合情推理与演绎推理说课稿 教案 教学设计

合情推理与演绎推理

1.推理

根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断，这种思维方式叫做推理.推理一般分为合情推理与演绎推理两类. 2.合情推理

3.(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理； (2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；

(3)模式：三段论.“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：

题型一 归纳推理

例1 设f (x )＝1

3x ＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论，

并给出证明.

思维启迪 解题的关键是由f (x )计算各式，利用归纳推理得出结论并证明. 解 f (0)＋f (1)＝130＋3＋1

31＋3

＝

11＋3＋13＋3

＝3－12＋3－36＝3

3，

同理可得：f (－1)＋f (2)＝3

3

， f (－2)＋f (3)＝

3

3

，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1. 归纳猜想得：当x 1＋x 2＝1时，均为f (x 1)＋f (x 2)＝33

. 证明：设x 1＋x 2＝1，

∵f (x 1)＋f (x 2)＝

1

3

1

x ＋3＋

1

32

x ＋3

＝

(3

1

x ＋3)＋(32x ＋3)

(3

1x ＋3)(32

x ＋3)

＝3

1

x ＋3

2

x ＋23

32

1x x +＋3(3

1

x ＋3

2

x )＋3

＝

3

1x ＋3

2

x ＋23

3(3

1

x ＋3

2

x )＋2×3＝

3

1

x ＋3

2

x ＋23

3(3

1

x ＋3

2

x ＋23)

＝

33

.

思维升华 (1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围.

(2)归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的. (3)归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和 学的发现很有用.

(1)观察下列等式

1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49

…

照此规律，第五个等式应为 .

(2)已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N )，经计算得f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>7

2，则有 .

答案 (1)5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81 (2)f (2n )>

n ＋2

2

(n ≥2，n ∈N ) 解析 (1)由于1＝12,2＋3＋4＝9＝32,3＋4＋5＋6＋7＝25＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，所以第五个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92＝81.

(2)由题意得f (22)>42，f (23)>52，f (24)>62，f (25)>7

2，

所以当n ≥2时，有f (2n )>n ＋2

2.

故填f (2n )>n ＋2

2(n ≥2，n ∈N ).

题型二 类比推理

例2 已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N )，则a m ＋n ＝

nb －ma

n －m

.类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n >0，n ∈N )，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N )，则可以得到b m ＋n ＝ .

思维启迪 等差数列{a n }和等比数列{b n }类比时，等差数列的公差对应等比数列的公比，等差数列的加减法运算对应等比数列的乘除法运算，等差数列的乘除法运算对应等比数列中的乘方开方运算.

答案 n －m d n

c m

解析 设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q . 因为a n ＝a 1＋(n －1)d ，b n ＝b 1q n －

1，a m ＋n ＝nb －ma n －m ，

所以类比得b m ＋n ＝n －m d n

c m

思维升华 (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键.

(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等.

(3)在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；②找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等.

(1)给出下列三个类比结论：

①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n ；

②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 其中结论正确的个数是

( )

A.0

B.1

C.2

D.3

(2)把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形，则矩形的对角线长即为直角三角形外接圆直径，以此可求得外接圆半径r ＝a 2＋b 22

(其中a ，b 为直角三角形两直角边长).类比此方法可得三