54-3 极坐标图(绘制)

ω =∞ K 0 ∞ 0 0
ω =0 0° 0° 0° 0° 0°
φ (ω ) ω =0+ ω =1/T ω =∞ 0° 0° 0° （-90°) （-90°) （-90°) 0°+ （+45°) （+90°) 0°（-45°) （-90°) 0°（-90°) （-180°)
系统奈奎斯特曲线（开环频率特性极坐标图）的绘制方法： 按各个典型环节频率特性在各个频率下的大小迭加而成。它是一条大 致的曲线，需要准确计算的地方：负实轴相交的点。
G( j 0) 0 270
G G
G( j) 10
j 3 (1 j 5 )(1 j )(1 j 0.2 ) G ( j ) (1 25 2 )(1 2 )(1 0.04 2 ) 4 (6.2 2 ) j 3 (1 6.2 2 ) (1 25 2 )(1 2 )(1 0.04 2 )
§5.3 开环系统(Nyquist)（6）
10 10 2 e j ( ) 例3：G ( j ) ( j ) 2 (1 j ) (1 2 )
( ) 180 arctan
P175 例5-4
《自动控制理论》
网址：Zdkz.cjlu.edu.cn
§5.3 开环系统(Nyquist)（7）
网址：Zdkz.cjlu.edu.cn 最小相位系统与非最小相位系统
《自动控制理论》
它们的频率特性分别为
Ga ( j ) 1 jT2 1 jT1 1 jT2 Gb ( j ) 1 jT1
由于 1 jT2 1 jT1 所以两个系统的幅频特性完全相 同。而它们的相频特性表达式分别为
《自动控制理论》
网址：Zdkz.cjlu.edu.cn
§5 频率响应法
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4 频率特性的基本概念 对数频率特性（Bode图） 幅相频率特性（Nyquist图） 用频率法辨识系统的数学模型
§5.5
§5.6
频域稳定判据
相对稳定性分析
§5.7
频率性能指标与时域性能指标的关系
《自动控制理论》
网址：Zdkz.cjlu.edu.cn
课程回顾(1)
G( j ) K
G K G 0 G G 90 G 1 G 90
⑴ 比例环节 G( s) K ⑵ 微分环节 G( s ) s
1 ⑶ 积分环节 G ( s ) s
G( j ) j
当 0 时，G( j0 ) 10 j， ( j0 ) 90 。 G 当 时， ( j) 0 180 。表5-4列出了该系 G 统频率响应的具体数据，据此画出图5-29所示 的乃氏图。 P174 例5-3
《自动控制理论》
网址：Zdkz.cjlu.edu.cn
⑹ G ( j ) 1 1 2 j 2 n n
2
j
1 jT
e-j
K
1 1 j T
(7) G ( j ) e
j
1
1 j
1
j 2 2 n n
2
《自动控制理论》
网址：Zdkz.cjlu.edu.cn
5 例4：G ( s ) s( s 1)( 2 s 1) ，画G(jw)曲线。 5 j 5(1 j )(1 j 2 ) G ( j ) 解： j (1 j )(1 j 2 ) (1 2 )(1 4 2 )
15 5(1 2 2 ) j 2 2 (1 )(1 4 ) (1 2 )(1 4 2 )
G ( j ) 10 10 e j ( ) (1 0.1 j )(1 j ) 1 (0.1 )2 1 2
( ) arctan 0.1 arctan
由 上 述两 式 计 算 不同 值 时 的 | G( j ) | 和 ( ) 如表5-3所示。据 此，画出图5-28所示的乃氏图。 P175 例5-3
X jY
A:
A 1 6.2 0.402 G( j A ) 0.0267 j 0
B 6.2 2.49 B: G( j ) 0 j 0.412 B
《自动控制理论》
系统奈奎斯特曲线（开环频率特性极坐标图）的绘制要点： 奈氏曲线在 =0 到 0+ 的变化随系统的不同而差别很大： “0”型系统：奈氏曲线从实轴（幅值=K处）开始 “I”型系统：奈氏曲线从实轴（幅值=∞处）开始， =0+ 就转过-90°到 负虚轴附近；是在第三或第四象限，应比较=0+ 时各零点的相角之 和与各极点相角之和哪个大，前者大则在第四象限，否则第三象限 “II”型系统：奈氏曲线也是 从实轴（幅值=∞处）开始， =0+ 就转过-180°到负 实轴；是在第二或第三象 限，也是比较=0+ 时各 零点的相角之和与各极点 相角之和，前者大则第三 象限，否则第二象限
G
1
2 2 2 [1 2 ] [ 2 ] n n
2
n G arctan 2 1- 2 n
《自动控制理论》
网址：Zdkz.cjlu.edu.cn
课程回顾(3)
⑴ G( j ) K ⑵ G( j ) j ⑶ G( j ) 1 j ⑷ G( j ) 1 ( 1 jT) ⑸ G( j ) 1 jT
A() A1()A2()A n() ( ) 1( ) 2( ) n( ) ，
典型环节频率特性极坐标图的大致走向
ω =0 K ∞ 1 1 1
K 1/jω T 1+jω T 1/(1+jω T) 1/(1-ω 2 T2 +j2ζ ω T)
A(ω ) ω =1/T K 1 1.414 0.707 1/2ζ
G( j 0)
K0 90
G( j)
0 180 0 270
I II
起点
K ( j ) 2 (1 jT1 )(1 jT1 ) 180 0 360
v0 K0 90v v 0
终点 0 90( n m )
《自动控制理论》
最小相位系统与非最小相位系统 网址：Zdkz.cjlu.edu.cn
二种系统相频特性的差异 设有a和b两个系统，它们的传递函数分别为
1 T2 s Ga ( s ) 1 T1 s
1 T2 s Gb ( s ) 1 T1 s
《自动控制理论》
其中0<T2<T1。这两个系统的极点完全相同，且位于s 平面的左方，以保证系统能稳定。它们的零点一个在s 平面的左方，一个在s平面的右方，如图5-18所示。由 于系统a的零、极点都位于s的左半平面，因而它是最 小相位系统。而系统b的零点位于s的右半平面，因而 它是非最小相位系统。
1
1 (T ) 2
90 arctgT
低频部分为：G( j0) 90 高频部分为：G( j) 0 180
-2
-1
0 1 Real Axis
2
3
《自动控制理论》
网址：Zdkz.cjlu.edu.cn
§5.3 开环系统(Nyquist)（2）
G(j ) G( j ) e j( )
《自动控制理论》
网址：Zdkz.cjlu.edu.cn
§5.3 开环系统(Nyquist)（3）
G( s) K (T1T2 ) K v s v (T1 s 1)( T2 s 1) s ( s 1 T1 )( s 1 T2 )
v
0
G( j )
K (1 jT1 )(1 jT1 ) K j (1 jT1 )(1 jT1 )
ω =∞ N-M=2、6
Re Im
N-M=1、5
• 绘制系统开环对数频率特性曲线（Bode图）：有两张图，都是 按典型环节相加，开环对数幅频特性曲线通常可以使用近似特性， 绘制时根据传递系数、环节的转折频率和斜率一步就可以画出 • 绘制系统频率特性极坐标图（奈奎斯特曲线） ：抓住曲线头尾 的特征，曲线与实轴的交点计算而得
G2 ( j 0) 180
G2 G2 ( 180 0 )
G2 G2 ( 180 )
G2 ( j) 0 360
《自动控制理论》
网址：Zdkz.cjlu.edu.cn
§5.3 开环系统(Nyquist)（8）
s3 s3 G 例6： ( s ) ( s 0.2)( s 1)( s 5) (1 5 s )(1 s )(1 0.2 s )
《自动控制理论》
网址：Zdkz.cjlu.edu.cn
§5.3 开环系统(Nyquist)（5）
2) I 型系统的频率特性为
G ( j ) 10 10 e j ( ) j (1 j ) 1 2
( ) 90 arctan
把上式改写为
10 2 j 10 10 G( j ) j 2 j 2 j 1 2 3
G( j 0) 90 G( j) 0 270
渐近线：
Re[G( j 0)] 15

Im[ G( j )] 0 与实轴交点：
1
2 0.707
15 10 Re[G ( j 0.707)] (1 0.5)(1 4 0.5) 3
《自动控制理论》
§5.3 开环系统(Nyquist)（1）
例1:
1 G 考虑二阶传递函数： ( s ) s(Ts 1)
试画出这个传递函数的极坐标图。 解：
1 1 G ( j ) 2 j (1 jT ) j T

0 -1 Imaginary Axis -2 -3 -4 -5 -6 -3 Nyquist Diagram
网址：Zdkz.cjlu.edu.cn
§5.3 开环系统(Nyquist)（4）
例2：已知0型二阶系统和I型二阶系统的开环传 10 递函数分别为 G0 ( s) ， G ( s ) 10
(1 0.1s)(1 s )
1
s(1 s )
试绘制它们对应的乃氏图。 解：0型系统的开环频率特性为
网址：Zdkz.cjlu.edu.cn
ω =0+
Im
ω =∞
K ω=0 Re 0 ω=
ω =0+
网址：Zdkz.cjlu.edu.cn 奈氏曲线 =∞处是原点，切入方向根据零、极点确定,即：
《自动控制理论》
N-M=3、7
N(-90°) +M(90°) 求奈氏曲线与实轴的交点： 令虚部为零，得到 代入实部而得 系统开环频率特性的绘制小结：
网址：Zdkz.cjlu.edu.cn
§5.3 开环系统(Nyquist)（8）
K 例5：G1 ( s ) 2 s (T1 s 1)( T2 s 1)
G1 ( j 0) 180
G1 G1
G1 ( j) 0 360
K ( s 1) G2 ( s ) 2 s (T1 s 1)( T2 s 1)( T3 s 1)
G ( j ) 1 j
1 ⑷ 惯性环节 G ( s ) Ts 1
G ( j ) 1 1 j T
1 2T2 G arctan T
GFra Baidu bibliotek
1
《自动控制理论》
网址：Zdkz.cjlu.edu.cn
课程回顾（2）
2 2 1 n n (5)振荡环节 G ( s ) s 2 2 s 2 s 2 s n n ( ) 2 1 ( s 1 )( s 2 ) n n 1 G ( j ) G ( j 0) 10 2 1 2 j 2 G( j ) 0 180 n n