二阶张量的谱分解 算法
第 2 章 二阶张量
研究定义在一个固定点（张量的元素是实常数， gi 也是常数）上的二阶张量随坐标系转动的
不同形式，不涉及与另一个张量的关系，也不涉及张量运动。
2.1 二阶张量的元素
T = Tij g i g j = Ti• j g i g j = T•ii gi g j = T ij gi g j
k n
(2) T 的不变量由无限多个（不变量的组合仍是不变量），通常关心的有两组：
主不变量（ T 特征多项式的三个系数）
2
η1 = T•11 + T•22 + T•33 = G : T = T•mm = GmnT mn = GmnTmn = Tm•m
( )( ) η2
=
T•11 T•21
T•12 T•22
、 Ni• j
=
N•ji
，
（而一般： N•i j
≠
N
j •i
、
N
• i
j
≠
N •i j
在相同的，混变分量的转置 ≠ 系数矩阵的转置）
N ⋅u=u⋅N
(4) 反对称张量 Ω = −ΩT
性质： Ωij
=
−Ω 、 Ω ij ji
=
−Ω
ji
Ω 、 i •j
=
Ω − Ω 、 •i
•j
j
i
=
−Ω•ij ，
（而一般：
+ T•22 T•32
T•23 T•33
+ T•11 T•31
T•13 T•33
=
1 2
⎣⎡
G :T
G :T − T ⋅⋅T ⎦⎤
=
1 2
⎡⎣T•mmT•nn
− T•pqT•qp ⎤⎦
第2章二阶张量
+ T•22 T•32
T•23 T•33
+ T•11 T•31
T•13 T•33
=
1 2
⎣⎡
G :T
G :T − T ⋅⋅T ⎦⎤
=
1 2
⎡⎣T•mmT•nn
− T•pqT•qp ⎤⎦
=
1 2
δ
ijpqT•jiT•qp
[共有 6 项相加，前后指标一样为正，不一样为负；指标 m, n 和 p, q 可以互换但乘积不
而一般： Ωi• j
≠
−Ω
j •i
、
Ω
• i
j
≠
−Ω
•i j
Ω ⋅ u = −u ⋅ Ω
(2) 不变量：
η1Ω = 0 ；η3Ω = 0 (对角元为零)
5
( ) ( ) ( ) η2Ω
=
0 − Ω1•2
Ω1•2 0
+
0 − Ω•23
Ω•23 0
+
0 − Ω1•3
Ω1•3 0
=
Ω1•2
2+
Ω•23
2+
变，所以要乘 1/2]
T•11 T•12 T•13
η3 = T•21
T•22
T•23
=
1 3!
εMT
⊗T
⊗TMε
=
1 6
δ limjknT•l iT•mjT•nk
=
1 6
ε
ijk ε lmnT•l iT•mjT•nk
T•31 T•32 T•33
[共有 6 项相加，前后指标均为顺序或逆序为正，一正一逆为负，有非序为零； l, m, n 均顺 序和均逆序的排列有 6 种，同样 i, j, k 也有六种，组合共有 36 种，除去重复的只有 6 种， 所以要乘 1/6]
【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向
设V中标准正交坐标系为 {i1, i2, i3} 。则二阶张量 A和矢量 u可表示为：
A Aij ii i j ; u ui ii A u u ; ( A I ) u o
可分别写成： 或
u A u
;
u ( A I ) o
( Aij ii i j ij ii i j ) (umim ) o ; (umim ) ( Aij ii i j ij ii i j ) o A12 A13 u1 0 A11 A u 0 A A 22 23 2 21 （3.4-3） A32 A33 A31 u 3 0
det(A I ) 0 ( a) det(A* I ) 0 ( b)
∵ ∴ (a)、(b)两式是关于λ的三次相同的代数方程。也就是说 A的右特征值和左特征值相同。由 (a)式或 (b)式得： ∵
[( A I ) a ] [( A I ) b][( A I ) c ] 0 a (b c ) [( A I ) a ] [( A I ) b][( A I ) c ] det( A I )
; ∴
u ai 2
u1 0 u 2 a u 0 3
（a是任意实数）
是方程组（1）的非零解。
A u (i1i3 i2i1 i2i2 i3i1 ) (ai2 ) ai2 1u
因此 u = a i2是 A的λ1 = 1特征值对应的右特征矢量。 左特征矢量： ∵
(detet Q) det(Q I ) det(Q I )
2 det(Q I ) 0 ∴ 因此得出结论： 正交二阶张量 Q，当det Q =1时存在右特征矢量 r。其对应 的特征值λ = 1。且：
第2章 二阶张量
111
222
333
N为正（非负）张量 ⇔ N > (≥)0 i
（2）N非负，存在唯一的非负对称张量M，使 M 2 = N
（3）任意非对称张量可以 构造非负张量：
1 ）X = T ⋅T T，Y = T T ⋅T为非负张量，若T可逆，则X、Y为正张量
2）X 、Y 为对称张量
3）X 、Y 为不同的张量，但有相同的主分量
定理：[T ⋅ u, T ⋅ v, T ⋅ w] = det T [u, v, w]
正则与退化 det T ≠ 0 的二阶张量－正则二阶张量；否则为退化的二阶张量。
（1）T为正则 ⇔ (i = 1, 2, 3) u(i)性无关，则T ⋅ u(i)也线性无关。
（2）正则T是单射的：u ≠ v ⇒ T ⋅ u ≠ T ⋅ v （3）正则T是满射的：∀u所作的线性变换T ⋅ u = v，必存在唯一的
≠
−Ω j、Ω • j
•i
i
≠
−Ω •i）Ω ⋅ u j
=
−u ⋅ Ω
（5）行列式的值：
， ， 定义：det T
=
Ti •j
T ij
= g T•j i
=
Ti •j
g = g 2 T ij
g= G ij
( ) ( ) ( ) 、 TT ij
=T ij
T T ij = T ij 、
T 、 = T T i j
l, m, n均顺序和均逆序的排列有6种，i, j, k同样也有六种，组合共有36种，
除去重复的只有6种，所以要乘1 / 6]
[T ⋅ a, b, c] = [a,T ⋅ b, c] = [a, b,T ⋅ c] = η1(T )[a, b, c]
第二章 二阶张量
第二章：二阶张量1. ij T ij ji i j j i i j T T T ;=⊗=⊗=⊗T g g T g g g g ij i j ij i j T ; T =⋅⋅=⋅⋅g T g g T g2. T =T.u u.TT ij ij ij ij j i j i i j j i ( = T T u ;T T u )⋅⊗==⊗⋅=u.T u g g g T.u g g u g 3.i .j det()T =T行列式不等于零的二阶张量定义为正则二阶张量 正则二阶张量存在逆张量：1-⋅T T =G 4.主不变量①1)()()ζ⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⨯⋅=⋅⨯T u (v w)+u (T v w)+u (v T w )u (v w)（1.()::i i Tr T ζ====T T G G T)()()i j k ijk S u v w ⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⨯⋅=T u (v w)+u (T v w)+u (v T w )（m m mijk .i mjk .j imk .k ijm S T T T εεε=++由于mik imkmmmiik .i mik.i imk.k iimS T T T εεεεε=-⇓=++=当i,j,k 当中有两个相等时，0iik S = 当i j k ≠≠时i j k m ijk .i .j .k ijk not sum ijk .m ijk S (T T T )T εε=++=②2)[)][()(]()[()]()ξ⋅⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w u v w （2......122123323113.1.2.1.2.2..3.2..3.3.1.3.1112233.1.2.2..3.3.1223311.1.2.2..3.3.111()22ij l mi j i l lm i j i j l j T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T TTTTT T ζδ==-=-+-+-=++注意：ij ijklm lmkδδ=是张量的分量张量T 行列式中各阶主子式之和)[)][()(]()[()]i j k ijk S u v w ⋅⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w （ 其中......()m n m n n mijk i j mnk j k imn k i mjn S T T T T T T εεε=++..........()0m n m n n m iik i i mnk i k imn k i min m n i i mnk m n i i nmk iik S T T T T T T T T T T S εεεεε=++===-=当i,j,k 当中有两个相等时，0iik S = 当i j k ≠≠时 (122123323113).1.2.1.2.2..3.2..3.3.1.3.12()()i j j i j k k j k i i k ijk i j i j j k j k k i k i ijk not sumijkijkijkS T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T εεζε=-+-+-=-+-+-=③()[()()]det()()⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u T v T w T u v w...()[()()]()()()i j k l m nl m n ijkl m n lmn T T T u v w det u v w det εε⋅⋅⋅⨯⋅===⋅⨯T u T v T w T T u v w ④()()det()()T T -⋅⨯⋅=⨯T v T w T v w()[()()]det()()[()()]det()()T⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u T v T w T u v w u T T v T w T u v w由于上式对任意矢量u 都成立[()()]det()()()()det()()T T-⋅⋅⨯⋅=⨯⋅⨯⋅=⨯T T v T w T v w T v T w T T v w⑤主不变量与矩之间的关系*1*2..*3...()()()ii i kk i i j kj k i Tr T Tr T T Tr T T T ζζζ===⋅==⋅⋅=T T T T T T2212112212ij k li j j i kl .i .j .i .j .i .j *T T (T T T T )[()]ζδζζ==-=-3.....................*3***13121611()()661(()23)6ijk l m nlmn i j ki j k j k i k i j j i k i k j k j i i j k i j k i j k i j k i j k i j k e e T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T ζζζζζ==++-++=+- 二阶张量标准形 1. 特征值、特征向量 λ⋅=T v v ()λ-⋅=T G v 01111232221233331230.........T T T T T T T T T λλλ--=-特征方程 321230λζλζλζ-+-= 特征根是不变量2. 实对称二阶张量标准形 1. 特征根是实根*************; ; ()0 () λλλλλλλλ⋅=⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅-⋅=⇒=⋅-=⇒=N v N v v v N v v v v N v v v v v N v v 0v v2. 特征向量互相正交1112222112112212121212 ; ; ()00λλλλλλ⋅=⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅-⋅=⇒⋅=N v v N v v v N v v v v N v v v v v v v 3. 不存在约当链如果λ是n 重根，但不存在相应的特征向量12,v v ,使1122 ; λλ⋅=⋅=T v v T v v则一定存在约当链11221λλ⋅=⋅=+T v v T v v v然而对对称张量112212112121211110λλλλ⋅=⋅=+⇓⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅+⋅⇓⋅=N v v N v v v v N v v v v N v v v v v v v这是不可能的。
2.6二阶张量的分解
N =P+D
于是 其中
T = N + = P + D+ 1 T i 1 T i j j P = P j g i g = J 1 δ j g i g = J1 G 3 3 1 k P T N J1 = J1 = J1 = N k 3 1 N 2 1 N 3 P P J 2 = J1 J3 = J1 3 27
i3
1 (i1 + i2 + i3 ) n= 3
N 在八面体等斜面上作用的矢量分量： 在八面体等斜面上作用的矢量分量：
σ
i3' n i2' pn
1 (N1i1 + N 2 i2 + N 3i3 ) pn = N n = 3
pn 的法向分矢量： 的法向分矢量：
i1
i1'
ω τ
i2
1 1 N σ = ( N : nn )n = (N1 + N 2 + N 3 )n = J1 n 3 3
π J cos ω 3
D 2
π J cos ω + 3
D 2
2 D3 = 3
J 2D cosω
就可满足前述三式。 就可满足前述三式。利用其中第三式可证
cos3ω =
27 J 3D 2J
D 32 2
不失广泛性， 不失广泛性，可设 D1 ≥ D2 ≥ D3 ，因此必有 D1 ≥ 0, D3 ≤ 0, 从而
2
T T T = H T QT Q H = H 2 > O
后二式存在方根，且其方根也是正张量， 后二式存在方根，且其方根也是正张量，即
H = T T T > O
H1 = T T T > O
二阶张量的定义
二阶张量的定义二阶张量是线性代数中的一个重要概念。
在数学和物理学领域中，二阶张量被广泛应用于描述物质的性质、力学系统的行为以及电磁场的传播等问题。
本文将介绍二阶张量的定义和一些基本性质，以及其在实际应用中的意义。
我们来定义二阶张量。
在线性代数中，一个二阶张量可以被视为一个二维矩阵，它具有两个索引，通常用小写字母的下标表示。
一个二阶张量可以用以下形式表示：T_ij其中，i和j是张量的两个索引，可以取1、2、3等整数值。
这个二阶张量有四个分量，分别是T_11、T_12、T_21、T_22。
这些分量可以对应于矩阵的四个元素。
二阶张量的分量具有特定的变换规律。
当坐标系发生变换时，二阶张量的分量也会相应地发生变化。
具体而言，对于一个二阶张量T_ij，在坐标系变换下，其分量会按照以下规则进行变换：T_ij' = R_i^k * R_j^l * T_kl其中，T_ij'是变换后的二阶张量的分量，R_i^k和R_j^l是坐标系变换矩阵。
这个变换规律保证了二阶张量在不同坐标系下的表示是相容的。
二阶张量具有一些重要的性质。
首先，二阶张量可以进行加法和数乘运算，即两个二阶张量可以相加，一个二阶张量可以与一个标量相乘。
其次，二阶张量还可以进行张量积运算，即两个二阶张量可以进行分量乘积并相加的运算。
这些运算使得二阶张量具有了更强大的描述能力。
在实际应用中，二阶张量有着广泛的应用。
在物质力学中，二阶张量可以描述物质的应力和应变。
通过应力张量和应变张量的组合，可以得到物质的弹性模量和刚度矩阵等重要性质。
此外，在电磁学中，电磁场的张量表示也是一个二阶张量，可以用来描述电磁场的分布和传播。
二阶张量还在图像处理、机器学习等领域中有着重要的应用，例如图像的卷积运算和神经网络的权重矩阵等。
总结起来，二阶张量是线性代数中的一个重要概念，用于描述具有两个索引的二维矩阵。
二阶张量具有特定的变换规律和运算性质，可以用于描述物质的性质、力学系统的行为以及电磁场的传播等问题。
《二阶张量的矩阵》课件
06 二阶张量的实例分析
实例一：弹性力学中的应力张量
弹性力学中的应 力张量定义
应力张量的基本 性质
弹性力学中的应 力张量应用
实例分析：某具 体弹性力学问题 中的应力张量
实例二：流体力学中的应力张量
应力张量的定义与性质 流体力学中的应力张量表示 应力张量在流体力学中的应用 实例分析：某流体力学问题的应力张量分析
电磁学：二阶张量用于描述电磁场 的应力-能量张量
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
流体力学：二阶张量用于描述流体 的应力场
相对论力学：二阶张量用于描述相 对论力学中的应力-能量张量
在工程中的应用
结构分析：利用二阶张量矩阵对结构进行力学分析，包括应力、应变、刚度等
弹性力学：二阶张量矩阵在弹性力学中的应用，如弹性问题的求解、弹性本构关系的 建立等
注意事项：在计算过程中需要注意各个分量的符号和顺序，以确保结果 的正确性
应用范围：适用于所有类型的二阶张量计算，是一种通用的计算方法
间接计算法
定义：通过已知 的一阶张量计算 二阶张量的方法
计算步骤：先计算 一阶张量的偏导数， 再利用高斯公式计 算二阶张量
适用范围：适用 于具有对称性的 一阶张量
注意事项：需要 保证计算精度和 稳定性
二阶张量的矩阵
PPT,a click to unlimited possibilities
汇报人：PPT
目录 /目录
01
点击此处添加 目录标题
04
二阶张量的应 用
02
二阶张量的定 义
05
二阶张量的计 算方法
03
二阶张量的矩 阵表示
06
二阶张量的实 例分析
第 2 章 二阶张量
2) 二重根时：如设 λ1 = λ2 ≠ λ3 a3 的方向是确定的，与 a3 垂直平面内的任意方向均是主方向。 ( a1 ⋅ a3 = 0 , a2 ⋅ a3 = 0 )
3) 三重根时： λ1 = λ2 = λ3
(2) 正则T 是单射的： u ≠ v ⇒ T ⋅ u ≠ T ⋅ v (3) 正则T 是满射的： ∀u 所作的线性变换T ⋅ u = v ，必存在唯一的逆变换T −1 ⋅ v = u 定义：正则二阶张量T ，必存在唯一的正则二阶张量T −1 使：T ⋅T −1 = T −1 ⋅T = G
2.3 二阶张量的不变量
Ωi •j
≠
−Ω•ij 、 −Ωi • j
=
−Ωj•i
在相同的
(5) 行列式的值：
定义： detT = T•i j ， Tij = g Ti• j = T•i j g = g 2 T ij ， g = Gij
`Tij
= Tij
、 `T ij
= T ij
、 `Ti • j
=
T•
j i
、
⎡ ⎣
Tij
= Ti•k Gkj
2.4 二阶张量的标准形
1． 实对称张量 N
(1)
定义： Nij
=
N ji 、 N ij
=
N
ji
、
N
i •
j
=
N
•i j
、
Ni•
j
=
N•ji
，而一般：
N
i •
j
≠
N•ji 、 Ni• j
二阶张量与四阶张量双点积的结果
二阶张量与四阶张量双点积的结果摘要：1.引言2.二阶张量与四阶张量的定义与性质3.双点积的定义与性质4.二阶张量与四阶张量双点积的结果及其应用5.结论正文：【引言】在数学和物理学中，张量是一种重要的概念，它可以描述空间中的多维数据。
在众多张量中，二阶张量和四阶张量是常见的两种类型。
双点积作为一种运算方式，常用于张量的计算中。
本文将探讨二阶张量与四阶张量双点积的结果及其应用。
【二阶张量与四阶张量的定义与性质】二阶张量是指具有两个分量的张量，通常用T 表示，其形式为T = a_ij，其中a_ij 表示张量的第i 行第j 列元素。
四阶张量是指具有四个分量的张量，通常用T 表示，其形式为T = a_ijkl，其中a_ijkl 表示张量的第i 行第j 列第k 行第l 列元素。
双点积是张量运算中的一种，表示为A·B = A_ijB_ij，其中A_ij 表示张量A 的第i 行第j 列元素，B_ij 表示张量B 的第i 行第j 列元素。
双点积满足交换律、分配律和结合律等性质。
【双点积的定义与性质】双点积在张量运算中具有重要作用，它满足以下性质：1.A·B = B·A（交换律）2.(A + B)·C = A·C + B·C（分配律）3.(A·B)·C = A·(B·C)（结合律）【二阶张量与四阶张量双点积的结果及其应用】在实际应用中，二阶张量与四阶张量双点积的结果有多种计算方法。
例如，在物理学中，双点积常用于计算质点之间的相互作用能、惯性矩等。
在数学中，双点积可用于求解偏微分方程、线性代数等问题。
【结论】二阶张量与四阶张量双点积在数学和物理学等领域具有广泛的应用。
二阶张量运算
种子编织机原理哎呀，说起种子编织机，这玩意儿真是个神奇的小发明。
你知道的，就是那种能把种子编织成网状结构的机器。
我上次去乡下亲戚家，亲眼见识了这玩意儿，真是让我大开眼界。
那天，阳光正好，我坐在院子里，看着亲戚老张头忙活。
他手里拿着一个看起来像是放大版订书机的东西，但这不是订书机，这就是传说中的种子编织机。
老张头一边操作，一边跟我唠嗑，说这机器可神了，能帮他们把种子编织成一张张网，这样撒到地里，种子就能均匀分布，长得更好。
我看着他把一袋袋的种子倒进机器里，那些种子大小不一，颜色也各异，有的圆滚滚的，有的扁扁的，还有的带着小翅膀。
老张头说，这些种子都是他精心挑选的，有玉米、大豆、小麦，都是好种子。
机器开始运作了，发出轻微的嗡嗡声。
我凑近一看，那些种子就像是被施了魔法一样，一粒粒地被编织进网里。
老张头说，这机器的原理其实挺简单的，就是利用机械力把种子固定在特定的位置，然后通过编织的方式，让种子均匀分布。
这样，种子在地里就能更好地吸收阳光和水分，长得壮壮的。
我看着那些编织好的网，真是神奇，每一张都像艺术品一样。
老张头得意地跟我说，这机器可是他的宝贝，自从有了它，种地的效率提高了不少。
他还能根据需要调整编织的密度和大小，真是方便。
我问他，这机器贵不贵？老张头笑了笑，说不贵，比起它能带来的效益，这点成本算啥。
他告诉我，这机器还能减少种子的浪费，因为种子分布均匀，每一颗都能得到充分的生长空间。
那天，我看着老张头忙活了一个下午，直到夕阳西下，他才收工。
我问他累不累，他摇摇头，说这机器让他省了不少力气，比以前轻松多了。
我离开的时候，老张头还送了我一张编织好的种子网，说是让我也试试。
我拿着那张网，心里想，这小小的种子编织机，真是个了不起的发明。
它不仅让种地变得更高效，还让老张头这样的农民，能更轻松地享受种地的乐趣。
所以，你看，这种子编织机，虽然听起来挺高科技的，但其实它的原理挺简单的，就是让种子均匀分布，让种地变得更简单。
张量分析课件-2.2 正则与退化的二阶张量
T
1 1
T
T T
T 1
满射性 对于正则的二阶张量T 对于任意矢量u 所做的线性 变换T· u=w，必存在唯一的逆变换，使T -1· u=w。
i 1 i 1
I
I
定理 三维空间中任意二阶张量T 将任意矢量组u，v，w 映射 为另一矢量组，满足
T u
T v T w detT u v w
证明 （式1.8.25）、(1.8.22)
detT
lmn
u v w detT u v w
l m n
Hale Waihona Puke T uT v T w
ijk
T uT v T w
i l
l
j m m
k n
n
2.2.2 正则与退化
定义 detT≠0的二阶张量T 称为正则的二阶张量；否 则称为退化的二阶张量。 若T 是正则的，则T T 也是正则的。 正则二阶张量的性质： （1）定理 二阶张量是正则的必要且充分条件是将每一组 线性无关的矢量组u(i)(i=1，2，3)映射为另一组线性无关的 矢量组T· u(i)(i=1，2，3)。 等价表述： 二阶张量是正则的必要且充分条件是 T· u=0，当且仅当u=0；或者，二阶张量是退化的必要且 充分条件是存在u≠0 使得T· u=0。 （2）正则的二阶张量T 映射的单射性 对于任意2 个不等 的矢量u≠v，被T 映射以后仍不相等：T· u≠T· v。
（3）正则的二阶张量T 映射的满射性 定义 对于正则的二阶张量T，必存在唯一的正则二 阶张量T -1，使
T T 1 T 1 T G
T -1 称为正则的二阶张量的逆，正则的二阶张量也称为可逆 的二阶张量。可证
二阶协变张量分解
二阶协变张量分解二阶协变张量分解是将一个二阶协变张量分解为若干个低秩张量的和，其中每个低秩张量具有明确的物理意义。
常见的二阶协变张量分解方法有奇异值分解（SVD）和矩张量分解等。
分解过程中，寻找合适的基向量将张量表示为这些基向量的线性组合。
在实际应用中，如材料科学、图像处理和机器学习等领域，二阶协变张量分解具有重要意义。
以下是关于二阶协变张量分解的一些详细介绍：1. 奇异值分解（SVD）：奇异值分解是一种将矩阵分解为三个矩阵的乘积的方法，即A = U * S * V^T，其中A是输入矩阵，U和V是正交矩阵，S是对角矩阵。
对于二阶协变张量，我们可以将其视为一个矩阵，然后应用奇异值分解。
分解后的三个矩阵分别表示张量的旋转、缩放和反旋转部分。
2. 矩张量分解：矩张量分解是将二阶协变张量分解为两个低秩张量的和，其中一个张量表示形状，另一个张量表示偏移。
分解后的两个张量可以通过计算矩得到。
矩张量分解在图像处理和计算机视觉领域具有广泛应用，如用于目标检测和形状识别等。
3. 独立成分分析（ICA）：独立成分分析是一种用于盲源分离的方法，可以将混合信号分解为若干个独立成分。
在二阶协变张量分解中，我们可以将张量视为混合信号，然后应用独立成分分析进行分解。
分解后的成分具有明确的物理意义，如材料中的不同成分或图像中的不同颜色通道等。
4. 局部线性嵌入（PCA）：局部线性嵌入是一种降维方法，可以将高维数据映射到低维空间，同时保持数据的局部结构。
在二阶协变张量分解中，我们可以应用局部线性嵌入将张量表示为低维空间的线性组合。
这有助于提取张量中的主要特征，减少冗余信息，提高计算效率。
二阶协变张量分解在多个领域具有广泛应用，如材料科学中的微观结构分析、医学图像处理、机器人视觉和自然语言处理等。
通过分解，我们可以更好地理解数据的内在结构，为后续的分析和处理提供有力支持。
在实际应用中，根据具体问题和数据特点，可以选择合适的方法进行二阶协变张量分解，以获得更好的效果。
二阶张量坐标变换公式
二阶张量坐标变换公式二阶张量是物理学中经常使用的一种量，描述了空间中一个向量与另一个向量的乘积，既具有方向又具有大小。
而坐标变换是数学中重要的一种概念，它将一个向量在一个坐标系中表示成在另一个坐标系中的表示方式。
本文将介绍二阶张量坐标变换的公式及其应用。
在介绍二阶张量坐标变换公式之前，我们先来回顾一下一阶张量的坐标变换。
对于一个一阶张量，其在不同坐标系下的表示方式可以通过矩阵变换得到。
具体而言，若$T$表示一个一阶张量，$A$表示原坐标系的基底，$B$表示新坐标系的基底，那么在$A$坐标系下的表示方式为：$$T_A=T\cdot A$$在$B$坐标系下的表示方式为：$$T_B=T\cdot B$$其中，$\cdot$表示矩阵乘法。
根据坐标变换的基本原理，可以得到：$$T_B=S^{-1}\cdot T_A\cdot S$$其中，$S$是坐标变换矩阵，其满足$B=AS$。
根据这个公式，我们能够在不同坐标系下准确地描述一阶张量。
对于二阶张量，同样可以得出类似的坐标变换公式。
对于一个二阶张量$T$，其在$A$坐标系下的表示方式为：$$T_{ij}^A=T(e_i)_A\cdot T(e_j)_A$$其中，$e_i$和$e_j$是$A$坐标系的基向量。
同样的，我们可以得到它在$B$坐标系下的表示方式为：$$T_{ij}^B=T(e_i)_B\cdot T(e_j)_B$$其中，$e_i$和$e_j$是$B$坐标系的基向量。
将它们带入坐标变换公式，可以得到：$$T_{ij}^B=S_{ik}\cdot S_{jl}\cdot T_{kl}^A$$其中，$S$是坐标变换矩阵，其满足$B=AS$。
这个公式就是二阶张量坐标变换的公式。
显然，它在形式上与一阶张量坐标变换公式是相似的。
二阶张量坐标变换公式的应用十分广泛。
例如，在弹性力学中，应力张量和应变张量都是二阶张量。
当物体受到外力作用时，其内部就会产生应力和应变，而应力张量和应变张量则可以用来描述物体在不同坐标系下的表现。
【南航研究生课程】[张量分析]第 2 章 二阶张量
![【南航研究生课程】[张量分析]第 2 章 二阶张量](https://img.taocdn.com/s3/m/d4503a0aa216147917112883.png)
第2章 二阶张量研究定义在空间一个固定点（张量的元素是实常数，i g 也是常数）上的二阶张量随坐标系转动的不同形式，不涉及与另一个张量的关系，也不涉及张量运动。
2.1 二阶张量与矩阵的对应分量同一坐标系：j i ijj i i ij ij i j i ij T T T T g g g g g g g g T ====∙∙ 另一坐标系：j i j i j i i i j i j i j i j i T T T T ''''''''∙'''∙'''''====g g g g g g g g● 对应不同坐标的分量不同：,,,jj i i iji j iji j i i jj T T T T T T T T ''''∙∙''''∙∙≠≠≠≠● 对应不同并矢的分也不同：iji i j i ij T T T T ≠≠≠∙∙● 指标满足升降：mm mniji mj im iim nj T T g g T g T g ∙∙===转置()()()()jiijTTijTiTjTj i i j ijijTT TT ∙∙====T g g g g g g g gi jj ii j jiji ij ji i j T T T T ∙∙====g g g g g g g g 分量指标互换 jijii jijij i j ii j i T T T T ∙∙====g g g g g g g g 并矢指标交换一般情况混变分量的转置≠系数矩阵的转置对称 T=N Nji ij N N =、ji ij N N =、i j i j N N ∙∙=、j i j i N N ∙∙=N u u N ⋅=⋅反对称 T=-ΩΩij ji ΩΩ=-、ijjiΩΩ=-、i i jjΩΩ∙∙=-、jj i iΩΩ∙∙=-，Ωu u Ω⋅-=⋅行列式的值 定义：i jT∙=T det ， iji jjiij T g g T T g T 2===∙∙， ij g G =ji ij T T =、jiijTT =、jj iiT T ∙∙=、i iT tr ∙=T ，()i iiiS T tr ∙∙+=+S T ，()S T S T ⋅⋅=⋅tr ，():Ttr ⋅=T ST S二阶张量与矢量的点积—矢量线性变换=⋅w T u ， ii jjw T u ∙=⋅，⋅≠⋅T u u T2.2 正则与退化的二阶张量定理：任意二阶张量将一个线性相关的矢量集映射为线性相关的矢量集 【设矢量集()i u 线性相关，则存在不全为零的实数()i α使：1()()I i i i α==∑u 0,()11()()()()I Ii i i i i i αα===⋅=⋅∑∑0T u T u , 所以()i ⋅T u 也线性相关】定理：[][],,det ,,⋅⋅⋅=T u T v T w T u v w[det T 为两个平行六面体的体积比，三维空间中3个矢量是否线性相关取决与它们的混合积是否为零] 正则与退化det 0≠T 正则二阶张量；否则为退化的二阶张量(1) T 为正则⇔()i u (i =1,2,3) 性无关，则()i ⋅T u 也线性无关。
张量分析课件-3.4 二阶张量的二阶张量函数
上式存在极限的条件是： （1）当T 的特征根= 时， H 的特征根= 。 1 2 （2）极限 lim 存在，因而k0，k1，k2 也接近于相应 2 1 1 2 极限。 III. T 的特征方程具有三重根 1=2=3 具有三重根的能化为对角型标准形的张量只能是球形张量， 故T 为球形张量，考虑→，2→ 的极限过程，H=f (T )表
于三个特征值的集合，与特征值得排序无关。特征值的集合取
T T T , J2 , J3 决于特征方程的系数 J1 ），因此 k0，k1，k2是主不变
T T T , J2 , J3 量 J1 函数，从而H 是 T 的各向同性函数。
II. T 的特征方程具有二重根 1=2≠3
2 1
lim
T 3G 1 2 f T lim T 2G T 1G
3.4.3 同时化为对角型标准形的函数
设二阶张量T 的二阶张量函数 H=f (T )，当T 在某一组基
矢量中化为对角型标准形时，H 在同一组基矢量中也化为对 角型标准形，并设 H 的特征根 i（i=1，2，3)为T 的特征根 i（i=1，2，3)的函数，而与T 的其他性质无关，即
i i j i 1 , 2 , 3
H f T 1 2 1 1 2 2 3 3 1 3 1 2 T 2 1 3 3 1 2 1 3 2
2 2 G 1 2 2 T 3 2 1 3 2
T
i j
3 2 1 J11 J 21 J 3 T 0 0 O
3 2J J J J J
2 2 1 3
谱分解（SD）
谱分解（SD）前提：矩阵A必须可相似对⾓化！充分条件:A是实对称矩阵A有n个互异特征值A∧2=AA∧2=Er(A)=1且tr(A)!=0 谱分解（Spectral Decomposition ），⼜称特征分解，或相似标准形分解，是将矩阵分解为由其特征值和特征向量表⽰的矩阵之积的⽅法，需要注意只有对可对⾓化矩阵才可以施以特征分解。
它体现了线性变换的旋转和缩放的功效。
设 A 为 n 阶实对称阵，则必有正交阵 P ，使 A=PΛP T 其中 Λ 是以 A 的 n 个特征值为对⾓元的对⾓阵， P 是由 A 的 n 个特征向量得到 的正交矩阵。
实对称矩阵谱分解的步骤 设 A∈R n×n, A′=A (i) 求出 A 的所有不同的特征值: λ1,λ2,⋯,λr∈R，其重数 n1,n2,⋯,n r 必满⾜ ∑r i=1n i=n; (ii) 对每个 λi ，解齐次线性⽅程组 λi E−A X=0 求出它的⼀个基础解系: αi1,αi2,⋯,αin 把它们按 Schmidt 正交化过程化成 标准正交组 ηi1,ηi2,⋯,ηin (iii) 因为 λ1,λ2,⋯,λr 互不相同，所以 将 η11,η12,⋯,η1n1,⋯,ηr1,ηr2,⋯,ηr nr的分量依次作 矩阵 P的第 1,2,⋯,n 列, 则 P 是正交矩阵, 且有 A=PΛP T .例题 已知 A=0−11−101110求⼀个正交矩阵 P , 使 A=PΛP T 为对⾓阵. 第1步: 求特征值.|λE−A|=λ1−11λ−1−1−1λr1−r2_λ−11−λ01λ−1−1−1λ=(λ−1)1−101λ−1−1−1λ=(λ−1)1001λ+1−1−1−2λ=(λ+2)(λ−1)2λ1=−2,λ2=λ3=1 第2步: 求线性⽆关的特征向量. 对 λ1=−2 , 解⽅程组 (A+2E)x=0 A+2E=2−11−121112→101011000 求得基础解系(即最⼤⽆关特征向量) α1=−1−1 1())[]||||||||[][][]Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/GeneralPunctuation.js 对 λ2=λ3=1 , 解⽅程组 (A −E )x =0 A −E =−1−11−1−1111−1r →11−1000000 求得基础解系(即最⼤⽆关特征向量) α2=−110,α3=101,α1=−1−11α1,α2=?α1,α3=?α2,α3=0? 第3步: 检验重特征值对应的特征向量是否正交, 如果不正交, ⽤施密特过程正交化; 再把正交的特征向量单位化. α2=−110,α3=101β2=α2β3=α3−β2,α3β2,β2β2=101+12−110=12112 单位化: ξ1=α1‖ 第4步: 把求得的规范正交特征向量拼成正交矩阵. 令 P=\left[\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{-1}{\sqrt{3}} & \frac{-1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{-1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & \frac{2}{\sqrt{6}}\end{array}\right] 则 A=P\left[\begin{array}{ccc}-2 & & \\ & 1 & \\ & & 1\end{array}\right] P^{T}[][][][][][][][][][][][][][][]。
张量分解-1
P
Q
R
◦ 因子矩阵 A I ×P , B J ×Q , C 可以视为沿相应mode的主成分
K× R
通常是正交的，
35
Tucker分解
◦ 容易看出，CP分解是Tucker分解的一种特殊形式：如果 核心张量 G 是对角的，且 P Q R ，则Tucker分解就 退化成了CP分解
I1× I2 × × IN
X ,Y
i1 1 i2 1
I1
I2
iN 1
x
I1
IN
i1i2 iN
yi1i2
iN
（Frobenius）范数：
X
X,X
i1 1 i2 1
I2
iN 1
2 x i1i2
IN
iN
8
秩一张量/可合张量
◦ N阶张量 X I1×I2 × ×I N 是一个秩一张量，如果它能被写 成N个向量的外积，即
v
X m a n b X m a n1 b X n b m a, m n
13
矩阵的Kronecker乘积
◦ A
I ×J
,B
K× L
，则
a11B a12 B a B a B 21 22 AB aI 1B aI 2 B
a1J B a2 J B aIJ B
19
CP分解的张量形式
◦ 将一个张量表示成有限个秩一张量之和，比如一个三阶张 量可以分解为
X A, B, C a r b r cr
r 1
R
X
a1
c1
b1
a2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二阶张量的谱分解算法
一、引言
张量在许多领域，如机器学习、信号处理、图像处理等，都有着广泛的应用。
对于二阶张量（Tensor）这种多阶结构，其谱分解算法的研究具有重要的理论和实践价值。
本文将介绍一种适用于二阶张量的谱分解算法。
二、算法描述
1. 准备工作：首先，我们需要对二阶张量进行适当的坐标变换，将其转化为对角矩阵形式，以便后续的谱分解。
2. 特征值分解：对变换后的二阶张量进行特征值分解，得到其特征向量矩阵和特征值向量。
3. 谱因子选取：根据实际需求，选取需要的谱因子，如对角线元素或特定位置的元素。
4. 构造分解矩阵：根据选取的谱因子和特征向量矩阵，构造出对应的分解矩阵。
5. 反变换：将构造的分解矩阵代入变换后的二阶张量中，得到原始二阶张量的一种表示形式。
三、算法实现
1. 输入：二阶张量T和选取的谱因子。
2. 输出：分解后的二阶张量T'和对应的分解矩阵M。
3. 算法步骤：
a. 对T进行坐标变换，得到变换后的二阶张量T'；
b. 对T'进行特征值分解，得到特征向量矩阵Q和特征值向量D；
c. 根据需求，选取对角线元素或特定位置的元素作为谱因子；
d. 构造分解矩阵M = QΛD^(-1)Q^T；
e. 将M代入T'中，得到分解后的二阶张量T' = M*T'；
f. 输出T'和M。
四、算法优缺点分析
1. 优点：该算法具有较高的稳定性和准确性，适用于各种类型的二阶张量。
同时，算法的实现过程简单明了，易于理解和实现。
2. 缺点：对于大规模的二阶张量，计算量可能会较大，需要优化算法以提高效率。
此外，对于某些特殊类型的二阶张量，可能存在无法完全分解的情况。
五、应用场景与案例分析
该算法可以应用于机器学习、信号处理、图像处理等领域中，如用于降维、数据压缩、特征提取等。
以机器学习为例，通过对数据集进行二阶张量的谱分解，可以提取出关键的特征向量，从而更有效地进行分类或回归。
六、总结与展望
本文介绍了一种适用于二阶张量的谱分解算法，该算法能够有效地对二阶张量进行分解，提取出关键的谱因子。
虽然该算法在处理大规模二阶张量时可能会有一定的计算压力，但总体上来说，该算法具有较高的稳定性和准确性，值得进一步研究和应用。
未来，我们可以进一步优化算法，提高其效率，并尝试将其应用于更广泛的领域中。