第一节 正弦定理

第一课时 正弦定理（学思课） 学习目标: 1.掌握正弦定理的内容及其证明方法 2.会用正弦定理解斜三角形.

教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。 教学难点：利用正弦定理解三角形。

学法指导：从已有的几何知识出发,探究在任意三角形中，边与其对角的关系，通过观察， 推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并对定理进行基本应用。 知识回顾：

在任意三角形中，边角的关系：_______对_______,_______对______ 自主学习

阅读教材1---3页，完成下列内容

1.在ABC Rt ∆中，设a BC c AB b AC ===,, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有

=A sin ，=B sin ，又=C sin

则_________=__________=___________=c 从而在ABC Rt ∆中，

C

c

B b A a sin sin sin == ① 2.请你证明在锐角AB

C ∆中，①式成立。(等高法）

3.在钝角ABC ∆中，①式成立吗？怎样证明？

4.你还能想到其他方法证明正弦定理吗？

5.请你写出正弦定理，用语言怎样叙述？

6.正弦定理的常见变形有：①a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； ②a b ＝sin A sin B ，a c ＝sin A sin C ，b c ＝sin B

sin C

；

③a sin A ＝b sin B ＝c

sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C

； ④设R 为ABC 外接圆的半径，则sin sin a

b

A

B

=

sin c

C

=

=2R

⑤sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c

2R

； ⑥a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；

⑦A ＜B a ＜b 2R sin A ＜2R sin B sin A ＜sin B .

7.定义：______________________________________________叫做三角形的元素 __________________________________________________叫做解三角形 8.归纳：用正弦定理解斜三角形的两类基本问题：

（1）已知两角和一边，求其他的边、角.（2)已知两边和一对角,求其他的边、角. 你能用正弦定理解释吗？

二．阅读教材第3页例1，思考：已知三角形的两角和一边，怎样解三角形？ 练习

1.在∆ABC 中，C=0

90，a=6，B=030，则c-b 等于（ ）A ．1 B.-1 C.32 D.32-

3．在∆ABC 中，21

sin =

A ，2

3sin =B ，则ABC 对应三边的比值为a ︰b ︰c= 4．在∆ABC 中，已知10,30,450

0===c C A ，求边a= 。

A

B

C

a

b c

A

B

C A B C

a

b

c D

第一课时 正弦定理（讲练课） 学习目标：通过训练，熟练应用正弦定理解决问题

例1:在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，外接圆半径为r ，已知

0060,45,8===B A a ，解三角形、求r 的值.

例2 在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若13

5

cos ,2,3===A b a ，求B s i n

和c 的值。

练习

1.在ABC ∆中，已知,13

5

cos ,54cos ==

B A 则=c b a :: ( ) A 13:20:21 B 4:5:13

C 5:13:65

D 33:48:65

2.在∆ABC 中，21

sin =

A ，2

3sin =B ，则ABC 对应三边的比值为a ︰b ︰c= 3.等腰∆ABC 中，顶角,1200=A 腰长AB=1，求底边长。

4.在ABC ∆中，已知,45,75,10b 00===C A ，解三角形

5.在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且A ︰B ︰C= 3︰4︰5，6=a （1） 求角A ，B ，C 的度数

（2） 求b 、c 的值及外接圆半径r.

反思小结

第二课时 正弦定理

学习目标: 1.判断三角形的形状；2.解三角形中解的个数. 教学重点：熟练运用正弦定理

教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数

学法指导：正弦定理使用的关键是在三角形中找到一边及其对角的正弦值。充分利用三角形 内角和为0180，以及两角和的正弦，余弦，正切公式。对于正弦定理的多个变形式 子，要学会根据题目中的条件选择合适的形式，便于解题。 知识回顾：

1.在一个三角形中，三个内角的和是 ，两边之和 第三边。

2.请你写出正弦定理，并用语言叙述

自主学习

1.阅读教材第4页例2，本例题与例1有何不同？为何两解？

2.用正弦定理可解两类题：（1）.已知两角和一边，解三角形。此时有唯一解。 (2).已知两边和一对角，解三角形。此时可能有两解。

3.已知a,b 及A 下，三角形解的情况：观察sin sin b A

B a

=，分析可知：

分类

解的情况

图示

sin b A

a

>1 无解

sin b A

a

=1 唯一解（Rt △)

sin b A

a

<1 a ≥b 唯一解

a

例1:在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，判断三角形解的个数：

（1）已知a=20cm ，b=28cm ，045A =（2）已知a=40cm ，b=28cm ，0

60A = （3）已知a=40cm ，b=10cm ，0

60A =

例2.在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，已知a=20cm ，b=11cm ，030=B ，

解三角形。（角度精确到10，边长精确到1cm ，其中11

9

65sin ,111085sin 00

≈≈

，11

8

55sin 0=

）

4：三角形形状的判断

判断三角形的形状是看该三角形是否为特殊三角形，那么三角形的形状有哪些？ 例3.在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，根据下列条件，分别判断ABC

∆的形状 (1)B A sin sin =； （2）B b A a cos cos = (3)

C

c

B b A a cos cos cos =

= 练习

1. 在∆ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a ，b ，c,根据下列条件,判断三角形解的个数 (1).045,100,80===A b a ，(2).32,4,600===a c A ; (3). 060,4,5===A b a

2.在∆ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a ，b ，c,根据下列条件,判断三角形的形状 (1).C B A 222sin sin sin +=; (2).A b B a tan tan 22=;