax x --<当0a >，方程()()120ax x --=的两根为1a 和2，且1122aaa--=.①当102a <<时，12a >，原不等式的解集为12x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭②当12a =时，12a =，原不等式的解集为∅③12a >时，12a <，原不等式的解集为12x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭综上：当102a <<时，不等式的解集为12x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭当12a =时，不等式的解集为∅当12a >时，不等式的解集为12x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.20.天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量a 万件与投入的促销费用x 万元（0x ≥）满足关系式91ka x =-+（k 为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为6万件.已知该产品每一万件需要投入成本20万元，厂家将每件产品的销售价格定为432a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭元，设该产品的利润为y 万元.（注：利润=销售收入-投入成本-促销费用）（1）求出k 的值，并将y 表示为x 的函数；（2）促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？【答案】（1）3k =,361121y x x =--+，0x ≥（2）当促销费用为5万元时，该产品的利润最大，最大利润为101万元【解析】【分析】（1）由题意求得k ，再利用利润公式即可求得y 关于x 的函数；（2）利用基本不等式即可得解.【小问1详解】依题意，当0x =时，96a k =-=，∴3k =，∴391a x =-+，所以43632201241121y a a x a x x a x ⎛⎫=+--=+-=-- ⎪+⎝⎭，∴361121y x x =--+，0x ≥.【小问2详解】因为3636112113111y x x x x ⎛⎫=--=-++ ⎪++⎝⎭113101≤-=，当且仅当3611x x =++，即5x =时，等号成立.∴当促销费用为5万元时，该产品的利润最大，最大利润为101万元.21.已知函数()133x x bf x a++=+是定义在R 上的奇函数.（1）求实数a ，b 的值；（2）若对任意()1,2x ∈，不等式()()222210f x x f x k +-+->恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）3a =，1b =-.（2）4k ≤【解析】【分析】（1）利用()00f =，()()11f f -=-，求得a ，b 的值，再检验即可；（2）先证明()f x 为R 上单调递增，再结合奇偶性可得2321k x x <+-恒成立，利用二次函数的性质求得()2321g x x x =+-，()1,2x ∈的最小值，进而可解.【小问1详解】由()f x 是R 上的奇函数得()1003b f a +==+，∴1b =-，∴()1313xx f x a+-=+，又()()11f f -=-，解得3a =，∴()()1313133331x x x x f x +--==++，则()()()()()311331331313331x xx xxxf x f x ------===-=-+++∴()f x 为R 上的奇函数，∴3a =，1b =-.【小问2详解】()()()31312121331331331x x x x x f x -+-⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭任取12,R x x ∈，且12x x <，则()()()()()212121122332231313131x x x x x x f x f x --=-=++++，因为3x y =在R 上单调递增，所以当12x x <时，1233x x <，即12330x x -<，又2110,1033x x +>+>，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，∴()f x 在R 上单调递增.()1,2x ∀∈，()()22221f x x f x k +->--由()f x 为奇函数，上式可变形为()()22221f x x f k x+->-由()f x 为R 上增函数得22221x x k x +->-即2321k x x <+-恒成立，令()2321,12g x x x x =+-<<，而()2214321333g x x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，所以()g x 在()1,2单调递增，所以()()14g x g >=，∴4k ≤.22.已知定义在R 上的函数()142xx f x m m +=⋅--（m ∈R ）.（1）当1m =时，求()f x 的值域；（2）若函数()f x 在()1,+∞上单调递增，求实数m 的取值范围；（3）若函数()y g x =的定义域内存在0x ，使得()()002g a x g a x b ++-=成立，则称()g x 为局部对称函数，其中(),a b 为函数()g x 的局部对称点，若()1,0是()f x 的局部对称点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）[)2,-+∞（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（3）40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据题意，由换元法，结合二次函数值域，即可得到结果；（2）根据题意，分0,0,0m m m =<>讨论，结合条件，代入计算，即可得到结果；（3）根据题意，由局部对称点的定义，结合函数的单调性，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】当1m =时，()1421xx f x +=--令20x t =>，()2221122y t t t =--=--≥-，∴()f x 的值域为[)2,-+∞.【小问2详解】令22x t =>，22y mt t m=-- 2x t =在()1,+∞上单调递增，∴要使()f x 在()1,+∞上单调递增，只需22y mt t m =--在()2,+∞上单调递增①当0m =时，2y t m =--在()2,+∞上单减不符合题意；②当0m <时，22y mt t m =--开口向下不符合题意；③当0m >时，012m m>⎧⎪⎨≤⎪⎩，解得12m ≥，∴实数m 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【小问3详解】由()1,0是()f x 的局部对称点得x ∃∈R ，()()110f x f x ++-=代入整理得()()2442220x xxx m m --+-+-=①令222x x t -=+≥，则()22442222x x x xt --+=+-=-代入①式得22250mt t m --=，2225252tm t t t==--当2t ≥时，函数2y t =和5y t=-均为增函数∴52t t -在[)2,+∞上单调递增，∴5322t t -≥，∴240,32t t t⎛⎤∈ ⎥⎝⎦-，∴实数m 的取值范围为40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.。
高一上册半期考试数学试题
一上册半期考试数学试题及答案第一卷一:选择题(每题5分共60分,每题只有一个正确答案)1.下列函数中为指数函数的是( D )x y A =. x y B 2.= x y C 1.= 2.x y D = 2. 有五个关系式：①∅⊂}0{；②}0{=∅；③∅=0；④}0{0∈；⑤∅∈0其中正确的有 （ B ）A.1个.B.2个.C.3个.D.4个.3.关于从集合A 到集合B 的映射，下面的说法错误的是 ( B )A ． A 中的每一个元素在B 中都有象B ． A 中的两个不同的元素在B 中的象必不同C ． B 中的元素在A 中可以没有原象D ． B 中的某元素在A 中的原象可能不止一个4. 全集 U = { 0, －1, －2, －3, －4 }，集合 M = { 0, －1, －2 }，N = { 0, －3, －4 }，则 ( C U M )∩N 为 ( B )A. { 0 }B. {－3, －4 }C. {－1, －2 }D. φ5.下列函数中，值域是 ( 0 , + ∞ ) 的是 ( D )A. y =132+-x xB. y = 2x + 1 ( x ＞0 )C. y = x 2 + x + 1D. y =21x6. 下列各图形中，是函数的图象的是( D )7.给出下列函数：（1）y=3x ; (2) y=|x|; x )2,3(-∈; (3) y=x 2+212-x; (4)y=x 2+c 其中偶函数的有（ B ）A . 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个8.满足条件 { 0, 1 }∪A = { 0, 1 } 的所有的集合A 的个数是( D )A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个9.已知函数)(x f y =的定义域是],[b a ,b c a << ,当],[c a x ∈时,)(x f 是单调递减;当],[b c x ∈时,)(x f 是单调递增,则)(x f y = 的最小值为( B )O x y O x y O x y O xyA B C D)(.a f A )(.c f B )(.b f C )2(.b a f D + 10全集U={1,2,3,•••,9}}9,7{)(},8,4,2{)()(},3,1{=⋂=⋂=⋂B A B A B A C C C u u u则B=( D )}1.{A }3,1.{B }5,3,1.{C }6,5,3,1.{D 11. 设函数,2)2(),0()4(.0,2,0,)(2-=-=-⎩⎨⎧>≤++=f f f x x c bx x x f 若则关于x 的方程x x f =)(解的个数为（ C ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．412.已知二次函数x a x a x f )12()(2-+=在]1,(-∞是单调递减函数,则a 的取值范围是( C )]41,.(-∞A ),41.[+∞B ]41,0.(C ]1,41.[D 第一卷一.选择题答案第二卷二:填空题(每题4分16分) 总分_______________13.函数f(x)=x x x +-++11的定义域是]1,1[-14.已知2,222=+=+y x y x ,则=xy 115.已知f(x)=x 2+1, 则f(x+1)=1)1(2++x . 16. 已知全集U={三角形}，A={直角三角形}，则C U A=}{斜三角形三:解答题(6题74分)17. 已知全集为R,集合A={3|+≤≤a x a x },B={60|><x x x 或}(1)B C R (用区间表示) (2)若1-=a ,求)(B A C R ⋂(3)若∅=⋂B A ,求a 的取值范围；(13分)解: (1) B C R =]6,0[ (4分)(2) 当1-=a ]2,1[-=A 则)0,1[-=⋂B A )(B A C R ⋂=),0[)1,(+∞⋃--∞ (9分)(3)用数轴分析得0≥a ,且63≤+a30≤≤a (13分)18.已知)(x f y =的定义域为]4,1[ ,当]2,1[∈x 时)(x f 的图像为线段,当]4,2[∈x 时)(x f 的图像为抛物线的一部分,且顶点为)1,3(.又已知3)2(,2)1(==f f ,求)(x f 的解析式(13分)解: 当]2,1[∈x 时)(x f 的图像为线段,设b kx x f +=)( (2分)由已知3)2(,2)1(==f f 故b k b k +=+=23,2∴1,1==b k ∴]2,1[∈x 时1)(+=x x f . (6分)当]4,2[∈x 时)(x f 的图像为抛物线的一部分, 且顶点为)1,3(设1)3()(2+-=x a x f ,又3)2(=f ∴ (8分)1)32(32+-=a ∴2=a 当]4,2[∈x 时1)3(2)(2+-=x x f (12分)=)(x f ]4,2[,1)3(2]2,1[,12∈+-∈+x x x x (13分)19.已知=)(x f 0,10,00,42<-=>-x x x x x (12分)(1) 求))1((-f f ,))1((f f ,(2)画出)(x f 的图像(2) 若a x f =)(,问a 为何值时,方程没有根?有一个根?两个根?解.(1). ,0)2())1((==-f f f 4)3())1((=-=f f f (4分)(2)略 (8分)(画错一段扣2分,画错两段扣4分)(3)由图像观察得4-≤a ,a x f =)(无解当,14≤<-a 且0≠a 时a x f =)(只有一个根当1>a ,或0=a 时a x f =)(有两个根 (12分)20设A={}04|2=+x x x , B={}01)1(2|22=-+++a x a x x其中a R ∈,如果A ⋂B=B,求实数a 的范围(12分)解.由条件得}4,0{-=A 由A ⋂B=B 得A B ⊆(1)Φ=B ,方程01)1(222=-+++a x a x 无解,则0)1(4)1(422<--+=∆a a 得1-<a (4分)(2)B ∈0,则012=-a ,得1=a ,或1-=a检验,满足条件 (8分)(3)B ∈-4,则01)4)(1(2)4(22=-+-++-a a得1=a 或7=a 检验7=a 不合条件舍去 1,1=-≤∴a a 或 (12分)(没有检验的扣2分)21.已知函数()a x x f -=，()122++=ax x x g （a 为正常数），且 (12分)函数()x f 与()x g 的图象交点在y 轴上。
高一上学期半期考试数学试题(附解答)
高一上学期半期考试数学试题卷数学试题共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一．选择题（每题5分，共50分，每题只有一个正确选项）1．设集合{1,2,4,6}A =，{2,3,5}B =，则韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ）（A ）{2} (B){3,5} (C){1,4,6} (D){3,5,7,8} 2．“21x =”是“1=x ”的（ ）（A ）充分非必要条件 (B)必要非充分条件（C ）充要条件 (D)非充分非必要条件 3．函数)4ln(1)(x x x f -++=的定义域为（ ）（A ）[)4,1- (B) ()+∞-,1 （C ）()4,1- (D)()+∞,44．集合A={}222,y y x x x R =-+∈，集合B={}2560x x x -->则()()R R C A C B =（ ）（A ）(),1-∞- (B) (],1-∞- （C ）[)1,1- (D)[]1,1-5．若函数()log (1)a f x x a =>在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为( )A ．42 B ． 22 C ． 41D ．6． 函数1()2xx y x=的图象的大致形状是 （ ）7．对任意的,x y R ∈函数)(x f 都满足2)()()(++=+y f x f y x f 恒成立，则=-+)5()5(f f ( )（A ）0 (B)4- (C)2- (D) 28.()f x 为定义在R 上的偶函数,对任意的12,x x ∈[)0,+∞且12x x ≠满足()()12120f x f x x x ->-，则下列各式成立的是 ( )A. ()()()201f f f ->>B. ()()()210f f f ->>C. ()()()102f f f >>-D. ()()()120f f f >->9．（原创）当[]t x ,1-∈时，函数x x x f -+-=52)(的值域为[]9,3, 则实数t 的取值范围是（ ）（A ）[]8,2 (B) []4,2 （C ）[]8,4 (D) []5,1- 10．（原创）若函数()f x 满足对于[],()x n m m n ∈>有km x f kn≤≤)(恒成立，则称函数()f x 在区间[],()n m m n >上是“被k 限制”的，若函数22)(a ax x x f +-=在区间)0(,1>⎥⎦⎤⎢⎣⎡a a a 上是“被2限制”的，则a 的范围是（ ） （A ）(]2,1 (B)⎥⎦⎤⎝⎛323,1 （C ）(]2,1 (D) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,323二．填空题（每题5分，共25分）11．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫4，12，则f (2)＝_______。
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1
16.
2
三、解答题：
17.解：(1) 集合A 2,10.
2分
又 B x | m x m 2,由B A 2,11可知：m 2 11且m
解得m 9满足条件.
5分
(2) A 2,10, R A (10, ) (, 2).
7分
要使得B ( R A) , m 2 10且m 2解得2 m 8,
3.下列函数是偶函数的为 ()
(A)
f
(x)
x3, x 0 x3, x 0
(B) f (x) x 1 x
(C) f (x) ln( x2 1 x)
(D)
f
(x)
2x
1 2x
4.若函数 y ax2 2 （ a 0, 且 a 1）的图象恒过一定点 P ，则 P 的坐标为 ()
(A) (0,1)
疆 （3）若函数 f (x) 1 2 x 1 ,判断函数 y f f (x) g(x) 在区间0,1 上的零点个数，
2
并说明理由.
4
成都七中 2023 届高一上期半期考试 数学参考解答
一、选择题：1-5 CBADC
6-10 CDBAD
11-12 AA
二、填空题： 13. 7
14. 3
15. 16
市(B) (2,1)
(C) (2, 2)
苏
乌
5.(已A)知aablog自c3 0治.3,区b
30.1
,
c (B)
0.13 ，则 cab
()
(C) a c b
尔
6.下列维结吾论正确的是 ()
疆
(A) 4 (1)4 1
(B) lg(2 5) 1
(C) (
8
1
)3
3
27 2
(D) (2,3)
(D) b c a (D) log2 3 log4 6
21.（本小题满分 12 分）
已知函数
f
( x) 为偶函数，
g( x) 为奇函数，且
f
( x)
g( x)
1 ex
.
（1）求函数 f ( x) 和 g( x) 的解析式； （2）若 f (2x) ag( x) 在 x (1, ) 恒成立，求实数 a 的取值范围; （3）记 H( x) g( x 1) 1, 若 a,b R, 且 a b 1, 求 H(4 a) H(b 1) 的值.
1.已知集合 M x 1 x 2, x Z, N x 2x2 x 1 0, x Z , 则 M N ()
(A) 0,1
(B) 1,0
(C) 0
(D) 1
2.函数 f (x) ln x 2 x 的定义域为 ()
(A)[0, 2]
(B) 0, 2
(C) (0, +)
(D) x2 x2 的值为
.
14.
已知函数
f
(
x)
log4 3x ,
x, x x0
0
，则
f [ f (1)] ___________. 4
15.函数 f (x) x(8 x), x (0,8) 的最大值为
.
16. 已 知 函 数 f ( x) x( x m), m R, 若 f ( x) 在 区 间 1, 2 上 的 最 大 值 为 3 ， 则
18.（本小题满分 12 分） 计算下列各式的值：
（1） ( 5 2)0 3 (3 )3 (2 )2 ；
（2） log6
4
log6
3 2
32log9 2.
市
苏
乌
区
19.（本小题满分治12 分）
自
尔 声强级维L吾1 （单位
dB
）由公式
L1
I 10 lg(1012
) 给出，其中
I
为声强（单位W
f ( x 1)
22. （本小题满分 12 分）
市 已知函数 g( x) lg(乌x苏2 a x) 若 g( x) 是定义在 R 上的奇函数. （1）求 a 的值;治区 （2）判断函尔数自的单调性，并给出证明,若 g(bx2 2) g(2x 1) 在2,3 上有解，求实数 b
吾 的取值维范围;
成都七中高 2023 届高一上期半期考试 数学
本试卷分选择题和非选择题两部分. 第Ⅰ卷(选择题)1 至 2 页,第Ⅱ卷 (非选择题)3 至 4 页,共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟.
注意事项： 1.答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡
m .
三、解答题：本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分 10 分）
已知集合 A x | x2 12x 20 0 , B x | m x m 2.
（1）若 B A 2,11,求实数 m 的值；
（2）若 B ( R A) , 求实数 m 的取值范围.
/
m2
）.
疆
（1）若航天飞机发射时的最大声强是10000W / m2 ，求其声强级；
（2）一般正常人的听觉声强级的范围为 0,120 （单位 dB ）, 求其声强的取值范围.
3
20.（本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) 是定义在 (, 0) (0, ) 上的偶函数，当 x 0 时 , f ( x) ax2 3ax 2, (a R) . （1）求 f ( x) 的函数解析式； （2）当 a 1时，求满足不等式1 log2 f ( x) 的实数 x 的取值范围.
7．若幂函数 f ( x) (m2 2m 2) xm 在 (0, ) 单调递减，则 f (2) ()
(A) 8
(B) 3
(C) 1
(D) 1 2
1
市 苏 乌 区 治 自 尔 吾 维 疆
第Ⅱ卷 (非选择题,共 90 分) 二、填空题：本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡上.
皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效. 5.考试结束后,只将答题卡交回.
第Ⅰ卷 (选择题,共 60 分)
一、选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.
实数m的取值范围为2,8.
10分
(2)问另解 : B ( R A) , B A
2 m且m 2 10即实数m的取值范围为2,8.