基本不等式变形
应用基本不等式的八种变形技巧
因为 a>0，b>0，a＋b＝2，所以 2≥2 ab，所以 ab≤1，所以
1 1 1 ＋11＋ ≥4(当且仅当 a＝b＝1 时取等号)，所 ≥ 1 . 所以 b ab a 1 1 以a＋1b＋1的最小值是
4.
变形后使用基本不等式 设 a>1，b>1，且 ab－(a＋b)＝1，那么( A．a＋b 有最小值 2( 2＋1) B．a＋b 有最大值( 2＋1)2 C．ab 有最大值 2＋1 D．ab 有最小值 2( 2＋1) )
应用基本不等式的八种变形技巧
基本不等式的一个主要功能就是求两个正变量和与积的 最值，即所谓“和定积最大，积定和最小”．但有的题目需 要利用基本不等式的变形式求最值，有的需要对待求式作适 当变形后才可求最值．常见的变形技巧有以下几种：
加上一个数或减去一个数使和或积为定值 4 函数 f(x)＝ ＋x(x<3)的最大值是( x－3 A．－4 C．5 B．1 D．－1 )
1 2 y 法二：因为 ＋ ＝1，所以 x＝ . x y y－ 2 因为 x>0，y>0，所以 y－2>0. y2－y （y－2）2＋3（y－2）＋2 y 所以 x＋y＝ ＋ y＝ ＝ ＝ y－ 2 y－ 2 y－ 2
2 2 y－2＋ ＋3≥3＋2 2当y－2＝y－2，即y＝2＋ 2 y－ 2
已知 a>0，b>0 且
[点拨]
1 1 a＋b＝2，求a＋1b＋1的最小值．
由于待求式是一个积的形式，因此需将多项式展开
后将积的最小值转化为和的最小值．
【解】 3 ab＋1，
1 1 1 1 1 1 a＋b 由题得 a＋1 b＋1 ＝ab＋a＋b＋1＝ab＋ ab ＋1＝
基本不等式完整版
基本不等式完整版一、知识点总结1.基本不等式原始形式：若 $a,b\in\mathbb{R}$，则 $a^2+b^2\geq 2ab$。
2.基本不等式一般形式（均值不等式）：若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $a+b\geq 2\sqrt{ab}$。
3.基本不等式的两个重要变形：1）若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$。
2）若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $ab\leq\left(\frac{a+b}{2}\right)^2$。
总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最小值。
特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。
4.求最值的条件：“一正，二定，三相等”。
5.常用结论：1）若 $x>0$，则 $x+\frac{1}{x}\geq 2$（当且仅当$x=1$ 时取“=”）。
2）若 $x<0$，则 $x+\frac{1}{x}\leq -2$（当且仅当 $x=-1$ 时取“=”）。
3）若 $a,b>0$，则 $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）。
4）若 $a,b>0$，则 $ab\leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2\leq \frac{a^2+b^2}{2}$。
5）若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $\frac{1}{a+b}\leq\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\leq\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}$。
特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。
6.柯西不等式：1）若 $a,b,c,d\in\mathbb{R}$，则$(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq (ac+bd)^2$。
基本不等式的变形及应用
基本不等式a 2 b 2 2ab 的变式及应用不等式a 2 b 2 2ab 是课本中的一个定理，它是重要的基本不等式之一，对于它及它各种变式的掌握与熟练运用是求解很多与不等式有关问题的重要方法，这里介绍它的几种 常见的变式及应用1十种变式2、应用由于三个不等式中的等号不能同时成立，故■ a 1 .b 1 . c 1 4a 2b 2评论：本解法应用“ ab”观察其左右两端可以发现，对于某一字母左边是2一次式，而右边是二次式，显然，这个变式具有升幕与降幕功能，本解法应用的是升幕功①aba 2b 2 _ a b 2 ② ab ()；2a b 、2 2a b 2③（ ）;2 2⑤若b 0，2则a2a b ;b1⑦若a,b R ,(1)24a bab上述不等式中 等号成立的允要条件均为⑥a,bR ,则 1 14a b ab⑧若ab0 ,则 1 2 a 1 b 2a bb 2(a b)(当且仅当an m n⑩(a b c)23(a 2 b 2 c 2（当且仅当a b c 时等号成立）例 1、若 a,b,c R c 2，求证：.a 1. b 1 c 1 4证法一：由变式①得即..a 1HI 二理同b- 2VC- 2 a- 24C- 2b- 2 2④ a b . 2(a 2 b 2)a 2⑨若 m, n R ,a,b R ，则bm 时等号成立）1匕止 因证法二：由变式④得a 1 b 1 2(a 1 b 1)同理：..c 1 1 . 2(c_1一1).a 1 .b 1 、c 1 1 2(a b 2) . 2(c 2) .. 2(a b c 4) .12 5 故结论成立评论：本解法应用“ a b J2(a2b2) ”这个变式的功能是将“根式合并”，将“离散型”要根式转化为统一根式，显然，对问题的求解起到了十分重要的作用。
证法三：由变式⑩得( a 1 . b 1 、c 1)23(a 1 b 1 c 1) 15故.a 1 .. b 1 ... c 1 4 即得结论评论：由基本不等式a b 2ab易产生2a 2b 2c 2ab 2bc 2ca，两边同时加上a2 b2 c2即得3(a2 b2 c2) (a b c)2，于是便有了变式⑩，本变式的功能可以将平方进行“分拆”与“合并”。
不等式：基本不等式、对勾函数、判别式解法
不等式不等式是高考必考的热点内容，考查的广度和深度是其他章节无法比拟的，任何一份高考试卷中，涉及到不等式内容的考点所占比例超过70%。
一方面，考查不等式的性质、解法、证明以及实际应用；另一方面，与高中阶段的数学各个部分都存在着密切的联系。
因此，对于不等式的学习，应达到多层面，多角度熟练掌握的程度。
第一节 基本不等式1.若a,b ∈R,则a 2+b 2≥2ab ，等号成立的条件：a =b ；证明：当a,b ∈R 时，(a −b)2≥0,展开后即可得到所求不等式及等号成立的条件。
2.基本不等式的变形（包括2个方面）①若a,b ≥0的实数，则a +b ≥2√ab , 等号成立的条件：a =b ； 若a,b ∈R,ab >0则ba +ab ≥2, 等号成立的条件：a =b ；若x ∈R,x >0则x +1x ≥2, 等号成立的条件：x =1；(上述3个不等式，考虑如何证明？)注：上述的a,b 不能仅仅理解为两个参数，它可以是表达式或函数的解析式。
②若a,b ∈R,则a 2+b 2≥(a+b)22≥2ab;等号成立的条件：a =b （注意：不等式的右边是(a +b)2）例题1.已知x,y ∈(0,+∞),且4x +3y =1，求x +y 的最小值及xy 的最小值。
解：x +y =(x +y )(4x +3y )=7+(4yx +3xy)≥7+2√4y x ×3x y=7+4√3，∴x +y 的最小值为：7+4√3；求(xy)min 有两种方法，其一是配式，1xy=112×4x ×3y ≤112(4x +3y2)2=148，∴(xy)max =48；另一种方法是，由4x +3y =1→xy =4y +3x ≥2√3x ×4y =4√3√xy ,∵x,y ∈(0,+∞)→√xy ≥4√3，∴(xy)min =48。
例题2. 已知a√1−b 2+b√1−a 2=1,求证：a 2+b 2=1。
不等式与绝对值不等式的变形
不等式与绝对值不等式的变形不等式在数学中起到了重要的作用，它是比较大小关系的一种数学表示形式。
在解决实际问题中，我们经常会遇到需要将不等式进行变形的情况，以便更好地进行分析和求解。
而绝对值不等式是一类特殊的不等式，其中包含绝对值运算，对于这类不等式的变形也需要一定的技巧和方法。
本文将对不等式与绝对值不等式的变形进行详细介绍。
一、不等式的基本变形方法不等式的基本变形方法包括合并同类项、移项与交换，以下将对其进行详细介绍。
1. 合并同类项在解决不等式问题时，常常需要将具有相同变量的项进行合并以简化计算过程。
例如，对于不等式2x + 3 > 5x - 2，我们可以将2x和5x合并为7x，于是不等式可以变形为7x + 3 > -2。
2. 移项在不等式中，我们可以将含有变量的项从一侧移动到另一侧，从而改变不等式的形式。
例如，对于不等式2x + 3 > 5，我们可以将3移到不等号的另一侧，于是不等式变为2x > 5 - 3，即2x > 2。
3. 交换在不等式问题中，我们可以通过交换不等式两侧的表达式来改变不等式的形式。
例如，对于不等式3x < 7，我们可以将式子两侧的3x和7交换位置，得到7 > 3x。
以上是不等式的基本变形方法，在解决问题时可以根据实际情况选择合适的变形方法进行变形。
下面将介绍绝对值不等式的变形方法。
二、绝对值不等式的变形方法绝对值不等式是含有绝对值运算的不等式，为了求解这类不等式，我们需要将绝对值不等式进行适当的变形。
下面将分别介绍绝对值不等式的两种基本变形方法。
1. 分类讨论法对于含有绝对值的不等式，我们可以根据绝对值内部的表达式的符号进行分类讨论。
例如，对于不等式|3x - 7| < 5，我们可以将3x - 7分别大于0和小于0的情况进行讨论。
当3x - 7 > 0时，不等式可以变形为3x - 7 < 5，解得x < 4。
不等式的简单变形
不等式的简单变形一般是指通过对不等式进行移项、通分、去分母等操作，将不等式转化为更简单的形式，以便于进一步求解或证明不等式的性质。
以下是一些常见的不等式变形方法：
- 移项：将不等式中的某一项从一边移到另一边，需要改变该项的符号。
- 通分：将不等式中的分母化为相同的分母，以便于进行加减运算。
- 去分母：将不等式中的分母去掉，需要将不等式两边同时乘以分母的倒数。
- 合并同类项：将不等式中的同类项合并，以便于简化不等式。
- 取倒数：将不等式的两边同时取倒数，需要注意不等式的符号是否需要
改变。
- 平方：将不等式中的某一项平方，需要注意平方后的结果是否大于0。
《基本不等式》 知识清单
《基本不等式》知识清单一、基本不等式的定义如果 a，b 是正数，那么\（＼sqrt{ab} ＼leq ＼frac{a ＋ b}｛2}＼），当且仅当 a ＝ b 时，等号成立。
其中，＼（＼frac{a ＋ b}｛2}＼）叫做正数 a，b 的算术平均数，＼（＼sqrt{ab}＼）叫做正数 a，b 的几何平均数。
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
二、基本不等式的推导对于正数 a，b，有：＼（（＼sqrt{a} ＼sqrt{b}）＾2 ＼geq 0\）＼（a 2\sqrt{ab} ＋ b ＼geq 0\）＼（a ＋ b ＼geq 2\sqrt{ab}＼）＼（＼frac{a ＋ b}｛2} ＼geq ＼sqrt{ab}＼）当且仅当\（＼sqrt{a} ＝＼sqrt{b}＼），即 a ＝ b 时，等号成立。
三、基本不等式的几何解释以长为 a ＋ b 的线段为直径作圆，在直径 AB 上取点 C，使 AC ＝ a，CB ＝ b。
过点 C 作垂直于直径 AB 的弦 DE，连接 AD，DB。
根据圆的性质，可得\（CD ＝＼sqrt{ab}＼），而半径\（＼frac{a＋ b}｛2}＼）。
因为半径不小于弦长的一半，所以\（＼frac{a ＋ b}｛2} ＼geq ＼sqrt{ab}＼），当且仅当 C 为圆心时，等号成立，即 a ＝ b 。
四、基本不等式的变形1、＼（a^2 ＋ b^2 ＼geq 2ab\）（当且仅当 a ＝ b 时，等号成立）推导：＼（a^2 ＋ b^2 2ab ＝（a b)＾2 ＼geq 0\），所以\（a^2 ＋b^2 ＼geq 2ab\）2、＼（ab ＼leq （＼frac{a ＋ b}｛2}）＾2\）（当且仅当 a ＝ b 时，等号成立）推导：由基本不等式\（＼frac{a ＋ b}｛2} ＼geq ＼sqrt{ab}＼），两边平方可得\（ab ＼leq （＼frac{a ＋ b}｛2}）＾2\）3、＼（＼frac{b}｛a} ＋＼frac{a}｛b} ＼geq 2\）（a，b 同号且不为 0，当且仅当 a ＝ b 时，等号成立）推导：＼（＼frac{b}｛a} ＋＼frac{a}｛b} ＼geq 2\sqrt{＼frac{b}｛a} ＼times ＼frac{a}｛b}｝＝ 2\）五、用基本不等式求最值1、若两个正数的和为定值，则当这两个数相等时，它们的积取得最大值。
(完整版)基本不等式知识点
基本不等式知识点1、不等式的基本性质①（对称性）a b b a >⇔>②（传递性）,a b b c a c >>⇒>③（可加性）a b a c b c >⇔+>+（同向可加性）d b c a d c b a +>+⇒>>,（异向可减性）d b c a d c b a ->-⇒<>,④（可积性）bc ac c b a >⇒>>0,bc ac c b a <⇒<>0,⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>⇒> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >><<⇒>⑥（平方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且⑦（开方法则）0,1)a b n N n >>∈>且 ⑧（倒数法则）b a b a b a b a 110;110>⇒<<<⇒>>2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22.2a b ab +≤②（基本不等式）2a b +≥()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）.变形公式：a b +≥2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）3a b c ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）.④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，（当且仅当a b c ==时取到等号）.⑤3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号）0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，，规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>⇔>⇔<->当时，或22.x a x a a x a <⇔<⇔-<< ⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+3、几个著名不等式①平均不等式：1122a b a b --+≤≤≤+，,a b R +∈（，当且仅当a b =时取""=号）.（即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均）.变形公式：222;22a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭ 222().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式：222212121...(...).n n a a a a a a n +++≥+++③二维形式的三角不等式：≥1122(,,,).x y x y R ∈④二维形式的柯西不等式：22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当ad bc =时，等号成立.⑤三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()().a a ab b b a b a b a b ++++≥++⑥一般形式的柯西不等式： 2222221212(...)(...)n n a a a b b b ++++++21122(...).n n a b a b a b ≥+++ ⑦向量形式的柯西不等式：设,αβ是两个向量，则,αβαβ⋅≤当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使k αβ=时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数.12,,...,n c c c 是12,,...,n b b b 的任一排列，则12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122....n n a b a b a b ≤+++（反序和≤乱序和≤顺序和），当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时，反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数()f x ,对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法：①舍去或加上一些项，如22131()();242a a ++>+ ②将分子或分母放大（缩小），如211,(1)kk k <- 211,(1)k k k>+=⇒<*,1)k N k >∈>等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或 2(0,40)a b ac ≠∆=->解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()0()()0()()()0()0()0()f x f x g x g x f x g x f x g x g x >⇔⋅>⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩ （<≤“或”时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解⑴2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧>>⇔⎨>⎩⑵2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧<>⇔⎨<⎩⑶2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x >⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或⑷2()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩⑸()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩ 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：⑴当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>⑵当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔< 规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法⑴当1a >时, ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩⑵当01a <<时, ()0log ()log ()()0.()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法： ⑴定义法：(0).(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ⑵平方法：22()()()().f x g x f x g x ≤⇔≤⑶同解变形法，其同解定理有： ①(0);x a a x a a ≤⇔-≤≤≥ ②(0);x a x a x a a ≥⇔≥≤-≥或 ③()()()()()(()0)f xg x g x f x g x g x ≤⇔-≤≤≥ ④()()()()()()(()0)f x g x f x g x f x g x g x ≥⇔≥≤-≥或规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如20ax bx c ++>且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有： ⑴讨论a 与0的大小；⑵讨论∆与0的大小；⑶讨论两根的大小.14、恒成立问题⑴不等式20ax bx c ++>的解集是全体实数（或恒成立）的条件是： ①当0a =时 0,0;b c ⇒=>②当0a ≠时00.a >⎧⇒⎨∆<⎩ ⑵不等式20ax bx c ++<的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a =时0,0;b c ⇒=<②当0a ≠时00.a <⎧⇒⎨∆<⎩ ⑶()f x a <恒成立max ();f x a ⇔<()f x a ≤恒成立max ();f x a ⇔≤⑷()f x a >恒成立min ();f x a ⇔>()f x a ≥恒成立min ().f x a ⇔≥15、线性规划问题常见的目标函数的类型：①“截距”型：;z Ax By =+ ②“斜率”型：y z x =或;y b z x a -=-③“距离”型：22z x y =+或z = 22()()z x a y b =-+-或z =在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.。
基本不等式的八种变形技巧
基本不等式的八种变形技巧基本不等式是用来求两个正变量和与积的最值的，但有些题目需要用到基本不等式的变形形式才能求最值，或者需要对待求式作适当变形后才能求最值。
下面介绍几种常见的变形技巧。
1.加上一个数或减去一个数使和或积为定值例如，对于函数$f(x)=\frac{x}{3-x}$，当$x<3$时，求$f(x)$的最大值。
因为$x0$，所以$f(x)=\frac{-3+x}{3-x}+3\leq \frac{4}{3-x}\leq -2+\frac{4}{3-x}=2+\frac{2}{3-x}$。
当且仅当$3-x=2$时等号成立，即$x=1$时，$f(x)$的最大值为$-1$。
2.平方后再使用基本不等式一般地，含有根式的最值问题，首先考虑平方后求最值。
例如，若$x>0$，$y>0$，且$2x^2+y^2=8$，求$x^6+2y^2$的最大值。
由于已知条件式中有关$x$，$y$的式子均为平方式，而所求式中$x$是一次的，且$\sqrt{y}$是二次的，因此考虑平方后求其最值。
设$a=x^2$，则$2a+y^2=8$，所以$y^2=8-2a$，代入$x^6+2y^2=x^6+16-4a$，即要求$a$的最小值。
由于$x>0$，所以$a>0$，所以$2a+y^2>0$，即$8-2a>0$，所以$a<4$。
由基本不等式，$(1+1+1+1+1+1)(a+a+a+y^2+y^2+y^2)\geq (x^6+2y^2)^2$，即$6(6a+3y^2)\geq (x^6+2y^2)^2$。
代入$y^2=8-2a$，整理得$x^6+2y^2\leq 29$，当且仅当$x^2=2$，$y^2=2$时等号成立，所以$x^6+2y^2$的最大值为$29$。
3.展开后求最值对于求多项式积的形式的最值，可以考虑展开后求其最值。
例如，已知$a>0$，$b>0$且$a+b=2$，求$(a+1)(b+1)$的最小值。
基本不等式的六个变形
基本不等式的六个变形第一变形：加减法变形基本不等式中的第一个变形是加减法变形。
当不等式两边都加上（或减去）同一个数时，不等号的方向不会改变。
例如，对于不等式a < b，如果我们将两边都加上c，那么不等式变为a + c < b + c。
同样地，如果我们将两边都减去c，不等式变为a - c < b - c。
这个变形的目的是为了使得不等式的两边更容易进行比较。
第二变形：乘除法变形基本不等式中的第二个变形是乘除法变形。
当不等式两边都乘以（或除以）同一个正数时，不等号的方向不会改变。
例如，对于不等式a < b，如果我们将两边都乘以正数c，那么不等式变为ac < bc。
同样地，如果我们将两边都除以正数c，不等式变为a/c < b/c。
需要注意的是，如果我们将两边都乘以（或除以）同一个负数c，那么不等号的方向会发生改变。
这个变形的目的是为了改变不等式的形式，使得比较更方便。
第三变形：平方变形基本不等式中的第三个变形是平方变形。
当不等式两边都平方时，不等号的方向不会改变。
例如，对于不等式a < b，如果我们将两边都平方，那么不等式变为a^2 < b^2。
平方变形常常用于解决含有平方的不等式，因为平方可以消除绝对值。
需要注意的是，当不等式中含有负数时，平方变形可能会导致不等式的方向发生改变。
这个变形的目的是为了消除平方根，使得比较更简单。
第四变形：倒数变形基本不等式中的第四个变形是倒数变形。
当不等式两边都取倒数时，不等号的方向会发生改变。
例如，对于不等式a < b，如果我们将两边都取倒数，那么不等式变为1/a > 1/b。
倒数变形常常用于解决含有分数的不等式，因为倒数可以改变分数的大小关系。
需要注意的是，当不等式中含有负数时，倒数变形可能会导致不等式的方向发生改变。
这个变形的目的是为了改变不等式的形式，使得比较更方便。
第五变形：倒置变形基本不等式中的第五个变形是倒置变形。
基本不等式(很全面)
基本不等式(很全面)基本不等式基本不等式原始形式：对于任意实数a和b，有a+b≥2ab/(a^2+b^2)。
基本不等式一般形式（均值不等式）：对于任意实数a和b，有a+b≥2ab/2.基本不等式的两个重要变形：1）对于任意实数a和b，有(a+b)/2≥√(ab)。
2）对于任意实数a和b，有ab≤(a^2+b^2)/2.求最值的条件：“一正，二定，三相等”。
常用结论：1）对于任意正实数x，有x+1/x≥2（当且仅当x=1时取“=”）。
2）对于任意负实数x，有x+1/x≤-2（当且仅当x=-1时取“=”）。
3）对于任意正实数a和b，有(a/b+b/a)≥2（当且仅当a=b 时取“=”）。
4）对于任意实数a和b，有ab≤(a^2+b^2)/2≤(a+b)^2/4.5）对于任意实数a和b，有1/(a+b)≤1/2√(ab)≤(1/a+1/b)/(a+b/2)。
特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”。
柯西不等式：1）对于任意实数a、b、c和d，有(a+b)(c+d)≥(ac+bd)^2.2）对于任意实数a1、a2、a3、b1、b2和b3，有(a1^2+a2^2+a3^2)(b1^2+b2^2+b3^2)≥(a1b1+a2b2+a3b3)^2.3）对于任意实数a1、a2、…、an和b1、b2、…、bn，有(a1^2+a2^2+…+an^2)(b1^2+b2^2+…+bn^2)≥(a1b1+a2b2+…+an bn)^2.题型归纳：题型一：利用基本不等式证明不等式。
题目1：设a、b均为正数，证明不等式ab≥2/(1/a+1/b)。
题目2：已知a、b、c为两两不相等的实数，求证：a/(b-c)^2+b/(c-a)^2+c/(a-b)^2≥2/(a-b+b-c+c-a)。
题目3：已知a+b+c=1，求证：a^2+b^2+c^2+9abc≥2(ab+bc+ca)。
题目4：已知a、b、c为正实数，且abc=1，求证：a/b+b/c+c/a≥a+b+c。
不等式的4个层次
式： 1 ab a b a2 b2 。
11
2
2
ab
层次 2 注意基本不等式求最值的条件
运用基本不等式求最值要注意：一是“非负”(a 0,b 0) ；二是“定值”（若
ab 为定值，则 a b 有最小值；若 a b 为定值，则 ab 有最大值）；三是“相等”
2
2
（等号成立的条件是 a b ）。
当且仅当 a 1 b 9 即 a 4,b 12时，取到等号。
法三：（消元法）由已知得 b 9a 0 且 a 1，所以 a b a 9a
a 1
a 1
a 9 9 a 1 9 10 2 (a 1) 9 10 16 ，
a 1
练习 8：设 M 是 ABC 内一点，且 ABC 的面积为 1，定义 f (M ) (m, n, p) ，其
中 m、n、p 分别是 MBC ，MCA，MAB 的面积，若 f (M ) (1 , x, y) ，则 1 4
2
xy
的最小值是
解析：由 ABC 的面积为 MBC ，MCA，MAB 的面积之和，所以 1 x y 1， 2
即 x y 1 ， 1 4 (1 4 )(2x 2 y) 10 8 x 2 y 18 当且仅当 8 x 2 y 即
2 xy xy
yx
yx
x 1 , y 1 时，取到等号。 63
层次 4 掌握基本不等式的实际运用
例 4．某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料 200 千克，每千克饲料
最小值是（ ）（备考题 5）
A.2
B.4
C. 6
D.8
拓展：设 x y z, n N* 且 1 1 n 恒成立，求 n 的最大值。 xy yz xz
基本不等式20种题型
基本不等式20种题型一、基本不等式简介基本不等式是高中数学中的一个重要内容，它是指两个正数的平均数不小于它们的几何平均数，两个数的算术平均数不大于它们的几何平均数。
基本不等式在解决一些最值问题时非常有用，包括求和、积、方差的最值，求三角形的边长问题等。
二、20种题型1. 证明型题型：通过基本不等式证明一些不等式，例如，用基本不等式证明一个数的平方大于另一个数的平方。
2. 求最值题型：用基本不等式求和、积、方差的最值，求三角形的边长问题等。
3. 构造型题型：通过构造一个等式，利用基本不等式构造另一个等式，进而解决问题。
4. 拆分型题型：将一个数拆分成两个数的和或差，利用基本不等式进行求解。
5. 参数型题型：在基本不等式中引入参数，利用基本不等式求解参数的取值范围或最值问题。
6. 反证型题型：通过反证法，利用基本不等式证明一些不等式的正确性。
7. 优化型题型：利用基本不等式优化一些算法或求解过程。
8. 覆盖型题型：用基本不等式覆盖一些其他类型的题目，如解三角形问题等。
9. 扩展型题型：将基本不等式进行扩展，利用扩展后的不等式解决问题。
10. 分段型题型：对于一些分段函数，利用基本不等式分段求解。
三、解题步骤1. 确定使用基本不等式的条件：在应用基本不等式之前，需要保证所使用的不等式是成立的。
如果不能保证，需要先证明不等式的正确性。
2. 确定正数的个数：在应用基本不等式时，需要保证所使用的正数不超过两个。
如果不能保证，需要重新考虑问题的解法。
3. 确定平均数和几何平均数：根据题目中的数据，确定使用哪个平均数和几何平均数。
4. 计算并比较大小：根据题目中的数据，利用基本不等式计算出结果的大小，并与题目中的要求进行比较。
5. 验证结果的正确性：在得到结果后，需要验证结果的正确性，确保结果的合理性。
四、例题解析【例1】求函数f(x) = x(10-x)的最小值。
解：根据题意，可以知道f(x)是一个积的形式，可以使用基本不等式求解最小值。
高一基本不等式题型归纳
高一基本不等式题型归纳一、利用基本不等式求最值1. 积定和最小- 例1：已知x>0，y>0，且xy = 16，求x + y的最小值。
- 解析：根据基本不等式a + b≥slant2√(ab)（当且仅当a = b时取等号），这里a=x，b = y，已知xy=16。
- 则x + y≥slant2√(xy)=2√(16)=8。
- 当且仅当x=y时取等号，又因为xy = 16，所以x=y = 4时，x + y取得最小值8。
2. 和定积最大- 例2：已知x>0，y>0，x + y=8，求xy的最大值。
- 解析：由基本不等式xy≤slant((a + b)/(2))^2（当且仅当a = b时取等号），这里a=x，b = y，已知x + y = 8。
- 则xy≤slant((x + y)/(2))^2=((8)/(2))^2 = 16。
- 当且仅当x=y时取等号，又因为x + y = 8，所以x=y = 4时，xy取得最大值16。
二、基本不等式的变形应用1. 配凑法求最值- 例3：已知x> - 1，求y=frac{x^2+7x + 10}{x + 1}的最小值。
- 解析：- 因为x> - 1，则x+1>0。
- 对y=frac{x^2+7x + 10}{x + 1}进行变形，y=frac{(x + 1)^2+5(x + 1)+4}{x + 1}=(x + 1)+(4)/(x + 1)+5。
- 根据基本不等式a+b≥slant2√(ab)，这里a=x + 1，b=(4)/(x + 1)。
- 则y=(x + 1)+(4)/(x + 1)+5≥slant2√((x + 1)×frac{4){x + 1}}+5=2×2 +5=9。
- 当且仅当x + 1=(4)/(x + 1)，即(x + 1)^2=4，因为x> - 1，所以x + 1 = 2，x=1时取等号，y的最小值为9。
专题：基本不等式常见题型归纳
专题函数常见题型归纳三个不等式关系：（1）a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （2）a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （3）a ，b ∈R ，a 2＋b 22≤(a ＋b2)2，当且仅当a ＝b 时取等号．上述三个不等关系揭示了a 2＋b 2，ab ，a ＋b 三者间的不等关系． 其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2ab (或ab ≤(a ＋b2)2)，当且仅当a＝b 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值．利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号． 【题型一】利用拼凑法构造不等关系【典例1】（扬州市2015—2016学年度第一学期期末·11）已知1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ，则112-+b a 的最小值为 .【解析】∵1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ∴32log 7log a a b b +=，解得1log 2a b =或log 3a b =，∵1＞＞b a ∴1log 2a b =，即2a b =．2111111a ab a +=-++--13≥=． 练习：1．（南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟·10）若实数满足，且，则的最小值为 ．解析：由log 2x+log 2y=1可得log 2xy=1=log 22，则有xy=2，那么==（x －y ）+≥2=4，当且仅当（x －y ）=，即x=+1，y=－1时等号成立，故的最小值为4．2.（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）若实数,x y 满足133(0)2xy x x +=<<，则313x y +-的最小值为 ．3.（无锡市2017届高三上学期期末）已知0,0,2a b c >>>，且2a b +=，则2ac c c b ab +-+的最小值为 . 【典例2】（南京市2015届高三年级第三次模拟·12）已知x ，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋yx ＋y 的最大值为 ．解析：由于4x 4x ＋y ＋y x ＋y =))(4()4()(4y x y x y x y y x x +++++=22225484y xy x yxy x ++++ =1+22543y xy x xy ++=1+345x y y x ⋅++≤1+5423+⋅xy y x =43，当且仅当4y x =xy，即y=2x 时等号成立． 【典例3】若正数a 、b 满足3ab a b =++,则a b +的最小值为__________. 解析：由,a b R +∈,得223(),()4()1202a b ab a b a b a b +=++≤+-+-≥,解得6a b +≥(当且仅当a b =且3ab a b =++,即3a b ==时,取等号).变式：1.若,a b R +∈,且满足22a b a b +=+,则a b +的最大值为_________.解析：因为,a b R +∈,所以由22222()2a b a b a b a b a b ++=+⇒+=+≥,2()a b +-2()0a b +≤,解得02a b <+≤(当且仅当a b =且22a b a b +=+,即1a b ==时,取等号).2.设0,0>>y x ，822=++xy y x ，则y x 2+的最小值为_______ 43.设R y x ∈,，1422=++xy y x ，则y x +2的最大值为_________10524.（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中）已知正数a ，b 满足195a b+=，则ab 的最小值为 【题型二】含条件的最值求法【典例4】（苏州市2017届高三上期末调研测试）已知正数y x ,满足1=+y x ，则1124+++y x 的最小值为 练习1．（江苏省镇江市高三数学期末·14）已知正数y x ,满足111=+yx ，则1914-+-y yx x 的最小值为 . 解析：对于正数x ，y ，由于x 1+y 1=1，则知x>1，y>1，那么14-x x +14-y y =（14-x x +14-y y ）（1+1－x 1－y 1）=（14-x x +14-y y ）（xx 1-+y y 1-）≥（x x x x 114-⋅-+yy y y 114-⋅-）2=25，当且仅当14-x x ·y y 1-=14-y y ·xx 1-时等号成立．2.（2013~2014学年度苏锡常镇四市高三教学情况调查（一）·11）已知正数满足，则的最小值为 ．解析：，当且仅当时，取等号．故答案为：9．3．（南通市2015届高三第一次调研测试·12）已知函数(0)xy a b b =+>的图像经过点(1,3)P ，如下图所示，则411a b+-的最小值为 .解析：由题可得a+b=3，且a>1，那么14-a +b 1=21（a －1+b ）（14-a +b 1）=21（4+b a 1-+14-a b +1）≥21（2141-⋅-a b b a +5）=29，当且仅当b a 1-=14-a b 时等号成立． 4．（江苏省苏北四市2015届高三第一次模拟考试·12）己知a ，b 为正数，且直线 与直线 互相平行，则2a+3b 的最小值为________．【解析】由于直线ax+by －6=0与直线2x+（b －3）y+5=0互相平行，则有=，即3a+2b=ab ，那么2a+3b=（2a+3b ）·=（2a+3b ）（+）=++13≥2+13=25，当且仅当=，即a=b 时等号成立．5.常数a ，b 和正变量x ，y 满足ab ＝16，a x ＋2b y ＝12.若x ＋2y 的最小值为64，则a b＝________.答案：64；(考查基本不等式的应用).6.已知正实数,a b 满足()()12122a b b b a a +=++，则ab 的最大值为 ．答案：【题型三】代入消元法【典例5】（苏州市2016届高三调研测试·14）已知14ab =，,(0,1)a b ∈，则1211ab+--的最小值为 ．解析：由14ab =得14a b = ，2221211424122711411451451a b b b b b b b b b b b +---+--=+==+---+--+- 令71b t -=则22714949111418451427183427b t b b t t t t-+=+=-≥+-+--+-+-当且仅当2t =即214等号成立．练习1．（江苏省扬州市2015届高三上学期期末·12）设实数x ，y 满足x 2＋2xy －1＝0，则x 2＋y 2的最小值是 ．解析：由x 2＋2xy －1＝0可得y=212x x -，那么x 2＋y 2= x 2＋222(1)4x x -=54x 2+214x －12≥21212，当且仅当54x 2=214x ，即x 4=15时等号成立．2．（苏州市2014届高三调研测试·13）已知正实数x ，y 满足，则x + y 的最小值为 ． 解析：∵正实数x ，y 满足xy+2x+y=4，∴（0＜x ＜2）．∴x+y=x+==（x+1）+﹣3，当且仅当时取等号．∴x+y 的最小值为．故答案为：．3．（南通市2014届高三第三次调研测试·9）已知正实数,x y 满足(1)(1)16x y -+=，则x y +的最小值为 ．解析：∵正实数x ，y 满足（x ﹣1）（y+1）=16，∴1116++=y x ，∴x+y=()8116121116=+⋅+≥+++y y y y ，当且仅当y=3，（x=5）时取等号．∴x+y 的最小值为8．故答案为：8．4.（扬州市2017届高三上学期期中）若2,0>>b a ，且3=+b a ，则使得214-+b a 取得最小值的实数a = 。
基本不等式的常见变形技巧
课程篇基本不等式的常见变形技巧邢春柳（南京市宁海中学，江苏南京）技巧一：加减常数例1.求函数y=x+4x-1（x≠1）的值域.解：（1）当x>1时，有x-1>0，4x-1>0，y=x+4x-1=（x-1）+4x-1+1≥2（x-1）·4x-1√+1=5.当且仅当x-1=4x-1，即x=3时，等号成立，此时y的最小值为5.（2）当x<1时，x-1<0，4x-1<0，所以x-1>0，4x-1>0，y=x+4x-1=（x-1）+4x-1+1=-［（1-x）+41-x］+1≤-2（1-x）·41-x√+1=-3.当且仅当1-x+41-x，即x=-1时等号成立，此时y的最大值为-3，综上所述，该函数的值域为（-∞，-3］∪［5，+∞）点评：当各项符号不确定时，必须分类讨论，要保证代数式中的各项均为正.在运用基本不等式时必须时刻牢记“一正、二定、三相等”的前提条件.技巧二：巧变常数例2.已知0<x<12，求函数y=x（1-2x）的最大值.解法一：因为0<x<12，所以1-2x>0，所以y=x（1-2x）=12·2x·（1-2x）≤12［2x+（1-2x）2］2=18.解法二：因为0<x<12，所以12-x>0，所以y=x（1-2x）=2·x·（12-x）≤2［x+（12-x）2］2=18，当且仅当x=12-x，即x=14时，等号成立，所以当x=14时，y的最大值为18.点评：形如f（x）=x（1-ax）或f（x）=x2（1-ax）2等可有两种变形方法：一是巧乘常数；二是巧提常数，应用时要注意活用.技巧三：分离常数例3.已知x≥52，则f（x）=x2-3x+32x-4有（）A.最大值54B.最小值54C.最大值32D.最小值32分析：本题看似无法使用均值不等式，但对函数式进行分离，便可创造出使用均值不等式的条件.解：f（x）=x2-3x+32x-4=（x-1）（x-2）+12（x-2）=12［（x-2）+1x-2+1］≥32，当且仅当x-2=1x-2，即x=3时，函数有最小值32，故选D.点评：通过加减常数，分离出一个常数是分式函数求值域常用的方法，这里一定要加减好“常数”，以利于问题的解决.技巧四：活用常数例4.若x，y∈R+且满足x4+16y=1，求x+y的最小值.解：由x，y∈R+且x4+16y=1得x+y=（x+y）（x4+16y）=4y x+ 16xy+20≥24yx·16xy√+20=36，当且仅当4y x=16x y，即x=12且y=24时，等号成立，所以x+y的最小值是36.点评：通过配凑“1”并进行“1”的代换，整理后得到基本不等式的形式，减少了使用基本不等式的次数，有效地避免了等号不能同时取到的麻烦.技巧五：统一形式例5.已知a，b，c∈R+，求（a+b+c）（1a+b+1c）的最小值.解：（a+b+c）（1a+b+1c）=［（a+b）+c］（1a+b+1c）=2+c a+b+a+bc≥2c a+b·a+b c√=4，所以当a+b=c时，（a+b+c）（1a+b+1c）的最小值为4.点评：根据分母的特点，进行结构调整为统一的形式，这样便能快速求解。
高一数学基本不等式的变形与应用
授课题目：基本不等式的变形与应用
重点难点：基本不等式的变形（重点）；基本不等式的应用（难点）
课前回顾
1.基本不等式： ， 叫做 的几何平均数，即 的等比中项；
叫做 的算术平均数，即 的等差中项。
2.基本不等式的理解：（1）基本不等式反映的是两个正数的和与积的关系；（2）必须要满足“一正二定三相等”：“一正”_______；“二定” ；“三相等”_______（3） 可以是具体的某个数，也可以是_______。
随堂练习
1.
提示：（1）要求 的最大值，即求 的最大值，即求 的最大值.
2.
3. _______
4.
5.
_______
2.若直角三角形的周长为定值 ，求三角形面积的最大值.
解：
3.
解：B
4. _______.
解：（和巩固练习1属于同类型题目）
注意：本题中代数式（ ）是不等式的变量，为了简化运算，可以设 =t
重要知识点讲解
通过配凑、变形、构造条件，创造应用不等式的条件是关键。并且在应用基本不等式的题型中一定要牢记基本不等式应用时的条件：“一正二定三相等”
3.基本不等式的简单形式变换： 、
4.由基本不等式 和不等式 得到的一些常用结论：
5.基本不等式的应用：（1）求函数最值：注意“一正二定三相等”， 时设法构造条件，使之能够运用基本不等式；（2）利用不等式比较两数的大小：常见题型中易将不等式与函数的单调性结合起来比较两数的大小。
习题巩固
1.
解：
解题方法：1.利用基本不等式，构造关于某个变量的不等式；2.解此不等式求出该变量的取值范围；3.验证等号是否成立，便可确定该变量的最值.