名词解释条件概率的概念
条件概率、全概率
条件概率、全概率1. 条件概率的定义定义1.5 设A ，B 为两个事件，且P （B ）＞0,则称P （AB ）/P （B ）为事件B 已发生的条件下事件A 发生的条件概率，记为P （A |B ），即P （A ｜B )= P (AB )/P (B )易验证，P （A ｜B )符合概率定义的三条公理，即：1° 对于任一事件A ，有P (A ｜B )≥0;2° P (Ω｜B )=1;3°,)()(11∑∞=∞==i i iB A P B A P 其中A 1，A 2，…，A n ，…为两两互不相容事件.这说明条件概率符合定义1.3中概率应满足的三个条件，故对概率已证明的结果都适用于条件概率.例如，对于任意事件A 1，A 2，有P （A 1∪A 2|B ）=P （A 1|B ）+P （A 2|B ）-P （A 1A 2|B ）又如，对于任意事件A ，有P （A |B ）=1-P （A |B ）.例1.12 某电子元件厂有职工180人，男职工有100人，女职工有80人，男女职工中非熟练工人分别有20人与5人.现从该厂中任选一名职工，求： （1） 该 职工为非熟练工人的概率是多少？（2） 若已知被选出的是女职工，她是非熟练工人的概率又是多少？解 题（1）的求解我们已很熟悉，设A 表示“任选一名职工为非熟练工人”的事件，则P （A ）=25/180=5/36而题（2）的条件有所不同，它增加了一个附加的条件，已知被选出的是女职工，记“选出女职工”为事件B ，则题（2）就是要求出“在已知B 事件发生的条件下A 事件发生的概率”，这就要用到条件概率公式，有P （A ｜B ) =P (AB )/P (B )/=(5/180)/(80/180)= 1/16此题也可考虑用缩小样本空间的方法来做，既然已知选出的是女职工，那么男职工就可排除在考虑范围之外，因此“B 已发生条件下的事件A ”就相当于在全部女职工中任选一人，并选出了非熟练工人.从而ΩB 样本点总数不是原样本空间Ω的180人，而是全体女职工人数80人，而上述事件中包含的样本点总数就是女职工中的非熟练工人数5人，因此所求概率为P （A ｜B ）=5/80=1/16例1.13 某科动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56,求现年为20岁的动物活到25岁的概率.解 设A 表示“活到20岁以上”的事件，B 表示“活到25岁以上”的事件，则有 P （A ）=0.7,P (B )=0.56且B ⊂A.得 P （B ｜A ）=P (AB )/P (A ) =P (B )/P (A ) =0.56/0.7=0.8.例1.14 一盒中装有5只产品，其中有3只正品，2只次品，从中取产品两次，每次取一只，作不放回抽样，求在第一次取到正品条件下，第二次取到的也是正品的概率.解 设A 表示“第一次取到正品”的事件，B 表示“第二次取到正品”的事件由条件得P （A ）=(3×4)/(5×4)= 3/5，P (AB )= (3×2)/(5×4)= 3/10，故有 P （B ｜A ）=P （AB ）/P （A ）=(3/10)/( 3/5)= 1/2.此题也可按产品编号来做，设1，2，3号为正品，4，5号为次品，则样本空间为Ω={1，2，3，4，5}，若A 已发生，即在1，2，3中抽走一个，于是第二次抽取所有可能结果的集合中共有4只产品，其中有2只正品，故得P （B ｜A ）=2/4=1/2.2.乘法定理由条件概率定义P （B ｜A ）=P （AB ）/P （A ），P （A ）＞0,两边同乘以P （A ）可得P （AB ）=P （A ）P （B ｜A ），由此可得定理1.1（乘法定理） 设P （A ）＞0，则有P （AB ）=P （A ）P （B ｜A ）易知，若P （B ）＞0，则有P （AB ）=P （B ）P （A ｜B ）乘法定理也可推广到三个事件的情况，例如，设A ，B ，C 为三个事件，且P （AB ）＞0，则有P （ABC ）=P （C ｜AB ）P （AB ）=P （C ｜AB ）P （B ｜A ）P （A ）一般地，设n 个事件为A 1，A 2，…，A n ，若P （A 1A 2…A n -1)＞0,则有P （A 1A 2…A n ）=P （A 1）P （A 2｜A 1）P （A 3｜A 1A 2）…P （A n ｜A 1A 2…A n -1）.事实上，由A 1⊃A 1A 2⊃…⊃A 1A 2…A n -1，有P （A 1）≥P （A 1A 2）≥…≥P （A 1A 2…A n -1）＞0故公式右边的条件概率每一个都有意义，由条件概率定义可知P （A 1）P （A 2｜A 1）P （A 3｜A 1A 2）…P （A n ｜A 1A 2…A n -1)=P (A 1))()()()()()(1212121321121-⋅⋅⋅n n A A A P A A A P A A P A A A P A P A A P =P (A 1A 2…A n ) 例1.15 一批彩电，共100台，其中有10台次品，采用不放回抽样依次抽取3次，每次抽一台，求第3次才抽到合格品的概率.解 设A i (i =1,2,3)为第i 次抽到合格品的事件，则有)(321A A A P =)()()(21312A A A P A A P A P =10/100·9/99·90/98≈0.0083.例1.16 设盒中有m 只红球，n 只白球，每次从盒中任取一只球，看后放回，再放入k 只与所取颜色相同的球.若在盒中连取四次，试求第一次，第二次取到红球，第三次，第四次取到白球的概率.解 设R i (i =1,2,3,4)表示第i 次取到红球的事件，i R (i =1,2,3,4)表示第i 次取到白球的事件.则有.32)()()()()(32142131214321kn m k n k n m n k n m k m n m m R R R R P R R R P R R P R P R R R R P +++⋅++⋅+++⋅+== 例1.17 袋中有n 个球，其中n -1个红球，1个白球.n 个人依次从袋中各取一球，每人取一球后不再放回袋中，求第i （i =1,2,…,n ）人取到白球的概率.解 设A i 表示“第i 人取到白球”（i=1,2,…,n )的事件，显然P （A 1）=1/n. 由21A A ⊃，故A 2=1A A 2，于是P （A 2）=P （1A A 2）=P （1A P （A 2｜1A ）=111-⋅-n n n =1/n. 类似有P （A 3）=P （1A 2A A 3）=P （1A ）P （2A ｜1A ）P （A 3｜1A 2A ） =n n 1-·12--n n ·21-n =1/n. P (A n ) =P (1A 2A …1-n A A n )=n n 1-·12--n n ·…·21·1=1/n 因此，第i 个人（i =1,2,…,n )取到白球的概率与i 无关，都是1/n .这个例题与例1.7(3)实际上是同一个概率模型.3.全概率公式和贝叶斯公式为建立两个用来计算概率的重要公式，我们先引入样本空间Ω的划分的定义.定义1.6 设Ω为样本空间，A 1，A 2，…，A n 为Ω的一组事件，若满足1°A i A j =Φ, i ≠j ,i ,j =1,2,…,n ，2° ni iA 1= =Ω， 则称A 1，A 2，…，A n 为样本空间Ω的一个划分.例如：A ，A 就是Ω的一个划分.若A 1，A 2，…，A n 是Ω的一个划分，那么，对每次试验，事件A 1，A 2，…，A n 中必有一个且仅有一个发生.定理1.2（全概率公式） 设B 为样本空间Ω中的任一事件，A 1，A 2，…，A n 为Ω的一个划分，且P （A i )＞0 (i =1,2,…,n )，则有P （B ）=P （A 1）P （B ｜A 1）+P （A 2）P （B ｜A 2）+…+P （A n )P (B ｜A n ) =.)()(1∑=ni ii A B P A P 称上述公式为全概率公式.全概率公式表明，在许多实际问题中事件B 的概率不易直接求得，如果容易找到Ω的一个划分A 1，…，A n ，且P （A i ）和P （B |A i ）为已知，或容易求得，那么就可以根据全概率公式求出P （B ）.证 P （B ）=P （B Ω）=P （B （A 1∪A 2∪…∪A n ））=P （BA 1∪BA 2∪…∪BA n ）=P （BA 1）+P （BA 2）+…+P （BA n )=P (A 1)P (B ｜A 1)+P (A 2)P (B ｜A 2）+…+P （A n ）P （B ｜A n ）另一个重要公式叫做贝叶斯公式.定理1.3(贝叶斯（Bayes ）公式) 设样本空间为Ω，B 为Ω中的事件，A 1，A 2，…，A n 为Ω的一个划分，且P （B ）＞0，P （A i )＞0,i =1,2,…,n ，则有P （A i ｜B )=∑=n j jj i i A P A B P A P A B P 1)()()()(, i=1,2,…,n.称上式为贝叶斯（Bayes)公式，也称为逆概率公式.证 由条件概率公式有P （A i ｜B ) =∑==n j jj i i i A P A B P A B P A P B P B A P 1)()()()()()(，i =1,2,…,n.例1.18 某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品数最多不超过4件，且具有如下的概率：一批产品中的次品数 0 1 2 3 4概率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1现进行抽样检验，从每批中随机取出10件来检验，若发现其中有次品，则认为该批产品不合格，求一批产品通过检验的概率.解 以A i 表示一批产品中有i 件次品，i =0,1,2,3,4,B 表示通过检验，则由题意得 P （A 0）=0.1， P (B ｜A 0)=1,P (A 1)=0.2， P (B ｜A 1)= 101001099C C =0.9, P (A 2)=0.4， P (B ｜A 2)= 101001098C C =0.809, P (A 3)=0.2， P (B ｜A 3)= 101001097C C =0.727, P (A 4)=0.1， P (B ｜A 4)= 101001096C C =0.652. 由全概率公式，得P （B ）=)()(40ii i A B P A P ∑==0.1×1+0.2×0.9+0.4×0.809+0.2×0.727+0.1×0.652≈0.814. 例1.19 设某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，产量依次占全厂的45%，35%，20%，且各车间的次品率分别为4%，2%，5%，现在从一批产品中检查出1个次品，问该次品是由哪个车间生产的可能性最大？解 设A 1，A 2，A 3表示产品来自甲、乙、丙三个车间，B 表示产品为“次品”的事件，易知A 1，A 2，A 3是样本空间Ω的一个划分，且有P （A 1）=0.45，P (A 2)=0.35，P (A 3)=0.2，P (B ｜A 1)=0.04，P (B ｜A 2)=0.02，P (B ｜A 3)=0.05.由全概率公式得P （B ）=P （A 1）P （B ｜A 1）+P （A 2）P （B ｜A 2）+P （A 3）P （B ｜A 3）=0.45×0.04+0.35×0.02+0.2×0.05=0.035.由贝叶斯公式得P （A 1｜B ）=(0.45×0.04)/0.035=0.514，P (A 2｜B )=(0.35×0.02)/0.035=0.200，P (A 3｜B )=(0.20×0.05)/0.035=0.286由此可见，该次品由甲车间生产的可能性最大.例1.20 由以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下效果：被诊断者有癌症，试验反应为阳性的概率为0.95；被诊断者没有癌症，试验反应为阴性的概率为0.95 现对自然人群进行普查，设被试验的人群中患有癌症的概率为0.005，求：已知试验反应为阳性，该被诊断者确有癌症的概率.解 设A 表示“患有癌症”，A 表示“没有癌症”，B 表示“试验反应为阳性”，则由条件得P （A ）=0.005,P (A )=0.995，P (B ｜A )=0.95,P (B ｜A ）=0.95由此 P （B ｜A ）=1-0.95=0.05由贝叶斯公式得P （A ｜B ）=)()()()()()(A B P A P A B P A P A B P A P =0.087.这就是说，根据以往的数据分析可以得到，患有癌症的被诊断者，试验反应为阳性的概率为95% ，没有患癌症的被诊断者，试验反应为阴性的概率为95%，都叫做先验概率.而在得到试验结果反应为阳性，该被诊断者确有癌症重新加以修正的概率0.087叫做后验概率.此项试验也表明，用它作为普查，正确性诊断只有8.7%（即1000人具有阳性反应的人中大约只有87人的确患有癌症），由此可看出，若把P （B ｜A ）和P （A ｜B ）搞混淆就会造成误诊的不良后果.概率乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式称为条件概率的三个重要公式.它们在解决某些复杂事件的概率问题中起到十分重要的作用.。
条件概率和独立性的定义及应用
条件概率和独立性的定义及应用概率论是数学中的一个重要分支，它通过统计实验的方法，研究不同事件之间的关系和可能性。
在概率论中，条件概率和独立性是两个基本概念，它们在实际生活和各个领域的应用非常广泛。
本文将从定义和应用两个方面，详细介绍条件概率和独立性的概念以及它们在实际问题中的运用。
一、条件概率的定义和应用条件概率是指在某个条件下，事件发生的概率。
在概率论中，用P(A|B)表示事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
条件概率的计算方法是通过已知事件B发生的前提下，计算事件A发生的概率。
条件概率的应用非常广泛，例如，在医学领域中，通过已知病人某种症状的情况，可以计算出患上某种疾病的概率；在金融领域中，通过已知市场某种情况下，股票涨跌的概率可以得出。
条件概率的应用可以帮助我们更加准确地评估事物发生的可能性，提高决策的准确性。
二、独立性的定义和应用独立性是指两个事件之间相互独立，也就是说一个事件的发生不受另一个事件发生与否的影响。
在概率论中，事件A和事件B是相互独立的，当且仅当P(A|B) = P(A)和P(B|A) = P(B)成立。
独立性在实际问题中的应用也非常广泛。
例如，在抛硬币实验中，每次抛硬币的结果是独立的；在生产线中，如果某个部件的质量独立于其他部件，那么整个产品的质量也可以看作是独立的。
独立性的应用可以简化问题的复杂度，提高计算的效率。
三、条件概率和独立性的应用案例为了更好地理解条件概率和独立性的应用，以下将给出两个具体的案例：案例一：选书问题小明喜欢读书，他所喜欢的图书馆有A、B、C、D四个区域，每个区域的图书数量和种类都不相同。
已知小明喜欢科幻小说的概率为P(A) = 0.4，而在A区域中寻找到科幻小说的概率为P(B|A) = 0.6。
问小明在A区域找到科幻小说的条件下，其喜欢科幻小说的概率是多少？根据条件概率的定义，我们可以计算出P(A|B) = P(B|A) * P(A) /P(B)。
概率与统计中的条件概率与独立事件
概率与统计中的条件概率与独立事件概率与统计是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域，例如生物学、物理学、经济学等。
其中条件概率与独立事件是概率与统计中的两个重要概念。
本文将就条件概率与独立事件进行深入探讨。
一、条件概率条件概率是指在某个条件下事件发生的概率。
假设有两个事件A和B，那么在事件B发生的前提下，事件A发生的概率即为条件概率。
条件概率用P(A|B)表示，读作“A在B条件下发生的概率”。
在计算条件概率时，我们可以使用以下公式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
举个例子来说明条件概率的计算方法。
假设有一批产品，其中有10个产品属于A型，90个产品属于B型。
现从中随机抽取一个产品，请问该产品是A型的概率是多少？首先，我们可以计算出产品是A型的概率，即 P(A) = 10 / (10 + 90) = 1/10 = 0.1。
接着，假设我们已知该产品是B型的条件下，它也是A型的概率记作 P(A|B)。
根据上述的条件概率公式，我们可以计算出P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
由于在已知产品是B型的前提下，它也是A型的概率为0，所以P(A∩B) = 0。
因此，P(A|B) = 0 / P(B) = 0。
可见，在已知产品是B型的情况下，该产品是A型的概率为0。
二、独立事件独立事件是指两个事件之间的发生没有相互影响，即一个事件的发生不会改变另一个事件的发生概率。
如果事件A和事件B是独立事件，那么它们的联合概率等于两个事件发生概率的乘积。
数学上，我们用P(A∩B) = P(A) * P(B)来表达事件A和事件B是独立事件。
在日常生活中，我们可以通过一个例子来理解独立事件的概念。
假设有一批骰子，我们分别投掷两次，A表示第一次投掷结果为1的事件，B表示第二次投掷结果为2的事件。
如果A和B是独立事件，那么它们的发生概率应为P(A∩B) = P(A) * P(B)。
条件概率与贝叶斯公式
条件概率与贝叶斯公式条件概率和贝叶斯公式是概率论中重要的概念，它们在统计学、机器学习等领域有广泛的应用。
本文将介绍条件概率和贝叶斯公式的定义、性质以及应用，并通过实例加深读者对这两个概念的理解。
一、条件概率的定义和性质条件概率是指在已知某个事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
用数学符号表示为P(A|B)，读作“A在B条件下发生的概率”。
条件概率的计算公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
条件概率具有以下性质：1. 对于任意的事件A和B，当P(B) > 0时，有P(A|B) = P(A∩B) /P(B)。
2. 当A和B相互独立时，有P(A|B) = P(A)。
二、贝叶斯公式的定义和推导贝叶斯公式是一种用于计算逆条件概率的公式。
根据条件概率的性质，可以推导出贝叶斯公式如下：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)其中，P(A|B)表示在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率；P(B|A)表示在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率；P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的边际概率。
三、条件概率与贝叶斯公式的应用条件概率和贝叶斯公式在实际问题中有广泛的应用，下面以一个经典的医学领域的实例来说明。
假设有一种罕见疾病，在总人群中的患病率为0.1%。
某个医疗检测方法的准确性如下：对于患病者，有99%的准确率可以检测出疾病；对于非患病者，有98%的准确率可以排除疾病。
现在有一个人参加了该检测并且结果显示是患病。
问题是，这个人真正患病的概率是多少？根据题目中的条件，可以得到以下信息：P(患病) = 0.001P(非患病) = 0.999P(检测为正|患病) = 0.99P(检测为正|非患病) = 0.02根据贝叶斯公式，可以计算出：P(患病|检测为正) = P(检测为正|患病) * P(患病) / P(检测为正)P(检测为正) = P(检测为正|患病) * P(患病) + P(检测为正|非患病) * P(非患病)将以上的数值代入计算，可以得到：P(患病|检测为正) = 0.99 * 0.001 / (0.99 * 0.001 + 0.02 * 0.999) ≈ 0.047即，当检测结果为正时，这个人真正患病的概率约为4.7%。
1-3(条件概率及有关公式)
由贝叶斯公式, 可得:
P (C ) P ( A | C ) P (C | A) P (C ) P ( A | C ) P ( C ) P ( A | C )
P ( ABk ) P( Bk ) P( A Bk ) P( Bk A) n Bayes公式 P( A) P( Bi ) P( A Bi )
i 1
三、小结
1.条件概率
乘法定理
全概率公式
贝叶斯公式
例3 设一仓库中有10 箱同种规格的产品, 其中 由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱 , 3箱, 2 箱, 三厂产品的废品率依次为 0.1, 0.2, 0.3 从这 10 箱产品中任取一箱 , 再从这箱中任取一件产品, 求取得的正品概率. 解 设 A 为事件“取得的产品为正品”, 分别表示“任取一件产品是甲、乙、丙生产的”, 由题设知
代入数据计算得 :P(C｜A)= 0.1066
例4 对以往数据分析的结果表明,当机器调整得良 好时,产品的合格率为90%,而当机器发生某一故障 时 , 其合格率为 30%. 每天早上机器开动时 , 机器调 整得良好的概率为75%.试求已知某日早上第一件 产品是合格品时,机器调整得良好的概率是多少？ 解 设 A={产品是合格品}, B={机器调整得良好} 已知 P( A | B) 0.9, P( A | B) 0.3, P( B) 0.75, P( B) 0.25 显然, B, B 构成了必然事件的一个划分,由贝叶斯公 式,所求的概率为 P( A | B) P( B) P( B | A) P( A | B) P( B) P( A | B) P( B)
条件下的条件概率
条件概率是指事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。
条件概率表示为：P（A|B），读作“在B的条件下A的概率”。
例如，在掷一个六面骰子的情况下，如果已知前两次掷出的结果，求第三次掷出骰子出现特定数字（如数字3）的概率。
这就是一个条件概率的问题，因为第三次掷骰子的结果是在前两次结果已知的条件下的事件。
条件概率可以用决策树进行计算。
在计算过程中，需要注意概率的基本性质，例如非负性、规范性等。
同时，也需要注意条件概率和无条件概率之间的关系，以及如何根据实际问题的需求进行合理的假设和推断。
在某些情况下，人们可能会犯条件概率的谬误，例如假设P(A|B)大致等于P(B|A)。
为了避免这种错误，可以使用实数而不是概率来描述数据。
概率论条件概率
□
(2). 计算条件概率时“缩小样本空间”的思想
例1.5.1的简单解法：
乘法公式应用举例
（波里亚罐子模型） b个白球, r个红球 一个罐子中包含b个白球和r个红球. 随机地 抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进 c 个与所抽出的球具有相同颜色的球. 这种手续进行 四次 ，试求第一、二次取到白球且第三、四次取 到红球的概率.
随机取一个球，观看颜色后放 回罐中，并且再加进c个与所抽出 的球具有相同颜色的球. b个白球, r个红球 解 设 Wi={第i次取出是白球}, i=1,2,3,4
当 c > 0 时，由于每次取出球后会增加下一次 也取到同色球的概率. 这是一个传染病模型. 每次 发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.
抽签结果与抽签顺序无关
例1.5.5 假定 盒中有 1 个黑球与 n – 1 个白球，
n 个人依次各取一个小球，问第 k ( 1 ≤ k ≤ n ) 个人取到这个黑球的概率是多少？
Rj={第j次取出是红球}， j=1,2,3,4
于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第一、 第二个是白球，第三、四个是红球. ‖
用乘法公式容易求出
P(W1W2R3R4) =P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)
b bc r rc b r b r c b r 2c b r 3c
条件概率满足概率的所有性质与计算公式，只需 要把条件添加在相应的公式后面即可。
条件概率及条件分布知识点整理
条件概率及条件分布知识点整理
1. 条件概率
条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，其他事件发生的概率。
用符号表示为 P(A|B)，表示在事件 B 已经发生的情况下，事件 A 发生的概率。
条件概率的计算公式为：
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
其中，P(A∩B) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率，P(B) 表示事件 B 发生的概率。
2. 条件分布
在概率论和统计学中，条件分布是指在给定某个条件下，随机变量的概率分布。
条件分布可以通过条件概率来计算。
给定随机变量 X 和随机变量 Y，条件分布可以表示为
P(X|Y=y)，表示在事件 Y=y 发生的条件下，随机变量 X 的概率分布。
条件分布的计算公式为：
P(X|Y=y) = P(X∩Y=y) / P(Y=y)
其中，P(X∩Y=y) 表示随机变量 X 和事件 Y=y 同时发生的概率，P(Y=y) 表示事件 Y=y 发生的概率。
3. 应用
条件概率和条件分布在概率论和统计学中有广泛的应用。
一些
常见的应用包括：
- 贝叶斯定理：用于计算后验概率，即在已知观测数据的情况下，更新先验概率。
- 马尔科夫链：用于建模状态转移过程，在给定当前状态的情
况下，预测未来状态的概率分布。
- 事件独立性检验：通过计算条件概率是否等于边缘概率，来判断事件是否独立。
- 条件随机场：用于序列标注、自然语言处理等任务，通过建模给定条件下，序列输出的概率分布。
以上是关于条件概率和条件分布的简要介绍。
在实际应用中，我们可以根据具体问题选择适当的概率模型和方法来进行推断和计算。
条件概率及全概率公式
与所抽出的球具有相同颜色的
球.
b个白球, r个红球
解: 设Wi={第i次取出是白球}, i=1,2,3,4 Rj={第j次取出是红球}， j=1,2,3,4
于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第 一、第二个是白球，第三、四个是红球. ”
用乘法公式容易求出
P(W1W2R3R4)
=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)
解 设A、B、C分别表示抽得产品是甲厂、乙厂、
丙厂生产的，D 表示抽得产品为正品，
则由已知， PA 50%, PB 30%, PC 20% PD | A 95%, PD | B 90%, PD | C 85%
从而任取一件产品为正品的概率可由全概率公式得 到：
例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点, 问“掷出点数之和不小于10”的概率是多 少解? : 设A={掷出点数之和不小于10}
B={第一颗掷出6点}
应用定义
解法1: P( A | B) P( AB) 3 36 1 P(B) 6 36 2
解法2: P( A | B) 3 1 62
3. 条件概率的性质(自行验证) 设B是一事件，且P(B)>0,则 1. 对任一事件A，0≤P(A|B)≤1;
2. P (Ω | B) =1 ；
3.设A1,…,An互不相容，则 P[(A1+…+An )| B] = P(A1|B)+ …+P(An|B)
而且，前面对概率所证明的一些重要性质 都适用于条件概率.
=1,2,…,n,
另有一事件B, 它总是与 n
A1, A2, … ,An之一同时发生，即 B Ai ，
名词解释-条件概率
名词解释-条件概率
条件概率是指在一个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
具体而言，如果事件A和事件B有关联，并且我们已知事件A已经发生，那么事件B发生的概率就是条件概率，通常表示为P(B|A)。
在数学上，条件概率的定义式为：
P(B|A) = P(A and B) / P(A)
其中，P(A and B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率。
条件概率在统计学和概率论中有着重要的应用。
例如，在医学研究中，我们可能会研究某个疾病发生的条件概率，即在某些特定条件下，某个疾病发生的概率。
或者在市场营销中，我们可能会考虑在某个产品已经销售的情况下，客户对该产品的满意度。
另外，条件概率也可以用于预测模型的评估中。
例如，如果我们想要评估一个模型的预测准确度，我们可以使用条件概率来计算在给定实际值和模型预测值的情况下，模型预测正确的概率。
总之，条件概率是一种在概率论和统计学中广泛应用的概念，它可以帮助我们更好地理解和评估事件发生的风险和可能性。
3.条件概率
用定义计算;
根据加入条件后改变了的情况来计算.
例：A={掷出2点}， B={掷出偶数点} 1) 用定义计算:
1 P ( AB) 1 6 P( A | B) 3 P( B) 3 6
掷骰子
2) 从加入条件后改变了的情况去算
1 P(A|B）= 3
B发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数 在缩减样本空间 中A所含样本点 个数
P ( A)
由全概率公式, 得
P (C ) P ( A) P (C | A) P ( B ) P (C | B ) 0.056.
实际中还有下面一类问题，是“已知结果求原因”
某人从任一箱中任意摸出一球， 发现是红球, 求该球是取自1号箱 的概率. 或者问 该球取自哪号箱的可能 性最大? 1
＝(4/5)(3/4)(1/3)=1/5 继续做下去就会发现, 每个人抽到“入 场券” 的概率都是1/5. 这就是有关抽签顺序问题的正确解答. 也就是说， 抽签不必争先恐后.
全概率公式和贝叶斯公式主要用于 计算比较复杂事件的概率, 它们实质上 是加法公式和乘法公式的综合运用. 综合运用
加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B) A、B互斥
性质 2. 3.
设A是一事件, 且 P(A)>0,
则
1. 对任一事件 B, 0 P ( B A) 1;
P(U | A) 1 …， An 互不相容， 则 设 A1, ，
P ( A1 An A) P ( A1 A) P ( An A).
此外, 前面所证概率的性质都试用于条件概率 P( | A). 计算 (1)
i i 1
n
P ( B) P ( Ai ) P ( B｜Ai )
名词解释-条件概率：
名词解释-条件概率：
条件概率是概率论中的一个重要概念，它不单独表示一种事件发生的概率，而是一种与前一个发生的事件有关的概率。
因此，它被称为"条件概率"。
在定义上来讲，条件概率是事件A在事件B发生的条件下发生的概率，即P （A|B）。
这里A和B是事件，P（A|B）表示在B已经发生的条件之下，A发生的概率。
它比普通的概率更加精细，应用场景也更加广泛。
它不仅可以表示单一事件的发生概率，而且可以表示多个事件对自身发生可能性的影响。
条件概率的概念可以用于多种行业实际的应用，特别是在投资、保险、预测、统计和决策等领域。
例如，投资者可以根据股市的走势和市场波动等因素，分析股票的条件概率，作出最佳的买入和卖出决策；保险公司根据历史赔偿统计数据，计算未来不同的风险的条件概率，制定出恰当的赔偿方案等等。
条件概率是概率论中最常用的一种概念，它既可以表示单一事件发生的概率，又可以表示多个事件发生的概率及其之间的关系。
它能够更精细地测量不同行业内因素之间的关系，从而为业务决策提供更加科学而有效的分析支持，为公司节省更多财力，实现经济效益的最优化。
7.1.1条件概率教案
7.1.1条件概率教案 在概率论中，条件概率是指在已知发生了某个事件的条件下，另一个事件发生的概率。
它是概率论中的重要概念之一，广泛应用于统计学、机器学习和数据分析等领域。
本教案将详细介绍条件概率的概念、计算方法和实际应用，并通过举例说明，帮助学生深入理解。
一、概念介绍1. 条件概率的定义： 条件概率指的是在事件B已经发生的前提下，事件A发生的概率。
用符号表示为P(A|B)，读作"A在B发生的条件下的概率"。
2. 条件概率的性质： - 条件概率非负性：对于任意事件A、B，P(A|B) ≥ 0。
- 总概率公式：对于任意事件B和其互斥事件B1、B2、B3...，有P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + P(A|B3)P(B3)... 。
- 乘法公式：对于任意事件A、B，有P(A∩B) = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A)。
二、计算方法1. 直接计算法： 当已知事件A和事件B的联合概率P(A∩B)和事件B的概率P(B)时，可以通过直接计算的方式求解条件概率P(A|B)。
根据乘法公式，有P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
2. 事件列举法： 当样本空间较小且事件A和事件B之间的关系可以通过列举方式明确时，可以通过统计的方法求解条件概率。
将事件B发生的样本点列举出来，然后计算事件A在这些样本点中的出现次数，最后用出现次数除以总样本数来得到概率。
3. 全概率公式和贝叶斯公式： 当已知事件A和其互斥事件B1、B2、B3...的概率，以及事件A在条件B1、B2、B3...下的概率时，可以利用总概率公式和贝叶斯公式求解条件概率。
总概率公式可以用来计算P(A)，而贝叶斯公式可以通过已知的P(A|B)来计算P(B|A)。
三、实际应用举例1. 疾病诊断： 假设某种罕见疾病的发病率只有 1%，而医生诊断该疾病的准确率为 99%。
现有一个患者去医院检查，检查结果为阳性。
条件概率的思考
条件概率的思考
条件概率是指在一个已知条件下，某一个事件发生的概率。
它的计算方法是利用贝叶斯公式，即P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(A|B)表示在已知B发生的情况下A发生的概率，P(A∩B)表示A和B同时发生的概率，P(B)表示B发生的概率。
在实际应用中，条件概率经常用于预测未来事件的发生概率，例如天气预报、股票价格预测等。
此外，条件概率也被广泛用于统计学、机器学习等领域。
需要注意的是，条件概率经常会受到多种因素的影响，例如样本量、样本的选择方式等。
因此，在进行条件概率计算时，需要考虑这些因素，并进行适当的修正。
总之，条件概率是一种非常重要的概率计算方法，它可以帮助我们更准确地预测未来事件的发生概率，同时也为我们提供了更多的统计学和机器学习工具。
- 1 -。
条件概率的名词解释
条件概率的名词解释条件概率是概率论中的一个概念，指事件发生的不同结果都独立地依赖于各种相互作用或者条件的概率。
其计算公式为P(X|Y)=P(X|Y| X)。
根据概率公理（或逆定理），如果在随机试验中每次都只有两种结果，并且其中一种是另外一种的充分必要条件，那么这样的试验必然会发生，因此得到条件概率的概念。
条件概率是假定该事件所有的可能结果为条件概率。
它包含三个主要内容：首先，假设该事件所有的可能结果为条件概率，其次，任何一种确定结果发生的条件是前面一种结果的某些条件。
第三，每一种结果都依赖于其他各种结果，与各种结果之间存在着条件关系，即相互依赖性。
但并不意味着事件A必然导致事件B，事件B也并不必然导致事件C。
这种依赖性是有条件的，而且这种条件又叫做“充分必要条件”，它只对A或B中的一个有意义，因而其实际意义是：若A不是B，则就不能说A是B的充分必要条件，这样，在很多情况下，用条件概率来代替相应的相互作用概率，可以使问题简化。
例如，我们说两个随机变量之间的相互作用大小为1/2，就是说，这两个变量之间相互独立，即相互作用的各个条件相互独立。
如果考虑事件A和B相互独立的充分必要条件是它们都服从同一分布，这里所谓的同一分布，就是指在抽样时将它们的抽样误差均相等。
由于相互独立的充分必要条件都是相互独立的，因而有效的方法是把事件A和B当成是相互独立的随机变量来处理。
正如不考虑事件A的概率时不知道其必然出现，不考虑事件B的概率时不知道其不必然出现一样，在很多情况下，我们也不知道A和B究竟是独立还是相互独立，但只要看看它们的分布，并用反证法证明这两个分布相互独立，这个问题就迎刃而解了。
随机变量的联合分布是指该变量取值与其中的每一个都相互独立的随机变量的联合分布。
具体形式为：如果两个随机变量X、 Y，它们的联合分布函数为f(X)=h(X)和f(Y)=h(Y)，那么X、 Y联合分布函数为p(X)、 p(Y)则P(X|Y)=P(X|Y| X)。
条件概率的名词解释
条件概率的名词解释条件概率(Conditional probability)是指事件A发生，事件B 必然发生的概率。
条件概率包含两层意思：(1)指某种事件A的可能性;(2)指事件A发生的条件。
《民法通则》第一百四十三条明确规定：“公民、法人违反合同或者不履行其他义务的，应当承担民事责任。
”这就说明，公民对于自己已经合法取得的权益要负责维护。
例如，依据中国法律规定，个体工商户的财产权利和义务由个体工商户享有和承担。
其次，所有人不明的埋藏物、隐藏物，所有人或者管理人不能证明自己没有过错的，由所有人承担民事责任。
在承担责任后，有权向该隐藏人追偿。
民法上的概念属于无形财产，但却又是财产之一。
它是相对于有形财产而言的。
有形财产指一切实物资财，主要是动产与不动产。
无形财产指除有形财产以外的财产，即智力成果权和专利权等知识产权以及商誉权等无形财产。
财产权利，既可以有形存在，也可以无形存在;既可以转让、继承，也可以设定负担。
财产权包括物权、债权、知识产权等多种形式，可以是动产、不动产，也可以是债权、股权、知识产权等多种权利。
《民法通则》第二十九条规定：“所有人不明的埋藏物、隐藏物归国家所有。
接收单位应当对上缴的单位或者个人，给予表彰或者奖励。
所有人不明的埋藏物、隐藏物，由国家承担调查费用。
发现文物的，考古部门应当依法交公。
”从这里我们可以看出，埋藏物、隐藏物的所有权是属于国家的，并非当事人享有，当事人无法取得埋藏物、隐藏物的所有权，只能对埋藏物、隐藏物请求排除妨碍，对于埋藏物、隐藏物所有人造成损害的，应当负赔偿责任。
埋藏物、隐藏物为国家所有，非所有人都不能挖掘使用，否则将受到处罚。
因此，当事人不能以自己无过错为理由拒绝排除妨碍、赔偿损失。
当事人的行为构成侵权时，当事人可以对对方请求停止侵害，返还原物，消除影响，恢复名誉，赔礼道歉，并可以要求精神损害赔偿。
从上述法律规定可以看出，埋藏物、隐藏物作为财产，具有占有、使用、收益、处分的权能。
条件概率及其性质
1．条件概率及其性质 (1)条件概率的定义设A 、B 为两个事件，且P (A )>0，称P (B |A )＝ 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率． (2)条件概率的求法求条件概率除了可借助定义中的公式，还可以借助古典 概型概率公式，即P (B |A )＝ .(3)条件概率的性质①条件概率具有一般概率的性质，即0≤P (B |A )≤1.②如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝ P(B|A)＋P(C|A) ) ． 2．事件的相互独立性(1)设A 、B 为两个事件，如果P (AB )＝P(A)P(B) ，则称事件A 与事件B 相互独立．(2)如果事件A 与B 相互独立，那么 与 ， 与 ， 与也都相互独立．3．二项分布在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k次的概率为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1, 2，…，n )．此时称随机变量X 服从二项分布，记作 X ～B(n ，p) ，并称_p_为成功概率．若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np . 1.区分条件概率P (B |A )与概率P (B )它们都以样本空间Ω为总样本，但它们取概率的前提是不相同的．概率P (B )是指在整个样本空间Ω的条件下事件B 发生的可能性大小，而条件概率P (B |A )是在事件A 发生的条件下，事件B 发生的可能性大小．2．求法：(1)利用定义分别求P (A )，P (AB )，得P (B |A )＝P (AB )P (A )； (2)先求A 含的基本事件数n (A )，再求在A 发生的条件下B 包含的事件数即n (AB )，得P (B |A )＝n (AB )n (A ). 1.1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？ (2)从2号箱取出红球的概率是多少？【解】 记事件A ：最后从2号箱中取出的是红球；事件B ：从1号箱中取出的是红球． P (B )＝42＋4＝23，P (B )＝1－P (B )＝13，(1)P (A |B )＝3＋18＋1＝49.(2)∵P (A |B )＝38＋1＝13，∴P (A )＝P (AB )＋P (A B ) ＝P (A |B )P (B )＋P (A |B )P (B ) ＝49×23＋13×13＝1127.2.(2011年湖南)如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分内)，”则(1)P (A )＝________；(2)P (B |A )＝_____ 答案：(1)2π (2)141.相互独立事件是指两个试验中，两事件发生的概率互不影响；相互对立事件是指同一次试验中，两个事件不会同时发生．2．在解题过程中，要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义．已知两个事件A 、B ，它们的概率分别为P (A )、P (B )，则 A 、B 中至少有一个发生的事件为A ∪B ；A 、B 都发生的事件为AB ； A 、B 都不发生的事件为A B ；A 、B 恰有一个发生的事件为A B ∪A B ；A 、B 中至多有一个发生的事件为A B ∪A B ∪ A B .3．互斥事件与相互独立事件的区别：两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生，两事件相互独立是指不同试验下，二者互不影响；两个相互独立事件不一定互斥，即可能同时发生，而互斥事件不可能同时发生．3.(2012年山东)现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分，该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．(1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X 的分布列及数学期望E (X )．【解】 (1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A ，“该射手射击甲靶命中”为事件B ，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C ，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D ，由题意知P (B )＝34，P (C )＝P (D )＝23，由于A ＝B C D ＋B C D ＋B C D ， 根据事件的独立性和互斥性得P (A )＝P (B C D ＋B C D ＋B C D )＝P (B C D )＋P (B C D )＋P (B C D )＝P (B )P (C )P (D )＋P (B )P (C )P (D )＋P (B )P (C )P (D )＝34×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－23＋⎝⎛⎭⎫1－34×23×⎝⎛⎭⎫1－23＋⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－23×23＝736.(2)根据题意，X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5， 根据事件的独立性和互斥性得P (X ＝0)＝P (B C D )＝[1－P (B )][1－P (C )][1－P (D )]＝⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－23＝136， P (X ＝1)＝P (B C D )＝P (B )P (C )P (D )＝34×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－23＝112，P (X ＝2)＝P (B C D ＋B C D )＝P (B C D )＋P (B C D ) ＝⎝⎛⎭⎫1－34×23×⎝⎛⎭⎫1－23＋⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－23×23＝19， P (X ＝3)＝P (BC D ＋B C D )＝P (BC D )＋P (B C D )＝34×23×⎝⎛⎭⎫1－23＋34×⎝⎛⎭⎫1－23×23＝13， P (X ＝4)＝P (B CD )＝⎝⎛⎭⎫1－34×23×23＝19， P (X ＝5)＝P (BCD )＝34×23×23＝13.故X 的分布列为所以E (X )＝0×136＋1×112＋2×19＋3×13＋4×19＋5×13＝4112.(1)注意区分互斥事件和相互独立事件，互斥事件是在同一试验中不可能同时发生的情况，相互独立事件是指几个事件的发生与否互不影响，当然可以同时发生．(2)求离散型随机变量的分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类求概率的公式，求出概率．(3)求随机变量的期望和方差的关键是正确求出随机变量的分布列，若随机变量服从二项分布，则可直接使用公式求解．4.(2011年山东高考)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘．已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)． 解：(1)设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F .则D ，E ，F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 的事件．因为P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5， 由对立事件的概率公式知P (D )＝0.4，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5.红队至少两人获胜的事件有：DE F ，D E F ，D EF ，DEF .由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P＝P(DE F)＋P(D E F)＋P(D EF)＋P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55. (2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.又由(1)知D E F、D E F、D E F是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，因此P(ξ＝0)＝P(D E F)＝0.4×0.5×0.5＝0.1，P(ξ＝1)＝P(D E F)＋P(D E F)＋P(D E F)＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35，P(ξ＝3)＝P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＝0.15.由对立事件的概率公式得P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝0.4.所以ξ的分布列为：因此E(ξ)＝0×0.1＋1×0.35＋2×0.4＋3×0.15＝1.6.1.判断某事件发生是否是独立重复试验，关键有两点：(1)在同样的条件下重复，相互独立进行；(2)试验结果要么发生，要么不发生．2．在利用n次独立重复试验中，恰好发生k次的概率P(x＝k)＝C k n p k(1－p)n－k，k＝0,1,2，….要注意n，k，p的取值．3．遇到“至少”“至多”问题时，要考虑从对立事件入手计算．4．二项分布模型(1)判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：①是否为n次独立重复试验．②随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数．(2)涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题时，由于产品数量很大，因而抽查时，抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的．(3)若随机变量X～B(n，p)，则E(X)＝np.5.(2012年天津)现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望E(ξ)【解】依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0,1,2,3,4)，则P (A i )＝C i 4⎝⎛⎭⎫13i ⎝⎛⎭⎫234－i . (1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P (A 2)＝C 24⎝⎛⎭⎫13 2 ⎝⎛⎭⎫232＝827.(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3∪A 4.由于A 3与A 4互斥，故 P (B )＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 34⎝⎛⎭⎫133⎝⎛⎭⎫23＋C 44⎝⎛⎭⎫134＝19.所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19.(3)ξ的所有可能取值为0,2,4.由于A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥，故 P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827，P (ξ＝2)＝P (A 1)＋P (A 3)＝4081，P (ξ＝4)＝P (A 0)＋P (A 4)＝1781.所以ξ的分布列是随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝0×827＋2×4081＋4×1781＝14881.6. 张先生家住H 小区，他工作在C 科技园区，从家到公司上班的路上有L 1，L 2两条路线(如图所示)，L 1路线上有A 1，A 2，A 3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为12；L 2路线上有B 1，B 2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，35.(1)若走L 1路线，求最多遇到1次红灯的概率； (2)若走L 2路线，求遇到红灯的次数X 的数学期望；(3)按照“遇到红灯的平均次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．解：(1)设“走L 1路线最多遇到1次红灯”为事件A ，则P (A )＝C 03×⎝⎛⎭⎫123＋C 13×12×⎝⎛⎭⎫122＝12.所以走L 1路线，最多遇到1次红灯的概率为12. (2)依题意，X 的可能取值为0,1,2.，P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－35＝110，P (X ＝1)＝34×⎝⎛⎭⎫1－35＋⎝⎛⎭⎫1－34×35＝920，P (X ＝2)＝34×35＝920.故随机变量X 的分布列为6.(1)设某种灯管使用了500 h 0.87，问已经使用了500 h 的灯管还能继续使用到700 h 的概率是多少？(2)有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取1粒，求这粒种子能成长为幼苗的概率．【正确解答】 (1)设A ＝“能使用到500 h ”，B ＝“能使用到700h ”，则P (A )＝0.94，P (B )＝0.87.而所求的概率为P (B |A )，由于B ⊆A ，故P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝P (B )P (A )＝0.870.94＝8794. (2)据题意知P (A )＝0.9，P (B |A )＝0.8，故由P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )知P (A ∩B )＝P (A )·P (B |A )＝0.72，又由于B ⊆A ，故P (A ∩B )＝P (B )＝0.72即为这粒种子能成长为幼苗的概率．假定生男生女是等可能的，某家庭有3个孩子，其中有1名女孩，求其至少有1个男孩的概率．解：法一：此家庭共有3个孩子，包含基本事件有(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)其中至少有1个女孩共有7种可能，其中至少有1个男孩有6种可能，故其概率为67法二：记事件A 表示“其中有1名女孩”，B 表示“至少有1个男孩”，P (B |A )＝6878＝67.。
概率论知识点7
概率论知识点7概率论是现代数学中的一个重要分支，研究随机现象的规律性和不确定性。
其中，概率的计算和应用是概率论的核心内容之一。
在这篇文章中，我将介绍概率论中的第七个知识点。
让我们深入了解吧。
知识点7：条件概率条件概率是概率论中的一个重要概念，指的是在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
它与概率的计算密切相关，常常用于解决实际问题中的推理和判断。
下面，我将详细介绍条件概率的概念、计算方法以及应用场景。
一、条件概率的定义和计算方法条件概率表示在给定另一事件发生的条件下，所关注事件发生的概率。
用数学符号表示为P(A|B)，读作“在B发生的条件下A发生的概率”。
条件概率的计算方法为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
二、条件概率的性质条件概率具有以下性质：1. 非负性：对于任意事件A和B，有0 ≤ P(A|B) ≤ 1。
2. 若A与B无关，则P(A|B) = P(A)；即在B发生与否对A的发生概率没有影响。
3. 乘法公式：对于任意事件A和B，有P(A∩B) = P(A|B) * P(B)，即事件A和B同时发生的概率等于事件B发生的概率乘以在B发生的条件下A发生的概率。
4. 加法公式：对于任意事件A和B，有P(A∪B) = P(A) + P(B) -P(A∩B)，即事件A和B至少有一个发生的概率等于事件A发生的概率加上事件B发生的概率减去同时发生的概率。
三、条件概率的应用场景条件概率在现实生活中有广泛的应用，特别是在概率统计、数据分析和机器学习等领域。
以下是一些典型的应用场景：1. 医学诊断：在医学领域，医生常常根据症状、体征和检测结果等来判断疾病的发生概率。
这就涉及到条件概率的计算，通过已知的信息来推断疾病是否可能存在。
2. 金融风险评估：在金融领域，投资者需要评估投资产品的风险。
条件概率可用于计算特定市场条件下的投资损失概率，帮助投资者做出风险控制的决策。
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名词解释条件概率的概念
条件概率是统计学家研究随机事件的必修课，也是概率统计的核心内容。
条件概率定义为考虑已经发生某种事件后，其他事件发生的概率。
它实际上就是一个简单条件下，某种情况发生的可能性。
一般来说，条件概率表达在形式上就是：条件概率 P (A | B) = P (A 交 B)/P (B)，其中P (A)表示事件A发生的概率，P (B)表示事件B发生的概率，而P (A 交 B)则是表示A与B同
时发生的概率。
也就是说，它表示在知道已经发生第一个事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率。
条件概率，最常用在概率分布中，多用来计算相关事件发生概率：也即一个给定的事件A，再加上一个直接说明事件A发生的前提条件B，按照该条件概率可以求出事件A发生的概率，也可以对另一个事件（D）比较事件A发生的概率及事件 D发生的概率。
相当于是让前提条件B作为研究被检验的指标，以此来研究和判断事件A与事件D发生的可能性。
也就是说，条件概率在研究中主要是来描述一个给定的前提条件后，其他事件可能发生的情况及概率，来考察研究中的特定结论发生的可能性。
常常使用这样的表达：知道已经发生的条件B，事件A的发生概率为P (A | B)。
它可以以较精确的方式描绘出某种事件的发
生概率，是描述随机事件的重要工具之一。