人教版 九年级下册数学解直角三角形及其应用学案

解直角三角形及其应用

一、解直角三角形的定义

在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．

二、解直角三角形的应用

仰角与俯角问题

（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．

（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．

方位角与坡角问题

（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．

（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h/l=tanα．

（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．

应用领域：①测量领域；①航空领域①航海领域：①工程领域等．

知识点一、解直角三角形

例1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，AB＝5，BD＝1，tan B＝．

（1）求AD的长；

（2）求sinα的值．

例2．如图，已知△ABC中，AB＝BC＝5，tan∠ABC＝．（1）求边AC的长；

（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．

【变式训练】

1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（）

A．10B．8C．4D．2

2．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（）

A．B．C．D．

知识点二、仰角与俯角、方位角与坡角问题

例3．如图，某地有甲、乙两栋建筑物，小明于乙楼楼顶A点处看甲楼楼底D点处的俯

角为45°，走到乙楼B点处看甲楼楼顶E点处的俯角为60°，已知AB＝6m，DE＝10m．求乙楼的高度AC的长．（参考数据：≈1.41，≈1.73，精确到0.1m．）

例4．某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改造．如图是风景秀美的观景山，从山脚B到

山腰D沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从D到A修建电动扶梯，经测量，山高AC＝154米，步行道BD＝168米，∠DBC＝30°，在D处测得山顶A的仰角为45°．求电动扶梯DA的长（结果保留根号）．

例5．小明同学在综合实践活动中对本地的一座古塔进行了测量．如图，他在山坡坡脚P处

测得古塔顶端M的仰角为60°，沿山坡向上走25m到达D处，测得古塔顶端M的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，请你帮助小明计算古塔的高度ME．

（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）

例6．如图，某学校体育场看台的顶端C到地面的垂直距离CD为2m，看台所在斜坡CM

的坡比i＝1：3，在点C处测得旗杆顶点A的仰角为30°，在点M处测得旗杆顶点A的仰角为60°，且B，M，D三点在同一水平线上，求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.41，＝1.73）

例7．如图，海中有一个小岛A，它周围8海里内有暗礁．渔船跟踪鱼群由西向东航行，

在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行10海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？

【变式训练】

1．如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米．若梯子与地面的夹角

为α，则梯子顶端到地面的距离BC为（）

A．3sinα米B．3cosα米C．米D．米

2．如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A处看乙楼楼顶B处仰角为

30°，则甲楼高度为（）

A．11米B．（36﹣15）米C．15米D．（36﹣10）米

3．小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她

先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（）

A．3.2米B．3.9米C．4.7米D．5.4米

【课后作业】

1．如图，A，B，C是3×1的正方形网格中的三个格点，则tan B的值为（）A．B．C．D．

2．河堤横断面如图所示，AB＝10米，tan∠BAC＝，则AC的长是（）米．A．5B．10C．15D．10

3．如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角为30°，看这栋楼底部C的俯角为60°，热气球A与楼的水平距离为120米，这栋楼的高度BC为（）

A．160米B．（60+160）C．160米D．360米

4．如图，一艘船向东航行，上午8时到达A处，测得一灯塔B在船的北偏东30°方向，且距离船48海里；上午11时到达C处，测得灯塔在船的正北方向．则这艘船航行的速度为（）A．24海里/时B．8海里/时C．24海里/时D．8海里/时

5．如图，在岷江的右岸边有一高楼AB，左岸边有一坡度i＝1：2的山坡CF，点C与点B

在同一水平面上，CF与AB在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼AB的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为45°，然后沿坡面CF上行了20米到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为30°，