第十一章流力学

第十一章 流体力学从运动的形式上来讲,我们已经研究了平动、转动和波动，本章我们将在力学普遍规律的基础上进一步研究机械运动运动的另一种形式——流体的流动。

所谓流体它是液体和气体的总称，它们最鲜明的特点是流动，流动性赋予流体生命气息，无论是涓涓细流还是洋洋江河，都使人感到富有生气，相形之下，固体就显得呆滞了。

所以流动性使流体区别于固体的主要特征。

本章我们的主要目的使研究流体流动的规律，为此我们将主要做以下几方面的工作： 1、学习流体力学的一些基本概念2、从质点组的动能定理出发，推到出理想流体流动的基本动力学方程——伯努力方程（重点内容）3、研究粘性流体的运动规律。

今天学习 §11.1理想流体§11.2静止流体内的压强 §11.3流体运动学基本概念所做工作：1.讨论流体的压缩性和粘性，由此建立理想液体的概念 2.学习流体运动学的几个基本概念3.建立流体流动的基本规律—连续性原理（连续性方程）§11.1理想流体我们都知道，对一个具体的或实际的物理问题往往是相当复杂的，可能于多种因素有关，然而，并不是在所有的场合下，都需要把全部复杂因素都通通考虑，我们可以针对不同的情况做适当的简化，以突出事物或问题的主要因素，例如，质点、刚体、简谐振动等都是对实际问题简化的结果。

在对流体力学问题的研究中，我们经常用的简化有两个：（1）假设流体的密度常数=ρ，即认为流体不可压缩。

说明：（I ）此处不可压缩并不是说流体内部压强不随时间和空间改变，而是说压强的变化如此“微小”和 “缓慢”以至于相对密度的变化完全可以忽略。

（II ）无论气体和液体都是可压缩的，不过相对之下液体比其他难压缩得多，但并非液体总能看作是不可压缩的，而气体总不能看作是不可压缩的。

（III ）把流体密度ρ看作常量的条件是相对的。

可以引入一个叫马赫数的量，来描述流体的压缩性定义：声速流速=M若12〈〈M 既流体的流速总小于媒质中的声速，即为不可压缩流体流体液体气体特征：流动性（相对于固体而言） 原因：流体各部分之间很容易发生相对运动，因而流体没有固定形状，其形状随容器的形状而定，故表现位流动性反之，12≈M 或 12〉M 即为可压缩流体（2）假设流体是如此之“稀”，以至于粘性完全可以不考虑，而认为流体无粘性。

说明：改简化的使用一定要非常的小心，因为在有些情况下，粘性在流体运动中起着非常重要的主导地位。

概括以上两条假设，人们把完全不可压缩的无粘性流体叫做理想流体。

§11.2静止流体内的压强对于流体来讲，压强这一概念非常重要，它所表征的是流体内各部分之间的相互作用。

研究流体内各部分之间相互作用的方法和研究弹性体内部的方法相似。

具体的讲就是说“应力”的概念同样也适用于流体，只不过在静止流体中切应力恒为零，剩下的只有正压力，实际上静止流体内的压强就是正压力在静止流体内的具体表现形式。

下面我们就来讨论静止流体内一点的压强。

（一）静止流体内一点的压强 如图所示，设想在静止流体内某一位置沿某一方向取一微小的假想截面，这个假想截面将附近流体分成两部分。

不难想象，当我们把s ∆一侧的流体移去，则另一侧的流体必将流过来填补，而不能保持平衡，具体地讲就是说当s ∆一侧的流体存在时，另一侧的流体可以维持其平衡而处于静止状态。

当s ∆某一侧的流体被移去，则另一侧的流体就过来补充，而不能维持其平衡。

由此可见，在静止的情况下，在s ∆的某一侧的流体必有作用力F ϖ∆作用于另一侧的流体。

总之在静止的流体内部各部分之间存在着作用力。

先假设这两部分之间相互作用力分成与假想截面为垂直和平衡的二分力。

下面先讨论与假象截面相切的力//F ϖ∆，大量关系表明：静止流体内任意假象截面两侧的流体之间不会产生沿截面切线方向的作用力，即0//=∆F ϖ也就是说，静止流体不具备弹性体那样抵抗剪切形变的能力，（即没有剪切弹性）这也正是流体具有流动性的原因。

例如（1）在重力场中静止流体表面总是保持水平（2）静止在液面上的木板，无论在多小的推力下都能移动所以在静止流体内任意假想截面两侧的流体间只有与截面垂直的相互作用力⊥∆F ϖ，又因为相互作用是“顶位”另一侧流体，使其平衡，所以⊥∆F ϖ往往是压力，故用SFP ∆∆=//FF F ϖϖϖ∆+∆=∆⊥正压力 剪切应力(或称内摩擦力)表示作用在S ∆上平均单位面积上的压力——叫做平均压强因为平均压强度量值一般情况下不仅与假想截面的位置有关，而且与S ∆的大小有关。

所以，平均压强只能对流体中压力的分布做一种近似的描述。

要精确的描述流体内各点处压力大分布，与我们描述运动快慢及运动状态变化快慢相似，需要求平均压强的极限值SFP s ∆∆=→∆0lim称之为与无穷小假想界面dS 相对应的压强讨论P 与dS 的方位的关系 如图所示，在静止流体中某一点的周围，用假想截面画出一微小的三棱直角柱体作为隔离体 三棱直角柱体该隔离体在oxy 平面内受力情况如图所示，n x y m ∆∆∆=∆21ρ分析x P 、y P 、n P由平衡方程有 0cos =∆∆-∆∆αl n P l y P n x 021sin =∆∆∆-∆∆-∆∆ng x y l n P l x P n y ρα ∵x n ∆=∆αsin y n ∆=∆αcos0=∆∆-∆∆l y P l y P n x n x P P = 021=∆∆∆-∆∆-∆∆ng x y l x P l x P n y ρ y g P P ny ∆=ρ21令0→∆∆∆∆n l y x 、、、（相当于在某点处取三个方位不同的无穷小假想截面）得沿x 轴边长为 x ∆沿y 轴边长为y ∆ 沿z 轴边长为z ∆ x P 截面上的压强 n Py Py n x P P P ==由此可见：对静止流体内一点各不同方位无穷小面元上的压强大小相等。

因此可以认为静止流体内的压强说与一定的空间点相对应而不必强调是哪一个假想面元。

于是给出静止流体内一点压强度概念：静止流体内一点的压强等于过此点任意一假想面元上正压力大小与面元面积之比当面元面积趋于零时的极限。

SFP s ∆∆=→∆0lim在工程技术上，压强也叫压力（二）静止流体内不同空间点压强的分布通过上述分析，我们看到流体微团—隔离体受到两种力的作用： 压力（作用包围微团的假想截面上）—面积力 重力（作用在微团的全部体积上）—体积力静止流体内任一点的压强分布与体积力分布有关，如图所示， 设给曲线B B BB ''、上各点切线与该点处体积力重合 设给曲线A A AA ''、上切平面与该点处体积力垂直 取微团——小正方体 长——l∆ （x 轴）宽——n ∆ （取向如图） 高——y ∆ （y 轴） 左端面积： y n ∆∆，压强:P 右端面积： y n ∆∆，压强:P P ∆+ 上底面面积：x n ∆∆，压强:P P '∆+'下底面面积：x n ∆∆，压强:P ' 纸面内该力的平衡，沿x ∆方向()0-=∆∆∆+∆∆y n P P y n P有 0==∆dP P表明在与体积力垂直的曲线上，相邻两点压强相等，或压强差为零，同理很容易推证与体积力垂直的曲面上各点点压强相等。

通常把压强相等的诸点组成的面称为等压面。

因此，等压面与体积力互相正交。

沿oy 方向有平衡方程：()0-=∆∆∆-∆∆+∆∆∆+∆∆l n y l n P l n P P y n P ω其中ω——体积力密度（单位体积流体受到的体积力） 化简齐之 l dl ∆=n dn ∆=P dP ∆= 有dy dP ω-=y dy ∆=或ω-=dydP给出该体积力方向压强的变化率 是描述静止流体内压强分布的场强量——压强梯度（变化最大的方向） 讨论：液体处在均匀重力场中平衡重力体积力沿铅直方向向下 等压面——水平面 g ρω=则有：dy dP g -ρ= 当0〉dy 0〈dP 即在重力作用下，静止流体内的压强随流体高度的增加而减小 设 1P ——1y 高度处压强2P ——2y 高度处压强有⎰⎰-=2121y y p p gdy dP ρ ⎰-=-2112y y gdy P P ρ若const =ρ 即不可压缩流体（如液体），则有()1212y y g P P --=-ρ给出不同高度压强差（如图）gh P P ρ-=-12 gh P P ρ+=21gh P P ρ+=01 深度为h 处的压强（中学）（三）相对非惯性静止的流体惯性力——体积力等压面与体积力相互正交§11.3流体运动学基本概念（一） 流速、流线和流管 研究流体运动的方法有两个：（1）Lagrange 方法：将流体分成许多无穷小微团，求出它们各向的运动轨道。

称做流迹。

这实际上是沿用质点组动力学的方法来处理流体的运动。

()t v r r r ,,00ϖϖϖ=（2）Euler 方法：把注意力集中在各空间点，观察流体微团流过每个空间点的流速v ϖ，寻求它的空间分布和随时间的变化规律。

一般情况下：()t z y x v v ,,,ϖϖ=实际上流体微团是很难区分的，跟踪每一个流体微团的轨迹也没有多大意义，所以Euler 方法比Lagrange 方法更为有效，在流体力学中得到广泛的应用，下面我们注重学习欧勒方法。

流速场:任一时刻每一点均有一定的流速矢量与之相对应的空间 流线：流速场中每一点的切线方向和位于该点处流体微团的速度方向一致的曲线 流管：通过封闭曲线上各点的流线所围成的细管显然流管内的流体，不能穿越管外，管外的流体也不能穿越到管内。

一般说来，流速与流线并不重合，如图所示实线——t 时刻的流线设A 处微团B A dt→但当到达B 处时即dt t +：虚线——流线，微团将沿B 处虚线的切线运动。

原因：流线在空间（速度场）的分布随时间改变，即()t z y x v v ,,,ϖϖ= （二）定常流动当()t z y x v v ,,,ϖϖ= 称此种流动为定常流动此时：流线、流管均保持固定的形状和位置，且流速与流线相重合。

（三）不可压缩流体的连续性方程 1、流量s v t sl t V t t ∆=∆∆∆=∆∆=→∆→∆lim limα t ∆时间内通过流管某横截面s ∆的流体体积V ∆与t ∆之比且当0→∆t 时的极限。

细流管：①各流线平行 ②同一截面上各点流速相同2、连续性方程根据流量的性质，流体不能通过管壁，流入或流出流管。

再考虑到流体不可压缩性，根据质量守恒由 332211s v s v s v ∆=∆=∆ 即恒量=∆s v即对不可压缩流体，通过流管各横截面的流量都相等，叫作不可压缩流体的连续性方程，并1v ϖ 2v ϖ 2s 1s称之为不可压缩流体的连续性方程。