完整版勾股定理 最短距离问题
勾股定理最短距离问题
《勾股定理》的应用专题之——最短距离问题姓名：一、课前热身1.如图，一条河同一侧的两村庄A、B，其中A、B到河岸最短距离分别为AC=1km，BD=2km，CD=4cm，现欲在河岸上建一个水泵站向A、B两村送水，当建在河岸上何处时，使到A、B两村铺设水管总长度最短，并求出最短距离。
2.三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上的高线AD=8,求BC.二、典型例题例1：如图，C为线段BD上一动点，分别过点B D作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC、EC,已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x.（1）用含x的代数式表示AC十CE的长；（2）试求AC十CE的最小值；例2：一只蚂蚁从长为4cm、宽为3 cm，高是5 cm的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所行的最短路线的长是多少？BA例3：如图所示，无盖玻璃容器，高18cm ，底面周长为60cm ，在外侧距下底1cm 的点C 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm 的F 处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度.三、巩固练习1.（青岛市）如图1，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm.如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要 cm ；2.如图3，是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm 、3dm 、2dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短路程是 dm3..如图，长方体的长、宽、高分别为4，2，1，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？A B A1 B1 D CD1 C121 42032A B 图3 B A 6cm 3cm1cm 图1。
两点之间线段最短的题设和结论
两点之间线段最短的题设和结论在数学中，线段是一个有限长度的直线，由两个端点所确定。
线段是几何学中的基本概念，常常用于计算两点之间的距离。
当我们要计算两点之间的最短距离时，我们需要用到线段的概念。
本文将探讨如何计算两点之间线段的最短距离。
题设假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，我们要计算它们之间的最短距离。
结论两点之间线段最短的距离可以通过勾股定理来计算。
勾股定理是指：直角三角形中，直角边上的两个边长的平方和等于斜边上的边长的平方。
根据勾股定理，我们可以得出两点之间线段最短距离的公式： AB=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)其中，sqrt表示开平方，^表示乘方。
下面我们来详细解释一下这个公式。
首先，我们需要知道两个点之间的横坐标和纵坐标的差值分别是多少。
我们可以通过两个点的坐标来计算它们之间的距离。
假设点A 的坐标是(x1,y1)，点B的坐标是(x2,y2)，则它们的横坐标差值是(x2-x1)，纵坐标差值是(y2-y1)。
然后，我们需要将这两个差值的平方相加。
这是因为勾股定理中的平方和是指两个数的平方相加。
所以我们需要计算出(x2-x1)^2+(y2-y1)^2。
最后，我们需要将这个结果开平方。
这是因为勾股定理中的斜边是指两个直角边的平方和的平方根。
所以我们需要将(x2-x1)^2+(y2-y1)^2开平方，就可以得到两点之间的最短距离了。
例如，假设点A的坐标是(1,2)，点B的坐标是(4,5)，我们可以使用公式AB=sqrt((4-1)^2+(5-2)^2)来计算它们之间的最短距离。
我们可以将公式化简为AB=sqrt(9+9)，然后再将结果开平方，得到AB=3*sqrt(2)。
结论的应用两点之间线段最短距离的公式在数学中有着广泛的应用。
它可以用于计算两个点之间的距离，例如在地图上计算两个城市之间的距离。
它也可以用于计算物体的速度，例如计算一辆汽车从一个地方到另一个地方的速度。
如何利用勾股定理求得最短距离
如何利用勾股定理求得最短距离人教版初中八年级（下册）第十八章介绍了勾股定理的内容和它的一些运用，勾股定理主要用来解决直角三角形三条边之间的关系的一个重要定理。
它在解三角函数、四边形以及实际生活中的运用也极其广泛，也是近几年全国各地中考的高频考点。
其中勾股定理在解决某些出现的最短距离的问题中发挥了很好的作用。
现分别举出勾股定理在长方体、圆柱体、圆锥体中是如何求得最短距离的例子，以便找出用它来解决问题的技巧和方法。
例1、 如图所示,有一个长方体木箱，长为40cm ，宽为30cm ，高为50cm ，点Q 距离点C 为10cm ， 一只蚂蚁从A 点爬行到Q 点的最短距离是多少？【分析】这一道题从表面上看似乎与勾股定理没有什么联系，但通过仔细分析后，将长方体展开，就会与勾股定理产生联系，要解决本题必须分两种情况。
解： 第一种情况：将长方体右侧面CBGF 展开，使得与面ABCD 在同一个平面上，过Q 点作QH ⊥BC 于H ，连接AQ ，如图2，AQ 就是蚂蚁从A 点爬行到Q 点的距离。
由题意可知，cm AB 40=，cm BH CQ 10==，cm QH 50=，则cm AH 50=，根据勾股定理可得：222QH AH AQ +=，cm QH AH AQ 7125050502222≈=+=+=。
第二种情况：将上面的面CDEF 展开，使得与面ABCD 在同一个平面上，连接AQ ，如图3，AQ 就是蚂蚁从A 点爬行到Q 点的距离。
由题意可知，cm AB 40=，cm BQ 60=，根据勾股定理可得：222BQ AB AQ +=，22BQ AB AQ +=，cm AQ 72320604022≈=+=。
显然，第一种情况所求得的AQ 的值要比第二种情况所求得的AQ 的值要小，所以蚂蚁从A 点爬行到Q 点的最短距离是cm 250。
例2、如图4，有一个圆柱体，它的高为12cm ，底面半径为3cm ，在圆柱体下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A 点相对的B 点处的食物，沿着圆柱体侧面爬行的最短距离是多少？（π的近似值取3）A B D C E F G• •Q 图1A B D C E FG• • Q 图2 FGQ • H A BDCEF G•• Q 图3EF • Q【分析】这看上去是一个曲面的路线问题，但实际上可以通过圆柱体的侧面展开图来转化为 平面上的路线问题。
勾股定理的应用-最短距离问题-ppt课件
举一反三
如果我们将例题中的圆柱体换成正方 体或者长方体，情况又该怎么样呢?
如图，边长为1的正方体中， 一只蚂蚁从顶点A 出 发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是( ).
(A)3 (B)2 (C) 1 (D) 小于3大于2
分析： 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的， 故需把正方体展开成平面图形(如图).
A₁
B
3 A'
C1
解：(1)当蚂蚁经过前面和上底面时，如图，最短路程为
3
AC₁=√AB²+BC₁=√3²+3²≈4.24(cm)
(2)当蚂蚁经过前面和右面时，如图，最短路程为
AB= √AC²+CC² =√5²+1² ~5. 10(cm
(3)当蚂蚁经过左面和上底面时，如图，最短路程为 D₁
B
B
AC₁= √AB²+B²C₁ =√4²+2²≈4.47(cm)
14.2.1勾股定理的应用
最短距离问题
情景1:
两点之间，线段最短
从老师家到麦当劳怎么走最近?
小蚂蚁想从A 处爬向C 处，怎么走最近?
情景2:
方案1
方案2
(C)C
例题1:如图所示， 一个圆柱体的底面周长为2dcm,高 AB为
4cm,BC是上底面的 一 蚁从点出发，沿崔 的侧
面爬行赳点；-试求出爬行的最短路程(精确到0.01cm)
合作交流
方案4
C
方案4
解：如图，在Rt△ABC中， BC=底面周长的一半=10cm.由勾股定理，可得
AC=√AB²+BC² = √4²+10² =√ 116≈10.77(cm
答：爬行的最短路程约为10.77cm.
(完整版)勾股定理--最短距离问题
蚂蚁爬行的最短路径正方体4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着表面爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短路线是（ ）A ．A ⇒P ⇒B B ．A ⇒Q ⇒BC ．A ⇒R ⇒BD ．A ⇒S ⇒ B解：根据两点之间线段最短可知选A ． 故选A ．2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是 .解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB 即为最短路线． AB=51222=+．8. 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为 .解：将正方体展开，连接M 、D1， 根据两点之间线段最短， MD=MC+CD=1+2=3，第6题第7题AB121MD 1=132322212=+=+DD MD ．5．如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是（ ）解：如图，AB= ()1012122=++．故选C ．9．如图所示一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下底面点A 沿表面爬行至侧面的B 点，最少要用 2.5秒钟．解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．（1）展开前面右面由勾股定理得AB= = cm ；（2）展开底面右面由勾股定理得AB==5cm ；所以最短路径长为5cm ，用时最少：5÷2=2.5秒．长方体10．（2009•恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是 。
解：将长方体展开，连接A 、B ，根据两点之间线段最短，AB==25．A B A 1B 1D CD 1C 121411. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C 1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为 .解：正面和上面沿A 1B 1展开如图，连接AC 1，△ABC 1是直角三角形， ∴AC 1=()5342142222212=+=++=+BC AB18．（2011•荆州）如图，长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ，高为5cm ．若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂奴爬行的最短路径长为 cm ．解：∵PA=2×（4+2）=12，QA=5 ∴PQ=13．故答案为：13．19．如图，一块长方体砖宽AN=5cm ，长ND=10cm ，CD 上的点B 距地面的高BD=8cm ，地面上A 处的一只蚂蚁到B 处吃食，需要爬行的最短路径是多少？解：如图1，在砖的侧面展开图2上，连接AB ， 则AB 的长即为A 处到B 处的最短路程．解：在Rt △ABD 中，因为AD=AN+ND=5+10=15，BD=8， 所以AB 2=AD 2+BD 2=152+82=289=172． 所以AB=17cm ．故蚂蚁爬行的最短路径为17cm ．49、如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别12cm ,8cm,30cm.(1)在AB 中点C 处有一滴蜜糖，一只小虫从D 处爬到C 处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？(2)此长方体盒子(有盖)能放入木棒的最大长度是多少?12．如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A 点爬到B 点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为 米。
勾股定理的应用最短路径问题
勾股定理的应用最短路径问题1. 引言大家好，今天咱们聊聊一个古老又有趣的数学概念——勾股定理。
可能有人会问：“这跟我有什么关系呢？”嘿，等着听，勾股定理可不是干巴巴的公式，它其实在我们日常生活中随处可见，特别是在寻找最短路径的时候！想想吧，咱们出门去超市、上班、约会，总是希望能走条最短的路，不是吗？1.1 勾股定理是什么？首先，让我给你简单科普一下，勾股定理就是“直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方”。
哎哟，这听起来可能有点抽象，但是举个例子就明白了。
想象一下，你在一个小区里，想从家里去朋友家，结果发现可以选择两条路：一条是笔直的，另一条是绕来绕去的。
咱们用勾股定理算一下，直走那条路肯定最省劲，走得快，又不费力，简直是“稳得一批”！1.2 最短路径的日常应用所以说，勾股定理就像是我们日常生活中的导航仪。
无论是行走还是开车，只要涉及到找路，勾股定理就在那里默默支撑着我们。
有时候你可能会觉得“哎，我怎么就走错了路呢？”其实啊，咱们常常是没有用到这个小聪明，走了冤屈的弯路。
所以，学会利用勾股定理，让我们在出门时不再“走火入魔”，多出点时间来享受生活，简直是“赚到了”！2. 勾股定理在生活中的真实案例接下来，我来给大家分享几个勾股定理在生活中实际应用的例子。
想象一下，你家后院有个长方形的游泳池，你想在旁边建个阳光棚。
你需要测量一下，从池边到棚子的某个点的距离。
这里用上勾股定理就能轻松搞定！假如你从池子的一个角落走到对面的边，再直线走到阳光棚的底部，咱们就能通过计算，得到最短的距离，省得你东跑西颠了。
2.1 工作中的应用再说说工作吧，假设你是一名送货员，天天跑腿送快递。
为了提高效率，你需要计算每次送货的最短路径。
只要把送货点的坐标设定好，运用勾股定理，你就能算出最近的送货路线。
这样一来，工作起来简直是“如虎添翼”，还能多挣点外快，何乐而不为呢？2.2 健身房里的运动还有一种情况，比如你在健身房里锻炼，跑步机上那条直线可不是随便走走的！你想把心率调到最佳状态，搞个“HIIT”训练，结果一不小心跑偏了。
勾股定理--最短距离问题蚂蚁爬行的最短路径
1A B A 1B 1DCD 1C 124勾股定理--最短距离问题蚂蚁爬行的最短路径正方体1．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着表面爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短路线是A ．A ⇒P ⇒B B ．A ⇒Q ⇒BC ．A ⇒R ⇒BD ．A ⇒S ⇒B2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是 .3. 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为 .4．如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其10．（2009•恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是 。
10题 11 12 1311. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C 1处（三条棱长如图所示），蚂蚁到B 处吃食，需要爬行的最短路径是多少？14、如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别12cm ,8cm,30cm.(1)在AB 中点C 处有一滴蜜糖，一只小虫从D 处爬到C 处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？(2)此长方体盒子(有盖)能放入木棒的最大长度是多少?15．如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A 点爬到B 点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为 米。
1514 16 17 第2题 第3题 ABCD.1283016．如图，直四棱柱侧棱长为4cm ，底面是长为5cm 宽为3cm 的长方形．一只蚂蚁从顶点A 出发沿棱柱的表面爬到顶点B ．求：（1）蚂蚁经过的最短路程；（2）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程．17．如图，长方体的长、宽、高分别为6cm ，8cm ，4cm ．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A 爬到点B ．则蚂蚁爬行的最短路径的长是 。
勾股定理应用之最短路径问题
沿着台阶面爬到B点去吃可口的食物，最短线路是多少？
A
20
CHale Waihona Puke 解：如图，将台阶3
展开， BC=(3+2) ×3=15AC=2
２
0
∵△ABC为直角
3
三角形 2
答：最短路线
3
是25cm。
2
B
利用勾股定理解决实际问题的一般思路：
1.在解决实际问题时，首先要画出适当的示意图， 将实际问题抽象为数学问题，并构建直角三角形模 型，再运用勾股定理解决实际问题。
如图所示，圆柱体的底面周长为18cm ，高AC为12cm ，
一只蚂蚁从A点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点B，试求出爬
行的最短路程。
解：如图，将圆柱体 展开， BC=18÷2=9 AC=1
2 ∵△ABC为直角 三角形
C
B
答：蚂蚁爬行的最短路线
是15cm。
A
最短路径问题
几何体的表面路径的最短的问题，一般将 立体图形展开为平面图形来计算。
勾股定理 --最短路线问
1
1.两点之间，线段最短！
2.一个圆柱体的侧面展开图是长方形,它的一边长是圆 柱的高,它的另一边长是底面圆的周长。
圆柱侧面两点最短路径问题
如图所示，圆柱体的底面周长为18cm ，高AC为12cm ，
一只蚂蚁从A点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点B，试求为出什爬么
行的最短路程。
1
1B
B
1
1 1
1
A
1
1
长方体中的最值问题
如图，长方体的长、宽、高分别为4、2、8。现有一蚂
蚁从顶点A出发，沿长方体表面到达顶点B，蚂蚁走的路程
最短为多少厘米？
勾股定理--与最短路径问题
17.1(11)勾股定理--与最短路径问题一．【知识要点】1.两点之间线段最短：⑴将军饮马型；⑵几何体上两点最短型2.垂线段最短型3.造桥选址型二．【经典例题】1．如图一个圆柱，底圆周长10cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm .2．如图一个圆柱，底圆周长10cm ，高4cm ，点B 距离上边缘1cm,一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm .3．如图，圆柱形容器中，高为0.4m ，底面周长为1m ，在容器内壁．．离容器底部0.3m 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁．．，与蚊子相对．．的点A 处，求壁虎捕捉蚊子的最短距离（容器厚度忽略不计）.4.编制一个底面半径为6cm 、高为16cm 的圆柱形花柱架,需用沿圆柱表面绕织一周的竹条若干根,如图中的111AC B ,222,A CB ,则每一根这样的竹条的长度最少是__________．5.如图，圆柱底面半径为cm ，高为9cm ，点A 、B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且A 、B在同一高上，用一根棉线从A 点顺着圆柱侧面绕3圈到B 点，则这根棉线的长度最短为______.6.一只蚂蚁从长为4cm,宽为3 cm ，高是5 cm 的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是____________cm 。
7.已知 A （1，1）、B （4，2）．P 为 x 轴上一动点，求 PA+PB 的最小值.8．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20 dm,3 dm,2 dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是__________dm.2A B三．【题库】【A 】1.如图，一个长方体盒子，一只蚂蚁由A 出发，在盒子的表面上爬到点C 1，已知AB=7cm ，BC=CC 1=5 cm ，则这只蚂蚁爬行的最短路程是________.2.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是________．3.如图，∠ABC ＝30°，点D 、E 分别在射线BC 、BA 上，且BD ＝2，BE ＝4，点M 、N 分别是射线BA 、BC 上的动点，当DM ＋MN ＋NE 最小时，（DM ＋MN ＋NE ）2的值为（ ）A 、20B 、26C 、32D 、36【B 】1.如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，△ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P ，使 PD+PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A.23 B. 26 C.3 D.6A 1B 1C 1D 1 A B C D2.如图，一个无盖的长方体长、宽、高分别为8cm 、8cm 、12cm ，一只蚂蚁从A 爬到C 1，怎样爬路线最短，最短路径是多少？3．如图，在Rt ABC ∆中，90,45,2B BCA AC ︒︒∠=∠==，点D 在BC 边上，将ABD ∆沿直线AD 翻折，点B 恰好落在AC 边上的点E 处，若点P 是直线AD 上的动点，连接,PE PC ，则PEC ∆的周长的最小值为（ ）A ．22-B ．2C ．21+D ．14．如图，已知圆柱底面的周长为4dm ，圆柱高为2dm ，在圆柱的侧面上，过点A 和点C 嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（ ）A ．4dmB ．2dmC ．2dmD ．4dm8cm 8cm12cm【C 】 1.（8分）如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村A 和李庄B 送水，已知张村A. 李庄B 到河边的距离分别为2km 和7km ，且张、李二村庄相距13km.(1)水泵应建在什么地方，可使所用的水管最短?请在图中设计出水泵站的位置；(2)如果铺设水管的工程费用为每千米1500元,为使铺设水管费用最节省,请求出最节省的铺设水管的费用为多少元?2.已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD=2，BC=DC=5，点P 在BC 上移动，则当PA+PD 取最小值时，PA+PD 长为（ ）A ．8 B.4+15 C ．152 D ．1723.如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点 A 旋转，当 AC ′、AD ′分别与 BC 、CD 交于点 E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（ ）A.2B.23C.2＋3D. 44.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝8，点E 是BC 中点，点F 是边CD 上的任意一点，则△AEF 的周长最小时值为( )A ．17B ．21C ．13+41 D. 13+345.如图，四边形ABCD 中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 周长最小时，则∠AMN+∠ANM 的度数为（ ）。
勾股定理--最短距离问题
蚂蚁爬行的最短路径
一．正方体
1. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体
的外表面爬到顶点B
的最短距离是 .
2. 正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M 点的最短距离为 .
3．如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用秒钟．
二．长方体
4．（2009•恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是。
1
A B
A
1
B
1
D C
D
1
C
1
2
4
11. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为 .
18．（2011•荆州）如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂奴爬行的最短路径长为 cm．
三．圆柱
21．有一圆柱体如图，高4cm，底面半径5cm，A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处，求蚂蚁爬行的最短距离 .
第2题
22．有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为 .
第3题
23．如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA1的端点A到达A1，
6，高为5，则蚂蚁爬行的最短距离为
若圆柱底面半径为
．。
(完整版)勾股定理--最短距离问题蚂蚁爬行的最短路径好
第1页 共2页 1A B A 1B 1DCD 1C 124勾股定理--最短距离问题蚂蚁爬行的最短路径正方体1．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着表面爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短路线是A ．A ⇒P ⇒BB ．A ⇒Q ⇒BC ．A ⇒R ⇒BD ．A ⇒S ⇒B2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是 .3. 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为 .4．如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是5．如图所示一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下底面点A 沿表面爬行至侧面的B 点，最少要用 秒钟．长方体10．（2009•恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是 。
10题 11 12 1311. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C 1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为 .12．（2011•荆州）如图，长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ，高为5cm ．若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂奴爬行的最短路径长为 cm ．蚂蚁到B 处吃食，需要爬行的最短路径是多少？14、如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别12cm ,8cm,30cm.(1)在AB 中点C 处有一滴蜜糖，一只小虫从D 处爬到C 处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？(2)此长方体盒子(有盖)能放入木棒的最大长度是多少?15．如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A 点爬到B 点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为 米。
勾股定理的应用举例-最短距离
——勾股定理的应用举例（2）
一、平面内的最短距离
1.如图，在公路AB旁有一座山C，现在C处需要爆破，已知 点C与公路上的停靠站A之间的距离为300m，与公路上另一 停靠站B之间的距离为400m，且CA丄CB，为了安全起见， 爆破点C周围半径250m范围内不得进入，问在进行爆破时， 公路AB段是否因有危险而需要暂时封锁？
∴CD=240m
∵240＜250 ∴公路AB段会有危险需要暂时封锁
二、立体图形中的最短距离：正方体中的最短距离 2.如图，在棱长为10厘米的正方体的 一个顶点A处有一只蚂蚁，现要向 顶点B处爬行，那么蚂蚁爬行的最 短路线的平方为多少？
B
A A B 蛋糕
B
A
二、立体图形中的最短距离：长方体中的最短距离
B
B
A
A
二、立体图形中的最短距离：台阶中的最短距离
2、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高 分别等于５５cm，１０cm和６cm，A和B是这个台阶 的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃 可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着 台阶面爬到B点，最短线路是多少？
A A A
解：台阶的展开图如图：连结AB 在Rt△ABC中根据勾股定理 AB2=BC2＋AC2 ＝552＋482＝5329 ∴AB=73cm
解：过点C作CD丄AB，垂足为D
∵CA丄CB
300 D 500
400
∴∠ACB=900
在Rt△ABC中 AB2=AC2+BC2=3002+4002
SABC
∴
1 1 AC BC ABCD 2 12 1
2 300 400 2
勾股定理--最短距离问题蚂蚁爬行的最短路径--好
第1页 共2页 1A B A 1B 1DCD 1C 124勾股定理—-最短距离问题蚂蚁爬行的最短路径正方体1．如图,一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着表面爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短路线是A ．A ⇒P ⇒B B ．A ⇒Q ⇒BC ．A ⇒R ⇒BD ．A ⇒S ⇒B2。
如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是 .3. 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为 。
4．如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是5．如图所示一棱长为3cm 的正方体,把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下底面点A 沿表面爬行至侧面的B 点,最少要用 秒钟．长方体10．（2009•恩施州）如图,长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是 .10题 11 12 1311。
如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C 1处（三条棱长如图所示）,问怎样走路线最短?最短路线长为 .12．(2011•荆州）如图,长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ，高为5cm ．若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂奴爬行的最短路径长为 cm ．13．如图,一块长方体砖宽AN=5cm ，长ND=10cm ，CD 上的点B 距地面的高BD=8cm,地面上A 处的一只蚂蚁到B 处吃食，需要爬行的最短路径是多少?14、如图,长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别12cm ,8cm,30cm 。
(1）在AB 中点C 处有一滴蜜糖,一只小虫从D 处爬到C 处去吃,有无数种走法,则最短路程是多少?(2）此长方体盒子(有盖）能放入木棒的最大长度是多少？15．如图所示:有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A 点爬到B 点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为 米。
利用勾股定理求解几何体的最短路线长
A
6
6E x
4
x 8-x C
Ｄ D
第8题图
B
练习:三角形ABC是等腰三角形
AB=AC=13，BC=10，将AB向AC方向
对折，再将CD折叠到CA边上，折痕为
CE，求三角形ACE的面积
A
A
A
12-x 8
12
13
x E x
D1 5
B D C D5 C D5 C
例1：折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在
B
A 5
2
1
P
D
C1
4
1
E
A′
4
C1 线有三种情况(如图①②③ ),由勾股
B1
1 C
定理可求得图1中AC1爬行的路线最
2 B
短.
D1
C1
①
1
D
C
2
A
4
B
A1
②
A
4
B1
C1
1
B2 C
AC1 =√42+32 =√25 ;
AC1 =√62+12 =√37 ;
D D1
C1
2
③
A 1 A1
4
B1
AC1 =√52+22 =√29 .
练习:◆在长30cm、宽50 cm、高40 cm
分类思想
1.直角三角形中，已知两边长是直角边、 斜边不知道时，应分类讨论。
2.当已知条件中没有给出图形时，应认真 读句画图，避免遗漏另一种情况。
例2.三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边 上的高线AD=8,求BC
A
17
8 10
B
C
例1、如图，一块直角三角形的纸片，两 直角边AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边 AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上， 且与AE重合，求CD的长．
利用勾股定理确定最短问题
利用勾股定理确定最短问题我们知道，两点之间线段最短，但这两点之间的距离往往要通过适当的知识求出其大小，现介绍一种方法，用勾股定理确定最短问题.例1（恩施自治州）如图1，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是（ ）21 B.25 C.105+5 D.35分析 根据“两点之间，线段最短”和“勾股定理”，蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，较短爬行路线有如图2所示的4条粗线段表示的距离.可以通过计算得知最短的是第2条.解 依题意蚂蚁要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，有如图2所示的4种粗线情形，22530+37221520+25，221020+＝5，图④中粗线的长度为的5+20+10＝35，显然35＞37＞5＞25.故应选B .说明 在立体图形上找最短距离，通常要把立体图形转化为平面图形，即转化为表面展开图来解答，但是不同的展开图会有不同的答案，所以要分情况讨论.例2（青岛市）如图1，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm.如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要＿＿＿cm ；如果从点A 开始经过4个侧面缠绕n 圈到达点B ，那么所用细线最短需要＿＿＿cm.分析 要求最短细线的长，得先能确定最短线路，于是，可画出长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短，结合勾股定理求得.若从点A 开始经过4个侧面缠绕n 圈到达点B ，即相当于长方体的侧面展开图的一边长由3+1+3+1变成n (3+1+3+1)，同样可以用勾股定理求解.解 如图2，依题意，得从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B 时，最短距离为AB ，此时，由勾股定理，得AB 2268+＝10，即所用细线最短为10cm.图2 5 20 15 10 C B 图1 ③ ② ④ ① B A 6cm3cm 1cm 图1 图2B A若从点A 开始经过4个侧面缠绕n 圈到达点B ，则长方体的侧面展开图的一边长由3+1+3+1变成n (3+1+3+1)，即8n ，由勾股定理，得()2268n +＝23664n +，即所用细线最短为23664n +cm ，或22916n +cm.说明 对于从点A 开始经过4个侧面缠绕n 圈到达点B 的最短细线不能理解为就是n 个底面周长.例3（泸州市）在某段限速公路BC 上(公路视为直线)，交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60千米／时 (即350米／秒)，并在离该公路100米处设置了一个监测点A .在如图所示的直角坐标系中，点A 位于y 轴上，测速路段BC 在x 轴上，点B 在A 的北偏西60°方向上，点C 在A 的北偏东45°方向上，另外一条高等级公路在y 轴上，AO 为其中的一段.（1）求点B 和点C 的坐标；（2）一辆汽车从点B 匀速行驶到点C 所用的时间是15秒，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速?（参考数据：3≈1.7）（3）若一辆大货车在限速路上由C 处向西行驶，一辆小汽车在高等级公路上由A 处向北行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，求两车在匀速行驶过程中的最近距离是多少?分析（1）要求点B 和点C 的坐标，只要分别求出OB 和OC 即得.（2）由（1）可知BC 的长度，进而利用速度公式求得并与350比较即可.（3）为了求解，可设大货车行驶到某一时刻行驶了x 米，则此时小汽车行驶 了2x 米，于是利用勾股定理可求出x 的表达式进而求得.解（1）在Rt △AOB 中，因为∠BAO ＝60°，所以∠ABO ＝30°，所以OA ＝12AB ， 而OA ＝100，所以AB ＝200，由勾股定理，得OB ＝22AB OA -＝22200100-＝1003.Rt △AOC 中，∠CAO ＝45°，所以OC ＝OA ＝100，所以B (－1003，0)，C (100，0).（2）因为BC ＝BO +CO ＝1003+100，所以100310015+≈18＞503， 所以这辆车超速了.（3）设大货车行驶到某一时刻行驶了x 米，则此时小汽车行驶 了2x 米，且两车的距离为y ()()221001002x x -+-()25602000x -+，显然，当x ＝60时，y 有最小200055米.说明 本题在求最近距离时，一定要注意正确理解代数式的意义，注意到(x －60)2的最小值是0.例4（恩施自治州）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷（A ）和世界级自然保护区星斗山（B ）位于笔直的沪渝高速公路X 同侧，AB ＝50km ，A 、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km ，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P ，向A 、B 两景区运送游客.小民设计了两种方案，图1是方案一的示意图（AP 与直线X 垂直，垂足为P ），P 到A 、B 的距离之和S 1＝P A +PB ，图2是方案二的示意图（点A 关于直线X 的对称点是A ′，连接BA ′交直线X 于点P ），P 到A 、B 的距离之和S 2＝P A +PB .（1）求S 1、S 2，并比较它们的大小；（2）请你说明S 2＝P A +PB 的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图3所示的直角坐标系，B 到直线Y 的距离为30km ，请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q ，使P 、A 、B 、Q 组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.分析 为了便于运用勾股定理求解有关线段的长，可适当引垂线，并结合对称等几何知识即可求解.解（1）如图1中，过B 作BC ⊥AP ，垂足为C ，则由勾股定理，得PC ()22504010--＝40.在Rt △PBC 中，由勾股定理，得BP 22BC PC +224040+＝2.所以S 1＝2+10（km ）.如图2中，过B 作BC ⊥AA ′垂足为C ，由轴对称知P A ＝P A ′，则A ′C ＝50，又BC ＝40， 所以由勾股定理，得BA ′224050+41所以S 2＝BA ′＝41（km ）.显然，S 1＞S 2.（2）如图2，在公路上任找一点M ，连接MA ，MB ，MA ′，由轴对称知MA ＝MA ′，所以MB +MA ＝MB +MA ′＞A ′B ，所以S 2＝BA ′为最小.（3）过A 作关于X 轴的对称点A ′，过B 作关于Y 轴的对称点B ′，连接A ′B ′，交X 轴于点P ，交Y 轴于点Q ，则P ，Q 即为所求.过A ′、B ′分别作X 轴、Y 轴的平行线交于点G .由勾股定理，得A ′B ′2210050+5所以所求四边形的周长为5B A P X 图1 C G Y X BA Q P O 图3 A ′BC A P X A ′ 图2 M说明本题既是一道对图形的操作题，又是一道利用勾股定理进行方案设计的试题，求解时一定要注意动手动脑，发挥想象，避免错误的出现.。
坐标系中最短距离
坐标系中最短距离
在数学和物理学中，我们经常会遇到需要计算点之间最短距离的问题。
在二维
坐标系中，计算两点之间的最短距离是一种基本的问题。
这个问题不仅在数学领域有着广泛的应用，还在计算机图形学、机器学习等领域中发挥着重要作用。
问题描述
给定二维坐标系上的两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们希望计算点A和点B
之间的最短距离。
在二维平面上，最短距离可以通过勾股定理得到：$AB = \\sqrt{(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2}$
计算过程
1.输入数据：首先，我们需要输入点A和点B的坐标(x1, y1)和(x2, y2)。
2.计算差值：我们计算出横坐标和纵坐标的差值：dx = x2 - x1, dy = y2 -
y1。
3.计算最短距离：根据勾股定理，我们利用上一步计算出的差值，计
算出最短距离：dist = sqrt(dx^2 + dy^2)。
4.输出结果：最后，我们得到点A和点B之间的最短距离，即dist。
应用范围
最短距离的计算在实际中有着广泛的应用。
在地理信息系统中，我们可以利用
这一原理计算两个地点之间的最短距离，帮助规划最佳路径。
在计算机图形学中，我们可以利用最短距离计算碰撞检测，用于游戏开发等领域。
在机器学习中，最短距离计算也被广泛应用于聚类算法等方面。
总的来说，坐标系中最短距离的计算是一项基础且重要的数学问题，它有着广
泛的应用前景。
通过深入理解最短距离的计算原理，我们可以更好地理解和应用这一概念。
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蚂蚁爬行的最短路径正方体4.如图，一只蚂蚁从正方体的底面 A 点处沿着表面爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短 路线是（ ）解：根据两点之间线段最短可知选 A .故选A .2.如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是 _____________ .解：如图将正方体展开，根据 两点之间，线段最短”知，线段AB 即为最短路线.8.正方体盒子的棱长为2, BC 的中点为 M , —只蚂蚁从 A 点爬行到 M 点的最短距离为 _________ .甘—Si —第7题解：将正方体展开，连接 M 、D1 , 根据两点之间线段最短，MD=MC+CD=1+2=3 ,B . A? Q? BC . A? R? BD .A? S? BA . A? P? B5.如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为蚂蚁从点A 沿其表面爬到点解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短 的路线.所以最短路径长为 5cm ，用时最少：5吃=2.5秒.长方体10. (2009?恩施州)如图，长方体的长为15,宽为10,高为20,点B 离点C 的距离为5, 一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是解：将长方体展开，连接 A 、B ，根据两点之间线段最短,B 的最短路程是(2 2 12710 .故选 C .9.如图所示一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成 3 X3个小正方形.其边长都为 1cm , 假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下底面点 A 沿表面爬行至侧面的 B 点，最少要用2.52, 一(1)展开前面右面由勾股定理得AB= 讥 2+3)2+⑵ 2=V29 cm ;(2)展开底面右面由勾股定理得AB=阿+(屮F =5cm ;1520解：如图，AB=图2.第3页共10页11.如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点 A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 C 1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为 _____________ .解：正面和上面沿 A 1B 1展开如图，连接 AC 1, △ ABC 1是直角三角形,••• AC 1= J AB 2BG 2無—1 22J 4232518.（ 2011?荆州）如图，长方体的底面边长分别为 2cm 和4cm ，高为5cm .若一只蚂蚁从A iD 1 /ZC 1P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂奴爬行的最短路径长为解：如图1,在砖的侧面展开图2上，连接AB , 则AB的长即为A处到B处的最短路程.解：在Rt△ ABD中，因为AD=AN+ND=5+10=15 , BD=8 ,所以AB2=AD2+BD2=152+82=289=172.所以AB=17cm .故蚂蚁爬行的最短路径为17cm .49、如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别12cm ,8cm,30cm.（1）在AB中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从D处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？⑵ 此长方体盒子（有盖）能放入木棒的最大长度是多少？5cm- k S■4©m P2 cm解:••• PA=2K (4+2) =12, QA=5••• PQ=13 .故答案为：13.19.如图，一块长方体砖宽地面上A处的一只蚂蚁到AN=5cm，长ND=10cm , CD上的点B距地面的高BD=8cm ,B处吃食，需要爬行的最短路径是多少？//30QD12CB图2.第3页共10页12. ___________________________________ 如图所示：有一个长、 宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A 点爬到B 点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为 米。
SVC3+2)=+22=侮;13.如图，直四棱柱侧棱长为 A出发沿棱柱的表面爬到顶点 （1 ）蚂蚁经过的最短路程；（2 ）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程.路径二: AB= 路径三: AB=•••倾••• 5米为最短路径.> 5,4cm ,底面是长为5cm 宽为3cm 的长方形.一只蚂蚁从顶点 B .求：路径一: AB=第5页 共10页解：(1) AB 的长就为最短路线.然后根据 若蚂蚁沿侧面爬行，则经过的路程为 讥5+卯+ 42 = ^50 (cm )；或讥4+5)2+3久二阿 (cm )所以蚂蚁经过的最短路程是*网cm . (2) 5cm+4cm+5cm+4cm+3cm+4cm+5cm=30cm ，最长路程是 30cm .15•如图，长方体的长、宽、高分别为 6cm , 8cm , 4cm •一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A 爬到点B •则蚂蚁爬行的最短路径的长是解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面, 则这个长方形的长和宽分别是 12cm 和6cm ,则所走的最短线段是应耳歹=6 V5 cm ;第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形, 则这个长方形的长和宽分别是 10cm 和8cm ,所以走的最短线段是衍冲卩=VI64 cm ；第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形, 则这个长方形的长和宽分别是 14cm 和4cm ,所以走的最短线段是 痂兀闫=2 “53 cm ；若蚂蚁沿侧面和底面爬行，则经过的路程为也4+卯+日=阿(cm ),三种情况比较而言，第二种情况最短.51.圆柱形坡璃容器，高 18cm,底面周长为 蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度。
60cm,在外侧距下底1cm 点S 处有一蜘蛛，与1cm 的点F 处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇护一-'116.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20cm 、3cm 、2cm . A 和B 是 这个台阶上两个相对的端点，点 A 处有一只蚂蚁，想到点B 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点 B 的最短路程为cm解：三级台阶平面展开图为长方形，长为 20cm ，宽为(2+3) X3cm ,则蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点最短路程是此长方形的对角线长. 可设蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点最短路程为xcm , 由勾股定理得：X 2=202+[ ( 2+3) X3]2=252, 解得X =25 . 故答案为25.17•如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm , 3cm 和1cm , A 和B是这个台阶的两个相对的端点， A 点上有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短线路是 ______________cm 。
所以 AB 2=AC 2+BC 2=169 , 所以 AB=13 (cm ), 所以蚂蚁爬行的最短线路为 答：蚂蚁爬行的最短线路为圆柱解：将台阶展开，如下图， 因为 AC=3< 3+1X3=12, BC=5 ,13cm . 13cm .21•有一圆柱体如图，高蚁爬行的最短距离4cm ，底面半径5cm , A 处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到 C 处，求蚂C*A第2题C, D分别是BE , AF的中点. 解：AC的长就是蚂蚁爬行的最短距离.AF=2n ?5=10.nAD=5n .AC= VAD2CD2 ~ 16cm故答案为：16cm.22.有一圆形油罐底面圆的周长为 24m ，高为6m , 一只老鼠从距底面 1m 的A 处爬行到对角B 处吃食物，它爬行的最短路线长为 ________________ .解：AB= V5212213m23.如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA 1的端点A 到达A 1,若圆柱底面半径为 -高为5,则蚂蚁爬行的最短距离为解：因为圆柱底面圆的周长为 2n>6=12，高为5,所以将侧面展开为一长为 12,宽为5的矩形, 根据勾股定理，对角线长为 “日+ ［炉=13 . 故蚂蚁爬行的最短距离为 13.24.如图，一圆柱体的底面周长为24cm ，高AB 为9cm , BC 是上底面的直径.一只蚂蚁从 点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C ,则蚂蚁爬行的最短路程是解：如图所示:124cm ，贝U AD=24< — =i2cm27-厂CA由于圆柱体的底面周长为 A第3题又因为CD=AB=9cm，所以AC= "1护十貂=15cm.故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是15cm .故答案为：15.25.（2006?荆州）有一圆柱体高为10cm，底面圆的半径为4cm, AA i, BB i为相对的两条母线.在AA i上有一个蜘蛛Q, QA=3cm ;在BB i上有一只苍蝇P, PB i=2cm，蜘蛛沿圆柱cm .（结果用带n和根号的式子表示）即可把PQ放到一个直角边是4n和5的直角三角形中，根据勾股定理得：QP= 1/1671-2+25最短路线问题通常是以平面内连结两点的线中，线段最短”为原则引申出来的.人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题.下面简单谈一下初中数学中遇到的最短路线问题。
对于数学中的最短路线问题可以分为两大类：第一类为在同一平面内；第二类为空间几何体中的最短路线问题，对于平面内的最短路线问题可先画出方案图，然后确定最短距离及路径图。
I .求三点距离相等时，一点到两点的距离最短设计方案例1.为改善白银市民吃水质量，市政府决定从新建的A水厂向B、C供水站供水。
已知A、B、C之间的距离相等，为了节约成本降低造价，请你设计一种最优方案，使铺设的输水管道最短，在图中用实线画出你所设计方案的线路图。
解析：可根据三点所构成的三角形形状及三线合一的性质，可求最短路线及设计图。
可设计AB+AC路径;(2) 可设计AD+BD+CD路径;(3) 可设计AE+EB+EC路径。
通过计算比较验证等确定最优化的设计方案为（3）n。
求一点，使它与其余两点之和最小的方案设计例2•为了改善农民生活水平，提高生产，如图， A B是两个农场，直线m是一条小河，现准备在河岸某处修建一提灌点，准备给两农场浇水，如何修建，使得提灌点与两农场的距离之和最小，请你在图中画出设计方案图。
解析：两点之间线段最短，可利用轴对称性质，从而可将求两条线段之和的最小值问题转化为求一条线段长的问题。
应用：已知三角形 ABC 中，/ A = 20度，AB= AC= 20cm, M N 分别为AB AC 上两点，求BN+ MN^ MC 的最小值。
m 。
求圆上点，使这点与圆外点的距离最小的方案设计例3.已知圆形花坛以及花坛外一居民区，要在花坛与居民区之间修建一条小道在圆形花坛上选择一 点，使其与居民区之间的距离最小。