概率论与数理统计作业及解答

概率论与数理统计作业及解答
第一次作业
★1. 甲, 乙, 丙三门炮各向同一目标发射一枚炮弹, 设事件A , B , C 分别表示甲, 乙, 丙击中目标, 则三门炮最多有一门炮击中目标如何表示. 事件E ={事件,,A B C 最多有一个发生},则E 的表示为
;E ABC ABC ABC ABC =+++或;AB
AC
BC =或;AB
AC
BC =
或;ABACBC =或().ABC ABC ABC ABC =-++
(和A B +即并A B ,当,A B 互斥即AB φ=时,A B 常记为A B +.) 2. 设M 件产品中含m 件次品, 计算从中任取两件至少有一件次品的概率.
22
1M m
M C C --或1122
(21)(1)m M m m M C C C m M m M M C -+--=- ★3. 从8双不同尺码鞋子中随机取6只, 计算以下事件的概率.
A ={8只鞋子均不成双},
B ={恰有2只鞋子成双},
C ={恰有4只鞋子成双}.
61682616()32()0.2238,143C C P A C ===1414
8726
16()80
()0.5594,143C C C P B C === 22128626
16()30
()0.2098.143
C C C P C C === ★4. 设某批产品共50件, 其中有5件次品, 现从中任取3件, 求:
(1)其中无次品的概率; (2)其中恰有一件次品的概率.
(1)34535014190.724.1960C C == (2)21455350990.2526.392
C C C ==
5. 从1～9九个数字中, 任取3个排成一个三位数, 求:
(1)所得三位数为偶数的概率; (2)所得三位数为奇数的概率.
(1){P 三位数为偶数}{P =尾数为偶数4
},9=
(2){P 三位数为奇数}{P =尾数为奇数5
},9
=
或{P 三位数为奇数}1{P =-三位数为偶数45
}1.99
=-=
6. 某办公室10名员工编号从1到10,任选3人记录其号码,求:(1)最小号码为5的概率;(2)最大号码为5的概率.
记事件A ={最小号码为5}, B ={最大号码为5}.
(1) 253101();12C P A C ==(2) 2
43101
().20
C P B C ==
7. 袋中有红、黄、白色球各一个,每次从袋中任取一球,记下颜色后放回,共取球三次,
求下列事件的概率:A ={全红},B ={颜色全同},C ={颜色全不同},D ={颜色不全同},E ={无黄色球},F ={无红色且无黄色球},G ={全红或全黄}.
311(),327P A ==1()3(),9P B P A ==33333!2(),339A P C ===8
()1(),9
P D P B =-=
3328(),327P E ==311(),327P F ==2
()2().27
P G P A ==
☆.某班n 个男生m 个女生(m ≤n +1)随机排成一列, 计算任意两女生均不相邻的概率.
☆.在[0, 1]线段上任取两点将线段截成三段, 计算三段可组成三角形的概率. 14
第二次作业 1. 设A , B 为随机事件, P (A )=0.92, P (B )=0.93, (|)0.85P B A =, 求:(1)(|)P A B , (2)()P A B ∪. (1) ()()
0.85(|),()0.850.080.068,()10.92
P AB P AB P B A P AB P A ==
==⨯=-
()()()()()()P AB P A P AB P A P B P AB =-=-+0.920.930.0680.058,=-+=
()0.058
(|)0.83.()10.93
P AB P A B P B =
==-
(2)()()()()P A B P A P B P AB =+-0.920.930.8620.988.=+-=
2. 投两颗骰子,已知两颗骰子点数之和为7,求其中有一颗为1点的概率. 记事件A ={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}, B ={(1,6),(6,1)}. 21(|).63
P B A ==
★.在1—2000中任取一整数, 求取到的整数既不能被5除尽又不能被7除尽的概率. 记事件A ={能被5除尽}, B ={能被7除尽}.
4001(),20005P A ==取整2000285,7⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦28557(),2000400P B ==200057,57⎡⎤=⎢⎥⨯⎣⎦
57(),2000P AB = ()()1()1()()()P AB P A B P A B P A P B P AB ==-=--+
15757
10.686.54002000
=--+=
3. 由长期统计资料得知, 某一地区在4月份下雨(记作事件A )的概率为4/15, 刮风(用B 表示)的概率为7/15, 既刮风又下雨的概率为1/10, 求P (A |B )、P (B |A )、P (A B ).
()1/103(|),()7/1514P AB P A B P B ===()1/103
(|),()4/158
P AB P B A P A ===
()()()()P A B P A P B P AB =+-47119
.15151030
=+-=
4. 设某光学仪器厂制造的透镜第一次落下时摔破的概率是1/2,若第一次落下未摔破,第二次落下时摔破的概率是7/10,若前二次落下未摔破,第三次落下时摔破的概率是9/10,试求落下三次而未摔破的概率．
记事件i A ={第i 次落下时摔破},1,2,3.i = 1231213121793()()(|)(|)111.21010200
P A A A P A P A A P A A A ⎛⎫⎛
⎫⎛⎫==---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
5. 设在n 张彩票中有一张奖券,有3个人参加抽奖,分别求出第一、二、三个人摸到奖券
概率．
记事件i A ={第i 个人摸到奖券},1,2,3.i =
由古典概率直接得1231
()()().P A P A P A n ===
或212121111
()()()(|),1n P A P A A P A P A A n n n
-====-
31231213121211
()()()(|)(|).12n n P A P A A A P A P A A P A A A n n n n
--====--
或 第一个人中奖概率为11
(),P A n
=
前两人中奖概率为12122()()(),P A A P A P A n +=+=解得21
(),P A n
=
前三人中奖概率为1231233()()()(),P A A A P A P A P A n ++=++=解得31
().P A n
=
6. 甲、乙两人射击, 甲击中的概率为0.8, 乙击中的概率为0.7, 两人同时射击, 假定中靶与否是独立的.求(1)两人都中靶的概率; (2)甲中乙不中的概率; (3)甲不中乙中的概率.
记事件A ={甲中靶},B ={乙中靶}.
(1) ()()()0.70.70.56,P AB P A P B ==⨯=
(2) ()()()0.80.560.24,P AB P A P AB =-=-= (3) ()()()0.70.560.14.P AB P B P AB =-=-=
★7. 袋中有a 个红球, b 个黑球, 有放回从袋中摸球, 计算以下事件的概率: (1)A ={在n 次摸球中有k 次摸到红球}; (2)B ={第k 次首次摸到红球};
(3)C ={第r 次摸到红球时恰好摸了k 次球}.
(1) ();()
k n k
k n k
k k n
n
n
a b a b P A C C a b a b a b --⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪
+++⎝⎭⎝⎭
(2) 1
1
();()k k k
b a ab P B a b a b a b --⎛⎫
== ⎪
+++⎝⎭ (3) 111
1
().()
r
k r
r k r
r r k k k
a b a b P C C
C
a b a b a b ------⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭
8.一射手对一目标独立地射击4次, 已知他至少命中一次的概率为80
.81
求该射手射击一次命中目标的概率.
设射击一次命中目标的概率为,1.p q p =-4801121,,1.818133
q q p q =-
===-= 9. 设某种高射炮命中目标的概率为0.6, 问至少需要多少门此种高射炮进行射击才能以0.99的概率命中目标.
(10.6)10.99,n -<-0.40.01,n <由50.40.01024,=60.40.01,<得 6.n ≥ ☆.证明一般加法(容斥)公式
11
1
1
(
)()()()(1)(
).n
n n n i i i i j i j k i i i i j
i j k
P A P A P A A P A A A P A -===<<<=-+
+
+-∑∑∑
证明 只需证分块111,,k k n k i i i i i i A A A A A A +⊂只计算1次概率．
(1,,n i i 是1,
,n 的一个
排列,1,2,,.k n =)分块概率重数为
1,,k i i A A 中任取1个-任取2个1(1)k -+
+-任取k 个,即
121(1)1k k k k k C C C --+
+-=⇔ 121(1)(11)0.k k k k k k C C C -++
+-=-=
将,互换可得对偶加法(容斥)公式
11
1
1
(
)()()()(1)(
).n
n
n n i i i i
j i
j k i i i i j
i j k
P A P A P A A P A
A A P A -===<<<=-+
+
+-∑∑∑
☆.证明 若A , B 独立, A , C 独立, 则A , B ∪C 独立的充要条件是A , BC 独立. 证明
(())()()()()
P A B C P AB AC P AB P AC P ABC ==+- ()()()()()P A P B P A P C P ABC =+- 充分性:⇐
(())()()()()(),P A B C P A P B P A P C P ABC =+-代入()()()P ABC P A P BC = ()(()()())P A P B P C P BC =+-()(),P A P B C = 即,A B C 独立. 必要性:⇒
(())()()P A B C P A P B C =()(()()())P A P B P C P BC =+-
()()()()()()P A P B P A P C P A P BC =+-()()()()()P A P B P A P C P ABC =+- ()()(),P ABC P A P BC =即,A BC 独立.
☆.证明：若三个事件A 、B 、C 独立，则A ∪B 、AB 及A －B 都与C 独立． 证明 因为
[()]()()()()()()()()()()()
[()()()()]()()()
P A B C P AC BC P AC P BC P ABC P A P C P B P C P A P B P C P A P B P A P B P C P A B P C ==+-=+-=+-=
[()]()()()()[()()]()()()P AB C P ABC P A P B P C P A P B P C P AB P C ==== [()]()()()()()()()()
[()()]()()()P A B C P AC B P AC P ABC P A P C P A P B P C P A P AB P C P A B P C -=-=-=-=-=-
所以A ∪B 、AB 及A －B 都与C 独立. 第三次作业
1. 在做一道有4个答案的选择题时, 如果学生不知道问题的正确答案时就作随机猜测. 设他知道问题的正确答案的概率为p , 分别就p =0.6和p =0.3两种情形求下列事件概率: (1)学生答对该选择题; (2)已知学生答对了选择题,求学生确实知道正确答案的概率. 记事件A ={知道问题正确答案},B ={答对选择题}.
(1) 由全概率公式得()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+113,444
p p
p -=+=+ 当0.6p =时,13130.67
()0.7,444410
p P B ⨯=+
=+==
当0.3p =时,13130.319()0.475.444440
p P B ⨯=
+=+== (2) 由贝叶斯公式得()4(|),13()1344
P AB p p
P A B p P B p ===++
当0.6p =时,440.66
(|),13130.67p P A B p ⨯=
==++⨯ 当0.3p =时,440.312
(|).13130.319
p P A B p ⨯=
==++⨯ 2. 某单位同时装有两种报警系统A 与B , 当报警系统A 单独使用时, 其有效的概率为0.70; 当报警系统B 单独使用时, 其有效的概率为0.80.在报警系统A 有效的条件下, 报警系统B 有效的概率为0.84.计算以下概率: (1)两种报警系统都有效的概率; (2)在报警系统B 有效的条件下, 报警系统A 有效的概率; (3)两种报警系统都失灵的概率.
()0.7,()0.8,(|)0.84.P A P B P B A ===
(1) ()()(|)0.70.840.588,P AB P A P B A ==⨯=
(2) ()0.588
(|)0.735,()0.8P AB P A B P B =
== (3) ()()1()1()()()P AB P A B P A B P A P B P AB ==-=--+
10.70.80.5880.088.=--+=
☆.为防止意外, 在矿内同时设有两种报警系统A 与B . 每种系统单独使用时, 其有效的概率系统A 为0. 92, 系统B 为0.93, 在A 失灵的条件下, B 有效的概率为0.85,. 求: (1)发生意外时, 两个报警系统至少有一个有效的概率; (2) B 失灵的条件下, A 有效的概率.
3. 设有甲、乙两袋, 甲袋中有n 只白球, m 只红球; 乙袋中有N 只白球, M 只红球. 从甲袋中任取一球放入乙袋, 在从乙袋中任取一球, 问取到白球的概率是多少. 记事件A ={从甲袋中取到白球},B ={从乙袋中取到白球}. 由全概率公式得
()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+
111n N m N
n m N M n m N M +=
+
++++++().()(1)
n N n m n m N M ++=+++
☆.设有五个袋子, 其中两个袋子, 每袋有2个白球, 3个黑球. 另外两个袋子, 每袋有1个白球, 4个黑球, 还有一个袋子有4个白球, 1个黑球. (1)从五个袋子中任挑一袋, 并从这袋中任取一球, 求此球为白球的概率. (2)从不同的三个袋中任挑一袋, 并由其中任取一球, 结果是白球, 问这球分别由三个不同的袋子中取出的概率各是多少？
★4. 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号 “·” 及 “-”. 由于通信系统受到于扰, 当发出信号 “·” 时, 收报台分别以概率0.8及0.2收到信息 “·” 及 “-”; 又当发出信号 “-” 时, 收报台分别以概率0.9及0.l 收到信号 “-” 及 “·”. 求: (1)收报台收到 “·”的概率;(2)收报台收到“-”的概率;(3)当收报台收到 “·” 时, 发报台确系发出信号 “·” 的概率;(4)收到 “-” 时, 确系发出 “-” 的概率.
记事件B ={收到信号 “·”},1A ={发出信号 “·”},2A ={发出信号“-”}. (1) )|()()|()()(2211A B P A P A B P A P B P +=;52.01.04.0)2.01(6.0=⨯+-⨯= (2) ()1()10.520.48;P B P B =-=-=
(3) 1111()()(|)(|)()()P A B P A P B A P A B P B P B ==0.60.812
0.923;0.5213⨯=== (4)2222()()(|)(|)()()
P A B P A P B A P A B P B P B =
=
0.40.93
0.75.0.484⨯=== 5. 对以往数据分析结果表明, 当机器调整良好时, 产品合格率为90%, 而机器发生某一
故障时, 产品合格率为30%. 每天早上机器开动时, 机器调整良好的概率为75%. (1)求机器产品合格率,
(2)已知某日早上第一件产品是合格品, 求机器调整良好的概率. 记事件B ={产品合格},A ={机器调整良好}. (1) 由全概率公式得
()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+0.750.90.250.30.75,=⨯+⨯= (2) 由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()P AB P A P B A P A B P B P B =
=0.750.9
0.9.0.75
⨯== ☆.系统(A), (B), (C)图如下, 系统(A), (B)由4个元件组成, 系统(C)由5个元件组成,
每个元件的可靠性为p , 即元件正常工作的概率为p , 试求整个系统的可靠性.
(A) (B) (C) 记事件A ={元件5正常},B ={系统正常}.
(A) 222(|)(1(1)(1))(44),P B A p p p p p =---=-+ (B) 2222(|)1(1)(1)(2),P B A p p p p =---=- (C) 由全概率公式得
()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+
2222(44)(1)(2)p p p p p p p =⋅-++-- 23452252.p p p p =+-+
第四次作业
1. 在15个同型零件中有2个次品, 从中任取3个, 以X 表示取出的次品的个数, 求X 的分布律.
2213
3
15
(),0,1,2.k k C C P X k k C -===
☆.经销一批水果, 第一天售出的概率是0.5, 每公斤获利8元, 第二天售出的概率是0.4, 每公斤获利5元, 第三天售出的概率是0.1, 每公斤亏损3元. 求经销这批水果每公斤赢利X
0,3,
(3)(3)0.1,35,()(5)(3)(5)0.10.40.5,58,(8)1,8.
x F P X x F x F P X P X x F x <-⎧⎪-==-=-≤<⎪=⎨==-+==+=≤<⎪⎪=≥⎩
2. 抛掷一枚不均匀的硬币, 每次出现正面的概率为2/3, 连续抛掷8次, 以X 表示出现正面的次数, 求X 的分布律.
(8,2/3),X B n p ==8821(),0,1,,8.33k k
k P X k C k -⎛⎫⎛⎫
=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
3. 一射击运动员的击中靶心的命中率为0.35, 以X 表示他首次击中靶心时累计已射击的次数, 写出X 的分布律, 并计算X 取偶数的概率.
(0.35),X G p =11()0.350.65,1,2.k k P X k pq k --===⨯= ()+()=1,()()=,P X P X P X P X q ⎧⎪
⎨
⎪⎩
奇偶偶奇 解得0.6513()=
0.394.110.6533
q P X q ==++偶
4. 一商业大厅里装有4个同类型的银行刷卡机, 调查表明在任一时刻每个刷卡机使用的概率为0.1,求在同一时刻:
(1)恰有2个刷卡机被使用的概率;(2)至少有3个刷卡机被使用的概率; (3)至多有3个刷卡机被使用的概率;(4)至少有一个刷卡机被使用的概率. 在同一时刻刷卡机被使用的个数(4,0.1).X B n p ==
(1) 2
224
(2)0.10.90.00486,P X C ==⨯⨯= (2) 3
344
(3)(3)(4)0.10.90.10.0037,P X P X P X C ≥==+==⨯⨯+= (3) 4(3)1(4)10.10.9999,P X P X ≤=-==-=
(4)4(1)1(0)10.910.65610.3439.P X P X ≥=-==-=-=
5. 某汽车从起点驶出时有40名乘客, 设沿途共有4个停靠站, 且该车只下不上. 每个乘
客在每个站下车的概率相等, 并且相互独立, 试求: (1)全在终点站下车的概率; (2)至少有2个乘客在终点站下车的概率; (3)该车驶过2个停靠站后乘客人数降为20的概率. 记事件A ={任一乘客在终点站下车},乘客在终点站下车人数(40,1/4).X B n p ==
(1) 40
231(40)8.271810,4P X -⎛⎫
===⨯ ⎪⎝⎭
(2) 40
39
40
140313433(2)1(0)(1)1144434P X P X P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥=-=-==--⨯=-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
10.0001340880.999865912.=-=
(3) 记事件B ={任一乘客在后两站下车},乘客在后两站下车人数(40,1/2).Y B n p ==
20
20
202040404011(20)0.1268.222C P Y C ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
(精确值)
应用斯特林公式!
2,n
n n n e π⎛⎫ ⎪⎝⎭
20
20
20
20404040
11(20)222C P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
240
40!(20!)2= 40
2
204040202e e ⎫
⎪
⎝⎭
⎫⎫⎪
⎪⎪⎭
⎭
0.1262.=
其中 1.7724538509.π==
参:贝努利分布的正态近似.
6. 已知瓷器在运输过程中受损的概率是0.002, 有2000件瓷器运到, 求: (1)恰有2个受损的概率; (2)小于2个受损的概率; (3)多于2个受损的概率; (4)至少有1个受损的概率.
受损瓷器件数(2000,0.002),X B n p ==近似为泊松分布(4).P n p λ=⨯=
(1) 24
41480.146525,2!P e e --=== (2) 4424150.0915782,1!P e e --⎛⎫
=+== ⎪⎝⎭
(3) 4
31211130.761897,P P P e
-=--=-= (4) 4410.981684.P e -=-=
7. 某产品表面上疵点的个数X 服从参数为1.2的泊松分布, 规定表面上疵点的个数不超
过2个为合格品, 求产品的合格品率.
产品合格品率2 1.2 1.2
1.2 1.21
2.920.879487.1!2!P e e --⎛⎫=+=== ⎪⎝
⎭ ★8. 设随机变量X
求:X 的分布函数, 以及概率(||5).X ≤ 随机变量X 的分布函数为
0,3,
(3)(3)0.2,35,()(5)(3)(5)0.20.50.7,58,(8)1,8.
x F P X x F x F P X P X x F x <-⎧⎪-==-=-≤<⎪=⎨==-+==+=≤<⎪⎪=≥⎩
(36)(5)0.5,P X P X <≤===
(1)(5)(8)0.50.30.8,P X P X P X >==+==+=
(5)(||5)(5)(3)(5)0.20.50.7,P X P X F P X P X ≤=≤===-+==+=
第五次作业
1. 学生完成一道作业的时间X 是一个随机变量(单位: 小时), 其密度函数是
2,00.5
()0,kx x x f x ⎧+≤≤=⎨⎩
其他
试求: (1)系数k ; (2)X 的分布函数; (3)在15分钟内完成一道作业的概率; (4)在10到
20分钟之间完成一道作业的概率. (1) 0.5
0.52
320
0111(0.5),21,3
2248k
k F kx xdx x x k ⎛⎫==+=+=+= ⎪⎝⎭⎰
(2) 23200,0
1()()217,00.5,2(0.5)1,0.5.
x x F x P X x x xdx x x x F x <⎧⎪⎪
=≤=+=+≤<⎨⎪
=≥⎪⎩⎰
(3) 32
20
11119()2170.140625,442464x F P X x x xdx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=≤=+=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰
(4) 3
2
1
2316111111129217.6336424108P X F F x xdx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
≤≤=-=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎰
2. 设连续型随机变量X 服从区间[-a , a ](a >0)上的均匀分布, 且已知概率1(1)3
P X >=, 求: (1)常数a ; (2)概率1
()3
P X <.
(1) 1111
(1),3,223a
a P X dx a a a ->====⎰
(2) 1
3311115
()3.36639
P X dx -⎛⎫<==+= ⎪⎝⎭⎰
3. 设某元件的寿命X 服从参数为θ 的指数分布, 且已知概率P (X >50)=e -4, 试求:(1)参数θ 的值; (2)概率P (25<X <100) . 补分布()
()|,0.x x x
x x S x P X x e dx e e
x θθθθ+∞
--+∞->==-=>⎰ (1) 504502
(50)(50),0.08,25
x S P X e dx e e θθθθ+∞---=>=====⎰
(2) 由()(),,0,rx
r S rx e S x r x θ-==>取50,x =依次令1
,2,2
r =得
12282
(25)(25)(50),(100)(100)(50)S P X S e S P X S e --=>===>==0.0003354563,=
其中 2.7182818284.e
28(25100)(25)(100)P X P X P X e e --<<=>->=- 0.135334650.00033545630.1349991937.=-= 4. 某种型号灯泡的使用寿命X (小时)服从参数为
1
800
的指数分布, 求: (1)任取1只灯泡使用时间超过1200小时的概率; (2)任取3只灯泡各使用时间都超过1200小时的概率. (1) 1
31200800
2
(1200)0.2231301602,P X e
e -
⨯->===
1.6487212707001.= (2) 93
2
(1200)0.0111089965.P X e
->==
5. 设X ~N (0, 1), 求: P (X <0.61), P (-2.62<X <1.25), P (X ≥1.34), P (|X |>2.13). (1) (0.61)(0.61)0.72907,P X <=Φ=
(2) ( 2.62 1.25)(1.25)( 2.62)(1.25)(2.62)1P X -<<=Φ-Φ-=Φ+Φ-
0.894359956010.88995,=+-=
(3) ( 1.34)1(1.34)10.909880.09012,P X >=-Φ=-= (4)(|| 2.13)22(2.13)220.983410.03318.P X >=-Φ=-⨯=
6. 飞机从甲地飞到乙地的飞行时间X ~N (4, 19
). 设飞机上午10: 10从甲地起飞, 求: (1)飞机下午2: 30以后到达乙地的概率; (2)飞机下午2: 10以前到达乙地的概率; (3)飞机在下午1: 40至2: 20之间到达乙地的概率.
(1) 131331/34111(1)10.841340.15866,331/3P X P X -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
>=-≤=-Φ=-Φ=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
(2) (4)(0)0.5,P X <=Φ=
(3) 72525/647/24261/31/3P X --⎛⎫⎛⎫⎛⎫
<<=Φ-Φ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
13122⎛⎫⎛⎫
=Φ+Φ- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0.691460.9331910.62465.=+-=
★7. 设某校高三女学生的身高X ~N (162, 25), 求: (1)从中任取1个女学生, 求其身高超过165的概率; (2)从中任取1个女学生, 求其身高与162的差的绝对值小于5的概率; (3)从中任取6个女学生, 求其中至少有2个身高超过165的概率.
(1) 162165162(165)0.61(0.6)10.72580.2742,55X P X P --⎛⎫
>=>==-Φ=-=
⎪⎝⎭ (2) 162(|162|5)12(1)120.8413410.6827,5X P X P ⎛-⎫
-<=<=Φ-=⨯-= ⎪⎝⎭
(3) 记事件A ={任一女生身高超过165}, ()(165)0.2742,p P A P X ==>= 随机变量Y 贝努利分布(6,0.2742),B n p ==
61
56(2)1(0)(1)1(1)(1)0.52257.P Y P Y P Y p C p p ≥=-=-==----=
第六次作业
★1.设随机变量X 的分布律为
(1)求Y =|X |的分布律; (2)求Y =X 2+X 的分布律. (1)
(2)
★.定理X 密度为()X f x ,()y g x =严格单调,反函数()x x y =导数连续,则()Y g X =是连续型变量,密度为
(())|()|,()(),
()0,X
Y f x y x y g x y g x f y αβ'=<<=⎧=⎨⎩
极小值极大值其它. 证明 1)若()0,x x y ''=>{}{()()}{},Y y g X g x X x ≤=≤=≤
()()(()())()(),Y X F y P Y y P g X g x P X x F x =≤=≤=≤= 两边对y 求导,
()(())(),.Y X f y f x y x y y αβ'=<<
2)若()0,x x y ''=<{}{()()}{},Y y g X g x X x ≤=≤=≥
()()(()())()1(),Y X F y P Y y P g X g x P X x F x =≤=≤=≥=- 两边对y 求导,
()(())(),.Y X f y f x y x y y αβ'=-<<
因此总有()(())|()|,.Y X f y f x y x y y αβ'=<< 或证明
()(),()0,
()()(()())()1(),()0,
X Y X P X x F x g x F y P Y y P g X g x P X x F x g x '≤=>⎧=≤=≤=⎨
'≥=-<⎩ 两边对y 求导,
(),()(),
X Y X dF x dx
dx dy
f y dF x dx dx dy ⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩
或两边微分
()(),
()()()(),X X Y Y X X
dF x f x dx dF y f y dy dF x f x dx =⎧==⎨-=-⎩
(),
()(),X Y X dx f x dy f y dx
f x dy ⎧⎪=⎨-⎪⎩
(())|()|,.X f x y x y y αβ'=<<
2. 设随机变量X 的密度函数是f X (x ), 求下列随机变量函数的密度函数: (1)Y =tan X ; (2)1
Y X
=
; (3)Y =|X |. (1) 反函数()arctan ,x y y ='2
1(),1x y y =
+由连续型随机变量函数的密度公式得
'21()(())|()|(arctan ).1Y X X
f y f x y x y f y y ==
+ 或 反函数支()arctan ,i x y i y i π=+为整数，'2
1(),1i x y y =
+ '21()(())|()|(arctan ).1Y X i i
X i i f y f x y x y f i y y π+∞
+∞
=-∞
=-∞
=
=++∑
∑
(2) 1,X Y =反函数1,y x y ='211()()().Y X y y X f y f x x f y y
==
(3) ()()(||)()()()Y X X F y P Y y P X y P y X y F y F y =≤=≤=-≤≤=--. 两边对y 求导得Y 的密度函数为()()(),0.Y X X f y f y f y y =+->
★3. 设随机变量X ~U [-2, 2], 求Y =4X 2-1的密度函数.
2()()(41)(115,Y F y P Y y P X y P X y =≤=-≤=≤=-≤≤
两边对y 求导得随机变量Y 的密度为
()115.Y f y y =
-≤≤ 或解
反函数支12()()x y x y ==
''
'112211()(())|()|(())|()|2(())()115.Y X X X f y f x y x y f x y x y f x y x y y =+==
-≤≤
★4. 设随机变量X 服从参数为1的指数分布, 求Y =X 2的密度函数(Weibull 分布). 当0y ≤时, 2Y X =的分布()0Y F y =,当0y >时
,
2()()()(Y X F y P Y y P X y P X F =≤=≤=≤= 两边对y 求导得
()Y X f y f '=
=0,()0.
Y y f y >=⎩
或
反函数y x
='()()0.Y X y y f y f x x y ==>
★5. 设随机变量X~N (0, 1), 求(1)Y =e X 的密度函数; (2)Y =X 2的密度函数(Gamma 分布). (1) 当0y ≤时, e X Y =的分布()0Y F y =,当0y >时,
()()(e )(ln )(ln ),X Y F y P Y y P y P X y y =≤=≤=≤=Φ 因而Y 的密度为
''1()(ln )(ln )(ln )(ln ),Y f y y y y y y ϕϕ=Φ=
={}
2
(ln ),0,2()0,0.
Y y y f y y ->=≤⎩ 或 反函数ln ,X Y =ln ,y x y ='1()()(ln )Y y y f y x x y y ϕϕ=
={}
2(ln ),0.2y y =
-> (2) 当0y ≤时,()0Y F y =;当0Y >时
,
2()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤=≤≤=-.
两边对y 求导得Y
的密度函数为2
,0,()0.
y
Y y f y ->=⎩
或
反函数支12()()x y x y =
''
2
1122()(())|()|(())|()|,0.y
Y X X f y f x y x y f x y x y y -=+=
>
6. 设随机变量X 的密度函数是21
,1()0,
1X x f x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩, 求Y =ln X 的概率密度. 反函数,y y x e ='()()(),0.y y y Y X y y X f y f x x f e e e y -===>
第七次作业
☆.将8个球随机地丢入编号为1, 2, 3, 4, 5的五个盒子中去, 设X 为落入1号盒的球的个数, Y 为落入2号盒的球的个数, 试求X 和Y 的联合分布律.
1. 袋中装有标上号码1, 2, 2的3个球, 从中任取一个并且不再放回, 然后再从袋中任取一球,. 以X , Y 分别记第一、二次取到球上的号码数, 求: (1)(X , Y )的联合分布律(设袋中各球被取机会相等); (2)X , Y 的边缘分布律; (3)X 与Y 是否独立？ (1)(X , Y )的联合分布律为
(1,1)0,P X Y ===1
(1,2)(2,1)(2,2).3
P X Y P X Y P X Y =========
(2) X , Y 的分布律相同,12(1),(2).33
P X P X ====
(3) X 与Y 不独立.
2. 设二维连续型变量(,)X Y 的联合分布函数35(1)(1),,0,
(,)0,.
x y e e x y F x y --⎧-->=⎨⎩其它
求(,)X Y 联合密度.
2
(,)(,),f x y F x y x y ∂=∂∂3515,,0,(,)0,.
x y e x y f x y --⎧>=⎨⎩其它
★3. 设二维随机变量(X , Y )服从D 上的均匀分布, 其中D 是抛物线y =x 2和x =y 2所围成的区域, 试求它的联合密度函数和边缘分布密度函数, 并判断Y X ,是否独立.
分布区域面积2
1
312
320
0211,3
33x S x dx x x ⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭⎰
⎰
联合密度2
13,1,
(,)0,.
x y f x y S ⎧=<<<⎪=⎨⎪⎩其它
边缘X
的密度为22()),01,X x
f x dy x x ==-<<
边缘Y
的密度为22()),0 1.Y y
f y dy y y ==<<
(,)()(),X Y f x y f x f y ≠⋅因此X 与Y 不独立.
或(,)f x y 非零密度分布范围不是定义在矩形区域上,因此X 与Y 不独立.
4. 设二维离散型变量),(Y X 联合分布列是
问,p q 取何值时X 与Y
两行成比例1/151/52,1/53/103q p ===解得12
,.1015p q ==
★5.设(,)X Y 的联合密度为2,11,0,
(,)0,.y Ax e x y f x y -⎧-<<>=⎨⎩
其它求:(1)常数A ;(2)概率
1
(0,1);
2P X Y <<>(3)边缘概率密度f X (x ), f Y (y ); (4)X 与Y 是否相互独立？ (1) 2220
()(,),11,y y X f x f x y dy Ax e dy Ax e dy Ax x +∞+∞
+∞
--====-<<⎰
⎰
⎰
1
1
2112()1,3X f x dx Ax dx A --==
=⎰⎰3.2
A = (2) 11
2201113(0,1)(0)(1).22216
y
e P X Y P X P Y x dx e dy -+∞-<<>=<<>==
⎰⎰ (3) 23
(),11,2X f x x x =-<<
111221113()(,),0.2
y y
y Y f y f x y dx Ax e dx e x dx e y ------====>⎰⎰⎰
(4)由23,11,0
()()(,),2
0,y
X Y x e x y f x f y f x y -⎧-<<>⎪⋅==⎨⎪⎩其它
得X 与Y 独立. 或
因为2(,),11,0,y f x y Ax e x y -=-<<>可表示为x 的函数与y 的函数的积且分布在矩形区域上,所以X 与Y 相互独立.由此得(),0;y Y f y e y -=>2(),11,X f x Ax x =-<<
11211
2()1,3X f x dx Ax dx A --===⎰⎰3.2
A = 1
122
01113(0,1)(0)(1).22216
y e P X Y P X P Y x dx e dy -+∞-<<>=<<>==⎰⎰
6. 设X 服从均匀分布(0,0.2),U Y 的密度为55,0,
()0,y Y e y f y -⎧>=⎨⎩其它.
且,X Y 独立.求:(1)X
的密度;(2) (,)X Y 的联合密度. (1)X 的密度为()5,00.2,X f x x =≤≤
(2)(,)X Y 的联合密度为525,00.2,0,
(,)0,y e x y f x y -⎧≤≤>=⎨⎩其它.
第八次作业
★1.
求函数(1)Z 1=X +Y , (2) Z 2=min{X , Y }, (3) Z 3=max{X , Y }的分布律.
(1) 11(0)(0),6P Z P X Y =====1111
(1)(0,1)(1,0),362
P Z P X Y P X Y ====+===+=
1111(2)(0,2)(1,1),12126P Z P X Y P X Y ====+===+=11
(3)(1,2).6
P Z P X Y =====
(2) 2111(1)(1,1)(1,2),1264P Z P X Y P X Y ====+===+=223
(0)1(1).4
P Z P Z ==-==
(3) 31
(0)(0),6
P Z P X Y =====
31117
(1)(0,1)(1,1)(1,0),312612
P Z P X Y P X Y P X Y ====+==+===++=
3111
(2)(0,2)(1,2).1264
P Z P X Y P X Y ====+===+=
2. 设随机变量(
求函数Z =X /Y 的分布律.
(/1)(1)(1)0.250.250.5,P Z X Y P X Y P X Y =====+==-=+= (/1)1(/1)0.5.P Z X Y P Z X Y ==-=-===
3. 设X 与Y 相互独立, 概率密度分别为220()0
0,x
X e x f x x -⎧>=⎨
≤⎩0()0
0,
y Y e y f y x -⎧>=⎨
≤⎩
试求Z =X +Y 的概率密度.
()(,)()()z
z
Z X Y f z f x z x dx f x f z x dx =-=-⎰⎰
20
222(1),0.z z
x z x z x z z e e dx e e dx e e z --+----===->⎰⎰
★4. 设X ~U (0, 1), Y ~E (1), 且X 与Y 独立, 求函数Z =X +Y 的密度函数.
,01,0,
(,)0,y e x y f x y -⎧<<>=⎨
⎩其它,
当01z <≤时,
()(,)()()z
z
Z X Y f z f x z x dx f x f z x dx =-=-⎰⎰0
1,z
z z x z x
z x e dx e e -+-+-====-⎰
当1z >时,
1
1
110
()(,)()().z
z x z x
z z Z X Y x f z f x z x dx f x f z x dx e dx e e e -+-+--==-=-===-⎰⎰⎰
因此
11,01,(),1,0,.z z z Z e z f z e e z ---⎧-≤≤⎪
=->⎨⎪⎩
其它
★5. 设随机变量(X , Y )的概率密度为()
1
01,0(,)10
x y e x y f x y e -+-⎧⎪<<<<+∞=⎨-⎪⎩其它
(1)求边缘概率密度f X (x ), f Y (y ); (2)求函数U =max (X , Y )的分布函数; (3)求函数V =min
(X , Y )的分布函数.
(1) 1,01,()10,x
X e x f x e --⎧<<⎪=-⎨⎪⎩
其它.
,0,()0,y Y e y f y -⎧>=⎨⎩其它. (2) 11000,0,
1()(),01,111,1x
x x x X X x e e F x f x dx dx x e e x ----≤⎧⎪-⎪===<<⎨--⎪≥⎪⎩⎰⎰.
min{,1}1
0,0,1,01x x e x e --≤⎧⎪
=⎨->⎪-⎩. 0,0,
()1,0Y y
y F y e y -≤⎧=⎨->⎩.
2
1
(1),01,()()()11,1x U X Y x e x F x F x F x e e x ---⎧-<<⎪
==-⎨⎪-≥⎩
. min{,1}1
(1)(1),0.1x x e e x e -----=>-
(3) 11
1,0,()1(),01,10,1x X X x e e
S x F x x e x ---≤⎧⎪-⎪-=<<⎨-⎪≥⎪⎩.
min{,1}1
1
1,0,,01x x e e x e
---≤⎧⎪
=⎨->⎪-⎩.
1,0,
()1(),0Y Y y
y S y F y e y -≤⎧-=⎨>⎩.
112111
()11,01,()1()()111,1x x x x
V X Y e e e e e e x F x S x S x e e x ---------⎧---+-
=<<⎪=-=--⎨⎪≥⎩
. 1min{,1}11
1,01x x x e e e x e --------+=>-.
6. 设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N (160, 202)分布. 随机地选取4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率.
随机变量2(160,20),X N 180160(180)(1)0.84134,20P X -⎛⎫
≤=Φ=Φ= ⎪⎝⎭
没有一只寿命小于180小时的概率为
444(180)(1(1))(10.84134)0.00063368.P X >=-Φ=-=
第九次作业
★1.
试求: E (X ), E (X 2+5), E (|X |).
20.110.210.320.130.10.4,i i i
EX x p ==-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯=∑
2222222(2)0.1(1)0.210.320.130.1 2.2,i i i
EX x p ==-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=∑
22(5)57.2,E X EX +=+=
||||20.110.210.320.130.1 1.2.i i i
E X x p ==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑
2. 设随机变量X 的概率密度为0 0,
() 01, 1.
x x f x x x Ae x -⎧≤⎪=<≤⎨⎪>⎩求: (1)常数A ; (2)X 的数学期望.
(1) 1100111(),2x f x dx xdx Ae dx Ae +∞
+∞
--==+=
+⎰
⎰⎰
,2e A =
(2) 12100114
()2.2323
x e e EX xf x dx x dx xe dx e +∞+∞--==+=+⨯=⎰⎰⎰
★3. 设球的直径D 在[a , b ]上均匀分布,试求: (1)球的表面积的数学期望(表面积2D π);
(2)球的体积的数学期望(体积316
D π).
(1) 22
2
22()();3b
a x E D ED dx a a
b b b a π
πππ===++-⎰ (2) 333
22()().66
24b a x E D ED dx a b a b b a ππππ⎛⎫===++ ⎪-⎝⎭⎰ ★4. 设二维离散型随机变量(X , Y )的联合分布律为
求E (X ), E (Y ), E (XY ).
2(0.10.050.050.1)2(0.10.150.050.1)i i i
EX x p ==-⨯++++⨯+++∑
20.320.350.1,=-⨯+⨯=
1(0.10.050.1)2(0.050.15)j j j
EY y p ==⨯+++⨯+∑
3(0.050.10.05)4(0.10.20.05) 2.65,+⨯+++⨯++=
,()i j i j i
j
E XY x y p =∑∑
2(10.120.0530.0540.01)2(10.120.1530.0540.05)
=-⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯ 1.5 1.50.=-+=
★5. 设随机变量X 和Y 独立, 且具有概率密度为2,01,()0,X x x f x <<⎧=⎨⎩其它,3(1)3,1,
()0, 1.y Y e
y f y y --⎧>=⎨≤⎩
(1)求(25)E X Y +; (2)求2()E X Y .
(1) 112002
()2,3
X EX xf x dx x dx ===⎰⎰
3(1)1
14
()3,3
y Y EY yf y dy ye dy +∞
+∞
--===⎰
⎰
或随机变量1Z Y =-指数分布(3),E 14
1,,33
EZ EY EY =-==
24
(25)25258.33
E X Y EX EY +=+=⨯+⨯=
(2) 11223001()2,2X EX x f x dx x dx ===⎰⎰由X 和Y 独立得22142
().233
E X Y EX EY ==⨯=
第十次作业
1. 设离散型随机变量
试求: (1) D (X ); (2) D (-3X +2) .
(1) 20.110.210.320.130.10.4,i i i
EX x p ==-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯=∑
2222222(2)0.1(1)0.210.320.130.1 2.2,i i i
EX x p ==-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=∑
2222.20.4 2.04.DX EX E X =-=-=
(2) 2(32)(3)9 2.0418.36.D X DX -+=-=⨯=
★2. 设随机变量X 具有概率密度为22,02,
()0,Ax x x f x ⎧+<<=⎨⎩其他，
试求: (1)常数A ; (2)E (X ); (3) D (X ); (4) D (2X -3) .
(1) 22081()(2)4,3f x dx Ax x dx A +∞-∞==+=+⎰⎰解得9
.8A =-
(2) 22095
()(2).86
EX xf x dx x x x dx +∞-∞==-+=⎰⎰
(3) 2
2
2
2
2094()(2),85EX x f x dx x x x dx +∞
-∞==-+=⎰⎰2
224519
.56180
DX EX E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭
(4) 21919
(23)24.18045
D X DX -==⨯=
★3. 设二维随机变量(,)X Y 联合概率密度为2,01,01,
(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他，
试求: (1),X Y 的协方差和相关系数A ; (2)(21).D X Y -+
(1) 103
()(,)(2),01,2
X f x f x y dy x y dy x x +∞-∞==--=-<<⎰⎰
由,x y 的对称性3
(),0 1.2
Y f y y y =-<<
1035(),212X EX xf x dx x x dx EY +∞-∞⎛⎫==-== ⎪⎝⎭⎰⎰
12222031(),24X EX x f x dx x x dx EY +∞-∞⎛⎫
==-== ⎪⎝⎭
⎰⎰
2
2
2
1511
,412144
DX EX E X DY ⎛⎫=-=-== ⎪⎝⎭
11
001
()(,)(2),6
E XY xyf x y dydx xy x y dydx +∞
+∞
-∞
-∞
==--=⎰
⎰
⎰
⎰ 因此
2
151
(,)(),612144
Cov X Y E XY EXEY ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭
,1.11X Y ρ==-
(2) 由随机变量和的方差公式()2(,)D X Y DX DX Cov X Y +=++得
(21)(2)()2(2,)
D X Y D X D Y Cov X Y -+=+-+-
2259
2(1)22(1)(,).144
DX DY Cov X Y =+-+⨯⨯-⨯=
★4. 设二维随机变量(,)X Y 具有联合分布律
试求,,,EX DX EY DY 以及X 和Y 的相关系数. (1) X 的分布列为
0.45
由变量X 分布对称得0,EX =或10.4500.4510.450,i i i
EX x p ==-⨯+⨯+⨯=∑
22222(1)0.4500.4510.450.9,i i i
EX x p ==-⨯+⨯+⨯=∑220.9.DX EX E X =-=
(2) Y 的分布列为
j (,)X Y 取值关于原点中心对称
由变量Y 分布对称得0,EY =或20.20.250.2520.20,j j i
EY y p ==-⨯-++⨯=∑
222222
(2)0.2(1)0.2510.2520.2 2.1,j j i
EY y p ==-⨯+-⨯+⨯+⨯=∑
22 2.1.DY EY E Y =-=
(3) 由二维变量(,)X Y 的联合分布列关于两坐标轴对称得,()0,i j i j i
j
E XY x y p ==∑∑
(,)()0,Cov X Y E XY EXEY =-=因此
,0.X Y ρ=
=
5. 设随机变量X 服从参数为2的泊松分布(2)P ,随机变量Y 服从区间(0,6)上的均匀分
布(0,6),U 且,X Y 的相关系数
,X Y ρ=记2,Z X Y =-求,.EZ DZ (1) 2,EX =06
3,2EY +==(2)2223 4.EZ E X Y EX EY =-=-=-⨯=-
(2) 2(60)2, 3.
12DX DY -==
=由,X Y ρ==得(,)1,Cov X Y = 由随机变量和的方差公式()2(,)D X Y DX DY Cov X Y +=++得
2(2)(2)2(,2)(2)4(,)10.DZ D X Y DX D Y Cov X Y DX DY Cov X Y =-=+-+-=+--=
第十一次作业
★1. 试用切比雪夫不等式估计下一事件概率至少有多大: 掷1000次均匀硬币, 出现正面的次数在400到600次之间.
出现正面的次数~(1000,0.5),X B n p == 10000.5500,EX np ==⨯=10000.50.5250,DX npq ==⨯⨯=
应用切比雪夫不等式,有
239
(400600)(|500|100)1.10040
DX P X P X ≤≤=-≤≥-=
2. 若每次射击目标命中的概率为0.1, 不断地对靶进行射击, 求在500次射击中, 击中目标的次数在区间(49, 55)内的概率.
击中目标的次数~(500,0.1),X B n p ==
5000.150,EX np ==⨯=5000.10.945.DX npq ==⨯⨯= 根据中心极限定理,X 近似服从正态分布(50,45).N EX DX ==
(4955)P X P ≤≤=≤≤
1≈Φ-Φ=Φ+Φ-⎝⎭⎝⎭ (0.74)(0.15)10.77040.559610.33.=Φ+Φ-=+-=
★3. 计算器在进行加法时, 将每个加数舍入最靠近它的整数.设所有舍入误差是独立的且在(-0.5, 0.5)上服从均匀分布, (1)若将1500个数相加, 问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？(2)最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90.
(1) 误差变量,1,2,.i X i =⋅⋅⋅独立同均匀分布(0.5,0.5),X U -1
0,.12
EX DX ==由独立变
量方差的可加性150011500
125,12
i i D X =⎛⎫== ⎪⎝⎭∑1500
1i i X =∑近似(0,125).N
15001||15i i P X =⎧⎫>⎨⎬⎩⎭
∑15001|i
i P X =⎧⎪=>=⎨⎪⎪⎩⎭
∑
2222(1.34)220.90990.1802.≈-Φ=-Φ=-⨯=⎝⎭
(2) 1||10n i i P X =⎧⎫<⎨⎬⎩⎭
∑1||n i P X =⎧⎪=<=⎨⎪⎩
210.90,⎛≈Φ-≥ ⎝
0.95,⎛Φ≥ ⎝
1.645,≥212
4.434
5.1.645n ≤= 因此,最多可有4个数相加,误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90.
★4. 一个系统由n 个相互独立的部件所组成, 每个部件的可靠性(即部件正常工作的概率)为0.90. 至少有80%的部件正常工作才能使整个系统正常运行, 问n 至少为多大才能使系统正常运行的可靠性不低于0.95.
正常工作的部件数~(,),X B n p 其中0.9.p =0.9,EX np n ==0.09.DX npq n ==
(0.8)P X n
≥3P ⎛=≥==-
⎭0.95,3⎛≈Φ≥ ⎝⎭
1.645,24.354.n ≥≥因此n 至少取25.
★5. 有一大批电子元件装箱运往外地, 正品率为0.8, 为保证以0.95的概率使箱内正品数多于1000只, 问箱内至少要装多少只元件？
正品数~(,),X B n p 其中0.8.p =0.8,EX np n ==0.16.DX npq n ==
(1000)P X
≥P =≥=
0.95,≈Φ≥
1.645,0.810000.n ≥-≥ 解得1637.65,n ≥因此n 至少取1638.
★.贝努利分布的正态近似.投掷一枚均匀硬币40次出现正面次数20X =的概率. 正面次数(40,1/2),X B n p ==400.520,400.50.510.EX np DX npq ==⨯===⨯⨯= 离散值20X =近似为连续分组区间19.520.5,X <<
(20)
(19.520.5)P X P X =<
<0.16P ⎫
=<=⎪⎭
2((0.16)0.5)2(0.56360.5)0.1272.=Φ-=⨯-= 第十二次作业
★1. 设X 1, X 2, ⋅⋅⋅, X 10为来自N (0, 0.32
)的一个样本, 求概率10
21
{ 1.44}i i P X =>∑.
标准化变量(0,1),1,2,...,10.0.3
i
X
N i =由卡方分布的定义,10
2
222
1
1
~(10).0.3i
i X
χχ==
∑
1021 1.44i i P X =⎧⎫>⎨⎬⎩⎭∑102222
11 1.44(10)160.1,0.30.3i i P X χ=⎧⎫
==>=≈⎨⎬⎩⎭∑ 略大,卡方分布上侧分位数2
0.1
(10)15.9872.χ= ★2. 设X 1, X 2, X 3, X 4, X 5是来自正态总体X ~(0, 1)容量为5的样本, 试求常数c , 使得统计量
t 分布, 并求其自由度.
由独立正态分布的可加性,12
(0,2),X X N +
标准化变量(0,1),U N =
由卡方
分布的定义,2222
2345~(3),X X X χχ=++U 与2χ独立.
由t 分布的定义
,(3),T t =
=
=
因此c =自由度为3.
★3. 设1
12,,,n X X X 为来自N (μ1, σ2)的样本, 2
12,,
,n
Y Y Y 为来自N (μ2, σ2)的样本, 且两样本
相互独立, 221
2
,S S 分别为两个样本方差, 22
21122
12(1)(1)2
p
n S n S S n n -+-=
+-. 试证明22().p E S σ=
证 由
2
21112
(1)~(1),n S n χσ
--及()
211(1)1E n n χ-=-得
()
2211112(1)(1)1,n S E E n n χσ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭
221.ES σ= 类似地2
22.ES σ=
22
2
112212(1)(1)2p
n S n S ES E n n ⎛⎫-+-= ⎪+-⎝⎭22
212121212(1)(1).2
2n n ES ES n n n n σ--=+=+-+-。