连续性数学期望的公式
概率论与数理统计32学时课程要点
二维随机变量分布函数的 4 条性质？
联合分布律（表格形式）
联合概率密度函数（与联合分布函数的关系，完备性，非负性，表示取
值在某个区域上的概率）52 页例 3-2，
3、理解边缘分布的概念；
固定一个变量的边界，让另一个变量的上边界趋于正无穷
是联合分布的一种极限形式
4、熟练掌握由联合概率密度求边缘概率密度的公式（默写？）；
事件的概率（贯穿始终的课程主线，中心问题）； 变量的分布函数（分布律，概率密度）； 数字特征（期望，方差，协方差，相关系数，矩）
第一章 随机事件及其概率
1、熟练掌握事件的运算；事件的和、积、差、；
熟练掌握事件的关系：包含、相等、互斥、对立、完备事件组
熟练掌握事件的运算律运算：德摩恩律、分配律、减法公式 加法公式
数学期望和方差； 列一张表，写出 6 种分布的分布律或概率密度、期望、方差 6、掌握求协方差的概念 两个变量与各自均值的偏差的乘积的数学期望 计算公式？ 协方差的 5 条性质？ 7、掌握相关系数的概念 两个变量变准化之后的协方差；计算公式？ 正相关？负相关？相关指的是线性相关性。 区别不相关与独立？ 相关系数的两条性质？ 8、掌握矩的概念 原点矩与中心矩 一阶矩与高阶矩 混合矩 所有的数字特征都是矩，所有的矩都是某种期望。 so，第四章所有的计算都与求期望有关，大多数统计指标都是某种意义下的
熟练掌握密度函数与变量落在某个区间内的概率的关系
6、熟练掌握正态分布、指数分布和均匀分布的定义及性质；
均匀分布的概率密度函数、分布函数
指数分布的概率密度函数、分布函数
《工程数学》教案19连续型随机变量的数学期望
《工程数学》教案19连续型随机变量的数学期望教学目标：1、了解连续型随机变量的概念及其特点；2、掌握连续型随机变量的数学期望的求解方法。
教学内容：一、连续型随机变量的概念及特点连续型随机变量是指取值在一个区间内的随机变量。
与离散型随机变量不同，连续型随机变量的取值可以是无数个，因此其概率密度函数（PDF）具有一定的连续性。
二、连续型随机变量的数学期望的定义对于连续型随机变量X，其数学期望E(X)可以通过积分的方式进行计算。
数学期望表示了随机变量在平均情况下的取值，并且是一个常数。
三、连续型随机变量的数学期望的计算方法1、如果概率密度函数f(x)在x=a和x=b处连续，并且在[a,b]区间内可积，那么连续型随机变量X在该区间内的数学期望可以通过以下公式计算：E(X) = ∫(a到b) x * f(x) dx2、如果概率密度函数f(x)在整个实数轴上连续并可积，那么连续型随机变量X的数学期望可以通过以下公式计算：E(X) = ∫(-∞到+∞) x * f(x) dx四、例题讲解例题1：已知连续型随机变量X的概率密度函数为f(x)=(3/2)*(x-1)，0<x<2，求X的数学期望。
解：根据连续型随机变量的数学期望的计算方法，可以得出：E(X) = ∫(0到2) x * f(x) dx= ∫(0到2) x * (3/2)*(x-1) dx= ∫(0到2) (3/2)*(x^2-x) dx=(3/2)*[x^3/3-x^2/2]在0到2之间的值=(3/2)*[(8/3)-2/2-0]=(3/2)*[(8/3)-1]=(3/2)*(5/3)=5/2因此，X的数学期望为5/2五、教学设计1、引入：通过提问和讲解的方式引导学生回顾离散型随机变量的数学期望的计算方法，并带入连续型随机变量的背景，引出连续型随机变量的概念。
2、知识讲解：对连续型随机变量的概念和数学期望的定义进行详细讲解，并结合具体例子进行说明。
高中必背88个数学公式
高中必背88个数学公式1. 勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边平方。
2. 余弦定理：在任意三角形中，一个角的余弦等于与该角相对的边的平方和减去另外两条边的平方的差再除以两倍的另一条边与该角相对的角的正弦的乘积。
3. 正弦定理：在任意三角形中，一个角的正弦等于与该角相对的边长和另外两条边长的比例的乘积。
4. 长方形面积公式：长方形的面积等于长乘以宽。
5. 平行四边形面积公式：平行四边形面积等于底边长乘以高。
6. 梯形面积公式：梯形的面积等于上底加下底乘以高再除以二。
7. 三角形面积公式：三角形面积等于底边长乘以高再除以二。
8. 圆面积公式：圆的面积等于圆周率乘以半径的平方。
9. 圆周长公式：圆的周长等于直径乘以圆周率。
10. 球体表面积公式：球体的表面积等于四倍的圆面积。
11. 球体体积公式：球体的体积等于四分之三的圆面积乘以半径的立方。
12. 一次函数方程： y = kx + b。
13. 二次函数方程： y = ax² + bx + c。
14. 等差数列通项公式： an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差，an为第n项。
15. 等差数列前n项和公式： Sn = n(a1 + an)/2，其中a1为首项，an为第n项，n为项数。
16. 等比数列通项公式：an = a1 × qⁿ⁻¹，其中a1为首项，q为公比，n为项数。
17. 等比数列前n项和公式： Sn = a1(1 - qⁿ)/1 - q，其中a1为首项，q为公比，n为项数。
18. 三角函数正弦的定义：在直角三角形中，任意一锐角的正弦是指这个角的对边与这个角所在的斜边的比值。
19. 三角函数余弦的定义：在直角三角形中，任意一锐角的余弦是指这个角的邻边与这个角所在的斜边的比值。
20. 三角函数正切的定义：在直角三角形中，任意一锐角的正切是指这个角的对边与这个角的邻边的比值。
21. 三角函数余切的定义：在直角三角形中，任意一锐角的余切是指这个角的邻边与这个角的对边的比值。
概率论与数理统计知识点总结(超详细版)
概率论与数理统计知识点总结(超详细版)eik则有P(A)=k/n，其中n为样本空间中元素的个数。
在概率论中，样本空间和随机事件是基本概念。
如果事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A，记作A⊂B。
当A和B中至少有一个发生时，称A∪B为事件A和事件B的和事件。
当A和B同时发生时，称A∩B为事件A和事件B的积事件。
当A发生、B不发生时，称A-B为事件A和事件B的差事件。
如果A和B互不相容，即A∩B=∅，则称A和B是互不相容的，或互斥的，基本事件是两两互不相容的。
如果A∪B=S且A∩B=∅，则称事件A和事件B互为逆事件，又称事件A和事件B互为对立事件。
在概率论中，还有一些运算规则。
交换律指A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；结合律指(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；分配律指A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)；德摩根律指A∪B=A∩B，A∩B=A∪B。
频率与概率是概率论的重要概念。
在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数n A称为事件A发生的频数，比值nAn称为事件A发生的频率。
概率指对于随机试验E的每一事件A赋予一个实数P(A)，称为事件的概率。
概率P(A)满足非负性，即对于每一个事件A，0≤P(A)≤1；规范性，即对于必然事件S，P(S)=1；可列可加性，即设A1，A2，…，An是两两互不相容的事件，则有P(∪Ai)=∑P(Ai)（n可以取∞）。
概率还有一些重要性质，包括P(∅)=0，P(∪Ai)=∑P(Ai)（n可以取∞），如果A⊂B，则P(B-A)=P(B)-P(A)，P(A)≤1，P(A)=1-P(A')，以及P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
等可能概型又称为古典概型，是指试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同。
如果事件A 包含k个基本事件，即A={e1}∪{e2}∪…∪{ek}，则有P(A)=k/n，其中n为样本空间中元素的个数。
数学期望与方差的计算
数学期望与方差的计算引言数学期望与方差是统计学中两个重要的概念。
它们是描述一个随机变量分布特征的常用指标，对于理解和分析数据具有重要意义。
本文将介绍数学期望与方差的概念、计算方法以及它们的应用。
数学期望数学期望又称平均值，是描述一个随机变量的平均水平的指标。
对于离散型随机变量，数学期望的计算公式为：$$ E(X)=\\sum_{i=1}^n x_i p_i $$其中，X为随机变量，x i为随机变量可能取的值，p i为随机变量取每个值的概率。
对于连续型随机变量，数学期望的计算公式为：$$ E(X)=\\int_{-\\infty}^{+\\infty} x f(x) dx $$其中，f(x)为随机变量的概率密度函数。
数学期望可以理解为在大量重复实验中，随机变量平均取值的水平。
方差方差是描述一个随机变量分散程度的统计指标。
方差越大，随机变量的取值越分散；方差越小，随机变量的取值越集中。
方差的计算公式为：Var(X)=E[(X−E(X))2]方差可以理解为每个随机变量与其期望的偏差的平方的加权平均。
数学期望与方差的计算方法离散型随机变量对于离散型随机变量，计算数学期望的方法如下：1.计算每个随机变量取值对应的概率。
2.将随机变量取值与对应的概率相乘。
3.将所有结果相加，得到数学期望。
计算方差可以使用以下方法：1.计算数学期望。
2.将每个随机变量取值与数学期望的差值的平方相乘。
3.将所有结果相加，得到方差。
连续型随机变量对于连续型随机变量，计算数学期望的方法如下：1.计算随机变量的概率密度函数。
2.将随机变量的取值与概率密度函数相乘。
3.对结果进行积分，得到数学期望。
计算方差可以使用以下方法：1.计算数学期望。
2.将随机变量的取值与数学期望的差值的平方与概率密度函数相乘。
3.对结果进行积分，得到方差。
数学期望与方差的应用数学期望与方差作为描述随机变量特征的指标，在统计学和概率论中有重要的应用。
数学期望在实际问题中可以用于计算平均值，如统计学中的样本均值就是数学期望的一种估计。
连续型随机变量的数学期望与方差
(1)D( )
E[
E( )]2
[x
E( )]2
p( x)dx
(2)方差的简便计算公式
D( )=E（ 2） E（2 ）
x2 p(x)dx
x p( x)dx
例2 随机变量的概率密度函数
6x(1 x)，当0 x 1
p(x)
0
当x 0或x 1时
求随机变量的方差。
12
4、方差的性质 设 k ,b,c均为常数，则有
E( ) xp(x)dx
15
2、数学期望的性质
(1)EaX b aEX b
(2)EaX aEX
(3)EX b EX b
(4)Eb b
(5)EX Y EX EY
(6)E( f ( )) f (x)p(x)dx
(6)E f ( ) f (xk )PK
k
16
（二）连续型随机变量ξ取值的方差
(1)D(c) 0
(2)D(k ) k 2D( ) (3)D( b) D( )
(4)D(k b) k 2D( )
13
下页
三、练习
• 课本第90页 第6题
14
四、小结 （一）连续型随机变量ξ取值的数学期望
1、连续型随机变量的数学期望的定义 p(x) 设连续型随机变量 的密度函数为
若积分 xp(x绝)d对x 收敛，则 的数学期望为：
x0 x1 x2 L xn
xi xi1 xi
b i
【xi
,
xi
）
+1
y p(x)
o
x0b0 x1 xi bi xi1
xn x
6
连续型随机变量ξ的概率分布
ξ 【x0 , x1）【x1, x2）
随机过程的总复习
称这个特性为马尔可夫性，简称马氏性 称这个特性为马尔可夫性，简称马氏性。
马氏性实质上是无后效性， 所以也称马氏过程 马氏性实质上是无后效性 ， 无后效过程。 为无后效过程。
（4）平稳随机过程 ）
平稳过程的统计特性与马氏过程不同， 平稳过程的统计特性与马氏过程不同，它不 随时间的推移而变化，过程的“过去” 随时间的推移而变化，过程的“过去”可以对 未来”有不可忽视的影响。 “未来”有不可忽视的影响。
是相互独立的， 是相互独立的，
则 X(t) 为 有 立 量 随 过 。 称 具 独 增 的 机 程
（3）马尔可夫过程 ）
设 { X (t ) ， t ∈ T } 对任意 n 个不同的 t1 ， t 2 ，…， t n ∈ T
且 t1 < t 2 < L < t n −1 < t n
P( X (t n ) ≤ x n | X (t n −1 ) = x n −1 ，…， X (t1 ) = x1 )
E ( Z ) = E ( X ) + iE (Y )
为随机变量， 设X为随机变量，称复随机变量 为随机变量 的数学期望
e
itX
ϕX (t) = E[e itX ]
的特征函数， 是实数。 为X的特征函数，其中 是实数。 的特征函数 其中t是实数 还可写成
ϕ X (t ) = E[costX ] + iE[sintX ]
一维 概率 密度
若 存 在 二 元 非 负 函 数 f ( t 1； x 1 ) ， 使
F ( t1； x1 ) =
∫
x1
−∞
f ( t1； y 1 ) dy 1
则 称 f ( t 1； x 1 ) 为 随 机 过 程 X (t ) 的 一 维 概 率 密 度
期望计算公式完整版
期望计算公式标准化管理处编码[BBX968T-XBB8968-NNJ668-MM9N]
离散型
如果随机变量只取得有限个值或无穷能按一定次序一一列出，其值域为一个或若干个有限或无限区间，这样的随机变量称为离散型随机变量。
离散型随机变量的一切可能的取值与对应的概率乘积之和称为该离散型随机变量的数学期望[2](若该求和绝对收敛），记为。
它是简单算术平均的一种推广，类似加权平均。
公式
离散型随机变量X的取值，为X对应取值的概率，可理解为数据出现的频率，则：
定理
设Y是随机变量X的函数：（是连续函数）它的分布律为
若
绝对收敛，则有:
连续型
设连续性随机变量X的概率密度函数为f(x)，若积分绝对收敛，则称积分的值为随机变量的数学期望，记为E(X)。
若随机变量X的F(x)可表示成一个非负f(x)的积分，则称X为，f(x)称为X的（分布密度函数）。
数学期望完全由随机变量X的概率分布所确定。
若X服从某一分布，也称是这一分布的数学期望。
定理
若随机变量Y符合函数，且绝对收敛，则有：
该定理的意义在于：我们求时不需要算出Y的分布律或者概率密度，只要利用X 的分布律或概率密度即可。
上述定理还可以推广到两个或以上随机变量的函数情况。
设Z是随机变量X、Y的函数（g是连续函数），Z是一个一维随机变量，二维随机变量（X，Y）的概率密度为，则有：
性质
设C为一个常数，X和Y是两个。
以下是数学期望的重要性质：
1.
2.
3.
4.当X和Y相互独立时，。
数学期望几个公式的证明
＜ Ｘ ＜ ．．… ．．＜ ｊｃ ｒｔ＜ ＋ ∞
１ 一
ｌ
．
且 相邻 的两 点相差 一个很 小 的常数 ，即这些点将 Ｘ轴
划分成无 数个小 区间．
２．区域 划 分．在 密度 函数坐 标 系中 ，由 轴 、直线
（ｉ＝Ｏ，１，２… … ）和 曲线 ／’（ ）将 ／’（ ）与 轴所 夹 的 ｘｏｙ
Ｊ ｇ（ｘ）Ｊ’（ｘ） 绝对收敛，则称此积分为随机变量Ｙ的
相 同 的 结 论 。 三 、连 续 型 随 机 向量 函 数 的数 学 期 望 定理 ｔ，羽 设 连续 型二 维 随机 向量 （ｘ，Ｙ）的联 合
概率密度 函数为ｆ（ｘ，Ｙ），且 Ｚ＝ｇ（Ｘ，Ｙ）是二维随机 向
量（ｘ，Ｙ）的函数．若积分Ｊ Ｊ． ｇ（ｘ， ） ’（ｘ， ） 绝对
收敛 ，则称此 收敛值 为随机 变量 ｚ的数学期望 ，则
平 面 内的区域 划分成 无数 个小 曲边梯 形．且令
Ａｘ ＝ ，
一 ｉ＝０，１。２，… … ， ．
Ｐ（Ｘ＝ ）＝Ｐ ，ｋ＝１，２，… ，若级数 己 ｘ￣．Ｐｋ绝对 收敛 ，则称
ｋ＝ｌ
级数 ｘｘｐｋ的和为随机 变量 ｘ的数 学期望 ，记 为 Ｅ（ｘ）．
ｋ １
即
．
Ｅ（Ｘ） ｘｇｐ
实际上 ，我们 可 以按如 下几步 得到公式 （２）： １．将连 续型 随机 变量 离散 化．即将 连续型 随机变
量 ｘ看成 在 Ｘ轴 上可 密集 取值 的离 散型 随机 变量 ， 即 ＝ ，， ……， ， ，．．……Ｘ．（如 图 １），满 足
一 ∞ ＜ ｊｃＯ ＜ ｊ亡ｌ＜ Ｘ ！ ＜ … … ＜
Байду номын сангаас
说 明了这几个公 式是如何成立的。不仅有助于学生理解掌握这几个公式，而且使学生领略极 限在解决问题时的
大学数学概率统计概念定义归纳
一、随机事件及其概率1.基本概念随机事件定义特点：1.试验可以在相同条件下重复进行；2.每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果；3.在一次试验之前不能确定哪一个结果会出现;样本空间：随机试验的结果称为基本事件、样本或样本点;样本空间就是随机试验所有可能的结果构成的集合,也就是由所有样本点构成的集合,通常记为Ω事件,事件发生与否,必然事件,不可能事件事件定义：在试验中,可能发生也可能不发生的事件称为随机随机事件,简称事件;；；提要内容：随机试验中人们特别关注的具有某种共同特征的一些结果,从数学意义上讲,就是样本空间的子集;事件通常用大写英文字母表示;在一次试验中,若试验结果ω∈A,则称这次试验中事件A发生了,否则称事件A没有发生;提示：事件是人们根据自己的喜爱定义的,而事件发生与否是与某次试验关联着的;有两个特殊的事件：样本空间本身,每次试验一定发生,称为是必然事件；空集也是Ω的子集,也能称为事件,每次试验一定不会发生,称为不可能事件;事件域：我们希望随机试验所涉及的所有事件作为集合的运算所得到的结果还是事件,这就是所谓运算的封闭性;随机试验的事件构成的集合类如果对最多经“可列无限多”次事件的运算的结果还是事件,则把这个集合类称为事件域;约定随机试验的事件构成事件域,通常记为F;事件的概率定义在事件域F上的集函数P,满足非负性、规范性、和可列可加性;概率统计定义：随机事件A发生的可能性大小,称为事件A的概率;概率公理化定义：设E为随机试验,S为它的样本空间,对于E中的每一事件A,恰对应一个实数,记作PA,若它满足下列3个条件,则称PA为事件A的概率;1.非负性：0≤PA≤1；2.规范性：PA=1；2.可列可加性：设A1,A2,….An…..是两两互不相容事件,则有古典概型：设随机试验具有下面两个特性：1.试验的样本空间只包含有限个元素；2.试验中每个基本事件发生的可能性相同;则称这种随机试验为等可能概型或古典概型;2.基本理论事件的运算及运算定律事件的三种基本运算：求和：和事件,两个事件A和B中至少有一个发生的事件;记作A∪B=x|x∈A 或x∈B或A+B求积：积事件：事件A与事件B同时发生的事件,记作A∩B=x|x∈A且x∈B或AB求逆：对立事件,若A∪B=S且AB=,则事件A与事件B互为逆事件,事件A域事件B必有一个发生且只有一个发生;记为事件的三种关系运算：相等：若A包含：互斥;事件A和事件B不能同时发生,即AB=;事件的运算定律：交换律：A∪B=B∪A,AB=BA结合律：分配律：德摩根律：易证等式概率的运算性质：3.基本方法：利用袋中摸球模型来为古典概型问题构造场景;球可以有不同标号和不同颜色,摸球可分为有放回摸球和无放回摸球;二、条件概率与事件的独立性1.基本概念条件概率：设A,B 是两个事件,且PA ＞0,则称PB 丨A=为在事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率;同理,当PB ＞0时,也可类似地定义在事件B 发生的条件下事件A 发生的条件概率：PA 丨B= 事件的独立性定义：设A,B 为两个事件,如果等式PAB=PAPB 成立,则称事件A 与B 相互独立定理：设事件A 与B 相互独立,则A 与B 、A 与B 、A 与B 这3对事件也相互独立事件类的独立性略2.基本理论两个事件类是独立的可推出他们各自生成的事件域也是相互独立的;由条件概率演绎出乘法公式：对任意两个事件A,B 若PB ＞0,则有PAB=PBPA 丨B类似地,若PA ＞0,有PAB=PAPB 丨A全概率公式与贝叶斯公式及其推导 全概率公式：设事件B 1,B 2,...,B n 为样本空间S 的一个完备事件组,则对任意事件A S,有贝叶斯公式：设事件组B 1,B 2,...B n 为样本空间Ω的一个完备事件组,则对任意事件AΩ,当PA ＞0,PB i ＞0时,有3.基本方法 利用全概率公式计算概率利用全概率公式简化贝叶斯公式三、随机变量及其分布1.基本概念随机变量：设随机试验E 的样本空间为S=e,如果对于每个e ∈S,都有一个实数Xe 与它对应,则称S上的实值单值函数Xe 为随机变量,记作X=Xe.离散型随机变量及其分布律离散型随机变量定义：随机变量X 的所有可能取值是有限个或可列无限多个时称为X 为离散型随机变量两点分布：设随机变量X 只可能取0和1两个值,则称其分布律为适合：合格不合格,性别登记,发芽不发芽,下雨不下雨等只有两种结果的现象二项分布：泊松分布：设随机变量X 所有可能取的值为0,1,2…,且概率分布为其中,λ＞0是常数,则称X 服从参数为λ的泊松分布,记作X ～πλ适合：电话交换台一定时间内收到的呼叫次数,一本书一页中印刷错误次数,原子一定时间放射的粒子数,超市一定时间的顾客数;连续型随机变量及其概率密度函数定义：设Fx 是随机变量X 的分布函数,如果存在非负函数fx,使得对于任意实数x均有则称X为连续型随机变量,fx为X的概率密度函数或密度函数;均匀分布：设连续型随机变量X的概率密度为则称随机变量X在区间a,b上服从均匀分布,记作X～Ua,b指数分布：若随机变量X具有概率密度其中,θ＞0,为常数,则称X服从参数为θ的指数分布适合：常用于可靠性统计研究,如电子元件寿命,随机服务系统的服务时间等;正态分布：若连续型随机变量X的概率密度为其中,μ和σσ＞0都是常数,则称X服从参数为μ和σ的正态分布或高斯分布2.基本理论分布函数的定义及性质定义：设X是一个随机变量,x是任意实数,函数Fx=PX≤x-∞＜x＜+∞称为X的分布函数;性质：分布律的定义及性质定义：设离散型随机变量X所有可能取值为Xkk=1,2…,X取各个可能值的概律即事件X=Xk的概率为则称为离散型随机变量X的概率分布或分布律,可以表示为：性质：密度函数的定义及性质定义：设Fx是随机变量X的分布函数,如果存在非负函数fx,使得对于任意实数x均有则称X为连续型随机变量,fx为X的概率密度函数或密度函数;性质：证明几何分布和指数分布的无记忆性若X服从参数为θ的指数分布,则其分布函数为服从指数分布的随机变量X具有一下有趣的性质：对于任意s,t＞0有这条性质称为“无记忆性”3.基本方法：利用分布函数,分布律,密度函数计算概率；求随机变量的线性函数的概率分布；利用标准正态分布表计算一般正态分布的概率四、随机变量的数字特征1.基本概念数学期望离散型随机变量的数学期望定义：设离散型随机变量X的概率分布为PX=xk =pkk=1,2,...,称∑xk pk=x1p1+x2p2+...+xkpk+...为随机变量X的数学期望,简称期望或均值,记作EX;连续型随机变量的数学期望定义：设X是连续性随机变量,其密度函数为fx,若积分∫xfxdx绝对收敛,则称此积分∫xfxdx的值为X的数学期望,即EX=∫xfxdx随机变量函数的数学期望设gx为连续函数,Y=gX也是随机变量X的函数1若离散型随机变量X的概率分布为PX=xk =pkk=1,2,...则随机变量函数Y的数学期望为EY=EgX=∑gxk p k2若连续性随机变量X的概率密度为fx,则随机变量函数Y的数学期望为EY=EgX=∫gxfxdx方差定义：设X是一个随机变量,若E{X-EX2}存在,称E{X-EX2}为X的方差,记作DX,即DX=E{X-EX2} 2.基本理论数学期望的性质1.EC=CC为任意常数2.ECX=CEX3.EX+Y=EX+EY4.若X,Y相互独立,则EXY=EXEY方差的性质1.设C是常数,则DC=02.若C是常数,则DCX=C2DX3.设X与Y是两个随机变量,则DX+Y=DX+DY+2{X-EXY-EY};若X与Y相互独立,则DX+Y=DX+DY3.基本方法熟练计算所给出的概率分布的数学期望和方差利用定义计算简单的随机变量函数的数学期望五、多维随机变量1.基本概念多维随机变量：一般来说,设E是一个随机试验,它的样本空间是S=e,设X1=X1e,X2=X2e…Xn=Xne 是定义在S上的随机变量,由它们构成的一个n维向量X1,X2…Xn叫做n维随机向量或n维随机变量二维随机变量联合分布函数、联合分布律、联合密度函数二维随机变量联合分布函数：设X,Y是二维随机变量,对于任意实数x和y,二元函数Fx,y=称为二维随机变量X,Y的分布函数,或者称为随机变量X和Y的联合分布函数;联合分布律：设二维离散型随机变量X,Y可能取的值是Xi,Yi i,j=1,2…,记PX=Xi,Y=Yj为Pij,称为二维离散型随机变量X,Y的分布律,或随机变量X和Y的联合分布律性质：联合密度密度函数：对于二维随机变量X,Y的分布函数Fx,y,如果存在非负函数fx,y使对于任意的x,y有则称X,Y是连续型的二维随机变量,函数fx,y称为二维随机变量X,Y的概率密度或称为随机变量X和Y的联合概率密度;性质：二维随机变量边缘分布函数、边缘分布律、边缘密度函数边缘分布函数：边缘分布律：设X,Y为二维离散型随机变量,分布律为PX=Xi,Y=Yj=Pij,由边缘分布函数得X和Y 的边缘分布律分别为通常将X和Y的边缘分布律分别记为Pi.和P.j,于是边缘密度函数：条件分布函数、条件分布律、条件密度函数条件分布率：设X,Y为二维离散型随机变量,并且其联合分布律为在已知Y=Yj的条件下,X取值的条件分布是在已知X=Xi的条件下,Y取值的条件分布是条件密度函数：设X,Y为连续型随机变量,并且其联合概率密度为fx,y,若对于固定的y,有fyy＞0,则称为在Y=y的条件下X的条件概率密度,记作：协方差与协方差矩阵协方差：设X,Y为二维随机变量,若E{X-EXY-EY}存在,则称为其为随机变量X与Y的协方差,记作CovX,Y,即CovX,Y=E{X-ExY-Ey}矩：设X是随机变量,若EX^kk=1,2…存在,称它为X的k阶原点矩,简称k阶矩;若E{X-EX^k}k=2,3…存在,称它为X的k阶中心距2基本理论略3.基本方法：由联合密度函数或联合分布律求边缘密度函数、边缘分布律、条件密度函数、条件分布律；利用分布律列表计算二维随机变量的边缘分布律、条件分布律、独立性判定；概率计算,利用全概率公式加积分变换求二维随机变量函数的概率分布;。
范文：概率论与数理统计复习
概率论与数理统计复习概率论与数理统计复习一、概率论的基本概念：1、事件的运算律：交换律：，；结合律：，；分配律：，；德·摩根法则：，；减法运算：。
2、概率的性质：性质1；性质2（有限可加性）当个事件两两互不相容时，；性质3对于任意一个事件，；性质4当事件满足时，，；性质5对于任意两个随机事件，；性质6对于任意一个事件；性质7（广义加法法则）对于任意两个事件，。
3、条件概率：在已知发生的条件下，事件的概率为：（）。
注意：所有概率的性质对条件概率依然适用，但使用公式必须在同一条件下进行。
4、全概率公式与贝叶斯公式：设个事件构成样本空间的一个划分，是一个事件，当（）时，全概率公式：；贝叶斯公式：当时，，。
应用全概率公式和贝叶斯公式计算事件的概率或其在已知条件下的条件概率时，关键的问题是找到一个完备事件组，使得能且仅能与之一同时发生，然后运用古典概型、概率的加法和乘法法则计算出和，，并套用全概率公式或贝叶斯公式即可。
若一个较复杂的事件是由多种“原因”产生的样本点构成时，多考虑用全概率公式，而这些样本点就构成一个完备事件组；若已知试验结果而要追查“原因”时，往往使用贝叶斯公式，这些“原因”的全体即是所求的完备事件组。
5、随机事件的独立性：事件独立性的结论：（1）事件与独立；（2）若事件与独立，则与，与，与中的每一对事件都相互独立；（3）若事件与独立，且，，则，；（4）若事件相互独立，则；（5）若事件相互独立，则。
注意：（1）事件相互独立只要求满足，而事件互斥（互不相容）只要求，这两个概念前一个与事件的概率有关，后一个与事件有关，两者之间没有必然的联系；（2）如果事件相互独立，则与不相关，反之一般不成立。
（3）对于任意个随机事件，相互独立则两两独立，反之未必；（4）对于任意个相互独立的随机事件，它们中任意一部分事件的运算结果（和、差、积、逆等）与其他一部分事件或它们的运算结果都相互独立，如：与，与，与都相互独立；6、贝努利概型与二项概率公式：设一次试验中事件发生的概率为，则重贝努利试验中，事件恰好发生次的概率为，。
期望值和方差的公式
期望值和方差的公式一、期望值概念：期望值是随机变量取值与其概率的加权平均，用来表示随机变量的平均取值。
1.离散型随机变量的期望值：设X是一个离散型随机变量，其取值为x1,x2,...,xn，对应的概率分别为p1,p2,...,pn，则随机变量X的期望值E(X)定义为：E(X) = x1*p1 + x2*p2 + ... + xn*pn2.连续型随机变量的期望值：设X是一个连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)，则随机变量X 的期望值E(X)定义为：E(X) = ∫xf(x)dx性质：1.期望值的线性性质：对于任意的常数a和b，以及随机变量X和Y，有：E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)2.期望值的保序性：如果随机变量X的取值总是大于等于随机变量Y的取值，则有：E(X)≥E(Y)二、方差概念：方差是用来度量随机变量与其期望值之间的偏离程度或波动程度。
1.离散型随机变量的方差：设X是一个离散型随机变量，其取值为x1,x2,...,xn，对应的概率分别为p1,p2,...,pn，则随机变量X的方差Var(X)定义为：Var(X) = E((X - E(X))^2) = (x1 - E(X))^2*p1 + (x2 -E(X))^2*p2 + ... + (xn - E(X))^2*pn2.连续型随机变量的方差：设X是一个连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)，则随机变量X 的方差Var(X)定义为：Var(X) = E((X - E(X))^2) = ∫(x - E(X))^2f(x)dx性质：1.方差的线性性质：对于任意的常数a和b，以及随机变量X和Y，有：Var(aX + bY) = a^2Var(X) + b^2Var(Y)2.方差的非负性：对于任意的随机变量X，有：Var(X) ≥ 03.方差的可加性：对于独立随机变量X和Y，有：Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)三、期望值和方差的计算公式1.对离散型随机变量的期望值和方差的计算公式：（1）期望值：E(X) = x1*p1 + x2*p2 + ... + xn*pn（2）方差：Var(X) = (x1 - E(X))^2*p1 + (x2 - E(X))^2*p2 + ... + (xn -E(X))^2*pn2.对连续型随机变量的期望值和方差的计算公式：（1）期望值：E(X) = ∫xf(x)dx（2）方差：Var(X) = ∫(x - E(X))^2f(x)dx总结：期望值和方差是概率论中重要的概念，用于描述随机变量的分布特征。
9第九讲数学期望矩与方差(15)
是 用 小 区 间xi上 的 概 率 来 近 似 取 代xi的 点 概 率 。
E( X ) xi P(xi ) xi P(xi X xi x)
i
i 1
lim
n
i 1
xi
P( xi
X xi
xi
x)
xi
lim n
i 1
xi
f
(xi )xi
由 定 积 分 定 义 ，lim x0
x1exdx [( 1) ( ), (n) (n 1)!] 0
概括：连续概率换密度，求和变成样本积； 均匀一半a加 b，指数参数分之一。
第九讲 数学期望
三、随机变量函数的数学期望
1.离散型一维变量的函数的均值定义
设 离 散 随 机 变 量X的 函 数Y gX ， 则yi {xij / yi g(xij )}
E(Y ) E[g( X )]
g( x) f ( x)dx
＋ x 2exdx
0
令t x, dx 1 dt,则E( X 2 )
1
0 2
t 2et
1
dt
1
2
t 31et dt
0
1
2
(3)
1
2
(2
1)
2
2
(2)
2
2
x1exdx [( 1) ( ), (n) (n 1)!] 0
(k 11)
k
e (k 1)
k
e
k e
k 0
(k 1)!
k 1
(k 1)!
k1 (k 1)!
第九讲 数学期望
2
k2 e E( X ) 2ee 2
k2 (k 2)!
例9-3-3 设X ~ e(),试求E( X 2 )
高等数学连续函数的运算
分析
根据题目要求，选择合适的连续函数 性质（如介值性、一致连续性等）， 然后构建辅助函数进行证明或求解。
03 导数在连续函数运算中应 用
导数概念及计算方法回顾
01
02
03
导数的定义
导数描述了函数在某一点 的变化率，即函数值随自 变量变化的快慢程度。
导数的计算方法
包括基本初等函数的导数 公式、导数的四则运算法 则、复合函数的求导法则 等。
能的极值点$x=1/e$ （不在区间内，舍去）， 接着通过判断$f'(x)$在 区间$[1,e]$上的符号变 化情况得出$f(x)$在区 间$[1,e]$上单调递增， 最后比较区间端点处的 函数值得出最大值和最
04 积分在连续函数运算中应 用
积分概念及计算方法回顾
积分的定义
积分是微积分学与数学分 析里的一个核心概念，通 常分为定积分和不定积分 两种。
$f'(x)=0$求出可能的极 值点$x=1$，最后通过 判断$f'(x)$在$x=1$附 近的符号变化情况得出 $f(x)$在$x=1$处取得
极小值。
例题2
求函数$f(x)=xln x$在 区间$[1,e]$上的最大
值和最小值。
解答
首先求出函数$f(x)$的 导数$f'(x)=ln x + 1$， 然后令$f'(x)=0$求出可
积分的计算方法
包括换元积分法、分部积 分法、有理函数积分法等。
积分的几何意义
定积分可以表示平面图形 的面积、空间立体的体积 等。
积分在求解连续函数面积、体积问题中应用
平面图形的面积
通过定积分可以求解由连续曲线与直线所围成的 平面图形的面积。
空间立体的体积
期望计算公式
.
离散型其值域为一个如果随机变量只取得有限个值或无穷能按一定次序一一列出，或若干个有限或无限区间，这样的随机变量称为离散型随机变量。
乘积之和称为该与对应的概率离散型随机变量的一切可能的取值。
它是简单算若该求和绝对收敛），记为( 离散型随机变量的数学期望[2]术平均的一种推广，类似加权平均。
公式
为的取值离散型随机变量X ，
出现的频率X对应取值的概率，可理解为数据，则：
定理
是连续函数）它的分布律为的函数：设Y是随机变量X
（
若
绝对收敛，则有:
连续型，若积分绝对收敛，则称积分的f(x)的概率密度函数为设连续性随机变量X 值.
.
E(X)。
为随机变量的数学期望，记为
的积分，则称f(x)的若随机变量X分布函数F(x)可表示成一个非负可积函数（分布密度函数）。
f(x)称为X的概率密度函数为X连续性随机变量，
服从某一分布，完全由随机变量X的概率分布所确定。
若X 数学期望
是这一分布的数学期望。
也称定理
绝对收敛，则有：若随机变量Y符合函数，且
的分布律或者概率密度，时不需要算出Y该定理的意义在于：我们求
的分布律或概率密度即可。
只要利用X 上述定理还可以推广到两个或以上随机变量的函数情况。
是一个一维Zg是连续函数），、设Z是随机变量XY的函数
（
Y，则有：随机变量，二维随机变量（X，）的概率密度为
性质和为一个常数，设CXY是两个随机变量。
以下是数学期望的重要性质：
1.
.
.
2.
3.
4.当X和Y相互独立时，.。
连续型分布的期望公式
连续型分布的期望公式连续型分布的期望公式___________________________期望是数学统计学中非常重要的概念，它代表着一组随机变量出现的平均次数。
在连续型分布中，期望也是一个重要的概念，它可以用来衡量一个随机变量出现的频率。
它可以用来预测一个随机变量在未来的发展趋势。
连续型分布的期望公式是：$$E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}x f(x)dx$$其中，$E(X)$表示连续型分布的期望，$f(x)$表示连续型分布的概率密度函数，$x$表示随机变量。
连续型分布的期望可以用来衡量一个随机变量在未来的发展趋势。
例如，如果一个随机变量的分布有较高的期望，则说明该随机变量在未来的发展趋势会比较好；如果一个随机变量的分布有较低的期望，则说明该随机变量在未来的发展趋势会比较差。
由于连续型分布的概率密度函数是无限的，所以求连续型分布的期望公式时很复杂，需要使用积分法。
在求连续型分布的期望公式时，需要先将概率密度函数用某种方法进行积分，然后再根据随机变量的概率密度函数计算出它们的数学期望。
例如，如果我们想求出正态分布的期望公式，我们需要将正态分布的概率密度函数先用不定积分法进行积分，然后再根据正态分布的概率密度函数计算出它们的数学期望。
正态分布的期望公式为：$$E(X)=\mu$$其中，$\mu$表示正态分布的平均值。
在实际应用中，我们可以使用连续型分布的期望公式来估计一个随机变量在未来的发展趋势。
例如，我们可以使用正态分布的期望公式来估计一个具体变量在一段时间内的平均值。
此外，我们还可以使用连续型分布的期望公式来估计一个具体变量在一段时间内变化的幅度。
此外，连续型分布的期望公式还可以用于估计不同变量之间的相关性。
例如，我们可以使用正态分布的期望公式来估计不同变量之间的相关性。
此外，我们也可以使用连续型分布的期望公式来估计不同变量之间的协方差。
总之，连续型分布的期望公式是一个非常重要的概念，它可以用来衡量一个随机变量在未来的发展趋势、估计不同变量之间的相关性、估计不同变量之间的协方差等。
数学期望6
32天没有出次品; 30天每天出一件次品; 17天每天出两件次品; 21天每天出三件次品;
这个数能否作为 X的平均值吗？
0 32 1 30 2 17 3 21 1.27 100 100 100 100
一般来说, 若统计n天 ,
(假定小张每天至多出 三件废品)
甲获胜的概率0.75 ,乙获胜的概率0.25，意味着堵四 局甲获胜3局，获赌资300元，乙获胜1局，获100元
因此 按照甲75,乙25分配比较合理
甲获得 100
0
概率 0.75
0.25
于是 75=100 0.75+0 0.25 正是甲期望得到的
期望值正来源于赌博,虽然字面含义不清,但也成为了
习惯名称,相对而言均值更直观
例9 设(X,Y)在区域A上服从均匀分布，
其中A为x轴，y轴和直线x+y+1=0所围成的区域。
求EX，E(-3X+2Y)，E(XY)。
y
解： f (x, y) 02,,
(x, y) A 其它；
0x
0
0
1
EX= xf (x, y)dxdy dx x 2dy
1 1x
3
x y 1 0
看一下大家普遍关注本科生、研究生初次就业的起薪 起薪可以看作是一个随机变量，要明确的写出来他的 分布函数是一件不可能的事情 实际上，用平均数 以及高低差就能说明一个大概
平均数和高低差用一个数字在某种意义上对随机变量 (起薪)进行了刻画 我们称之为随机变量的数字特征
思考题：体会掷骰子掷出点数的平均值 第一种思路：重复掷大量次数，取平均 第二种思路：不做试验，尝试利用分布规律计算 1、每个面出现的概率均为1/6，平均值为？ 2、如果筛子五个面为1，一个面为6，平均值多少？ 简单平均不合理，应采用加权平均，权重如何取？ 分析：概率大代表着取到的机会就大，赋权就大 权重取各个可能值得概率应该是一个合理的选择
全期望公式
全期望公式
下面是全期望公式的详细解释：
设X和Y是两个随机变量，它们之间存在其中一种依赖关系。
全期望
公式告诉我们可以通过给定其中一随机变量的条件下，求解另一随机变量
的期望值。
按照全期望公式的表达方式，我们可以将其分为两个公式，第
一个是离散型随机变量的全期望公式，第二个是连续型随机变量的全期望
公式。
离散型随机变量的全期望公式为：
E(X)=ΣxP(X=x)E(Y，X=x)
其中，E(X)表示随机变量X的期望值，Σx表示对所有可能的取值进
行求和，P(X=x)表示X取值为x的概率，E(Y，X=x)表示给定X=x的条件下，随机变量Y的期望值。
连续型随机变量的全期望公式为：
E(X) = ∫xf(x)E(Y，X = x)dx
其中，E(X)表示随机变量X的期望值，∫xf(x)dx表示对所有可能的
取值进行积分，f(x)表示X的概率密度函数，E(Y，X = x)表示给定X =
x的条件下，随机变量Y的期望值。
全期望公式的本质是利用条件概率的概念求解期望值。
它是由条件概
率公式和期望的定义推导而来的。
根据条件概率公式，我们可以知道E(Y，X=x)表示给定X=x的条件下，随机变量Y的期望值。
然后，我们对所有可
能的取值进行求和或积分，得到整体的期望值。
总结起来，全期望公式是概率论中的一种重要工具，用于计算随机变
量的期望值。
通过给定其中一随机变量的条件下，求解另一随机变量的期
望值。
它有离散型和连续型两种形式，可以广泛应用于统计学和概率论中。
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连续性数学期望的公式
连续性数学期望是概率论中用来衡量随机变量平均值的重要概念。
许多概率论问题都将连续性数学期望作为其中的重要研究中心，用来深入分析并探索一般变量的相关特性。
连续性数学期望的公式为：E[X] = ∫(-∞，∞)*f(x)dx，其中E[X]是对随机变量X的数学期望，f(x) 是随机变量 X 的概率分布函数，(-∞，∞)表示随机变量 X 可能取值范围。
这个公式能够衡量一个随机变量的平均值，以及这个随机变量在特定范围内的概率分布情况。
通过这个公式，可以在实际的概率论问题中获得更加准确的问题解决方案。
例如，通过知道随机变量 X 的概率分布函数 f (x)，就可以得到它的数学期望值，从而可以更精确的判断该随机变量的概率特性。
连续性数学期望是概率论中一个重要的概念，它能够很好的帮助我们研究概率论问题，得出更正确的解决方案。
此外，通过连续性数学期望计算机可以实现自动化仿真，从而研究不同变量不同概率特性之间的相关性，从而得到更为全面的问题解决方案。