高中数学-高一下期中考试题
广东省深圳市新安中学(集团)高中部2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
新安中学（集团）高中部2023-2024学年第二学期期中考试题高一年级数学2024年4月命题人甘玉梅本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟第I 卷客观题（共58分）一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分1．若复数z 满足()1i 1i z +=-，则z 的虚部为（）A ．i-B ．1-C ．iD ．12．由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为30︒，腰长为2，如图，那么它在原平面图形中，顶点B '到x 轴的距离是（）A ．1B ．2C ．D ．3．如图，已知43AP AB =，用OA ，OB 表示OP ，则OP 等于（）A ．1433OA OB-B ．1433OA OB+C ．1433OA OB-+D ．1433OA OB--4．已知a ，b ，c 是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法正确的是（）A ．若a b ∥，b α⊂，则a α∥B ．若a b ⊥，a c ⊥，b α⊂，c α⊂，则a α⊥C ．若αβ⊥，a αβ= ，b a ⊥，则b α⊥D ．若a α⊥，a β⊥，则αβ∥5．某圆锥高为，母线与底面所成的角为π3，则该圆锥的表面积为（）A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π6．已知ABC △内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若ABC △2223a b c +-，则cos C为（）A ．2B．12C ．2-D ．12-7．一海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东35︒的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东65︒，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东70︒，那么B ，C 两点间的距离是（）A ．海里B ．海里C ．海里D ．海里8．在ABC △中，若动点P 满足222AC CB AP AB +⋅= ，则P 点的轨迹一定经过ABC △的（）A ．外心B ．垂心C ．重心D ．内心二、选择题：本题共3小题，每小题6分．共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知1z 与2z 是共轭复数，以下4个命题一定正确的是（）A ．1212z z z z =B ．2212z z <C ．12z z +∈RD ．12z z ∈R10．设ABC △满足sin :sin :sin 2:3:A B C =，其面积为332，则（）A．ABC △周长为6B ．2A B C+=C ．ABC △外接圆的面积为7π3D ．ABC △中线CD 长为19211．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为线段1B C 上一动点，则下列说法正确的是（）A ．直线1BD ⊥平面11A C DB ．异面直线AP 与1A D 所成角的取值范围是0,π3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．AP ∥平面11A C DD ．平面11A C D 与底面ABCD 的交线平行于直线AC第II 卷（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分．共15分．12．已知ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，1a =，2b =，1cos 4C =，则sin A =_________．13．已知3b = ，a 在b上的投影向量为12b ，则a b ⋅ 的值为_________．14．四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形，如图所示，点E 是棱PD 上一点，34PE PD =，若PF PC λ=且满足BF ∥平面ACE ，则λ=_________．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知向量()1,a x =，()2,3b = ．（1）若()b a b ⊥- ，求a b - ；（2）若()3,4c =--，()b a c + ∥，求3b c + 与a 的夹角的余弦值．16．（15分）已知在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin 3c a B a B -=（1）求角A 的大小；（2）若a =，ABC △的面积为，求ABC △的周长．17．（15分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，11113A C B C ==，11A B =，D 为11A B 的中点．（1）证明：1B C ∥平面1AC D ．（2）若以1AB 为直径的球的表面积为48π，求三棱锥11B AC D -的体积．18．（17分）已知平面四边形ABCD ，2AB AD ==，60BAD ∠=︒，30BCD ∠=︒，BD CD ⊥，现将ABD △沿BD 边折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，点P 为线段AD 的中点．（1）求证：BP ⊥平面ACD ；（2）若M 为CD 的中点，求MP 与平面BPC 所成角的余弦值．（3）在（2）的条件下，求平面PBM 与平面BMD 所成二面角的余弦值．19．（17分）如图，在ABC △中，已知2AB =，AC =45BAC ∠=︒，BC 边上的中点为M ，点N 是边AC 上的动点（不含端点），AM ，BN 相交于点P ．（1）求BAM ∠的正弦值；（2）当点N 为AC 中点时，求MPN ∠的余弦值．（2）当NA NB ⋅ 取得最小值时，设BP BN λ=，求λ的值．参考答案题号1234567891011答案BDCDABCAACBCDACD12．15813．3cos 2a θ= ，39cos 322a b a b θ∴⋅==⨯=．14．2315．（1）由()b a b ⊥- 可得20a b b ⋅-= ．因为23a b x ⋅=+ ，2222313b =+= ，所以23130x +-=，解得113x =．所以111,3a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，21,3a b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ ，所以2213133a b ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭ ．（2）()2,4a c x +=-- ，因为()b a c +∥，所以()23240x -⨯--=，解得1x =．所以()1,1a =，所以()317cos3,173b c a b c a b ca+⋅+==+，所以3b c + 与a 的夹角的余弦值为17．16．（1）由cos sin 3c a B B -=及正弦定理得，整理得3cos sin sin 3A B A B =，tan A =，在ABC △中，π3A =（2）()22222cos 312a b c bc A b c bc =+-⇒+-=；1sin 42ABC S bc A bc ===△；b c ∴+=ABC ∴△的周长为17．（1）连接1AC 交1AC 于点E ，则E 为1AC 的中点，连接DE ，而D 为11A B 的中点，则1DE B C ∥，又DE ⊂平面1AC D ，1B C ⊂/平面1AC D ，所以1B C ∥平面1AC D ．（2）由1111AC B C =，D 为11A B 的中点，得111C D A B ⊥，且11C D =，由以1AB 为直径的球的表面积为48π，得214π48π2AB ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，解得1AB =，因此(22148AA +=，解得14AA =，显然11B C D △的面积112S =⨯=，所以1111142433B ACD A B C D V V --==⨯=．18．（1）因为AB AD =，60BAD ∠=︒，所以ABD △为等边三角形，因为P 为AD 的中点，所以BP AD ⊥．取BD 的中点E ，连接AE ，AB AD =，则AE BD ⊥，因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD 平面BCD BD =，AE ⊂平面ABD ，所以AE ⊥平面BCD ，又CD ⊂平面BCD ，所以AE CD ⊥，因为AD CD ⊥，AD AE A = ，AE ，AD ⊂平面ABD ，所以CD ⊥平面ABD ，因为BP ⊂平面ABD ，所以CD BP ⊥，又因为CD AD D = ，CD ，AD ⊂平面ACD ，所以BP ⊥平面ACD ．（2）过点M 作MH PC ⊥，垂足为H ．如图所示，由（1）知，BP ⊥平面ACD ，因为MH ⊂平面ACD ，所以BP MH ⊥，BP PC P = ，BP ，PC ⊂平面BPC ，所以MH ⊥平面BPC ，所以MPC ∠为MP 与平面BPC 所成角．由（1）知，CD ⊥平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，所以CD BD ⊥，在Rt BCD △中，因为30BCD ∠=︒，2BD =，所以tan BDDC BCD==∠因为M 为CD 的中点，所以12MD CM CD ===，在Rt PDM △中，2PM ==，在Rt PDC △中，PC ==，在CPM △中，2222222cos2PC PM CMMPC PC PM +-+-∠==⋅，所以MP 与平面BPC ．（3）取ED 的中点为O ，连接PO ，因为P 为线段AD 的中点，所以PO AE ∥，1112222PO AE ====，由（1）知，AE ⊥平面BCD ，所以PO ⊥平面BCD ，BM ⊂平面BCD ．所以PO BM ⊥，过点P 作PG BM ⊥，垂足为G ，连接OG ，PO PG P = ，PO ，PG ⊂平面POG ，所以BM ⊥平面POG ．OG ⊂平面POG ，所以BM OG ⊥，所以PGO ∠为二面角P BM D --的平面角．在Rt BDM △中，BM ==，由（1）知，ABD △为等边三角形，P 为线段AD 的中点，所以BP ==由（1）知，BP ⊥平面ACD ，PM ⊂平面ACD ．所以BP PM ⊥，在Rt BPM △中，1122BP PM BM PG ⋅=⋅，由（2）知，2PM=，即11222PG =，解得2217PG =．因为PO ⊥平面BCD ，OG ⊂平面BCD ，所以PO OG ⊥，在RtPOG △中，32114GO ==，所以321314cos 42217OG PGO PG ∠==，即二面角P BM D --的平面角的余弦值为34．19．（1）解：解法1、由余弦定理得222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠，即(2222222522BC =+-⨯⨯=，所以BC =，所以12BM CM BC ===，在ABM △中，由余弦定理，得2222cos 2BM AM AB BMA BM AM +-∠==⋅在ACM △中，由余弦定理，得2222cos 2CM AM AC CMA CM AM +-∠==⋅BMA ∠与CMA ∠互补，则cos cos 0BMA CMA ∠+∠=，解得5AM =，在ABM △中，由余弦定理，得2224cos 25AB AM BM BAM AB AM +-∠==⋅，因为0π,2BAM ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以3sin 5BAM ∠==．解法2、由题意可得，cos 4512AB AC AB AC ⋅=⨯⨯︒=，由AM 为边BC 上的中线，则()12AM AB AC =+，两边同时平方得，22211125442AM AB AC AB AC =++⋅=，故5AM =，因为M 为BC 边中点，则ABM △的面积为ABC △面积的12，所以111sin sin 222AB AM BAM AB AC BAC ⨯⨯∠=⨯⨯⨯∠，即11125sin 2sin 45222BAM ⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯︒，化简得，3sin 5BAM ∠=．解法3：以A 为坐标原点，以AC 所在直线为x 轴，以过点A 的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系则()2,2B，()C ，722,22M ⎛⎫⎪⎪⎝⎭，所以AB =，722,22AM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，所以84cos 255AB AM BAM AB AM ⋅∠===⨯ ，因为0π,2BAM ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以3sin 5BAM ∠==．（2）解：方法1、在ABN △中，由余弦定理，得22222cos 45BN AB AN AB AN =+-⋅⋅︒，所以BN =，由AM ，BN 分别为边BC ，AC 上的中线可知P 为ABC △重心，可得221033BP BN ==，21033AP AM ==，在ABP △中，由余弦定理，得222cos 250PA PB AB APB PA PB +-∠==⋅，又由MPN APB ∠=∠，所以cos cos 50MPN APB ∠=∠=．解法2：因为BN 为边AC 上的中线，所以12BN BA AN AB AC =+=-+，()22111111322244AM BN AB ACAB AC AB AB AC AC -⎛⎫⋅=+⋅-+=--⋅+= ⎪⎝⎭，2222111024BN AB AC AB AB AC AC ⎛⎫=-+=-⋅+= ⎪⎝⎭，即BN =所以1310cos 50AM BN MPN AM BN⋅∠==．解法3：以A 为坐标原点，以AC 所在直线为x 轴，以过点A 的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系()2,2B，()C，()N ，722,22M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以722,22AM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，(BN =．所以cos 50AM BN MPN AM BN ⋅∠== ．（3）设NA x =，()22NA NB NA NA AB NA NA AB x ⋅=⋅+=+⋅=当22x =即22NA = 时，NA NB ⋅ 取最小值12-，1111212BN BA BC ∴=+ ，2BC BM = ，()01BP BN λλ=≤≤ ，919105105BP BA BM BA BM λλλ⎛⎫∴=+=+ ⎪⎝⎭ ，111111126126BP BA BM BA BM λλλ⎛⎫∴=+=+ ⎪⎝⎭ ，A ，P ，M 三点共线，11112112613λλλ+=∴=。
湖北鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024年高一下学期期中联考数学试卷
2024年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高一数学考试时间：2024年4月15日下午15：00－17：00；试卷满分：150分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数2iz 13i+=+的虚部是（ ） A ．12−B ．12C ．1i 2−D ．1i 22．下列关于平面向量的说法，其中正确的是（ ）A ．若a b ≠ ，则||||a b ≠B ．若//a b 且||||a b =，则a b =C ．若0a b ⋅=，则0a = 或0b = D ．若a 与b 不共线，则a 与b都是非零向量3．已知平面向量(1,2)a =，(3,4)b − ，则向量a 在向量b 上的投影向量是（ ）A ．34,2525−B ．68,55 −C ．34,55 −D ．34,55 −4．已知tan 121tan αα−=+，则cos 24πα+的值为（ ）A．B． CD5．在ABC △中，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得10AP =，若54PA mPB m PC =+−（m 为常数），则PD 的长度是（ ） A ．9B ．8C ．7D ．66．若实数x ，y 满足332x y+=，21133xy n − =+，则n 的最小值为（ ） A ．2B ．8C ．9D ．127．在ABC △中，点E ，F 分别是线段AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，若ABC △的面积为4，则22BC PB PC ⋅+的最小值是（ ） A ．2B．C ．4D8．已知定义在R 上的函数()y f x =，对任意的1x ，2,4x π∈+∞且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x −>−，且函数4y f x π=+为奇函数．若锐角ABC △的三个内角为,,A B C ，则（ ）A ．()()0f A fB +>B ．()()0f A f B +<C ．()()0f A f B +=D ．()()f A f B +的符号无法确定二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声，已知某噪声的声波曲线函数为()3sin ||62f x x ππϕϕ =+< ，且经过点(2,3)，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()y f x =的最小正周期12T =B ．6πϕ=−C ．函数()y f x =在区间(2,8)上单调递减D ．函数(2)y f x =+是奇函数10．已知复数123,,z z z ，则下列结论正确的有（ ） A ．2211z z = B ．1212z z z z ⋅=⋅C ．1212z z z z =⋅D ．若1213z z z z =，且10z ≠，则23z z =11．如图，设,Ox Oy 是平面内相交成θ角的两条数轴，其中(0,)θπ∈，1e ，2e分别是与x 轴，y 轴正方向同向的单位向量，若向量12OP a xe ye ==+，则把有序数对(,)x y 叫做向量OP 在夹角为θ的坐标系xOy 中的坐标，记为()(,)a x y θ=，则下列结论正确的是（ ）A ．若3(1,2)a π= ，则||a =B ．若44,(3,a b ππ==− ，则a b ⊥C ．若对任意的12,5R e e λλ∈−最小值为52，则6πθ= D ．若对任意的(0,)θπ∈，都有1212e e e e λ−≥−恒成立，则实数(][),31,λ∈−∞−+∞三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知sin cos θθ−sin 2θ=__________．13．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos a B b A c b −=−，则角A =若I 为ABC △的内心，且AIIC λ=+，则λ=__________． 14．已知平面向量,a b，||2a =，||3b =，若存在平面向量c ，||1c = ，使得()()0a c b c −⋅−=，则||||a b a b −++的最小值是__________．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知向量(1,2)a −，||b = ．（1）若//a b，求b 的坐标；（2）若(5)()a b a b +⊥−，求a 与b 夹角的余弦值．16．（15分）在ABC △中，角A ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且222b c bc a +−=． （1）求角A 的大小； （2）若2b =，1sin 7C =，求ABC △的面积．17．（15分）已知向量,cos )m x x ωω= ，(cos ,cos )(0,)n x x x ωωω=−>∈R，1()2f x m n =⋅− ，且()y f x =的图象上相邻两条对称轴之间的距离为2π．（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若0a >，且函数()y f x =在区间(,2)a a 上单调，求a 的取值范围．18．（17分）如图，在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，D 为BC 边上一点，已知2b =，4c =，23A π=．（1）若AD 平分BAC ∠，求AD 的长；（2）若D 为BC 边的中点，E ，F 分别为AB 边及AC 边上一点（含端点）．且AE xAB = ，AF y AC =，1x y +=，求DE DF ⋅ 的取值范围． 19．（17分）阅读以下材料并回答问题：①单位根与本原单位根：在复数域，对于正整数n ，满足10n z −=的所有复数22cos isin ()k k z k Z n nππ=+∈称为n 次单位根，其中，满足对任意小于n 的正整数m ，都有1m z ≠，则称这种复数为n 次本原单位根．例如，4n =时，存在四个4次单位根1±，i ±，因为111=，2(1)1−=，因此只有两个4次本原单位根i ±； ②分圆多项式：对于正整数n ，设n 次本原单位根为12,,,m z z z ，则多项式()()()12m x z x z x z −−− 称为n 次分圆多项式，记为()n x Φ；例如24()(i)(i)1x x x x Φ=−+=+；回答以下问题：（1）直接写出6次单位根，并指出哪些为6次本原单位根（无需证明）；（2）求出6()x Φ，并计算6321()()()()x x x x ΦΦΦΦ，由此猜想1264321()()()()()()x x x x x x ΦΦΦΦΦΦ的结果，（将结果表示为1110()nn n n n x a x a xa x a −−Φ=++++ 的形式）（猜想无需证明）； （3）设所有12次本原单位根在复平面上对应的点为12,,,m A A A ，两个4次本原单位根在复平面上对应的点为12,B B ，复平面上一点P 所对应的复数z 满足||z =，求1212m PA PA PA PB PB ⋅⋅⋅的取值范围．。
2023-2024学年合肥市一中高一数学(下)期中考试卷附答案解析
2023-2024学年合肥市一中高一数学（下）期中考试卷（考试时间：150分钟满分：120分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z 满足()2i i z -=（i 是虚数单位），则在复平面内z 对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．在ABC 中，sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则cos C =（）A ．23-B ．14-C ．13-D ．143．非零向量a ，b 满足2a b a b +=- ，若a b = ，则a ，b 的夹角为（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π64．以边长为2的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周所得几何体的侧面积为（）A ．B ．4πC ．D ．8π5．圆台上底面半径为2cm ，下底面半径为4cm ，母线8cm AB =，A 在上底面上，B 在下底面上，从AB 中点M 拉一条绳子，绕圆台侧面一周到B 点，则绳子最短距离为（）cm A ．10B ．12C ．16D ．206．安徽省肥西县紫蓬山风景秀丽，紫蓬山山顶有座塔.某同学为了测量塔高，他在地面C 处时测得塔底B 在东偏北45︒的方向上，向正东方向行走50米后到达D 处，测得塔底B 在东偏北75︒的方向上，此时测得塔顶A 的仰角为45︒，则塔顶A 离地面的高度AB 为（）A ．米B ．50米C ．25+米D ．50米7．已知直角ABC 中，3AB =，4AC =，5BC =，I 是ABC 的内心，P 是IBC 内部（不含边界）的动点，若(),AP AB AC λμλμ=+∈R，则λμ+的取值范围为（）A ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．17,212⎛⎫⎪⎝⎭C ．7,112⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭8．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种阿基米德多面体.已知1AB =，则关于图中的半正多面体，下列说法正确的有（）A B ．该半正多面体过A ，B ，C 三点的截面面积为334C ．该半正多面体外接球的表面积为8πD ．该半正多面体的表面积为6+二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．如图，A B C ''' 是水平放置的ABC 的斜二测直观图，其中2O C O A O B ''''''==，2O B ''=.则以下正确的有（）A ．4OA =B ．ABC 是等腰直角三角形C ．4OB =D ．ABC 的面积为810．已知平面向量()2,3a =-r，()2,1b = ，则（）A ．()2a b b⊥-B ．a 与b可作为一组基底向量C ．a 与bD ．a 在b方向上的投影向量的坐标为21,33⎛⎫ ⎪⎝⎭11．已知a ，b ，c 分别是ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，其中正确的命题有（）A ．已知60A ∠=︒，4b =，2c =，则ABC 有两解B ．若90A ∠=︒，3b =，4c =，ABC 内有一点P 使得PA ，PB ，PC两两夹角为120︒，则22230PA PB PC ++= C ．若90A ∠=︒，1b =，c =ABC 内有一点P 使得PA 与PB 夹角为90︒，PA 与PC夹角为120︒，则3tan 4PAC ∠=D ．已知60A ∠=︒，4b =，设a t =，若ABC 是钝角三角形，则t 的取值范围是()()4+∞ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为r 的半圆，且该圆锥的体积为3π，则r =.13．甲船在B 岛的正南方向A 处，10AB =千米，甲船以4千米/小时的速度向正北方向航行，同时，乙船自B 岛出发以6千米/小时的速度向北偏东60︒的方向驶去，航行时间不超过2.5小时，则当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是小时.14．如图，某公园内有一块边长为2个单位的正方形区域ABCD 市民健身用地，为提高安全性，拟在点A 处安装一个可转动的大型探照灯，其照射角PAQ ∠始终为45︒（其中P ，Q 分别在边BC ，CD 上），则AP AQ ⋅的取值范围.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．如图所示，底面边长为P ABCD -被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为，高为4的正四棱锥1111P A B C D -.(1)求棱台1111A B C D ABCD -的体积；(2)求棱台1111A B C D ABCD -的表面积.16．如图，在ABC 中，已知2,4,60AB AC BAC ==∠=︒，M 是BC 的中点，N 是AC 上的点，且,,AN xAC AM BN=uuu r uuu r 相交于点P ．设,AB a AC b ==.(1)若13x =，试用向量,a b表示,AM PN uuu r uuu r ;(2)若AM PN ⊥，求实数x 的值．17．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且sin C C a =，b =(1)求角B ；(2)若2a c +=，求边AC 上的角平分线BD 长；(3)求边AC 上的中线BE 的取值范围.18．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin sin cos sin cos sin sin a A a C B b C A b B c A ++=+.(1)若2a =，且ABC 为锐角三角形，求ABC 的周长的取值范围；(2)若2b ac =，且外接圆半径为2，圆心为O ，P 为圆O 上的一动点，试求PA PB ⋅的取值范围.19．现定义“n 维形态复数n z ”：cos isin n z n n θθ=+，其中i 为虚数单位，*n ∈N ，0θ≠.(1)当π4θ=时，证明：“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系；(2)若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求πsin 4θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；(3)若正整数m ，()1,2n m n >>，满足1m z z =，2n m z z =，证明：存在有理数q ，使得12m q n q =⋅+-.1．B【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ,求出复数z 在复平面内对应的点的坐标即可．【详解】由()2i i z -=,得()()()i 2i i 12i 2i 2i 2i 55z +===-+--+,∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第二象限．故选:B ．2．B【分析】根据正弦定理及余弦定理求解.【详解】由正弦定理可知，::2:3:4a b c =，设2,3,4a k b k c k ===，则22222213161cos 2124a b c k k C ab k +--===-.故选：B 3．B【分析】由题意利用求向量的模的方法，求得22a b b ⋅= ，从而利用向量的夹角公式求解即可.【详解】∵非零向量a ，b满足2a b a b +=- ，且a b = ，设a ，b的夹角为θ，则2222244a a b b a a b b +⋅+=-⋅+ ，且22a b = ，所以22a b b ⋅= .∴22112cos 2b a b a b bθ⋅===⋅ .∵[]0,πθ∈，∴π3θ=.故选:B ．4．C【分析】根据正三角形绕一边所在直线为旋转轴旋转一周，得到几何体是两个同底的全等圆锥,根据圆锥的侧面积公式求解．【详解】如图，正三角形ABC 绕AB 所在直线为旋转轴旋转一周，得到几何体是两个同底的全等圆锥，底面半径3r =母线长2l =,由圆锥的侧面积公式可得该几何体的侧面积为2π3243π⨯=.故选:C.5．D【分析】由题意需先画出圆台的侧面展开图，并还原成圆锥展开的扇形，则所求的最短距离是平面图形两点连线，根据条件求出扇形的圆心角以及半径长，再求出最短的距离．【详解】画出圆台的侧面展开图，并还原成圆锥展开的扇形，且设扇形的圆心为O ,由图得：所求的最短距离是MB '，设OA R =，圆心角是α，则由题意知，4πR α=①，()8π8R α=+②，由①②解得，π,82R α==，∴12,16OM OB '==，则22121620cm MB '=+=．则则绳子最短距离为20cm ．故选:D ．6．A【分析】设塔高为h 米，利用仰角的正切表示出BD h =，在BCD △中利用正弦定理列方程求得h 的值.【详解】设雷锋塔AB 的高度为h 米,在地面C 处时测得塔顶A 在东偏北45︒的方向上，45BCD ∠=︒,测得塔顶A 在东偏北75︒的方向上,仰角为45︒，在Rt △ABD 中，45ADB ∠=︒，tan 45hBD h ==︒，在BCD △中,754530CBD ∠=︒-︒=︒，由正弦定理得，sin 30sin 45CD BD=︒︒，即5012=h =.故选：A.7．C【分析】由题意得AB AC ⊥，以A 为坐标原点，,AB AC 所在的直线分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，利用等面积法先求出I 的位置，设(),P x y ，根据AP AI IP =+ ，可得1134IP AB AC λμ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故,34x yλμ==，34x y λμ+=+，根据线性规划即可求解.【详解】因为3AB =，4AC =，5BC =，所以222AB AC BC +=，即AB AC ⊥.如图建立平面直角坐标系：设内切圆的半径为r ，则()()()0,0,3,0,0,4A B C ．∵ABC ABI BCI ACI S S S S =++V V V V ,∴2222AB AC AB r BC r AC r⋅⋅⋅⋅=++,即3434562222r r r r ⨯=++=,解得1r =，所以()1,1I ，∴1134AI AB AC =+ .∴1134AP AI IP AB AC IP =+=++ ，即1134AB AC AB AC IP λμ+=++ ，可得1134IP AB AC λμ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.设(),P x y ，则()()()()111,13,00,431,4134x y λμλμ⎛⎫⎛⎫--=-+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴3,4x y λμ==，即,34x yλμ==，∴34x y λμ+=+.∵()()3,0,0,4B C ，∴直线BC 的方程为134x y+=.设34x y z λμ=+=+，表示与134x y+=平行的直线，平移34x y z =+，当34x y z =+经过点I 时，1173412z =+=；当34x y z =+与134x y +=重合时，134x y z =+=.因为P 是IBC 内部（不含边界）的动点，所以7,112z ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即7,112λμ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭.故答案为:7,112⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】关键点睛：设(),P x y ，求出34x yλμ+=+，根据线性规划求解λμ+的范围.8．D【分析】先将该半正多面体补形为正方体，利用正方体与棱锥的体积公式判断A ，利用该半正多面体的对称性，得到截面为正六边形与外接球的球心位置，从而判断BC ，利用正三角形与正方体的面积公式判断D.【详解】A ：如图，因为1AB =，的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，所以该半正多面体的体积为：2311832223V ⎛⎫=-⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故A 错误；B ：根据该半正多面体的对称性可知，过,,A B C 三点的截面为正六边形ABCFED ，又1AB =，所以正六边形面积为261S ==，故B 错误；C ：根据该半正多面体的对称性可知，该半正多面体的外接球的球心为正方体的中心，即正六边形ABCFED 的中心，故半径为1AB =，所以该半正多面体外接球的表面积为224π4π14πS R ==⨯=，故C 错误；D ：因为该半正多面体的八个面为正三角形、六个面为正方形，棱长皆为1，所以其表面积为2281616+⨯=+，故D 正确.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键有二，一是将该半正多面体补形为正方体，二是充分利用该半正多面体的对称性，从而得解.9．ABC【分析】根据直观图画出原图，进而判断出正确答案.【详解】画出原图如下图所示，根据斜二测画法的知识可知：4OC OA OB ===，三角形ABC 是等腰直角三角形，面积为()1444162⨯+⨯=.所以ABC 选项正确，D 选项错误.故选：ABC10．BC【分析】对A ：计算()2a b b -⋅即可得；对B ：借助基底向量的定义即可得；对C ：借助平面向量夹角公式计算即可得；对D ：借助投影向量定义计算即可得.【详解】对A ：()22,5a b -=--，则()()222519a b b +⋅-=-⨯-⨯=- ，故A 错误；对B ：易得a 与b 为不共线的向量，故a 与b可作为一组基底向量，故B 正确；对C ：cos ,a b a b a b ====⋅C 正确；对D：121,555a bb b bb⋅⎛⎫⋅== ⎪⎝⎭ ，故D 错误.故选：BC.11．CD【分析】对A ：由余弦定理可计算出a 有唯一解；对B ：借助余弦定理与等面积法计算即可得；对C ：设PAC θ∠=，由余弦定理可得sin sin AP ACACP APC=∠∠，代入数据计算即可得解；对D ：分B ∠为钝角及C ∠为钝角，结合直角的临界状态计算即可得.【详解】对A：a ==ABC 有唯一解，故A 错误；对B ：在PBC 、PAC △、PAB 中，分别有2222342cos120PB PC PB PC +=+-⋅︒，即2225PB PC PB PC =++⋅，22232cos120PA PC PA PC =+-⋅︒，即229PA PC PA PC =++⋅，22242cos120PA PB PA PB =+-⋅︒，即2216PA PB PA PB =++⋅，即有()222259162PA PB PC PA PB PB PC PA PC ++=+++⋅+⋅+⋅，即()222502PA PB PB PC PA PC PA PB PC -⋅+⋅+⋅++=，又13462ABC PBC PAC PAB S S S S =++=⨯⨯= ，即()1sin12062PA PB PB PC PA PC ⋅+⋅+⋅︒=，即PA PB PB PC PA PC ⋅+⋅+⋅=，即有22225PA PB PC ++=-，故B错误；对C ：设PAC θ∠=，则在直角三角形PAB 中，APB θ∠=，PA θ=，在PAC △中，有sin sin AP ACACP APC=∠∠1sin120=︒，313222=4sin θθ=，即3tan 4θ=，故C 正确；对D ：若B ∠为钝角，如图，作CD AB ⊥于点D ，有CD BC AC <<，即sin b A a b ⋅<<，即234t <<，若C ∠为钝角，如图，作CD AC ⊥于点C ，有BC CD >，即tan a b A >⋅，即43t >综上所述，t 的取值范围是()()23,43,∞⋃+，故D 正确.故选：CD.【点睛】关键点点睛：D 选项中关键点在于分B ∠为钝角及C ∠为钝角，分别找出直角的临界情况求出范围.12．23【分析】设圆锥的底面圆的半径为R ，高为h ，则母线长为r 且2R r =，根据勾股定理求得32h r =，结合圆锥的体积公式计算即可求解.【详解】由题意知，设圆锥的底面圆的半径为R ，高为h ，则圆锥的母线长为r ，且12π2π2R r =⨯，得2R r =，所以2232h r R r -=，又圆锥的体积为3π，所以211π33V Sh R h ==，即2133ππ()322r r =⨯，解得23r =.故答案为：13．514【分析】设经过x 小时距离最近,分别表示出甲乙距离B 岛的距离,由余弦定理表示出两船的距离,根据二次函数求最值的方法得到答案.【详解】设经过x 小时两船之间的距离为s 千米,甲船由A 点到达C 点，乙船由B 点到达D 点，则4,104,6AC x BC x BD x ==-=，11820060CBD ∠︒=︒-.由余弦定理可得()()()2222110462104628201002s x x x x x x ⎛⎫=-+--⋅⋅-=-+ ⎪⎝⎭，当205 2.522814x ==<⨯时，2s 最小,则两船之间的距离最小,此时它们航行的时间为514小时.故答案为:514.14．8,4⎡⎤⎣⎦【分析】设,tan PAB t θθ∠==，可得2tan 2BP t θ==,()[]21,0,11t DQ t t-=∈+，以点A 为坐标原点,,AB AD 所在直线分别为,x y 轴建立坐标系,然后求出,AP AQ 的坐标,结合数量积的运算和对勾函数的性质求解.【详解】设,tan PAB t θθ∠==,则2tan 2BP t θ==，()()[]21tan 21π2tan ,0,141tan 1t DQ t t θθθ--⎛⎫=-=∈ ⎪++⎝⎭.以点A 为坐标原点,,AB AD 所在直线分别为,x y 轴建立坐标系,则()()()210,0,2,2,,21t A P t Q t ⎛⎫- ⎪+⎝⎭，()()212,2,,21t AP t AQ t ⎛⎫-== ⎪+⎝⎭,所以()412441211t AP AQ t t t t -⎛⎫⋅=+=++- ⎪++⎝⎭ .令1u t =+，[]1,2u ∈，则242AP AQ u u ⎛⎫⋅=+- ⎪⎝⎭ ，[]1,2u ∈.由对勾函数的性质可得()2f u u u =+在(上单调递减，在)2上单调递增，所以()min f u f ==又()()13,23f f ==，所以()2f u u u =+在[]1,2u ∈上的值域为⎡⎤⎣⎦，所以2428,4AP AQ u u ⎛⎫⎡⎤⋅=+-∈- ⎪⎣⎦⎝⎭ .故答案为:8,4⎡⎤⎣⎦.15．(1)2243(2)112【分析】（1）借助正四棱锥于棱台的性质可得棱台的高，结合棱台体积公式计算即可得；（2）求出棱台各个面的面积后相加即可得.【详解】（1）过点P 作PO ⊥底面ABCD 于点O ，PO 交平面1111D C B A 于点1O ，由正四棱锥及棱台的性质可知，O 为底面ABCD 的中心，则111114O O PO PO PO PO PO =--==，即棱台1111A B C D ABCD -的高4h =，(1111111113A B C D ABCD ABCD A B C D V S S h-=⨯+⨯((22112244564333⎡=⨯+⨯=⨯⨯=⎢⎣，（2）连接OA，则22422AO AB ==，则112AA AP ===作1A M AB ⊥于点M ，则1A M =故1111114ABCD A B C DA ABB S S S S=++表正方形正方形梯形(((22142=++⨯⨯32872112=++=.16．(1)1122AM a b =+ ，11412PN a b =-+uuu r r r (2)25【分析】（1）根据向量的加法运算即可求得AM ；设()PN tBN t AN AB ==-uuu r uuu r uuu r uu u r ，利用向量的线性运算结合图形关系可得1(1)3AP t b ta =-+uu u r r r ，再由向量共线的性质得到14t =，最后表示出所求向量即可；（2）利用向量垂直的性质和数量积的定义式计算可得.【详解】（1）111()222AM AB AC a b =+=+uuu r uu u r uuu r r r ，设()PN tBN t AN AB ==-uuu r uuu r uuu r uu u r ，因为13AN AC = ，所以1()(1)(1)3AP AN NP AN t AN AB t AN t AB t AC t AB =+=--=-+=-+uu u r uuu r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r，即1(1)3AP t b ta =-+uu u r r r ，由,AP AM uu u r uuu r 共线得：1(1)3t t -=，解得：14t =，所以1111()124124PN t BN t AN AB AC AB b a ==-=-=-uuu r uuu r uuu r uu u r uuu r uu u r r r ，所以1111,22412AM a b PN a b =+=-+ .（2）BN BA AN AB x AC a xb =+=-+=-+uuu r uu r uuu r uu u r uuu r r r ，因为AM PN ⊥，由于,BN PN uuu r uuu r 共线，故AM BN ⊥ ，所以1111()28402222AM BN a b a xb x x ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，解25x =．17．(1)π3(2)6(3)33,22⎤⎥⎝⎦【分析】（1）根据正弦定理结合两角和的正弦公式化简求值即可；（2）依据余弦定理及已知得13ac =，然后利用面积分割法列方程求解即可；（3）利用向量的加法运算及数量积模的运算得()1324BE ca =+ ，利用正弦定理得π2sin 216ac A ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，然后利用正弦函数的性质求解范围即可.【详解】（1）因为sin C C a +=，根据正弦定理sin sin sin b A C C B=，即()sin sin cos sin B C B C b A B C =+,即sin sin sin B C B C =，又sin 0C ≠，所以tan B =，因为()0,πB ∈，所以π3B =.（2）由π3B =及余弦定理得22π32cos 3c a ac =+-，即()22233c a ac a c ac =+-=+-，又因为2a c +=，所以13ac =，所以111sin sin sin 22222ABC ABD BCD B B S S S c BD a BD ac B =+=⋅⋅+⋅⋅= ，所以()ππsin sin 63BD a c ac ⋅+⋅=，即132122BD =⨯（3）因为E 是AC 的中点，所以()12BE BA BC =+ ，则()()2222211322444ca BE BA BA BC BC c a ac +=+⋅+=++= ，由正弦定理得，2sin 4sin sin 4sin sin πsin sin 3b b ac A C A C A A B B ⎛⎫=⋅==- ⎪⎝⎭即2πcos 2sin sin 2cos 212sin 216ac A A A A A A ⎛⎫=+-+=-+ ⎪⎝⎭，因为()()20,π,π0,π3A C A ∈=-∈，所以20,π3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π172π,π666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以π1sin 2,162A ⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以(]π2sin 210,36ac A ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭，所以23239,444ca BE +⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，所以322BE ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦，即边AC 上的中线BE 的取值范围为3322⎛⎤ ⎥ ⎝⎦.18．(1)(3++;(2)[]2,6-.【分析】（1）直接利用正余弦定理即可求出角B ,利用正弦定理将周长转化为关于角A 的三角函数，利用三角函数的值域即可求解；（2）易得ABC 为等边三角形，取AB 中点M ，可得2223PA PB PM MA PM ⋅=-=- ，由P 为圆O 上的一动点，可得[]1,3PM ∈，进而可求PA PB ⋅ 的取值范围.【详解】（1）因为sin sin cos sin cos sin sin a A a C B b C A b B c A ++=+，所以由正弦定理可得22cos cos a ac B bc A b ac ++=+，由余弦定理可得2222222222a c b b c a a b ac +-+-++=+，即222a c b ac +=+，所以2221cos 222a cb ac B ac ac +-===.因为0πB <<，所以π3B =；由ABC 为锐角三角形，π3B =，所以π022ππ032A C A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩,可得ππ,62A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.由正弦定理sin sin sin a bcA B C ==,得22πsin sin 32cA A ==⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2π2sin 31sin A b c A ⎛⎫- ⎪⎝⎭====则ABC的周长为22cos cos 12333sin 2sin cos tan 222AA a b c A A A A +++==+=+.由ππ,62A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则ππ,2124A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.因为2π2tanππ12tan tan 2π6121tan 12⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭-整理得2ππtan 101212+-=，解得πtan 212=πtan 212=-（舍），所以()tan 22A ∈，所以(33tan 2A ++，即ABC的周长的取值范围为(3+.（2）由正弦定理2sin bR B =（R 为ABC的外接圆半径），则212b ac b ===.由222a c b ac +=+，可得2224a c +=，则a c ==ABC 为等边三角形.取AB 中点M，如图所示：则()()PA PB PM MA PM MB ⋅=+⋅+ ()2PM PM MA MB MA MB =+⋅++⋅ 2223PM MA PM =--= .由2,1OP OM ==，则[]1,3PM ∈，则[]2,6PA PB ⋅∈- ．19．(1)证明见解析；(3)证明见解析.【分析】(1)当π4θ=时,ππcos isin 44n z n n =+,)11i z =+,2i z =，由221z z =,即可证明“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系；(2)由“2维形态复数”与“3维形态复数”相等,可得cos 2i sin 2cos3i sin 3θθθθ+=+，利用复数相等的条件得到()2πk k θ=∈Z ,即可求πsin 4θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；(3)由1m z z =得cos i sin cos i sin m m θθθθ+=+,利用复数相等的条件得到()112π1k k m θ=∈-Z 和()222π2k k n θ=∈-Z ,则()12122π2π,12k k k k m n =∈--Z ,则()11221,2k m k k n k -=∈-Z ,进一步得()()111122222211,k k k m n n k k k k k =-+=⋅+-∈Z ,即可证明存在有理数12k q k =,使得12m q n q =⋅+-.【详解】（1）当π4θ=时,ππcos isin 44n z n n =+,则)1ππcos isin 1i 44z =++,2ππcos isin 2i 2z +==.因为)()2221211i 12i i i 22z z ⎤=+=++==⎥⎣⎦，故“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系.（2）因为“2维形态复数”与“3维形态复数”相等,所以cos 2i sin 2cos3i sin 3θθθθ+=+,因此cos 2cos3sin 2sin 3θθθθ=⎧⎨=⎩，解cos 2cos3θθ=，得()322πk k θθ=+∈Z 或()322πk k θθ+=∈Z ,解sin 2sin 3θθ=，得()322πk k θθ=+∈Z 或()322ππk k θθ+=+∈Z ,由于两个方程同时成立,故只能有()322πk k θθ=+∈Z ,即()2πk k θ=∈Z .所以πππsin sin 2πsin 444k θ⎛⎫⎛⎫+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）由1m z z =，得cos i sin cos i sin m m θθθθ+=+,由(2)同理可得()112πm k k θθ=+∈Z ,即()()1112πm k k θ-=∈Z .因为1m >,所以()112π1k k m θ=∈-Z .因为221n m z z z ==,由(1)知221z z =,所以2n z z =.由(2)同理可得()2222πn k k θθ=+∈Z ,即()()2222πn k k θ-=∈Z .因为2n >,所以()222π2k k n θ=∈-Z ,所以()12122π2π,12k k k k m n =∈--Z ,又因为0θ≠,所以120k k ≠,所以()11221,2k m k k n k -=∈-Z ,即()()111122222211,kk km n n k k k k k =-+=⋅+-∈Z ，所以存在有理数12kq k =,使得12m q n q=⋅+-.【点睛】关键点点睛：利用复数相等求出参数然后求解.。
福建省福州第四中学2022-2023学年高一下学期期中检测数学试题
福建省福州第四中学2022-2023学年高一下学期期中检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．已知复数34iz=-（其中i是虚数单位），则下列命题中正确的为（）对应点的坐标是(3,4)-，在第四象限，D 正确．故选：ACD ．10．BD【分析】A. 根据平面向量不能比较大小判断.B. 根据平面向量的三角形法则判断.C.根据 平面向量的数量积定义判断.D. 根据平面向量的三角形法则判断.【详解】A 选项.向量不能比较大小，选项A 错误．B 选项. 根据向量加法运算公式可知，当向量a r 和b r 不共线时，两边之和大于第三边，即||||||a b a b +<+r r r r ，当a r 和b r 反向时，||||||a b a b +<+r r r r ，当a r 和b r 同向时，||||||a b a b +=+r r r r ，所以||||||a b a b +£+r r r r 成立，故B 正确；C 选项，|||||||cos |||||a b a b a b q ×=£r r r r r r ，选项C 错误．D 选项.当向量a r 和b r 不共线时，根据向量减法法则可知，两边之差小于第三边，即||||||a b a b ->-r r r r 当a r 和b r 反向时，||||||a b a b ->-r r r r ，当a r 和b r 同向且||||a b ³r r 时，||||||a b a b -=-r r r r ，当a r 和b r 同向且||||a b <r r 时，||||||a b a b ->-r r r r ，所以选项D 正确.故选：BD11．CD【分析】根据圆柱、圆锥的侧面积、表面积、体积等知识求得正确答案.【详解】A 选项，圆柱的侧面积为22π24πR R R ´=，A 选项错误.与14圆切于点Q，连接AQ60tan q =，60NQ=，。
浙江省普通高中高一下学期期中模拟考试数学试题含答案
浙江省普通高中高一下学期期中模拟考试数 学 试 题（时间：100分钟； 满分：120分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知()()3,2,,1a b k ==，且a ∥b ，则k 的值是（ ）A ．23B ．23-C ．32D ．32-2.在ABC ∆中，若1,3,30a b A ===，则B =（ ）A.60B.60或120C. 30或150D. 120 3.下列各式中，值为12的是（ ） A ．0sin15cos15 B ．22cossin 1212ππ-C ．0cos 42sin12sin 42cos12- D ．020tan 22.51tan 22.5- 4．若βα,都是锐角，且5sin 13α=，()4cos 5αβ+=-，则βsin 的值是（ ）A ．5665B ．1665C ．3365D ．63655.在ABC ∆中，c b a ,,分别是三内角C B A ,,的对边，且C A 22sin sin -＝()B B A sin sin sin -，则角C 等于（ ）A ．6πB ．3πC ．65π D ．32π6.若平面向量,,a b c 两两所成的角相等，且1,3a b c ===，则a b c ++等于（ ）A ．2B ．5C ．2或5D ．25或 7.在ABC ∆中，若31cos =A ，:=3:2AB AC ，则sin B 的值为（ ） A ．23 B ．79 C ．322 D ．4298．定义两个平面向量的一种新运算sin ,a b a b a b ⊗=⋅，（其中><b a ,表示b a ,的夹角），则对于两个平面向量,a b ，下列结论不一定成立的是（ ）A.a b b a ⊗=⊗B.2222()()a b a b a b ⊗+=⋅ C.()()a b a b λλ⊗=⊗ D.若0a b ⊗=，则a b 与平行9．给出下列4个命题： ①若B A 2sin 2sin =，则ABC ∆是等腰三角形； ②若B A cos sin =，则ABC ∆是直角三角形； ③若0cos cos cos <C B A ，则ABC ∆是钝角三角形；④若1)cos()cos()cos(=---A C C B C A ，则ABC ∆是等边三角形.其中正确的命题是（ ）A ．①③B ．③④C ．①④D ．②③ 10．已知两个平面向量m,n 满足：对任意的R λ∈,恒有()2m nm m n λ+--≥，则（ ） A ．m m n =- B ．m n =C ．m m n =+D ．2m n =二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，满分28分）11．若O 为坐标原点，(1,1)OA -=，(3,5)AB =，则点B 的坐标为 ； 12．已知α为锐角，4sin 5α=，则tan()4πα+= ； 13．求值0013sin10cos10-＝ ； 14．设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 且b c C a =+21cos ，则角A = ； 15．已知A 船在灯塔C 北偏东80处，且A 船到灯塔C 的距离为2km ，B 船在灯塔C 北偏西 40处，B A 、两船间的距离为7km ，则B 船到灯塔C 的距离为 ；16．已知ABC ∆中，060A ∠=,3BC =,则2AB AC +的最大值为 ；17．如图，在平行四边形ABCD 中，AP BD ⊥,垂足为P ,3AP =, 点Q 是BCD ∆内（包括边界）的动点，则AP AQ ∙的取值范围是 .三、解答题(本大题共5小题，满分52分。
安徽省宿州市省、市示范高中2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题
安徽省宿州市省、市示范高中2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题一、单选题1．复数5i 12i-的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．已知某平面图形OABC 的直观图是如图所示的梯形O A B C ''''，且2,3,2A B O C OA ''''''===，则原图形OABC 的面积为（ ）A ．BC ．12D ．10 3．若同一平面内的三个力123,,F F F u u r u u r u u r 作用于同一个物体，且该物体处于平衡状态.已知123,4F F ==u u r u u r ，且1F u u r 与2F u u r 的夹角为120︒，则力3F u u r 的大小为（ ）A ．37BC ．13 D4．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1,cos 63a A C π==，则c =（ ）A B ．23 C D ．83 5．如图，四边形OADB 是以向量OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r 为边的平行四边形.又13BM BC =，13CN CD =，则用a r ，b r 表示MN =u u u u r （ ）A ．1566a b +r rB ．()23a b +r rC ．1126a b -r rD ．1126a b +r r 6．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若满足2cos a B c =，则该三角形为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．不能确定7．已知ABC V 外心是点O ，且2,AO AB AC AB OB =+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则向量BA u u u r 在向量BC u u u r 上的投影向量为（ ）A ．14BC u u u r B ．14BC -u u u r C u u r D ．u u r 8．在ABC V 中，点D 满足34BD BC =u u u r u u u r ，点E 在射线AD （不含点A ）上移动，若,AE AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r 则22(2)μλ++的取值范围是（ ）A ．[4,)+∞B ．(4,)+∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞二、多选题9．下列命题中正确的有（ ）A ．若a b =r r ，则32a b >r rB ．BC BA DC AD --=u u u r u u u r u u u r u u u rC ．||||||a b a b a +=+⇔r r r r r 与b r 的方向相反D ．若非零向量,a b r r 满足||||a b a b +=-r r r r ，则向量a r 与b r 的夹角为π210．下列命题正确的有（ ）A ．若复数z 满足i 1z -=，则z 的最大值为2B ．若复数z 满足2R z ∈，则R z ∈C ．若复数12,z z 满足12=z z ，则12=±z zD ．若复数12,z z 满足2121z z z =且10z ≠，则12=z z11．在等腰梯形ABCD中，//,33,AB DC AB DC BC ===CD 所在的直线为轴，其余三边绕CD 旋转一周形成的面围成一个几何体，则下列说法正确的有（ ）A ．等腰梯形ABCD 的高为1B ．该几何体为圆柱C．该几何体的表面积为(6π+D ．该几何体的体积为7π3三、填空题12．已知向量(4,3),(7,1)a b ==-r r ，则向量a r 与b r 的夹角大小为.13．现有一块如图所示的三棱锥木料，其中40AVB AVC BVC ︒∠=∠=∠=，6VA VB VC ===，木工师傅打算过点A 将木料切成两部分，则截面AEF △周长的最小值为.14．由三角形内心的定义可得：若点O 为ABC V 内心，则存在实数λ，使得||||AB AC AO AB AC λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r .在ABC V中，tan BAC ∠=O 为ABC V 内心，且满足AO xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r ，则x y +的最大值为.四、解答题15．（1）在复数范围内解方程:2230x x -+=；（2）已知关于x 的方程20x ax ab -+=，其中,a b为实数，若2x =（i是虚数单位）是该方程的根，求a 与b 的值.16．已知向量(1,2),(2,3)a b ==-r r(1)设5c a b μ=-r r r ，若a c ⊥r r ，求实数μ的值；(2)若a b λ+r r 与2a b λ+r r 共线，求实数λ的值.17．2024年是宿州市泗县北部新城建立7周年，泗县县政府始终坚持财力有一分增长，民生有一分改善，全力打造我县民生样板，使寸土寸金的商业用地变身“城市绿肺”，老厂房、旧仓库变身步行道、绿化带等.现有一足够大的老厂房，计划对其改造，规划图如图中五边形ABCDE 所示，其中BDE △为等腰三角形，且11πππ,,,4km 1234CDE BCD CBD CD ∠=∠=∠==，计划沿线段BE 修建步行道.(1)求步行道BE 的长度；(2)现准备将ABE V 区域建为绿化带且23π∠=BAE ，当绿化带的周长最大时，求该绿化带的周长与面积.18．给出以下三个件:①222cos 4ab C a b =+-，②22(cos cos )b A a B c +=，③112tan tan sin A B b A +=.请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解.已知在锐角ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 且______.(1)求边长c ；(2)若ABC V 的面积ABC S V C 的最大值.19．定义1:对于一个数集A ，定义一种运算⊗，对任意,a b A ∈都有a b A ⊗∈，则称集合A 关于运算⊗是封闭的（例如:自然数集N 对于加法运算是封闭的）.定义2:对于一个数集A ，若存在一个元素a A ∈，使得任意c A Î，满足a c a ⨯=，则称a 为集合A 中的零元，若存在一个元素b A ∈，使得任意c A Î，满足b c c ⨯=，则称b 为集合A 中的单位元（例如:0和1分别为自然数集N 中的零元和单位元）.定义3:对于一个数集A ，如果满足下列关系:①有零元和单位元；②关于加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都是封闭的；③对于乘法和加法都满足交换律和结合律，且满足乘法对加法的分配律；则称这个数集A是一个数域.(1)指出常用数集N,Z,Q,R,C中，那些数集可以构成数域（不需要证明）；(2)已知集合{Z,Z}∣，证明:集合A关于乘法运算是封闭的；A x x a b a b==+∈∈(3)已知集合{,}∣，证明:集合A是一个数域.==+∈∈A x x a b a Q b Q。
四川省绵阳南山中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
rr 14．已知向量 a，b 满足
ar
r = 6，b
=
rr 4 ，且 a 与 b 的夹角为 60°，则
ar
+
r b
=
15．在正方形 OABC 中，点 D ， E 分别是 AB ， BC 的中点，则 cos ÐDOE ＝ . 2
16．在锐角 VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， b = 3 ， sin A + asin B = 2 3 ， 则 VABC 周长的取值范围为 .
^ cr .
(1)求 m 的值；
(2)求向量
ar
-
r b
与
r 2b
-
3cr
的夹角的余弦值.
19．已知 sin a sin a
+ cosπa - cosa
=
3，，a Î
æ çè
0
2
ö ÷ø
.
(1)求 tana 的值;
(2)若sin (a - b ) =
10 10
，且
b
Î
æ çè
0，π2
ö ÷ø
，求角
b
二、多选题
9．得到函数
y
=
cos
æ çè
2x
+
π 3
ö ÷ø
的图象，只需将函数
y
=
cos
x
图象上所有点的坐标（
）
试卷第21 页，共33 页
A．向左平移
π 3
个单位长度，再将横坐标缩短到原来的
1 2
倍（纵坐标不变）
B．向右平移
π 6
个单位长度，再将横坐标缩短到原来的
1 2
倍（纵坐标不变）
北京市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题含答案
北京2023—2024学年第二学期期中练习高一数学（答案在最后）2024.04说明：本试卷共4页，共120分.考试时长90分钟.一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.sin120︒的值等于（）A.12-B.12C.2D.2【答案】D 【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值得到2，从而可求解.【详解】由题意可得sin1202︒=，故D 正确.故选：D.2.若角α的终边过点()4,3，则πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.45B.45-C.35D.35-【答案】A 【解析】【分析】根据余弦函数定义结合诱导公式计算求解即可.【详解】因为角α的终边过点()4,3，所以4cos 5α==，所以π4sin cos 25αα⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故选：A3.已知扇形的弧长为4cm ，圆心角为2rad ，则此扇形的面积是（）A.22cmB.24cm C.26cm D.28cm 【答案】B【解析】【分析】由条件结合弧长公式l R α=求出圆的半径，然后结合扇形的面积公式12S lR =可得答案．【详解】因为扇形的圆心角2rad α=，它所对的弧长4cm l =，所以根据弧长公式l R α=可得，圆的半径2R =，所以扇形的面积211424cm 22S lR ==⨯⨯=；故选：B ．4.向量a ，b ，c在正方形网格中的位置如图所示，若向量c a b λ=+，则实数λ=（）A.2-B.1-C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】将3个向量的起点归于原点，根据题设得到它们的坐标，从而可求λ的值.【详解】如图，将,,a b c的起点平移到原点，则()()()1,1,0,1,2,1a b c ==-= ，由c a b λ=+可得()()()2,11,10,1λ=+-，解得2λ=，故选：D.5.下列四个函数中以π为最小正周期且为奇函数的是（）A.()cos2f x x =B.()tan2x f x =C.()()tan f x x =- D.()sin f x x=【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数的周期性和奇偶性对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A ，函数()cos2f x x =的最小正周期为π，因为()()()cos 2cos 2f x x x f x -=-==，所以()cos2f x x =为偶函数，A 错误，对于B ，函数()tan 2xf x =的最小正周期为2π，因为()()tan tan 22x x f x f x ⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭，所以函数()tan 2x f x =为奇函数，B 错误，对于C ，函数()()tan f x x =-的最小正周期为π，因为()()()tan tan f x x x f x -==--=-，所以函数()()tan f x x =-为奇函数，C 正确，对于D ，函数()sin f x x =的图象如下：所以函数()sin f x x =不是周期函数，且函数()sin f x x =为偶函数，D 错误，6.在ABC 中，4AB =，3AC =，且AB AC AB AC +=- ，则AB BC ⋅= （）A.16B.16- C.20D.20-【答案】B 【解析】【分析】将AB AC AB AC +=- 两边平方，即可得到0AB AC ⋅=，再由数量积的运算律计算可得.【详解】因为AB AC AB AC +=- ，所以()()22AB ACAB AC +=-，即222222AB AB AC AC AB AB AC AC +⋅+=-⋅+uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r ，所以0AB AC ⋅= ，即AB AC ⊥ ，所以()220416AB BC AB AC AB AB AC AB ⋅=⋅-=⋅-=-=- .故选：B7.函数cos tan y x x =⋅在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的图像为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】分别讨论x 在3,,[,)22ππππ⎛⎫⎪⎝⎭上tan x 的符号，然后切化弦将函数化简，作出图像即可.【详解】因为3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin ,,23sin ,.2x x y x x πππ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩故选：C.8.已知函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则“()ππ8k k α=+∈Z ”是“()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】【分析】首先求出()f x α+、()f x α-的解析式，再根据正弦函数的性质求出使()f x α+是偶函数且()f x α-是奇函数时α的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()sin 224f x x ααπ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，()sin 224f x x ααπ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，若()f x α-是奇函数，则112π,Z 4k k απ-+=∈，解得11π,Z 82k k απ=-∈，若()f x α+是偶函数，则222π,Z 42k k αππ+=+∈，解得22π,Z 82k k απ=+∈，所以若()f x α+是偶函数且()f x α-是奇函数，则π,Z 82k k απ=+∈，所以由()ππ8k k α=+∈Z 推得出()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数，故充分性成立；由()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数推不出()ππ8k k α=+∈Z ，故必要性不成立，所以“()ππ8k k α=+∈Z ”是“()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数”的充分不必要条件.故选：A9.已知向量,,a b c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅= ，则a b c ++ 的最大值是（）A.1+ B.C.D.1-【答案】A 【解析】【分析】根据题意，可设出向量,,a b c 的坐标，由于这三个向量都是单位向量，则向量,,a b c的终点都落在以坐标原点为圆心的单位圆上，作出示意图，由向量的性质可知，只有当c 与a b +同向时，a b c ++ 有最大值，求解即可.【详解】因为向量,,a b c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅= ，可设()1,0a =，()0,1b = ，(),c x y = ，如图，所以2a b += ，当c 与a b +同向时，此时a b c ++ 有最大值，为21+.故选：A .10.窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O ，四个半圆的圆心均为正方形ABCD 各边的中点（如图2），若P 为 BC 的中点，则()PO PA PB ⋅+=（）A .4B.6C.8D.10【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量的线性运算将()PO PA PB ⋅+ 化为OA 、OB 、OP表示，再根据平面向量数量积的运算律可求出结果.【详解】依题意得||||2OA OB ==，||2OP =，3π4AOP =Ð，π4BOP =Ð，所以3π2||||cos 22(242OA OP OA OP ⋅=⋅=⨯-=- ，π2||||cos 22242OB OP OB OP ⋅=⋅=⨯= ，所以()PO PA PB ⋅+= ()OP OA OP OB OP -⋅-+- 22||OA OP OB OP OP =-⋅-⋅+ 222228=-+⨯=.故选：C二､填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）11.写出一个与向量()3,4a =-共线的单位向量_____________.【答案】34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（答案不唯一）【解析】【分析】先求出a r ，则aa±即为所求.【详解】5a ==所以与向量()3,4a =- 共线的单位向量为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（答案不唯一）12.已知函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图，则π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.【解析】【分析】根据图象可得函数()f x 的最大值，最小值，周期，由此可求,A ω，再由5π212f ⎛⎫=⎪⎝⎭求ϕ，由此求得的解析式，然后求得π3f ⎛⎫⎪⎝⎭.【详解】由图可知，函数()f x 的最大值为2，最小值为2-，35ππ3π41234T =+=，当5π12x =时，函数()f x 取最大值2，又()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭所以2A =，32π3π44ω⨯=，所以2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+，又5π212f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以5π5π2sin 2126f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于πππ5π4π,22363ϕϕ-<<<+<，所以5πππ,623ϕϕ+==-，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ππ2sin 33f ⎛⎫== ⎪⎝⎭.13.已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则ϕ=__________.，若将函数()f x 图象仅向左平移π4个单位长度和仅向右平移π2个单位长度都能得到同一个函数的图象，则ω的最小值为__________.【答案】①.π6##1π6②.83##223【解析】【分析】由条件列方程求ϕ，再利用平移变换分别得到变换后的函数解析式，并根据相位差为2π,Z k k ∈求解；【详解】因为函数()()sin f x x ωϕ=+的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1sin 2ϕ=，又π2ϕ<，所以π6ϕ=，函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的图象仅向左平移π4个单位长度得到函数ππππsin sin 4646y x x ωωω⎡⎛⎫⎤⎛⎫=++=++ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎦⎝⎭⎣的图象，函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的图象仅向右平移π2个单位长度得到ππππsin sin 2626y x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，则ππππ2π4626k ωω⎛⎫⎛⎫+--+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（Z k ∈），化简得3π2π4k ω=（Z k ∈），解得83k ω=（Z k ∈），由于0ω>，所以当1k =时，ω取得最小值83，故答案为：π8,63．14.已知边长为2的菱形ABCD 中，π3DAB ∠=，点E 满足3BE EC = ，点F 为线段BD 上一动点，则AF BE ⋅的最大值为______.【答案】3【解析】【分析】建立如图平面直角坐标系，设BF BD λ= ，利用平面向量线性运算与数量积的坐标表示可得AF BE⋅关于λ的表达式，从而得解.【详解】如图，以A为原点建立平面直角坐标系，则(0,0),(2,0),A B C D ，因为3BE EC =，所以(33333,4444BE BC ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭，由题意，设()01BF BD λλ=≤≤，则(()BF λλ=-=- ，则()()()2,02,AF AB BF λλ=+=+-=-，所以()3333324422AF BE λλ⋅=-+=+，因为01λ≤≤，所以当1λ=时，AF BE ⋅的最大值为3.故答案为：3.15.声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数sin y A t ω=.音有四要素，音调､响度､音长和音色.它们都与函数sin y A t ω=及其参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖锐.我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音对应的函数是111sin sin 2sin 3sin 4234y x x x x =++++⋯..给出下列四个结论：①函数1111sin sin 2sin 3sin 4sin1023410y x x x x x =++++⋯+不具有奇偶性；②函数()111sin sin2sin3sin4234f x x x x x =+++在区间ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；③若某声音甲对应的函数近似为()11sin sin 2sin 323g x x x x =++，则声音甲的响度一定比纯音()1sin22h x x =的响度小；④若某声音乙对应的函数近似为()1sin sin 22x x x ϕ=+，则声音乙一定比纯音()1sin22h x x =更低沉.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】②④【解析】【分析】对①，结合奇偶性的定义判断即可；对②，利用正弦型函数的单调性作出判断；对③，分别判断()(),g x h x 的振幅大小可得；对④，求出周期，可得频率，即可得出结论.【详解】对于①，令()1111sin sin2sin3sin4sin1023410F x x x x x x =++++⋯+，所以()()()()()()1111sin sin 2sin 3sin 4sin 1023410F x x x x x x -=-+-+-+-+⋯+-，所以()1111sin sin2sin3sin4sin1023410F x x x x x x -=-----⋅⋅⋅-，所以()()F x F x -=-，所以()F x 是奇函数，①错误；对于②，由ππ88x -≤≤可得，ππ244x -≤≤，3π3π388x -≤≤，ππ422x -≤≤，所以111sin ,sin2,sin3,234x x x x 都在ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()111sin sin2sin3sin4234f x x x x x =+++在ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以函数()f x 在区间ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，②正确；对于③．因为()11sin sin 2sin 323g x x x x =++，所以π223g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()max 23g x ≥，即()g x 的振幅比()1sin22h x x =的振幅大，所以声音甲的响度一定比纯音()1sin22h x x =的响度大，所以③错误；对于④，因为()()()()112πsin 2πsin 24πsin sin 222x x x x x x ϕϕ+=+++=+=，所以函数()x ϕ为周期函数，2π为其周期，若存在02πα<<，使()()x x ϕϕα=+恒成立，则必有()()0ϕϕα=，()()110sin 0sin 00sin sin 222ϕϕααα∴=+===+，()sin 1cos 0αα∴+=，因为02πα<<，πα∴=，又()()()11πsin πsin 2πsin sin 222x x x x x ϕ+=+++=-+与()1sin sin 22x x x ϕ=+不恒相等，所以函数()1sin sin22x x x ϕ=+的最小正周期是2π，所以频率1112πf T ==而()h x 的周期为π，频率21πf =，12f f <，所以声音乙一定比纯音()1sin22h x x =更低沉，所以④正确．故答案为：②④.三､解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.如图，在ABC 中，2BD DC = ，E 是AD 的中点，设AB a = ，AC b = .（1）试用a ，b 表示AD ，BE ；（2）若1a b == ，a 与b 的夹角为60︒，求AD BE ⋅ .【答案】（1）1233AD a b =+ ，5163BE a b =-+ （2）518-【解析】【分析】（1）利用向量加法减法的三角形法则及数乘运算即可求解；（2）根据（1）的结论，利用向量的数量积运算法则即可求解.【小问1详解】因为2BD DC = ，所以23BD BC = ，所以221)212(333333AB AC AB AB AC a b AD AB BD AB BC +-=+=+=+=+= .因为E 是AD 的中点，所以()11211()22323BE BA BD AB BC AB AC AB ⎛⎫=+=-+=-+- ⎪⎝⎭ 51516363AB AC a b =-+=-+ .【小问2详解】因为1a b == ，a 与b 的夹角为60︒，所以11cos ,1122a b a b a b ⋅==⨯⨯= ，由（1）知，1233AD a b =+ ，5163BE a b =-+ ，所以22125154233631899AD BE a b a b a a b b ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=--⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭541251892918=--⨯+=-.17.已知函数()π3sin 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）若函数()f x 在区间[]0,a 内只有一个零点，直接写出实数a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的最小正周期为π，（2）函数()f x 的单调递增区间是3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；（3）a 的取值范围为3π7π,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【解析】【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式求解即可；（2）利用正弦函数的单调区间结论求解；（3）求出()0f x =的解后可得a 的范围．【小问1详解】因为()π3sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==；【小问2详解】由πππ2π22π242k x k -≤+≤+，Z k ∈，可得3ππππ88k x k -≤≤+，Z k ∈，所以函数()f x 的单调递增区间是3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；【小问3详解】由π()3sin(204f x x =+=可得，π2π4x k +=，Z k ∈所以ππ28k x =-，Z k ∈，因为函数()f x 在区间[]0,a 上有且只有一个零点，所以3π7π88a ≤<，所以实数a 的取值范围为3π7π,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭.18.已知()()()4,0,0,4,cos ,sin ,(0π)A B C ααα<<.（1）若OA OC += （O 为坐标原点），求OB 与OC 的夹角；（2）若⊥ AC BC ，求sin cos αα-的值.【答案】（1）OB 与OC 的夹角为π6，（2）sin cos 4αα-=【解析】【分析】（1）根据向量模长以及夹角的坐标公式计算即可；（2）由向量垂直得到数量积为0，进而得到1sin cos 4αα+=，通过平方得到2sin cos αα，进而可得()2sin cos αα-，再根据α的范围确定正负，开方得解.【小问1详解】因为()()()4,0,0,4,cos ,sin A B C αα，所以()()()4,0,0,4,cos ,sin OA OB OC αα=== ，所以()4cos ,sin OA OC αα+=+ ，由OA OC += ()224+cos sin 21αα+=，所以1cos 2α=，又0πα<<，，所以π3α=，13,22C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设OB 与OC 的夹角为β()0πβ≤≤，则cos OB OC OB OC β⋅= 23342==,又0πβ≤≤，故OB 与OC 的夹角为π6，【小问2详解】由⊥ AC BC 得0AC BC ⋅= ，又()cos 4,sin AC αα=- ，()cos ,sin 4BC αα=- ，所以()()cos 4cos sin sin 40αααα-+-=，所以1sin cos 4αα+=，所以152sin cos 016αα-=<，又0πα<<，所以ππ2α<<,所以()21531sin cos 11616αα--=-=，所以sin cos 4αα-=.19.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭，且()f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，再从条件①､条件②､条件③中选择两个作为一组已知条件.（1）确定()f x 的解析式；（2）设函数()π24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则是否存在实数m ，使得对于任意1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立？若存在，求实数m 的取值范围：若不存在，请说明理由.条件①：()f x 的最小值为2-；条件②：()f x 图像的一个对称中心为5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭；条件③：()f x 的图像经过点5π,16⎛⎫- ⎪⎝⎭.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）选①②，②③，①③答案都为()2sin(2)6f x x π=+，（2）存在m 满足条件，m 的取值范围为2,0⎤⎦.【解析】【分析】（1）先根据已知求出()f x 的最小正周期，即可求解ω，选条件①②：可得()f x 的最小值为A -，可求A ．根据对称中心可求ϕ，即可得解函数解析式；选条件①③：可得()f x 的最小值为A -，可求A ．根据函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫⎪⎝⎭，可求ϕ，可得函数解析式；选条件②③：根据对称中心可求ϕ，再根据函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫⎪⎝⎭，可求A 的值，即可得解函数解析式．（2）求出函数()f x ，()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域，再结合恒成立、能成立列式求解作答.【小问1详解】由于函数()f x 图像上两相邻对称轴之间的距离为π2，所以()f x 的最小正周期π2π2T =⨯=，所以2π2T ω==，此时()()sin 2f x A x ϕ=+.选条件①②：因为()f x 的最小值为A -，所以2A =．因为()f x 图象的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，所以5π2π(Z)12k k ϕ⨯+=∈，所以56k ϕπ=π-，()k ∈Z ，因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=，此时1k =，所以()2sin(2)6f x x π=+．选条件①③：因为()f x 的最小值为A -，所以2A =．因为函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫-⎪⎝⎭，则5π()16f =-，所以5π2sin()13ϕ+=-，即5π1sin()32ϕ+=-．因为||2ϕπ<，所以7π5π13π636ϕ<+<，所以5π11π36ϕ+=，所以π6ϕ=，所以()2sin(2)6f x x π=+．选条件②③：因为函数()f x 的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，所以5π2π(Z)12k k ϕ⨯+=∈，所以5ππ(Z)6k k ϕ=-∈．因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=，此时1k =．所以π()sin(26f x A x =+．因为函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫-⎪⎝⎭，所以5π(16f =-，所以5ππsin 136A ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，11πsin 16A =-，所以2A =，所以()2sin(2)6f x x π=+．综上，不论选哪两个条件，()2sin(2)6f x x π=+.【小问2详解】由（1）知，()2sin(2)6f x x π=+，由20,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得：2ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，2π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因此[]2()1,2f x ∈-，由10,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得：1ππ5π2,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1πsin 2,142x ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，因此1()g x ⎡∈-⎣，从而1()1,g x m m m ⎡-∈---+⎣，由()()12m g x f x =-得：()()21f x g x m =-，假定存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立，即存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()21f x g x m =-成立，则[]1,1,2m m ⎡---+⊆-⎣，于是得112m m --≥-⎧⎪⎨-+≤⎪⎩，解得20m -≤≤，因此存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立，所以实数m的取值范围是2,0⎤⎦.20.对于定义在R 上的函数()f x 和正实数T 若对任意x ∈R ，有()()f x T f x T +-=，则()f x 为T -阶梯函数.（1）分别判断下列函数是否为1-阶梯函数（直接写出结论）：①()2f x x =；②()1f x x =+.（2）若()sin f x x x =+为T -阶梯函数，求T 的所有可能取值；（3）已知()f x 为T -阶梯函数，满足：()f x 在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且对任意x ∈R ，有()()2f T x f x T x --=-.若函数()()F x f x ax b =--有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为123,,,x x x ⋅⋅⋅；若1a =时，证明：存在b ∈R ，使得()F x 在[]0,2023T 上有4046个零点，且213240464045x x x x x x -=-=⋅⋅⋅=-.【答案】（1）①否；②是（2）2πT k =，*k ∈N （3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用T -阶梯函数的定义进行检验即可判断；（2）利用T -阶梯函数的定义，结合正弦函数的性质即可得解；（3）根据题意得到()()F x T F x +=，()()F T x F x -=，从而取3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合零点存在定理可知()F x 在(),1mT m T +⎡⎤⎣⎦上有且仅有两个零点：4T mT +，34T mT +，从而得解.【小问1详解】()2f x x =，则22(1)()(1)211f x f x x x x +-=+-=+≠；()1f x x =+，则(1)()11f x f x x x +-=+-=，故①否；②是.【小问2详解】因为()f x 为T -阶梯函数，所以对任意x ∈R 有：()()()()()sin sin sin sin f x T f x x T x T x x x T x T T +-=+++-+=+-+=⎡⎤⎣⎦.所以对任意x ∈R ，()sin sin x T x +=，因为sin y x =是最小正周期为2π的周期函数，又因为0T >，所以2πT k =，*k ∈N .【小问3详解】因为1a =，所以函数()()F x f x x b =--，则()()()()()()()F x T f x T x T b f x T x T b f x x b F x +=+-+-=+-+-=--=，()()()()()()()2F T x f T x T x b f x T x T x b f x x b F x -=----=+----=--=.取3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则有3330444TT T F f b ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，30444T T T F F T F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由于()f x 在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()()F x f x x b =--在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，结合()()F T x F x -=，则有()F x 在0,2T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点4T ，在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点34T .又由于()()F x T F x +=，则对任意k ∈Ζ，有044T T F kT F ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33044T T F kT F ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，对任意m ∈Z ，()F x 在(),1mT m T +⎡⎤⎣⎦上有且仅有两个零点：4T mT +，34T mT +.综上所述，存在3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，使得()F x 在[]0,2023T 上有4046个零点，且14T x =，234T x =，354T x =，474T x =，L ，404580894T x =，404680914T x =，其中，2132404640452T x x x x x x -=-=⋅⋅⋅=-=.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是充分理解新定义T -阶梯函数，从而在第3小问推得()()F x T F x +=，()()F T x F x -=，由此得解.。
山东高一高中数学期中考试带答案解析
山东高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.sin(-)的值是（）A．B．- C．D．-2.已知, , 且, 则等于 ( )A －1B －9C 9D 13.设四边形ABCD中，有=，且||=||，则这个四边形是（）A．平行四边形B．矩形C．等腰梯形D．菱形4.下列函数中, 最小正周期为的是( )A B C D5.要得到的图像, 需要将函数的图像( )A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位6.已知，满足：，，，则=" (" )A．B．C．3D．107.函数y =" 2sin" (2x +)的一条对称轴是（）A． x = B． x = C． x = D． x =8.已知sin cos,且，则sin+cos的值为（）A．B． -C．D．9.的单调递减区间是( )A BC D10.已知, , 则的值为( )A B C D11.函数的部分图象如右图，则、可以取的一组值是（）A．B．C．D．12.平面直角坐标系中，已知两点A（3,1），B（－1,3），若点C满足，则点C的轨迹方程是（）A．3x+2y－11=0;B．(x－1)2+(y－2)2=5;C．2x－y=0;D．x+2y－5=0;13.sin(-)的值是（）A．B．- C．D．-14.已知, , 且, 则等于 ( )A －1B －9C 9D 115.设四边形ABCD中，有=，且||=||，则这个四边形是（）A．平行四边形B．矩形C．等腰梯形D．菱形16.下列函数中, 最小正周期为的是( )A B C D17.要得到的图像, 需要将函数的图像( )A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位18.已知，满足：，，，则=" (" )A．B．C．3D．1019.函数y =" 2sin" (2x +)的一条对称轴是（）A． x = B． x = C． x = D． x =20.已知sin cos,且，则sin+cos的值为（）A．B． -C．D．21.的单调递减区间是( )A BC D22.已知, , 则的值为( )A B C D23.函数的部分图象如右图，则、可以取的一组值是（）A．B．C．D．24.平面直角坐标系中，已知两点A（3,1），B（－1,3），若点C满足，则点C的轨迹方程是（）A．3x+2y－11=0;B．(x－1)2+(y－2)2=5;C．2x－y=0;D．x+2y－5=0;二、填空题1.已知扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积是。
陕西高一高中数学期中考试带答案解析
陕西高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.要了解一批产品的质量，从中抽取200个产品进行检测，则这200个产品的质量是（）A．总体B．总体的一个样本C．个体D．样本容量2.= （）A．B．C．D．3.将两个数a=8,b=17交换,使a=17,b=8,下面语句正确一组是 ( )A．B．C．D．4.函数的一个单调递增区间为( )A．B．C．D．5.有一堆形状大小相同的珠子,其中只有一粒质量比其他的轻,某同学经过思考,认为根据科学的算法,利用天平(不用砝码),二次称量肯定能找到这粒质量较轻的珠子,则这堆珠子最多有( )粒A．6B．7C．9D．126.函数+5是（）A．最小正周期为2π的偶函数B．最小正周期为2π的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为π的奇函数7..若A与B是互斥事件，其发生的概率分别为，则A、B同时发生的概率为（）A. B. C. D. 08.如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个形状颜色不全相同的概率为( )A．B．C．D．第8题9.某人从甲地去乙地共走了500m，途经一条宽为m的河流，该人不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能被找到的概率为，则河宽为（）80m Ｂ．100m Ｃ．40m Ｄ．50m10.若为锐角且，则的值为（）A B C D11.某考察团对全国10个城市进行职工人均工资水平（千元）与居民人均消费水平（千元）统计调查，与具有相关关系，回归方程为．若某城市居民人均消费水平为7.675（千元），估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为（）A．83%B．72%C．67%D．66%12.图l是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为、、…、(如表示身高(单位：)在[150，155)内的学生人数)图2是统计图l中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图现要统计身高在160～180(含160，不含180)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（）A B C D二、填空题1.设扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是2.与设是定义域为，最小正周期为的函数，若则等于____________3.终边相同的最小正角是_______________4.= ___________．三、解答题1.（8分）化简：。
2023-2024学年江苏省苏州市高一下册期中数学试题(含解析)
2023-2024学年江苏省苏州市高一下册期中数学试题一、单选题1．已知复数1iiz -=，则z 的虚部为（）A ．i-B ．iC ．1-D ．1【正确答案】C【分析】先利用复数代数形式的除法运算化简复数z ，再求z 的虚部.【详解】221i i i i 11i i i 1z --+====---，则z 的虚部为1-.故选：C.2．P 是ABC 所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则P 是ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【正确答案】D【分析】利用平面向量数量积的性质推导出PB AC ⊥，进一步可得出PA BC ⊥，PC AB ⊥，即可得出结论.【详解】因为PA PB PB PC ⋅=⋅，则()0PB PC PA PB AC ⋅-=⋅= ，所以，PB AC ⊥，同理可得PA BC ⊥，PC AB ⊥，故P 是ABC 的垂心.故选：D.3．已知复数z 满足2z +，则2i z -的最小值为（）AB ．C ．D ．【正确答案】A【分析】设i z x y =+(),R x y ∈，由题意可得()222+2x y +≤，由此可知复数z 对应的点(),x y在以()2,0-为半径的圆上及圆内部，而2i z -=(),x y 到点()0,2的距离，进而结合圆的知识即可求解.【详解】设i z x y =+(),R x y ∈，则2i x y ++≤即()222+2x y +≤，所以复数z 对应的点(),x y 在以()2,0-为半径的圆上及圆内部，又()2i 2i z x y -=+-=(),x y 到点()0,2的距离，而()2,0-到()0,2的距离为所以2i z-的最小值为.故选：A.4．欧拉公式()i e cos isin e 2.71828θθθ=+= 是由18世纪瑞士数学家､自然科学家莱昂哈德･欧拉发现的，被誉为数学上优美的公式.已知πi 61e 22θ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-+，则cos θ=（）A．B ．12-C ．12D ．2【正确答案】A【分析】按已知公式展开，由等式列出方程组，解出5π2π6k θ=+，进而求解.【详解】i e cos isin θθθ=+，πi 6ππ1ecos isin i 6622θθθ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫∴=-+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π1cos 62πsin 62θθ⎧⎛⎫-=- ⎪⎪⎝⎭⎪∴⎨⎛⎫⎪-= ⎪⎪⎝⎭⎩，π2π2π63k θ∴-=+，Z k ∈，即5π2π6k θ=+，Z k ∈，5π5πcos cos 2πcos 66k θ⎛⎫∴=+=- ⎪⎝⎭故选：A.5．在如图所示的半圆中，AB 为直径，O 为圆心，点C 为半圆上一点且15OCB ∠= ，AB = ，则AC等于（）A ．4+B 1C 1D ．4-【正确答案】C【分析】依题意可得30COA ∠=，OA OC == AC OC OA =- ，根据数量积的运算律计算可得.【详解】因为15OCB ∠= ，OC OB =，所以230COA OCB ∠∠== ，又AB = OA OC == AC OC OA =-，所以AC OC OA =-==1=.故选：C6．在ABC 中，若cos 1cos2cos 1cos2b C Bc B C⋅-=⋅-，则ABC 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【正确答案】D【分析】根据正弦定理或三角恒等变换，记得判断ABC 的形状.【详解】由正弦定理，以及二倍角公式可知，22cos sin cos 1cos22sin cos sin cos 1cos22sin b C B C B Bc B C B C C⋅⋅-==⋅⋅-,即cos sin cos sin C BB C=，整理为sin cos sin cos B B C C =，即11sin 2222B C =，得22B C =，或2218090B C B C +=⇒+= ,所以ABC 的形状为等腰三角形或直角三角形.故选：D7．点P 是ABC 所在平面内一点且满足AP xAB yAC =+，则下列说法正确的个数有（）①若12x y ==，则点P 是边BC 的中点；②若点P 是BC 边上靠近B 点的三等分点，则12,33x y ==；③若点P 在BC 边的中线上且12x y +=，则点P 是ABC 的重心；④若2x y +=，则PBC 与ABC 的面积相等.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【正确答案】B【分析】①转化为BP PC = ，即可判断；②选项转化为2BP PC =，进而根据平面向量基本定理即可判断；③分析可得点P 为BC 边的中线的中点，即可判断；④可得点P 在直线MN 上，点P 与点A 到BC 边的距离相等即可判断.【详解】①若12x y ==，则1122AP AB AC =+ ，即AP AB AC AP -=-，即BP PC = .即点P 是边BC 的中点，故①正确；②由点P 是BC 边上靠近B 点的三等分点，所以2BP PC =，即()2AP AB AC AP -=- ，即21=33AP AB AC + ，所以21,33x y ==，故②错误；③因为点P 在BC 边的中线上，设D 为BC 中点，设AP AD λ= ，又()1=2AD AB AC + ，所以22AP AB AC λλ=+ ，又12x y +=，则1+=222λλ，所以1=2λ，即12AP AD = ，所以点P 为BC 边的中线的中点，故不是重心，故③错误；④设2AM AB = ，2AN AC =，则22x y AP AM AN =+ ，221x y +=，故点P 在直线MN 上，点P 与点A 到BC 边的距离相等，所以PBC 与ABC 的面积相等，故④正确.故选：B.8．在ABC 中，3B π=，BC，则cos A 的值为（）A．B．CD【正确答案】B【分析】由题意设出BC x =，再利用锐角三角函数结合勾股定理，分别求出AB 、AC 的值，再由余弦定理即可求出cos A 的值.【详解】由题意，设BC x =，那么BC边上的高AD =，3B π= ，3sin 3ADxAB π∴==，6tan 3ADxBD π==，则56xDC BC BD =-=，2222225769x x AC DC AD ⎛⎫∴=+=+= ⎪⎝⎭⎝⎭，在ABC中，由余弦定理可得：222222799cos 2x x x AB AC BC A AB AC +-+-==-⋅故选：B.二、多选题9．若关于x 的方程20x ax b ++=的一个根是12i -，则下列说法中正确的是（）A ．2a =-B ．=5b -C ．i a b +的共轭复数在复平面内对应的点在第二象限D ．i,i a b a b ++在复平面内对应的两点间的距离为【正确答案】AD【分析】首先将方程的实数根代入方程，求,a b ，再分别根据共轭复数的定义，以及复数的几何意义判断选项.【详解】由条件可知，()()212i 12i 0a b -+-+=，整理为()()342i 0a b a +--+=，则30420a b a +-=⎧⎨+=⎩，2,5a b =-=，故A 正确，B 错误；i 25i a b +=-+，其共轭复数i 25i a b -=--，对应的点的坐标为()2,5--，在第三象限，故C错误；i 25i a b +=-+，对应的点为()2,5-，52i ai b +=-，对应的点为()5,2-，两点间的距离d ==D 正确.故选：AD10．下列命题正确的是（）A ．非零向量1e 和2e不共线，若121212,2,36AB e e AC e e CD e e =-=+=- ，则B 、C 、D 三点共线B ．已知1e 和2e 是两个夹角为60的单位向量，12122,4a e e b ke e =+=- 且a b ⊥ ，则实数5k =C ．若四边形ABCD 满足()0,0AB CD AB AD AC +=-⋅=，则该四边形一定是矩形D ．点O 在ABC 所在的平面内，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，则动点P 的运动路径经过ABC 的重心【正确答案】BD【分析】计算出BC ，即可判断BC 与CD不共线，从而判断A ，根据数量积的定义及运算律判断B ，可得⊥DB AC 再结合平面几何的性质判断C ，设BC 的中点为D ，得到2AP AD λ=，即可判断D.【详解】对于A ：因为非零向量1e 和2e 不共线，所以1e 和2e可以作为平面内的一组基底，因为12AB e e =- ，122AC e e =+ ，1236CD e e =-所以()()12121222BC e e e e A AB e C e ==+--=+- ，显然不存在实数λ使得CD BC λ=，故B 、C 、D 三点不共线，故A 错误；对于B ：因为1e 和2e 是两个夹角为60 的单位向量，所以121211cos 601122e e e e =︒⋅=⨯⨯=⋅ ，又122a e e =+，124b ke e =- 且a b ⊥ ，所以()()()2211212122240284a b e e ke e ke e k e e ⋅=+⋅-=--⋅+=，即()120842k k --+=，解得5k =，故B 正确；对于C ：由0AB CD += 可得ABCD 为平行四边形，()0AB AD AC -⋅= ，即0DB AC ⋅=，所以⊥DB AC，即四边形ABCD 为对角线互相垂直的平行四边形，则该四边形可能是菱形或正方形，故C 错误；对于D ：设BC 的中点为D ，则2AB AC AD +=，因为()OP OA AB AC λ=++ ，所以2OP OA AD λ-=，即2AP AD λ= ，所以A 、P 、D 三点共线，即P 在AD 上，又三角形重心在AD 上，所以动点P 的运动路径经过ABC 的重心，故D 正确；故选：BD11．在ABC 中，π,33B b c ===，则下列说法正确的是（）A ．C 有两解B ．BC 边上的高为2C ．BC 的长度为32+D ．ABC 的面积为94【正确答案】BC【分析】根据正弦定理判断A ；根据条件直接求BC 边上的高，判断B ；根据余弦定理判断C ；根据三角形面积公式判断D.【详解】A.根据正弦定理可知，sin sin c b C B =，则3sin C =:3sin 4C =，且c b <，所以角C 只有一解，故A 错误；B.BC 边上的高sin 322h c B ===，故B 正确；C.根据余弦定理2222cos b a c ac B =+-，即21293a a =+-，解得：32a +=或0a <（舍）即BC ，故C 正确；D.9113sin 32228ABCSac B +==⨯⨯= ，故D 错误.故选：BC12．已知函数()()()sin cos sin cos f x x x x x =-+，则下列说法正确的是（）A ．()f x 在区间32π,π2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增B ．()f x 的对称轴是()ππZ 4x k k =+∈C ．方程()302f x -=在[]2π,2πx ∈-的解为12,,,n x x x ，且12πn x x x +++=- D ．若()()123f x f x -=，则12min3π4x x -=【正确答案】ACD【分析】A.去绝对值后，化简函数，判断函数的单调性；B.根据对称性的性质，判断对称性；C.去绝对值，写成分段函数，根据图象，判断选项；D.根据函数的最值，结合图象，判断D.【详解】()()()()()2πsin 2πcos 2πsin 2πcos 2πf x x x x x +=+-+⎡+++⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()sin cos sin cos x x x x f x =-+=，所以函数是周期函数，周期为2π，当3π2π,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，()()()22sin cos sin cos sin cos cos 2f x x x x x x x x =-+=-=-，[]24π,3πx ∈--，根据周期性可知，与[]0,π的单调性一样，cos y x =在区间[]0,π单调递减，所以()cos 2f x x =-在区间3π2π,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递增，故A 正确；若函数()f x 的对称轴是()ππZ 4x k k =+∈，则其中一条对称轴是π4x =，但()01f =-，π12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()π02f f ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，所以函数不关于π4x =对称，故B 错误；当cos 0x ≥时，()()()22sin cos sin cos sin cos cos 2f x x x x x x x x =-+=-=-，当cos 0x <时，()()2sin cos 1sin 2f x x x x =-=-，所以()ππcos 2,2π,2π22π3π1sin 2,2π,2π22x x k k f x x x k k ⎧⎡⎫-∈-++⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎫⎪-∈++⎪⎢⎪⎣⎭⎩，Z k ∈，如图，画出函数的图象，当3ππ,22x ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭时，1sin 2y x =-，当5π4x =-时，取得最大值2，当π3π,22x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，1sin 2y x =-，当3π4x =时，取得最大值2，方程()302f x -=在[]2π,2πx ∈-的解为1234,,,x x x x ，125π5π242x x ⎛⎫+=⨯-=- ⎪⎝⎭，343π3π242x x ⎛⎫+=⨯= ⎪⎝⎭，所以1234πx x x x +++=-，故C正确；因为函数的最大值为2，最小值为-1，若()()123f x f x -=，则()12f x =，()21f x =-，113π2π4x k =+,222πx k =,12,Z k k ∈,12123π2π2π4x x k k -=+-,所以12min3π4x x -=，故D 正确.故选：ACD.三、填空题13．下面给出的几个关于复数的命题，①若()()22432i x x x -+++是纯虚数，则实数2x =±②复数()21i()a a +∈R 是纯虚数③复数sin100i cos100z ︒︒=-+在复平面内对应的点Z 位于第三象限④如果复数z 满足|i ||i |2z z ++-=，则|2i 1|z --的最小值是2以上命题中，正确命题的序号是______.【正确答案】②③【分析】根据纯虚数的概念和复数的几何意义逐个检验可得【详解】对于①，因为22(4)(32)i x x x -+++为纯虚数，所以224=0320x x x ⎧-⎨++≠⎩，解得2x =，故①错误；对于②，因为R a ∈，所以2+10a ≠，所以2(+1)i a 是纯虚数，故②正确；对于③，因为sin1000︒-<，cos1000︒<，所以sin100i cos100z ︒︒=-+在复平面内对应的点在第三象限，故③正确；对于④，由复数的几何意义知，i i 2z z ++-=表示复数z 对应的点Z 到点(0,1)A -和到点(0,1)B 的距离之和，又因为2AB =，所以复数z 对应的点Z 在线段AB 上，而2i 1z --表示点Z 到点(1,2)P 的距离，所以其最小值为PB =故②③．14．已知()π0,sin sin3a f x x a x ⎛⎫>=-- ⎪⎝⎭=a __________.【正确答案】2【分析】利用两角差的正弦公式化简，再结合辅助角公式列出关于a 的方程，即可求得答案.【详解】由()π0,sin sin 3a f x x a x ⎛⎫>=-- ⎪⎝⎭1()sin cos 22a x x =-，由于()f x221()(32a -+=，解得2a =，或1a =-（负值舍去），故215．ABC 是钝角三角形，内角,,A B C 所对的边分别为,,,2,4a b c a b ==，则最大边c 的取值范围为__________.【正确答案】()【分析】由题意可得π2C >，由余弦定理结合c a b <+即可求解.【详解】因为ABC 是钝角三角形，最大边为c ，所以角C 为钝角，在ABC 中，由余弦定理可得：2222416cos 0216a b c c C ab +-+-==<，可得c >又因为6c a b <+=，所以6c <<，所以最大边c 的取值范围是.()故答案为.()16．根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和．现在对直角三角形CDE 按上述操作作图后，得如图所示的图形，若AF AB AD x y =+，则x y -=____________．【正确答案】12-/-0.5【分析】建立平面直角坐标系，标出各个点的坐标，利用平面向量的坐标运算即可得解.【详解】如图，以A 为原点，分别以,AB AD为,x y 轴建立平面直角坐标系，设正方形ABCD 的边长为2a ，则正方形DEHI ，正方形EFGC 边长为a可知()0,0A ，()2,0B a ，()0,2D a ，)1DF a=则)1cos 30F x a =⋅ ，)1sin 302F y a a =+⋅+ ，即F a a ⎫⎪⎪⎝⎭又AF AB AD x y =+，()()()3353,2,00,22,222a a x a y a ax ay ⎛⎫++∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭即33225322ax a ay a⎧+=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即33532222ax ay a a ++-=-，化简得12x y -=-故12-四、解答题17．已知复数()()212221i,sin 12cos i z m m z λθθ=-+-=+--（其中i 是虚数单位，,R m λ∈）.(1)若1z 在复平面内表示的点在第三象限的角平分线上，求实数m 的值；(2)若12z z =，求实数λ的取值范围.【正确答案】(1)3m =-(2)3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由题意可得22210m m -=-<，解之即可得解；（2）根据12z z =，可得()22sin 2112cos m m λθθ⎧-=+⎪⎨-=--⎪⎩①②，消去m ，再结合三角函数的性质即可得解.【详解】（1）若1z 在复平面内表示的点在第三象限的角平分线上，则22210m m -=-<，解得3m =-；（2）若12z z =，则()22sin 2112cos m m λθθ⎧-=+⎪⎨-=--⎪⎩①②，由②得22cos m θ=③，将①③相加得22sin cos λθθ=++，故22213cos sin 2sin sin 1sin 24λθθθθθ⎛⎫=--+=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为1sin 1θ-≤≤，则当1sin 2θ=时，min 34λ=，当sin 1θ=-时，max 3λ=，所以λ的取值范围为3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦.18．已知函数()2ππ2sin ,(0)6212x f x x ωωω⎛⎫⎛⎫=+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图象的相邻两对称轴间的距离为π2.(1)求()f x 的解析式；(2)将函数()f x 的图象向左平移π6个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递减区间.【正确答案】(1)()2sin 2f x x=(2)ππ7ππ,242242k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简即可求解；（2）根据函数图象的平移和变换公式得到()π2sin 43g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的图象及性质求解即可.【详解】（1）由()2ππ2sin 16212x f x x ωω⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得：()ππππcos 2sin 2sin 6666f x x x x x ωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由于相邻两对称轴间的距离为π2，故函数的最小正周期为π，故2ω=．所以()2sin 2f x x =．（2）由题意，将函数()f x 的图象向左平移π6个单位长度，可得ππ2sin 22sin 263y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，再把所得图象上各点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()π2sin 43g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ3π2π42π232k x k +≤+≤+，Z k ∈，即ππ7ππ242242k k x +≤≤+，Z k ∈，所以()g x 的单调递减区间为ππ7ππ,242242k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.19．设1z 是虚数，2111z z z =+是实数且21122z -≤≤.(1)求1z 的值以及1z 实部的取值范围；(2)若1111z z ω-=+，求证：ω为纯虚数.【正确答案】(1)11z =，11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2)证明见解析【分析】（1）待定系数法设出1i z a b =+，代入到上式，利用共轭复数进行化简，由2z 是实数可求得221a b +=，且22z a =，故而11z =，再根据21122z -≤≤，即可求得实部a 的范围；（2）直接将（1）中1i z a b =+代入，结合复数的除法运算化简1111z z ω-=+，再由a ，b 范围即可得证.【详解】（1）设1i z a b =+(,R a b ∈，且0b ≠)，则()()()22222i 1i i i i i ia b a b z a b a b a b a b a b a b a b a b -⎛⎫⎛⎫=++=++=++- ⎪ ⎪++-++⎝⎭⎝⎭，∵2z 是实数，0b ≠，∴221a b +=，即11z =，则22z a =，又∵21122z -≤≤，∴11222a -≤≤，即1144a -≤≤，∴1z 的实部的取值范围为11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）()()()()()()2212211i 1i 1i 11i 1i 1i 1i 11a b a b b aa b z a b a b a b b z a ω-++++---+====+-+-+++++()222212i 12i 1i121211b a b b b a a b a a +-++-==++++++，因为0b ≠，1144a -≤≤，所以ω为纯虚数.20．如图，一个直径为5m 的水车按逆时针方向每分钟转1.8圈，水车的中心O 距离水面的高度为1.25m ，水车上的盛水筒P 到水面的距离为h （单位：m ）（在水面下则h 为负数），若以盛水筒P 刚浮出水面时开始计时，则h 与时间t （单位：s ）之间的关系为()πsin 0,0,2h A t b A ωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭.(1)求h 与t 的函数解析式；(2)求在一个旋转周期内，盛水筒P 在水面以上的时长.【正确答案】(1)()53π5sin 25064h t t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭(2)200s 9【分析】（1）依题意可得52A R ==， 1.25b =，由周期求出ω，再结合图形可得1sin 2ϕ=-，即可求出ϕ，从而得到函数解析式；（2）令()0h t >，即3π1sin 5062t π⎛⎫->- ⎪⎝⎭，结合正弦函数的性质计算可得.【详解】（1）依题意52A R ==， 1.25b =，1.8160T =，即1003T =，则2π2π3π100503Tω===，由给定的图形知， 1.251sin 2.52ϕ=-=-，又||2ϕπ<，即有π6ϕ=-，所以h 与t 的函数解析式是()53π5sin 25064h t t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；（2）令()53π5sin 025064h t t π⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，即3π1sin 5062t π⎛⎫->- ⎪⎝⎭所以3π765066t πππ-<-<，解得20009t <<，所以水车在一个旋转周期内，盛水筒P 在水面以上的时长为200s 9．21．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，满足()sin sin sin 2sin b B c C A a b C +=⋅-.(1)求角A 的余弦值；(2)若D 是边AB 的中点且2CD =，求b 的取值范围.【正确答案】(1)2-(2)(2,【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理得到sin cos A A =-，即可求出A ，从而得解；（2）设ACD α∠=，利用正弦定理表示出AD ，AC ，设()f b α=，利用辅助角公式化简，最后结合正弦函数的性质计算可得.【详解】（1）在ABC 中，由正弦定理有sin sin sin a b cA B C==，sin sin sin (2sin )b B c C A a b C +=⋅- ，22sin sin sin (sin 2sin sin )B C A A B C ∴+=⋅-，即2222sin b c a bc A +=-，在ABC 中，由余弦定理，有2222cos a b c bc A =+-，2sin 2cos bc A bc A ∴=-，则sin cos A A =-，即tan 1A =-，(0,)A π∈ ，∴34A π=，则cos 2A =-；（2）如图，设ACD α∠=，则4ADC πα∠=-，(0,)4πα∈，在ACD 中,根据正弦定理，有sin sin sin CD AD ACA ACD ADC==∠∠，2c AD α∴==，sin()4AC b πα==-，设()sin()8sin 2cos 6sin 4f b πααααα==-+=+cos sin )sin()αααθ==+，（其中sinθ=，cos θ=(0,)6πθ∈）又()(,)(0,42ππαθθθ+∈+∈，所以()f α在(0,)2πα∈上单调递增，所以(),))4f παθθ∈+，又sin()(sin cos )425πθθθ+=+=，所以b 的取值范围为(2,．22．设正ABC 的边长为1,O 为ABC 的外心，12,,,n P P P 为BC 边上的1n +等分点，12,,,n Q Q Q 为AC 边上的1n +等分点，12,,,n L L L 为AB 边上的1n +等分点.(1)当2023n =时，求122023OC OP OP OP OB +++++的值；(2)当4n =时.（i ）求i j OC CP OC CQ ⋅+⋅的值（用,i j 表示）；（ii ）求()1,,4,,,i j j k k i OP OQ OQ OL OL OP i j k i j k N⋅+⋅+⋅≤≤∈的最大值与最小值.【正确答案】(2)（i ）510i j --；（ii ）最大值为225-，最小值为1350-．【分析】（1）根据,,i B P C 共线，将i OP uuu r 用OB OC ，uu u r uuu r表示，求和后再求模长；（2）（i ）根据数量积定义计算；（ii ）将i j j k k i OP OQ OQ OL OL OP ⋅+⋅+⋅用,,i j k 表示，依次视为,,i j k 的函数讨论单调求最值.【详解】（1）当2023n =时，12023120242024OP OB OC =+ ，22022220242024OP OB OC =+，……，20231202320242024OP OB OC =+ ，122023202320221122023(()202420242024202420242024OP OP OP OB OC ∴++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ 2023202322OB OC=+uu u r uuu r1220232023202322OC OP OP OP OB OB OB OC OC∴+++⋅⋅⋅++++=+uuu r uuu r uuu r uuuuu r uu uu u r uu u r uuu r u r uuu r 20252OB OC=+uu u r uuu r又ABC 为等边三角形，且边长为1，O 为外接圆的圆心，OB ∴=,120OB OC =o uu u r uuu r ，22222112(()2()333323OB OC OB OC OB OC ∴+=++⋅=++⨯-= ，则3OB OC += ，12202320252OB OC OC OP OP OP OB ∴+++⋅⋅⋅+++=uuu r uuu r uuu r uu uu u r uu uuu r uur u u r ；(2)(ⅰ)ABC 为等边三角形，O 为外接圆的圆心，30OCB OCA ∴∠=∠= ，则,150i OC CP =ouuu r uu u r ，,150j OC CQ =o uuu r uuu u r ，又4n =，,i j P Q ∴分别为BC ，CA 的5等分点，又1BC CA ==，55i i CP -∴=，5j jCQ =；cos150cos150i i j j OC CP OC CQ OC CP OC CQ ∴⋅+⋅=⋅+⋅555((352352101010i j i j i j ----=⨯⨯-+⨯⨯-=--=（ⅱ）2()()i j i j i j i j OP OQ OC CP OC CQ OC OC CP OC CQ CP CQ ⋅=+⋅+=+⋅+⋅+⋅ ，155cos150cos150cos 6035555i j i j i j OP OQ --∴⋅=++⨯155115355552650i j i j i ij---=⨯⨯=-+；同理可得：15650j kj jk OQ OL -⋅=-+ ；15650k i k ki OL OP -⋅=-+ ；15()()250i j j k k i i j k ij jk ik OP OQ OQ OL OL OP ++-++∴⋅+⋅+⋅=-+ ；令()()5515()()1250250j k i j k jki j k ij jk ik S --++-++-++=-+=-+①当5j k +≥时，1i =时，()()max 5454411250250j k jk k j kS ++-+-+=-+=-+，4k ≤ ，4j ∴=时取最大值，则()max 54441422505025k k S +-+=-+=-=-；4i =时，()()min 2020111250250j k jk k j k S ++-+-+=-+=-+，1k ≥ ，4j ∴=时取最小值，则()min 204113125050k k k S +-+--=-+=，则当4k =时，min 1350S =-；②当5j k +<时，4i =时，()()max 2020111250250j k jk k j k S ++-+-+=-+=-+，1k ≥ ，1j ∴=时取最大值，则max 1201422505025k k S +-+=-+=-=-；1i =时，()()min 5454411250250j k jk k j kS ++-+-+=-+=-+，4k ≤ ，1j ∴=时取最小值，则min 193250kS +=-+，则当1k =时，min 1121325050S =-+=-；综上所述：i j j k k i OP OQ OQ OL OL OP ⋅+⋅+⋅ 的最大值为225-，最小值为1350-．关键点点睛：求5()()i j k ij jk ik ++-++的最值利用函数的单调性求最值，先整理为()()55j k i j k jk --++-的形式，视为关于i 的一次函数，讨论5j k --的正负确定单调性，确定在1i =或4i =时取得最值，类似的，下一步再视为关于j 的一次函数求最值，最后再视为关于k 的一次函数求最值.。
河南省青铜鸣大联考2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题
试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在四边形 ABCD 中， AC
与
BD
交于点
O
，且
uuur AO
uuur uuur uuur = OC，BO，= OD
【分析】利用复数模求出 a ，再利用复数的除法求解即得.
【详解】依题意，| z |= a2 + (2 - a)2 = 2a2 - 4a + 4 = 2 ，解得 a = 1 ，则 z = 1+ i ，
所以
2
z -
i
=
1+ i 2-i
=
(1+ i)(2 + i) (2 - i)(2 + i)
=
1+ 3i 5
+
uuur 3OB
+
uuur tOC
=
r 0
(t
Î
R
)，V AOB
的面积为
V
ABC
面积的
1
.
2
(1)求 t 的值； (2)若 O 为VABC 的垂心，求 cosÐ ACB 的值.
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1．D
参考答案：
【分析】由题意，根据相等向量的概念和向量的模，结合矩形的判定定理即可求解.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur 【详解】由 AO = OC, BO = OD, AC = BD ，
，结合共轭复数的概念与
复数的乘法运算即可求解.
【详解】由 z1 = z2，得 (x + 2 y) + ( y + 2)i = (2x - y) + (x - y)i ，
北京市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题含答案
2023—2024学年度第二学期北京市高一数学期中考试试卷（答案在最后）一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.11πsin3的值为（）A.2B.2-C.2D.2【答案】A 【解析】【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得.【详解】11πππsin sin 4πsin 3332⎛⎫=-=-=-⎪⎝⎭.故选：A2.下列函数中，最小正周期为π且是偶函数的是（）A.πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.tan y x =C.cos 2y x =D.sin 2y x=【答案】C 【解析】【分析】由三角函数的最小正周期公式和函数奇偶性对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A ，πsin 4y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为：2π2π1T ==，故A 不正确；对于B ，tan y x =的最小正周期为：ππ1T ==，tan y x =的定义域为ππ,Z 2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，关于原点对称，令()tan f x x =，则()()()tan tan f x x x f x -=-=-=-，所以tan y x =为奇函数，故B 不正确；对于C ，cos 2y x =的最小正周期为：2ππ2T ==，令()cos 2g x x =的定义域为R 关于原点对称，则()()()cos 2cos 2g x x x g x -=-==，所以cos 2y x =为偶函数，故C 正确；对于D ，sin 2y x =的最小正周期为：2ππ2T ==，sin 2y x =的定义域为R ，关于原点对称，令()sin 2h x x =，则()()()sin 2sin 2h x x x h x -=-=-=-，所以sin 2y x =为奇函数，故D 不正确.故选：C .3.设向量()()3,4,1,2a b ==- ，则cos ,a b 〈〉=（）A.5-B.5C.5-D.5【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用向量夹角的坐标表示求解即得.【详解】向量()()3,4,1,2a b ==-，则cos ,5||||a b a b a b ⋅〈〉==.故选：D4.在△ABC 中，已知1cos 3A =，a =，3b =，则c =（）A.1B.C.2D.3【答案】D 【解析】【分析】直接利用余弦定理求解即可【详解】因为在△ABC 中，1cos 3A =，a =，3b =，所以由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，2112963c c =+-⨯，得2230c c --=，解得3c =，或1c =-（舍去），故选：D5.函数()()sin f x A x =+ωϕ(其中0A >，0ω>，0ϕπ<<)的图像的一部分如图所示，则此函数的解析式是（）A.()3sin 42f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B.3()3sin 44f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭C.()3sin 84f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D.3()3sin 84f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】根据图象可以求出最大值，结合函数的零点，根据正弦型函数的最小正周期公式，结合特殊值法进行求解即可.【详解】由函数图象可知函数的最大值为3，所以3A =，由函数图象可知函数的最小正周期为4(62)16⨯-=，因为0ω>，所以24(62)168ππωω⨯-==⇒=，所以()3sin 8f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由图象可知：(2)3f =，即3sin 32()2()4424k k Z k k Z ππππϕϕπϕπ⎛⎫+=⇒+=+∈⇒=+∈ ⎪⎝⎭，因为0ϕπ<<，所以令0k =，所以4πϕ=，因此()3sin 84f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选：C6.函数ππ()sin(2),[0,]62f x x x =+∈的最大值和最小值分别为（）A.11,2-B.31,2-C.1,12- D.1,1-【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，求出相位的范围，再利用正弦函数的性质求解即得.【详解】由π[0,2x ∈，得ππ7π2[,666x +∈，则当ππ262x +=，即π6x =时，max ()1f x =，当π7π266x +=，即π2x =时，min 1()2f x =-，所以所求最大值、最小值分别为11,2-.故选：A7.已知向量,,a b c在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则()a b c +⋅= （）A.2B.2- C.1 D.1-【答案】B 【解析】【分析】根据给定信息，利用向量数量的运算律，结合数量积的定义计算得解.【详解】依题意，π3π|||2,||2,,,,,44a b c a b b c a c ===〈〉=⊥〈〉= ，因此3π||||cos2(242a c a c ⋅==⨯-=-，0b c ⋅= ，所以()2a b c a c b c +⋅=⋅+⋅=-.故选：B8.在ABC 中，已知cos cos 2cos a B b A c A +=，则A =（）A.π6B.π4C.π3 D.π2【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再逆用和角的正弦求出即得.【详解】在ABC 中，由cos cos 2cos a B b A c A +=及正弦定理，得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=，则sin()2sin cos A B C A +=，即sin 2sin cos C C A =，而sin 0C >，因此1cos 2A =，而0πA <<，所以π3A =.故选：C9.已知函数()()π2sin 03⎛⎫=+> ⎪⎝⎭f x x ωω，则“()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上既不是增函数也不是减函数”是“1ω>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】以π3x ω+为整体结合正弦函数的性质可得12ω>，进而根据充分、必要条件分析判断.【详解】因为π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦且0ω>，则ππππ,3333x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，若()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎣⎦上既不是增函数也不是减函数，则2πππ33ω+>，解得12ω>，又因为()1,+∞1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，所以“()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上既不是增函数也不是减函数”是“1ω>”的必要不充分条件.故选：B.10.如图，正方形ABCD 的边长为2，P 为正方形ABCD 四条边上的一个动点，则PA PB ⋅的取值范围是（）A.[]1,2-B.[]0,2 C.[]0,4 D.[]1,4-【答案】D 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，分点P 在CD 上，点P 在BC 上，点P 在AB 上，点P 在AD 上，利用数量积的坐标运算求解.【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系：则()()0,2,2,2A B ，当点P 在CD 上时，设()(),002Px x ≤≤，则()(),2,2,2PA x PB x =-=--，所以()()224133,4PA PB x x x ⎡⎤⋅=-+=-+∈⎣⎦ ；当点P 在BC 上时，设()()2,02P yy ≤≤，则()()2,2,0,2PA y PB y =-=-，所以()220,4PA PB y ⎡⎤⋅=-∈⎣⎦ ；当点P 在AB 上时，设()(),202Px x ≤≤，则()(),0,2,0PA x PB x ==-，所以()()22111,0PA PB x x x ⎡⎤⋅=-=--∈-⎣⎦ ；当点P 在AD 上时，设()()0,02P y y ≤≤，则()()0,2,2,2PA y PB y=-=--，所以()220,4PA PB y ⎡⎤⋅=-∈⎣⎦ ；综上：PA PB ⋅的取值范围是[]1,4-.故选：D二､填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.已知圆的半径为2，则60 的圆心角的弧度数为__________；所对的弧长为__________.【答案】①.π3##1π3②.2π3##2π3【解析】【分析】利用度与弧度的互化关系，弧长计算公式求解即可.【详解】60 的圆心角的弧度数为ππ601803⨯=；所对的弧长为π2π233⨯=.故答案为：π3；2π312.已知向量()2,3a =- ，(),6b x =- .若//a b ，则a =r __________，x =__________.【答案】①.②.4【解析】【分析】利用坐标法求出向量的模，再根据向量共线的坐标表示求出x .【详解】因为向量()2,3a =- ，所以a == ，又(),6b x =- 且//a b ，所以()326x =-⨯-，解得4x =.；4.13.若函数()sin f x A x x =的一个零点为π3，则A =__________；将函数()f x 的图象向左至少平移__________个单位，得到函数2sin y x =的图象.【答案】①.1②.π3##1π3【解析】【分析】利用零点的意义求出A ；利用辅助角公式化简函数()f x ，再借助平移变换求解即得.【详解】函数()sin f x A x x =的一个零点为π3，得ππsin 033A =，解得1A =；则π()sin 2sin()3f x x x x =-=-，显然πππ(2sin[()]2sin 333f x x x +=+-=，所以()f x 的图象向左至少平移π3个单位，得到函数2sin y x =的图象.故答案为：1；π314.设平面向量,,a b c 为非零向量，且(1,0)a = .能够说明“若a b a c ⋅=⋅ ，则b c = ”是假命题的一组向量,b c的坐标依次为__________.【答案】(0,1),(0,1)-（答案不唯一）【解析】【分析】令向量,b c 与向量a 都垂直，且b c ≠即可得解.【详解】令(0,1),(0,1)b c ==- ，显然0a b a c ⋅==⋅，而b c ≠ ，因此(0,1),(0,1)b c ==- 能说明“若a b a c ⋅=⋅ ，则b c = ”是假命题，所以向量,b c的坐标依次为(0,1),(0,1)-.故答案为：(0,1),(0,1)-15.已知函数()2cosπ1xf x x =+，给出下列四个结论：①函数()f x 是奇函数；②函数()f x 有无数个零点；③函数()f x 的最大值为1；④函数()f x 没有最小值.其中，所有正确结论的序号为__________.【答案】②③【解析】【分析】根据偶函数的定义判断①，令()0f x =求出函数的零点，即可判断②，求出函数的最大值即可判断③，根据函数值的特征判断④.【详解】函数()2cosπ1xf x x =+的定义域为R ，又22cos(π)cos π()()()11x x f x f x x x --===-++，所以()2cosπ1xf x x =+为偶函数，故①错误；令2cos ππ1()0cos π0ππ(Z)(Z)122x f x x x k k x k k x ==⇒=⇒=+∈⇒=+∈+，所以函数()f x 有无数个零点，故②正确；因为cos π1x ≤，当ππ(Z)x k k =∈，即(Z)x k k =∈时取等号，又因为211x +≥，当且仅当0x =时取等号，所以有21011x <≤+，当且仅当0x =时取等号，所以有2cos π11x x ≤+，当且仅当0x =时取等号，因此有()2cos π11xf x x =≤+，即()()max 01f x f ==，故③正确；因为()2cosπ1xf x x =+为偶函数，函数图象关于y 轴对称，只需研究函数在()0,∞+上的情况即可，当x →+∞时2101x →+，又1cosπ1x -≤≤，所以当x →+∞时()0f x →，又()()max 01f x f ==，当102x <<时cos π0x >，210x +>，所以()0f x >，当1322x <<时1cos π0x -≤<，210x +>，所以()0f x <，当1x >时212x +>，0cos π1x ≤≤，所以()12f x <，又()112f =-，102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，302f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 为连续函数，所以()f x 存在最小值，事实上()f x 的图象如下所示：由图可知()f x 存在最小值，故④错误.故答案为：②③三､解答题（本大题共6小题，共85分）16.在平面直角坐标系xOy 中，角θ以Ox 为始边，终边经过点()1,2--.（1）求tan θ，tan2θ的值；（2）求πsin ,cos ,cos 4θθθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值.【答案】（1）tan 2θ=，4tan 23θ=-（2）sin 5θ-=，cos 5θ=，π10cos 410θ⎛⎫+=⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由三角函数的定义求出tan θ，再由二倍角正切公式求出tan 2θ；（2）由三角函数的定义求出sin θ，cos θ，再由两角和的余弦公式计算可得.【小问1详解】因为角θ以Ox 为始边，终边经过点()1,2--，所以2tan 21θ-==-，则222tan 224tan 21tan 123θθθ⨯===---.【小问2详解】因为角θ以Ox 为始边，终边经过点()1,2--，所以sin 5θ-==，cos 5θ==，所以πππcos cos cos sin sin 444θθθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭2520555210221⎛⎫- =⨯-⨯=⎪ ⎪⎝⎭.17.已知平面向量,,2,3,a b a b a == 与b的夹角为60 ，（1）求22,,a b a b ⋅；（2）求(2)(3)a b a b -⋅+的值：（3）当x 为何值时，xa b -与3a b +rr 垂直.【答案】（1）4，9，3；（2）4-；（3）3013x =.【解析】【分析】（1）利用数量积的定义计算即得.（2）利用数量积的运算律计算即得.（3）利用垂直关系的向量表示，数量积的运算律求解即得.【小问1详解】向量,,2,3,a b a b a == 与b 的夹角为60 ，所以2222|4,|9,3||||c |os 0|6a a b b a b a b ===⋅=== .【小问2详解】依题意，2222(2)(3)2352233534a b a b a b a b -⋅+=-+⋅=⨯-⨯+⨯=- .【小问3详解】由()(3)0xa b a b -⋅+= ，得223(31)4273(31)13300xa b x a b x x x -+-⋅=-+-=-= ，解得3013x =，所以当3013x =时，xa b - 与3a b +r r 垂直.18.已知函数()sin2cos2f x x x =+.（1）求(0)f ；（2）求函数()f x 的最小正周期及对称轴方程；（3）求函数()f x 的单调递增区间.【答案】（1）1；（2）π，ππ,Z 82k x k =+∈；（3）()3πππ,πZ 88k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【解析】【分析】（1）代入计算求出函数值.（2）（3）利用辅助角公式化简函数()f x ，再结合正弦函数的图象与性质求解即得.【小问1详解】函数()sin2cos2f x x x =+，所以(0)sin0cos01f =+=.【小问2详解】函数π())4f x x =+，所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==；由ππ2π,Z 42x k k +=+∈，解得ππ,Z 82k x k =+∈，所以函数()f x 图象的对称轴方程为ππ,Z 82k x k =+∈.【小问3详解】由πππ2π22π,Z 242k x k k -+≤+≤+∈，得3ππππ,Z 88k x k k -+≤≤+∈，所以函数()f x 的单调递增区间是()3πππ,πZ 88k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.19.在△ABC 中，7a =，8b =，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．（1）求A ∠；（2）求ABC 的面积．条件①：3c =；条件②：1cos 7B =-．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）选①②答案相同，3A π∠=；（2）选①②答案相同，ABC 的面积为【解析】【分析】（1）选①，用余弦定理得到cos A ，从而得到答案；选②：先用余弦定理求出3c =，再用余弦定理求出cos A ，得到答案；（2）选①，先求出sin 2A =，使用面积公式即可；选②：先用sin sin()C A B =+求出sin C ，再使用面积公式即可.【小问1详解】选条件①：3c =．在△ABC 中，因为7a =，8b =，3c =，由余弦定理，得222cos 2b c a A bc+-=64949283+-=⨯⨯12=．因为()0,πA ∈，所以π3A ∠=；选条件②：1cos 7B =-由余弦定理得：222249641cos 2147a cbc B ac c +-+-===-，解得：3c =或5-（舍去）由余弦定理，得222cos 2b c a A bc+-=64949283+-=⨯⨯12=．因为()0,πA ∈，所以π3A ∠=；【小问2详解】选条件①：3c =由（1）可得sin 2A =．所以ABC 的面积11sin 8322S bc A ==⨯⨯=选条件②：1cos 7B =-．由（1）可得1cos 2A =．因为sin sin[()]C A B =π-+sin()A B =+sin cos cos sin A B A B=+11()72=-+⨯3314=，所以ABC 的面积11sin 7822S ab C ==⨯⨯=．．20.已知函数()2π2cos cos 213f x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭.（1）求π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；（2）求函数()f x 的在[]0,π上单调递减区间；（3）若函数()f x 在区间[]0,m 上有且只有两个零点，求m 的取值范围.【答案】（1）32（2）π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦（3）3564π,π⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及和差角公式化简函数解析式，再代入计算可得；（2）由x 的取值范围求出π23x +的范围，再根据正弦函数的性质得到ππ3π2232x ≤+≤，解得即可；（3）由x 的取值范围求出π23x +的范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，解得即可.【小问1详解】因为()2π2cos cos 213f x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭ππcos2cos2cossin 2sin 33x x x =++3cos2sin 222x x =+1cos2sin 222x x ⎫=+⎪⎪⎭π23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以πππ2π3266332f ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【小问2详解】当[]0,πx ∈时ππ7π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，令ππ3π2232x ≤+≤，解得π7π1212x ≤≤，所以函数()f x 的在[]0,π上的单调递减区间为π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【小问3详解】当[]0,x m ∈时，πππ2,2333x m ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，又函数()f x 在区间[]0,m 上有且只有两个零点，所以π2π23π3m ≤<+，解得5π4π63m ≤<，即m 的取值范围为3564π,π⎡⎫⎪⎢⎣⎭.21.某地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心角为π3的一块扇形空置地（如图），现欲从中规划出一块三角形绿地PQR ，其中P 在 BC 上，PQ AB ⊥，垂足为Q ，PR AC ⊥，垂足为R ，设π0,3PAB α⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭；（1）求PQ ，PR （用α表示）；（2）当P 在BC 上运动时，这块三角形绿地的最大面积，以及取到最大面积时α的值.【答案】（1）60sin PQ α=，π60sin 3PR α⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）三角形绿地的最大面积是平方米，此时π6α=【解析】【分析】（1）利用锐角三角函数表示出PQ 、PR ；（2）依题意可得2π3QPR ∠=，则1sin 2PQR S PQ PR QPR =⋅⋅⋅∠ ，利用三角恒等变换公式化简，再结合正弦函数的性质求出最大值.【小问1详解】在Rt PAQ 中，π0,3PAB ∠α⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，60AP =，∴sin 60sin PQ AP αα==（米），又π3BAC ∠=，所以π3PAR α∠=-，在Rt PAR 中，可得πsin 60sin 3PR PAR AP α⎛⎫==-⎪⎝⎭∠（米）.【小问2详解】由题可知2π3QPR ∠=，∴PQR 的面积1sin 2PQR S PQ PR QPR =⋅⋅⋅∠1π2π60sin 60sin sin 233αα⎛⎫=⨯⨯-⨯ ⎪⎝⎭πsin3αα⎛⎫=- ⎪⎝⎭ππsin cos cos sin 33ααα⎛⎫=- ⎪⎝⎭112cos 222αα⎫=+-⎪⎪⎭π1sin 262α⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，又π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，526πππ,66α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴当ππ262α+=，即π6α=时，PQR 的面积有最大值即三角形绿地的最大面积是π6α=.。
四川省内江市第六中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷 Word版含解析
内江六中2023--2024学年（下）高2026届半期考试数学试题考试时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷 选择题（满分60分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 设平面向量，则A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【详解】∵ ∴故选A ；【考点】：此题重点考察向量加减、数乘的坐标运算；【突破】：准确应用向量的坐标运算公式是解题的关键；2. 已知复数，则的虚部为（ ）A 2B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】根据复数的概念判断即可.【详解】复数的虚部为.故选：C3. 在所在平面内，是延长线上一点且，是的中点，设，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C.()()3,5,2,1a b ==- 2a b -=()7,3()7,7()1,7()1,3()()3,5,2,1a b ==- ()()()()23,522,1345273a b -=--=+-=，，12z i =-z 2i 2-2i-12z i =-2-ABC D BC 4BD CD =E AB AB a =AC b= ED =1455a b + 3144a b +5463a b-+ 5564a b-+【解析】【分析】根据给定条件，借助向量的线性运算用 、表示即可判断作答.【详解】在所在平面内，在延长线上，且，则，又是的中点，所以.故选：C4. 若，，则（ ）A.B. C.D.【答案】D 【解析】【分析】由两角和与差的正切公式即可求解.【详解】．故选：D .5. 已知，则向量的夹角为（ ）A. B. C.D. 【答案】C 【解析】【分析】利用向量模的计算公式，化简求得，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】由题意，向量，可得，解得，又由，可得.故选：C.6. 在中，，是直线上的一点，若则实数的值为（ ）AB AC EDABC D BC 4BD CD =43BD BC =EAB 2)14141454()2332363(ED EB BD AB BC AB AC AB a b a a b =+=+=+-=+-=-+ tan 2α=tan 8(2)αβ+=tan()αβ+=101735-25617tan(2)tan 826tan()tan(2)1tan(2)tan 18217αβααβαβααβα+--+=+-===+++⨯3,1,2a b a b ==-= ,a b30 6012015032a b ⋅=- 3,1,2a b a b ==-=222224434419a b a a b b a b -=-⋅+=-⋅+= 32a b ⋅=- 1cos ,2a b a b a b⋅==-⋅,120a b = ABC 32AD DC = P BD 25AP t AB AC =+tA. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】依题意可得，根据平面向量共线定理的推论及平面向量基本定理计算可得.【详解】因，所以，又是直线上的一点，所以，又，所以，所以.故选：B7. 在△ABC 中，若，则△ABC 是（ ）A. 等腰三角形 B. 等边三角形C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形【答案】A 【解析】【分析】根据已知，诱导公式与和、差角的余弦公式化简得到，从而得到，进而即可得出结论．【详解】在△ABC 中，由，得 ，则为13-1323-2353AC AD =32AD DC = 53AC AD =P BD ()1AP xAB x AD =+-2532AP t AB AC t AB AD =+=+ 213x tx =⎧⎪⎨-=⎪⎩13x t ==2sin sin cos 2CA B =()cos 1A B -=A B =πA B C ++=()πC A B =-+，所以，即，则，又，，则，所以，即，所以△ABC 为等腰三角形，但无法判断C 是不是直角．故选：A ．8. 已知函数在区间上单调递增，则下列选项中错误的是（ ）A. 函数两个零点的最小距离为，则B. 若，则C. 若，则D. 若，且函数在区间有唯一零点，则【答案】C 【解析】【分析】根据题意，利用正弦型函数的周期性，单调性等有关的性质逐一进行分析，判断各项是否正确.【详解】对于A 中，函数在区间上单调递增，所以该函数的最小正周期满足，所以，当时，成立，所以的最大值为2，所以A 正确；对于B 中，因为在区间上单调递增，()()21cos 1111111cos cos πcos cos cos sin sin 222222222C C A B A B A B A B +⎡⎤==+-+=-+=-+⎣⎦111sin sin cos cos sin sin 222A B A B A B =-+cos cos sin sin 1A B A B +=()cos 1A B -=0πA <<0πB <<ππA B -<-<0A B -=A B =()()0()sin f x x ωϕω=+>π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭()12y f x =-π32ω=π3ϕ=-504ω<≤5π012f ⎛⎫>⎪⎝⎭π2π063f f ⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π6ϕ=()f x [0,π]1,16ω⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦()()()sin 0f x x ωϕω=+>π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭T π2πππ2362T ω=≥-=2ω≤5π6ϕ=-2ω=ω()()()sin 0f x x ωϕω=+>π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭故有，当时，，所以，所以，所以，又因为，故，可得，所以B 正确；对于C 中，由于，故当时，，故C 错误；对于D 中，当，，所以，又因为函数在区间有唯一零点，所以，解得，所以D正确.故选：C二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.）A.B.C.D. 【答案】ACπ2πππ22362T ωω=≥-=⇒≤π3ϕ=-π2π,63x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ2ππ6333x ωωωϕ-<+<-πππ2π632,Z 2πππ2π332k k k ωω⎧-≥-⎪⎪∈⎨⎪-≤+⎪⎩121534k k ωω≥-⎧⎪⎨≤+⎪⎩2ω≤0k =504ω<≤π2π5ππ2π63,21263+⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭5π012f ⎛⎫> ⎪⎝⎭π2π063f f ⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π6ϕ=[]0,πx ∈ππππ666x ωω≤+≤+()f x []0,ππππ6ππ2π6ωω⎧+≥⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩1,16ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦+︒︒tan 21tan 24tan 21tan 24︒+︒+︒︒1tan151tan15+︒-︒2cos 15sin15cos 75︒︒-︒【解析】【分析】由两角和与差的正弦，正切公式，二倍角的余弦公式对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于AA 正确；对于B ，因为，可得，所以，故B 错误；对于C ，C 正确；对于D ，D 错误.故选：AC .10. 已知向量，则（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则向量与向量D. 若，则向量在向量上的投影向量为【答案】AC 【解析】【分析】利用向量共线的充要条件的坐标表示判断A ；利用向量垂直的充要条件的坐标表示判断B ；利用向量夹角的坐标表示判断C; 利用向量投影的坐标表示判断D【详解】若，则，解得，故A 正确．2⎫︒+︒=︒+︒⎪⎪⎭()()2cos 45sin15sin 45cos152sin 15452=︒︒+︒︒=︒+︒==()tan 21tan 24tan 45tan 21241tan 21tan 24︒+︒︒=︒+︒=-︒︒()tan 21tan 24tan 451tan 21tan 24︒+︒=︒-︒︒tan 21tan 24tan 21tan 24︒+︒+︒︒()tan 451tan 21tan 24tan 21tan 241=︒-︒︒+︒︒=()1tan15tan 45tan15tan 45151tan151tan 45tan15+︒︒+︒==︒+︒=-︒-︒⋅︒222cos 15sin15cos 75cos 15sin 15cos30︒-︒︒=︒-︒=︒=()(),1,4,2a x b ==a b ∥2x =a b ⊥12x =3x =ab=1x -b aa b∥240x -=2x =若，则，解得，故B 错误．若，则，又，所以向量与向量的夹角的余弦值为，故C 正确．若，则，又，所以向量在向量上投影向量为，故D 错误．故选：AC ．11. 函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）A. 的表达式可以写成B.的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数C. 的对称中心，D. 若方程在上有且只有6个根，则【答案】ABC 【解析】【分析】利用特殊点求得函数的解析式即可判断A ，根据相位变换求得新函数解析式即可判断奇偶性，即可判断B ，先求出的解析式，然后代入正弦函数对称中心结论求的a b ⊥ 420x +=12x =-3x =()3,1a =()4,2b = a b a b a b⋅== =1x -()1,1a =-()4,2b = b a ()1,1a b a a a ⋅⋅==-()ππ)02,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<≤-<< ⎪⎝⎭()f x ()24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x 3π8()π14g x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ππ,182k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭Z k ∈()1f x =()0,m 5π13π,24m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x ()g x解判断C ，把问题转化为根的问题，找到第7个根，即可求解范围判断D.【详解】对A ，由，即又，所以，又的图象过点，则，即，所以，即得，，又，所以，所以，故A 正确；对B ，向右平移个单位后得，为奇函数，故B正确；对于C ，，令得，所以对称中心，，故C 正确；对于D ，由， 得，因为，所以，令，解得.又在上有6个根，则根从小到大为，再令，解得，则第7个根为，，故D 错误．πsin 24x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()01f =-1ϕ=-sin ϕ=ππ22ϕ-<<π4ϕ=-()f x π,08⎛⎫ ⎪⎝⎭π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ππsin 084ω⎛⎫-= ⎪⎝⎭πππ84k ω-=82k ω=+Z k ∈02ω<≤2ω=π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x 3π83π3ππ2π)884y f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=--=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦πππ()2121444g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()π2π4x k k +=∈Z ()ππ82k x k =-+∈Z ππ,182k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭Z k ∈()1f x =πsin 24x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(0,)x m ∈πππ2,2444x m ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭4444444ππ3π9π11π17π19π2,,,,,m -=ππ5π3π9π5π,,,,,424242m =()0,m ππ5π3π9π5π,,,,,424242π25π244m -=13π4m =13π45π13π,24m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故选：ABC .12. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且，则下列说法正确的是（ ）A. 若，则B. 若，且只有一解，则b 的取值范围为C. 若，且为锐角三角形，则周长的取值范围为D. 若为锐角三角形，，则AC 边上的高的取值范围为【答案】AC 【解析】【分析】根据正弦定理边角互化可得，即可根据余弦定理，结合不等式求解A ；根据正弦定理即可求解B ，根据正弦定理，结合三角恒等变换以及三角函数的性质即可求C ，根据余弦定理得，即可根据二次函数的性质求解D.【详解】由正弦定理可得，即因为，所以，所以，对于A ，若，由余弦定理得，由，，可得，即，当且仅当时等号成立，则面积，所以，故A 正确；对于B ，若，且，由正弦定理得，所以，2cos cos c B b C a +=π3A =ABC π4A =ABC (]0,1π3A =ABC ABC (1⎤⎦ABC 2AC =1a =235c <<sin cos sin cos sin C B B C a A +=()sin sin sin B C A a A +==0πA <<sin 0A ≠1a =π3A =22222π1cos cos 322b c a b c A bc bc+-+-===0b >0c >2212b c bc bc +=+³1bc ≤b c =ABC 11sin 22bc A ≤⨯=ABC π4A =1a =1πsin sin 4b B=πsin sin4B b ==当，时有一解，故B 错误；对于C ，若，由正弦定理得，由于为锐角三角形，故且，故，因此，故，故C 正确；对于D ，由于为锐角三角形，，，所，故AC 边上的高为，故D 错误．故选：AC第Ⅱ卷 非选择题（满分90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 在中，已知，则角为_________.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理的变形形式即可求解.【详解】在中，，所以，，sin 1B =1=b =π3A =sin a A =)2π1sin sin 1sin sin 3a b c B C B B ⎫⎛⎫++=++=++- ⎪⎪⎝⎭⎭3π1sin 12sin 26B B B ⎫⎛⎫=+=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭ABC π02B <<2ππ032B <-<ππ62B <<ππ2π,633B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭(π12sin 16a b c B ⎛⎫⎤++=++∈+ ⎪⎦⎝⎭ABC 2AC b ==1a =2222222222222533541a b c c a c b c c c b a c ⎧⎧+>>⎪⎪+>⇒>⇒<<⎨⎨⎪⎪+>+>⎩⎩sin a C ⎫===⎪⎪⎭ABC 222c a b ab =+-C 3πABC 222c a b ab =+-222ab a b c =+-2221cos 222a b c ab C ab ab +-===又因为，所以.故答案为：【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.14. 函数，最大值是______．【答案】2【解析】【分析】利用辅助角公式，结合定义域求解出函数的最大值.【详解】，又，，．的最大值为2．故答案为：215.如图，风景秀美的宝湖公园有一颗高大的银杏树，某研究小组为测量树的高度，在地面上选取了两点，从两点测得树尖的仰角分别为和，且两点间的距离为，则这颗银杏树的高度为_________________.【答案】【解析】的0C π<<3C π=3πsin y x x =[]0,πx ∈1sin 2sin 2y x x x x ⎛⎫=+=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭=πππ2cos sin sin cos 2sin 333x x x ⎛⎫⎛⎫⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭[0,π]x ∈ ππ4π,333x ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦πsin 3x ⎡⎤⎛⎫∴+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦π2sin 23x ⎛⎫⎡⎤∴+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭sin y x x ∴=+,A B ,A B 30 45 ,A B 20m m 1)+【分析】在中，利用余弦定理求出，再利用直角三角形的边角关系求解即得.【详解】在中，，由正弦定理得，则，在中，，因此，所以这颗银杏树的高度为.故答案为：16. 已知向量，满足，，且，若向量与的夹角为30°，则的最大值是___________.【答案】【解析】【分析】设证明四点共圆.设外接圆半径为,要使最大，所以必须过圆心，利用正弦、余弦定理求出即得解.【详解】设所以, 所以,ABC BC ABC 20,30,15AB A ACB ==∠= 1sin15sin(4530)2=-==sin 30sin15BC AB =BC ==Rt BCD 90BDC ∠= sin 451)CD BC ==+=+ 1)m +1)+a →b →1a →=b = 32a b ⋅=- - a c b c -||c →,,,OA a OB b OC c →→→→→→===,,,O A B C R ||c →OC 2R ,,,OA a OB b OC c →→→→→→===,a c CA b c CB →→→→→→-=-=30ACB ∠=所以，因为，所以所以四点共圆.设外接圆半径为,要使最大，所以必须过圆心，此时，在中，由余弦定理得.由正弦定理得.故答案为：四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 设复数，其中.（1）若是纯虚数，求的值；（2）所对应的点在复平面的第四象限内，求的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据纯虚数的定义可得到解方程即可；（2）根据复数对应的点在复平面的第四象限内可以得到，解不等式即可.【小问1详解】是纯虚数，只需，解得.【小问2详解】cos ,||||a ba b a b →→→→→→<>=== ,[0180]a b →→<>∈ ，,150,150.a b AOB →→<>=∴∠= ,,,O A B C R ||c →OC OAB2137,AB AB =+-=∴=2sin ABOC R AOB===∠()22276i z a a a a =+-+-+R a ∈z a z a 2-()1,62220760a a a a ⎧+-=⎨-+≠⎩2220760a a a a ⎧+->⎨-+<⎩z 2220760a a a a ⎧+-=⎨-+≠⎩2a =-由题意知，解得，故当时，所对应的点在复平面的第四象限内.18. 已知函数．（1）把化为的形式，并求的最小正周期；（2）求的单调递增区间以及对称中心．【答案】（1）； （2），；，【解析】【分析】（1）先降幂，由两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦型函数性质求解；（2）由正弦型函数的单调区间可得，根据正弦型函数的对称中心可求解对称中心.【小问1详解】，所以最小正周期为．【小问2详解】由，，解得，，所以的增区间为，．由，，2220760a a a a ⎧+->⎨-+<⎩16a <<16a <<z ()22cos cos sin f x x x x x =+-()f x sin()y A x ωϕ=+()f x ()f x ()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ππππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k ∈Z ππ,0212k⎛⎫- ⎪⎝⎭k ∈Z ()2cos 2f x x x =+π2sin 26x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2ππ2T ==πππ2π22π262k x k -≤+≤+k ∈Z ππππ36k x k -≤≤+k ∈Z ()f x πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k ∈Z π2π6x k +=k ∈Z解得，，所以对称中心为，.19. 在中，，，边，上的点，满足，，为中点．（1）设，求实数，的值；（2）若，求边的长．【答案】（1），； （2）8.【解析】【分析】（1）根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理计算可得；（2）用、表示出，再根据数量积的运算律及定义计算可得.【小问1详解】因为，，所以，，所以，又，且、不共线，ππ212k x =-k ∈Z ππ,0212k⎛⎫-⎪⎝⎭k ∈Z ABC 6BC =60ACB ∠=︒AB BC M N 13BM MA =2BN NC =P AC NM CB CA λμ=+u u u r u u r u u rλμ8BP NM ⋅=-AC 512λ=14μ=CB CA BP13BM MA = 2BN NC = 14BM BA = 23BN BC = 1243NM BM BN BA BC=-=-u u u r u u u r u u u r u u r u u u r()125143124BC CA BC CB CA =+-=+u uu r u u r u u u r u u r u u r NM CB CA λμ=+u u u r u u r u u r CB CA所以，；【小问2详解】因为，所以，解得或（舍去），即边的长为．20. 在第六章平面向量初步中我们学习了向量的加法、减法和数乘向量三种运算，以及由它们组合成的线性运算那向量乘法该怎样运算呢？数学中向量的乘法有两种：数量积和向量积（又称为“·乘”，“×乘”）．向量与的向量积记作：．其中的运算结果是一个向量，其方向垂直于向量与所在平面，它的长度．现在我们定义一种运算规则“”．设平面内两个非零向量而，元的夹角为，规定示．试求解下列问题：（1）已知向量，满足，，，求的值；（2）已知向量，，，求的最小值．【答案】（1）2 （2）9【解析】【分析】（1）借助新定义计算即可得；（2）借助所给定义及三角函数间的关系，计算可得，代入数据，结合基本不等式计算即可得.【小问1详解】由己知，得，512λ=14μ=12BP BC CD CB CA =+=-+u u r u u u r u u u r u u r u u r1512124BP NM CB CA CB CA ⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u r u u u r u u r u u r u u r u u r 2251112248CB CB CA CA =--⋅+u u r u u r u ur u u r 225111668122428CA CA =-⨯-⨯⨯⨯+⨯=- 8CA = 7CA =-AC 8aba b ⨯ a b ⨯a bsin a b a b θ⨯= ⊗θ||||sin m n m n θ≡⊗=r r r ra b (2,1)a = 2b = 4a b ⋅= a b ⊗ 12,cos sin a αα⎛⎫= ⎪⎝⎭r 21,sin cos b αα⎛⎫=- ⎪⎝⎭r π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭a b ⊗ 1221sin a b a b x y x y θ⊗==-()2,1a = a =所以，即，又，所以，所以；【小问2详解】法一：设，，则，，所以，所以，故，，当且仅当，即时等号成立．所以的最小值的最小是9．法二：，故．故．故cos 44a b a b θθ⋅=⋅=⇒=cos θ=0πθ<<sin θ=||||sin 2a b a b θ⊗===r r r r 11(,)a x y = 22(,)= b x y ||a =r ||b =r cos ||||a ba b θ⋅==⋅r r r rsin θ===1221||||sin ||a b a b x y x y θ⊗==-r rr r 22221414cos sin cos sin a b αααα⊗=--=+ 22222222221414sin 4cos (cos sin )5cos sin cos sin cos sin αααααααααα⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭59≥+=2222sin 4cos cos sin αααα=tan α=a b ⊗ 12210cos sin sin cos a b αααα⎛⎫⋅=⋅+⋅-= ⎪⎝⎭a b ⊥ sin ,1a b = 2214sin ,cos sin a b a b a b αα⊗==+22222222221414sin 4cos (cos sin )5cos sin cos sin cos sin αααααααααα⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，当且仅当，即时等号成立．所以的最小值的最小是9．21. 为了丰富同学们的课外实践活动，某中学拟对生物实践基地（△ABC 区域）进行分区改造．△BNC 区域为蔬菜种植区，△CMA区域规划为水果种植区，蔬菜和水果种植区由专人统一管理，△MNC 区域规划为学生自主栽培区．△MNC 的周围将筑起护栏．已知m ，m ，，，设．（1）若m ，求护栏的长度（△MNC 的周长）；（2）试用表示△MNC 的面积，并研究△MNC 的面积是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由．【答案】（1）（m） （2），最小值为．【解析】【分析】（1）利用余弦定理证得，从而判断得是正三角形，由此得解；（2）在与中，利用正弦定理求得与关于的表达式，从而利用三角形的面积公式得到关于的表达式，再结合三角函数的最值即可得解.【小问1详解】依题意，在中，m ，m ，，所以，则，，即，所以，又，故，所以是正三角形，则m ，m ，59≥+=2222sin 4cos cos sin αααα=tan α=a b ⊗20AC =40AB =60BAC ∠=︒30MCN ∠=︒ACM θ∠=10AM =θ30+S =(23002m -AM CM ⊥ANC ANC ACM CN CM θCMN S θAMC 20AC =10AM =60BAC ∠=︒2222cos 300CM AM AC AM AC A =+-⋅=1CM =222AC CM AM =+AM CM ⊥30ACM ∠=︒30MCN ∠=︒60ACN∠=︒ANC 20CN AN AC ===10MN AN AM =-=所以护栏的长度为（m ）．【小问2详解】学生自主栽培区的面积有最小值，理由如下：设，在△ANC 中，，则，由正弦定理得，得在中，，由正弦定理得，得所以，所以当且仅当，即时，．22. 在锐角中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足．（1）求证：；（2）若，求a 边的范围；（3）求的取值范围．【答案】（1）证明见解析 （2）30CMCN MN ++=+MNC (23002m -060()ACM θθ∠=︒<<︒30MCN ∠=︒()180603090ANC θθ∠=︒-︒-+︒=︒-20sin 60sin(90)cos CN AC θθ==︒︒-CN =ACM 18060120CMA θθ∠=︒-︒-=︒-sin 60sin(120)CM AC θ=︒︒-CM =1300sin 3024sin(120)cos CMN S CM CN θθ︒-︒=⋅⋅=△3004(sin120cos cos120sin )cos θθθ=︒-︒===26090θ+︒=︒15θ=︒CMN (23002m =ABC 22a b bc -=2A B =1b =112sin tan tan A B A-+（3）．【解析】【分析】（1）由，进而得到，再利用正弦定理将边转化为角，利用两角和的正弦公式求解；法二：由，利用正弦定理转化为，进而得到，再利用和差化积求解.（2）由（1）知，进而得到，再根据为锐角三角形，得到，再由，利用正弦定理求解；（3）由（2）知，转化为，再令，得到求解.【小问1详解】解：因为，所以，由正弦定理可得，又因为，代入可得，即，因为，，则，故，所以或，即或（舍去），所以．法二：由正弦定理可得：，则，则，⎫⎪⎪⎭22222cos a b c bc A b bc =+-=+2cos c b b A -=22a b bc -=22sin sin sin sin A B B C -=()()sin sin sin sin sin sin A B A B B C +-=2A B =π3C B =-ABC 64ππ,B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1b =ππ2,32A B ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭1112sin 2sin tan tan sin A A B A A -+=+sin A t =12y t t=+22222cos a b c bc A b bc =+-=+2cos c b b A -=sin sin 2sin cos C B B A -=()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+sin cos Cos sin sin A B A B B -=()sin sin A B B -=0A <πB <sin 0B >0πA B <-<A B B -=πA B B -+=2A B =πA =2A B =22sin sin sin sin A B B C -=()()sin sin sin sin sin sin A B A B B C +-=2sincos 2sin cos sin()sin(-)sin sin 2222A B A B A B A BA B A B B C +--+⨯=+⨯=又，故，因为，，则，故，所以或，即或（舍去），【小问2详解】因为为锐角三角形，，所以，由，解得，又故．小问3详解】由（2）知．由，，令，则在上单调递增，所以，所以的取值范围为．【()sin sin 0A B C +=≠()sin sin A B B -=0A <πB <sin 0B >0πA B <-<A B B -=πA B B -+=2A B =πA =ABC 2A B =π3C B =-π02π022π0π32B B B ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩64ππ,B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1b =sin 2cos sin b A a B B ==∈ππ2,32A B ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭11cos cos 2sin 2sin tan tan sin sin B A A A B A B A-+=-+sin()12sin 2sin sin sin sin A B A A A B A-=+=+sin A t =12y t t =+t ⎫∈⎪⎪⎭y ⎫∈⎪⎪⎭112sin tan tan A B A -+⎫⎪⎪⎭。
湖北省宜昌市部分省级示范高中20232024学年高一下学期期中考试数学试题答案
宜昌市部分省级示范高中2024年春季学期高一年级期中考试数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1-5BDABC 6-8BCD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9AD ．10ABD 11．ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分14．3四、解答题：本题共5小题，共77分．解笞应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15【详解】（1）()()()()()22cos sin tan cos sin tan tan πsin sin cos sin π2f αααααααααααα--===-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ (6)（2）由（1）易得tan 2α=，...................................7所以22222sin 3sin cos tan 3tan 462sin cos tan 1415αααααααα---===-+++.......................................1316．【详解】（1）由题意得2243483a a b b =-⋅+ ，即64843cos 2743θ-⨯⨯+=，∴1cos 2θ=，∵[]0,πθ∈，∴π3θ=................................................5（2）2a b -== （3）∵()()a b a b λ+⊥+，∴()()()2210a b a b a a b b λλλ+⋅+=++⋅+= ，即()166190λλ+++=.∴2215λ=- (15)17.【详解】（1）解：因为(2)cos cos 0a c B b C ++=，所以，由正弦定理边角互化得2sin cos sin cos sin cos 0A B C B B C ++=，因为()sin cos sin cos sin sin C B B C C B A +=+=，所以2sin cos sin 0A B A +=，因为()0,,sin 0A A π∈≠，所以1cos 2B =-，因为()0,B π∈，所以，23B π=.................................................7（2）解：因为M 是AC 的中点，所以，()12BM BC BA =+ ，所以，()()222221122cos 44BM BC BA BC BA a c a c B =++⋅=++⋅ ，因为2BM a ==所以，()271824c =+-，即260c --=，解得c =c =，所以，1sin 2ABC S ac B =⨯⨯= (15)。
江苏省连云港高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷
上单调递增；
试卷第21 页，共33 页
C．
f
(
x)
的图象关于直线
x
=
7π 12
对称
D． f ( x) 在区间 (0, 2π ) 上有 3 个零点
11．如图所示，在边长为
3
的等边三角形
ABC
中，
uuur AD
=
2 3
uuur AC
，且点
P
在以
AD
的中点
O
为圆心，
OA
为半径的半圆上，若
uuur BP
=
， ON
为邻边的平行四边形的面积为
( ) ( ) ur r
ur r
ur r
S m, n = x1y2 - x2 y1 ；当 m ， n 共线时，规定 S m, n = 0 ．
( ) ur r
(1)分别根据下列已知条件求 S m, n ：
①
ur m
=
(
2,1)
，
r n
=
(
-1,
2)
；②
ur m
=
(1,
uuur xBA
+
y
uuur BC
，则下列说法正确的有（
）
A．
uuur BD
=
1 3
uuur BA
+
2 3
uuur BC
uuur uuur C． BP × BC 存在最大值为 9
B．
uuur BD
×
uuur BO
=
13 2
D．
x
+
y
的最小值为
2
3 9
+
1
高中数学-高一下期中真题精选(常考60题专练)(原卷版)
高一下期中真题精选（常考60题专练）一．选择题（共22小题）1．（2022春•台州期中）已知i 为虚数单位，（1﹣i ）z ＝2，则复平面上z 对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．（2022春•滨江区校级期中）已知复数z ＝，则z 的共轭复数是（）A ．1﹣iB ．1+iC ．iD ．﹣i3．（2022春•台州期中）已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边边长分别为a ，b ，c ，若A ：B ：C ＝1：1：4，则a ：b ：c 等于（）A ．1：1：B ．2：2：C ．1：1：2D ．1：1：44．（2022春•石首市期中）关于向量，，下列命题中，正确的是（）A ．若||＝||，则＝B ．若||＞||，则＞C ．若，则∥D ．若∥，则5．（2022春•上城区校级期中）已知平面向量，不共线，＝4+6，＝﹣+3，＝+3，则（）A ．A ，B ，D 三点共线B ．A ，B ，C 三点共线C ．B ，C ，D 三点共线D ．A ，C ，D 三点共线6．（2022春•浙江期中）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即∠ABC ）为26.5°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC ）为73.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB 的长）为a ，则表高（即AC 的长）为（）A ．B ．C．D．7．（2022春•乐清市校级期中）若复数z＝，则|z﹣i|＝（）A．2B．C．4D．5 8．（2022春•台州期中）设z＝﹣3﹣2i，则在复平面内复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限9．（2022春•金东区校级期中）已知一个圆锥的底面积为π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为（）A．B．C．D．10．（2022春•上城区校级期中）如图，一个水平放置的平面图形的直观图A'B'C'D'是边长为2的菱形，且O'D'＝2，则原平面图形的周长为（）A．B．C．D．8 11．（2022春•金东区校级期中）如图所示的是用斜二测画法画出的△AOB的直观图（图中虚线分别与x'轴，y'轴平行），则原图形△AOB的面积是（）A．8B．16C．32D．64 12．（2022春•杭州期中）2022年北京冬奥会拉开帷幕，动作观赏性强、视觉冲击力大的自由式滑雪大跳台是目前“冬奥大家族”中最年轻的项目．首钢滑雪大跳台实现了竞赛场馆与工业遗产再利用、城市更新的完整结合，见证了中外运动员在大跳台“冲天一跳”的精彩表现和北京这座世界上独一无二“双奥之城”的无上荣光．如图为大跳台示意图，为测量大跳台最高处C点的高度，小王在场馆内的A，B两点测得C的仰角分别为45，30，AB＝60（单位：m），且∠AOB＝30°，则大跳台最高高度OC＝（）A．45m B．C．60m D．13．（2022春•台州期中）已知向量＝（3，1），＝（1，3），且（+）⊥（﹣λ），则λ的值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2 14．（2022春•鄞州区校级期中）用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2cm2，则原平面图形的面积为（）A．4cm2B．4cm2C．8cm2D．8cm2 15．（2022春•滨江区校级期中）已知等腰梯形ABCD，现绕着它的较长底CD所在的直线旋转一周，所得的几何体为（）A．一个圆台、两个圆锥B．一个圆柱、两个圆锥C．两个圆台、一个圆柱D．两个圆柱、一个圆台16．（2022春•滨江区校级期中）如图，在△ABC中，D为AB的中点，E为CD的中点，设＝，＝，以向量，为基底，则向量＝（）A．+B．+C．+D．+ 17．（2022春•台州期中）奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB 的面积分别为S A，S B，S C，则S A•+S B•+S C•＝．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的log o很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．设O为三角形ABC内一点，且满足+2+3＝3+2+，则＝（）A．B．C．D．18．（2022春•金东区校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝，点D在线段BC上，AD⊥AC，，则sin C＝（）A．B．C．D．19．（2022春•北仑区校级期中）在△ABC中，，则角C的度数为（）A．135°B．45°C．45°或135°D．120°20．（2022春•上城区校级期中）骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（）A．18B．24C．36D．48 21．（2022春•浙江期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知c＝2，且2a sin C cos B＝a sin A﹣b sin B+b sin C，点O满足＝，cos∠CAO＝，则△ABC的面积为（）A．B．3C．5D．22．（2022春•北仑区校级期中）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且2S＝a2﹣（b﹣c）2，则的取值范围为（）A．B．C．D．二．多选题（共10小题）23．（2022春•温州期中）已知复数z的共轭复数为，若iz＝1+i，则（）A．z的实部是1B．z的虚部是﹣iC．D．|z|＝224．（2022春•西湖区校级期中）已知复数z1＝2﹣2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点为P1，复数z2满足|z2﹣i|＝1，则下列结论正确的是（）A．P 1点的坐标为（2，﹣2）B．＝2+2iC．|z2﹣z1|的最大值为+1D．|z2﹣z1|的最小值为225．（2022春•北仑区校级期中）下面是关于复数z＝（i为虚数单位）的命题，其中真命题为（）A．|z|＝B．z﹣z2＝1+iC．z的共轭复数为﹣1+i D．z的虚部为126．（2022春•上城区校级期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列各组条件中使得△ABC有两个解的是（）A．B．C．D．27．（2022春•北仑区校级期中）已知，是单位向量，且+＝（1，﹣1），则（）A．||＝2B．与垂直C．与的夹角为D．||＝128．（2022春•滨江区校级期中）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P是线段BC1上的动点，则下列结论中正确的是（）A．AC⊥BD1B．A1P的最小值为C．A1P∥平面ACD1D．异面直线A1P与AD1所成角的取值范围是[，]29．（2022春•鄞州区校级期中）正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，则下列叙述正确的是（）A．正三棱锥高为3B．正三棱锥的斜高为C．正三棱锥的体积为D．正三棱锥侧面积为30．（2022春•滨江区校级期中）在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，下列叙述正确的是（）A．若，则△ABC为等腰三角形B．若A＝30°，b＝4，a＝3，则△ABC有两解C．若tan A+tan B+tan C＜0，则△ABC为钝角三角形D．若a＝b sin C+c cos B，则31．（2022春•鄞州区校级期中）如图，平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝4，，E为CD的中点，AE与DB交于F，则（）A．在方向上的投影为0B．C．D．32．（2022春•金东区校级期中）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是（）A．C1，M，O三点共线B．C1，M，O，C四点共面C．C1，O，A，M四点共面D．D1，D，O，M四点共面三．填空题（共14小题）33．（2022春•台州期中）已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在半径为2的同一个球的球面上．则球的体积与圆柱的体积的比值为．34．（2022春•北仑区校级期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，B＝45°，C＝75°，则b＝．35．（2022春•滨江区校级期中）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，c2＝2ab 且sin A＝sin C，则cos A＝．36．（2022春•金东区校级期中）若复数z＝（m+2）+（m2﹣9）i（m∈R）是正实数，则实数m的值为．37．（2022春•上城区校级期中）i是虚数单位，复数＝．38．（2022春•湖州期中）已知圆柱的底面圆的半径为2，高为3，则该圆柱的侧面积为．39．（2022春•台州期中）已知向量与的夹角为，则|5|＝．40．（2022春•浙江期中）若||＝1，||＝2，与的夹角为60°，若（3+5）⊥（m﹣），则m的值为．41．（2022春•鄞州区校级期中）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．42．（2022春•鄞州区校级期中）小华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是km．43．（2022春•宁波期中）古希腊数学家托勒密于公元150年在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知AC，BD为圆的内接四边形ABCD的两条对角线，且sin∠ABD：sin∠ADB：sin∠BCD＝2：3：4，若|AC|2＝λ|BC|•|CD|，则实数λ的最小值为．44．（2022春•上城区校级期中）在△ABC中，若面积，则∠A＝．45．（2022春•滨江区校级期中）窗花是贴在窗纸或户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则的取值范围是．46．（2022春•西湖区校级期中）△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且2++＝，＝||，则•的值是．四．解答题（共14小题）47．（2022春•温州期中）已知向量，．（1）若，求的值；（2）若，求实数k的值；（3）若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围．48．（2022春•温州期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a＝1，b＝2，．（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．49．（2021春•温州期中）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，，E 是PD的中点．（1）求证：BC∥AD；（2）线段AD上是否存在点N，使平面CEN∥平面PAB，若不存在请说明理由；若存在给出证明．50．（2022春•西湖区校级期中）已知向量，，在同一平面上，且＝（﹣2，1）．（1）若∥，且||＝25，求向量的坐标；（2）若＝（3，2），且k﹣与+2垂直，求k的值．51．（2021春•金东区校级期中）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，BC＝AD，E是PD的中点．（Ⅰ）求证：BC∥AD；（Ⅱ）求证：CE∥平面PAB；（Ⅲ）若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点N，使MN∥平面PAB？说明理由．52．（2022春•上城区校级期中）北京2022年冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口开幕，运动员休息区本着环保、舒适、温馨这一出发点，进行精心设计，如图，在四边形ABCD休闲区域，四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道AC，∠D＝2∠B，且AD＝1，CD＝3，．（1）求氢能源环保电动步道AC的长；（2）若_____；求花卉种植区域总面积．从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．53．（2022春•台州期中）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c．（1）求C；（2）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．54．（2022春•上城区校级期中）已知||＝4，||＝8，与夹角是120°．（1）求的值及||的值；（2）当k为何值时，？55．（2022春•浙江期中）杭州市为迎接2022的亚运会，规划公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图的五边形ABCDE，运动员的公路自行车比赛中如出现故障，可以从本队的器材车、公共器材车上或收容车上获得帮助．比赛期间，修理或更换车轮或赛车等，也可在固定修车点上进行．还需要运送一些补给物品，例如食物、饮料、工具和配件．所以项目设计需要预留出BD，BE为赛道内的两条服务通道（不考虑宽度），ED，DC，CB，BA，AE为赛道，∠BCD＝∠BAE＝，∠CBD＝，CD＝2km，DE＝8km．（1）从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道BE的长度；①∠CDE＝；②cos∠DBE＝．（2）在（1）的条件下，应该如何设计，才能使折线赛道BAE最长（即BA+AE最大），最长值为多少？56．（2022春•鄞州区校级期中）设两个非零向量与不共线．（1）若＝+，＝2+8，＝3（﹣）．求证：A，B，D三点共线；（2）试确定实数k，使k+和+k共线．57．（2022春•鄞州区校级期中）在△ABC中，已知∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD ＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．58．（2022春•浙江期中）实数m取什么值时，复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数．59．（2022春•滨江区校级期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2．（Ⅰ）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；（Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC；（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．60．（2022春•上城区校级期中）如图，A，B是单位圆上的相异两定点（O为圆心），且∠AOB＝θ（θ为锐角）．点C为单位圆上的动点，线段AC交线段OB于点M．（1）求（结果用θ表示）；（2）若θ＝60°①求的取值范围；②设（0＜t＜1），记＝f（t），求函数f（t）的值域．。
江苏省南京河西外国语学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
cos15o
=
sin 30o
=
1 2
，与
1 2
相等，C
对；
D 选项中， tan 30o + tan15o 1- tan 30o tan15o
=
tan 45o
1
= 1 ，与 2
不相等，D 错；
故选：BC 10．BC
【分析】由待定系数法，根据模长公式可得
ìïïa í ïïîb
= =
1 2
3 2
，即可结合选项逐一求解.
为函数
f
(x)
的相伴特征向量，同时称函数
f
(x)
为向量
uuuur OM
的相伴函数．
( ) uuur
(1)若 OT =
-
3,1
为 h(x) =
m
sin
æ çè
x
-
p 6
ö ÷ø
的相伴特征向量，求实数
m
的值；
试卷第41 页，共33 页
( ) uuur
(2)记向量 ON = 1,
3
的相伴函数为
f
( x)
A． 2
B．1
C． -2
D． i
2．已知向量
ar
=
(2,1),
r b
=
(1,
x)
，若
ar
+
r 2b
与
ar
垂直，则
x
的值为（
）
A．7
B． -7
C．
1 2
D．
-
9 2
3．在
VABC
中， c
=
2b cos
B
，C
=
2π 3
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外国语学校2022-2023学年度高一下学期期中考试
数 学 试 题
命题人：高一数学命题研究中心 审题人：高一数学命题研究中心
考试时间：2023年4月20日 试卷满分：150分
第Ⅰ卷(60分)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减的是
A. |sin |y x =
B. cos y x =
C. tan y x =
D. cos 2
x
y =
2.如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的
A. B. C. D.
3.根据所学知识判断下列描述错误的是 A.不相交的直线是平行直线
B.经过两条平行直线有且只有一个平面
C.不共线的三点确定一个平面
D.棱台的各侧棱延长后必交于一点
4.在ABC 中，若非零向量AB 与AC 满足0,0AB AC BC AB AC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅=⋅= ⎪⎝⎭
，则ABC 为 A. 三边均不相等的三角形 B.等腰直角三角形 C. 底边和腰不相等的等腰三角形 D. 等边三角形
5.设222
2tan121cos 48
cos 12-sin 121-tan 122
a b c -===，，，则有 A ．c b a <<
B ．b c a <<
C ．a c b <<
D ．b a c <<
6.“不以规矩，不成方圆”.出自《孟子.离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，用来测量、画圆和方形图案的工具.有一圆形木板，以“矩”量之，较长边为10cm ，较短边为5cm ，如图所示，将这个圆形木板截出一块三角形木板，三角形定点A,B,C 都在圆周上，角A,B,C 分别对应,,a b c ,满足
=45c cm .若2
8ABC S cm ∆=，且a c >，则
A.3
sin 5C =
B.ABC ∆周长为12+45cm
C.ABC ∆周长为15+45cm
D.圆形木板的半径为25cm 7.已知1
1
1
31tan 1tan
22
αα-=--+，且02πα-≤≤，则
22sin sin 2cos()4ααπα+=- A ．255 B ．－3510 C ．－310
10
D ．－25
5
8.已知1
()sin cos (,)4
f x x x x R ωωω=->∈，若()f x 的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于 区间(2,3)ππ，则ω的取值范围是 A. 3111119[,
][,]812812 B. 1553(,][,]41284 C. 37711[,][,]812812 D. 13917
(,][,]44812
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．漏选得2分，错选得0分．
9.下面是关于复数2
1i
z =-（i 为虚数单位）的命题，其中真命题为
A ．
2z = B ．21i z z -=+ C.z 的共轭复数为1i -+ D.z 的虚部为1
10.已知函数()=sin()(0,0,||)2
f x A x A π
ωϕωϕ+>><的部分图
象如图所示，
则下列结论正确的是
A.函数的解析式为()=2sin(2)3
f x x π
+
B.函数()f x 在2[,]36ππ
-
-上单调递减 C.该图象向右平移6
π
个单位可得=2sin2y x 的图象
D.函数()y f x =关于点(,0)6
π
-
对称
11.一个腰长为1的等腰直角三角形ABC 三边上分别取一个点,,P Q R ，使得三角形PQR 也是等腰直角三角
形，则
PRQ ABC
S S △△的值可能为
A.
15
B.
27 C.310 D.4
2023
12.对于任意ABC ∆,3
2,4
AE EC BD DC ==,两直线AD,BE 相交于点O,延长CO 交AB 于点F,则下列结论
正确的是 A.38
1717
CO CA CB =
+ B.若0,::3:8:7xOA yOB zOC x y z ++==则 C.11247
,1,2,cos 3
494
BAC AB AC DOE π
∠=
==∠=
当时则 D.1677DEF ABC S S ∆∆=
第Ⅱ卷（90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知12,e e 是两个不共线单位向量，1212122,3,AB BC CD e e e e e e λ=+=-+=-，若A ，B ，D 三点共线，则实数λ=__________．
14．函数()()
2sin 3f x lg x =-的定义域为___________.
15．设点O 是ABC 外接圆的圆心，3AB =，且4AO BC -⋅=.则
sin sin B
C
的值是________. 16．浑仪，是中国古代的一种天文观测仪器，是以浑天说为理论基础制造的、由相应天球坐标系各基 本圈的环规及瞄准器构成的古代天文测量天体的仪器,它的基本结构由重重的同心圆环构成，整体看起
来像一个圆球.武汉外校某社团的同学根据浑仪运行原理制作了一个浑仪的模型（如下图所示，为丰富 同学们天文学相关知识，考完后可以通过二维码进一步了解）：同心的小球半径为3，大球半径为R. 现为提高浑仪的稳固性，该社团同学在大球内放入一个由六根等长的铁丝（不计粗细）组成的四面 体框架，为不影响浑仪的正常使用，小球能在框架内自由转动，则大球半径R 的最小值为__________.
四．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分10分）已知(4,3)a =,(3,0)b =.
（Ⅰ）当k 为何值时，ka b +与2a b +垂直; （Ⅱ）当k 为何值时，ka b +与2a b +的夹角为锐角.
18.（本小题满分12分）已知函数22()2(sin cos )43cos 23f x x x x =++- （Ⅰ）求()f x 的对称轴方程；
（Ⅱ）若0,]2
x π
∈[，求函数()f x 的值域．
19.（本小题满分12分）
(Ⅰ)如图1，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，BC CD ⊥，CD =2AB =6，45ADC ∠=，梯形绕着直线AB 旋转一周，求所形成的封闭几何体的表面积；
(Ⅱ)有一个封闭的正三棱柱容器，高为12，内装水若干(如图2，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图3，
一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点F ，E ，E 1，F 1分别为所在棱的中点，求图2中水面的高度．
图1图2图3
20.（本小题满分12分）如图，在平面四边形ABCD 中,,1,2
BCD AB π
∠=
=3.4ABC π∠=
（Ⅰ）当2,7BC CD =
=时，求ACD ∆的面积.
（Ⅱ）当,6
ADC π
∠=
2AD =时，求cos ACD ∠.
21.（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明两角和的余弦公式:C αβ+cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- 并由C αβ+推导两角和的正弦公式::S αβ+sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+
（Ⅱ）已知153(0,),(0,),sin(),sin()2425π
βαβππαα∈∈-=-=，求cos
2
αβ
-的值.
22.（本小题满分12分）一个创业青年租用一块边长为4百米的等边ABC ∆田地如图养蜂、产蜜与售蜜,田地内拟修建笔直小路MN ，AP ，其中M ，N 分别为AC ，BC 的中点，点P 在CN 上，规划在小路MN 与AP 的交点O (O 与M 、N 不重合处设立售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区，A ，N 为出入口小路的宽度不计为节约资金，小路MO 段与OP 段建便道，供蜂源植物培育之用，费用忽略不计为车辆安全出入，小路AO 段的建造费用为每百米5万元，小路ON 段的建造费用为每百米4万元．
（Ⅰ）若拟修的小路AO 段长为7百米，求小路ON 段的建造费用；
（Ⅱ）设AOM θ∠=, 求cos θ的值，使得小路AO 段与ON 段的建造总费用最小．。