1.2 改进的欧拉法
改进的euler公式
改进的euler公式
【原创实用版】
目录
1.欧拉公式的概述
2.改进的欧拉公式的背景和原因
3.改进的欧拉公式的推导过程
4.改进的欧拉公式的应用和优势
5.结论
正文
欧拉公式是数学领域中非常著名的公式，它描述了复指数函数的性质，即 e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)。
这个公式将实数、虚数和三角函数联
系在一起，展示了数学的统一性和美妙性。
然而，传统的欧拉公式在某些情况下并不适用，因此，人们提出了改进的欧拉公式。
改进的欧拉公式的背景和原因主要是由于在一些特殊的数学问题中，传统的欧拉公式无法给出正确的结果。
例如，当 x 为奇数时，传统的欧
拉公式无法描述 e^(ix) 的性质。
因此，为了解决这些问题，数学家们开始研究改进的欧拉公式。
改进的欧拉公式的推导过程相对复杂，它涉及到一些高级的数学概念和方法，如解析延拓、傅里叶级数等。
具体来说，改进的欧拉公式可以表示为 e^(ix) = cos(x) + i*sin(x) + r(x)，其中 r(x) 是一个余项，表示欧拉公式在某些特殊情况下的修正。
改进的欧拉公式的应用和优势主要体现在它能够更准确地描述复指
数函数的性质，尤其是在一些特殊情况下。
例如，当 x 为奇数时，改进
的欧拉公式可以给出正确的结果，而传统的欧拉公式则会出现错误。
此外，改进的欧拉公式还可以应用于一些实际问题，如信号处理、图像处理等。
改进的欧拉算法课程设计
改进的欧拉算法课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解欧拉算法的基本原理及其在数值分析中的应用；2. 掌握改进的欧拉算法的计算步骤和推导过程；3. 能够运用改进的欧拉算法解决简单的数值问题。
技能目标：1. 培养学生运用数学软件或编程语言实现改进的欧拉算法的能力；2. 提高学生分析数值问题、设计算法及解决问题的能力；3. 培养学生通过合作学习，进行算法优化和调试的能力。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对数值分析学科的兴趣，激发其探究精神；2. 增强学生的团队合作意识，学会倾听、尊重他人意见；3. 培养学生严谨、踏实的科学态度，提高其面对问题的勇气和信心。
本课程针对高年级学生，结合数值分析学科特点，注重理论知识与实践操作的结合。
通过本课程的学习，使学生能够深入理解并掌握改进的欧拉算法，培养其运用所学知识解决实际问题的能力，同时提高学生的情感态度价值观，为后续学习和工作打下坚实基础。
二、教学内容本章节教学内容以《数值分析》教材中关于改进的欧拉算法的相关章节为基础，进行以下组织：1. 回顾欧拉算法的基本原理，对比其与改进的欧拉算法的优缺点；- 教材章节：3.2 欧拉方法及其改进2. 详细讲解改进的欧拉算法的推导过程和计算步骤；- 教材章节：3.3 改进的欧拉方法3. 分析改进的欧拉算法在数值求解常微分方程中的应用；- 教材章节：3.4 数值求解常微分方程实例4. 通过实例演示，让学生动手实践改进的欧拉算法，提高其编程和解决问题的能力；- 教学实例：求解一维非线性常微分方程初值问题5. 组织课堂讨论，分析改进的欧拉算法在求解过程中的误差来源及优化方法；- 教材章节：3.5 改进的欧拉方法的误差分析6. 总结改进的欧拉算法的特点、适用范围及其在工程和科学研究中的应用。
教学内容安排和进度如下：第1-2课时：回顾欧拉算法，引入改进的欧拉算法；第3-4课时：详细讲解改进的欧拉算法的推导和计算步骤；第5-6课时：分析改进的欧拉算法在数值求解中的应用；第7-8课时：实例演示，学生动手实践；第9-10课时：课堂讨论，总结和拓展。
改进的欧拉公式与精确解的变化规律
改进的欧拉公式与精确解的变化规律改进的欧拉公式是最常用的数值解法之一，它通过近似求解微分方程来得到数值解。
与精确解相比，改进的欧拉公式是通过将微分方程的导数从一个点近似为两个点的斜率来计算下一个点的数值解。
改进的欧拉公式的变化规律是随着步长的减小，数值解会更接近精确解。
这是因为当步长越小时，近似的斜率越接近真实的导数值，从而得到的数值解也更准确。
具体来说，改进的欧拉公式的变化规律可以描述为以下几点：1. 当步长减小时，数值解的误差也减小。
这意味着数值解更接近精确解。
2. 当步长趋近于零时，数值解逼近精确解。
这是因为在这种情况下，近似的斜率越来越接近真实的导数值，从而得到的数值解趋近于精确解。
3. 当步长增大时，数值解的误差也增大。
这是因为在这种情况下，近似的斜率与真实的导数值之间的差异会增大，导致数值解与精确解之间的差异也增大。
总之，改进的欧拉公式是一种数值解法，它可以通过近似求解微分方程来得到数值解。
随着步长的减小，数值解会更接近精确解。
在步长趋近于零的情况下，数值解逼近精确解。
当步长增大时，数值解的误差也增大。
进一步说明，改进的欧拉公式是欧拉公式的改进版，通过将微分方程的导数从一个点近似为两个点的斜率来提高数值解的准确性。
改进的欧拉公式可以写为以下形式：y_{n+1} = y_n + h \cdot \frac{f(x_n, y_n) + f(x_{n+1},y_{n+1})}{2}其中，y_n 是精确解在离散点 x_n 处的近似值，h 是步长，f(x_n, y_n) 是微分方程的导数。
改进的欧拉公式的准确度比欧拉公式更高，是因为它通过使用两个点的斜率的平均值来更准确地近似导数值。
改进的欧拉公式的变化规律可以归结为以下几点：1. 当步长 h 减小时，数值解的准确性提高。
这是因为较小的步长使得近似的斜率更接近真实的导数值，从而得到更精确的数值解。
2. 当步长 h 增大时，数值解的准确性降低。
这是因为较大的步长导致近似的斜率与真实的导数值之间的误差增加，从而导致数值解的误差变大。
改进Euler法
要求 Rn ? y( xn ?1 ) ? yn?1 ? O(h3 ) ，则必须有：
?1 ? ?2 ? 1 ,
?2 p ?
1 2
这里有 3 个未知 数， 2 个方程。
存在无穷多个解 。所有满足上式的格式统称为 2阶 龙格 - 库塔格式 。
(1) p ? 1, ?1
?
?2
?
1 为改进 Euler 格式 2
(1)左矩形法
xn?1
? f ( x , y( x ))dx ? hf ( xn , y( xn )) ? O(h 2 )
xn
? y( x n?1 ) ? y( x n ) ? hf ( xn , y( x n ))
Euler 格式 一阶方法
改进的Euler 方法
(2)梯形法
? ? ? xn?1
h
K 2 ? f ( xn ? ph , yn ? phK1 ) ? f ( xn , yn ) ? phf x ( xn , yn ) ? phK1 f y ( xn , yn ) ? O(h2 ) ? y ?( x n ) ? phy ??( x n ) ? O ( h 2 )
Step 2: 将 K2 代入第1式，得到
四阶R-K方法实现
开始
输入 x 0, y0, h, N
x1 ? x0 ? h;
h
h
K1 ? f ( x0 , y0 ), K 2 ? f ( x0 ? 2 , y0 ? 2 K1)
h
h
K 3 ? f ( x0 ? 2 , y0 ? 2 K 2 ), f ( x0 ? h, y0 ? hK 3 )
y1 ?
|yn-y(x n)| Yn 0.0046 1.0959 0.0086 1.1841 0.0125 1.2662 0.0166 1.3434 0.0209 1.4164 0.0257 1.4860 0.0311 1.5525 0.0373 1.6165 0.0445 1.6782 0.0527 1.7379
欧拉公式的改进
精度低 精度低, 计算量大 计算量大 多一个初值, 可能影响精度
Can’t you givethink me a formula Do OK, you Well, callyet mewithout greedy… let’s with all the advantages any it possible? make it of the disadvantages? possible.
最常用为四级4阶经典龙格-库塔法 /* Classical Runge-Kutta Method */ ：
y i +1 K1 K2 K3 K4 = = = = = yi + h ( K1 + 2K 2 + 2K 3 + K 4 ) 6 f ( xi , yi ) h f ( xi + h , y + K1 ) i 2 2 f ( xi + h , yi + h K2 ) 2 2 f ( x i + h, yi + hK 3 )
Step 2: 将 K2 代入第1式，得到
yi +1 = yi + h 1 y( xi ) + 2[ y( xi ) + phy( xi ) + O( h2 )] = yi + (1 + 2 )h y( xi ) + 2 ph2 y( xi ) + O( h3 )
§2 Runge-Kutta Method
Step 3: 将 yi+1 与 y( xi+1 ) 在 xi 点的泰勒展开作比较
yi +1 = yi + (1 + 2 )h y( xi ) + 2 ph2 y( xi ) + O(h3 )
Euler法与改进Euler法知识讲解
yn1 yn dy h dx
常用方法
(2) 用数值积分近似积分
dy xn1
xn1
dx f ( x, y)dx (n 0,1, )
xn dx
xn
即
y( xn1) y( xn )
xn1 f ( x, y( x))dx
xn
进一步: 令 yn1 y( xn1) , yn y( xn )
xn x0 nh, n 0,1,2 .
二、建立数值解法的常用方法
建立微分方程数值解法,首先要将微分方程离散化.
一般采用以下几种方法: (1) 用差商近似导数
dy
y xn1 yxn
xn1 xn
f xn , y(xn )
dx x y , n n
进一步 : 令 yn1 y(xn1) , yn y(xn )
y0 ( x x0 ) f ( x0 , y0 )
dx x y , 0 0
几何意义
等步长为h，则 x1 x0 h，可由切线算出y1 ： y1 y0 hf（x0 , y0）
逐步计算出y
y( x)
在
xn
点
1
的
值
：
yn1 yn hf（xn , yn） n 0，1，2，
注意：这是“折线法”而非“切线法” y 除第一个点是曲线切线外，其他点不是！
能用解析方法求出精确解的微分方程为数不多, 而且有的方程即使有解析解,也可能由于解的表达 式非常复杂而不易计算,因此有必要研究微分方程 的数值解法
常微分方程数值解法
重点 研究一阶常微分方程的初值问题的数值解
其一般形式为:
dy
dx
f (x, y)
y( x0 ) y0
a xb
描述流体质点运动的两种方法
1.2 欧拉法（Euler Method）
采用欧拉法时，某时刻空间点速度还可表示为：
u u(x, y, z,t)
（4-6）
由于空间坐标x，y，z是时间t的函数，则加速度可表示为：
a du u u dx u dy u dz dt t x dt y dt z dt
描述流体质点运动的两种方法
1.1 拉格朗日法（Lagrange Method）
当研究该流体质点的流速u及加速度a时，可直接将式（4-1）对时间求一阶 和二阶偏导数。在求导过程中，a，b，c均视为常数。
ux
x(a, b, c, t ) t
uy
y(a,b,c,t)
t
uz
z (a, b, c, t ) t
欧拉法主要包括两个内容：① 确定在空间某一固定点上流体的运动参数随 时间变化的规律；② 确定在某一瞬间各空间点上流体的运动参数的分布规律。
描述流体质点运动的两种方法
1.2 欧拉法（Euler Method）
对于任一个流体质点来说，其位置变量x、y、z都是时间t的函数，即
x x(t) y y(t) z z(t)
例如，有一水箱的放水管在放水，其中有两个水流质 点A与B。假定经过微小时段dt后，它们分别移至A'和B'， 如图所示。由于作用水头H在放水过程中逐渐降低，则
H
管内各固定的空间点上的流动都将随时间而变化，从而 形成时变加速度。但是，由于A与A'两点所处管段直径不
变，因此，这两点在同一时刻流速相同，理论上不存在 迁移加速度；而B与B'两点位于渐变段，管径逐渐变小， 流速逐渐加大，因此，B'点流速大于B点流速，故这两点 之间不仅存在时变加速度，也存在迁移加速度。
改进的euler公式
改进的euler公式摘要：1.欧拉公式的概述2.改进的欧拉公式的提出3.改进的欧拉公式的应用4.改进的欧拉公式的优势与局限5.我国在改进欧拉公式方面的研究进展正文：1.欧拉公式的概述欧拉公式，是由瑞士数学家欧拉在18 世纪提出的一个著名数学公式，其表述为：e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)。
该公式将复数指数与三角函数相结合，展示了自然数、复数和三角函数之间的深刻联系。
欧拉公式在数学、物理和工程领域具有广泛的应用。
2.改进的欧拉公式的提出随着科学技术的不断发展，欧拉公式在实际应用中逐渐暴露出一些局限性。
为了克服这些局限，数学家们对欧拉公式进行了改进。
改进的欧拉公式主要有两种：一种是将欧拉公式中的角度限制在一定范围内，如0 <= x <=2π；另一种是将欧拉公式推广到高维空间，如四元数和八元数。
3.改进的欧拉公式的应用改进的欧拉公式在多个领域具有广泛的应用，如信号处理、图像处理、通信系统等。
在信号处理领域，改进的欧拉公式可以用于设计滤波器，提高信号的质量；在图像处理领域，改进的欧拉公式可以用于图像的压缩和增强；在通信系统中，改进的欧拉公式可以用于调制和解调。
4.改进的欧拉公式的优势与局限改进的欧拉公式相较于欧拉公式具有更高的精度和更广泛的适用范围，但在实际应用中也存在一定的局限性。
例如，改进的欧拉公式在某些特殊情况下可能会出现数值不稳定的问题，需要采用其他方法进行处理。
5.我国在改进欧拉公式方面的研究进展我国在改进欧拉公式方面的研究取得了显著成果。
近年来，我国数学家们提出了多种改进的欧拉公式，并在实际应用中进行了验证。
此外，我国还积极参与国际合作，与世界各国的数学家共同探讨欧拉公式的改进和发展。
总之，改进的欧拉公式在多个领域具有广泛的应用，相较于欧拉公式具有更高的精度和更广泛的适用范围。
Euler方法与改进的Euler方法的应用
CENTRAL SOUTH UNIVERSITY 数值分析实验报告Euler 方法与改进的Euler 方法的应用一、问题背景在工程和科学技术的实际问题中，常需求解微分方程，但常微分方程中往往只有少数较简单和典型的常微分方程（例如线性常系数常微分方程等）可求出其解析解,对于变系数常微分方程的解析求解就比较困难，而一般的非线性常微分方程的求解困难就更不用说了。
大多数情况下，常微分方程只能用近似方法求解。
这种近似解法可分为两大类：一类是近似解析法，如级数解法、逐次逼近法等;另一类是数值解法，它给出方程在一些离散点上的近似值。
二、数学模型在具体求解微分方程时，需具备某种定解条件，微分方程和定解条件合在一起组成定解问题。
定解条件有两种：一种是给出积分曲线在初始点的状态，称为初始条件，相应的定解问题称为初值问题。
另一类是给出积分曲线首尾两端的状态，称为边界条件，相应的定解问题称为边值问题。
在本文中主要讨论的是给定初值条件的简单Euler 方法和改进的Euler 方法来求解常微分方程。
三、算法及流程Euler 方法是最简单的一种显式单步法。
对于方程()y x f dxdy ,= 考虑用差商代替导数进行计算，取离散化点列nh x x n +=0，L n ,2,1,0=则得到方程的近似式()()()()n n n n x y x f hx y x y ,1≈-+ 即()n n n n y x hf y y ,1+=+ 得到简单Euler 方法。
具体计算时由0x 出发，根据初值，逐步递推二得到系列离散数值。
简单Euler 方法计算量小，然而精度却不高，因而我们可以构造梯形公式()()[]η=++=+++0111,,2y y t f y t f h y y n n n n n n 其中()N a b h -=。
这是一个二阶方法，比Euler 方法精度高。
但是上述公式右边有1+n y ，因而是隐式差分方程，可以用迭代方法计算1+n y 。
欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法求解初值问题
欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法求解初值问题欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法求解初值问题简介通过求解简单的初值问题：dudx =f (x ,u )(1)u (x 0)=u 0(2)引⼊欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等。
前期准备数值解法的基本思想就是先对x 和u(x)在区间[x0,∞)上进⾏离散化，然后构造递推公式，再进⼀步得到u(x)u(x) u(x)u(x)u(x)u(x)在这些位置的近似取值。
取定步长h ，令x n =x 0+nh (n =±1,±2,⋯)得到离散的位置：x 1,x 2,⋯,x n ,u(x)在这些点精确取值为：u (x 1),u (x 2),⋯,u (x n )利⽤数值解法得到的这些点的近似取值，u 1,u 2,⋯,u n欧拉法欧拉法的核⼼就是将导数近似为差商。
将导数近似为向前差商，则有：du dxx =x n≈u x n +1−u x nh代⼊(1)式，有：u x n +1=y x n +hf x n ‖u x n⽤u n +1和 u n 代替u (x n +1)和u (x n )，得：u n +1=u n +hf x n ,u n因此，若知道u 0我们就可以递归出u 1,u 2,⋯如果将导数近似为向后差商:du dxx =x n≈u x n −u x n −1h类似的，就可以得到：u n −1=u n −hf x n ,u n这样，若知道u 0我们就可以递归出u −1,u −2⋯改进的欧拉法对(1)式在[x n ,x n +1]上积分，可得：u x n +1=u x n +∫xn +1x nf (x ,u )dx其中，n =0,1,⋯⽤不同⽅式来近似上式的积分运算，就会得到不同的递推公式。
若使⽤左端点计算矩形⾯积并取近似：∫x n +1x nf (x ,u )dx ≈hf x n +1,u x n +1代⼊上式得：{|()()()()(())()|()()()()()(())u n +1=u n +hf (x n ,u n )若使⽤梯形的⾯积做近似：∫x n +1x nf (x ,y )dx ≈h2f x n ,u x n+f x n +1,ux n +1得到：u n +1=u n +h2f x n ,u n +f x n +1,u n +1欧拉法虽然精度偏低，但它是显式的，可直接得到结果。
改进的欧拉公式求微分方程 解释说明以及概述
改进的欧拉公式求微分方程解释说明以及概述1. 引言1.1 概述欧拉公式是数学上一项重要且经典的公式，它将复数、三角函数和指数函数之间建立了一个重要的联系。
自从欧拉在18世纪首次提出这个公式以来，它在各个领域中得到了广泛的应用，尤其是在微分方程的求解过程中起到了关键作用。
1.2 文章结构本文主要围绕改进的欧拉公式在微分方程求解中的应用展开研究。
文章分为五个部分。
首先，引言部分对文章进行了概述，并介绍了文章的结构。
接下来，在第二部分中我们回顾了传统欧拉公式及其在微分方程中的应用情况，并探讨了目前存在的局限性和挑战。
然后，在第三部分中我们详细地介绍了改进的欧拉公式求解微分方程方法，包括新型欧拉公式的推导和定义、改进方法所具有的优势以及针对具体微分方程问题的求解实例和结果分析。
第四部分着重对理论验证与实验结果进行对比与分析，包括理论模型与改进方法之间差异说明、实验设计及数据收集处理方法介绍以及实验结果对比分析与结论得出。
最后，第五部分总结本文的研究工作，并提出了改进欧拉公式研究领域未来发展方向的建议和期待值得探讨的部分。
1.3 目的本文旨在通过改进欧拉公式求解微分方程方法，提高传统欧拉公式在微分方程求解中的应用效果，克服其局限性，并验证改进方法在不同情景下的适用性。
通过理论推导、实验验证和结果分析，将有效地展示改进欧拉公式的优势和改善效果，并从中得出结论，为后续研究提供参考和启示。
同时，文章还将就未来改进欧拉公式研究领域的发展方向进行讨论和展望，为相关领域的学者提供思路和借鉴。
2. 欧拉公式及其应用2.1 欧拉公式的定义欧拉公式，也被称为欧拉恒等式，是数学中一个重要的关系式。
它由数学家莱昂哈德·欧拉在18世纪提出，并以他的名字命名。
这个公式可以被写为：e^(i * π) + 1 = 0其中，e表示自然对数的底数（约等于2.718），i是虚数单位（满足i^2 = -1），π代表圆周率。
2.2 欧拉公式在微分方程中的应用欧拉公式在微分方程领域有着广泛的应用。
常微分方程数值解实验报告
常微分方程数值解实验报告学院：数学与信息科学专业：信息与计算科学：思义学号：201216524 课程：常微分方程数值解实验一：常微分方程的数值解法1、分别用Euler 法、改进的Euler 法（预报校正格式）和S —K 法求解初值问题。
（h=0.1）并与真解作比较。
⎩⎨⎧=++-=10(1y'）y x y 1.1实验代码：%欧拉法function [x,y]=naeuler(dyfun,xspan,y0,h)%dyfun 是常微分方程，xspan 是x 的取值围，y0是初值，h 是步长 x=xspan(1):h:xspan(2); y(1)=y0; for n=1:length(x)-1y(n+1)=y(n)+h*feval(dyfun,x(n),y(n)); end%改进的欧拉法function [x,m,y]=naeuler2(dyfun,xspan,y0,h)%dyfun 是常微分方程，xspan 是x 的取值围，y0是初值，h 是步长。
%返回值x 为x 取值，m 为预报解，y 为校正解 x=xspan(1):h:xspan(2); y(1)=y0;m=zeros(length(x)-1,1); for n=1:length(x)-1 k1=feval(dyfun,x(n),y(n)); y(n+1)=y(n)+h*k1; m(n)=y(n+1);k2=feval(dyfun,x(n+1),y(n+1));y(n+1)=y(n)+h*(k1+k2)/2;end%四阶S—K法function [x,y]=rk(dyfun,xspan,y0,h)%dyfun是常微分方程，xspan是x的取值围，y0是初值，h是步长。
x=xspan(1):h:xspan(2);y(1)=y0;for n=1:length(x)-1k1=feval(dyfun,x(n),y(n));k2=feval(dyfun,x(n)+h/2,y(n)+(h*k1)/2);k3=feval(dyfun,x(n)+h/2,y(n)+(h*k2)/2);k4=feval(dyfun,x(n)+h,y(n)+h*k3);y(n+1)=y(n)+(h/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4);end%主程序x=[0:0.1:1];y=exp(-x)+x;dyfun=inline('-y+x+1');[x1,y1]=naeuler(dyfun,[0,1],1,0.1);[x2,m,y2]=naeuler2(dyfun,[0,1],1,0.1);[x3,y3]=rk(dyfun,[0,1],1,0.1);plot(x,y,'r',x1,y1,'+',x2,y2,'*',x3,y3,'o');xlabel('x');ylabel('y');legend('y为真解','y1为欧拉解','y2为改进欧拉解','y3为S—K解','Location','NorthWest');1.2实验结果：x 真解y 欧拉解y1 预报值m 校正值y2 S—K解y30.0 1.0000 1.0000 1.0000 1.00000.1 1.0048 1.0000 1.0000 1.0050 1.00480.2 1.0187 1.0100 1.0145 1.0190 1.01870.3 1.0408 1.0290 1.0371 1.0412 1.04080.4 1.0703 1.0561 1.0671 1.0708 1.07030.5 1.1065 1.0905 1.1037 1.1071 1.10650.6 1.1488 1.1314 1.1464 1.1494 1.14880.7 1.1966 1.1783 1.1945 1.1972 1.19660.8 1.2493 1.2305 1.2475 1.2500 1.24930.9 1.3066 1.2874 1.3050 1.3072 1.30661.0 1.3679 1.3487 1.3665 1.3685 1.36792、选取一种理论上收敛但是不稳定的算法对问题1进行计算，并与真解作比较。
数值分析习题集及答案
数值分析习题集及答案篇一：数值分析习题与答案第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。
解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式()有已知x*的相对误差，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。
解：直接根据定义和式()()则得有5位有效数字，其误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？（1）（2），相对误差限满足，而解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。
（1）（2）4.近似数x*=,是 3位有数数字。
5.计算四个选项：取，利用：式计算误差最小。
第二、三章插值与函数逼近习题二、三 1.给定的数值表用线性插值与二次插值计算的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（）。
线性插值时，用及两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用，，三点，作二次Newton 插值误差限，故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次，函数表的步长h插值法求的近似值，要使误差不超过应取多少? 解：用误差估计式（），令因得3. 若，求和.解：由均差与导数关系于是4. 若的值，这里p≤n+1.解：可知当而当P＝n＋1时于是得有互异，求，由均差对称性5.求证.解：解：只要按差分定义直接展开得6.已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f()的近似值并用均差的余项表达式估计误差. 解：根据给定函数表构造均差表由式()当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=+()+()() 由此可得f() N3()= 由余项表达式()可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表篇二：数值分析试题1参考答案参考答案1 一、1．2 2．xn?1?xn?3．1, 0 4．7,f(xn)(n?0,1,?) ?f(xn)25 7?(k?1)15(k)??x2?x11336. ? ,1(k?1)?x2??x1(k?1)1220??2003??10?2?4二、(1) L??0?13??00?1??(2)1?0?120???,U??01?00?5???4000?2310?0??0?? 3??4?1??l65?a65?(l61u15?l62u25?l63u35?l64u45);u55u56?a55?(l51u16?l52u26?l53u356?l54u46)三、先造差分表如下：（1）选x1?,x2?,x3?,x4?为节点，构造三次向前Newton插值多项式?2y1?3y1N(x?th)?y1??y1?t(t?1)?t(t?1)(t?2) 31 2!3!将x1和h代入上式，则有N3(?)?25?2t?1/2*t(t?1)?5/6*t(t?1)(?2)由??解得t?,所以f()?N()?(2) 选x3?,x4?,x5?为节点，构造二次向前Newton插值式N2(x3?th)?y3??y3t?t(t?1)2!将x3和h代入上式，则有N2(?)?20?t?t(t?1) 由+=解得t=,所以 f()?N2()?（3）由f(?)3ht(t?1)(t?2)3!(,0?t?2)R2(x0?th)?f(?)3600有R（2(xi?)?(t?1)(t?2)?**maxt(t?1)(t?2)0?t?23!3!??可知f(x)有两位整数，故能保证有两位有效数字。
_改进欧拉方法范文
_改进欧拉方法范文改进欧拉方法的方法有很多，并且可以从多个方面进行改进。
在下面的文本中，将介绍三种常见的改进方法：改进的欧拉方法、修正的欧拉方法和改进的欧拉方法。
改进的欧拉方法（Improved Euler Method）是一种将欧拉方法进行改进的方法，它通过对函数的斜率进行线性插值来提高计算精度。
具体来说，改进的欧拉方法使用欧拉方法所计算出的斜率与下一个时间步上使用欧拉方法所计算出的斜率的平均值来计算下一个时间步的值。
改进的欧拉方法的迭代公式如下：y(i+1)=y(i)+(1/2)*h*(f(t(i),y(i))+f(t(i+1),y(i)+h*f(t(i),y(i ))))其中，i表示当前时间步，i+1表示下一个时间步，h表示时间步长，t(i)表示当前时间，t(i+1)表示下一个时间，y(i)表示在当前时间步处的函数值，y(i+1)表示下一个时间步处的函数值，f(t,y)表示在时间t处函数的斜率。
修正的欧拉方法（Modified Euler Method）是在改进的欧拉方法的基础上进行改进的方法，它通过对两个时间步使用欧拉方法所计算出的斜率的平均值来计算下一个时间步的值。
修正的欧拉方法的迭代公式如下：y(i+1)=y(i)+h*f(t(i)+1/2*h,y(i)+1/2*h*f(t(i),y(i)))其中，i表示当前时间步，i+1表示下一个时间步，h表示时间步长，t(i)表示当前时间，y(i)表示在当前时间步处的函数值，y(i+1)表示下一个时间步处的函数值，f(t,y)表示在时间t处函数的斜率。
改进的欧拉方法（Heun's method）是一种通过将两个时间步的斜率进行加权平均来计算下一个时间步的值的方法。
改进的欧拉方法的迭代公式如下：y(i+1)=y(i)+(1/2)*h*(f(t(i),y(i))+f(t(i+1),y(i)+h*f(t(i),y(i ))))其中，i表示当前时间步，i+1表示下一个时间步，h表示时间步长，t(i)表示当前时间，t(i+1)表示下一个时间，y(i)表示在当前时间步处的函数值，y(i+1)表示下一个时间步处的函数值，f(t,y)表示在时间t处函数的斜率。
第2讲(欧拉法续、局部截断误差相容性等)
这样，隐式欧拉方法也是一阶方法。
误差主项
再考察梯形方法，
yi 1
显然，
h yi f ( x i , yi ) f ( x i 1 , y i 1 ) 2
h LTE y( xi 1 ) y( xi ) f ( xi , y( xi )) f ( xi 1 , y( xi 1 )) 2 h y( xi 1 ) y( xi ) [ y( xi ) y( xi 1 )] 2
若一个数值方法的局部截断误差为LTE O (h p1 ) , 则称该数值方法是 p 阶的。它表示离散化后的方程是 原微分方程的近似。 Discrete operator ODE operator
p 越大表示离散方程与原微分方程近似程度越高。
对于欧拉方法，易见
yi 1 yi h f ( xi , yi )
0.345919877 0.866642536 1.607215078 2.620359551 3.967666294 5.720961526
yi y(t i )
0.000000000
0.003542088 0.008327998 0.014465435 0.022061312 0.031222180 0.042054423
误差，从而是局部的。 下证之。
简证：
yi 1 y( xi 1 ) yi h ( xi , yi , xi 1 , yi 1 ) [ LTE y( xi ) h ( xi , y( xi ), xi 1 , y( xi 1 ))]
h[ ( xi , yi , xi 1 , yi 1 ) ( xi , yi , xi 1 , y( xi 1 ))] LTE
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(tn 1 tn ) f (tn , u(tn )) f (tn1, u(tn1 )) 2
tn 1
tn
(tn 1 tn ) f (t , u )dt f (tn , u(tn )) 2
f t, u
f (tn1, u(tn1 ))
f t, u
也称为改进欧拉公式。
(1.20)
当然也可迭代多次：
(0) un 1 un hf (tn , un ) 预报格式 (1.21) ( k 1) h (k ) u u f ( t , u ) f ( t , u 校正格式 n 1 n n n n 1 n 1 ) 2
当步长 h 取得适当小，用预报格式(欧拉法)已能算出 比较好的近似值，故迭代收敛很快，通常只需迭代二三次 就可满足精度要求，如果迭代多次仍不收敛，说明步长过 大，必须减少步长 h ，再进行计算。 梯形法较之欧拉法提高了精度，但增加了迭代次数， 因此增加了计算工作量。
作业：课本P10,3 《李立康》4,5,6，实习题2
h ( k 1) (k ) f ( t , u un 1 un n 1 n 1 ) f (tn , un ) 2 (0) u n 1 初始猜测
(1.18)
迭代法的收敛性：由压缩映像原理可知：
h L 1 2
(1.19)
为迭代法收敛的充分条件。
故梯形公式的局部截断误差，即改进的Euler法的局部 截断误差为 h3
R ＝
(1) n
12
3 u（ ） O (h )
梯形公式的整体截断误差为：en u(tn ) un
1 由 un 1 un h f (tn , un ) f (tn 1, un 1 ), 2 u(tn 1 ) 0 u(tn h)h 2
1 0 2!
( 0)( 1)
h2 u(tn ) [u(tn 1 ) u(tn )] ( 1)u(tn h) 2 其中 0 1 ，两端关于 t 在 [tn , tn1 ] 上积分
tn 1
tn
f (t, u(t ))dt
tn 1
tn
[u(tn ) (u(tn1 ) u(tn ))]dt
h 2 tn 1 ( 1)u(tn h)dt 2 tn 因为t tn h, 所以dt hd , 且
tn 1
试用预报校正格式(1.20)解初值问题
u u t 1 u |t 0 1 t 0,1
并与Euler格式比较精度，取 h 0.1 作业要求：写出程序，列表或用图形显示结果，并 给出图或表所说明的结果
谢 谢
1.3 梯形法、隐式格式的迭代计算
在欧拉方法的推导过程，用矩形公式近似计算积分
tn 1
tn
f (t , u )dt
tn 1
tn
f (tn , u (tn ))dt
hf (tn , u(tn ))
若用梯形公式近似计算积分，则
u(tn 1 ) u(tn )
tn 1 tn
f ( t, u) dt
0
tn
tn 1
t
图1.3
因此有
1 u(tn 1 ) u(tn ) (tn 1 tn ) f (t n , u(t n )) f (t n 1, u(t n 1 )) 2
1 un 1 un h f (tn , un ) f (tn 1 , un 1 ) 2
当 k 0,
有下面的预报-校正格式：
(0) un 1 un hf (tn , un ) 预报格式 h (0) u u f ( t , u ) f ( t , u 校正格式 n 1 n n n n 1 n 1 ) 2
n
故梯形法（即改进的欧拉法）的整体截断误差的 阶为 O(h2 )，从而梯形格式是收敛的。类似于Euler格 式可以得到梯形格式的稳定性定理。
前已指出，梯形法是一个隐式格式
h un 1 un f (tn , un ) f (tn 1 , un 1 ) 2
(1.16)
如何求解 un 1 ，采用迭代法，其格式如下：
n
,n
n次Lagrange插值多项式为 Ln ( x ) yi li ( x )，
i 0
余项： Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x ) 满足 定理：设被插值函数f ( x ) C n 1[a, b], 且插值节点x0 , x1 , 互不相同，则对任意x [a, b], 都存在 [a, b]，使得 f ( n 1) ( ) Rn ( x ) ( x x0 )( x x1 ) ( n 1)! ( x xn ) , xn
tn 1
作差得
tn
f (t , u(t ))dt
h3 ） en 1 en u（ , 12 (1) 令R (1)＝max Rn , 且nh T t0
h 3 (1) h 3 (1) 所以|en 1 || en | R (n 1) R | e0 | 12 12 h 3 (1) h 2 (1) R ＋ R （T t0） | e0 | O (h 2 ), 12 12
(1.16)
这是一个隐式格式。 梯形公式局部截断误差分析： 将 t [tn , tn1 ] 表成 t tn h , 0 1. 对于 (0, u(tn ))和(1, u(tn1 )), 用两点插值的余项公式有
f (t , u(t )) u(t ) u(tn h ) u(tn )
1.3 梯形法、隐式格式的迭代计算
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数值分析预备知识：
引入Lagrange插值方法： 设已知点(xi , yi )(i = 0,1,2, 令 li ( x )
j 0,i j n j 0,i j
,n)
n
(x xj ) , i = 0,1,2, ( xi x j )
tn
h h3 ）, f (t , u(t ))dt [u(tn ) u(tn 1 )] u（ （tn , tn 1） 2 12
即
tn 1
tn
h h3 ）, f (t , u(t ))dt [ f (tn , u(tn )) f (tn 1, u(tn 1 ))] u（ 2 12