有理数的运算知识点总复习
有理数及其运算知识点总结整理
有理数及其运算知识点总结整理本节介绍有理数的概念和相关知识点，需要认真研究并总结，自己理解部分知识可以帮助记忆。
1.正数和负数1) 大于零的数是正数。
2) 在正数前面加上负号“-”的数是负数。
3) 数既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界。
4) 在同一个问题中，用正数和负数表示的量具有相反的意义。
2.有理数1) 能写成分数形式的数都是有理数，包括整数和分数。
注意：既不是正数也不是负数的数，可能不是负数，例如-（-2）=4，此时a=-2.π不是有理数。
正整数、零、负整数和分数分别属于正有理数、零、负有理数和负有理数。
2) 有理数可以分为两类：①有理数零；②有理数非零。
正分数、负有理数、负分数属于有理数非零；正整数属于有理数非零和有理数零；负整数属于有理数非零和有理数负数。
3.数轴【重点】1) 数轴是用一条直线上的点表示数的图示，满足以下要求：①在直线上任取一个点作为原点；②通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1,2,3…；从原点向左，用类似的方法依次表示-1,-2，-3…2) 数轴有三要素：原点、正方向、单位长度。
3) 画数轴的步骤：画一条直线并选取原点、取正反向、选取单位长度、标数字。
数轴的规范画法：直线上数字在下，字母在上。
需要注意的是，所有有理数都可以用数字上的点表示，但是数轴上的所有点并不都表示有理数。
4) 一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。
4.相反数1) 只有符号不同的两个数互为相反数。
①注意：a-b+c的相反数是-a+b-c；a-b的相反数是b-a；a+b的相反数是-a-b；②相反数的商为-1；③相反数的绝对值相等。
(完整版)有理数及其运算知识点汇总
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧有理数⎪⎩⎪⎨⎧)3,2,1:()3,2,1:( 如负整数如正整数整数)0(零⎪⎩⎪⎨⎧----)8.4,3.2,31,21:( 如负分数分数)8.3,3.5,31,21:( 如正分数有理数及其运算知识点汇总 1、2、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（三者缺一不可）。
3、任何一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示。
（反过来，不能说数轴上所有的点都表示有理数）4、如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。
（0的相反数是0）5、在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的侧，且到原点的距离相等。
数轴上两点表示的数，右边的总比左边的大。
正数在原点的右边，负数在原点的左边。
6、绝对值的定义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离。
数a 的绝对值记作|a|。
7、正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的数；0的绝对值是0。
⎪⎩⎪⎨⎧<-=>)0()0(0)0(||a a a a a a 或 ⎩⎨⎧<-≥)0()0(||a a a a a 8、绝对值的性质：除0外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数； 互为相反数的两数（除0外）的绝对值相等；任何数的绝对值总是非负数，即|a|≥09、比较两个负数的大小，绝对值大的反而小。
比较两个负数的大小的步骤如下： ①先求出两个数负数的绝对值；②比较两个绝对值的大小；③根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。
10、绝对值的性质：①对任何有理数a ，都有|a|≥0②若|a|=0，则|a|=0，反之亦然③若|a|=b ，则a=±b④对任何有理数a,都有|a|=|-a|11、有理数加法法则：①同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加。
②异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时取绝对值较大的数的符号，并 用较大数的绝对值减去较小数的绝对值。
③一个数同0相加，仍得这个数。
有理数的运算知识点总复习附解析
有理数的运算知识点总复习附解析一、选择题1．地球上海洋面积约为361000000平方公里，361000000用科学记数法可表示为（ ） A ．90.36110⨯B ．73.6110⨯C ．83.6110⨯D ．736110⨯【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】 361000000=83.6110⨯，故选：C ．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．2．下列说法中，正确的是（ ）A ．在数轴上表示-a 的点一定在原点的左边B ．有理数a 的倒数是1aC ．一个数的相反数一定小于或等于这个数D ．如果a a =-，那么a 是负数或零【答案】D【解析】【分析】根据实数与数轴的对应关系、倒数、相反数、绝对值的定义来解答.【详解】解：A 、如果a<0，那么在数轴上表示-a 的点在原点的右边，故选项错误；B 、只有当a≠0时，有理数a 才有倒数，故选项错误；C 、负数的相反数大于这个数，故选项错误；D 、如果a a =-，那么a 是负数或零是正确.故选D.【点睛】本题考查了数轴、倒数、相反数、绝对值准确理解实数与数轴的定义及其之间的对应关系.倒数的定义：两个数的乘积是1，则它们互为倒数；相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数；绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.3．2019-的倒数是（）A．2019 B．－2019 C．12019D．12019-【答案】C【解析】【分析】先利用绝对值的定义求出2019-，再利用倒数的定义即可得出结果.【详解】2019-=2019,2019的倒数为1 2019故选C【点睛】本题考查了绝对值和倒数的定义，熟练掌握相关知识点是解题关键.4．如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是6，……，则第2019次输出的结果是（）A．1 B．3 C．6 D．8【答案】B【解析】【分析】把x＝2代入程序中计算，以此类推得到一般性规律，即可确定出第2019次输出的结果．【详解】把x＝2代入得：12×2＝1，把x＝1代入得：1+5＝6，把x＝6代入得：12×6＝3，把x＝3代入得：3+5＝8，把x＝8代入得：12×8＝4，把x＝4代入得：12×4＝2，把x＝2代入得：12×2＝1，∵2019÷6＝336…3，∴第2019次输出的结果为3，故选：B ．【点睛】此题考查了代数式求值，弄清题中的程序框图是解本题的关键．5．为促进义务教育办学条件均衡，2019年某地区计划投入4200000元资金为该地区农村学校添置实验仪器，4200000这个数用科学记数法表示为（ ）A ．44210⨯B ．64.210⨯C ．84210⨯D ．60.4210⨯【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】4200000=4.2×106，故选：B ．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．6．暑期爆款国产动漫《哪吒之降世魔童》票房已斩获4930000000，开启了国漫市场崛起新篇章，4930000000用科学计数法可表示为（ ）A ．49.3×108B ．4.93×109C ．4.933×108D ．493×107【答案】B【解析】【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a ×10n ，其中1≤|a |＜10，n 为整数，据此判断即可.【详解】解：4930000000=4.93×109． 故选B ．【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a ×10n ，其中1≤|a |＜10，确定a 与n 的值是解题的关键．7．一个整数815550…0用科学记数法表示为8.1555×1010，则原数中“0”的个数为（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．10【解析】【分析】把8.1555×1010写成不用科学记数法表示的原数的形式即可得．【详解】∵8.1555×1010表示的原数为81555000000，∴原数中“0”的个数为6，故选B．【点睛】本题考查了把科学记数法表示的数还原成原数，科学记数法的表示的数a×10n还成成原数时， n＞0时，小数点就向右移动n位得到原数；n<0时，小数点则向左移动|n|位得到原数.8．如图是张小亮的答卷，他的得分应是（）A．40分B．60分C．80分D．100分【答案】A【解析】【分析】根据绝对值、倒数、相反数、立方以及平均数进行计算即可．【详解】解：①若ab=1，则a与b互为倒数，②（-1）3=-1，③-12=-1，④|-1|=-1，⑤若a+b=0，则a与b互为相反数，故选A．【点睛】本题考查了实数，掌握绝对值、倒数、相反数、立方根以及平均数的定义是解题的关键．9．已知：||2||3||a b b c c amc a b+++=++，且abc＞0，a+b+c＝0．则m共有x个不同的值，若在这些不同的m值中，最大的值为y，则x+y＝（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根据绝对值的意义分情况说明即可求解．【详解】∵abc＞0，a+b+c=0，∴a、b、c为两个负数，一个正数，a+b=﹣c，b+c=﹣a，c+a=﹣b，m23c a bc a b---=++，∴分三种情况讨论：当a＜0，b＜0，c＞0时，m=1﹣2﹣3=﹣4，当a＜0，c＜0，b＞0时，m=﹣1﹣2+3=0，当a＞0，b＜0，c＜0时，m=﹣1+2﹣3=﹣2，∴x=3，y=0，∴x+y=3．故选：B．【点睛】本题考查了有理数的混合运算和绝对值，解答本题的关键是分类讨论．10．据民政部网站消息截至2018年底，我国60岁以上老年人口已经达到2.56亿人．其中2.56 亿用科学记数法表示为（）A．2.56×107B．2.56×108C．2.56×l09D．2.56×l010【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：2.56亿=256000000=2.56×108，故选B.【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．11．2019年3月5日，第十三届全国人民代表大会第二次会议的《政府工作报告》中指出，我国经济运行保持在合理区间．城镇新增就业13610000、调查失业率稳定在5%左右的较低水平，数字13610000科学记数法表示为（）A．1.361×104B．1.361×105C．1.361×106D．1.361×107【答案】D【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：13610000用科学记数法表示为1.361×107，故选D．【点睛】考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12．若（x+y﹣1）2+|x﹣y+5|＝0，则x＝（）A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1【答案】A【解析】【分析】由已知等式，利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到x即可.【详解】解：∵（x+y﹣1）2+|x﹣y+5|＝0，∴1050 x yx y+-=⎧⎨-+=⎩，解得：23xy=-⎧⎨=⎩，故选：A.【点睛】本题主要考查了非负数的性质和二元一次方程组的解法，根据两个非负数的和为零则这两个数均为零得出方程组是解决此题的的关键.13．（﹣1）4可表示为（）A．（﹣1）×4 B．（﹣1）+（﹣1）+（﹣1）+（﹣1）C．﹣1×1×1×1 D．（﹣1）×（﹣1）×（﹣1）×（﹣1）【答案】D【解析】【分析】根据有理数乘法的定义可得出结论．【详解】（﹣1）4=（-1）×（-1）×（-1）×（-1）.故答案选D.【点睛】本题考查的知识点是有理数的乘方，解题的关键是熟练的掌握有理数的乘方.14．2019 年 1 月 3 日，我国“嫦娥四号”月球探测器在月球背面软着陆，实现人类有史以来首次成功登陆月球背面．已知月球与地球之间的平均距离约为 384 000km ，把 384 000km 用科学记数法可以表示为（ ）A ．38.4 ×10 4 kmB ．3.84×10 5 kmC ．0.384× 10 6 kmD ．3.84 ×10 6 km【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】科学记数法表示：384 000=3.84×105km故选B ．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．15．将数47300000用科学记数法表示为（ ）A ．547310⨯B ．647.310⨯C ．74.7310⨯D ．54.7310⨯【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】解：将47300000用科学记数法表示为74.7310⨯，故选：C ．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．16．下面是一名学生所做的4道练习题：①224-=；②336a a a +=；③44144mm -=；④()3236xy x y =。
有理数的知识点总结
有理数的知识点总结一、有理数的定义及基本性质：有理数是指所有可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和零。
有理数可以用一组整数的比值表示成两种形式：分数形式（也称作比例效应）和小数形式（也称作数列形式）。
有理数的集合通常记作Q。
有理数具有以下基本性质：1. 有理数的加法、减法、乘法和除法仍然是有理数，也就是说，有理数集合对于这四种运算是封闭的。
2. 有理数满足交换律和结合律，在加法和乘法运算中，a+b =b+a，(a+b)+c = a+(b+c)；在乘法运算中，a×b = b×a，(a×b)×c= a×(b×c)。
3. 有理数乘法和除法具有倒数性质，即对于任意非零有理数a，存在一个有理数b使得a×b = 1。
4. 有理数乘法符合分配律，即对于任意有理数a、b和 c，a×(b+c) = a×b + a×c。
5. 有理数具有唯一分解性质，即任何一个非零有理数都可以唯一表示为两个整数的比值，而且这个比值对于最简分数形式是唯一的。
二、有理数的四则运算：1. 有理数的加法和减法：对于两个有理数a/b和 c/d，它们的加法定义为(a/b) + (c/d) = (ad+bc)/bd，减法定义为(a/b) - (c/d) = (ad-bc)/bd。
在进行加法和减法运算时，通常需要化简结果为最简分数形式。
2. 有理数的乘法和除法：对于两个有理数 a/b和 c/d，它们的乘法定义为(a/b) × (c/d) =ac/bd，除法定义为(a/b) ÷ (c/d) = ad/bc（其中c/d≠0）。
在进行乘法和除法运算时，同样需要化简结果为最简分数形式。
三、有理数的大小比较：在有理数集合中，任何两个有理数都可以通过大小比较运算来确定它们的相对大小。
有理数的大小比较有以下几个基本原则：1. 相同符号的有理数比较大小，绝对值越大的数为更大的数；2. 不同符号的有理数比较大小，正数大于零，零大于负数；3. 相同符号的两个有理数的绝对值比较，绝对值较小的数较小。
《有理数》的知识点汇总
第一章有理数1.1 正数与负数1.正数和负数的概念①正数：大于0的数叫正数。
（根据需要，有时在正数前面也加上“+”）②负数：在以前学过的0以外的数前面加上负号“—”的数叫负数。
与正数具有相反意义。
③0既不是正数也不是负数。
0是正数和负数的分界，是唯一的中性数。
注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。
（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断）②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。
所以省略“+”的正数的符号是正号。
2.具有相反意义的量若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃3.0表示的意义⑴0表示“没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人；⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。
如：（3） 0表示一个确切的量。
如：0℃以及有些题目中的基准，比如以海平面为基准，则0米就表示海平面。
注意：搞清相反意义的量：南北；东西；上下；左右；上升下降；高低；增长减少等1.2 有理数有理数1.有理数的概念⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）⑵正分数和负分数统称为分数⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
理解：只有能化成分数的数才是有理数。
①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。
②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。
3，整数也能化成分数，也是有理数注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。
2.有理数的分类总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）②负整数、0统称为非正整数③正有理数、0统称为非负有理数④负有理数、0统称为非正有理数数轴⒈数轴的概念规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。
有理数总复习
a 10b第一章 有理数总复习知识点梳理：1.正数与负数：负数产生的必要性；具有相反意义的量。
2.有理数的分类：3.数轴、相反数、倒数、绝对值：（1）数轴的三要素是：________________________________（2）只有符号不同的两个数叫做互为____________，a 的相反数为___ ；（3）互为倒数的两个数乘积是 ， 没有倒数；（4）一个正数的绝对值是____________；一个负数的绝对值是____________；零的绝对值是_______.（5）有理数的大小比较：方法一：0 一切正数，0 一切负数；两个负数作比较，绝对值大的 .方法二：在数轴上，________表示的数总比________表示的数大。
4.科学记数法：把一个大于10的数表示成a ×10n 的形式， （其中a 是____________ ，n 是____________ ）5.近似数【自主学习、巩固训练】要求：自主完成下列各题，并把自己疑惑的、不懂的做好批注，时间10分钟.1. 在 -1，+7， 0， 23-， 516中，正数有 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个2.在–2，+3.5，0，32-，–0.7，11中．负分数有…………（ ） A 、l 个 B 、2个 C 、3个 D 、4个3. 下列数据是近似数的是（ ）A.小白数学得了90分B. 小明身高约173cmC.数学课本有86页D.（1）班有45名同学4.如图 ， ，那么下列结论正确的是( ) A ．a 比b 大 B ．b 比a 大C ．a 、b 一样大D ．a 、b 的大小无法确定5.我国最长的河流长江全长约为6300千米，用科学记数法表示为（ ）A. 63×102千米B. 6.3×102千米或者有理数 有理数C. 6.3×104千米D. 6.3×103千米6.用数轴上的点表示下列有理数， 并求其相反数、倒数和绝对值。
(完整版)《有理数》章节知识点归纳总结
有理数章节知识点归纳总结一、基本运算和基本概念本身之迷① 倒数是它本身的数是±1② 绝对值是它本身的数是非负数（正数和0)③平方等于它本身的数是0，1 ④立方等于经本身的数是±1，0 ⑤偶数次幂等于本身的数是0、1 ⑥奇数次幂等于本身的数是±1,0 ⑦相反数是它本身的数是0 数之最①最小的正整数是 1 ②最大的负整数是-1③绝对值最小的数是0 ④平方最小的数是0 ⑤最小的非负数是0 ⑥最大的非正数0 ⑦没有最大和最小的有理数⑧没有最大的正数和最小的负数例、填空：①两个互为相反数的数的和是_____； ②____与它绝对值的差为0；③ 两个互为相反数的数的商是___；（0除外）④ ____的倒数等于它本身；⑤____的绝对值与它本身互为相反数； ⑥ ____的平方与它的立方互为相反数; ⑦_ __的倒数与它的平方相等； ⑧____的平方是4,_____的绝对值是4；1、（1）、___)9()6(=-++ , (2）、___)9()6(=--+,（3）、___)9()6(=-⨯+, （4）、___)14()56(=-÷-, (5）、___4716=-, （6）、___46=+-，（7）、____)3(3=-， (8)、____)2(4=-，（9）、____24=-， (10）、____)1(2008=-， （11)、____)2(3=--, (12）、___565=--，(13）、___2131=-, （14)、___)103()65(=-⨯-，(15）、___8325.0=÷-，（16）、____5.04=，（17）、___55=+-， （18)、___1020=--， (19）、___)1.6()9.5(=---，（20)、___)13(0)56()7(=-÷⨯-⨯-.（21)、2)2(-=-—————---————- （22）、 23=—--—-—-—-----— (23）、 2)32(-=-—-——-——-—-—--(24）、 22-=—-———-———-——-—（25）、 32=--—---—————--- （ 26）、 322-=--——-—-—--—---（27）、2009)1(-=———-—-————- （28)、 20071-=----——-—-—--( 29） ( ）2＝16，( 30）()()=---3411( 31)=⨯⨯-4232 （ 32）()=-⨯⨯-1021)32(（ 33）=⨯--21222（ 34)=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-25522（ 35）=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--22312、下面有四种说法，其中正确的是 （ ） A 。
(完整版)有理数的除法及其运算知识点汇总
(完整版)有理数的除法及其运算知识点汇
总
1. 有理数的除法规则
- 有理数除以非零有理数，除数不为负时，商为正，除数为负时，商为负。
2. 有理数的除法步骤
- 将除法转化为乘法：除法问题可以转化为乘法问题，即将除数的倒数与被除数相乘。
- 计算乘积：将除数的倒数与被除数相乘，并化简答案。
3. 有理数的除法性质
- 除法的运算交换律：a ÷ b = b ÷ a
- 除法的运算结合律：(a ÷ b) ÷ c = a ÷ (b × c)
- 除法的运算分配律：a ÷ (b + c) = a ÷ b + a ÷ c
4. 有理数的除法运算技巧
- 将除数写成一个最简分数或小数，有助于计算时减小出错概率。
- 当除数很接近被除数时，可通过调整被除数变成除数的倍数，从而简化除法计算。
5. 有理数除法应用
- 有理数的除法在实际生活中有广泛应用，比如计算货币兑换、计算长短时间等。
6. 实例演算
以下是一个有理数的除法示例演算过程：
例如：计算-0.5 ÷ 0.2
从上述示例可见，有理数的除法运算需要注意符号、化简答案
和特殊情况的处理。
以上是有理数的除法及其运算知识点的汇总。
希望对您有帮助！。
有理数的运算复习
a 10
n
的形式。
例 (1)用科学记数法表示下列各数:
(2)下列用科学记数法表示的数, 原来各是什么数? 4.315
3 ×10 ;
1.02
(3)计算: (8.1 ×108) ÷ (9 ×105)
{
31个0
230000;
15800…0
6 ×10
对近似数的精确度的两种表述方式：
任何数同0相乘，都得0.
五、有理数除法法则：
1、除以一个不等于0的数，等于乘于这个数的倒数。
2、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 0除以任何一个不等于0的数，都得0. 例：用“＞”、“＝”、“＜”填空 ＞ 1、若ab＞0，则 a ____0 b a ＜ 2、若ab＜0，则 b ____0 ＜ ，b____0 ＜ 3、若ab＞0，a＋b＜0，则a____0
3、已知两数相乘大于0，相加小于0，则这两数 的符号是（ B ） A同正 B同负 C一正一负 D无法确定
4、下列运算中，结果相等的是（ A A（-2）3与－23 C（-3）2与－32 B（-2）3与－32
）
D（-3×2）3与－3×23
5、如果a＞0，b＜0，a+b＜0，那么下列各 式中大小关系正确的是（ D ） （A）－b＜－a＜b＜a （B）－a＜b＜a＜－b （C）b＜－a＜－b＜a （D）b＜－a＜a＜－b
例4、若m 5, m n 8, 则n等于（ ） A、-3 C、-3或13 A、正有理数 C、负有理数 B、13 D、-13或3 B、非正有理数 D、非负有理数
例5、 若a是负有理数，则-a 3是（ ）
1、用计算器填空： 你发现什么规律，并根据规律不用计算器计算
有理数及其运算知识点总结
有理数及其运算知识点总结
1. 有理数是可以表达为两个整数的比值的数，包括正整数、负整数、零以及可以用分数表示的数。
2. 有理数的加法和减法运算：
- 相同符号的有理数相加减，绝对值相加减，结果带相同符号。
- 不同符号的有理数相加减，绝对值相减，结果带绝对值大的符号。
3. 有理数的乘法和除法运算：
- 相同符号的有理数相乘、相除，结果为正数。
- 不同符号的有理数相乘、相除，结果为负数。
4. 有理数的乘法：
- 非零有理数相乘，绝对值相乘，符号由乘法规则决定。
- 0乘以任何数等于0。
5. 有理数的除法：
- 非零有理数相除，绝对值相除，符号由除法规则决定。
- 0不能作为除数。
6. 有理数的乘方：
- 正数的乘方：底数不变，指数相乘。
- 零的非负整数次幂为0，零的负整数次幂没有定义。
- 1的任何整数次幂仍为1。
- 负数的偶次幂为正数，奇次幂为负数。
7. 有理数的相反数是指与其绝对值相等，但符号相反的数。
8. 有理数的倒数是指其倒数等于它的分子和分母互换位置后的比值。
9. 有理数的绝对值是指其去掉符号的值。
10. 有理数的大小比较：
- 两个有理数绝对值相等，但符号相反时，负数较大。
- 两个正数比较大小，绝对值大的数较大。
- 两个负数比较大小，绝对值小的数较大。
这些是有理数及其运算的基本知识点总结，能够帮助理解有理数的概念和规则。
有理数知识点考点难点总结归纳
有理数知识点考点难点总结归纳有理数是数学中一种重要的数的概念，在数学学科的学习中经常会涉及到有理数的运算和性质。
掌握有理数的相关知识点、考点和难点，对于学习数学和解题非常重要。
本文将就有理数的知识点、考点和难点进行总结归纳，希望能够对读者有所帮助。
一、有理数的定义有理数是指可以表示为两个整数之比（分数形式）的数，包括正有理数、负有理数和0。
二、有理数的四则运算1. 加法：有理数的加法运算要注意符号的变化，同号相加取相同符号，异号相加取绝对值较大数的符号。
2. 减法：有理数的减法可以转化为加法运算，对减数取相反数，然后进行加法运算。
3. 乘法：有理数的乘法运算结果符号遵循正负号相同为正，正负号不同为负的原则。
4. 除法：有理数的除法可以转化为乘法运算，对除数取倒数，然后进行乘法运算。
三、有理数的性质1. 有理数的封闭性：有理数的加法、减法、乘法和除法的运算结果都是有理数。
2. 有理数的整除性：如果有理数a除以非零有理数b，商等于有理数c，则称a能被b整除，b能整除a；如果商c是整数，则a和b是整数关系；如果商c不是整数，则a和b是非整数关系。
3. 有理数的传递性：对于任意三个有理数a、b、c，如果a<b<c，则a和c之间也存在一个有理数，即b。
四、有理数的比较1. 同号比较：两个正有理数比较大小，绝对值较大的数较大；两个负有理数比较大小，绝对值较小的数较大。
2. 异号比较：正有理数大于负有理数；负有理数小于正有理数。
五、有理数的绝对值有理数a的绝对值表示为|a|，其中正有理数的绝对值等于其本身，负有理数的绝对值等于去掉负号。
六、有理数的约分和化简1. 约分：对于有理数a/b，如果a和b有公因数，可以将a和b同时除以最大公因数，使得a/b约分为最简形式。
2. 化简：对于有理数a+b/c，可以先将a和b进行整数部分的运算，然后将分数部分化简为最简形式。
七、有理数的应用有理数在实际生活中的应用非常广泛，例如在温度计上的正负温度、货币的盈亏计算、海拔的升降等。
有理数的四则运算知识点总结
有理数的四则运算知识点总结有理数是数学中的一类数，包括整数和分数。
研究有理数的四则运算是学习数学的基础，下面对有理数的加减乘除四种运算进行总结。
一、加法运算有理数的加法运算可以使用如下公式：a + b = c，其中a、b和c是有理数。
有理数的加法具有如下性质：1. 交换律：a + b = b + a2. 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)3. 零元素：a + 0 = a4. 相反数：a + (-a) = 0二、减法运算有理数的减法运算是加法运算的逆运算，可以使用如下公式：a - b = c，其中a、b和c是有理数。
有理数的减法具有如下性质：1. a - b = a + (-b)2. 零元素：a - 0 = a3. a - a = 0三、乘法运算有理数的乘法运算可以使用如下公式：a * b = c，其中a、b和c是有理数。
有理数的乘法具有如下性质：1. 交换律：a * b = b * a2. 结合律：(a * b) * c = a * (b * c)3. 单位元素：a * 1 = a4. 零元素：a * 0 = 05. 倒数：a * (1/a) = 1（其中a≠0）四、除法运算有理数的除法运算是乘法运算的逆运算，可以使用如下公式：a / b = c，其中a、b和c是有理数。
需要注意的是，除数b不能为0。
有理数的除法具有如下性质：1. a / b = a * (1/b)2. a / 1 = a3. a / a = 1（其中a≠0）除了四则运算的基本性质外，还需要注意以下几个知识点：1. 当两个有理数同号时，它们的和为它们的绝对值之和；当两个有理数异号时，它们的差的绝对值等于它们的绝对值之差。
2. 两个有理数相加减时，先求它们的绝对值之和（差），然后根据它们的符号确定结果的符号。
3. 两个有理数相乘时，先求它们的绝对值之积，然后根据乘积的正负性确定结果的符号。
4. 有理数的倒数是指与这个数相乘得到1的数，0的倒数不存在。
(完整版)有理数运算知识点总结
(完整版)有理数运算知识点总结有理数运算知识点总结1. 有理数的定义有理数是可以用两个整数的比（分数形式）表示的数。
有理数包括正数、负数和零。
2. 有理数的四则运算2.1 加法有理数的加法满足以下运算规则：- 正数与正数相加，结果为正数；- 负数与负数相加，结果为负数；- 正数与负数相加，结果的绝对值为两数绝对值之差，并且符号与绝对值较大的数相同。
2.2 减法有理数的减法可以转化为加法运算，即a - b = a + (-b)。
2.3 乘法有理数的乘法满足以下运算规则：- 正数与正数相乘，结果为正数；- 负数与负数相乘，结果为正数；- 正数与负数相乘，结果为负数。
2.4 除法有理数的除法可以转化为乘法运算，即a ÷ b = a × (1/b)。
3. 有理数的运算性质3.1 交换律加法和乘法满足交换律，即a + b = b + a，a × b = b × a.3.2 结合律加法和乘法满足结合律，即(a + b) + c = a + (b + c)，(a × b) × c = a × (b × c).3.3 分配律乘法对加法满足左分配律和右分配律，即a × (b + c) = (a × b) + (a × c)，(a + b) × c = (a × c) + (b × c).4. 有理数的大小比较4.1 绝对值比较对于两个有理数a和b，如果|a| = |b|，则a = b，如果|a| > |b|，则a > b，如果|a| < |b|，则a < b.4.2 正负数比较对于一个正数和一个负数，正数大于负数。
4.3 同号数比较对于两个正数或两个负数，绝对值较大的数较大。
5. 有理数的相反数和倒数5.1 相反数一个有理数a的相反数记作-a，即a + (-a) = 0。
有理数的运算知识点汇总及练习
有理数的运算知识点汇总及练习有理数的运算知识点汇总：一、有理数的加减法有理数加法法则：1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2.异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；3.一个数与相加，仍得这个数.有理数加法运算律：1.加法的交换律：a+b=b+a；2.加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.在运用运算律时，可以灵活运用以下规律：1）互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”；2）符号相同的两个数先相加——“同号结合法”；3）分母相同的数先相加——“同分母结合法”；4）几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”；5）整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。
有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）.二、有理数的乘除法有理数乘法法则：1.两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；2.任何数同0相乘，都得0；3.几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；4.几个数相乘，如果其中有因数为0，则积等于0.有理数乘法的运算律：1）乘法的交换律：ab=ba；2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac。
有理数除法法则：1.除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。
2.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
三、有理数的加减乘除混合运算乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。
有理数加减乘除混合运算，如果有括号先计算括号里的，如果无括则按照‘先乘除，后加减’的顺序进行。
知识点3：有理数乘方乘方的概念：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数。
记作an，在an中，a叫做底数，n叫做指数。
乘方的性质：1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。
2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.练10：混合运算中的简便运算技巧1.计算：15\div\frac{5}{1}-\frac{51\times(-1/2)}{\frac{7}{-7} -\frac{8}{-27}}$$化XXX：15\times\frac{1}{5}-\frac{51}{2}\div\frac{7}{-7+8/27}$$继续化简得：3- \frac{51}{2}\div\frac{7\times27-8}{27}$$最终结果为：frac{249}{22}$$2.某个家庭为了估计自己家6月份的用电量，对月初的一周每天电表的读数进行了记录，上周日电表的读数是115度．以后每日的读数如下表(表中单位：度)，请你估计6月份大约用多少度电．星期。
有理数总复习
5)有理数的乘方
①求n个相似因数的积的运算,叫做乘方。
即a·a·a· ·a·n· ·a=
n个 幂
an 指数
底数
②正数的任何次幂都是正数； 负数的奇次幂是负数， 负数的偶次幂是正数.
2.运算次序
1）有括号，先算括号里面的； 2）先算乘方，再算乘除，
最后算加减； 3）对只含乘除，或只含加减的
运算，应从左往右运算。
a
2）0没有倒数 ；
3）若a与b互为倒数，则ab=1.
例：下列各数，哪两个数互为倒数？
8， 1 ，-1，+（-8），1， ( 1)
8
8
6.绝对值
一种数a的绝对值就是数轴上
表达数a的点与原点的距离。
3
4
2
-3 –2 –1 0 1 2 3 4
1）数a的绝对值记作︱a︱;
若a＞0，则︱a︱= a ; 2） 若a＜0，则︱a︱= -a ;
任何数同0相乘，都得0.
① 几个不等于0的数相乘，积的符号 由负因数的个数决定，当负因数有奇 数个时，积为负；当负因数有偶数个 时，积为正.
② 几个数相乘，有一种因数为0， 积就为0.
用数学语言描述有理数乘法法则：
①同号相乘
若a>0,b>0,则 ab= +︱a︱×︱b︱ 若a<0,b<0,则 ab= +︱a︱×︱b︱
有理数总复习
一、有理数的基本概念
1.负数 2.有理数 3.数轴 4.互为相反数 5.互为倒数 6.有理数的绝对值 7.有理数大小的比较 8.科学记数法、近似数
一、有理数的基本概念
1.负数：在正数前面加“—”的数；
0既不是正数，也不是负数。
判断： 1）a一定是正数； × 2）－a一定是负数； × 3）－（－a）一定不不大于×0； 4）0是正整数。 ×
有理数的运算-中考数学一轮复习考点专题复习大全(全国通用)
考向02 有理数的运算【考点梳理】考点一：有理数的四则运算：（1）有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加为0；0与任何数相加都等于任何数（2）有理数减法法则：:减去一个数等于加上这个数的相反数（3）有理数的乘法法则：①两个数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 0乘以任何一个数都等于0；②多个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：负因数有偶数个时，积为正数，负因数有奇数个时，积为负数，再把各个因数的绝对值相乘（4）有理数的除法法则①两数相除，同号得正，异号得负，再把绝对值相除；0除以任何一个不为0的数都得0； ②除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数考点二、有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba ； （2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）； （3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac .考点三、比较两个数的大小（1）负数< 0 < 正数，任何一个正数都大于一切负数 （2）数轴上的点表示的有理数，左边的数总比右边的数小（3）两个正数比较大小，绝对值大的数就大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小 （4）两数相乘（或相除），同号得正 > 0，异号得负 < 0考点四、有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n=-a n或(a -b)n=-(b-a)n, 当n 为正偶数时: (-a)n=an或 (a-b)n =(b-a)n.考点五、科学记数法：一个大于10的数记成a ×10n 的形式，a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.考点六、非负数的性质：若02=++c b a ，则000===c b a 且且【题型探究】题型一：有理数的加法运算1．（2022·浙江温州·中考真题）计算9(3)+-的结果是（ ） A ．6B ．6-C ．3D ．3-2．（2022·云南省昆明市第十中学三模）在《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，黑色为负），如图1表示的是213211+-=-的计算过程，则图2表示的过程是在计算（ ）A ．(13)(23)10-++=B ．(31)(32)1-++=C ．(13)(23)36+++=D ．(13)(23)10++-=-3．（2022·贵州贵阳·一模）综合实践课上，同学们在如图所示的三阶幻方中，填写了一些数、式子和图案（其中每个式子或图案都表示一个数），若处于每一横行、每一竖列、两条斜对角线上的3个数之和都相等，则y x 的值为（ ）A ．8-B ．2C ．16D ．64题型二：有理数的减法运算4．（2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学校模拟预测）哈市某天的最高气温为15℃，最低气温为2-℃，则最高气温与最低气温的差为（ ） A ．5℃B ．17℃C ．17-℃D ．5-℃5．（2022·山西·三模）计算()85---的结果是（ ） A ．3B ．-3C ．13D ．-136．（2020·浙江温州·二模）如图是我国常年（1991～2020年）冬春两季各节气的平均气温折线统计图，根据图中的信息，各节气的平均气温最大值与最小值的差是（ ）A ．8.75B ．13.86C ．18.28D ．18.91题型三：有理数的加减混合运算7．（2022·湖南·长沙市中雅培粹学校二模）茶颜悦色是长沙本土知名奶茶品牌，更是被全国奶茶爱好者所知的“网红”品牌，2013年创立于长沙，目前在长沙地区有100多家直营门店．黄经理负责其中一家门店，若一杯幽兰拿铁成本是7元，卖17元，某顾客来买了一杯幽兰拿铁，给了黄经理一张50元纸币，黄经理没零钱，于是找邻居换了50元零钱．事后邻居发现那50元纸币是假的，最后黄经理又赔了邻居50元．请问黄经理一共亏了 __元．8．（2021·江苏宿迁·三模）如果△+△＝★，〇＝□+□，△＝〇+〇+〇+〇，那么★÷□的值为_____．9．（2022·河北·邯郸市邯山区芳园实验中学一模）已知一列数2，0，﹣1．﹣12． (1)求最大的数和最小的数的差；(2)若再添上一个有理数m ，使得五个有理数的和为0，求m 的值．题型四：有理数的乘法运算律10．（2022·浙江丽水·三模）如图，运算中的（ ）处，填写的理由是（ ） 5(12)(37)6-⨯-⨯537126=⨯⨯（乘法交换律）537126⎛⎫=⨯⨯ ⎪⎝⎭（ ） 3710370=⨯=．A ．乘法交换律B ．乘法结合律C ．分配律D ．加括号11．（2022·河北唐山·一模）计算117313(24)126424⎛⎫-+-⨯- ⎪⎝⎭的结果是（ ）A ．1B ．1-C ．10D ．10-12．（2022·河北邯郸·二模）在简便运算时，把47249948⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭变形成最合适的形式是（ ）A ．12410048⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭B ．12410048⎛⎫⨯-- ⎪⎝⎭C ．47249948⎛⎫⨯-- ⎪⎝⎭D ．47249948⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭题型五：有理数的除法13．（2022·山西·模拟预测）计算()62-÷的结果是（ ） A ．-3B ．3C ．-12D ．1214．（2021·安徽·郎溪实验一模）两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗的座位，已知火车上的座位的排法如图所示，那么下列座位号码符合要求的是（ ）A ．48，49B ．62，63C ．75，76D ．84，8515．（2021·四川·绵阳外国语实验学校一模）如果□×（﹣12019）＝1，则“□”内应填的实数是（ ） A ．12019B ．2019C ．﹣12019D ．﹣2019题型六：有理数的乘法16．（2022·河北唐山·二模）计算222333m n ++⋅⋅⋅++⨯⨯⋅⋅⋅⨯=个个（ ）A ．32m n +B ．23+m nC ．23m n +D ．23n m +17．（2022·广东番禺中学三模）若2423y x x =--，则2022()x y +等于（ ）A ．1B ．5C ．5-D ．1-18．（2022·湖北鄂州·中考真题）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n 来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，请你推算22022的个位数字是（ ） A ．8B ．6C ．4D ．2题型七：科学计算法19．（2022·浙江·南海实验学校三模）据国家统计局数据公报，2021年虽受“新冠疫情”影响，但全年国内生产总值仍高达1143670亿元，比上年同比增长8.1%．数据“1143670”用科学记数法可表示为（ ） A ．511.4367010⨯ B ．61.14367010⨯C ．71.14367010⨯D ．80.114367010⨯20．（2022·吉林·长春市第一〇八学校二模）第24届冬季奥林匹克运动会，于2022年2月4日在我国首都北京开幕，据统计，北京冬奥会开幕式电视直播观众规模达3.16亿，是历史上收视率最高的一届冬奥会，数据3.16亿用科学记数法可以表示为（ ） A ．93.1610⨯ B ．90.31610⨯C ．731.610⨯D ．83.1610⨯21．（2022·四川·威远县凤翔中学二模）据报道，目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球第一，其运算速度达到了每秒338 600 000亿次，数字338 600 000用科学记数法可简洁表示为（ ） A ．733.8610⨯B ．83.38610⨯C ．90.338610⨯D ．93.38610⨯题型八：近似数22．（2022·河北沧州·一模）网聚正能量，构建同心圆．以“奋斗的人民 奋进的中国”为主题的2021中国正能量“五个一百”网络精品征集评选展播活动进入火热的展播投票阶段．截至2021年11月26日18点，“五个一百”活动投票量累计13909615次，数据13909615用科学记数法表示并精确到百万位为（ ） A ．80.13910⨯B ．71.3910⨯C ．80.1410⨯D ．71.410⨯23．（2022·江苏盐城·一模）西溪天仙缘景区建筑以汉朝风格为主，美丽的传说，各式传统的小吃，吸引着无数游客心驰神往．景区游客日最大接待量为55500人，数字55500用四舍五入法精确到千位可以表示为（ ） A ．55.610⨯B ．45.610⨯C ．45610⨯D ．50.5610⨯24．（2022·上海金山区世界外国语学校一模）某市参加毕业考试的学生人数约为8.63×410人．关于这里的近似数8.63×410，下列说法正确的是（ ） A ．精确到百分位，有3个有效数字； B ．精确到百位，有3个有效数字； C ．精确到百分位，有5个有效数字；D ．精确到百位，有5个有效数字．题型九：有理数的混合运算25．（2022·广西·宾阳县教育局教学研究室三模）计算：()()2231524÷-+⨯-+-．26．（2022·河北沧州·一模）计算：()44881999⎛⎫-⨯-÷- ⎪．(1)解法1是从第______步开始出现错误的；解法2是从第______步开始出现错误的；（填写序号即可） (2)请给出正确解答．27．（2022·山东济宁·一模）阅读材料： 求2320212022122222++++++的值．解：设2320212022122222S =++++++①将①×2得：234202220232222222S =++++++②由②－①得：202321S =-， 即2320212022202312222221++++++=-请你仿照此法计算：2313333n +++++（其中n 为整数）【必刷基础】一、单选题28．（2022·河南洛阳·二模）今年的“两会”上，李克强总理在谈到今年需要就业的新增劳动力时，指出今年高校毕业生1076万，是历年最高．数据“1076万”用科学记数法表示为（ ） A ．71.07610⨯B ．81.07610⨯C ．610.7610⨯D ．80.107610⨯29．（2022·江苏·常州市北郊初级中学二模）42-的值为（ ） A ．16-B ．16C ．8-D ．830．（2022·四川·绵阳中学英才学校二模）已知点P 的坐标为(),m n ，且22440m n n n -+++=，则点P 关于x 轴的对称点坐标为（ ） A ．()4,2-B ．()4,2-C ．()4,2D ．()2,4-31．（2022·广东·深圳市南山外国语学校三模）已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，则代数式()52a b cd +-的值为( ) A ．3B ．2-C ．3-D ．032．（2022·广东·东莞市光明中学三模）在6-，12，()5--，3--，21-，0这六个数中，负数的个数有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个33．（2022·宁夏·中考真题）已知实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则a ba b+的值是（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．234．（2022·内蒙古包头·中考真题）若a ，b 互为相反数，c 的倒数是4，则334a b c +-的值为（ ） A ．8-B ．5-C ．1-D ．1635．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）下列计算正确的是（ ） A ．2ab ab b ÷= B ．222()a b a b -=- C ．448235m m m +=D ．33(2)6-=-a a36．（2022·安徽·三模）下列各数中，化简结果最小的是（ ） A ．－5B ．5C ．()15--D ．()25-37．（2022·新疆·乌鲁木齐市第六十八中学模拟预测）计算：()()1202011322π-⎛⎫-⨯-+-+- ⎪⎝⎭．38．（2022·浙江杭州·中考真题）计算：()32623⎛⎫-⨯-- ⎪⎝⎭■．圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．(1)如果被污染的数字是12，请计算()3216232⎛⎫-⨯-- ⎪⎝⎭．(2)如果计算结果等于6，求被污染的数字．【必刷培优】一、单选题39．（2022·湖南·吉首市教育科学研究所模拟预测）观察下列等式：122=，224=，328=，4216=，5232=，6264=，⋅⋅⋅，根据这个规律，则1234202222222++++⋅⋅⋅+的末尾数字是（ ）A ．0B ．2C ．4D ．640．（2022·江苏苏州·中考真题）下列运算正确的是（ ） A ．()277-=- B ．2693÷= C ．222a b ab += D ．235a b ab ⋅=41．（2022·河北·中考真题）若x 和y 互为倒数，则112x y y x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．442．（2022·湖北武汉·中考真题）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则x 与y 的和是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．1243．（2022·湖南娄底·中考真题）在古代，人们通过在绳子上打结来计数．即“结绳计数”．当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了（ ）A ．1335天B ．516天C ．435天D ．54天44．（2022·湖南娄底·中考真题）若10x N =，则称x 是以10为底N 的对数．记作：lg x N =．例如：210100=，则2lg100=；0101=，则0lg1=．对数运算满足：当0M >，0N >时，()lg lg lg M N MN +=，例如：lg3lg5lg15+=，则()2lg5lg5lg 2lg 2+⨯+的值为（ ） A ．5B ．2C ．1D ．0二、填空题45．（2022·江苏·靖江市滨江学校三模）5-的倒数是 ____．46．（2022·重庆八中模拟预测）计算：1122-⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭________．47．（2022·江苏·常州市北郊初级中学二模）为做好新冠疫情常态化防控，更好保护人民群众身体健康，常州市开展新冠疫苗检测工作．截至4月底，已累计新冠疫苗检测27000000剂次，数据27000000用科学记数法可表示_____ 48．（2022·江苏·盐城市初级中学三模）小余同学计划在某外卖网站点如下表所示的菜品，已知每份订单的配送费为4元，商家为了促销，对每份订单的总价（不含配送费）提供满减优惠：满30元减12元，满60元减30元，满100元减45元，如果小余在购买下表中所有菜品时，采取适当的下单方式，那么他点餐总费用最低可为____________元． 菜品单价（含包装费） 数量 水煮牛肉（小份）30元1 醋溜土豆丝（小份） 12元 1 豉汁排骨（小份） 30元1 手撕包菜（小份） 12元1 米饭 3元249．（2022·重庆文德中学校二模）计算：()2022120221212-⎛⎫⋅+-= ⎪⎝⎭______．50．（2022·广东·深圳市南山外国语学校三模）某种细菌培养过程中每半小时分裂1次，每次一分为二，若这种细菌由1个分裂到128个，那么这个过程要经过______小时． 51．（2022·西藏·中考真题）已知a ，b 都是实数，若2120220a b ，则b a =_____．三、解答题52．（2022·广西·南宁二中三模）计算：21116(2)324⎛⎫⨯---÷ ⎪⎝⎭．53．（2023·河北·九年级专题练习）对于任意的实数x ，y ，规定运算“※”如下：x y ax by =+※． (1)当3a =，4b =时，求12-※（）的值； (2)若5316=※，232-=-※（），求a 与b 的值．54．（2022·河北·平泉市教育局教研室二模）在城区老旧小区改造中，为了提高居民的宜居环境，某小区规划修建一个广场（平面图如图中阴影部分所示）．(1)用含m ，n 的式子表示广场（阴影部分）的面积S ；(2)若30m =米，20n =米，修建每平方米需费用200元，用科学记数法表示修建广场的总费用W 的值．55．（2022·安徽·二模）古老而悠久的民族文化宝典中，有一颗璀璨夺目的明珠一一河图洛书（如图1）．人们为河图洛书神话般的传说、高深的奥义、丰富的内容、简洁的形式万分惊讶，对河图洛书与中国的思想文化、社会科学、自然科学的密切联系更是迷惑不解，然而，令我们每个人吃惊和迷惑不解的是，河图洛书只是两个简单的数字图，如图2，在33⨯的九官格中，每行每列及每条对角线上的三数之和都相等．(1)将图2九宫格中的数改为如图3的形式，则九宫格中n= ，e= ；(2)若用-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3这九个数填在如图4的九宫格中，试求图中m的值．参考答案：1．A【分析】根据有理数的加法法则计算即可．【详解】解：9(3)+-(93)=+-=6故选：A ．【点睛】本题考查了有理数的加法，掌握绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值时解题的关键．2．A【分析】根据图1可知，一横表示10，一竖表示1，白色为正，黑色为负，由此即可得出答案．【详解】解：由图1可知，一横表示10，一竖表示1，白色为正，黑色为负，则图2表示的过程是在计算()()132310-++=，故选：A ．【点睛】本题考查了有理数的加减法，掌握理解每个算筹所表示的数是解题关键．3．D【分析】根据幻方的特点列出算式-2+y +6=2y +y +0=x -2+0，再根据法则计算可得．【详解】解：根据题意知-2+y +6=2y +y +0=x -2+0，则y +4=3y ，3y =x -2，∴y =2，x =3y +2=8，∴y x =82=64，故选：D ．【点睛】本题主要考查有理数的加法和乘方，解题的关键是掌握有理数的加减运算法则及幻方的特点．4．B【分析】用该市当天的最高气温减去最低气温，即可求出结果．【详解】解：最高气温与最低气温的差为：()--=15217℃故选：B ．【点睛】本题考查了有理数的减法，熟练掌握有理数的运算法则是解决本题的关键．5．C【分析】根据绝对值的意义和有理数的减法运算法则计算即可．【详解】解：原式=8+5=13．故选：C ．【点睛】本题考查绝对值的意义，有理数的减法运算，熟练掌握这些知识点是解题关键．6．D【分析】观察折线统计图可得各节气的平均气温最大值为13.86℃，最小值为-5.05℃，即可求解．【详解】解：根据题意得：各节气的平均气温最大值为13.86℃，最小值为-5.05℃，∴各节气的平均气温最大值与最小值的差是()13.86 5.0518.91--=℃．故选：D【点睛】本题主要考查了折线统计图，准确从统计图获取信息是解题的关键．7．40【分析】首先算出黄经理总的支出，再求出他的总收入，进而得出黄经理的亏损．【详解】解：根据题意可得：总支出：幽兰拿铁成本是7元，找零钱()5017-元，赔邻居50元，共()750175090+-+=（元)，总收入：和邻居换钱得50元，总共50元，剩余：509040-=-（元)，即黄经理一共亏了40元．故答案为：40．【点睛】本题考查有理数加减运算的实际应用，读懂题意，计算出总的收入和总的支出是解题的关键．8．16【分析】根据题意可知★＝2个△＝8个〇＝16个□，再代入★÷□即可计算求解．【详解】解：∵△+△＝★，∴★＝2个△，∵△＝〇+〇+〇+〇，∴★＝8个〇，∵〇＝□+□，∴★＝16个□，∴★÷□＝16．故答案为：16．【点睛】本题考查了等式的性质与有理数的混合运算，由题得出★＝16个□是解题关键．9．(1)3；(2)m =-12．【分析】（1）首先得出最大数和最小数，进而得出答案；（2）根据题意列出方程，解方程即可求解．（1）解：∵最大的数是2，最小的数是-1，∴最大的数与最小的数之差为2-（-1）=2+1=3；（2）解：根据题意得：2+0+(-1)+(-12)+m =0， 解得：m =-12． 【点睛】本题考查有理数的运算，一元一次方程的应用；熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤是解本题的关键．10．B【分析】根据运算过程可知是根据乘法结合律．【详解】解：()()512376-⨯-⨯ 537126=⨯⨯(乘法交换律) 537126⎛⎫=⨯⨯ ⎪⎝⎭(乘法结合律) 3710=⨯=370故选：B ．【点睛】本题考查了有理数的乘法运算律，熟练掌握和运用有理数的乘法运算律是解决本题的关键．11．A【分析】原式利用乘法分配律计算即可求出值【详解】解：原式=117313(24)(24)(24)(24) 126424⨯--⨯-+⨯--⨯-=-22+28-18+13=6-18+13=-12+13=1，故选：A【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．A【分析】根据乘法分配律即可求解．【详解】47249948⎛⎫⨯-⎪⎝⎭=12410048⎛⎫⨯-+⎪⎝⎭计算起来最简便，故选A．【点睛】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知乘法分配律的运用．13．A【分析】根据有理数的除法法则即可解答．【详解】解：−6÷2=-3，故选A．【点睛】本题考查了有理数的除法，解决本题的关键是熟记有理数的除法法则．14．D【分析】根据图形中的数据变化，可得被5除余1的数，和能被5整除的座位号靠窗，座位连在一起，且有一个靠窗的座位，通过分析选项即可得结论．【详解】解：由已知图形中座位的排列顺序，可得：被5除余1的数，和能被5整除的座位号靠窗，由于两位旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗的座位，48593÷=，故A选项不符合；625122÷=，故B选项不符合；75515÷=，故C选项不符合；85517÷=，故D符合，故选：D．【点睛】本题考查了数据的变化规律，对数据的处理，并能正确找出其中的规律是解题的关键．15．D【分析】根据乘除互逆运算的关系求解可得．【详解】解：1÷（﹣12019 ）＝﹣2 019 故选：D ．【点睛】本题主要考查有理数的除法，解题的关键是掌握有理数的乘法与除法是互逆的运算关系．16．D【分析】根据乘法的含义，可得：222m ++⋅⋅⋅+=个2m ，根据乘方的含义，可得：333n ⨯⨯⋅⋅⋅⨯=个3n ，据此求解即可．【详解】解：222333m n ++⋅⋅⋅++⨯⨯⋅⋅⋅⨯=个个2m +3n ．故选：D ．【点睛】此题主要考查了有理数的乘法、有理数的乘方，解答此题的关键是要明确乘法、乘方的含义．17．A【分析】直接利用二次根式中被开方数是非负数，得出x 的值，进而得出y 的值，再利用有理数的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：由题意可得：20420x x -≥⎧⎨-≥⎩， 解得：x ＝2，故y ＝-3，∴20222022()(213)=x y +=-．故选：A ．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及有理数的乘方运算，正确掌握被开方数为非负数是解题关键．18．C【分析】利用已知得出数字个位数的变化规律进而得出答案．【详解】解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，∴尾数每4个一循环，∵2022÷4＝505……2，∴22022的个位数字应该是：4．故选：C ．【点睛】此题主要考查了尾数特征，根据题意得出数字变化规律是解题关键．19．B【分析】直接利用科学记数法表示即可得到答案．【详解】解：61.143611436707010⨯=，故选B ．【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为10n a ⨯，其中110a ≤<，n 为整数，解题关键是确定a 和n 的值．20．D【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10时，n 是正整数；当原数的绝对值1<时，n 是负整数．【详解】解：3.16亿8316000000 3.1610==⨯．故选：D ．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，解题的关键是掌握科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．21．B【分析】科学记数法要表示成()n 1010⨯<<0a a ．【详解】解：数字338 600 000用科学记数法可简洁表示为83.38610⨯，故选B ．【点睛】本题主要考查科学记数法的运用，能够熟练根据要求转化数字是解题关键．22．D【分析】首先精确到百万位，再用科学记数法表示．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |<10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数．【详解】解：原数精确到百万位为：13909615≈14000000，再用科学记数法表示为：14000000=1.4×107，故选D ．【点睛】本题考查取近似数和科学记数法的综合应用，熟练掌握精确度的意义和四舍五入的方法、科学记数法的意义和算法是解题关键．23．B【分析】先用科学记数法表示出所给的数，再按精确度的要求进行四舍五入即可得到答案．【详解】解：用科学记数法表示：455500 5.5510=⨯，四舍五入法精确到千位得：445.551015.60≈⨯⨯．故选：B ．【点睛】本题考查了近似数和科学记数法．解题的关键是先用科学记数法表示出所给的数，再按精确度的要求进行四舍五入，注意近似数末尾有意义的0．24．B【分析】在标准形式a ×10n 中a 的部分中，从左边第一个不为0的数字数起，共有3个有效数字是8，6，3，且其展开后可看出精确到的是百位．【详解】解：8.63×104=86300，所以有3个有效数字，8，6，3，精确到百位．故选：B ．【点睛】此题主要考查科学记数法与有效数字，解答的关键是明确用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．25．3【详解】解：原式()91104=÷+-+()9104=+-+3=．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题关键是熟记有理数混合运算顺序和法则，准确进行计算．26．(1)①；③(2)解答过程见详解【分析】（1）根据有理数运算法则判断即可；（2）按照运算法则，先进行乘除运算，再进行加减运算即可．【详解】（1）解：解法1，步骤①中“先算加减后算乘除”不符合有理数混合运算法则，故步骤①错误； 解法2，11363622-+≠-，步骤③不符合有理数加法法则，故步骤③错误． 故答案为：①；③．（2）解：原式()44981998⎛⎫=-⨯-⨯- ⎪⎝⎭ 1236=-+ 1235=- 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，解题关键在于熟练掌握有理数混合运算的运算法则．27．1312n -＋ 【分析】仿照材料中的方法解答即可．【详解】解：设231133333n n S -=+++++①，将等式两边同时乘3，得231333333n n S +=+++++②， ②−①，得3S −S ＝131n -＋，即2S ＝131n -＋，则S ＝1312n -＋， 所以23113312333n n+++++=-＋． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是理解清楚所给的解答方式，并灵活运用． 28．A【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10时，n 是正整数；当原数的绝对值1<时，n 是负整数，由此即可得到答案．【详解】解：7107610760000 1.07610==⨯万．故选：A ．【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键是熟练掌握科学记数法的定义．29．A【分析】根据乘方定义计算即可．【详解】422222=16-=-⨯⨯⨯．故选：A ．【点睛】本题主要考查了乘方的运算，理解定义是解题的关键． 30．A【分析】根据二次根式的非负性和完全平方公式求出m ，n 的值，进而即可求解．【详解】解：2440n n ++=，()220n+=，∴20,20m n n-=+=，解得：4,2m n=-=-，∴P的坐标为()4,2--，∴点P关于x轴的对称点坐标为()4,2-．故选：A．【点睛】本题主要考查二次根式与平方的非负性，点的坐标，轴对称变换，根据非负数的性质，求出m，n 的值是关键．31．B【分析】根据a，b互为相反数，c，d互为倒数，可以得到a+b＝0，cd＝1，然后代入所求式子计算即可．【详解】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，∴a+b＝0，cd＝1，∴5（a+b）﹣2cd＝5×0﹣2×1＝0﹣2＝﹣2，故选：B．【点睛】本题考查了相反数和倒数，有理数的混合运算，解答本题的关键是求出a+b、cd的值．32．D【分析】先利用相反数、绝对值和乘方的意义计算出()55--=，33--=-，211-=-，然后根据实数的分类求解．【详解】解：()55--=，33--=-，211-=-，所以这六个数中，负数为6-，3--，21-．故选：D．【点睛】本题考查了有理数的分类，有理数乘方：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．也考查了绝对值和相反数，熟知相关知识是解题的关键．33．C【分析】根据数轴上点的位置可得a<0，0b>，据此化简求解即可．【详解】解：由数轴上点的位置可得a<0，0b >， ∴110a b a b a b a b+=+=-+=-， 故选：C ．【点睛】本题主要考查了化简绝对值，根据数轴上点的位置判断式子符号，有理数的除法，正确得到a<0，0b >是解题的关键．34．C【分析】根据a ，b 互为相反数，可得0a b +=，c 的倒数是4，可得14c =，代入即可求解． 【详解】∵a ，b 互为相反数，∴0a b +=，∵c 的倒数是4， ∴14c =， ∴334a b c +-()34a b c =+-130414=⨯-⨯=-， 故选：C 【点睛】本题考查了代数式的求值问题，利用已知求得0a b +=，14c =是解题的关键． 35．A 【分析】根据单项式除以单项式，完全平方公式，合并同类项，有理数的乘方的运算法则进行计算求解即可．【详解】解：A 中2ab ab b ÷=，正确，故符合题意；B 中()222222-=-+≠-a b a ab b a b ，错误，故不符合题意；C 中44482355m m m m +=≠，错误，故不符合题意；D 中()333286a a a -=-≠-，错误，故不符合题意；故选A ．【点睛】本题考查了单项式除以单项式，完全平方公式，合并同类项以及有理数的乘方．解题的关键在于熟练掌握运算法则并正确的计算．36．A【分析】分别计算绝对值，负整数指数幂，乘方运算，再比较各数的大小，从而可得答案． 【详解】解：12155,5,525,5而15525,5 125555, 所以最小的数是5,-故选：A【点睛】本题考查的是绝对值的含义，负整数指数幂的含义，有理数的乘方运算，有理数的大小比较，掌握以上基础知识是解本题的关键．37．1【分析】根据()1n -运算、零指数幂、负整数指数幂及绝对值运算分别求解后，利用有理数的混合运算法则求解即可得到结论 【详解】解：()()12020011322π-⎛⎫-⨯-+-+- ⎪⎝⎭ 1122=⨯-+1=． 【点睛】本题考查有理数混合运算，涉及到()1n-运算、零指数幂、负整数指数幂及绝对值运算等知识，熟练掌握运算法则及运算顺序是解决问题的关键．38．(1)-9(2)3【分析】（1）根据有理数混合运算法则计算即可；（2）设被污染的数字为x ，由题意，得()326263x ⎛⎫-⨯--= ⎪⎝⎭，解方程即可； 【详解】（1）解：()()32116268326⎛⎫-⨯--=-⨯- ⎪⎝⎭189=--=-； （2）设被污染的数字为x ，由题意，得()326263x ⎛⎫-⨯--= ⎪⎝⎭，解得3x =， 所以被污染的数字是3．【点睛】本题主要考查有理数的混合运算、一元一次方程的应用，掌握相关运算法则和步骤是接替的关键．39．D【分析】通过观察发现2n 的个位数字是2、4、8、6四个数字依次不断循环，直接填空即可；【详解】解：通过观察发现2n的个位数字是2、4、8、6四个数字依次不断循环，且2+4+8+6=20，尾数为02022÷4=500……2，则尾数为2+4=6，故选D．【点睛】此题考查幂的乘方末尾的数字规律，注意观察循环的数字规律，利用规律解决问题．40．Ba=，判断A选项不正确；C选项中2a、2b不是同类项，不能合并；D选项中，单项式与单项式法则：把单项式的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式；B 选项正确．【详解】A.7，故A不正确；B.2366932÷=⨯=，故B正确；C. 222a b ab+≠，故C不正确；D. 236a b ab⋅=，故D不正确；故选B．【点睛】本题考查二次根式的性质、有理数的除法及整式的运算，灵活运用相应运算法则是解题的关键．41．B【分析】先将112x yy x⎛⎫⎛⎫+-⎪⎪⎝⎭⎝⎭化简，再利用互为倒数，相乘为1，算出结果，即可【详解】112111 221212121x yy xxy x yx y xyxyxyxyxy⎛⎫⎛⎫+-⎪⎪⎝⎭⎝⎭=-⋅+⋅-=-+-=-+∵x和y互为倒数∴1xy=。
有理数及其运算知识点总结
有理数及其运算知识点总结有理数是指可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和小数。
在数学中，有理数是重要的数集，是整数的推广，可以用来表示包括整数在内的所有数。
有理数主要涉及四则运算、绝对值、比较大小、转化等方面的知识。
一、有理数的定义和性质1.有理数的定义：有理数是可以记作a/b的数，其中a、b是整数，b≠0，a和b没有公共因子。
2.有理数的性质：（1）有理数可以分为整数、正分数和负分数三种形式。
（2）有理数可以相加、相减、相乘、相除，并且运算结果仍然是有理数。
（3）有理数的相反数是指具有相同绝对值但符号相反的数，如-2的相反数是2（4）有理数加0的运算性质：a+0=a，0+a=a。
（5）有理数的逆元：对于任何有理数a，存在一个有理数-b，使得a+(-b)=0。
（6）有理数的乘法消去律：对于任何有理数a、b、c，如果ab=ac且a≠0，则b=c。
二、有理数的四则运算1.加法：两个有理数相加时，将它们的分子通分为相同的分母，然后将分子相加即可。
2.减法：两个有理数相减时，可以转化为加法运算，即将被减数加上减数的相反数。
3.乘法：两个有理数相乘时，将它们的分子和分母分别相乘即可。
如果两个有理数都为分数，可以先约分，再相乘。
4.除法：两个有理数相除时，可以转化为乘法运算，即将除数乘以被除数的倒数。
三、有理数的绝对值1.绝对值的定义：一个数a的绝对值，记作，a，是指a与0之间的距离，可以表示为：当a≥0时，a，=a；当a<0时，a，=-a。
2.绝对值的性质：（1）非负性：对于任何有理数a，有，a，≥0；（2）相等性：对于任何有理数a，有，a，=0当且仅当a=0；（3）三角不等式：对于任何有理数a、b，有，a+b，≤，a，+，b。
四、有理数的比较大小1.有理数的大小比较遵循以下规则：（1）对于相同符号的两个有理数，绝对值越大，表示的值越大；（2）对于不同符号的两个有理数，正数大于负数；（3）对于两个正数来说，分母相同的情况下，分子越大，表示的值越大；（4）对于两个负数来说，分母相同的情况下，分子越小，表示的值越大。
有理数知识点总结归纳
有理数知识点总结归纳有理数是数学中的一个重要概念，包括整数和分数。
它们在数学运算、代数、几何、实际应用等方面都有广泛的应用。
本文将对有理数的基本概念、性质以及相关的运算规则进行总结归纳。
一、有理数的基本概念有理数是可以表示为两个整数之比（分数）的数。
整数是有理数的特殊情况，可以表示为分母为1的分数。
有理数可以有正负之分，分数可以是正的、负的或零。
有理数可以用分数形式表示，也可以用小数形式表示。
二、有理数的性质1. 封闭性：有理数的加法、减法和乘法运算仍然是有理数。
2. 密度性：在任意两个不相等的有理数之间，总存在一个有理数。
3. 比较性：任意两个有理数都可以进行比较大小，并满足传递性。
4. 0的特殊性：任何有理数与0相乘得到0，除了0以外的任何有理数与0相除都得到0。
三、有理数的运算规则1. 加法和减法：a) 同号两数相加减，绝对值求和差，符号不变。
b) 异号两数相加减，绝对值求差，符号取绝对值大的数的符号。
2. 乘法和除法：a) 同号两数相乘除，结果为正，绝对值求积商。
b) 异号两数相乘除，结果为负，绝对值求积商。
c) 任何数与0相乘得0，0除以任何数等于0。
3. 混合运算：根据运算次序，先进行括号内的运算，然后依次进行乘法和除法，最后进行加法和减法。
四、有理数的应用举例1. 温度计中的正负数：温度计上的正数表示高温，负数表示低温。
例如，今天的温度是-10℃，表示比冰点低10摄氏度。
2. 债务与存款：债务可以表示为负数，存款可以表示为正数。
当我们拥有存款时，我们的财务状况是正的；当我们拥有债务时，我们的财务状况是负的。
3. 有理数在比例和比率中的应用：比例和比率是数学中常用的概念，可以用有理数来表示。
例如，某商品的售价是原价的3/4，可以表示为有理数3/4。
总结：有理数是数学中的重要概念，它包括了整数和分数。
有理数具有封闭性、密度性、比较性和0的特殊性等性质。
在运算方面，有理数的加法、减法、乘法和除法都有相应的规则。
有理数知识点总结
有理数知识点总结有理数是数学中的一种基本概念，它包括整数和分数。
在学习数学过程中，我们经常会遇到有理数的运算、大小比较和绝对值等问题。
下面，我将总结一下有理数的相关知识点。
一、有理数的概念与性质有理数是可以表示为两个整数之比的数，分母不为零。
例如，1/2、3/4、-5/6都是有理数。
举个例子，如果把一个苹果分成2等份，每份就是1/2，我们可以用有理数1/2来代表这个概念。
有理数可以是正数、负数或零。
二、有理数的运算1. 有理数的加法和减法：当两个有理数的分母相同时，只需对分子进行加减运算，并保持分母不变。
例如，1/2+3/2=4/2=2。
当两个有理数的分母不同时，可先通分，然后再进行加减运算。
2. 有理数的乘法和除法：有理数的乘法相当于分母相乘，分子相乘。
例如，1/2*3/4=3/8。
有理数的除法可以转化为乘法的倒数运算。
例如，1/2÷3/4=1/2*4/3=4/6=2/3。
3. 有理数的混合运算：在有理数的混合运算中，通常按照先乘除后加减的原则进行计算。
例如，2-1/3*4=2-4/3=6/3-4/3=2/3。
三、有理数的大小比较在进行有理数的大小比较时，我们可以先将其转化为相同分母的分数，然后比较分子的大小。
例如，对于比较1/2与3/4的大小，可以将其转化为2/4和3/4，显然3/4大于1/2。
四、有理数的绝对值有理数的绝对值表示该数到0的距离，即该数的非负值。
对于正数，它的绝对值等于它本身。
对于负数，它的绝对值等于它的相反数。
例如，|3|=3，|-5|=5。
五、有理数的应用有理数在我们的日常生活中有着广泛的应用。
在计量、商业、金融等领域，都需要运用到有理数的概念和运算。
比如超市打折商品的价格，利率的计算等等，都是有理数的具体应用。
总结一下，有理数是数学中的一种基本概念，它包括整数和分数，并且具有一定的性质和规律。
在运算过程中，我们需要掌握有理数的加法、减法、乘法和除法，以及绝对值和大小比较等概念。
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有理数的运算知识点总复习一、选择题1．2019年春节联欢晚会在某网站取得了同时在线人数超34200000的惊人成绩，创下了全球单平台网络直播记录，将数34200000用科学记数法表示为( )A．8⨯D．6⨯3.421034.210⨯C．8⨯B．70.342103.4210【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】将34200000用科学记数法表示为：3.42×107．故选B．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．下列运算正确的是（）A．a5⋅a3 = a8B．3690000=3.69×107C．(－2a)3 =－6a3D．02016=0【答案】A【解析】【分析】分别根据同底数幂的乘法，科学记数法，幂的乘方和积的乘方，零指数幂求出每个式子的值，再判断即可．【详解】A、结果是a8，故本选项符合题意；B、结果是3.69×106，故本选项不符合题意；C、结果是-8a3，故本选项不符合题意；D、结果是1，故本选项不符合题意；故选：A．【点睛】此题考查同底数幂的乘法，科学记数法，幂的乘方和积的乘方，零指数幂，能正确求出每个式子的值是解题关键.3．已知一天有86400秒，一年按365天计算共有31536000秒，用科学记数法表示31536000正确的是（）A．6⨯3.1536103.153610⨯B．7C ．631.53610⨯D ．80.3153610⨯【答案】B【解析】【分析】 科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数．【详解】将31536000用科学记数法表示为73.153610⨯．故选B ．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1<10a ≤，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．4．电影《流浪地球》中有一个名词“洛希极限”，它是指两大星体之间可以保持平稳运行的最小距离，其中地球与木星之间的洛希极限约为10.9万公里，数据“10.9万”用科学记数法表示正确的是（ ）A ．10.9×104B ．1.09×104C ．10.9×105D ．1.09×105【答案】D【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】将10.9万用科学记数法表示为：1.09×105．故选D ．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．5．计算﹣6+1的结果为（ ）A ．﹣5B ．5C ．﹣7D ．7【答案】A【解析】【分析】根据有理数的加法法则，|﹣6|＞|1|，所以结果为负号，并把它们的绝对值相减即可.【详解】解：﹣6+1＝﹣（6﹣1）＝﹣5故选：A ．【点睛】本题考查了有理数的加法，注意区别同号相加与异号相加，把握运算法则是关键．6．已知资阳市某天的最高气温为19℃，最低气温为15℃，那么这天的最低气温比最高气温低（ ）A ．4℃B ．﹣4℃C ．4℃或者﹣4℃D ．34℃【答案】A【解析】【分析】所求的数值就是最高气温与最低气温的差，利用有理数的减法法则即可求解．【详解】19﹣15＝4（℃）答：这天的最低气温比最高气温低4℃．故选A ．【点睛】本题主要考查有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数．这是需要熟记的内容．7．据不完全统计，长春市2018年中考人数只有47000多人，比2017年减少1.2万余人，创历史新低．数据47000用科学记数法表示为（ ）A ．44.710⨯B ．34710⨯C ．44.710-⨯D ．50.4710⨯【答案】A【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】解:将47000用科学记数法表示为:4.7×104．故选A ．【点睛】本题主要考查科学记数法的表示方法,科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．8．－3的倒数是（ ）A．13B．3 C．0 D．13-【答案】D【解析】【分析】根据倒数的定义判断．【详解】－3的倒数是：1 3 -故选：D【点睛】本题主要考查了倒数的定义，掌握乘积为1的两个有理数互为倒数是解题的关键．9．已知：||2||3||a b b c c amc a b+++=++，且abc＞0，a+b+c＝0．则m共有x个不同的值，若在这些不同的m值中，最大的值为y，则x+y＝（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】【分析】根据绝对值的意义分情况说明即可求解．【详解】∵abc＞0，a+b+c=0，∴a、b、c为两个负数，一个正数，a+b=﹣c，b+c=﹣a，c+a=﹣b，m23c a bc a b---=++，∴分三种情况讨论：当a＜0，b＜0，c＞0时，m=1﹣2﹣3=﹣4，当a＜0，c＜0，b＞0时，m=﹣1﹣2+3=0，当a＞0，b＜0，c＜0时，m=﹣1+2﹣3=﹣2，∴x=3，y=0，∴x+y=3．故选：B．【点睛】本题考查了有理数的混合运算和绝对值，解答本题的关键是分类讨论．10．2018年我市用于资助贫困学生的助学金总额是445800000元，将445800000用科学记数法表示为（ ）A ．744.5810⨯B ．84.45810⨯C ．94.45810⨯D ．100.445810⨯【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．由此即可解答.【详解】445800000用科学记数法表示为: 445800000=84.45810⨯.故选B.【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．11．2019年3月5日，第十三届全国人民代表大会第二次会议的《政府工作报告》中指出，我国经济运行保持在合理区间．城镇新增就业13610000、调查失业率稳定在5%左右的较低水平，数字13610000科学记数法表示为（ ）A ．1.361×104B ．1.361×105C ．1.361×106D ．1.361×107【答案】D【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】解：13610000用科学记数法表示为1.361×107，故选D ．【点睛】考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．12．一根1m 长的小棒，第一次截去它的12 ，第二次截去剩下的12，如此截下去，第五次后剩下的小棒的长度是（ ）A ．12mB ．15mC ．116mD ．132m 【答案】D【解析】【分析】根据题意和乘方的定义可以解答本题．【详解】 解：第一次是12m ，第二次是211112224⎛⎫⨯== ⎪⎝⎭m ，第三次是31111122228⎛⎫⨯⨯== ⎪⎝⎭m ，第四次是411216⎛⎫= ⎪⎝⎭m ，…， ∴第五次后剩下的小棒的长度是511232⎛⎫= ⎪⎝⎭m ， 故选：D ．【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，此题的关键是联系生活实际，从中找出规律，利用有理数的乘方解答．13．下列运算，错误的是（ ）.A ．236()a a =B ．222()x y x y +=+C ．01)1=D ．61200 = 6.12×10 4 【答案】B【解析】【分析】【详解】A. ()326a a =正确，故此选项不合题意；B.()222 x y x 2y xy +=++，故此选项符合题意；C. )011=正确，故此选项不合题意； D. 61200 = 6.12×104正确，故此选项不合题意；故选B.14．将数47300000用科学记数法表示为（ ）A ．547310⨯B ．647.310⨯C ．74.7310⨯D ．54.7310⨯【答案】C【解析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】解：将47300000用科学记数法表示为74.7310 ，故选：C ．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．15．12的相反数与﹣7的绝对值的和是（ ）A ．5B ．19C ．﹣17D ．﹣5 【答案】D【解析】【分析】根据绝对值和相反数的定义进行选择即可．【详解】-12+|-7|=-12+7=-5，故选D ．【点睛】本题考查了绝对值和相反数的定义，掌握绝对值和相反数的求法是解题的关键．16．1×1030×65亿≈1.3×1040（千克）．故选：C ．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．17．“山西八分钟，惊艳全世界”.2019年2月25日下午，在外交部蓝厅隆重举行山西全球推介活动．山西经济结构从“一煤独大”向多元支撑转变，三年累计退出煤炭过剩产能8800余万吨，煤层气产量突破56亿立方米．数据56亿用科学记数法可表示为（ ）A ．56×108B ．5.6×108C ．5.6×109D ．0.56×1010【答案】C【解析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值是易错点，由于56亿有10位，所以可以确定n ＝10﹣1＝9．【详解】56亿＝56×108＝5.6×109，故选C ．【点睛】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a 与n 值是关键．18．用科学记数方法表示0.0000907，得（ ）A ．49.0710-⨯B ．59.0710-⨯C ．690.710-⨯D ．790.710-⨯【答案】B【解析】【分析】【详解】解：根据科学记数法的表示—较小的数为10n a ⨯，可知a=9.07，n=-5，即可求解. 故选B【点睛】本题考查科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．19．下列用科学记数法表示正确的是（ ）A ．10.000567 5.6710-=-⨯B ．40.0012312.310=⨯C ．20.0808.010-=⨯D ．5696000 6.9610--=⨯【答案】C【解析】分析: 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.详解: A. 40.000567 5.6710--=-⨯,故错误;B. 30.0012312.310,-=⨯故错误;C. 20.0808.010-=⨯,正确;D. 5696000 6.9610-=⨯,故错误.故选：C.点睛: 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.20．一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1个天文单位是地球与太阳之间的平均距离，即1.496亿km．用科学记数法表示1.496亿是（）A．7⨯D．80.149610⨯1.496101.49610⨯C．8⨯B．714.9610【答案】D【解析】分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．详解：数据1.496亿用科学记数法表示为1.496×108．故选D．点睛：本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．。