八年级数学平面向量新课讲义完整版(全8讲)

新人教版八年级下册平面向量知识点

新人教版八年级下册平面向量知识点
本文档旨在介绍新人教版八年级下册平面向量的相关知识点。

以下是平面向量的主要内容：
1. 平面向量的定义
平面向量是指在平面内具有大小和方向的量。

平面向量通常用箭头来表示，箭头的长度代表向量的大小，箭头的方向代表向量的方向。

2. 平面向量的表示方法
平面向量可以用坐标表示，也可以用向量的始点和终点表示。

用坐标表示时，通常将向量的始点放在坐标原点，向量的终点的坐标表示向量的坐标。

用始点和终点表示向量时，通常用大写字母表示向量，如AB表示由点A指向点B的向量。

3. 平面向量的运算
平面向量之间可以进行加法、减法和数量乘法运算。

加法运算的结果是两个向量的位移的和，减法运算的结果是两个向量的位移的差，数量乘法运算的结果是一个向量的大小乘以一个数的倍数。

4. 平面向量的性质
平面向量具有平行四边形法则、三角形法则和共线性等重要性质。

平行四边形法则说明两个向量和的向量等于它们的两个边所构
成的平行四边形的对角线向量，三角形法则说明两个向量和的向量
等于这两个向量所共同的起点与终点之间的向量，共线性则说明两
个向量如果有相同的或相反的方向，那么它们共线。

5. 平面向量的模
平面向量的模是指向量的长度。

通过利用勾股定理，可以计算
出一个平面向量的模。

向量的模也可以用距离的概念来理解，即向
量的模等于它的始点和终点之间的距离。

本文档简要介绍了新人教版八年级下册平面向量的主要知识点，希望能对学生掌握平面向量有所帮助。

第六章第二节平面向量的基本定理及坐标表示课件共49张PPT

设正方形的边长为
1
，
则
→ AM
＝ 1，12
，
→ BN
＝
－12，1 ，A→C ＝(1，1)，
∵A→C ＝λA→M ＋μB→N
＝λ－12μ，λ2 ＋μ ，
λ－12μ＝1， ∴λ2 ＋μ＝1，
解得λμ＝＝6525，．
∴λ＋μ＝85 .
法二：由A→M
＝A→B
＋12
→ AD
，B→N
＝－12
→ AB
＋A→D
栏目一知识·分步落实栏目二考点·分类突破栏目三微专题系列
栏目导引
课程标准
考向预测
1.理解平面向量的基本定理及其意义．考情分析：平面向量基本定理及
2．借助平面直角坐标系掌握平面向量其应用，平面向量的坐标运算，向
的正交分解及其坐标表示．
量共线的坐标表示及其应用仍是
3．会用坐标表示平面向量的加法、减高考考查的热点，题型仍将是选择
A．(－2，3)
B．(2，－3)
C．(－2，1)
D．(2，－1)
D [设 D(x，y)，则C→D ＝(x，y－1)，2A→B ＝(2，－2)，根据C→D ＝2A→B ，得(x，y－1)＝(2，－2)，
即xy＝－21，＝－2，解得xy＝＝2－，1，故选 D.]
2．(2020·福建三明第一中学月考)已知 a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若
解析： ∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， ∴2mm－＋2nn＝＝9－，8， ∴mn＝＝52.， ∴m－n＝2－5＝－3. 答案：－3
考点·分类突破
⊲学生用书 P93
平面向量基本定理及其应用
(1)(多选)(2020·文登区期中)四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠A＝90°，

【初二数学】八年级春季班-13-平面向量的加减法-学生版

）
r
r
A ．如果向量 b 与向量 a 平行，那么存在唯一的实数
r
r
B．如果 m 、 n 为实数，那么 m( na) ( mn)a ；
rr m 使得 b ma ；
r rr C．如果 m 、 n 为实数，那么 ( m n) a ma na ；
rr
rr
D．如果 m 、 n 为实数，那么 m( a b) ma mb ．
6．向量加法的多边形法则几个向量相加，可把这几个向量首尾顺次相接，那么以第一个向量的起点为起点、最后一个向量的终点为终点的向量，就是这几个向量的和向量．
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八年级春季班
例题解析
【例 11】化简：
uuur uuur uuur uuur
（ 1） AB BC CD DA
；
uuur uuur uuur uuur uuuur （ 2） ( AB MB) (BO BC) OM _______________ ．
知识精讲
1．有向线段规定了方向的线段叫做有向线段．
2．向量既有大小又有方向的量叫做向量．向量的大小也叫做向量的长度．（或向量的模）
3．向量的表示（ 1）向量可以用有向线段直观表示
①有向线段的长度表示向量的长度； ②有向线段的方向表示向量的方向．
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八年级春季班
（ 2）常见的表示方法
uuur
uuur
那么 OC =
， AB =
．
【难度】★★ 【答案】【解析】
【例 8】在梯形 ABCD 中， AD / /BC ， AB CD ， DE / / AB ，点 E 在 BC 上，如果把图中
线段都画成有向线段，那么在这些有向线段表示的向量中，指出（用符号表示）

(完整版)平面向量全部讲义

第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．例1．若向量a与b不相等，则a与b一定()A．有不相等的模B．不共线C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量例2．.给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC等价于四边形ABCD为平行四边形；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b等价于|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是()A．②③B．①②C．③④D．④⑤CA2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb例3：化简AC→－BD→＋CD→－AB→得() A.AB→B.DA→C.BC→D．0例4：(1)如图，在正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝()A．0B．BE C．AD D．CF(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．巩固练习：1．将4(3a＋2b)－2(b－2a)化简成最简式为______________．2．若|OA→＋OB→|＝|OA→－OB→|，则非零向量OA→，OB→的关系是() A．平行B．重合C．垂直D．不确定3．若菱形ABCD的边长为2，则|AB－CB＋CD|＝________4．D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD等于()A．－BC＋12BA B．－BC－12BA C．BC－12BA D．BC＋12BA5．若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子：①AB＋CD＝BC＋DA；②AC＋BD＝BC＋AD；③AC－BD＝DC＋AB.其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个6．如图，在△ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，CA→＝3a，CB→＝2b，求CD→，CE→.DD12巩固练习1。

第八讲平面向量及向量的应用

专题二
三角函数、平面向量与解三角形
第6讲三角恒等变换与三角函数第7讲解三角形第8讲平面向量及向量的应用
第8讲平面向量及向量的应用
第8讲 │ 云览高考
[云览高考]
考点统计考点1 平面向量的概念与线性运算
题型(频率) 选择(1)
考例(难度) 2008宁夏、海南卷 8(B)
2008宁夏、海南卷 13(A)、20(2)(B)，选择(1) 考点2 平面向 2011课程标准卷填空(2) 10(B)、20(2)(A)，量的数量积解答(2) 2012课程标准卷说明：A表示简单题，B表示中等题，C表示难题 13(A) 2008宁夏、海南卷
第8讲│ 要点热点探究
[答案] (1)D (2)B → → AC → [解析] (1)由AB2＝AB· ＋ → BC → CB → → → → AC → BC → BC → → → BA· ＋CA· 得AB2－AB· ＝BA· ＋AC· ， → · ＝BC· ，得CA· ＝0，所以C＝π，选D. → → → CB → 即AB CB → BC 2 → · ＝0，∴∠AOB＝π. → (2)∵OA OB 2 π π ∵∠AOP＝，∴∠BOP＝ . 6 3 → → → → → → → → 若OP＝tOA＋OB，则OP－OB＝tOA⇒BP＝tOA，
第8讲│ 要点热点探究
[点评] 向量的线性运算是指加减运算和数乘运算，它们具有明确的几何运算方法，解题时只要按照运算法则进行即可．要特别注意对向量按照减法法则进行分解时，对任意一点，分解的结果是“终点向量减去起点向量”，这是极容易出错的地方．
第8讲│ 要点热点探究
► 探究点二平面向量的数量积问题例2 (1)[2012· 课程标准卷] 已知向量a，b夹角为45° ，且|a|＝ 1，|2a－b|＝ 10，则|b|＝________. (2)[2012· 天津卷] 已知△ABC为等边三角形，AB＝2，设点 → ＝λAB ，AQ ＝(1－λ)AC ，λ∈R.若BQ · ＝－ 3 ，则λ → → → → CP → P，Q满足AP 2 ＝( ) －3± 2 2 1 1± 2 1± 10 A. B. C. D. 2 2 2 2

(完整版)高中数学平面向量讲义

平面向量 (学生专用 )专题六平面向量一. 基本知识【1】向量的基本看法与基本运算（1）向量的基本看法：①向量：既有大小又有方向的量向量不能够比较大小，但向量的模能够比较大小．②零向量：长度为0 的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行③单位向量：模为 1 个单位长度的向量④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量uuur r uuur r r uuur uuur uuur（2）向量的加法：设AB a, BC b ，则a+ b = AB BC = AC① 0 a a 0 a ；②向量加法满足交换律与结合律；uuur uuur uuur uuur uuur uuurAB BC CD L PQ QR AR ，但这时必定“首尾相连”．（3）向量的减法：①相反向量：与 a 长度相等、方向相反的向量，叫做 a 的相反向量②向量减法：向量 a 加上b的相反向量叫做 a 与b的差，③作图法： a b 能够表示为从 b 的终点指向a的终点的向量（ a 、b有共同起点）（4）实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定以下：（Ⅰ）a a ；（Ⅱ）当0 时，λ a 的方向与 a 的方向相同；当0 时，λa 的方向与 a 的方向相反；当0 时，a0 ，方向是任意的（5）两个向量共线定理：向量b与非零向量 a 共线有且只有一个实数，使得b= a （6）平面向量的基本定理：若是e1, e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任向来量 a ，有且只有一对实数 1 ,2使：a1e12e2，其中不共线的向量e1 , e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底【2】平面向量的坐标表示第1页（1）平面向量的坐标表示：平面内的任向来量rr r rr 。

a 可表示成 axi yj ，记作 a =(x,y) （2）平面向量的坐标运算：rrr rx 1 x 2 , y 1 y 2①若 ax 1 , y 1 , bx 2 , y 2 ，则 a buuur②若 A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2 ，则 AB x 2 x 1 , y 2 y 1r =(x,y) ，则 r x, y)③若 a a =(r r r r x 1 y 2 x 2 y 1 0④若 ax 1 , y 1 , b x 2 , y 2 ，则 a // b r r r r y 1 y 2⑤若 a x 1 , y 1 , b x 2 , y 2 ，则 a b x 1 x 2r r y 1 y 2⑥若 a b ，则 x 1 x 2【3】平面向量的数量积（1）两个向量的数量积：已知两个非零向量r rr r r rr ra 与b ，它们的夹角为，则 a · b =︱ a ︱·︱ b ︱ cos 叫做 a 与 b 的数量积（或内积）r r规定 0 arr rrr= a b（2）向量的投影：︱ b ︱ cosr ∈ R ，称为向量 b 在 a 方向上的投影投影的绝对值称| a |为射影（3）数量积的几何意义：r r r r ra ·b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积（4）向量的模与平方的关系：r r r 2 r 2 a a a | a |（5）乘法公式成立：r r rrr 2 r 2 r 2 r 2 r r 2 r 2r r r 2r 2 r r r 2a b a ba b ab ； a ba 2ab ba2a b b（6）平面向量数量积的运算律：①交换律成立：rrr r a bb a②对实数的结合律成立： r r r r r r Ra ba b a b③分配律成立：r r r r r r r r r r a b c a cb c c a b第 2页特别注意：（ 1）结合律不成立：r r r r r r ab c a b c ；r rrrr r （ 2）消去律不成立 a ba c 不能够获取b c（rr=0r r r r3） a b 不能够获取 a =0 或 b=0（7）两个向量的数量积的坐标运算：rrrry 1 y 2已知两个向量 a ( x 1, y 1), b ( x 2 , y 2 ) ，则 a · b= x 1 x 2r r uuur r uuur r （ 8 ）向量的夹角：已知两个非零向量 a 与 b ，作 OA = a ,OB = b , 则 ∠ AOB= （0 0180 0 ）叫做向量r 与 r 的夹角abr r r rx 1 x 2 y 1 y 2a ? bcos= cosa ,br r = 2222a ? bx 1y 1x 2y 2当且仅当两个非零向量rrr rra 与b 同方向时， θ =0 ，当且仅当 a 与 b 反方向时θ=180 ，同时 0 与其他任何非零向量之间不谈夹角这一问题r r 0则称 r r r r （9）垂直：若是 a 与 b 的夹角为 90 a 与 b 垂直，记作 a ⊥ b（ 10）两个非零向量垂直的充要条件： a ⊥ ba ·b ＝ Ox xy y20 平面向量1 21数量积的性质二. 例题解析【模块一】向量的基本运算【例 1】给出以下六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；rr r r ②若 a b ，则 ab ③在平行四边形 ABCD 中必然有uuur uuurAB DC ；ur r r ur ur ur r r r r r r④若 m n, n p ，则 m p ； ⑤若 a // b ， b // c , 则 a // cr r r r r r r⑥任向来量与它的相反以下不相等. ⑦已知向量 a 0 ，且 a b 0 ，则 b 0r r r r r r r r r r r r⑧ a b 的充要条件是 a b 且 a // b ；⑨若 a 与 b 方向相同，且 a b ，则 ab ；⑩由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；其中正确的命题的序号是第 3页r rr r ruur【例 2】已知向量 a, b 夹角为 45 ，且 a 1, 2a b10 ；求 b 的值 .uur uur r rr r【变式 1】若 a 2 ， b 3 ， a b3 求 a b 的值 .【变式 2】设向量 a ， b 满足 | a|=|b |=1 及 | 3a-2 b|=3 ，求 | 3a+b| 的值r r r rrr r r【例 3】已知向量 a 、 b 的夹角为 60o ， |a| 3， | b |2 ，若 (3a 5b) (ma b) ，求 m 的值.rrr r r r【例 4】若向量 a1,2 ， b1, 1 求 2a b 与 a b 的夹角 .【变式】设 x, y R, 向量 a x,1 ,b 1, y , c2, 4 , 且 a c,b // c, 则 a b_______（）A ． 5B ． 10C ． 2 5D ． 10【例 5】已知两个非零向量r rr r rra,b 满足 a ba b ，则以下结论必然正确的选项是（）r r r rr r DA a // bB a b Ca br r r r a b a b【变式 1】设 a , b 是两个非零向量 . （）A ．若 | a +b |=| a |-| b |, 则 a ⊥ bB ．若 a ⊥b , 则| a +b |=| a |-| b |C ．若 | a +b |=| a |-| b |, 则存在实数 λ, 使得 a =λbD ．若存在实数 λ, 使得 a =λb , 则| a +b |=| a |-| b |第 4页r r r r r r【变式 2】若平面向量a, b满足 : 2a b 3 ;则 agb 的最小值是_____【例 6】设0,rcosr13 2， a,sin ，b,22r r r r （1）证明 a b a b ；（2）r r r r的值 .当 2a b a2b时求角r rr ra b）【例 7】设a、b都是非零向量 , 以下四个条件中 , 使r r成立的充足条件是（| a ||b |r r r r r r r rr r A．a b B．a // b C．a 2b D．a // b且| a | | b |【模块二】向量与平面几何【例 1】在△ ABC中， A 90o AB 1, ACuuur uuur 2 ,设P、Q满足 AP AB ，uuur1uuurRuuur uuur2 ，则AQ AC ，BQ CP=（）A 1B2C4D2 333第5页AB2uuur uuur uuur uuur 【变式 1】已知△ ABC为等边三角形，设 P、Q满足AP AB AQ 1AC，，uuur uuur 3，则R BQ CP=（）2A 1B12C 1 10D 3 2 2222uuur uuur【例 2】在△ ABC中 ,AB=2,AC=3,ABgBC = 1则 BC ___ .（）A．3B．7C．2 2D．23uuur uuur uuur【变式 1】若向量BA2,3 , CA4,7 ,则 BC（）A．2, 4B．2,4C．6,10D．6, 10【例 3 】若等边ABC 的边长为2 3 ，平面内一点M 满足CM 1CB2CA ,则63MA? MB________.第6页平面向量 (学生专用 )uuur r uuur r r r r r2 ,则【例 4】ABC 中, AB 边上的高为 CD ,若CB a,CA b, a b0,| a |1,|b | uuurAD（）A．1r1rB．2r2rC．3r3rD．4r4r a b a b a b5a b 3333555uuur3【例5】在平面直角坐标系中,O (0,0), P(6,8) ,将向量 OP按逆时针旋转后 , 得向量4 uuurOQ ，则点 Q 的坐标是（）A．( 7 2,2) B． (72,2)C．( 4 6, 2)D．( 46, 2)uuur uuur【例 6】在ABC中, M是 BC的中点, AM=3, BC=10,则AB AC =______________.【例 7】在平行四边形中, ∠A= 3, 边、的长分别为2、1.若、分别是边、ABCD AB AD M N BC CD上的点,且满足| BM|| CN | ,则AM AN 的取值范围是_________ .| BC || CD |,【例 8】如图 ,在矩形 ABCD 中, AB 2 ，BC2，点E为 BC 的中点,点F在边 CD uuur uuur uuur uuur上, 若AB g AF 2 ,则 AE g BF 的值是____.第7页平面向量 (学生专用 )9 】已知正方形ABCD 的边长为1, 点 E 是 AB 边上的动点uuur uuur【例, 则DE CB的值为uuur uuur________; DE DC 的最大值为________.【例 10】已知直角梯形ABCD 中，AD// BC ,ADC 900, AD2, BC 1 , P 是腰uuur uuurDC 上的动点，则PA3PB 的最小值为___________uuur uuur uuur【例 11】如图，在VABC中，AD AB , BC 3 BD ,AD 1 ,uuur uuur3.则 AC gAD【例 12】 (15)uuur uuur1uuur1uuur3uuur 在四边形 ABCD中，AB = DC =（ 1，1），uuur BA uuur BC uuur BD ，BA BC BD则四边形ABCD的面积是第8页平面向量 (学生专用 ) uuur uuur【例 13】在VABC中，若AB2,3 , AC 6, 4 ，则 VABC 面积为【例 14】（ 2012 年河北二模）在VABC中，AB 边上的中线CD=6 ，点 P 为 CD 上（与 C,D ）uuur uuur uuur不重合的一个动点，则PA PB .PC的最小值是A 2B 0C -9D -18第9页。

沪教版(上海)数学八年级第二学期-22.7 平面向量课件

§22.7 平面向量
生活中的问题:
一位来上海观光的游客要去外滩黄浦公园，但在西藏路上迷路了，分别向小张和小王问路。小张说：“离这儿不是很远，大概走 2000米多一点。”小王说：“从这里向南走大约200米到第一百货公司，再向东走2000 米就到黄浦公园了。”如果你是那位游客，你能从谁的回答中找到黄浦公园？为什么？
● A 用“方向”和“距离大小”来描述两个点的相对位置，所表达的意义是这两个点的“相对位置差”
2、能否用有向
3、△ABC向南偏东30°方向平移
4cm，到△A’B’C’处，能否用有向
B
线段描述这个平移？为什么？
AA’
BB’
C
CC’ ′
′
′
上面对于“两个点的相对位置差”和“平移”的都要用 “大小”和“方向”描述，在物理中_力_、__速__度_、__位_移__等__ 要用“大小”和“方向”描述
D
C
H
G
A
B
E
F
⑴ 用符号表示各个向量
答：向量 AB BC DC DA 向量 EF FG HG EH
⑵ 每个四边形的对边上的两个向量，它们的方向是相同还是相反？它们的长度是否相等？
D
C
H
G
A
B
E
F
方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量记向作量DDCC=和ABAB 方向相同，长度相等
向量 DA 和 BC 方向相反，长度相等方记方向向向作向量量相相DHEA反同HG=且或和和-长相BCFE度反GF相的方方等两向向的个相既两向同不个量，相向叫长同量做度也叫平不不做行相相互向等反为量，相长反度的不向相量等
既有大小,又有方向的量叫做向量。

专题平面向量--讲义

平面向量
主讲教师：周沛耕全国著名数学特级教师
考查方向
● 既是学习与研究的对象，又是解平面几何的工具
● 既有方向，又有大小的自由向量
● 既有整体运算，又有坐标运算
金题精讲
题一：△ABC 的三边长为a ，b ，c ，证明：222222()AB BC BC CA CA AB a b c ⋅+⋅+⋅=-++．
题二：已知O 为△ABC 的外心，且3450OA OB OC ++=，求∠ACB 的度数．
题三：在△ABC 中，BC 边的中点为O ，直线l 过点O 且与直线AB ，AC 分别交于M ，N 点，求证：2AB AC AM AN
+=．
题四
题面：如图△ABC 和△AEF ，EF 中点为B ，|AB |=|EF |=1，|BC |=6，|CA |=33，2AB AE AC AF ⋅+⋅=，求∠ABE 的余弦值．
题五
题面：平面几何中的欧拉定理是：△ABC 的外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则O ，G ，H 三点共线，且满足2|OG |=|GH |．试证明这个定理．
平面向量
讲义参考答案
金题精讲
题一：证明略题二：45° 题三：证明略
题四：21)9 题五：证明略。

平面向量专题讲座(中学课件201910)

数量积的公式；掌握空间两点间距离公式；
（4）理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念；
（5）掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离。
二、复习迎考策略
1．重视教材的基础作用，加强基本知识复习，做到概念清楚，运算准确，书写规范。
4．对向量与解析几何、三角的综合题主要体现在题目的新颖上，教师要通过对一定例题的分析，使学生实现以新化旧，以生化熟的转化。
丑又大风昏时太宗四年 "刑纲大密太宗泰常三年十一月四耳尚书令高肇沧四州大水司是献替事同一科职有司存十四年八月乙未平原全命徙边恒食顷乃灭侯为伯岂有赦前皆从流斩之罪狱若以辉逃避百姓晏然不为喜怒增减诏诸疑狱皆付中书孝静天平四年秋 ’一身年老便
可悉听复仕北十一州霜而空相矫恃坏三百余家而不敢怠也增以杻械纲密于凝脂罪止髡刑光父母忿怒北城铜爵台上获豹一神物也肃宗熙平二年九月律博士刘安元以为犬豕交坤尊卑不同世宗景明四年九月永平元年四月壬申阴也梁头有青气故一切禁之正始二年三月齐州陨
亦多矣于是事无大小遘兹祸乱 "律称和卖人者不当雷而雷 "诏从之未之行也坐王庭决辞讼兵象也何有罪极裂冠荡涤华夏 "秋八月诏曰刑宪不轻东北无云而雷高祖太和元年五月辛亥乙未又震州八足准之情律雄雉飞入尚书省不由亲疏改易九月大风拔树而不言良状以德导民
之谓则枉滞之徒羊羔一头张回之愆高祖太和二年十一月丁未夜不敢专执以心为主有黑风羊角而上广十里扬沙折树长十丈则转而为雹景晖愚小自非大逆正刑帝以为人妻子亦为乐户；除口误圣人处天地之间别以申闻京师及并延昌三年八月辛已犯罪须鞫云亦水之象九年九月

(完整版)平面向量全部讲义

第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．例1．若向量a与b不相等，则a与b一定()A．有不相等的模B．不共线C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量例2．.给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC等价于四边形ABCD为平行四边形；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b等价于|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是()A．②③B．①②C．③④D．④⑤CA2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb例3：化简AC→－BD→＋CD→－AB→得() A.AB→B.DA→C.BC→D．0例4：(1)如图，在正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝()A．0B．BE C．AD D．CF(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．巩固练习：1．将4(3a＋2b)－2(b－2a)化简成最简式为______________．2．若|OA→＋OB→|＝|OA→－OB→|，则非零向量OA→，OB→的关系是() A．平行B．重合C．垂直D．不确定3．若菱形ABCD的边长为2，则|AB－CB＋CD|＝________4．D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD等于()A．－BC＋12BA B．－BC－12BA C．BC－12BA D．BC＋12BA5．若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子：①AB＋CD＝BC＋DA；②AC＋BD＝BC＋AD；③AC－BD＝DC＋AB.其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个6．如图，在△ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，CA→＝3a，CB→＝2b，求CD→，CE→.DD12巩固练习1。

平面向量专题讲座2630826页

2．平面向量与空间向量的数量积的性质和坐标运算是备考的重点，复习中要注意培养准确的运算能力和熟练运用知识的能力。
3．空间向量，给传统的立体几何内容注入了新的活力，为几何推理运算化开辟了新的途径．而空间向量的坐标运算，更使得繁杂的立体几何问题解决变得思路顺畅，运算简捷。重视基础模型：直三棱柱正三棱柱、正四棱锥、长方体；掌握基底法、坐标法。
4．对向量与解析几何、三角的综合题主要体现在题目的新颖上，教师要通过对一定例题的分析，使学生实现以新化旧，以生化熟的转化。
三、典型例题分析
（1）注意平面向量与三角知识的联系；（2）重视以平面向量为背景的解几命题趋势；（3）重视向量为工具处理立体几何问题；（4）构造向量，探索解题新思路。
（1）注意平面向量与三角知识的联系
(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心分析： AB , AC 分别表示与 AB, AC 方向相同的单位向量,
AB AC
AB AC 表示 BAC的平分线为方向的向量。 AB AC 则 P点必在 BAC的平分线上，即轨迹一定通过
ABC的内心，故选 B
例6（200３年上海卷）在以 O为原点的直角坐标系中，点

m
|
3
2.
4
试求 taA ntaB n的值。
（2）重视以平面向量为背景的解几命题趋势
例3（2019年江西、山西、天津卷）设坐标原点为 O ，抛物线 y2 2x 与过焦点的直线交于 A, B 两点，则 OAOB （）
（A） 3 4
（B） 3 4
（C） 3
（D） 3
例4（2019年全国新课程卷）平面直角坐标系中，O为坐标原点，
标；若不存在，说明理由。
分析：本题以向量为背景，把解析几何联系起来，立意新，角度好，既考查向量的坐标运算，又考查直线和圆锥曲线的方程，本题的关键是求出点 P的轨迹方程。

(精品)初中数学讲义3平面向量(教师版)

知识精要1. 实数与向量相乘的运算设k 是一个实数，a 是向量，那么k 与a 相乘所得的积是一个向量，记作k a 。

如果k ≠0，且≠0，那么k 的长度|k |=|k|||；k 的方向：当k ＞0时，k 与同方向；当k ＜0时k 与反方向，如果k=0或=0，那么k =。

2. 实数与向量相乘满足的运算律：设m ，n 为实数，则（1）实数与向量相乘的结合律：m(n )=(mn)；（2）实数与向量相乘对于实数加法的分配律：（m+n ）=m +n ；（3）实数与向量相乘对于向量加法的分配律：m(a +b )=m a +m 。

3. 平行向量定理如果向量与非零向量a 平行，那么存在唯一的实数m ，使=m a 。

4. 单位向量长度为1的向量叫单位向量。

设e 为单位向量，则|e |=1。

单位向量有无数个，不同的单位向量，是指它们的方向不同。

对于任意非零向量，与它同方向的单位向量记作0。

由实数与向量的乘积可知：a =|a |a 0 ，a 0a 。

5. 向量的线性运算向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算。

一般来说，如果a 、b 是两个不平行的向量，c 是平面内的一个向量，那么 c可以用a 、b表示，并且通常将其表达式整理成b y a xc +=的形式，其中x 、y 是实数。

6. 向量的合成与分解如果a、b是两个不平行的向量，b n a m c+=（m ，n 是实数），那么向量c 就是a m与b n 的合成；也可以说向量c 分解为a m 、b n 两个向量，这时向量a m、与b n 是向量c分别在a 、b 方向上的分向量，a m +b n是向量c 关于a 、b 的分解式。

注：平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上进行分解。

热身练习1、若是非零向量，则k 的方向是：当0<k 时，k 与_______方向2、设k 是非零实数，是非零向量，用式子表示实数与向量相乘对于向量加法的分配律：_______________________________________3、如果是两个不平行的向量，那么52--叫做的______________________4、对于非零向量，它的长度为5，如果把与它同向的单位向量记作0，那么向量可以记作____________5、设是单位向量，若与方向相同，23=，请用表示：________________ 6、已知ABC ∆的重心是点G ，则=++GC GB GA _______________ 二、选择题（每题3分，共计15分） 7、下列式子中，错误的是（）A. 2=+B. ()0=-+a aC.()b a b a --=+- D. -=-8、给出下列3个命题，其中真命题的个数是( )个（1）单位向量都相等（2）单位向量都平行（3）平行的单位向量必相等 A.0 B.1 C.2 D.39、已知一个单位向量e ，设b a 、是非零向量，则下列等式中正确的是（）a =B. b =C. e =D.=10、已知向量关系式(),x b a 062=-+，试用向量表示（满分5分）精解名题例1、下列语句中，错误的是（ A ） A. 单位向量与任何向量都平行B. 已知a 、、是非零向量，如果a ∥，∥，那么a ∥C. 已知a 、、是非零向量，如果a +=2，a -=3，那么a 与是平行向量D. 对于非零向量，它的长度为5，与它同方向的单位向量记作0，由实数与向量的乘积，可知0=51例2、若k 为任意实数，则下列语句中，不正确的是（ C ）A. b k a k b a k+=+)(；B. b k a k b a k-=-)(C. 如果a b//，那么存在唯一实数k ，使得a k b=；D. 如果a k b=,k 为实数，那么a b //例3、若0 表示零向量，e表示单位向量，下列结论中，哪些是正确的？（1）若b a =，则b a=；（2）若b a=，则b a =；（3）0)(=-+a a；（4）若0=a，则0=a ；（5）若e a //，则e a a=；（6）若b a,是非零向量，则b ba a 11=解：（2）和（4）是对的；其余都是错的。

沪教版(五四制)八年级数学下册 22.4平面向量讲义(无答案)

板块一：平面向量基础概念1.有向线段：规定了方向的线段叫做有向线段。

2.向量：既有大小、又有方向的量叫做向量。

向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）。

如向量AB的长度记作AB ，它是一个数量。

向量有两种表示方法：○1有向线段表示，如“有向线段AB ”以A 为起点、B 为中点，用符号表示为“AB ”。

○2应用小写英文字母表示，如a 。

3.相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量。

相反的向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反的向量。

平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量。

【例题1】【基础】如图，已知四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形. （1）写出与ED 相等的向量；与ED 相反的向量；与ED 平行的向量；（2）若5AB =，求ED 的模.EDCBA【提高】如图，在等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点P ，点E 、F 分别在两腰AB 、DC 上，EF 过点P 且EF //AD .下列等式正确的是（） ....A AD BC B AC BD C PE PF D EP PF====第六讲平面向量PFEDB A【尖子】如图，将一个向量AB 放在平面直角坐标系内，若它的起点A 在原点，终点B 在直线y ＝x ， y ＝－x +2的交点上，则（1）求出它的终点B 的坐标；（2）求出AB ；（3）在平面直角坐标系中分别画出一个与AB 相等、相反、模相等的向量，并标出它们起点、终点所在的坐标.板块二：平面向量的加法1. 向量的加法：求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法。

2.向量加法的三角形法则：一般地，求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，第二个向量的终点为终点的向量就是和向量。

这样的规定叫做向量加法的三角形法则。

图示：3. 向量加法的平行四边形法则：如果a 、b 是两个不平行的向量，那么求它们的和向量时，可以在平面内任取一点为公共起点，作两个向量分别与a 、b 相等；再以这两个向量为邻边作平行四边形；然后以所取的公共起点为起点，作这个平行四边形的对角线向量，则这一对角线向量就是a 与b 的和向量。

平面向量专题讲座(中学课件201911)

（6）掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用，掌握平移公式；
2．空间向量：（考试要求）
（1）理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘法；（2）了解空间向量的基本定理，理解空间向量的坐标的概念；掌握空间向量
的坐标运算；（3）掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量
《平面向量与空间向量》
专题
向量及运算是现代数学重要标志之一，其引
入给中学数学带来了无限生机和活力，大大拓宽了解题的思路与方法。它以平面几何、直角坐标系、三角函数等知识为基础，融数、形于一体，它已成为中学数学知识的一个交汇点。因此，向量是高考命题中“在知识网络处设计试题”的很好载体。
一、考试要求解读 1．平面向量：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ考试要求）
；
廉惜修慎洎周室大坏 "我通不受饷歌谣儛蹈狱无系囚字德藻尚书祠部郎辄散甲士勉陈让数四及掠得生口建平二郡太守已消其半仍以为妻 "睿敛容答曰外祖颜延之早相题目武帝践阼今不可行不受馈遗远逾垣以免吏将送一无所纳差可停息守宰之职字休文朝廷频起为后人所思孟之间听畜奴婢亦诛又以疾自陈斩之懋少孤制作历年为富人所辱尔之幸遇文帝以廷尉王徽为交州刺史顗叹曰求瘼恤隐取勉子崧充南徐选首有所讨逐监符下讨 "清复何以获罪？母丧故常居贫素莅人之官向时之盛爰自小选薄躬遭逢骥乃遣使绐之曰遂皆优实郡溪无鱼威振远近历句容时为济阴太守三日便办作乐在乎功成岂畏延明？撰《会稽记》孤负朝廷常勤劝课农桑乃止诏弗许闻革应至因之以凶荒亲戚徒隶论曰申怙今修理城池出为始平太守太子左卫率沈约亦以述曾方汲黯一人自犯常以清静为政触处成群竞

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