一种改进boltzmann-matano公式的扩散系数的计算方法
偏微分方程求解的一种新颖方法——格子Boltzmann模型
７ ６ 邻 节 点
大 学 数 学
第２ ７卷
） 撞 ， 一 个 节 点 上 从 相 邻 节 点 运 动 来 的 粒 子 发 生 碰 撞 ， 据 质 量 、 量 和 能 量 守 恒 规 则 改 碰 在 根 动
其 中 ｒ 松弛 时间 尺度 ， 制达 到平衡 的速 度 （ 是 控 可根据 需 要 进行 设 置 ） 由于稳 定 性 的原 因 ， 过 实 际测 ， 经 算 ｒ必须 大于 １ｅ ／．
事 实 上 不 同 的 网 格 剖 分 有 着 不 同 的平 衡 分 布 函数 ， Ｂ 建 立 模 型 的 核 心 问 题 就 是 根 据 不 同 的 网 格 Ｌ Ｍ
［ 键 词 ］ 格 子 Ｂ ｌ ｍａ ｎ方 法 ； 衡 态 分 布 函 数 ； Ｑ 关 ｏｔ ｎ ｚ 平 Ｄ２ ９模 型 ； ａ ｉ — ｔｋ ｓ 程 ； 流一 扩 散 方 程 Ｎ ｖｅ Ｓｏ ｅ 方 ｒ 对 ［ 图 分 类 号 ］ Ｏ２ １ ８ 中 ４ ．２ ［ 献标识码］Ａ 文 ［ 章 编 号 ］ １７ —４ ４ ２ １ ） ３０ ７ —８ 文 ６ ２１ ５ （０ １ ０ —０ ５０
在 低 Ｍａｈ 马赫 ） 的假 设下 （ ｌ ｃ）其 中粒子平 衡态 分布 函数 为 ｃ（ 数 Ｉ ， Ｕ《
～ Ｐ
［ ＋ 一 ］ ＋
且
Ｃ ＝ｃ ４ ／ ￣，
。 ／， 一４ ９
１ Ｕ 一 ３ 一（２ 一 ４ １ ９， ∞ 一 ６ ７ ８ １ ３ ， — ／ ５ 一∞ 一∞ — ／ ６
第２ ７卷 第 ３期
boltzmann方程整体解的研究历史
一、介绍Boltzmann方程Boltzmann方程是理论物理学中的一种重要方程，它描述了气体分子运动的统计行为和气体的动力学性质。
由于Boltzmann方程的复杂性和重要性，其整体解的研究历史也是一个充满挑战和机遇的过程。
二、Boltzmann方程整体解的初步探索在19世纪末和20世纪初，Boltzmann方程的整体解成为物理学家们关注的热点问题。
Maxwell、Boltzmann等科学家通过建立分子动力学模型和统计物理学的方法，对Boltzmann方程进行了初步的探索和研究。
三、Chapman-Enskog方法的提出随着20世纪的发展，Chapman-Enskog方法被提出并用于对Boltzmann方程进行精确求解。
这一方法通过对气体分子的速度分布、碰撞频率等参数进行精细的分析和计算，成功地得到了Boltzmann方程的一些重要解析解。
四、近似解与数值解的发展随着计算机技术和数值分析方法的发展，物理学家们开始对Boltzmann方程进行数值模拟和近似求解。
Adams、Knudsen等学者提出了一系列有关稀薄气体动力学的数值方法和近似解，为Boltzmann方程的整体解研究提供了新的思路和工具。
五、玻尔兹曼方程整体解的困难与挑战尽管Boltzmann方程的研究取得了一定的进展，但其整体解仍面临着诸多困难和挑战。
Boltzmann方程的高维性和非线性特性使得其整体解的研究成为一个十分复杂和耗时的过程，需要借助先进的数学分析方法和计算工具。
六、现代物理学中Boltzmann方程整体解的应用虽然Boltzmann方程的整体解并未完全实现，但其在现代物理学中的应用仍然十分广泛。
Boltzmann方程作为描述气体分子运动的基本方程，对于大气物理、固体物理、等离子体物理等领域都具有重要的理论和应用价值。
七、展望随着数学方法和计算技术的进步，相信Boltzmann方程整体解的研究将取得新的突破和进展。
也需要跨学科合作，将物理学、数学、计算机科学等多个领域的知识和技术相结合，共同推动Boltzmann方程整体解研究向前发展。
boltmann方程
boltmann方程Boltzmann方程是统计力学中的一个重要方程，它描述了粒子在气体中运动的统计行为。
本文将从人类的视角出发，以生动的语言描述Boltzmann方程的含义和应用。
我们来了解一下Boltzmann方程的背景和意义。
在热力学中，我们常常关注的是宏观物体的性质和行为，而Boltzmann方程则从微观角度描述了气体分子的运动状态。
它基于分子动力学理论，通过统计分析粒子的速度和位置分布，从而推导出气体的宏观性质。
Boltzmann方程的形式是一个偏微分方程，它描述了气体分子的速度分布函数随时间和空间的变化。
这个函数告诉我们，在给定时间和空间点上，有多少分子具有特定的速度。
而Boltzmann方程则告诉我们，这个速度分布函数随时间如何演化。
在实际应用中，Boltzmann方程被广泛用于研究气体的输运现象，比如热传导、扩散和粘滞等。
通过求解Boltzmann方程，我们可以得到粒子的速度和位置分布，从而计算出气体的宏观性质，比如温度、压力和粘滞系数等。
除了气体动力学，Boltzmann方程还在其他领域有广泛的应用。
在固体物理中，它可以用来研究电子在晶格中的输运行为。
在等离子体物理中，它可以用来描述等离子体中的粒子碰撞和输运过程。
在天体物理学中，它可以用来研究星际介质的行为。
然而，由于Boltzmann方程的复杂性，求解它是一项极具挑战性的任务。
传统的数值方法往往需要大量的计算资源和时间。
因此，研究者们一直在不断探索更高效的求解方法。
近年来，随着计算机技术的发展，一些新的数值方法和算法被提出，使得求解Boltzmann 方程变得更加可行。
总结一下，Boltzmann方程是描述气体分子运动行为的重要方程，它通过统计分析分子的速度和位置分布，揭示了气体的宏观性质。
在实际应用中，Boltzmann方程被广泛用于研究气体和固体的输运现象，以及其他领域的物理现象。
虽然求解Boltzmann方程面临着挑战，但随着技术的进步，我们相信会有更多的突破，为我们揭示更多奥秘。
扩散制作PN结
第五章扩散制作PN 结Pfann在1952年提出采用扩散技术改变硅或锗的导电类型的设想[1]。
此后，人们对如何用扩散方法将掺杂剂引进硅中又提出种种设想，其研究目标是如何控制硅中掺杂剂的浓度、均匀性、重复性以及大批量生产过程中如何降低成本。
现在，扩散作为一项基础核心技术在半导体元器件制造工艺中得到广泛的应用。
我们可以使用下列方法将掺杂剂原子引入硅中：⑴高温下汽相形成的化学源扩散；⑵掺杂氧化物源的扩散；⑶离子注入层的退火与扩散。
离子注入层的退火是为了激活注入原子和减少离子注入造成的晶体损伤。
当退火在高温下进行时，扩散便同时发生。
在集成电路工艺中离子注入有着广泛的应用。
扩散研究的另一方面是改进由实验数据而来的扩散模型，从理论分析预测所得到的扩散结果。
最终目标是根据工艺参数来计算半导体器件的电特性。
扩散理论主要从以下两个方面发展，即Fick扩散方程的连续性理论和涉及到点缺陷、空位和填隙原子以及杂质原子间相互作用的原子理论。
连续性理论是根据具有适当的扩散系数的Fick方程的解来描述扩散现象。
掺杂元素的扩散系数可以根据表面浓度、结深或浓度分布等实验测试和Fick方程的解来确定。
杂质浓度不高时，测得的扩散分布性能良好，并且与扩散系数为常数的Fick方程相符合。
在这些情况中，原子怎样运动并不知道。
而当杂志浓度较高时，扩散浓度与简单扩散理论所预言的结果有偏离，而且杂质扩散还受简单Fick扩散定律未考虑在内的其他因素的影响。
因为扩散分布的测量揭示出扩散效应对浓度依赖性，所以高浓度扩散须应用与浓度有关的Fick扩散方程。
与浓度有关的扩散系数已由Boltzman—Matano分析或其他的解析式决定。
基于缺陷—杂质相互作用的原子扩散模型用来解释与浓度有依赖关系的扩散系数和包括快速热处理（RTP）、快速热扩散（RTD）过程的其他反常扩散所得到的实验结果。
原子扩散理论依旧处于积极的发展状态中。
许多扩散理论和实验结果已经归并入各种工艺模型中。
boltmann方程
Boltzmann方程一、背景介绍Boltzmann方程是描述气体动力学行为的基本方程之一，它由统计物理学家路德维希·玻尔兹曼于19世纪70年代提出。
玻尔兹曼方程是描述气体内各种分子的速度分布函数随时间和空间的变化规律，对于研究气体动力学过程和宏观性质具有重要意义。
二、Boltzmann方程的数学表达式Boltzmann方程可以用下面的数学表达式来表示：∂f ∂t +v⃗⋅∇f=(∂f∂t)coll其中，f(r⃗,v⃗,t)是速度分布函数，描述了气体分子在位置r⃗、速度v⃗和时间t的概率密度。
方程的左侧∂f∂t+v⃗⋅∇f表示速度分布函数随时间演化和速度空间的变化趋势。
右侧(∂f ∂t )coll表示分子之间的碰撞引起的变化。
三、方程的物理意义Boltzmann方程描述的是气体分子的动力学行为。
通过求解方程，可以得到气体的速度分布函数，从而得到气体的各种性质，如温度、压力等。
气体分子的速度分布函数f(r⃗,v⃗,t)可以用于计算气体的宏观性质。
例如，通过速度分布函数可以求解气体的平均速度、平均能量等。
此外，通过速度分布函数还可以推导出气体的输运性质，如扩散系数、黏度等。
Boltzmann方程在研究气体动力学过程中具有重要的应用价值。
通过对方程的求解，可以揭示气体分子运动的规律，进而推导出更加深入的结论。
四、求解Boltzmann方程的方法求解Boltzmann方程是一个复杂的数学问题。
由于方程中包含非线性项，使得求解变得困难。
目前，求解Boltzmann方程主要有两种方法。
一种是直接求解，即以计算机模拟的方式进行。
这种方法计算量大，但精度较高，能够得到一定范围内的准确解。
另一种方法是采用一些近似方法，例如Boltzmann方程的线性化、BGK（Bhatnagar-Gross-Krook）模型等。
这些方法在降低计算量的同时，可能会引入一定的误差。
五、Boltzmann方程的应用Boltzmann方程广泛应用于多个领域，如天体物理学、等离子体物理学、气体动力学等。
Perona-Malik去噪模型扩散系数的改进
边缘 ； 如果 Ｓ Ｋ， ＜ 则 迅速减小 ， 使扩散系数迅 速 增 大 ， 够更 好 的消 除噪声 。 能
此外 ， 由于 有些 噪声 的梯 度值 很 大 ， 在平 滑过 程
中被作为图像特征保留 了下来 ， 严重 的影响了图像 的视觉效 果 ， 因此 有 必 要 去 除这 些 噪声 点 【ｊ 些 ２。这 ２ 噪声点有一个重要 的特性就是 比它周围像素的值大
首 先 ， ｅｏ ａ— Ｍａｋ 模 型 的 平 滑 效 果 比 较 Ｐ ｒｎ ｌ ｉ
１ Ｐ ｒｎ —Ｍａｋ模 型 及 其 不 足 ｅｏ ａ ｌ ｉ
１ １ Ｐ ｒｎ —Ｍａｉ 型 ． ｅｏ ａ ｌ ｋ模
差 ［ｌ ５， 假设 当前 像 素 Ｐ是 一 孤 立 的 噪声 点 ， 果 该 如 点 与邻域 中 的每 个 像 素 ｑ相 比， 度 值 差 距 都 很 灰
程（ ）将得到一组逐渐平滑的图象 “ ｚ， ，） １， （ Ｙｔ
ｊ ［ ｌ］ Ｉ Ｏ ｕ 幻
【 Ｘ Ｙ０ （ ， ，）＝Ｕ（ ，）ｔ ［， ］ 。ｚ Ｙ ， ∈ ０ Ｔ
收稿 日期 ：０ ００ —１ ２ １—５１
扩散 而 （ 特 征 的位 置上 ， 速度应 该 降低 ， 在没有 明显 特 １ ） 征 （ 度变 化平 缓 ） 灰 的地 方 ， 散 速度 应 增 加 。但是 扩
作者简介 ： 周
千 （９ １ ， ， １ ８ 一）男 山西省 大同市人 ， 硕士研究生 ， 助教 ， 研究方 向为基 于偏微分方程 的图像处理 。
第５ 期
周千 ：ｅｏ ａ Ｐ ｒｎ —Ｍａｉ ｌ ｋ去噪模型扩散系数 的改进
６ ７
在实 际应用 中 ，ｅｏａ Ｐｒｎ —Ｍａｉ 出 的扩 散 系数 在 遇 ｌ ｋ提 到图像 特征 明显 的地 方 时 ， 散 速 度 并 不 能 很 快 的 扩 降下来 ， 而使 得 图像特 征被 平滑 掉 ； 从 而在 没有 明显 特 征 的地方 ， 扩散 速度 并不 是 很快 。
格子boltzmann方法的理论及应用
格子boltzmann方法的理论及应用
格子波尔兹曼方法(Grid Boltzmann Method, GBM)是一种非离散化处理方法，其基本
思想是在空间上采用格点，并建立格点微分方程组来解决复杂流体或者其他相关物理问题. GBM以较少的计算量就可达到快速、精确求解流体动力学问题，而且将空间和时间分离，
大大减少计算量和存储量，可以说是比传统有限元技术和有限差分技术更加有效的一种方法.
格子波尔兹曼方法的具体原理是：格子波尔兹曼方法是将空间上的解释解划分成一系
列的蒙特卡洛格子点，这样可以以非离散化处理。
针对与流体物理仿真相关的变量，以格
点位置为基底，可以使用波尔兹曼分布Y(v)来描述，将原本复杂的多体相互作用模型转化为简单的蒙特卡洛定值模型，由此通过空间离散的方式可以求解波尔兹曼方程；具体的应
用也很广泛，可以应用在流体动力学中，可用来模拟很多液体问题，比如湍流传播和燃烧
等方面；在地形风化中可以用来模拟流域洪水演变和地形演化、土壤流失问题；在水质污
染领域，可以用来模拟河流污染物质运行规律；在非牛顿流体中，可用来模拟非牛顿流体
动力学问题；在金属粒子、微粒或者多组分液体中，可用来模拟粒子间相互作用，甚至可
以应用在非弹性波中进行数值模拟.
格子波尔兹曼方法因其独特的优越性深受广泛重视，在国内外都有大量的研究，结合
其他的数值方法，用于模拟复杂的流体物理系统，改善计算效率，提高建模的准确性。
GBM具有更快的计算速度和精度优势，在现代的科学技术领域有着广泛的应用，如流体动
力学，地形风化，水质污染等问题。
该方法不仅可用作模拟计算复杂流体运动，而且可以
用于半定常及强力学分析中。
Boltzmann方程求解方法综述_陈伟芳
Boltzmann 方程求解方法综述X陈伟芳 吴其芬(国防科技大学航天技术系 长沙 410073) 摘 要 本文论述了Boltzmann 方程的求解方法,在分析了各类求解方法的优缺点之后指出目前M o nt e-Carlo 直接模拟方法是解决稀薄气体动力学问题的最佳方法。
关键词 稀薄气体动力学、Boltzmann 方程、M onte -Car lo 直接模拟方法分类号 V 211.25Methods for Solving Boltzmann EquationChen Weifang W u Q ifen(Depart ment of A ero space T echnolog y ,N U DT ,Changsha,410073)Abstract Va rio us metho ds fo r solving Bo ltzmann equat ion are discussed in t his paper.A fter analyzing the adv ant a-gesit and shor tcoming s of each metho d ,it is sho wn that at pr esent the dir ect simulation M onte -Car lo method is the best appr oach to solving rar efied gas dynamic pr oblems.Key words r ar efied g as dy namics,Boltzmann equatio n,direct sim ulation M onte -Carlo met ho d稀薄气体流动的控制方程是Bo ltzmann 方程[1]。
由于非线性Boltzmann 方程的复杂性,解析求解极其困难,时至今日仅得到以Max w ell 平衡分布为代表的少数几个解析解[1]。
固态中原子及分子的运动
4/3/2024
1
二、固态金属扩散的条件
由于固态金属中原子间结合力比气体、液体大得多，其扩 散也不易、需具备下列条件才能扩散:
1、温度（T）要足够高 只有T足够高，才能使原子具有足 够的激活能，足以克服周围原子的束缚而发生迁移。如Fe 原子在500℃ 以上才能有效扩散，而C原子在100 ℃ 以上 才能在Fe中扩散.
据此可以导出扩散系数D与迁移率B的关系如下：4.41 式（P142）
对于理想固溶体或稀固溶体,则有
D=kTBi 称为能斯特_爱因斯坦(Nernst—Einstein)方程。
所以在理想固溶体或稀固溶体中,不同组元的扩散速率 仅取决于迁移率的大小。
对于一般实际固溶体,该结论也是正确的。
当D>0为下坡扩散；当D<0为上坡扩散。
总之,决定组元扩散的基本因素为化学势差μi/зxi,扩
散总是导致扩散组元的化学势差减小,直至为零。
4/3/2024
13
4.2.3 上坡扩散及其影响因素
除了化学势差外,引起上坡扩散还可能是:
弹性应力的作用:晶体中存在弹性应力梯度,促使 较大原子半径的原子跑向点阵伸长部分,较小原子 跑向受压部分,造成固溶原子的不均匀分布;
3.衰减薄膜源——表面沉积过程 。
求解方法同上，特解为（式4.16、4.18 ）
4.成分偏析均匀化
固溶体合金在非平衡凝固条件下,晶内会出现枝晶偏析, 通过均匀化退火,使溶质原子从高浓度区流向低浓度 区,最终浓度趋于平均质量浓度.
t= 0.467λ2/D
在给定温度下,D是定值,枝晶间距λ越小,则所需的扩散 时间越少.可通过快速凝固,热锻,热轧等打碎枝晶,有 利于扩散.
晶体内扩散Dl < 晶界扩散Db < 表面扩散Ds
有限体积格子Boltzmann方法的算法改进及性能分析
有限体积格子Boltzmann方法的算法改进及性能分析武频;曹啸鹏;尚伟烈;郑德群;高升【期刊名称】《计算机应用研究》【年(卷),期】2012(29)10【摘要】有限体积格子Boltzmann方法(LBM)能够将标准LBM的应用范围扩展到非结构网格,但是比起标准的LBM这个方法需要更多的内存用量和计算量.针对此问题采用了优化计算顺序、简化计算方程的方法对有限体积LBM算法进行改进.科学的分析和实验的结果表明,改进后的算法能够在不增加计算量的基础上减少内存用量,在一些情况下还可以大量减少计算时间.%Finite volume lattice Boltzmann method ( LBM) can extend the standard LBM to unstructured mesh, but compared with standard LBM this method suffers from higher memory consumption and poorer computational performance. In order to solve this problem, the improvement process used the methods of optimizing evaluation order and simplifying calculating equation. Scientific analysis and experimental results demonstrate that the improved algorithm results in lower memory usage without additional computation, and in some conditions it reduces much computation.【总页数】4页(P3706-3709)【作者】武频;曹啸鹏;尚伟烈;郑德群;高升【作者单位】上海大学计算机工程与科学学院,上海200072;上海大学计算机工程与科学学院,上海200072;上海大学计算机工程与科学学院,上海200072;上海大学计算机工程与科学学院,上海200072;上海大学计算机工程与科学学院,上海200072【正文语种】中文【中图分类】TP391【相关文献】1.异构平台下格子Boltzmann方法实现及性能分析 [J], 张丹丹;徐莹;徐磊2.基于格子Boltzmann方法和有限体积法的方柱绕流特性对比分析 [J], 史冬岩;李红群;王志凯3.基于非结构化网格的高可扩展并行有限体积格子Boltzmann方法 [J], 徐磊;陈荣亮;蔡小川4.有限体积格子Boltzmann方法用于近空间连续流区绕流模拟 [J], 皮兴才;李志辉;彭傲平;张子彬5.格子Boltzmann并行程序的优化与性能分析 [J], 赵鹏;张丹丹;汪鲁兵;田振夫;钱跃竑因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
纳米团簇的变分蒙特卡罗和扩散蒙特卡罗方法研究--优秀毕业论文
硕士学位论文纳米团簇的变分蒙特卡罗和扩散蒙特卡罗方法研究NANOCLUSTER RESEARCH USING VARIATIONAL MONTE CARLO AND DIFFUSION MONTE CARLOMETHODS徐荣政2009年6月国内图书分类号：O561.4 学校代码：10213 国际图书分类号：539.19 密级：公开理学硕士学位论文纳米团簇的变分蒙特卡罗和扩散蒙特卡罗方法研究硕 士 研究生：徐荣政导 师：霍雷教授申请学位级别：理学硕士学 科：粒子物理与原子核物理所 在 单 位：理学院物理系答 辩 日 期：2009年6月授予学位单位：哈尔滨工业大学Classified Index: O561.4U.D.C: 539.19Dissertation for the Master Degree in ScienceNANOCLUSTER RESEARCH USING VARIATIONAL MONTE CARLO AND DIFFUSION MONTE CARLOMETHODSRongzheng Candidate: XuSupervisor: Prof. Huo LeiAcademic Degree Applied for: Master of ScienceSpeciality: Particle Physics and Nuclear Physics Affiliation: Department of PhysicsDate of Defence: June, 2009Institute of TechnologyDegree-Conferring-Institution: Harbin哈尔滨工业大学理学硕士学位论文摘要纳米团簇是当前科学研究的重点，量子理论是纳米团簇理论研究的基础。
当前，有许多种研究纳米团簇的理论方法，如Hartree-Fock方法、后Hartree-Fock 方法和密度泛函理论（DFT）等，这些研究方法各有优劣。
一维热扩散方程的格子Boltzmann方法分析
一维热扩散方程的格子Boltzmann方法分析吴国忠，袁兆成，齐晗兵，李栋，刘杰（东北石油大学土木建筑工程学院，黑龙江省大庆市163318，wgzdq@）摘要：针对一维热扩散方程的数学特点，建立了热扩散方程离散速度模型，构造了其平衡态分布函数，采用Chapman-Enskog 展开和多尺度技术，构建了用于求解一维热扩散方程的D1Q3模型，进行了验证性数值实验。
实验结果表明，模型的数值解与文献的解析解吻合良好，其两者的误差随网格细化而大幅度减小，从而说明了本文构建的格子Boltzmann模型可用于求解一维热扩散方程。
关键词：一维热扩散方程；格子Boltzmann方法；Chapman-Enskog 展开；多尺度技术；数值模拟中图分类号：O241.82文献标识码：ALattice Boltzmann Method Analysis of One Dimension ThermalDiffusion EquationWu Guozhong, Yuan Zhaocheng, Qi Hanbing, Li dong, Liu Jie(Northeast Petroleum University, School of Civil and Architecture Engineering, Daqing, 163318，wgzdq@)Abstract：According to the mathematical characteristics of one dimension thermal diffusion equation, the discrete velocity model and an equilibrium distribution function of thermal diffusion equation were established. D1Q3 model was proposed for one dimension thermal diffusion equation using Chapman-Enskog expansion and multiscale technique. Verification experiments were conducted. The results show that the simulation results are consistent with analytic solutions. The absolute errors between the simulation and analytic solutions become smaller with the mesh refining. And the effectiveness of the lattice Boltzmann model to solve one dimension thermal diffusion equation in this paper is verified.Key words：one dimension thermal diffusion equation; lattice Boltzmann method; Chapman-Enskog expansion; multiscale technique; numerical simulation近年来，格子Boltzmann方法（LBM）在求解偏微分方程领域发展很迅速，特别是求解Navier-Stokes方程获得很大成功。
扩散
晶体中平衡位置上快速振动的原子，可借热激发获得能量，克服势垒而迁移到近邻位置，这样的原子迁移现象叫做原子扩散。
因为热能的定域涨落是随几的，所以由热激发引起的原子迁移也是随几漫步型的布朗运动。
扩散是固体中惟一的一种传质过程。
绝大多数高温固态反应，如固溶、沉淀、相变、再结晶，晶粒长大、蠕变、烧结、压焊等都是借固态扩散过程完成的。
完整晶体中的原子不能扩散，扩散过程必伴随着点缺陷（包括点阵空位、自填隙原子、填隙杂质原子）的输运。
空位和自填隙原子可由热激发产生，所以常称为热缺陷，它们也会在较低温度下辐照或范性变形时产生，并冻结在晶体之中（见晶体缺陷）。
扩散方程图1示晶体具有单位截面积时,扩散原子A沿扩散方向x的浓度分布。
在扩散区内和x轴正交的两个相邻原子面Ⅰ和Ⅱ上分别有n A1和n A2个A原子(单位面积上A原子的浓度)。
若A原子每次可以任意向＋x或-x方向跳跃，跃迁距离沿x轴的分量为Δx，跃迁频率为Γ,则每秒自Ⅰ跳到Ⅱ的A原子数为,自Ⅱ跳到Ⅰ的A原子数为,净流过中间虚拟平面S的扩散通量为：式中CΑ为每单位体积中的A原子数;是浓度梯度；负号表示扩散流朝向浓度低处；是扩散系数。
上式表明：每秒流过与扩散流正交的单位截面的扩散物质的量，正比于垂直这个截面的浓度梯度，这是斐克(FicK)第一定律。
图2示出在具有单位截面的试样中A原子的浓度分布。
在体积元d x内，A原子的积聚速率为；而流过平面Ⅰ和Ⅱ的扩散通量之差则为。
按照质量守恒定律,两者应相等。
将用泰勒级数展开，取其领先两项得：(2)故(3)代入式(1)得：(4)上式是有浓度梯度存在时的扩散方程，也就是斐克第二定律,此时扩散伴随着宏观的质量输运。
D是浓度的函数，叫做化学扩散系数或互扩散系数，常用符号愗表示。
在没有浓度梯度存在的情况下, 如纯金属 A加热后，也可根据热激活的A原子的随几漫步,推导出扩散方程：(5)其中D AA是随几漫步（无浓度梯度）的扩散系数,叫做真扩散系数。
boltzmann function方程
Boltzmann function方程是描述粒子能级分布的函数，由奥地利物理学家路德维希·鲍尔兹曼在19世纪提出。
该方程在统计物理学中有着广泛的应用，可以解释气体、固体和液体中粒子的能级分布情况，是研究热力学和热平衡状态的重要工具。
1. 基本概念Boltzmann function方程描述了系统中粒子的能级分布情况，根据这个方程，可以计算出系统中任意能级上粒子的分布概率。
对于处于热平衡状态的系统，粒子的能级分布服从玻尔兹曼分布律。
在热力学中，系统的熵可以通过粒子的能级分布计算得出，Boltzmann function方程在这方面有着重要的应用。
2. 方程表达Boltzmann function方程可以用以下公式表示：\[ f_i = \frac{g_i}{Z}e^{-\frac{E_i - \mu N}{kT}}\]在公式中，\( f_i \)表示第i个能级上粒子的分布概率，\( g_i \)表示第i个能级的简并度（即具有相同能级的粒子数），\( Z \)表示配分函数，\( E_i \)表示第i个能级的能量，\( \mu \)表示化学势，\( N \)表示粒子数，\( k \)表示玻尔兹曼常数，\( T \)表示温度。
3. 实际应用Boltzmann function方程在理论物理和实验物理中有着广泛的应用。
在研究原子、分子和固体物质的能级结构时，可以利用该方程计算出系统中能级的分布情况，从而推导出一些重要的物理性质。
在研究气体分子的能级分布时，可以利用Boltzmann function方程推导出玻尔兹曼分布律，并进一步得出系统的熵和内能。
4. 计算方法在实际计算中，利用Boltzmann function方程可以求解粒子在各个能级上的分布概率。
通过改变系统的温度、粒子数和化学势等参数，可以得到不同条件下系统中的能级分布情况。
这对于理论研究和实验数据的分析具有重要意义。
5. 发展与展望随着理论物理和实验物理的不断发展，Boltzmann function方程在统计物理学中的应用也在不断深化和拓展。
一种改进Boltzmann-Matano公式的扩散系数的计算方法[发明专利]
![一种改进Boltzmann-Matano公式的扩散系数的计算方法[发明专利]](https://img.taocdn.com/s3/m/b20a8c53fd0a79563d1e72b4.png)
专利名称：一种改进Boltzmann-Matano公式的扩散系数的计算方法
专利类型：发明专利
发明人：岳宏瑞,韦旺,薛向欣
申请号：CN201910562010.7
申请日：20190626
公开号：CN110263292A
公开日：
20190920
专利内容由知识产权出版社提供
摘要：本发明属于扩散系数计算技术领域，尤其涉及一种改进Boltzmann‑Matano公式的扩散系数的计算方法。
包括如下步骤：基于计算机程序，获取待计算的浓度分布曲线，通过变换积分变量，获取某一浓度下的浓度分布曲线与两个初始浓度曲线构成的包围面积A和A；将A与A相等时对应的浓度在x轴的位置确定为Matano面，并在原浓度分布曲线的坐标系里建立新坐标；获取某一浓度在新坐标下的浓度分布曲线及其与一个初始浓度曲线构成的包围面积A；获取所述某一浓度下的浓度分布曲线斜率k；结合A和斜率k，根据预先输入计算程序计算，得到浓度分布曲线的扩散系数。
该方法无需对数据进行Z型拟合而直接运用电子探针原始数据图形进行扩散系数的计算。
申请人：东北大学
地址：110169 辽宁省沈阳市浑南区创新路195号
国籍：CN
代理机构：北京易捷胜知识产权代理事务所(普通合伙)
代理人：韩国胜
更多信息请下载全文后查看。
球体吸收法测量建筑材料水蒸气扩散系数的研究
球体吸收法测量建筑材料水蒸气扩散系数的研究摘要：以典型多孔建筑材料加气混凝土为例，搭建了球体吸收法测量水蒸气扩散系数的实验台，通过不确定度分析及方法验证，探究了球体吸收法测量建筑材料水蒸气扩散系数的可行性与准确性。
得到结论：球体吸收法适用于测量多孔建筑材料的水蒸气扩散系数，且具有测量时间短、测量结果较准确等优点；对于加气混凝土来说，使用半时法计算水蒸气扩散系数比使用矩量法更加准确；加气混凝土的水蒸气扩散系数在相对湿度45%～80%之间逐渐增大，而在更高湿度中，由于液态水的出现，使得水蒸气扩散系数逐渐减小。
关键词：计量学；水蒸气扩散系数；加气混凝土；球体吸收法；不确定度1 引言水蒸气扩散系数,是描述以浓度梯度为驱动力的水蒸气传递能力的湿物理性质，是分析建筑围护结构热湿传递过程的重要参数[1]。
用准确可靠的方法测量多孔建筑材料的水蒸气扩散系数对围护结构的热工设计、室内热湿环境的分析及建筑能耗的计算具有重要的意义[2]。
目前测量水蒸气扩散系数较为成熟的方法为稳态法，该方法需使用干湿杯法测量得到材料的蒸汽渗透系数[3，4]，再依据材料的等温吸湿曲线计算得到其水蒸气扩散系数；该方法测量准确，但耗时较长，测量一次需要数周乃至数月的时间，为数据库的建立带来了很大的麻烦。
国内外学者在瞬态法测量水蒸气扩散系数上做了大量的研究。
例如，通过Boltzmann-Matano变换求解瞬态一维水蒸气扩散方程，以得到材料水蒸气扩散系数的方法[5]，该方法耗时较短，但为了获得样品内部的湿度分布，需在样品内部插入温、湿度传感器，传感器探孔会破坏样品的内部结构，且对内部微小孔隙的湿度造成稀释作用[6]，引起测量误差；另外一种以Kirchhoff势为驱动力计算水蒸气扩散系数的方法[7]，同样耗时较短，且测量结果与稳态测量结果吻合较好，但计算过程中仍然需要材料的等温吸湿曲线的支持，无法通过一次实验直接获得水蒸气扩散系数；值得关注的是Delgado等人[8]使用长方体吸收法测量材料的水蒸气扩散系数，该方法基于材料在恒温恒湿气候箱中吸湿时的含湿量曲线，通过求解吸收方程获得材料的水蒸气扩散系数。
第二讲扩散系数与浓度的关系
第二讲 扩散系数与浓度的关系—俣野方法一、问题引出前面在处理扩散问题时都是假定D 为常数，通过解析法求解扩散方程。
但实际上，扩散系数D 是与浓度C (从而也与空间坐标)相关的。
菲克第二定律式(7-11)：⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂x C D x t C (7-11) 式中的D 不能从括号中提出，因此不能用普通的解析法求解。
俣野(Matano)从实验得出的浓度分布曲线C (x )出发，解决了计算不同浓度下的扩散系数D (C )的方法，一般称这种方法为俣野法。
二、数学处理设式(7-11)的定解条件为：初始条件： t=0时， ⎪⎩⎪⎨⎧==<>2010C C C C x x (7-92) 边界条件： ±∞=x 时，0=±∞=x dx dC (7-93) 采用Boltzmann 变换，t x /=λ (7-94) 使偏微分方程式(7-11)变为常微分方程。
⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂=∂∂λλλλd dC t t d dC t C 2 (7-95) λλλd dC t x d dC x C 1=∂∂=∂∂ ⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂λλλλλd dC D td d x d dC t D d d x C D x 1 (7-96) 式(7-95)、(7-96)代入式(7-11)得⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-λλλλd dc D d d t d dC t 12 (7-97) 对式（7-97）中的dC 从C 1到C 积分⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛=-C C C C d dC D d dC 1121λλ (7-98) 注意到浓度分布曲线上的任一点表示同一时刻C-x 的关系，因此t 为常数，可把与t 相关的因子提到积分号前边，则式(7-98)变为⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛=-CC C C dx dCD d t xdC t 11121即 CC C C C C dx dCD dx dC D dx dC D xdC t ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=⎰1121 （7-99） 注意边界条件式(7-93)为01==C C dx dC(7-100)所以 ()⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=C C C xdC dC dx t C D 121 (7-101) 式(7-101)即扩散系数D 与浓度C 之间的关系式。
格子Boltzmann方法解扩散方程的复杂边界条件研究
格子Boltzmann方法解扩散方程的复杂边界条件研究
黄俊涛;张力;雍稳安;王沫然
【期刊名称】《应用数学和力学》
【年(卷),期】2014(35)3
【摘要】对格子Boltzmann方法求解含第三类边界条件的扩散方程进行了理论和数值研究,构造了一种新的基于bounce-back的边界处理数值格式,用来处理复杂边界问题.借助渐近分析,证明了新方法的数值相容性.用数值算例从不同角度分析了算法的精度和稳定性等,与已有算法相比,新方法在精度、稳定性和效率方面均有较大提高.最后通过一个复杂边界反应扩散的示例演示了新方法应用于复杂多孔介质内多物理化学输运模拟的可行性和有效性.
【总页数】8页(P305-312)
【关键词】格子Boltzmann方法;扩散方程;第三类边界条件;渐近分析;复杂边界【作者】黄俊涛;张力;雍稳安;王沫然
【作者单位】清华大学航天航空学院工程力学系;清华大学周培源应用数学研究中心
【正文语种】中文
【中图分类】O242.5;O357.3
【相关文献】
1.一维热扩散方程的格子Boltzmann方法分析 [J], 吴国忠;袁兆成;齐晗兵;李栋;刘杰
2.求解二维对流扩散方程的格子Boltzmann方法 [J], 彭碧涛;郑洲顺;刘红娟;汤慧萍;王建忠
3.二维反应扩散方程的格子Boltzmann方法模拟 [J], 邓敏艺;刘慕仁;孔令江
4.用格子Boltzmann方法与拟小波方法研究二维扩散方程 [J], 阮航宇;李慧军
5.基于九速四方格子模型的二维对流扩散方程格子Boltzmann方法模拟 [J], 邓敏艺;刘慕仁;何云;孔令江
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一种改进boltzmann-matano公式的扩散系数
的计算方法
弹性扩散系数法（Elastic Diffusion Coefficient Method）是一种
改进Boltzmann-Matano公式的扩散系数计算方法，它既考虑了
物理过程本身的复杂性，又考虑了对象表面和温度之间相互作用
的性质，从而获得更准确的扩散系数。
该方法的关键思想是通过
改变物体表面的弹性特性，通过一系列的实验，确定表面弹性特
性百分比变化来估计扩散系数。
该方法的基本步骤为：
1. 首先，为实验对象配备一种具有可调节弹性特性的表面材料，用以测试表面变形。
2. 然后，在不同的温度下，使用不同的温度应力应变测试仪实验来测量表面变形。
3. 以逐渐增加温度为前提，首先计算温度为Ti时，材料的变形
量xi，然后计算温度Ti+1时变形量xi+1(i=1,2,3,…)的变化幅度，向量a的频率可以写为：
函数a(Ti)=xi+1-(xi-1)/(Ti+1-Ti-1)
4. 从而得出弹性扩散系数：
Kel=R/a(Ti)-1
其中，R为物质的弹性系数，Ti为温度。
5. 最后，还要考虑温度和体积变化的影响，最后得出有效的扩散系数。
该方法由于考虑了物质表面和温度的对应关系，因此获得的结果比使用Boltzmann-Matano公式的扩散系数更准确。
由于实验方法是基于温度的变化进行的，它具有一般性，可以应用于不同的各种物质的扩散系数的研究。