数值分析知识点总结

数值分析知识点总结

数值分析知识点总结：

本文提供了数值分析中的一些重要知识点和例题，但更多的例题可以参考老师布置的作业题和课件相关例题。

第1章数值分析与科学计算引论：

绝对误差和相对误差是衡量近似值精度的指标，有效数字则是描述近似值精度的一种方式。其中，相对误差限是绝对误差的上界。有效数字的计算方法为：如果近似值x的误差限是某一位的半个单位，该位到x的第一位非零数字共有n位，就说x*共有n位有效数字。一个比较好用的公式是f(x)的误差限：f(x)f'(x)(x)。

第2章插值法：

插值多项式的余项表达式可以用来估计截断误差。三次样条插值与三次分段埃尔米特插值有所不同，但哪一个更优越需

要根据实际情况而定。确定n+1个节点的三次样条插值函数需要多少个参数？为确定这些参数，需加上什么条件？三弯矩法可以用来求解三次样条表达式。

第3章函数逼近与快速傅里叶变换：

带权(x)的正交多项式是在特定区间上满足一定条件的多项式，其中[-1,1]上的勒让德多项式具有重要性质。切比雪夫多项式也有其独特的性质。用切比雪夫多项式零点做插值点得到的插值多项式与拉格朗日插值有所不同。最小二乘拟合的法方程可以用来拟合曲线，但当次数n较大时，不直接求解法方程。

第4章数值积分与数值微分：

XXX让德求积公式和XXX-XXX求积公式是数值积分中的两种方法，其中高斯求积公式可以用来计算定积分。

勒让德多项式的零点就是高斯点，这种形式的高斯公式被称为XXX让德求积公式。

中点方法是一种数值积分方法，其公式如下：

插值型的求导公式有两点公式和三点公式。

第5章介绍了解线性方程组的直接方法，其中包括LU矩阵的推导过程。相关例题可以在教材第4章作业题和课件中找到。

第6章介绍了解线性方程组的迭代法，判断迭代法是否收敛的条件如下：

第7章介绍了非线性方程与方程组的数值解法，其中牛顿法是一种常见的方法。对于单根且光滑的f(x)=0，牛顿法是局部二阶收敛的。

简化牛顿法和牛顿下山法都是非线性方程组的求解方法。

第8章介绍了矩阵特征值计算，其中幂法是一种常用的方法。利用原点平移方法可以加速幂法的收敛。

第9章介绍了常微分方程初值问题的数值解法。相关例题可以参考附录。