1.2 改进的欧拉法

故梯形公式的局部截断误差，即改进的Euler法的局部 截断误差为 h3
R ＝
(1) n
12
3 u（ ） O (h )
梯形公式的整体截断误差为：en u(tn ) un
1 由 un 1 un h f (tn , un ) f (tn 1, un 1 ), 2 u(tn 1 ) u(tn )
1.3 梯形法、隐式格式的迭代计算
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结束
数值分析预备知识：
引入Lagrange插值方法： 设已知点(xi , yi )(i = 0,1,2, 令 li ( x )
j 0,i j n j 0,i j
,n)

n
(x xj ) , i = 0,1,2, ( xi x j )
试用预报校正格式(1.20)解初值问题
u u t 1 u |t 0 1 t 0,1
并与Euler格式比较精度，取 h 0.1 作业要求：写出程序，列表或用图形显示结果，并 给出图或表所说明的结果
谢 谢
Baidu Nhomakorabea
(tn 1 tn ) f (tn , u(tn )) f (tn1, u(tn1 )) 2
tn 1
tn

(tn 1 tn ) f (t , u )dt f (tn , u(tn )) 2
f t, u
f (tn1, u(tn1 ))
f t, u
当 k 0,
有下面的预报-校正格式：
(0) un 1 un hf (tn , un ) 预报格式 h (0) u u f ( t , u ) f ( t , u 校正格式 n 1 n n n n 1 n 1 ) 2
h ( k 1) (k ) f ( t , u un 1 un n 1 n 1 ) f (tn , un ) 2 (0) u n 1 初始猜测
(1.18)
迭代法的收敛性：由压缩映像原理可知：
h L 1 2
(1.19)
为迭代法收敛的充分条件。
1
0 1
u(tn 1 )
0 u(tn h)h 2
1 0 2!
( 0)( 1)
h2 u(tn ) [u(tn 1 ) u(tn )] ( 1)u(tn h) 2 其中 0 1 ，两端关于 t 在 [tn , tn1 ] 上积分
1.3 梯形法、隐式格式的迭代计算
在欧拉方法的推导过程，用矩形公式近似计算积分
tn 1
tn

f (t , u )dt
tn 1
tn

f (tn , u (tn ))dt
hf (tn , u(tn ))
若用梯形公式近似计算积分，则
u(tn 1 ) u(tn )
tn 1 tn

f ( t, u) dt
0
tn
tn 1
t
图1.3
因此有
1 u(tn 1 ) u(tn ) (tn 1 tn ) f (t n , u(t n )) f (t n 1, u(t n 1 )) 2
1 un 1 un h f (tn , un ) f (tn 1 , un 1 ) 2
tn
h h3 ）, f (t , u(t ))dt [u(tn ) u(tn 1 )] u（ （tn , tn 1） 2 12
即
tn 1
tn
h h3 ）, f (t , u(t ))dt [ f (tn , u(tn )) f (tn 1, u(tn 1 ))] u（ 2 12
(1.16)
这是一个隐式格式。 梯形公式局部截断误差分析： 将 t [tn , tn1 ] 表成 t tn h , 0 1. 对于 (0, u(tn ))和(1, u(tn1 )), 用两点插值的余项公式有
f (t , u(t )) u(t ) u(tn h ) u(tn )
n

,n
n次Lagrange插值多项式为 Ln ( x ) yi li ( x )，
i 0
余项： Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x ) 满足 定理：设被插值函数f ( x ) C n 1[a, b], 且插值节点x0 , x1 , 互不相同，则对任意x [a, b], 都存在 [a, b]，使得 f ( n 1) ( ) Rn ( x ) ( x x0 )( x x1 ) ( n 1)! ( x xn ) , xn

tn 1
tn
f (t, u(t ))dt
tn 1
tn
[u(tn ) (u(tn1 ) u(tn ))]dt
h 2 tn 1 ( 1)u(tn h)dt 2 tn 因为t tn h, 所以dt hd , 且

tn 1
tn 1
作差得
tn

f (t , u(t ))dt
h3 ） en 1 en u（ , 12 (1) 令R (1)＝max Rn , 且nh T t0
h 3 (1) h 3 (1) 所以|en 1 || en | R (n 1) R | e0 | 12 12 h 3 (1) h 2 (1) R ＋ R （T t0） | e0 | O (h 2 ), 12 12
当步长 h 取得适当小，用预报格式(欧拉法)已能算出 比较好的近似值，故迭代收敛很快，通常只需迭代二三次 就可满足精度要求，如果迭代多次仍不收敛，说明步长过 大，必须减少步长 h ，再进行计算。 梯形法较之欧拉法提高了精度，但增加了迭代次数， 因此增加了计算工作量。
作业：课本P10,3 《李立康》4,5,6，实习题2
也称为改进欧拉公式。
(1.20)
当然也可迭代多次：
(0) un 1 un hf (tn , un ) 预报格式 (1.21) ( k 1) h (k ) u u f ( t , u ) f ( t , u 校正格式 n 1 n n n n 1 n 1 ) 2
n
故梯形法（即改进的欧拉法）的整体截断误差的 阶为 O(h2 )，从而梯形格式是收敛的。类似于Euler格 式可以得到梯形格式的稳定性定理。
前已指出，梯形法是一个隐式格式
h un 1 un f (tn , un ) f (tn 1 , un 1 ) 2
(1.16)
如何求解 un 1 ，采用迭代法，其格式如下：