2 为无理数的证明

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借助实例,归纳出无理数的性质及其运算规则

借助实例，归纳出无理数的性质及其运算规则知识点：无理数的性质及其运算规则一、无理数的定义与性质1.无理数是不能表示为两个整数比的实数，其小数部分是无限不循环的。

2.无理数与有理数统称为实数，共同构成了数轴上的所有点。

3.无理数不能精确表示，通常用无限不循环小数或π表示。

4.无理数具有非周期性、非对称性和非线性等特点。

5.无理数可以分为三种类型：带根号的不可约根式、含有π的三角函数值和一些特定算术表达式。

二、无理数的运算规则1.加法：两个无理数相加，仍为无理数。

2.减法：无理数减去有理数，结果为无理数；两个无理数相减，仍为无理数。

3.乘法：两个无理数相乘，仍为无理数。

4.除法：无理数除以有理数，结果为无理数；无理数除以无理数，结果可能为有理数或无理数。

5.幂运算：无理数的幂运算遵循指数法则，如(a^m a^n = a^{m+n})，其中a为无理数，m、n为整数。

6.根式运算：无理数的根式运算，如开平方、立方根等，结果仍为无理数。

7.三角函数运算：正弦、余弦、正切等三角函数，其结果为无理数。

三、无理数的相关概念1.平方根：一个数的平方根是指乘以自身等于该数的非负实数。

2.立方根：一个数的立方根是指乘以自身两次等于该数的实数。

3.π（圆周率）：π是一个常数，表示圆的周长与直径的比值，约等于3.14159。

4.指数函数：以e（自然对数的底数）为底的指数函数，如(e^x)，其中e约等于2.71828。

四、无理数在实际应用中的例子1.物理学：在研究振动、波动等物理现象时，常涉及无理数，如圆频率ω=2πf。

2.几何学：在计算圆的周长、面积等几何问题时，会用到π。

3.工程学：在建筑设计、机械制造等领域，无理数应用于计算角度、弧长等。

4.计算机科学：在二进制与十进制的转换中，无理数起到了关键作用。

通过以上归纳，我们可以了解到无理数的基本性质和运算规则，以及在实际应用中的广泛场景。

在学习和掌握无理数的过程中，要注重理论联系实际，提高自己的数学素养。

证明根号2是无理数的8种方法

证明根号2是无理数的8种方法
嘿，你知道吗，要证明根号 2 是无理数居然有 8 种方法呢！
第一种方法，反证法呀！假如根号 2 是有理数，那岂不是就和我们熟知的那些整数、分数一样了？哎呀，这怎么可能呢，感觉就不对劲嘛！就好比说狗怎么能和猫是同一种动物呢。

第二种，用奇偶性来分析。

想想看，如果根号 2 能表示成两个整数的比，那这两个数的奇偶性得有多奇怪呀，这不是很荒谬吗？就像说白天突然变成黑夜一样不可思议。

第三种，可以从无限不循环小数的角度切入呀。

有理数都是能循环的，可根号 2 它就是那么特别，就是不循环，咋就这么倔强呢，哈哈！好比一个特立独行的人不愿意随大流。

第四种，利用一些数学定理。

哎呀，那些定理就像是我们的秘密武器，来揭示根号 2 的无理本质，这多厉害呀！就好像侦探用各种线索破案一样。

第五种，代数的方法也能上呀。

通过一些代数运算，能发现根号 2 就是无法被有理数的规则所束缚，这不是很牛吗？就像一只鸟怎么也关不进笼子里。

第六种，几何的角度也能试试看呢。

把根号 2 放到几何图形里，一下子就看出它的特别之处了，这可真有趣！跟在一幅画里突然发现一个隐藏的宝贝一样。

第七种，分析它的近似值。

怎么找都找不到一个精确的有理数来表示根号 2 呀，这不就说明了问题吗？就好像怎么都找不到完全一样的两片树叶。

第八种，用极限的思想呀。

哎呀呀，发现根号 2 就是不会被有理数的极限所框住，厉害吧！就像一个超爱自由的人怎么也不愿意被束缚。

我觉得呀，这么多种方法都表明了根号 2 就是无理数，这是毫无疑问的呀！。

证明根号2是无理数

证明：√2是无理数。

证：假设√2不是无理数，则必然为有理数，而有理数必然可以写成q/p，p,q属于整数，即p，q∈N。

且对于任意的有理数n/m，因为约分可以一直进行下去，则n/m必然可以写成互质的q/p，且p和q互质，即没有公约数。

=√2(#)
因此，必然存在互质的p和q，使得q
p
即q2=2p2
但基于若q2为偶数，则q也必然为偶数。

（1）（后续证明）
换言之，存在整数s，使得：q=2s
将其带入上式，则q2=2p2=(2s)2=4s2
即p2=2s2
换言之，p也是偶数。

（2）
综合（1）（2），p和q均为偶数，
因此p和q不互质。

（*）
由于（#）与（*）矛盾，因此假设不成立。

因此，命题得证。

附，2t2+2t+1/2证明：若q2为偶数，则q也必然为偶数。

证：q2为偶数，那么存在M属于整数，（*）
使得q2=2M
假设q为奇数，则存在整数t，使得q=2t+1
于是：（2t+1）2=2M
M=2t2+2t+1/2
但是，2t2+2t是一整数，
而2t2+2t+1/2是一个小数,即M是一个小数(#)
因此，（#）与（*）矛盾，因此假设不成立，因此命题得证。

无理数的常见形式

无理数的常见形式，科学计数法无理数概念：无理数即无限不循环小数。

明确无理数的存在无理数来自实践，无理数并不“无理”，也不是人们臆想出来的，它是实实在在存在的，例如：（1）一个直角三角形，两条直角边长分别为1和2，由勾股定理知，它的斜边长为；（2）任何一个圆，它的周长和直径之比为一常数等等；像这样的数，在我们周围的生活中，不是只有少数几个，而是像有理数一样有无限个。

概念剖析：无限不循环小数叫无理数，这说明无理数是具有两个基本特征的小数：一是小数位数是无限的；二是不循环的。

这对初学者来说有一定难度，因此，我们必须掌握它的表现形式。

无理数的常见形式：在初中阶段，无理数表现形式主要有以下几种：1. 无限不循环的小数，如……（两个1之间依次多一个0）2. 含的数，如：，，等。

3. 开方开不尽而得到的数，如，等。

4. 某些三角函数值：如，等。

无理数与有理数的区别：1、把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成整数、小数或无限循环小数，比如4=， 4/5=， 1/3=……。

而无理数只能写成无限不循环小数，比如√2=…………。

根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数；2、无理数不能写成两整数之比。

错误辨析：1. 无限小数都是无理数；2. 无理数包括正无理数、负无理数和零；3.带根号的数是无理数；4. 无理数是用根号形式表示的数；5.无理数是开方开不尽的数；6. 两个无理数的和、差、积、商仍是无理数；7.无理数与有理数的乘积是无理数；8. 有些无理数是分数；9. 无理数比有理数少； 10. 一个无理数的平方一定是有理数。

综上，学习无理数应把握住无理数的三个特征：（1）无理数是小数；（2）无理数是无限小数；（3）无理数是不循环小数。

判断一个数是否是无理数对照这三个特征一个不能少。

另外，还应注意无理数的几种常见的表示形式，才是弄清无理数概念的关键。

口诀快速记忆：√2≈：意思意思而已√3≈：一起生鹅蛋√5≈：两鹅生六蛋(送)六妻舅√7≈：二妞是我，气我一生e≈:粮店吃一把π≈，26535，897，932，384，626：山巅一寺一壶酒,尔乐苦杀吾，把酒吃，酒杀尔，杀不死，乐尔乐，无理数包括：正无理数和负无理数。

证明√2是无理数反证法

证明√2是无理数反证法【实用版】目录1.引言：介绍√2 的无理性的重要性2.反证法的定义和应用3.假设√2 是有理数4.推导出矛盾结果5.结论：√2 是无理数正文1.引言在数学中，无理数是指不能表示为两个整数之比的实数。

其中，最著名的无理数之一就是√2，即平方根 2。

证明√2 是无理数可以追溯到古希腊时代的数学家，他们使用了一种叫做反证法的证明方法。

在本文中，我们将使用反证法来证明√2 是无理数。

2.反证法的定义和应用反证法是一种数学证明方法，其基本思想是：假设某个命题的反面成立，然后通过逻辑推理得出矛盾结果，从而证明原命题成立。

这种证明方法在数学中有着广泛的应用。

3.假设√2 是有理数首先，我们假设√2 是一个有理数，即可以表示为两个整数 p 和 q 的比，其中 p 和 q 没有公共因数（即它们是互质的）。

根据这个假设，我们可以得到如下等式：√2 = p/q其中 p 和 q 是互质的整数。

4.推导出矛盾结果接下来，我们将对上述等式进行平方操作，得到：2 = p^2/q^2这意味着 p^2 是 q^2 的 2 倍，即存在一个整数 k，使得：p^2 = 2k * q^2由于 2 是质数，所以它的质因数分解中，质数 2 的指数必须是偶数。

因此，我们可以设：2k = 2m * n其中 m 和 n 是整数。

将上式代入 p^2 = 2k * q^2 中，得到：p^2 = 2m * n * q^2这意味着 p^2 是 q^2 的 2m 倍，即存在另一个整数 l，使得：p^2 = 2m * l * q^2将这个等式与前面得到的等式相比较，我们可以发现：2m * n = 2m * l这说明 n 和 l 是相等的。

但根据假设，p 和 q 是互质的，所以 p^2 和 q^2 的质因数分解中，质数 2 的指数必须是不同的。

然而，我们刚刚证明了它们是相等的，这就产生了矛盾。

2 为无理数的证明

√2 為無理數的證明蔡聰明數學最讓我欣喜的是, 事物能夠被證明。

—B. Russell—√2 為無理數, 這是古希臘畢氏學派的偉大發現, 是歸謬證法的典範。

一方面,它震垮了畢氏學派的幾何原子論以及幾何學的算術化研究綱領, 導致數學史上的第一次危機。

另一方面, 它也讓古希臘人發現到連續統(continuum) 並且直接面對到「無窮」(infinity), 使得往後的數學家、哲學家為了征服無窮而忙碌至今, 收獲非常豐富。

對於宇宙、人生之謎, 佛家有所謂的25證道法門。

換言之, 一個深刻的事物往往可以從各種角度與觀點來論證。

對於「√2 為無理數」, 我們一共蒐集了28種證法(有些是大同小異), 其中的第十二種與第十三種是筆者自己的證法, 至少在文獻上不曾見過(也許是筆者孤漏寡聞)。

在數量上, 雖然比不上畢氏定理的370種證法(見參考資料[5]), 但是28種已夠驚人了(28是第二個完美數, 28 =1 +2 + 4 + 7 + 14)。

這些證法牽涉到數學各方面的概念, 弄清楚它們, 有助於加深與增廣對於數學的了解, 並且可將零散的知識統合在一起。

一、奇偶論證法√2 只有兩種情形: 有理數(rational number) 或者不是有理數。

不是有理數就叫做無理數(irrational number)。

因此, 我們立下正、反兩個假說:H1 : √2為有理數;H2 : √2為無理數。

到底是哪一個成立呢? 如何證明?欲證H2 成立, 我們不易直接著手, 所以改由H1 切入。

換言之, 我們假設「√2 為有理數」, 先投石問路一番, 看看會得出什麼邏輯結論。

第一種證法: 假設√2 為有理數, 故√2可以寫成√2 =ab(1)其中a 與b 為兩個自然數並且互質。

將上式平方得a2 = 2b2 (2)12√2 為無理數的證明13所以a2 為偶數, 從而a 亦為偶數。

令a = 2m其中m 為某一自然數, 於是2b2 = a2 = (2m)2 = 4m2或者b2 = 2m2因此, b2 為偶數, 故b 亦為偶數。

北师大版八年级数学上册第2章2.1无理数(教案)

此外，在教学过程中，我也注意到了一些教学难点。如何让学生理解无理数与有理数的运算规律，以及如何正确处理无理数的近似值，是学生们普遍感到困惑的地方。针对这些难点，我计划在接下来的课程中，通过更多的例题和练习，让学生在实践中掌握这些知识点。
在实践活动和小组讨论中，学生们表现出了较高的参与度。他们通过分组讨论和实验操作，不仅加深了对无理数的理解，还学会了如何将理论知识应用到实际问题中。不过，我也注意到，有些学生在讨论中较为被动，可能是因为他们对无理数的掌握还不够自信。在今后的教学中，我需要关注这部分学生，鼓励他们多参与、多表达。
在小组讨论环节，我对学生的引导和启发还有待加强。有些学生在分析问题时，容易陷入思维定势，无法从多角度去考虑问题。为此，我将在下一次课中尝试提供更多开放性的问题，引导学生从不同角度思考，激发他们的创新意识。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《无理数》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过无法用有限小数表示的长度或面积？”（如一张纸的边长是√2倍另一边长）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索无理数的奥秘。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调无理数的定义和性质这两个重点。对于难点部分，如无理数的证明，我会通过具体的例子和逻辑推理来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与无理数相关的实际问题，如无理数在建筑、艺术等领域的应用。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用计算器观察π的小数部分，感受无理数的无限不循环。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。

证明根号2是无理数的八种方法

怎样证明是一个无理数 22 是一个非常著名的无理数，第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.风暴过去后，唤醒的却是数学家们对数的重新认识，实数的概念开始确立，在此意义上讲， 2 的发现是人们对真理的追求、探索以致明朗的一个极好例证.换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根 “晾衣绳”，上面挂着许多有趣的方法，值得你仔细玩味.我们准备从不同的角度来证明 2 是一个无理数，从而体会这一点.a 证法 1：尾数证明法.假设 2 是一个有理数，即 2 可以表示为一个分数的形式 2 = . b其中(a ,b )=1，且 a 与 b 都是正整数.则 2 .由于完全平方数的尾数只能是 0、1、4、5、a 2b 2 b 2 6、9 中的一个，因此 2 的尾数只能是 0、2、8 中的一个.因为 2 ，所以与2 的尾 b 2 a 2 b 2 a 2 b 2 数都是 0，因此的尾数只能是 0 或 5，因此 a 与 b 有公因数 5，与(a ,b)=1 矛盾！因此 2 是 b 2 无理数.这个证法可以证明被开方数的尾数是 2、3、7、8 的平方根都是无理数.a 证法 2：奇偶分析法.假设 2 = .其中(a ,b )=1，且 a 与 b 都是正整数.则 2 .可知 aa 2b 2 b 是偶数，设 a=2c ,则 4 2 ， 2 ，可知 b 也是偶数，因此 a 、b 都是偶数，这与(a,b )=1 c 2 b 2 b 2 c 2 矛盾！因此 2 是无理数.希帕索斯就是用这种方法证明了 2 不是有理数，动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任何数都可表示成整数之比)”的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，希帕索斯因此葬身海底.证法 3：仿上，得到 2 ，易见 b>1，否则 b=1，则 2 =a 是一个整数,这是不行的. a 2 b 2 a a 改写成 2 .因为 b>1，因此 b 有素因子 p ，因此 p 整除或 a ，总之，p 整除 a ， a 2 2b 2 b a 2 2因此 p 同时整除 a 与 b ，这与(a ,b )=1 矛盾.证法 4：仿上，得到 2 ，等式变形为b a b (a b )(a b) ，因为 b>1，因此a 2b 2 2 2 2 ，存在素因子 p p 整除 a+b 或 a-b 之一，则同时整除 a+b 与 a-b ，因此 p 整除 a ，因此 p 是 a 、 b 的公因数，与(a ,b )=1 矛盾.证法 5：利用代数基本定理，如果不考虑素因子的顺序，任何一个正整数都可以唯一地写成素数幂的积的形式，因此 a p p p ，b q q q ，其中 , , 与 , , p p q q r r r m s s s 1 2 1 2 n 1 2 m 1 2 n1 1 m n都是素数， r , ,r 与 s , s 都是正整数，因此 p p p =2q q q ，素数 2 n2 2r 2 2r m 2 2s 22 r s s 1 1 n 1 m 1 n 1 2 1 2 m 在等式左边是偶数次幂，但在右边是奇数次幂，矛盾，因此 2 是无理数.a a 证法 6：假设 2 = ，其中右边是最简分数，即在所有等于的分数中，a 是最小的正整b b数分子，在 2 的两边减去 ab 有 2 ， ( ) (2 ) ，即 a 2 b 2 a 2 ab b 2 ab a a b b ba a 2b a 2 b a b b a a ，右边的分子 2 - < ，这与是最小的分子矛盾，因此 2 是无理数.a 1 证法 7：连分数法.因为( 2 1)( 2 1) =1，因此 2 1， 1 2 1 1 1 2 1 ，将分母中的 2 用1 代替，有 2 1 ，不断重复这个 1 1 2 1 2 2 1 2，这是一个无限连分数.而任何有理数都可以表示为分子都是 1 1 过程，得 2 =1 1 2 1 2 2分母为正整数的有限连分数，因此 2 是无理数.证法 8：构图法。

文档：无理数2

第9讲柏拉图和亚里士多德时代的希腊数学（续）5、归功于柏拉图的数学工作●两平方或立方数之间的比例中项在Timaeus中，柏拉图称：在两个平方数之间只要一个几何中项就够了，而在两个立方数之间必需有两个几何中项才行。

因此柏拉图知道《几何原本》命题VIII. 11和VIII.12：命题11 Between two square numbers there is one mean proportional number, and the square has to the square the duplicate ratio of that which the side has to the side.命题12 Between two cubic numbers there are two mean proportional numbers, and the cube has to the cube the triplicate ratio of that which the side has to the side.●倍立方参阅上一讲。

归功于柏拉图的这一机械解法并不符合柏拉图有关几何本质的观点，因而被认为并非柏拉图本人的。

●勾股数参阅第9讲。

●不可公度量在Theaetetus和Laws中，柏拉图都谈到不可公度量问题。

柏拉图认为，正如一个偶数既可以是两个奇数之和，也可以是两个偶数之和一样，两个无理数之和既可以是有理数，也可以是无理数。

一个明显的例子是一条有利线段被分成黄金分割比。

●几何数柏拉图在《理想国》中谈到一种特殊的数——“几何数”，但后人有很多种不同解释。

11.3 梅内克缪斯梅内克缪斯（Menaechmus, 380?～320? B.C.）是公元前4世纪柏拉图学派数学家，因发现圆锥曲线而著称于世。

为了解决倍立方问题而发现了圆锥曲线。

用垂直于母线的平面去截顶角分别为锐角、直角、钝角的三种圆锥，得到三种曲线，梅氏分别称之为锐角、直角和钝角圆锥曲线，今称椭圆、抛物线和双曲线。

如何在数轴上表示无理数.3-.2---无理数在数轴上的表示

说出下列数轴上各字母所表示的实数：
A
B
C
ห้องสมุดไป่ตู้
D
-2
-1
0
1
2
点A表示 2
点C表示 1
点B表示
2 3
点D表示
7 3
无理数在数轴上的表示
学科：数学年级：八年级版本：华师大版主讲人：秦艳秋单位：长治市郊区漳村矿中学
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示
无理数，你能在数轴上表示出 2 的点吗？
任意一个直角三角形，都有两条直角边的平方和等于斜边的平方
c b
a
a2+b2=c2
2
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 32 3 4 5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 32 3 4 5
5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
__ 6 __ 5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
45
2
6 10
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 32 5 3 4 5
探究2：数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理
数，你能在数轴上画出表示 13 的点吗？
步骤： 1、在数轴上找到点A,使OA=3;
2、作直线L⊥OA,在L上取一点B，使 AB=2;
3数,以轴原交点于OC为点圆L，心B 则，点以CO即B为为半表径示作1弧3，的弧点与。
∴点C即为表示 13 的点
0 1 2 A•3 C 4
你能在数轴上画出表示 17 的点和 15 的点吗？
数学海螺图：
利用勾股定理作出长为 1, 2 , 3, 4 , 5
的线段.
1
1
2
34

根号2不是有理数的证明

根号2不是有理数的证明根号2是一个著名的数学问题，即它是否是有理数。

本文将通过证明来说明，根号2不是有理数。

1. 引言数学中的有理数指的是可以写成两个整数的比值的数，例如1/2、2/3等。

而根号2是一个无限不循环小数，因此不能被表示为有理数。

2. 证明方法一：反证法假设根号2是有理数，即可以写成两个整数的比值，设其为p/q （其中p和q互质）。

我们假设p和q都是偶数，可以进行如下推导：根号2 = p/q2 = (p*q)^2/q^2 （两边平方）2q^2 = p^2 （移项）由此可知，p^2必为偶数，因为p为偶数。

因此可以继续推导： p^2 = (2k)^2 = 4k^2 （设p=2k，其中k为整数）2q^2 = 4k^2q^2 = 2k^2这说明q^2也是偶数，而这与p和q互质的假设相矛盾。

因此假设不成立，根号2不是有理数。

3. 证明方法二：无理数定义证明根号2可以通过无理数的定义来证明。

无理数定义为不能表示为两个整数的比值的数。

假设根号2是有理数，同样设为p/q（其中p和q互质，q不为0）。

我们可以进行如下推导：根号2 = p/q2 = p^2/q^2 （平方）2q^2 = p^2这意味着p^2是2的倍数，因此p也必为2的倍数。

设p=2k，其中k为整数，继续推导：2q^2 = (2k)^2 = 4k^2q^2 = 2k^2同样，这说明q^2也是2的倍数，因此q也必为2的倍数。

这与p 和q互质的假设相矛盾。

因此，根号2不是有理数。

4. 结论综上所述，根号2不是有理数。

无论是通过反证法还是无理数定义证明，都可以说明根号2无法被表示为两个整数的比值，因此不是有理数。

5. 实际应用尽管根号2不是有理数，但在数学和物理等领域中，我们经常需要使用它。

比如，在勾股定理中，直角三角形的斜边与两条直角边的关系就涉及到根号2。

根号2的存在也拓宽了数学的世界，使其变得更加丰富多彩。

在本文中，我们通过反证法和无理数定义证明了根号2不是有理数。

什么是无理数及其定义是什么

什么是无理数及其定义是什么什么是无理数及其定义是什么无理数最早是由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现，那么什么是无理数?下面店铺就带大家一起来详细了解下吧。

无理数基本定义无理数，即非有理数之实数，不能写作两整数之比。

若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。

常见的无理数有大部分的平方根、π和e(其中后两者同时为超越数)等。

无理数的另一特征是无限的连分数表达式。

传说中，无理数最早由毕达哥拉斯学派弟-子希伯斯发现。

他以几何方法证明无法用整数及分数表示。

而毕达哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示，不相信无理数的存在。

但是他始终无法证明不是无理数，后来希伯斯将无理数透露给外人——此知识外泄一事触犯学派章程——因而被处死，其罪名等同于“渎神”。

无理数是无限不循环小数和开方开不尽的数. 如圆周率、√2(根号2)等。

有理数是所有的分数，整数，它们都可以化成有限小数，或无限循环小数。

如22/7等。

实数(real number)分为有理数和无理数(irrational number)。

有理数可分为整数(正整数、0、负整数)和分数(正分数、负分数) 也可分为正有理数，0，负有理数。

除了无限不循环小数以外的数统称有理数。

1、把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成整数、小数或无限循环小数，比如4=4.0, 4/5=0.8, 1/3=0.33333……而无理数只能写成无限不循环小数，比如√2=1.414213562…………根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数。

2、无理数不能写成两整数之比。

利用有理数和无理数的主要区别，可以证明√2是无理数。

证明：假设√2不是无理数，而是有理数。

既然√2是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式：√2=p/q再假设p和q没有公因数可以约，所以可以认为p/q 为最简分数,即最简分数形式。

把√2=p/q 两边平方得 2=(p^2)/(q^2)即 2(q^2)=p^2由于2q^2是偶数，p 必定为偶数，设p=2m由 2(q^2)=4(m^2)得 q^2=2m^2同理q必然也为偶数，设q=2n既然p和q都是偶数，他们必定有公因数2，这与前面假设p/q 是最简分数矛盾。

一题多解教学案例：五种方法证明根号2是无理数

一题多解教学案例：五种方法证明2是无理数古希腊曾有“万物皆数”的思想，这种认为“大自然的一切皆为整数之比”的思想统治了古希腊数学相当长的一段时间，许多几何命题都是根据这一点来证明的。

当时的很多数学证明都隐性地承认了“所有数都可以表示为整数之比”，“万物皆数”的思想是古希腊数学发展的奠基。

直到有一天，毕达哥拉斯的学生Hippasus告诉他，单位正方形的对角线长度不能表示为两个整数之比。

被人们公认的假设被推翻了，大半命题得证的前提被认定是错的，古希腊时代的数学大厦轰然倒塌，数学陷入了历史上的第一次危机。

最后，Eudoxus的出现奇迹般地解决了这次危机。

今天我们要看的是，为什么单位正方形的对角线长度不能表示为两个整数之比。

单位正方形的对角线长度怎么算呢？从上面的这个图中我们可以看到，如果小正方形的面积是1的话，大正方形的面积就是2。

于是单位正方形的对角线是面积为2的正方形的边长。

换句话说，Hippasus认为不可能存在某个整数与整数之比，它的平方等于2。

中学课程中安排了一段反证法。

当时有个题目叫我们证根号2是无理数，当时很多人打死了也想不明白这个怎么可能证得到，这种感觉正如前文所说。

直到看了答案后才恍然大悟，数学上竟然有这等诡异的证明。

当然，我们要证明的不是“根号2是无理数”。

那个时候还没有根号、无理数之类的说法。

我们只能说，我们要证明不存在一个数p/q使得它的平方等于2。

证明过程地球人都知道：假设p/q已经不能再约分了，那么p2=2q2，等式右边是偶数，于是p必须是偶数。

p是偶数的话，p2就可以被4整除，约掉等式右边的一个2，可以看出q2也是偶数，即q是偶数。

这样，p也是偶数，q也是偶数，那么p和q就还可以继续约分，与我们的假设矛盾。

根号2是无理数，我们证明到了。

根号3呢？根号5呢？你可能偶尔看到过，Theodorus曾证明它们也是无理数。

但Theodorus企图证明17的平方根是无理数时却没有继续证下去了。

根号二是无理数的几何证明

根号二是无理数的几何证明今天咱们来一起探索一个特别有趣的数学事儿——证明根号二是无理数，而且是用几何的方法哦。

咱们先来讲个小故事。

想象有一个边长为1的小正方形，它的对角线的长度就是根号二。

那为什么呢？因为根据勾股定理呀，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

这个小正方形的两条边就是直角边，长度都是1，那斜边的平方就是1的平方加1的平方，也就是2，所以斜边的长度就是根号二啦。

那怎么证明根号二是无理数呢？咱们来用反证法。

假设根号二是有理数，那它就可以写成两个整数的比，就像a/b（a和b都是整数，而且b不等于0，并且a和b没有除了1以外的公因数，也就是最简分数的形式）。

现在咱们回到那个边长为1的正方形。

假如根号二是有理数a/b，那我们就可以用这个比例来表示正方形的对角线和边长的关系。

我们来试着用这个正方形做一些操作。

如果根号二是有理数，我们可以想象有一个大的长方形，它的长是a，宽是b。

这个长方形的长和宽就和我们前面假设的根号二等于a/b联系起来了。

我们把这个长方形沿着对角线剪开，会得到两个直角三角形。

这两个直角三角形的斜边就是我们前面说的边长为1的正方形的对角线，长度是根号二。

但是呢，如果根号二是有理数，就会出现一些很奇怪的事情。

比如说，我们可以用很多个小的边长为1的正方形去铺满这个长方形。

可是，当我们按照这个假设去做的时候，就会发现总是铺不满或者会有多余的部分。

这就说明我们前面假设根号二是有理数是不对的。

就像我们搭积木一样，如果按照错误的规则去搭，总是搭不好的。

这个边长为1的正方形的对角线长度根号二，它不能写成两个整数的比，所以它就是无理数啦。

咱们再举个例子。

假如你有一些小木棍，长度都是1厘米。

你想拼出一个三角形，两条直角边都是由一根小木棍组成，那斜边的长度就是根号二厘米。

你会发现，你没办法用整数根的小木棍准确地表示出这个斜边的长度。

这也从侧面说明了根号二是一种很特殊的数，它是无理数。

所以呀，通过这些几何的方法，我们就证明了根号二是无理数啦。

(完整word版)证明根号2是无理数的八种方法

怎样证明2是一个无理数2是一个非常著名的无理数，第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.风暴过去后，唤醒的却是数学家们对数的重新认识，实数的概念开始确立，在此意义上讲，2的发现是人们对真理的追求、探索以致明朗的一个极好例证.换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根“晾衣绳”，上面挂着许多有趣的方法，值得你仔细玩味.我们准备从不同的角度来证明2是一个无理数，从而体会这一点.证法1：尾数证明法.假设2是一个有理数，即2可以表示为一个分数的形式2=b a .其中(a,b )=1，且a 与b 都是正整数.则222b a =.由于完全平方数2b 的尾数只能是0、1、4、5、6、9中的一个，因此22b 的尾数只能是0、2、8中的一个.因为222b a =，所以2a 与22b 的尾数都是0，因此2b 的尾数只能是0或5，因此a 与b 有公因数5，与(a,b )=1矛盾！因此2是无理数.这个证法可以证明被开方数的尾数是2、3、7、8的平方根都是无理数.证法2：奇偶分析法.假设2=ba .其中(a,b )=1，且a 与b 都是正整数.则222b a =.可知a 是偶数，设a =2c ,则2224b c =，222c b =，可知b 也是偶数，因此a 、b 都是偶数，这与(a,b )=1矛盾！因此2是无理数. 希帕索斯就是用这种方法证明了2不是有理数，动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任何数都可表示成整数之比)”的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，希帕索斯因此葬身海底.证法3：仿上，得到222b a =，易见b >1，否则b=1，则2=a 是一个整数,这是不行的.222b a =改写成a a b ⋅=22.因为b >1，因此b 有素因子p ，因此p 整除2a 或a ，总之，p 整除a ，因此p 同时整除a 与b ，这与(a,b )=1矛盾.证法4：仿上，得到222b a =，等式变形为))((222b a b a b a b -+=-=，因为b >1，因此存在素因子p ，p 整除a+b 或a-b 之一，则同时整除a+b 与a-b ，因此p 整除a ，因此p 是a 、b 的公因数，与(a,b )=1矛盾.证法5：利用代数基本定理，如果不考虑素因子的顺序，任何一个正整数都可以唯一地写成素数幂的积的形式，因此m r m r r p p p a 2121=，n sn s s q q q b 2121=，其中m p p ,,1 与n q q ,,1都是素数，m r r ,,1 与n s s ,1都是正整数，因此m r m r r p p p 2222121 =2n s n s s q q q 2222121 ，素数2在等式左边是偶数次幂，但在右边是奇数次幂，矛盾，因此2是无理数.证法6：假设2=b a ，其中右边是最简分数，即在所有等于ba 的分数中，a 是最小的正整数分子，在222b a =的两边减去ab 有ab b ab a -=-222，)2()(a b b b a a -=-，即ba ab b a --==22，右边的分子2b -a <a ，这与a 是最小的分子矛盾，因此2是无理数. 证法7：连分数法.因为)12)(12(-+=1，因此21112+=-，21112++=，将分母中的2用2111++代替，有2112112+++=，不断重复这个过程，得2= ++++2121211，这是一个无限连分数.而任何有理数都可以表示为分子都是1分母为正整数的有限连分数，因此2是无理数.证法8：构图法。

(完整word版)证明根号2是无理数八种方法

如何证明 2 是一个无理数2 是一个特别有名的无理数，第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯所以付出了生命的代价 —— 后代的数学史家所说的 “第一次数学危机 ”盖源于此 .风暴过去后，唤醒的倒是数学家们对数的从头认识，实数的观点开始确定，在此意义上讲， 2 的发现是人们对真谛的追求、探究致使明亮的一个极好例证 .换一个角度来看这个数，我们能够把它看作一根 “晾衣绳 ”，上边挂着很多风趣的方法，值得你认真玩味 .我们准备从不一样的角度来证明 2 是一个无理数，进而领会这一点 .证法 1：尾数证明法 .假定 2 是一个有理数，即 2 能够表示为一个分数的形式2 = a.b此中 (a,b)=1，且 a 与 b 都是正整数 .则 a 22因为完整平方数 2 的尾数只好是、、、、2b . b 0 1 4 56、 9 中的一个，所以 2b 2 的尾数只好是0、2、8 中的一个 .因为 a 2 2b 2 ，所以 a 2 与 2b 2的尾数都是 0，所以 b 2的尾数只好是 0，所以 a 与 b 有公因数 5，与 (a,b)=1 矛盾！所以2 是或 5 无理数 .这个证法能够证明被开方数的尾数是2、 3、7、8 的平方根都是无理数 .证法 2：奇偶剖析法 .假定a 此中，且与都是正整数则 a 22b2 可知 2=b . (a,b)=1a b ..a是偶数，设 a=2c,则 4c 2 2b 2 ，b 2 2c 2 ，可知 b 也是偶数，所以、都是偶数，这与(a,b)=1a b 矛盾！所以2 是无理数 .希帕索斯就是用这类方法证了然2 不是有理数，摇动了毕达哥拉斯学派的 “万物皆数 (任何数都可表示成整数之比 ) ”的数学崇奉，使毕达哥拉斯学派为之大为惊慌，希帕索斯所以葬身海底 .证法 3：仿上，获得 a 2 2b 2 ，易见，不然，则2 =a 是一个整数这是不可以的 . b>1 b=1 , a 2 2b 2 改写成 b 2a a 因为，所以b 有素因子，所以 p 整除 a或 a ，总之，p 整除 a ，2 . b>1 p 2所以 p 同时整除 a 与 b ，这与 (a,b)=1 矛盾 .证法 4：仿上，获得 a 2 2b 2，等式变形为 b 2 a 2 b 2(a b)( a b) ，因为，所以b>1 ，或 a-b 之一，则同时整除 a+b 与 a-b ，所以 p 整除 a ，所以 p 是 a 、存在素因子 p p 整除 a+bb 的公因数，与 (a,b)=1 矛盾 .证法 5：利用代数基本定理，假如不考虑素因子的次序，任何一个正整数都能够独一地写成素数幂的积的形式，所以 ap 1 r 1 p 2 r 2p m r m，bq 1 s1 q2 s 2 q n s n ，此中 p 1 , , p m 与 q 1 , , q n都是素数， r1 , , r m与 s1 , s n都是正整数，所以p1 2r1 p2 2 r2 p m 2r m =2 q1 2s1 q2 2 s2 q n 2 s n ，素数2 在等式左侧是偶数次幂，但在右侧是奇数次幂，矛盾，所以 2 是无理数 .证法 6：假定 2 =a，此中右侧是最简分数，即在全部等于a的分数中，a是最小的正整b b数分子，在 a 2 2b 2的两边减去 ab 有 a 2 ab 2b 2 ab ， a( a b) b(2b a) ，即2 a 2b a，右侧的分子 2b-a<a，这与 a 是最小的分子矛盾，所以 2 是无理数.b a b证法 7：连分数法 .因为( 2 1)( 2 1) =1，所以 2 111，22 11，将分母中的 2 用112 11，不停重复这个1取代，有11 2 2 21 2过程，得 2 =11 ，这是一个无穷连分数而任何有理数都能够表示为分子都是11 .2122分母为正整数的有限连分数，所以 2 是无理数.证法 8：构图法。

证明√2是无理数反证法

证明√2是无理数反证法反证法是一种常用的数学证明方法，它通过假设所要证明的命题为假，然后推导出矛盾的结论，从而证明原命题为真。

在证明√2是无理数时，我们也可以运用反证法来进行证明。

首先，我们假设√2是有理数，即可以表示为两个整数的比值，且这两个整数没有公因数。

假设√2可以表示为a/b，其中a和b是整数，且a和b没有公因数。

根据这个假设，我们可以得到以下等式：√2 = a/b。

将等式两边平方，得到2 = (a/b)²，即2b² = a²。

由此可知，a²是2的倍数，因此a也是2的倍数。

假设a = 2c，其中c是整数，代入上述等式，得到2b²= (2c)²，即2b²= 4c²。

进一步简化，得到b² = 2c²。

同样地，根据上述等式，我们可以得出结论，b也是2的倍数。

这意味着a和b都是2的倍数，与我们一开始的假设矛盾。

因此，我们可以得出结论，假设√2是有理数的假设是错误的。

√2不是有理数，即√2是无理数。

通过反证法，我们证明了√2是无理数。

这个证明方法的关键在于假设√2是有理数，然后通过推导得到矛盾的结论，从而证明了假设的错误。

这种方法在数学证明中非常常用，可以用来证明很多数学命题。

在实际应用中，√2的无理性证明有着重要的意义。

它不仅仅是一个数学问题，更是对我们思维方式的挑战。

通过这个证明，我们可以看到数学的严谨性和逻辑性，也可以培养我们的逻辑思维能力。

总之，通过反证法，我们成功地证明了√2是无理数。

这个证明方法不仅仅适用于√2，还可以应用于其他数学问题的证明中。

通过不断运用这种方法，我们可以更好地理解数学的本质，提高我们的数学思维能力。

证明根号2是无理数的八种方法

根二是无理数证明

根二是无理数证明小朋友们呀，今天咱们来一起看看一个特别有趣的事儿，那就是证明根二是无理数。

咱们先来讲个小故事吧。

从前有个数字王国，里面有各种各样的数字。

有理数是那些规规矩矩的数字，可以写成两个整数之比，就像1/2呀，3/4呀。

但是有个数字很特别，它就是根二。

那怎么知道根二是无理数呢？咱们可以用一种很巧妙的方法来证明。

假如根二是有理数，那它就可以写成一个分数，就像a/b，这里的a和b都是整数，而且a和b不能再约分了，是最简的那种。

那么根二 = a/b，两边同时平方，就得到2 = a²/b²，再变形一下就得到a² = 2b²。

这时候就很有趣啦。

比如说b = 3，那b² = 9，2b² = 18。

那a²要是18的话，a就不是一个整数啦。

咱们再仔细想想，a² = 2b²。

这就说明a²是个偶数。

那什么样的数的平方是偶数呢？那这个数肯定也是偶数呀。

比如说2的平方是4，4是偶数；4的平方是16，16也是偶数。

既然a是偶数，那咱们就可以写成a = 2k，这里的k也是一个整数。

把a = 2k代入到a² = 2b²里，就得到(2k)² = 2b²，也就是4k² = 2b²，再化简就得到2k² = b²。

这样一来，b²是偶数，那b也肯定是偶数了。

可是呀，咱们前面说a/b是最简分数，不能再约分了。

现在a和b都是偶数，那还能约分呀，这就矛盾啦。

就像你说要把一块蛋糕分成最简单的份数，结果发现还能再分，这肯定不对呀。

所以呀，咱们最开始的假设就错了。

根二不能写成一个分数，它不是有理数，那它就是无理数啦。

通过这个有趣的证明，咱们就知道根二是无理数啦。

这就像在数字王国里发现了一个神秘的小宝藏，只要咱们动动脑筋，就能找到很多这样的小秘密呢。