关于y=x的反射变换
线性变换与二阶矩阵 课件
x' y'
k1x, k2 y.
对应的二阶矩阵为
k1 0
0 k2 .
4.投影变换
设l是平面内一条给定的直线.对平面内的任意一点P作直线l
y p(x, y)
的垂线，垂足为点P' , 则称点P' 为点P在直线l上的投影.
将平面上每一点P变成它在直线l上的投影P' , 这个变换称为 关于直线l的投影变换.
例1 在直角坐标系xoy内，将每个点绕原点O按逆时针
方向旋转300的变换称为旋转角是300的旋转变换. (1)求点A(1，0)在这个旋转变换作用下的像A'； （2）写出这个旋转变换的表达式.
(1) A'( 3 , 1) 22
(2)x'
3 x 1 y, 2 2 (2)
y'
1 2
x
3 y. 2
是
x' y,
y'
x.
0 对应的二阶矩阵为 1
10.
一般地，我们把平面上的任意一点P变成它关于直线l的对称点 P'的线性变换叫做关于直线l的反射.
探究
在直角坐标系xoy内，直线l过原点，倾斜角为.
你能求出关于直线l的反射变换的坐标变换公式吗？
3.伸缩变换 在直角坐标系xoy内，将每个点的横坐标变为 原来的k1倍，纵坐标变为原来的k2倍，其中k1, k2 均为非零常数，我们称这样的几何变换为伸缩变换.
q2,且A B，求p, q, x, y.
在直角坐标系xoy内，每个点都绕原点O按逆时针方向旋转
1800.设点P(x, y)经过旋转后变成点P（' x', y' ), x', y'与x, y
三角函数的变换与性质
三角函数的变换与性质三角函数在数学中起着重要的作用，它们与三角学和几何学密切相关。
本文将探讨三角函数的变换与性质，包括平移、缩放和反射等变换，以及周期性、奇偶性和对称性等性质。
1. 平移变换三角函数的平移变换指的是在横轴或纵轴方向上对函数图像进行平移操作。
对于y = sin(x)来说，平移变换可以表示为y = sin(x - a)或y = sin(x + a)，其中a表示平移的量。
当a大于0时，图像向右平移；当a小于0时，图像向左平移。
同样地，对于y = cos(x)和y = tan(x)等函数，也可以用相似的方式进行平移变换。
平移变换可以帮助我们理解函数图像的移动规律，对解决实际问题中的几何和物理相关问题具有重要意义。
2. 缩放变换三角函数的缩放变换是指改变函数图像在横轴或纵轴方向上的尺度。
对于y = sin(x)来说，缩放变换可以表示为y = a*sin(x)或y = sin(ax)，其中a表示缩放的比例。
当a大于1时，函数的振幅增大，图像变窄；当a小于1时，函数的振幅减小，图像变宽。
类似地，对于y = cos(x)和y = tan(x)等函数，缩放变换也可以用类似的方式进行。
缩放变换可以帮助我们研究函数图像的形状和变化，对数学建模和图像处理等领域有着广泛应用。
3. 反射变换三角函数的反射变换是指改变函数图像关于横轴或纵轴的对称性。
对于y = sin(x)来说，反射变换可以表示为y = -sin(x)或y = sin(-x)，其中负号表示对称性的改变。
经过纵轴反射后，图像关于纵轴对称；经过横轴反射后，图像关于横轴对称。
对于y = cos(x)和y = tan(x)等函数，也可以通过反射变换来改变图像的对称性。
反射变换有助于我们研究三角函数图像的特征和性质，对对称几何和信号处理等领域有一定的应用价值。
4. 周期性三角函数具有明显的周期性特征，即函数在一定区间内的值重复出现。
对于y = sin(x)来说，它的周期为2π，即在每个2π的区间内，函数的值会重复。
三角函数的基本变换
三角函数的基本变换三角函数是数学中的重要内容，在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
而三角函数的基本变换是理解和应用三角函数的基础。
本文将介绍三角函数的基本变换，包括正弦函数、余弦函数和正切函数的平移、伸缩和反射三种变换。
一、正弦函数的基本变换正弦函数的标准公式为：y = A*sin(Bx + C) + D，其中A、B、C、D 为常数，且A不等于0。
对于正弦函数的基本变换，可以通过调整A、B、C、D的值来实现平移、伸缩和反射。
1. 平移平移是指将函数图像沿x轴或y轴方向移动。
当C为正数时，正弦曲线向左平移；当C为负数时，正弦曲线向右平移。
平移的距离由C的绝对值决定，绝对值越大，平移的距离越远。
2. 伸缩伸缩是指将函数图像在x轴或y轴方向进行拉伸或压缩。
当A的绝对值变大时，正弦曲线在y轴方向上的振幅增大，即拉伸；当A的绝对值变小时，正弦曲线的振幅减小，即压缩。
当B的绝对值变大时，正弦曲线在x轴方向上的周期变短，即拉伸；当B的绝对值变小时，正弦曲线的周期变长，即压缩。
3. 反射反射是指将函数图像关于x轴或y轴进行翻转。
当A为负数时，正弦曲线关于x轴进行翻转；当B为负数时，正弦曲线关于y轴进行翻转。
二、余弦函数的基本变换余弦函数的标准公式为：y = A*cos(Bx + C) + D，其中A、B、C、D为常数，且A不等于0。
余弦函数的基本变换与正弦函数类似，分为平移、伸缩和反射三种变换。
1. 平移余弦函数的平移与正弦函数相同，通过调整C的值来实现。
当C为正数时，余弦曲线向左平移；当C为负数时，余弦曲线向右平移。
2. 伸缩余弦函数的伸缩与正弦函数类似，通过调整A和B的值来实现。
当A的绝对值变大时，余弦曲线在y轴方向上的振幅增大，即拉伸；当A 的绝对值变小时，余弦曲线的振幅减小，即压缩。
当B的绝对值变大时，余弦曲线在x轴方向上的周期变短，即拉伸；当B的绝对值变小时，余弦曲线的周期变长，即压缩。
3. 反射余弦函数的反射与正弦函数类似，通过调整A的值来实现。
计算机图形学复习题及答案
计算机图形学复习题及答案Newly compiled on November 23, 2020中南大学现代远程教育课程考试模拟复习试题.及参考答案计算机图形学一、名词解释1．图形2．像素图3．参数图4．扫描线5．构造实体几何表示法6．投影7．参数向量方程8．自由曲线9．曲线拟合10．曲线插值11．区域填充12．扫描转换二、判断正误（正确写T，错误写F）1.存储颜色和亮度信息的相应存储器称为帧缓冲存储器，所存储的信息被称为位图。
（）2．光栅扫描显示器的屏幕分为m行扫描线，每行n个点，整个屏幕分为m╳n个点，其中每个点称为一个像素。
―――――――――――――――――――――（）3．点阵字符用一个位图来表示，位图中的0对应点亮的像素，用前景色绘制；位图中的1对应未点亮的像素，用背景色绘制。
――――――――――――――――－（）4．矢量字符表示法用（曲）线段记录字形的边缘轮廓线。
―――――――――――（）5．将矢量字符旋转或放大时，显示的结果通常会变得粗糙难看，同样的变换不会改变点阵字符的显示效果。
―――――――――――――――――――――――――（）6．在光栅图形中，区域是由相连的像素组成的集合，这些像素具有相同的属性值或者它们位于某边界线的内部。
―――――――――――――――――――――――（）7．多边形的扫描变换算法不需要预先定义区域内部或边界的像素值。
――――――（）8．齐次坐标表示法用n维向量表示一个n＋１维向量。
―――――――――――――（）9．实体的边界由平面多边形或空间曲面片组成。
―――――――――――――――（）10．平面多面体表面的平面多边形的边最多属于两个多边形，即它的表面具有二维流形的性质。
―――――――――――――――――――――――――――――――（）11．实体几何性质包括位置、长度和大小等。
―――――――――――――――――（）12．实体的拓扑关系表示实体之间的相邻、相离、方位、相交和包含等关系。
几何画板在数学中运用讲座：探索反比例函数的性质.docx
几何画板在数学中运用讲座：探索反比例函数的性质一、画反比例函数y = -v1运行结果：在直角坐标系中画出反比例函数y ==的图像涉及知识：运用［图表］［绘制新函数1的功能画出反比例函数y二丫的图像操作步骤：1、打开新建的文件，［图表］［网格］［方形网格］建立直角坐标系。
2、［图表］［绘制新函数］会出现一个对话框。
选择f方程］y=f(x)然后输入y = I -x ［确定］得到图像3、选取函数图像，［作图］［图像上的点］得到一点C这一点总在图像匕选屮点C［度量］［坐标］得到C 点的坐标。
拖动C点观察横坐标与纵坐标的变化恬况。
二、探索反比例函数图象的对称性运行结果：移动函数上的点C,发现它关于y = X与y = - X对称的点都在反比例函数上1涉及知识：运用［图表］［绘制新函数］的功能画出反比例函数y = 乂的图像,运用［变换］［反射］得到C 点关于y = x和y =・x的对称点操作步骤：2、打开新建的文件，［图表］［网格］［方形网格］建立宜角世标系。
2、［图萄〔绘制新函数］会出现一个对话框。
选择［方程］y司x）然后输入y = 1 -x ［确定］得到图像3、选取函数图像，［作图］［图像上的点］得到一点C这一点总在图像上。
选屮点C［度議］［坐标］得到C 点的坐标。
4、画直线y = x和y二-x,双击［变换］［反射］，得到C点关于y = x与y = - x的对称点，选中这两点［度量1［朋标］，拖动C点，观察C点及两个对称点的横朋标与纵朋标的变化情况。
设置变化过程屮保留痕迹，探索kA ；图像的关系。
涉及知识：运用［图表］［绘制新函数］的功能画出反比例函数y 二入的图像，学会运用［新建参数功能］ ［动画］按钮的制作操作步骤：1、 打开新建的文件，［图表］［网格］［方形网格］建立直角坐标系。
2、 ［图表］［绘制新函数］,在对话框中选取方程y=f(x)［数值］［新建参数］，得到一个对话框将对话框屮的 II 选中输入k,然后输入kmx ［确定］，得到函数图像。
高中数学中的三角函数的基本变换规律
高中数学中的三角函数的基本变换规律在高中数学的学习过程中，三角函数是一个重要的内容。
它们在解决几何问题、物理问题以及工程问题中发挥着重要的作用。
而要理解三角函数的性质和应用，我们首先需要掌握它们的基本变换规律。
一、平移变换规律平移是指将函数图像沿着横坐标或纵坐标方向进行平移。
对于三角函数而言，平移变换规律可以用以下形式表示：1. 正弦函数的平移变换规律：y = a*sin(b(x-c)) + d其中，a表示振幅的变化，b表示周期的变化，c表示横坐标方向的平移量，d表示纵坐标方向的平移量。
2. 余弦函数的平移变换规律：y = a*cos(b(x-c)) + d同样地，a、b、c、d分别表示振幅、周期、横坐标方向平移量和纵坐标方向平移量。
通过平移变换规律，我们可以将函数图像在平面上进行移动，从而观察到函数图像的变化。
二、伸缩变换规律伸缩是指将函数图像沿着横坐标或纵坐标方向进行拉伸或压缩。
对于三角函数而言，伸缩变换规律可以用以下形式表示：1. 正弦函数的伸缩变换规律：y = a*sin(b(x-c)) + d其中，a表示纵坐标方向的伸缩倍数，b表示横坐标方向的伸缩倍数，c表示横坐标方向的平移量，d表示纵坐标方向的平移量。
2. 余弦函数的伸缩变换规律：y = a*cos(b(x-c)) + d同样地，a、b、c、d分别表示纵坐标方向的伸缩倍数、横坐标方向的伸缩倍数、横坐标方向平移量和纵坐标方向平移量。
通过伸缩变换规律，我们可以观察到函数图像在平面上的形状发生变化，从而更好地理解函数的性质。
三、反射变换规律反射是指将函数图像沿着横坐标或纵坐标方向进行镜像。
对于三角函数而言，反射变换规律可以用以下形式表示：1. 正弦函数的反射变换规律：y = -a*sin(b(x-c)) + d其中，a表示振幅的变化，b表示周期的变化，c表示横坐标方向的平移量，d表示纵坐标方向的平移量。
2. 余弦函数的反射变换规律：y = -a*cos(b(x-c)) + d同样地，a、b、c、d分别表示振幅、周期、横坐标方向平移量和纵坐标方向平移量。
第1课时矩阵的概念与几种常见的变换
图形的旋转由旋转中心和旋转角度决定.
当旋转角α=1800时
1
0
0 - 1
即原点中心对称
(9)投影变换 1 0 0 0 (x, y) （x,0)
x轴上的投影变换
0 0
0 1
(x, y) （0, y)
y轴上的投影变换
类似地，将平面内图形投影到某条直线(或某 个点上的矩阵,我们称之为投影变换矩阵,相应 的变换称做投影变换
纵坐标不变，横坐标变 为原来的k倍 x轴方向的伸缩变换
横坐标不变，纵坐标变 为原来的k倍 y轴方向的伸缩变换
几种常见的矩阵变换 根据下列新旧坐标关系写出相应矩阵变换
x x
(4)
y
y
1 0
0 1
关于y轴的反射变换
x x
(5)
y
y
1 0 0 -1 关于x轴的反射变换
(6)
x
y
y x
0 1 1 0
T： xy
x y
a c
b
d
x
y
矩阵乘法的形式
的矩阵形式，反之亦然（a,b, c, d R).
两种形式形异而质同
几种常见的矩阵变换 写出下列各矩阵变换下的新旧坐标关系：
1 0 (1) 0 1
(2)
k 0
0
1
1 0
(3) 0
k
x x
y
y
x kx
y
y
x x
y
ky
恒等变换
► 探究点：平面图形的变换 例 2 [2008·江苏卷] 在平面直角坐标系 xOy 中，设
椭圆 4x2＋y2＝1 在矩阵 A＝20 01对应的变换下得到曲线
F，求 F 的方程． 【思路】用矩阵变换的意义来解题．
M正交变换和仿射变换
1：反射把右手系变成左手系. 反射把右手系变成左手系. 所以反射不是刚体运动. 所以反射不是刚体运动. 2：反射也保持距离不变. ：反射也保持距离不变.
C
A
O
P
B
•Q
O1
π
A1
C1
B1
•Q1
'
P
6：什么叫正交变换？ 什么叫正交变换？ 正交变换：保持距离不变的变换 正交变换：保持距离不变的变换. 1：反射和刚体运动都是正交变换，以及它们 反射和刚体运动都是正交变换， 的乘积都是正交变换. 的乘积都是正交变换. 2：正交变换把一个三角形变成跟它全等的三 角形. 角形. 定理2 正交变换或者是刚体运动， 定理2：正交变换或者是刚体运动，或者是反 或者是刚体运动与一个反射的乘积. 射，或者是刚体运动与一个反射的乘积.
作业
7，10，11 ， ，
复习：坐标变换 复习：
旧坐标系[O, e1 , e2 , e3 ]
O ' = (a1 , a2 , a3 )
' e3
新坐标系[O , e , e , e ] uuuu r ' OO = a1e1 + a2 e2 + a3e3 .
' ' 1 ' 2 ' 3
e3
' e2
e1' = (a11 , a21 , a31 ), e = (a12 , a22 , a32 ),
P
P'
| PP |= k | PP | 0 0
'
π
P0
的对应是一个变换， P 到 P ' 的对应是一个变换，叫做对于平面 π 的压 缩变换， 称作压缩系数. 缩变换， 称作压缩系数. k
高考数学总复习选做矩阵试题含解析
由xy′ ′＝10 21xy＝x＋y2y，得xy′′＝ ＝xy＋ . 2y， 又点 M′(x′，y′)在 l′上，所以 x′＋by′＝1， 即 x＋(b＋2)y＝1，
依题意得ab＝ ＋12， ＝1， 解得ab＝ ＝1－，1.
(2)由 Ayx00＝xy00，得xy00＝ ＝xy00＋ ，2y0，
解得 y0＝0.
3．特征值和特征向量
设矩阵 A＝ac bd，如果存在数 λ 以及非零向量 ξ，使得 Aξ＝λξ，则称 λ 是矩阵 A 的一 个特征值，ξ 是矩阵 A 的属于特征值 λ 的一个特征向量．
4．特征向量的性质 设 λ1，λ2 是二阶矩阵 A 的两个不同特征值，ξ1，ξ2 是矩阵 A 的分别属于特征值 λ1，λ2 的 特征向量，对于任意的非零平面向量 α，设 α＝t1ξ1＋t2ξ2(t1，t2 为实数)，则对任意的正 整数 n，有 Anα＝t1λn1ξ1＋t2λn2ξ2.
【解析】由题意得
2 2y 2 xy 4
2
y
y
，解得
x y
4
1 2
.∴
x
y
7 2
.
5．【2013
江苏，理
21B】[选修
4－2：矩阵与变换](本小题满分
10
分)已知矩阵
A＝
1 0
0 2
，
B＝
1 0
2 6
，求矩阵
A－1B.
【答案】
1 0
2 3
．
【解析】解：设矩阵
A
的逆矩阵为
a c
b
专题 2 矩 阵
【三年高考全收录】
1．【2017
年高考江苏】已知矩阵
A
0 1
1 0
,
计算机图形学习题答案
x4=24，y4=y3+m=13.2≈13 x5=25，y5=y4+m=14 x6=26，y6=y5+m=14.8≈15 x7=27，y7=y6+m=15.6≈16 x8=28，y8=y7+m=16.4≈16 x9=29，y9=y8+m=17.2≈17 x10=30，y10=y9+m=18 12、使用 Bresenham 画线算法，画这样一条线段：端点为（20，10）和 （30，18） 。 【解】 Δx=10，Δy=8，2Δy=16，2Δy-2Δx=-4 x0=20，y0=10，p0=2Δy-Δx=6 x1=21，y1=11，p1=p0+2Δy-2Δx=2 x2=22，y2=12，p2=p1+2Δy-2Δx=-2 x3=23，y3=12，p3=p2+2Δy=14 x4=24，y4=13，p4=p3+2Δy-2Δx=10 x5=25，y5=14，p5=p4+2Δy-2Δx=6 x6=26，y6=15，p6=p5+2Δy-2Δx=2 x7=27，y7=16，p7=p6+2Δy-2Δx=-2 x8=28，y8=16，p8=p7+2Δy=14 x9=29，y9=17，p9=p8+2Δy-2Δx=10 x10=30，y10=18 13、 使用中点圆算法， 画这样一个圆在第一象限中的部分： 圆心为(0,0)， 半径 r=10。 【解】 (x0,y0)=(0,r)=(0,10)，对称点：(x0’,y0’)=(10,0)， p0=1-r=-9 (x1,y1)=(1,10)，对称点：(x1’,y1’)=(10,1)，p1=p0+2x1+1=-6 (x2,y2)=(2,10)，对称点：(x2’,y2’)=(10,2)，p2=p1+2x2+1=-1 (x3,y3)=(3,10)，对称点：(x3’,y3’)=(10,3)，p3=p2+2x3+1=6 (x4,y4)=(4,9)，对称点：(x4’,y4’)=(9,4)， p4=p3+2x4+1-2y4=-3 (x5,y5)=(5,9)，对称点：(x5’,y5’)=(9,5)，p5=p4+2x5+1=8 (x6,y6)=(6,8)，对称点：(x6’,y6’)=(8,6)，p6=p5+2x6+1-2y6=5 (x7,y7)=(7,7)
反射变换-高中数学知识点讲解
反射变换
1．反射变换
【知识点的知识】
把平面上任意一点P 对应到它关于直线l 的对称点P′的线性变换叫做关于直线l 的反射．变换的坐标公式和二阶矩阵为：
【解题方法点拨】
1．几种常见的线性变换
（1）恒等变换矩阵M＝；
（2）旋转变换Rθ对应的矩阵是M＝；
（3）反射变换要看关于哪条直线对称．例如若关于x 轴对称，则变换对应矩阵为M1＝；若关于y 轴对称，则变换对应矩阵为M2＝；若关于坐标原点对称，则变换对应矩阵M3＝；
（4）伸压变换对应的二阶矩阵M＝，表示将每个点的横坐标变为原来的k1 倍，纵坐标变为原来的k2 倍，k1，k2 均为非零常数；
（5）投影变换要看投影在什么直线上，例如关于x 轴的投影变换的矩阵为M＝；
1/ 2
（6）切变变换要看沿什么方向平移，若沿x 轴平移|ky|个单位，则对应矩阵M＝，若沿y 轴平移|kx|个单位，则对应矩阵M＝．（其中k 为非零常数）．
2．线性变换的基本性质
设向量α＝，规定实数λ与向量α的乘积λα＝；设向量α＝，β＝，规定向量α与β的和α+β＝．
（1）设M是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ是一个任意实数，则①M（λα）＝λMα，②M
（α+β）＝Mα+Mβ．
（2）二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成直线（或一点）．
2/ 2。
一些重要线性变换对单位正方形区域的作用
∴A'(-2,-1),B'(4,1),C'(1,1),D'(-5,-1).
1
-5
-2
,
,
=
-1
,
-1
题型一
题型二
1
3
从而矩形 ABCD 在矩阵
0 1
对应变换的作用下变成平行四边形A'B'C'D',如图所示,线段 EF 为该
切变变换作用下不变的线段.
反思只要找到端点的变化情况,平面区域边界的变化情况就确
(二)一些重要线性变换对单
位正方形区域的作用
1.了解线性变换(恒等变换、旋转变换、切变变换、反射变换、
投影变换)对单位正方形区域的作用.
2.认识矩阵可表示如下的线性变换:恒等、反射、旋转、切变、
投影等.
1.线性变换对单位正方形区域的作用
剖析:(1)恒等变换,关于x轴、y轴的反射变换以及旋转变换,变换
定了.
题型一
题型二
题型二 线性变换对由曲线围成的平面区域的作用
2
0
0
1
【例 2】 研究曲线 y=x2 在矩阵 M=
对应变换作用下的图形.
分析:应找曲线上任一点在矩阵M对应的变换作用下的像,利用点
在曲线上列等式求解.
题型一
题型二
解:设 P(x,y)是曲线 y=x2 上任一点,点 P'(x',y')是点 P 在 M 作用
x
x'
2x2 0= Nhomakorabea下的对应点,则有
y'
=
0
1
y
,
y
1
' = 2,
线性代数 仿射变换简介
(这是 0和 1 的不同时间权数的线性组合)
比如, 当 t 0, 25 时, 相片色度的0.25.
这样就得出了如下的可用于相片变形动画的合成相片 序列, 只要依次连续播放就得到了理想的变形动画了.
根据上述步骤, 用Matlab 编写了相关程序. 下面看一下 该程序产生的相片变换动画.
Step 2 对上图相片中的 82 个三角形的每个三角形施 行仿射变换. 初始相片的变换结果如下所示.
(注: 在进行变换时, 要考虑保持网络中的三角形的相邻关系不变. )
Step 3 建立相片变形的时间序列 令 vi 和 wi (i 1, 2,3) 分别为begin triangle 和end triangle 的三个顶点. 让 vi 随时间 t 的变动, 沿着直线匀速、逐步地 移向 wi . 设时间从 t 0 变动到 t 1 , 时刻 t 时, 顶点 移动到下式定义的 ui (t ) ：
要确定仿射变换, 就需确定 M 中的 4 个元, 以及 b 的 2 个 分量, 共 6 个未知数. 因此, 需要 6 个方程把它们解出来. 现在设begin triangle的三个顶点为 v1 , v2 和v3 , end triangle
的三个顶点为w1 , w2 和w3 , 则通过解如下三个向量方程组
ui (t ) (1 t )vi t (wi ).
(1)
显然有 ui (0) vi和 ui (1) wi . 对任意的 0 t 1 , 利用(1)可 算得顶点的相应的中间位置. 注 (1)式实际上是顶点 vi 和 wi 在不同权重系数下的 线性组合, 它给出了 vi 向 wi 过渡的时间序列.
1 k1 1 0 0 1 M 0 k 1 0 0 1 2 k1k2 1 k 0 2
仿射变换(知识讲座)
第四章保距变换和仿射变换本章教学目的：通过本章的学习，使学生掌握保距变换和仿射变换这两类重要的几何变换，从而深化几何学的研究，并掌握解决几何问题的一个有效方法。
本章教学重点：〔1〕保距变换和仿射变换的定义和性质；〔2〕仿射变换的基本定理；〔3〕保距变换和仿射变换的变换公式；〔4〕图形的仿射分类与仿射性质。
本章教学难点：仿射变换的性质和基本定理；仿射变换的变换公式的求法。
本章教学内容：§1 平面的仿射变换与保距变换1.1――对应与可逆变换集合X到集合Y的一个映射f:X→Y是把X中的点对应到Y中的点的一个法则，即∀x ∈X，都决定Y中的一个元素f(x)，称为点x在f下的像。
对X的一个子集A,记f(A)={f(a)|a∈A}，它是Y的一个子集，称为A在f下的像。
对Y的一个子集B，记f-1(B)={x∈X|f(x)∈B},称为B在F下的完全原像，它是X的子集。
如果f是X到Y的映射，g上Y到Z的映射，则它们的复合上X到Z的映射，记作g f: X→Z，规定为g f(x)=g(f(x)),∀x∈X.对A⊂X，g f(A)=g(f(A));对C⊂Z,(g f)-1(C)=f-1(g-1(C)).映射的复合无交换律，但有结合律。
映射f: X→X称为X上的一个变换，id X: X→X，∀x∈X，id X〔x〕=x，称为X的恒同变换。
对映射f: X→Y，如果有映射g: Y→X,使得g f= idX：X→X，f g=id Y：Y→Y，则说f是可逆映射，称g是f的逆映射。
如果在映射f: X→Y下X的不同点的像一定不同，则称f是单射。
如果f(X)=Y，则称f 是满射。
如果映射f: X→Y既是单射，又是是满射，则称f为——对应。
此时∀f-1f=id X,, ff-1= id Y,于是f是可逆映射，并且f的逆映射是f-1。
一个集合X到自身的可逆映射称为X上的可逆变换。
1．2平面上的变换群平移取定平行于平面的一个向量u,规定π的变换P u: π→π为：∀A∈π，令P u〔A〕AP（A）=u的点。
高中数学2.2几种常见的平面变换1恒等变换2伸压变换3反射变换课件苏教版选修4_2
1 0
(1)若将本例变为：一直线 l 在矩阵0
1 对应的变换作用下变成直线 y＝2x， 2
求该直线的方程.
(2)若本例变为：直线 y＝4x 在二阶矩阵 M 对应的沿 y 轴方向伸压变换作用
下变成了另一条直线 y＝2x，试求矩阵 M.
【答案】 y＝14x2
【解】 设 P(x0，y0)为圆 C 上的任意一点，在伸压变换下变为另一个点 P′(x′0， y′0)，
不能简单地把伸压变换理解为把平面上的点向下压，或者向上拉伸.以矩阵
1 0
0
1
为例， 它所对应的变换是将坐标平面上的点的横坐标保持不变， x
2
轴上方
的点垂直向 x 轴压缩， 纵坐标压缩为原来的一半， 而 x 轴下方的点也垂直向 x 轴
压缩，纵坐标压缩为原来的一半，又因为 x 轴上的点的纵坐标都为 0，所以“原
地不动”.
类似地，20 01对应的变换则是将平面上点的纵坐标保持不变，将 y 轴左边
的点的横坐标向左拉伸为原来的 2 倍，y 轴右边的横坐标向右拉伸为原来的 2 倍，
而 y 轴上的点的横坐标都为 0，所以“原地不动”.
3.反射变换的作用是什么？
【提示】 根据反射变换的定义知，其作用就是把一个点(向量)或平面图形 变为它的轴对称或中心对称图形.
与矩阵 M2＝－01 10对应的变换是关于
定点
与矩阵
M3＝定－0直1 线－01定对点应的变换是关于
定直与 线矩阵 M4＝01 定10对 点应的变换是关于
的轴反射变换. 的轴反射变换.
定直线
的中心反射变换.
轴反射
的轴反射变换.
x轴 y轴 原点 直线y＝x
纵坐标保持不变， 它可能对应的是沿 x 轴方向的伸压变换， 对应的变换矩阵为 M
线性代数 仿射变换简介
要确定仿射变换, 就需确定 M 中的 4 个元, 以及 b 的 2 个 分量, 共 6 个未知数. 因此, 需要 6 个方程把它们解出来. 现在设begin triangle的三个顶点为 v1 , v2 和v3 , end triangle
的三个顶点为w1 , w2 和w3 , 则通过解如下三个向量方程组
rotation
拉伸和压缩
k 0 1 0 (或 ) , 则当 0 k 1 ( k 1 )时, 取M 0 1 0 k
就得到沿 x 轴(或 y 轴)的压缩(拉伸)变换.
切变
沿 x 轴的切变定义为如下的变换: 平面上的每一点 ( x, y) 沿 着平行于 x 轴的方向移动 ky 到达位置 ( x ky, y) ; 沿 y轴的切变定义为如下的变换: 平面上的每一点 ( x, y) 沿 着平行于 y 轴的方向移动 kx 到达位置 ( x, y kx) .
为方向向量它在变换下的像为ururururur下图所示为一个单位正方形对其中的每个向量施行特定的线性变换即对每个向量左乘特定的矩阵称为标准矩阵就可对这个正方形实现反射旋转压缩拉伸切变等变换称为基本线性变换为了保持图形的维数不变即不致使正方形变成线或点reflection关于坐标轴的反射则得到一个关于y轴的反射
仍变为一条直线(特殊情况下变为一个点), 证明如下:
2
r u u r r u u r 设 x v0 ts 为平面上的任一直线(此直线过点 v0 ,
r 以 s 为方向向量), 它在变换下的像为 u r r u u r r u u r r u r u r y T ( x) T (v0 ts) T (v0 ) tT (s) v1 ts1 u r u r u r u r u r 而 y v1 ts1 是过点 v1 且以 s1 为方向向量的直线.
坐标系和形的平移旋转和反射
坐标系和形的平移旋转和反射在数学中，坐标系和形的平移、旋转和反射是非常常见的概念和操作。
它们在各个领域被广泛应用，如几何学、物理学、计算机图形学等。
本文将深入探讨这些概念和操作，并通过示例来解释它们的应用。
1. 坐标系的平移在数学中，我们常常使用直角坐标系来描述点的位置。
坐标系的平移是指将整个坐标系在平面上沿着某个方向移动一定的距离。
这种操作可以通过将每个点的横坐标和纵坐标都加上相同的值来实现。
例如，将坐标系沿x轴正方向平移3个单位和沿y轴负方向平移2个单位，可以表示为：(x, y) → (x + 3, y - 2)2. 坐标系的旋转坐标系的旋转是指将整个坐标系绕着某个点旋转一定的角度。
这种操作可以通过将每个点绕着旋转中心点按照逆时针方向旋转相同的角度来实现。
例如，将坐标系绕着原点顺时针旋转90度，可以表示为：(x, y) → (-y, x)3. 形的平移在几何学中，我们常常研究各种形状的性质和变换。
形的平移是指将整个形状在平面上沿着某个方向移动一定的距离。
这种操作可以通过将形状中的每个点的横坐标和纵坐标都加上相同的值来实现。
例如，将一个矩形沿x轴正方向平移5个单位和沿y轴负方向平移3个单位，可以表示为：(x, y) → (x + 5, y - 3)4. 形的旋转形的旋转是指将整个形状绕着某个点旋转一定的角度。
这种操作可以通过将形状中的每个点绕着旋转中心点按照逆时针方向旋转相同的角度来实现。
例如，将一个三角形绕着顶点(0, 0)逆时针旋转45度，可以表示为：(x, y) → (x · cos45° - y · sin45°, x · sin45° + y · cos45°)5. 形的反射形的反射是指将整个形状关于某条直线进行对称。
这种操作可以通过将形状中的每个点关于对称轴进行对称来实现。
例如，将一个正方形关于y轴进行对称，可以表示为：(x, y) → (-x, y)通过以上示例，我们可以看出坐标系和形的平移、旋转和反射都是通过对每个点进行相应的操作来实现的。
计算机图形学复习题及答案.doc
一、名词解释1．图形：能够在人们视觉系统中形成视觉印象的对象称为图形，包括自然景物和人工绘图。
2．像素图：点阵法列举图形中的所有点。
用点阵法描述的图形称为像素图。
3．参数图：参数法描述图形的形状参数和属性参数。
用参数法描述的图形称为参数图。
4．扫描线：在光栅扫描显示器中，电子枪扫过的一行称为一条扫描线。
5．构造实体几何表示法：用简单的实体(也称为体素)通过集合运算组合成所需的物体的方法称为构造实体几何表示法。
6．投影：投影是从高维（物体）空间到低维（投影）空间的一种映射。
7．参数向量方程：参数向量方程是包含参数和向量的方程。
8．自由曲线：形状比较复杂、不能用二次方程来表示的曲线称为自由曲线，通常以三次参数方程来表示9．曲线拟合：给定一个点列，用该点列来构造曲线的方法称为曲线拟合。
10．曲线插值：已知曲线上的一个点列，求曲线上的其他点的方法称为曲线插值。
11．区域填充：根据像素的属性值、边或顶点的简单描述，生成区域的过程称为区域填充。
12．扫描转换：在矢量图形中，多边形用顶点序列来表示，为了在光栅显示器或打印机等设备上显示多边形，必须把它转换为点阵表示。
这种转换称为扫描转换。
三、填空1．图形软件的建立方法包括提供图形程序包、修改高级语言和采用专用高级语言。
2．直线的属性包括线型、线宽和颜色。
3．颜色通常用红、绿和蓝三原色的含量来表示。
对于不具有彩色功能的显示系统，颜色显示为灰度级（或亮度级）。
4．平面图形在内存中有两种表示方法，即栅格表示法和矢量表示法。
5．字符作为图形有点阵字符和矢量字符之分。
6．区域的表示有内点表示和边界表示两种形式。
7．区域的内点表示法枚举区域内的所有像素，通过给区域内的像素赋予同一属性值来实现内点表示。
8．区域的边界表示法枚举区域边界上的所有像素，通过给区域边界的像素点赋予同一属性值来实现边界表示。
9．区域填充有种子填充和扫描转换填充。
10．区域填充属性包括填充式样、填充颜色和填充图案。
关于y=x的反射变换
关于y=x的反射变换
反射变换是平面几何中的一种基本变换，它可以将一点、一条线或一个图形关于一条直线或一个点对称，使得它们在对称轴上的位置保持不变。
当我们考虑关于直线y=x的反射变换时，可以发现这个直线恰好是一次函数y=x的图像。
因此，对于任意一点(x,y)，它在y=x的反射变换下的像点必然是(y,x)。
同样，对于一条经过点(x1,y1)和(x2,y2)的直线L，它在y=x的反射变换下的像线是经过点(y1,x1)和(y2,x2)的直线L'。
这是因为对于L上任意一点(x,y)，都可以找到一条通过点(y,x)的直线L'与之对应。
另外，对于一个图形，它在y=x的反射变换下的像图形可以通过将每个点关于y=x对称得到。
这个过程可以通过以下步骤实现：
1. 将每个点的横纵坐标交换，得到新的坐标(x',y')。
2. 将新坐标(x',y')上下翻转，得到对称后的坐标(x'',y'')。
3. 将对称后的坐标(x'',y'')与原来的坐标(x,y)连接起来，得到对称后的图形。
总之，y=x的反射变换是一种简单而有用的变换，在平面几何中被广泛应用。
- 1 -。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
关于y=x的反射变换
反射变换是几何变换的一种，又称对称变换。
对于平面上的一条直线，我们可以将平面上的一些点和它们的镜像点关于这条直线映射到对称位置，从而得到一种新的图形。
这个过程就叫做反射变换。
其中，对于y=x直线的反射变换，是一种常见的变换方式，它不仅在数学中有着重要的应用，同时在生活中也有许多例子。
在这里，我们将详细介绍一下y=x直线的反射变换相关内容。
反射变换是一种平面变换，定义为将平面内的点P和它的镜像点P'关于某条直线L映射到对称位置。
而y=x直线的反射变换，是指将平面内所有点与y=x的交点沿着y=x的对称轴进行对称，得到对称后的新点的过程。
1、y=x的反射变换保持线段长度、角度和方向不变。
2、y=x的反射变换将平面内每一点的对称点作为其图形的一部分，并保持距离直线L 的距离大小不变。
3、y=x的反射变换的映射是自反、对称和传递性的。
对于点(x,y)经过y=x的反射变换后得到的新点(x',y')的公式为：
x' = y
y' = x
1、反射光线在镜面上的反射
在光学领域中，y=x的反射变换被广泛应用在描述光线在平面镜上的反射现象中。
当一束光线碰到平面镜面时，会根据y=x的反射变换规律，沿着特定角度反射到平面镜的另一侧。
这种现象被称为平面镜反射。
2、对称图形的绘制
对于对称图形的绘制，我们可以借助y=x的反射变换来得到某些相对复杂的图形。
例如，我们可以将曲线沿y=x的对称轴对称，得到一个新的曲线图形。
同时，通过多次反射变换，我们可以绘制出非常特殊的图形，如弧形等。
3、编程语言中的数据结构
在编程语言中，使用y=x的反射变换规则，可以帮助我们实现平面上的数据结构。
例如，我们可以使用反射变换来实现一棵二叉树的对称操作，或者通过对多边形进行反射变换来判断其是否具有对称性等。
四、结论
y=x的反射变换是反射变换中最常见，也是应用最广泛的一种变换方式。
对于数学和生活中许多问题，我们都可以借助y=x的反射变换规律来解答。
同时，了解这种变换方式的性质和应用范围，不仅可以帮助我们更好地理解数学中的几何变换问题，也可以帮助我们更好地解决实际生活问题。