高中数学-高一下期中考试题

外国语学校2022-2023学年度高一下学期期中考试

数 学 试 题

命题人：高一数学命题研究中心 审题人：高一数学命题研究中心

考试时间：2023年4月20日 试卷满分：150分

第Ⅰ卷(60分)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间,2ππ⎛⎫

⎪⎝⎭

上单调递减的是

A. |sin |y x =

B. cos y x =

C. tan y x =

D. cos 2

x

y =

2.如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的

A. B. C. D.

3.根据所学知识判断下列描述错误的是 A.不相交的直线是平行直线

B.经过两条平行直线有且只有一个平面

C.不共线的三点确定一个平面

D.棱台的各侧棱延长后必交于一点

4.在ABC 中，若非零向量AB 与AC 满足0,0AB AC BC AB AC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅=⋅= ⎪⎝⎭

，则ABC 为 A. 三边均不相等的三角形 B.等腰直角三角形 C. 底边和腰不相等的等腰三角形 D. 等边三角形

5.设222

2tan121cos 48

cos 12-sin 121-tan 122

a b c -===，，，则有 A ．c b a <<

B ．b c a <<

C ．a c b <<

D ．b a c <<

6.“不以规矩，不成方圆”.出自《孟子.离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，用来测量、画圆和方形图案的工具.有一圆形木板，以“矩”量之，较长边为10cm ，较短边为5cm ，如图所示，将这个圆形木板截出一块三角形木板，三角形定点A,B,C 都在圆周上，角A,B,C 分别对应,,a b c ,满足

=45c cm .若2

8ABC S cm ∆=，且a c >，则

A.3

sin 5C =

B.ABC ∆周长为12+45cm

C.ABC ∆周长为15+45cm

D.圆形木板的半径为25cm 7.已知1

1

1

31tan 1tan

22

αα-=--+，且02πα-≤≤，则

22sin sin 2cos()4ααπα+=- A ．255 B ．－3510 C ．－310

10

D ．－25

5

8.已知1

()sin cos (,)4

f x x x x R ωωω=->∈，若()f x 的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于 区间(2,3)ππ，则ω的取值范围是 A. 3111119[,

][,]812812 B. 1553(,][,]41284 C. 37711[,][,]812812 D. 13917

(,][,]44812

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．漏选得2分，错选得0分．

9.下面是关于复数2

1i

z =-（i 为虚数单位）的命题，其中真命题为

A ．

2z = B ．21i z z -=+ C.z 的共轭复数为1i -+ D.z 的虚部为1

10.已知函数()=sin()(0,0,||)2

f x A x A π

ωϕωϕ+>><的部分图

象如图所示，

则下列结论正确的是

A.函数的解析式为()=2sin(2)3

f x x π

+

B.函数()f x 在2[,]36ππ

-

-上单调递减 C.该图象向右平移6

π

个单位可得=2sin2y x 的图象

D.函数()y f x =关于点(,0)6

π

-

对称

11.一个腰长为1的等腰直角三角形ABC 三边上分别取一个点,,P Q R ，使得三角形PQR 也是等腰直角三角

形，则

PRQ ABC

S S △△的值可能为

A.

15

B.

27 C.310 D.4

2023

12.对于任意ABC ∆,3

2,4

AE EC BD DC ==,两直线AD,BE 相交于点O,延长CO 交AB 于点F,则下列结论

正确的是 A.38

1717

CO CA CB =

+ B.若0,::3:8:7xOA yOB zOC x y z ++==则 C.11247

,1,2,cos 3

494

BAC AB AC DOE π

∠=

==∠=

当时则 D.1677DEF ABC S S ∆∆=

第Ⅱ卷（90分）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知12,e e 是两个不共线单位向量，1212122,3,AB BC CD e e e e e e λ=+=-+=-，若A ，B ，D 三点共线，则实数λ=__________．

14．函数()()

2sin 3f x lg x =-的定义域为___________.

15．设点O 是ABC 外接圆的圆心，3AB =，且4AO BC -⋅=.则

sin sin B

C

的值是________. 16．浑仪，是中国古代的一种天文观测仪器，是以浑天说为理论基础制造的、由相应天球坐标系各基 本圈的环规及瞄准器构成的古代天文测量天体的仪器,它的基本结构由重重的同心圆环构成，整体看起

来像一个圆球.武汉外校某社团的同学根据浑仪运行原理制作了一个浑仪的模型（如下图所示，为丰富 同学们天文学相关知识，考完后可以通过二维码进一步了解）：同心的小球半径为3，大球半径为R. 现为提高浑仪的稳固性，该社团同学在大球内放入一个由六根等长的铁丝（不计粗细）组成的四面 体框架，为不影响浑仪的正常使用，小球能在框架内自由转动，则大球半径R 的最小值为__________.

四．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分10分）已知(4,3)a =,(3,0)b =.

（Ⅰ）当k 为何值时，ka b +与2a b +垂直; （Ⅱ）当k 为何值时，ka b +与2a b +的夹角为锐角.

18.（本小题满分12分）已知函数22()2(sin cos )43cos 23f x x x x =++- （Ⅰ）求()f x 的对称轴方程；

（Ⅱ）若0,]2

x π

∈[，求函数()f x 的值域．

19.（本小题满分12分）

(Ⅰ)如图1，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，BC CD ⊥，CD =2AB =6，45ADC ∠=，梯形绕着直线AB 旋转一周，求所形成的封闭几何体的表面积；

(Ⅱ)有一个封闭的正三棱柱容器，高为12，内装水若干(如图2，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图3，

一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点F ，E ，E 1，F 1分别为所在棱的中点，求图2中水面的高度．

图1图2图3