数模-零件的参数设计

零件的参数设计

摘要：

本题目对零件的参数这一问题，综合考虑重新设计零件的参数（包括标定值和容差），并与原设计进行比较，得出最优化的数学模型，并对模型进行求解，最后用计算机模拟对模型的最优解进行检验。由题意知粒子分离器的参数y 由零件参数1234567,,,,,,x x x x x x x 的参数决定，参数i x 的容差等级决定了产品的成本，y 偏离0y 的值决定了产品的损失，问题就是寻找零件的最优标定值和最优等级搭配，使得批量生产时的总费用最少。

一、 问题的重述：

一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。零件参数包括

标定值和容差两部分。进行成批生产时，标定值表示一批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围。若将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望值，在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的３倍。

进行零件参数设计，就是要确定其标定值和容差。这时要考虑两方面因素：一是当各零件组装成产品时，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失越大；二是零件容差的大小决定了其制造成本，容差设计得越小，成本越高。 试通过如下的具体问题给出一般的零件参数设计方法。

粒子分离器某参数（记作y ）由7个零件的参数（记作x 1,x 2,...,x 7）决定，经验公式为：

7616

.1242

3

56

.02485.01235136.0162.2142.174x x x x x x x x x x x Y ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛--⨯⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=-

y 的目标值（记作0y ）为1.50。当y 偏离0y ±0.1时，产品为次品，质量损失为1,000元；当y 偏离0y ±0.3时，产品为废品，损失为9,000元。

零件参数的标定值有一定的容许范围；容差分为Ａ、Ｂ、Ｃ三个等级，用与标定值的相对值表示，Ａ等为±1%，Ｂ等为±5%，Ｃ等为±10%。7个零件参数标定值的容许范围，及不同容差等级零件的成本（元）如下表（符号／表示无此等级零件）：

现进行成批生产，每批产量1,000个。在原设计中，7个零件参数的标定值为：

x 1=0.1,x 2=0.3,x 3=0.1,x 4=0.1,x 5=1.5,x 6=16,x 7=0.75;容差均取最便宜的等级。

请你综合考虑y 偏离0y 造成的损失和零件成本，重新设计零件参数（包括标定值和容差），并与原设计比较，总费用降低了多少？

二、问题的假设

1、假设在加工零件时，在确定了标定值的情况下，零件的误差服从正太分布且各个零件的误差是

相互独立的。

2、假设制造零件的总费用只由零件的损失费用和成本组成，不必考虑其他外在因素。

3、假设题目所给的经验公式足够反映参数1234567,,,,,,x x x x x x x ，对参数y 的影响，而且经验公式有足够高的精度，即不考虑经验公式的误差。

三、符号说明

四、模型的建立

由题意可以知道，容差如果变大，则生产产品的的成本会降低，但同时y 偏离0y 的程度也增大，从而导致了损失的增加，由此我们要求出一个最优解，使得总费用最低。为了确定原设计中标定值（xi （i=1，2，3，….，7）的期望值）及已给的容差对产品性能参数影响而导致的总损失w ，即确定y 偏离目标值0y 所造成的损失和零件成本，先列出总费用的数学模型表达如下：

7

231

1000*(10009000)ij i W C P P ==++∑

为了确定总损失w ，必须知道123,,P P P （即正品、次品及废品的概率）。为此，用泰勒公式将经验公式在X=i x （i=1，2，3，…..7）处展开并略去高次项（原因：误差本来就在0.01级别，它的高阶无穷小完全可以忽略），后来研究y 的概率分布，设f （x ）=y ，

则

()()7

1i i

i i

f

f x y f x x x =∂==+∆∂∑

将标定值xi （i=1，2，3，…..7）带入经验公式得()i y f x =

得

7

1i

i i

f

y y y x x =∂∆=-=∆∂∑ 由于在加工零件时，在标定值知道的情况下，加工误差服从正太分布，即()2~0,i x N σ∆ 且∆xi 相互独立，由正态分布性质可知

()2~0,y y N σ∆，()

2

~,y y N y σ ，

由误差传递公式得

2

2

2

7

7

2

11i y

i i i i i i i f f x x x x σσσ==⎛⎫⎛⎫⎛⎫

∂∂== ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭

∑∑

由于容差均为方差的3倍，容差与标定值的比值为容差等级，则30.01,0.05,0.1i i x σ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

， y 的分布密度函数为

(

)()2

2

1y y y y e

σ

ψ--

=

产品为正品时y 的范围是[1.2 ]1.6

产品为次品时y 的范围是[1.2 ]1.4和[1.6 ]1.8， 产品为废品时y 的范围是(-∞ ]1.2和[1.8 )+∞

y 偏离00.1y ±的概率，即次品的概率为

()()()()1.4 1.8

2 1.2

1.6

P y d y y d y ψψ=+⎰⎰

y 偏离00.3y ±的概率，即废品的概率为

()()()()1.23 1.8

P y d y y d y ψψ+∞

-∞

=+⎰⎰

由于y 偏离0y 越远，损失越大，所以在y σ固定时，调整y 使之等于目标值0y 可降低损失。 取0y y y ∆=- 即y =0y ， 则

20.1y P σ⎛⎫

=Φ ⎪ ⎪

⎝⎭

，30.3y P σ⎛⎫=Φ ⎪ ⎪⎝⎭ ()t Φ为标准正太分布函数。综合考虑y 偏离0y 造成的损失和零件成本，设计最优零件参数的模型建立

如下目标函数

7

237

min 1000*(10009000)ij i W C P P ==++∑

五、模型的求解

初步分析，对于原给定的方案，利用matlab 编程计算（见附录），计算结果如下

由于按原设计方案设计的产品频率过低，损失费过高，显然设计不合理。进一步分析发现，参数均值

y =1.7256偏离目标值0y =1.5太远，致使损失过大。尽管原设计方案保证了成本最低，但由于零件参

数的精度过低，导致正品率也过低，损失较高。所以我们应综合考虑成本费和损失费。

模型的实现过程：本模型通过matlab 进行求解，我们通过理论模型求解和随机模拟的求解过程如下：在给定容差等级的情况下，利用matlab 中求解非线性规划的函数fmincon ，通过多次迭代求解，最终球的一组最优解。最初，我们设定的fmincon 函数目标函数就是总费用，约束条件为各个标定值的容许范围，以及各零件标定值带入产品参数表达式应为0y ，即1.5.然而，在迭代过程中我们发现，求解过程十分慢，因此，我们在仔细对matlab 实现代码进行研究发现，求解过程非常慢，为了提高速度，我们首先利用matlab 的diff 函数对产品参数中的各个表达式进行求偏导，然后得到多个带参表达式，利用int 函数对y 的概率密度函数进行积分，分别得到出现次品和废品的概率的表达式，然后将这些表达式写进程序里，这样在求解过程中就不需要在每一次迭代中都要求偏导和积分了，修改后的程序运行时间大大减少。